Она используется в основном в тех ситуациях, когда необходимо точное позиционирование гибких сочленений одного объекта относительно других объектов окружающей среды. Алгоритм инверсной кинематики противоположен алгоритму прямой кинематики .

Описание

Инверсная кинематика, как и прямая , применяются к моделям каких-либо персонажей или объектов, которые созданы с использованием скелетной анимации . Суть скелетной анимации состоит в том, что объект состоит из набора твёрдых сегментов (компонентов), соединённых сочленениями (англ. joint ). При этом сегменты могут объединяться в кинематические пары , которые в свою очередь объединяются в кинематические цепи . Данные сегменты образуют иерархические цепочки, которые имеют «верхний» и «нижний» уровень. Сегменты (компоненты) верхних уровней называются компонентами-предками (или родительскими сегментами), а компоненты нижних - компонентами-потомками (или дочерними сегментами). Например, если рассмотреть руку человека, то плечевой сустав будет самым верхним уровнем, а кончик пальца - самым нижним, т. е. компонентом-потомком к плечевому суставу. Локтевой сустав находится внутри цепочки, он будет иметь как родительские (плечо), так и дочерние (запястье, пальцы) сегменты.

Основным отличием прямой кинематики от инверсной кинематики является то, что при прямой любое воздействие передается по иерархической цепочке сверху вниз. Например, при движении тазобедренного сустава двигаются все потомки, т. е. коленный сустав и все остальные. Инверсная кинематика использует принцип, диаметрально противоположный принципу прямой - перемещение компонентов-потомков приводит к изменению положения компонентов-предков, то есть алгоритм рассчитывает положение и ориентацию компонентов-предков, исходя из положения и ориентации компонентов-потомков.

В инверсной кинематике дочерний сегмент (компонент-потомок), который вызывает изменение положения и ориентацию других объектов и расположен в середине отдельной иерархической цепочке сегментов, называется эффектором (англ. effector ) . Если эффектор является конечным объектом данной иерархической цепочки, то он называется конечным эффектором (англ. end effector ). Именно через эффектор осуществляется манипулирование всей иерархической цепочкой. Изменение положения и/или ориентации конечного эффектора приводит к изменению положения и/или ориентации всех сегментов иерархической цепочки по законам инверсной кинематики. Изменение положения и/или ориентации простого (не конечного) эффектора приводит к тому, что положение объектов, стоящих по иерархии ниже его, меняется по законам прямой кинематики, а объектов с более высокой иерархией - по законам инверсной кинематики.

Ключом к успешной реализации инверсной кинематики является анимация в пределах ограничений (англ. constraints ): конечности модели персонажа должны вести себя в разумных антропоморфических пределах. Точно такая же ситуация и с робототехническими устройствами, которые имеют физические ограничения, такие как среда, в которой они работают, ограничения движения их суставов и ограниченные физические нагрузки и скорости, с которыми они в состоянии работать.

Использование и примеры

Инверсная кинематика является инструментом, который часто используют художники трёхмерной графики . Для художника проще выразить желаемое пространственное действие, чем непосредственно манипулировать углами сочленений. Например, инверсная кинематика позволяет художнику двигать рукой модели трёхмерного гуманоидного персонажа к желаемой позиции и ориентации. При этом сам алгоритм, а не художник, выбирает правильные углы запястья, локтя и плечевого сустава.

Например, если человек хочет схватить дверную ручку рукой, то его мозг должен сделать необходимые вычисления для правильного позиционирования руки и туловища человека. Основная цель состоит в том, чтобы двигать рукой, но нужно задействовать много сложных суставов с несколькими сочленениями, чтобы добраться рукой к желаемому объекту. Подобным образом происходит процесс в технологических приложениях - чтобы достичь желаемой цели, должны быть выполнены математические вычисления инверсной кинематики для расположения конечностей правильным образом. Примером, когда вычисления инверсной кинематики часто необходимы, является робототехника. Например, оператор робота хочет поместить какой-либо объект с помощью манипулятора , однако, естественно, он не хочет управлять каждым сочленением манипулятора отдельно.

Другими приложениями, где используется инверсная кинематика, являются приложения компьютерной графики и анимации . Например, аниматоры хотят управлять моделью гуманоидного персонажа, анимация которого генерируется компьютером, однако очень трудно анимировать индивидуальные сочленения. Решение состоит в том, чтобы смоделировать виртуальные сочленения «марионеточной куклы» и позволить аниматору двигать руками, ногами и туловищем куклы, а компьютер с использованием инверсной кинематики автоматически сгенерирует необходимые позиции конечностей для достижения результата.

Инверсная кинематика часто используется в компьютерных играх для создания анимации гуманоидных персонажей. В основном инверсная кинематика используется для создания анимации ног моделей человекоподобного существа или человека. Например, довольно просто создать анимацию передвижения (ходьба, бег) человека или наземного животного, если он движется по ровной плоскости. Однако если ландшафт неровный (бугристый, ухабистый, пересечённая или горная местность), то создание точной анимации ходьбы является фактически невозможной задачей. Анимация ног не будет соответствовать рельефу поверхности, что проявится в таких эффектах, как проскальзывание ног по поверхности и неточном позиционировании ног относительно её (ступня будет «утопать» в поверхность или «не доставать» до неё). Именно для качественного и эффективного решения этих проблем используется инверсная кинематика.

К другим приложениям, которые используют инверсную кинематику, относятся интерактивная манипуляция, управление анимацией и избежание столкновений .

Напишите отзыв о статье "Инверсная кинематика"

Примечания

Внешние ссылки

• Hugo Elias. (англ.) . freespace.virgin.net. Проверено 5 июня 2009. .
• Hugo Elias. (англ.) . freespace.virgin.net. Проверено 5 июня 2009. .
• (англ.) . www.learnaboutrobots.com. Проверено 5 июня 2009. .
• (англ.) . Проверено 5 июня 2009. .
• Martin John Baker. (англ.) . www.euclideanspace.com. Проверено 5 июня 2009. .
• Lydia E. Kavraki. (англ.) . cnx.org. Проверено 5 июня 2009. .
• Diego Park. (англ.) . diegopark.googlepages.com. Проверено 5 июня 2009. .
• Bill Baxter. (англ.) . billbaxter.com (21 февраля 2000 года). Проверено 5 июня 2009. .
• (англ.) . www.virtualitoy.com. - Флэш-скрипт на сайте, который позволяет "одеть" человеческую модель. Для анимации одевания используется инверсная кинематика. Проверено 5 июня 2009. .

• Hugo Elias (перевод на русский - Pavel A. Chuvanov). . GameDev.ru (8 июня 2002 года). Проверено 5 июня 2009. .
• . . Проверено 5 июня 2009. .
• Светлана Шляхтина. . журнал . Проверено 7 июня 2009. .
• . Проверено 5 июня 2009. .
• . . Проверено 7 июня 2009. .
• . . Проверено 7 июня 2009. .
• Алексеев В. (недоступная ссылка - история ) . (10 января 2008 года). Проверено 5 июня 2009. .
• Майкл Комет. . Mir3D.ru . - Урок по созданию инверсной кинематике в 3ds Max . Проверено 7 декабря 2009.

Отрывок, характеризующий Инверсная кинематика

С конца 1811 го года началось усиленное вооружение и сосредоточение сил Западной Европы, и в 1812 году силы эти – миллионы людей (считая тех, которые перевозили и кормили армию) двинулись с Запада на Восток, к границам России, к которым точно так же с 1811 го года стягивались силы России. 12 июня силы Западной Европы перешли границы России, и началась война, то есть совершилось противное человеческому разуму и всей человеческой природе событие. Миллионы людей совершали друг, против друга такое бесчисленное количество злодеяний, обманов, измен, воровства, подделок и выпуска фальшивых ассигнаций, грабежей, поджогов и убийств, которого в целые века не соберет летопись всех судов мира и на которые, в этот период времени, люди, совершавшие их, не смотрели как на преступления.
Что произвело это необычайное событие? Какие были причины его? Историки с наивной уверенностью говорят, что причинами этого события были обида, нанесенная герцогу Ольденбургскому, несоблюдение континентальной системы, властолюбие Наполеона, твердость Александра, ошибки дипломатов и т. п.
Следовательно, стоило только Меттерниху, Румянцеву или Талейрану, между выходом и раутом, хорошенько постараться и написать поискуснее бумажку или Наполеону написать к Александру: Monsieur mon frere, je consens a rendre le duche au duc d"Oldenbourg, [Государь брат мой, я соглашаюсь возвратить герцогство Ольденбургскому герцогу.] – и войны бы не было.
Понятно, что таким представлялось дело современникам. Понятно, что Наполеону казалось, что причиной войны были интриги Англии (как он и говорил это на острове Св. Елены); понятно, что членам английской палаты казалось, что причиной войны было властолюбие Наполеона; что принцу Ольденбургскому казалось, что причиной войны было совершенное против него насилие; что купцам казалось, что причиной войны была континентальная система, разорявшая Европу, что старым солдатам и генералам казалось, что главной причиной была необходимость употребить их в дело; легитимистам того времени то, что необходимо было восстановить les bons principes [хорошие принципы], а дипломатам того времени то, что все произошло оттого, что союз России с Австрией в 1809 году не был достаточно искусно скрыт от Наполеона и что неловко был написан memorandum за № 178. Понятно, что эти и еще бесчисленное, бесконечное количество причин, количество которых зависит от бесчисленного различия точек зрения, представлялось современникам; но для нас – потомков, созерцающих во всем его объеме громадность совершившегося события и вникающих в его простой и страшный смысл, причины эти представляются недостаточными. Для нас непонятно, чтобы миллионы людей христиан убивали и мучили друг друга, потому что Наполеон был властолюбив, Александр тверд, политика Англии хитра и герцог Ольденбургский обижен. Нельзя понять, какую связь имеют эти обстоятельства с самым фактом убийства и насилия; почему вследствие того, что герцог обижен, тысячи людей с другого края Европы убивали и разоряли людей Смоленской и Московской губерний и были убиваемы ими.
Для нас, потомков, – не историков, не увлеченных процессом изыскания и потому с незатемненным здравым смыслом созерцающих событие, причины его представляются в неисчислимом количестве. Чем больше мы углубляемся в изыскание причин, тем больше нам их открывается, и всякая отдельно взятая причина или целый ряд причин представляются нам одинаково справедливыми сами по себе, и одинаково ложными по своей ничтожности в сравнении с громадностью события, и одинаково ложными по недействительности своей (без участия всех других совпавших причин) произвести совершившееся событие. Такой же причиной, как отказ Наполеона отвести свои войска за Вислу и отдать назад герцогство Ольденбургское, представляется нам и желание или нежелание первого французского капрала поступить на вторичную службу: ибо, ежели бы он не захотел идти на службу и не захотел бы другой, и третий, и тысячный капрал и солдат, настолько менее людей было бы в войске Наполеона, и войны не могло бы быть.
Ежели бы Наполеон не оскорбился требованием отступить за Вислу и не велел наступать войскам, не было бы войны; но ежели бы все сержанты не пожелали поступить на вторичную службу, тоже войны не могло бы быть. Тоже не могло бы быть войны, ежели бы не было интриг Англии, и не было бы принца Ольденбургского и чувства оскорбления в Александре, и не было бы самодержавной власти в России, и не было бы французской революции и последовавших диктаторства и империи, и всего того, что произвело французскую революцию, и так далее. Без одной из этих причин ничего не могло бы быть. Стало быть, причины эти все – миллиарды причин – совпали для того, чтобы произвести то, что было. И, следовательно, ничто не было исключительной причиной события, а событие должно было совершиться только потому, что оно должно было совершиться. Должны были миллионы людей, отрекшись от своих человеческих чувств и своего разума, идти на Восток с Запада и убивать себе подобных, точно так же, как несколько веков тому назад с Востока на Запад шли толпы людей, убивая себе подобных.
Действия Наполеона и Александра, от слова которых зависело, казалось, чтобы событие совершилось или не совершилось, – были так же мало произвольны, как и действие каждого солдата, шедшего в поход по жребию или по набору. Это не могло быть иначе потому, что для того, чтобы воля Наполеона и Александра (тех людей, от которых, казалось, зависело событие) была исполнена, необходимо было совпадение бесчисленных обстоятельств, без одного из которых событие не могло бы совершиться. Необходимо было, чтобы миллионы людей, в руках которых была действительная сила, солдаты, которые стреляли, везли провиант и пушки, надо было, чтобы они согласились исполнить эту волю единичных и слабых людей и были приведены к этому бесчисленным количеством сложных, разнообразных причин.

Root Motion - как оно работает

Инверсная кинематика (только для Pro версий)

В основном, анимация создается изменением углов в соединениях в скелете на заранее определенные величины. Позиция дочернего соединения изменяется согласно повороту родителя, поэтому конечная точка цепочки соединений может быть определена углами и относительными позициями каждого конкретного узла в цепи. Этот метод изменения позы скелета известен как прямая кинематика(forward kinematics) .

Однако, часто полезным является взгляд на задачу позиционирования соединений с другой стороны - со стороны выбранной позиции в пространстве. Работая в обратном направлении, найдите допустимый способ расположения соединений такой, чтобы конечная точка совпала с заданной ранее позицией Это может быть полезно, когда вы хотите, чтобы персонаж коснулся объекта в точке, заданной пользователем, или корректно позиционировал свои ступни на неровной поверхности. Этот подход называется инверсной кинематикой(Inverse Kinematics ) (IK) и поддерживается Mecanim для любого персонажа гуманоида с правильно настроенным аватаром

Для того, чтобы настроить IK для персонажа, вы, как правило, имеете объекты, расположенные на сцене, с которыми взаимодействует персонаж, и затем вы настраиваете IK с помощью скрипта, в частности, с помощью функций Animator, таких как SetIKPositionWeight , SetIKRotationWeight , SetIKPosition , SetIKRotation , SetLookAtPosition , bodyPosition , bodyRotation

На иллюстрации выше мы показываем персонажа, поднимающего цилиндрический объект. Как мы сделали это?

We start out with a character that has a valid Avatar.

Next create an Animator Controller with containing at least one animation for the character. Then in the Layers pane of the Animator window, click the cog settings icon of the Layer and and check the IK Pass checkbox in the menu which pops up.

Make sure the Animator Controller is assigned to the character’s Animator Component:

Next, attach to it a script that actually takes care of the IK, let’s call it IKControl . This script sets the IK target for the character’s right hand, and its look position to make it look at the object it is holding:

Using UnityEngine; using System; using System.Collections; public class IKControl: MonoBehaviour { protected Animator animator; public bool ikActive = false; public Transform rightHandObj = null; public Transform lookObj = null; void Start () { animator = GetComponent(); } //a callback for calculating IK void OnAnimatorIK() { if(animator) { //if the IK is active, set the position and rotation directly to the goal. if(ikActive) { // Set the look target position, if one has been assigned if(lookObj != null) { animator.SetLookAtWeight(1); animator.SetLookAtPosition(lookObj.position); } // Set the right hand target position and rotation, if one has been assigned if(rightHandObj != null) { animator.SetIKPositionWeight(AvatarIKGoal.RightHand,1); animator.SetIKRotationWeight(AvatarIKGoal.RightHand,1); animator.SetIKPosition(AvatarIKGoal.RightHand,rightHandObj.position); animator.SetIKRotation(AvatarIKGoal.RightHand,rightHandObj.rotation); } } //if the IK is not active, set the position and rotation of the hand and head back to the original position else { animator.SetIKPositionWeight(AvatarIKGoal.RightHand,0); animator.SetIKRotationWeight(AvatarIKGoal.RightHand,0); animator.SetLookAtWeight(0); } } } }

Поскольку мы не хотим, чтобы персонаж захватывал весь объект своей рукой, мы располагаем сферу в месте, в котором рука должна держать цилиндр и, соответственно, поворачиваем его.

В предыдущем уроке мы ознакомились с методом прямой кинематики, при котором иерархические связи передаются от предков к потомкам. Это приводит к тому, что дочерние объекты частично или полностью наследуют поведение родительских объектов и при этом сами никакого влияния на них не оказывают. Подобный тип иерархического связывания позволяет легко анимировать объекты, состоящие из большого числа элементов, при условии, что всем элементам объекта назначаются одинаковые трансформации. Однако он не поможет, когда перемещение одного элемента должно оказывать влияние на все прочие элементы, связанные внутри сложного объекта, с учетом их положения в иерархической цепочке, а также свойств. Такое поведение имитируется посредством инверсной, или, как часто говорят, обратной, кинематики (Inverse Kinematics), простые примеры использования которой мы и рассмотрим в данном уроке.

Теоретические аспекты

Понятие инверсной кинематики

Инверсная кинематика отличается от прямой иным принципом наследования. Если при прямой кинематике трансформация потомков определяется трансформацией их предков, то при инверсной - потомки приводят в движение родительские объекты, то есть программа рассчитывает положение и ориентацию родительских объектов, исходя из положения и ориентации трансформируемого потомка. Потомок, который вызывает трансформации других объектов по законам инверсной кинематики, называется либо эффектором (Effector ), если он расположен в середине отдельной иерархической ветви, либо конечным эффектором (End Effector ), если является конечным объектом данной ветви. Через эффектор осуществляется манипулирование всей иерархической цепочкой. При этом трансформация конечного эффектора обеспечивает трансформацию всех объектов иерархической ветви по законам инверсной кинематики, а трансформация просто эффектора приводит к тому, что положение объектов, стоящих по иерархии ниже его, меняется по законам прямой кинематики, а объектов с более высокой иерархией - по законам инверсной кинематики.

Чтобы убедиться в этом, создайте простую сцену со своеобразной булавой, смоделированной из примитива Hedra , десяти торусов и цилиндра со скошенными основаниями (рис. 1). Свяжите объекты инструментом Select and Link (Выделить и связать), двигаясь в направлении от объекта Hedra 01 к объекту ChamferCyl 01 - в итоге цилиндр окажется Root-объектом (рис. 2). Выделите цилиндр и переместите его влево - вместе с ним переместятся и все остальные объекты, являющиеся по отношению к нему дочерними. Тогда как передвижение одного из расположенных в середине цепочки торусов приведет к перемещению лишь дочерних по отношению к нему объектов цепочки, а объекты, расположенные выше его по иерархии, останутся на месте (рис. 3). Вернитесь к исходному положению объектов и активируйте режим инверсной кинематики, открыв на панели Hierarchy закладку IK и щелкнув на кнопке Interactive IK , которая должна подсветиться (рис. 4). Сохраните рабочую сцену в файл и повторите те же самые операции с перемещением цилиндра и торуса - перемещение первого объекта даст те же самые результаты, что и ранее, а вот изменение положения торуса приведет к соответствующим изменениям положения всех остальных (а не только дочерних по отношению к нему) элементов, включая Root-объект (рис. 5). При этом положение объектов, стоящих по иерархии ниже перемещаемого торуса (в данном случае он играет роль просто эффектора), будет меняться по законам прямой кинематики, а объектов с более высокой иерархией - по законам инверсной кинематики.

Управление вращением и перемещением объектов

Вернитесь к сохраненной рабочей сцене, выделите объект Hedra 01 и поперемещайте его, наблюдая за всеми объектами иерархической цепи, и вы убедитесь в полном отсутствии контроля над ними, так как положение и ориентация последних меняются самым непредсказуемым образом (рис. 6). Это связано с тем, что по умолчанию для управляемых посредством эффектора объектов допустимы любые варианты перемещения и вращения. На практике же чаще всего связанные объекты могут трансформироваться только каким-то определенным образом, а значит, все другие варианты трансформаций для них запрещены.

Данный аспект при обратной кинематике регулируется в первую очередь посредством Joint-параметров, позволяющих определить, относительно каких осей и в каких пределах может вращаться (Rotational Joint s ) и/или перемещаться (Sliding Joint s ) тот или иной дочерний объект относительно родительского. Иными словами, Joint-параметры задают характер трансформации связи (или, как часто говорят, сочленения либо сустава) между дочерним и родительским объектами. Настраиваются данные параметры на закладке IK панели Hierarchy , однако по умолчанию там доступны лишь параметры, отвечающие за ограничение вращения объектов иерархической цепочки (Rotational Joint s ). Возможность управления объектами посредством параметров Sliding Joint s появится только после назначения им специализированного IK-контроллера. Последнее осуществляется через меню Animation =>IK Solvers (Анимация=>IK-решения), предусматривающее присваивание объектам одного из следующих IK-контроллеров:

• HI Solver (History Independent Solver ) - исторически независимый контроллер (считается самым универсальным для персонажной анимации);
• HD Solver (History Dependent Solver ) - исторически зависимый контроллер;
• IK Limb Solver - контроллер для анимации конечностей (рассчитан только на два объекта иерархической цепи);
• Spline IK Solver - сплайновый контроллер.

Данные контроллеры не только открывают доступ к параметрам Sliding Joint s , но и обеспечивают еще массу возможностей благодаря тому, что преобразуют обычные иерархические последовательности в так называемые цепи инверсной кинематики (IK Chain ), которые представляют собой невизуализируемые объекты управления, упрощающие управление элементами иерархии по законам инверсной кинематики. Внешне в окнах проекций IK-цепи выглядят как ряд перекрестий и линий, соединяющих начало и окончание конкретной IK-цепи. Выбираются данные элементы обычным образом (щелчком по перекрестию или инструментом Select by Name ), а вот редактируются не через панель Modify (как прочие объекты), а через панель Motion . Независимо от типа контроллера IK-цепи создаются одинаково: выбирается первый элемент предполагаемой цепи, затем ему назначается IK-контроллер и указывается последний элемент цепочки. Различие между IK-контроллерами заключается в использовании при расчетах IK-решений разных методов преобразования IK-цепочек.

Чтобы убедиться в том, что IK-цепи упрощают управление элементами иерархии, создайте упрощенную модель ноги (бедро и голень со стопой) - рис. 7. Свяжите их в иерархическую цепочку, начиная данный процесс снизу, чтобы в итоге в роли Root-объекта оказался верхний цилиндр (то есть бедро). Включите режим инверсной кинематики и попробуйте переместить ступню влево - результат окажется совсем не таким, какой можно наблюдать при ходьбе, поскольку даже при небольшом перемещении повороты cуставов будут слишком велики (рис. 8). А теперь создайте дополнительный фиктивный объект в верхней части бедра и включите его в иерархию в качестве Root-объекта. Выделите Dummy-объект и назначьте цепи контроллер HI Solver , применив команду Animation =>IK Solvers =>HI Solver и указав в качестве конечного эффектора ступню, - при выполнении данного действия за курсором мыши будет тянуться пунктирная линия (рис. 9). Это приведет к созданию цепи инверсной кинематики с IK-контроллером, о чем будет свидетельствовать появление линии, простирающейся от вершины бедра к ступне, и перекрестия (это так называемый целевой объект IK Goal ) в опорной точке эффектора (рис. 10). Если вы подвигаете перекрестие, то увидите, что нога перемещается, сгибается и поворачивается таким образом, что опорная точка ступни всегда находится в центре крестика, но сама ступня не перемещается относительно голени (рис. 11). Попробуйте анимировать подобное движение, щелкнув на кнопке Auto Key , активировав 50-й кадр, перетащив перекрестие немного назад, а затем, в 100-м кадре, вернув его в исходное положение и выключив режим автоматического создания ключей. Проиграйте анимацию, и вы увидите предельно упрощенную имитацию ходьбы (рис. 12). Конечно, до настоящей ходьбы еще далеко, но мы пока ограничимся этим и вернемся к данному вопросу в одном из ближайших уроков, когда будем говорить о построении иерархии с применением Bones .

Вернемся к сохраненной на диске рабочей сцене с булавой и попробуем немного поэкспериментировать с настройкой Joint-параметров. Выделите Root-объект, из меню Animation =>IK Solvers (Анимация=>IK-решения) выберите команду HD Solver и укажите мышью конечный эффектор (то есть объект Hedra 01). Выделите объект Hedra 01, вновь переместите его в одно из направлений и убедитесь, что результат окажется гораздо более реалистичным (рис. 13). Выделите объект ChamferCyl 01 и откройте закладку IK панели Hierarchy . По умолчанию для него у параметров Sliding Joint s отключены флажки Active в отношении всех трех осей и включены для параметров Rotational Joint s (рис. 14). Это означает, что данный объект может вращаться произвольным образом, но для него запрещены перемещения относительно любой из осей. Для примера отмените ограничение на скольжение относительно оси Z , включив флажок Active в разделе Z Axis , - после этого положение и ориентация объекта ChamferCyl 01 при перемещениях конечного эффектора станут совсем иными (рис. 15 и 16); верните ограничение. Обратите внимание, что даже при установленном ограничении на скольжение некоторое смещение объекта ChamferCyl 01 все же имеет место, так как ограничения устанавливаются не непосредственно на объекты, а на их сочленения друг с другом (Joint ), то есть на суставы (если провести аналогию с конечностью человека). Попробуйте также установить ограничения на вращение объекта ChamferCyl 01 в отношении всех трех осей, что позволит добиться жесткой фиксации положения и ориентации данного объекта, в то время как все прочие элементы IK-цепи по-прежнему будут полностью свободны от каких-либо ограничений на вращение и скольжение (рис. 17).

Рис. 14. Первоначальный вид свитков SlidingJoints и RotationalJoints для объекта ChamferCyl 01

Настройка пределов ограничений

Помимо включения/выключения ограничений на скольжение и вращение в свитках Sliding Joint s и Rotational Joints можно регулировать то, насколько допустимо перемещение или вращение относительно той или иной оси, то есть устанавливать пределы ограничений. Реализуется это посредством установки флажка Limited (Ограничение) и определения значений пределов вращения в полях From и To («От» и «До»). Наша рабочая сцена не очень подходит для экспериментов с ограничениями пределов скольжения и вращения, поэтому создайте новую сцену из трех цилиндров разного диаметра, размещенных друг на друге так, чтобы вверху был цилиндр самого большого радиуса (он должен оказаться в начале координат), а внизу - самого малого (рис. 18). Высота всех цилиндров одинакова и равна 30. Свяжите их в иерархическую цепочку, начиная данный процесс сверху так, чтобы в итоге в роли Root-объекта оказался нижний цилиндр (рис. 19).

Выделите нижний цилиндр и назначьте цепи контроллер HI Solver , применив команду Animation =>IK Solvers =>HI Solver и указав в качестве конечного эффектора верхний цилиндр. Выделите верхний цилиндр и на закладке IK панели Hierarchy в свитке Rotational Joints удалите флажки Active для всех трех осей, а в свитке Sliding Joint s включите флажок Active для оси Z . Аналогичную операцию проведите в отношении среднего цилиндра, а для нижнего цилиндра запретите вообще все виды Joint s-трансформаций. После этого попробуйте подвигать верхний цилиндр вверх и вниз - после установленных для него разрешений он будет перемещаться относительно оси Z (рис. 20) и без каких-либо ограничений может двигаться вверх и вниз бесконечно далеко. Теперь настроим для цилиндров пределы ограничений для их перемещения вдоль оси Z , чтобы верхний цилиндр вначале полностью погружался в средний, а затем средний - в нижний. То есть в итоге должна получиться некая имитация складной трубы (например, подзорной). Легче всего подобрать соответствующие ограничения с визуальным контролем пределов, что возможно при увеличении и уменьшении мышью при нажатой клавише Ctrl соответствующих значений в полях, расположенных справа от полей ввода (пока без включения флажка Limited ). В этом случае текущее состояние цилиндров будет сразу же отображаться в активном окне проекций. Выделите верхний цилиндр и таким способом (то есть изменяя параметры при нажатой клавише Ctrl) убедитесь, что его исходное положение (то есть когда он занимает свое первоначальное положение) соответствует значению From , равному 30, а конечное (когда данный цилиндр полностью погрузился в нижний цилиндр) - значению To , равному 0. Аналогичным образом подберите значения ограничений для среднего цилиндра, которые для поставленной задачи окажутся точно такими же. Включите соответствующие флажки Limited (рис. 21), и вы увидите, что при перемещении верхнего цилиндра наша «подзорная труба» действительно будет складываться задуманным образом (рис. 22). Сохраните рабочую сцену в файл. Анимируйте перемещение цилиндров: активируйте режим автоматической генерации ключей, перетащите ползунок на последний кадр, переместите верхний цилиндр так, чтобы он полностью погрузился в нижний, и отключите режим автоматической генерации ключей. Сохраните сцену в файл (позже он нам потребуется).

Рис. 21. Окончательный вид свитка SlidingJoints для верхнего и среднего цилиндров

При желании соединение объектов можно сделать более плавным, включив для соответствующих Joints-ограничений флажок Ease (данная возможность часто применяется для анимации «мягких» моделей). Для примера осуществите это для верхнего и среднего цилиндров (рис. 23). После этого эффект перемещения цилиндров при анимации станет более мягким, так как средний цилиндр будет начинать движение не при достижении верхним цилиндром своего нижнего предела, а чуть раньше.

Прямая и инверсная кинематика - это два разных способа вращения суставов в цепи. Из них более простым и требующим меньших вычислительных затрат является прямая кинематика (Forward Kinematics - FK), но при этом она лишена многих интуитивно по­ нятных возможностей управления, которыми обладает инверсная кинематика (Inverse Kinematics - IK), обеспечивающая вращение суставов по цепи.

В случае прямой кинематики каждый сустав просто поворачивается вручную, как это было сделано в предыдущем разделе с примером скелета. При повороте корневого суста­ ва цепи (например, плечевого сустава) вращательное движение передается по цепи сус­ тавов дальше вниз и перемещает все дочерние суставы. На рис. 8.9 представлена создан­ ная в предыдущем разделе структура руки с повернутым суставом плеча. Хотя создать такое движение относительно несложно и в Майя просто рассчитать его, для располо­ женных ниже по цепи суставов оно недостаточно точное. Если, например, необходимо прикоснуться запястьем к другому объекту, то сначала необходимо повернуть плечо, по­ том локоть, а потом, возможно, настроить поворот обоих суставов так, чтобы в точности

получить необходимое движение. И этот способ не только занимает больше времени для перемещения конечности. Так как вращение корневого сустава иерархии перемещает всю иерархию, в этом примере сустав запястья будет перемещаться при перемещении любых других расположенных выше по иерархии суставов, в результате чего по ходу анимации он будет плавно двигаться вокруг своей оси. Такой эффект определенно неже­ лателен, а управление им занимает много времени и сил. С другой стороны, прямая ки­ нематика идеальна для создания дугообразных движений, как у рук при плавании или ног при выполнении гимнастического упражнения "колесо", так что это средство имеет смысл держать в арсенале оснащения персонажей.

В то же время инверсная кинематика намного более сложная математически, но вместе с тем предусматривает точную регулировку суставов конечностей и, когда остальная часть иерархии уже установлена, помогает управлять движением этих суставов. В инверсной ки­ нематике движение сустава конечности (на самом деле управляющего положением сустава маркера (handle)) приводит к повороту суставов вверх по цепи, поэтому движение распро­ страняется по цепи в обратном (backward), или инверсном (inverse), направлении.

Инверсная кинематика использует маркеры инверсной кинематики (IK handle), или просто маркеры IK, и решатели инверсной кинематики (IK solver), или просто решатели IK. Маркер инверсной кинематики проходит по суставам, на которые распространяется его влияние, эти суставы называют цепью управляемой инверсной кинематикой (IK chain), и сквозь эту же цепь проходит линия маркера (handle wire). Управляющий вектор (handle vector) выходит из начального сустава и заканчивается в конечном, в ко­ тором располагается конечный исполнительный элемент (end effector). После добавления решателя IK в рассмотренную в предыдущем примере цепь суставов можно будет ани- мировать простым перемещением сустава запястья. При этом плечо и локоть будут вра­ щаться так, чтобы вся рука двигалась правильно, как показано на рис. 8.10.

Рис. 8.9. Прямая кинематика: при Рис. 8.10. Перемещение цепи сус- повороте сустава, старшего в тавов с помощью перемещения ко- иерархии, перемещается вся цепь печного исполнительного элемента суставов маркера инверсной кинематики

Чтобы выполнить правильный поворот всех суставов (от начального до конечного) цепи, управляемой инверсной кинематикой, при котором конечный сустав окажется на месте конечного исполнительного элемента, решатель IK обращается к позиции конеч­ ного исполнительного элемента цепи и выполняет необходимые вычисления. Когда ко­ нечный исполнительный элемент перемещается, решатель IK преобразует значения его перемещений в значения поворотов суставов и суставы соответственно обновляются. Обычно управляемая инверсной кинематикой цепь распространяется только на три сус-

тава, но суставов в ней может быть и больше, особенно если используется маркер инверс­ ной кинематики сплайна (IK Spline handle), который управляет лежащими в его основе суставами с помощью кривой. Среди реализованных в Maya решателей инверсной кине­ матики можно выделить четыре (и соответствующие типы инверсной кинематики): ре­ шатель ikrP для расчета инверсной кинематики вращения плоскости (IK rotat e Plane), решатель ikSC для расчета инверсной кинематики простой цепи (IK Single Chain), реша­ тель ikSpline для расчета инверсной кинематики сплайна (IK Spline) и решатель ikSpring для расчета инверсной кинематики пружины (IK Spring). Каждый тип реша­ теля IK имеет собственный тип маркера IK.

Градиентный спуск

На графике ниже показан стандартный случай, в котором градиентный спуск будет успешным. В этом простейшем примере у нас есть функция. Она получает один параметр (ось X) и возвращает значение ошибки (ось Y). Мы начинаем со случайной точки на оси X (синяя и зелёная точки). Градиентный спуск должен заставить нас двигаться в направлении минимума (синяя и зелёная стрелки).

Если мы будем смотреть на функцию в целом, то направление движения очевидно. К сожалению, градиентный спуск не имеет заранее информации о том, где находится минимум. Лучшей догадкой, которую может допустить алгоритм, станет движение по направлению к склону, также называемом градиентом функции. Если вы находитесь на горе, отпустите мяч, и он сам достигнет долины. На графике ниже показан градиент функции ошибок в двух разных точках.

Насколько хорошо выглядит рельеф?

Чтобы градиентный спуск был эффективным, минимизируемая нами функция должна удовлетворять определённым требованиям. Если рельеф функции относительно плавный, то вероятность успешного применения градиентного спуска выше. Если у функции есть разрывы или множество максимумов, то это особенно сложно, потому что для достижения дна долины потребуется гораздо более долгое путешествие.

Вот как может выглядеть рельеф для робота-манипулятора с двумя соединениями (управляемыми и ):

Оценка градиента

Во всех таких случаях невозможно найти истинную производную функции. Решением является приблизительная оценка её значения. На графике ниже показано, как она находится в одном измерении. Дискретной выборкой близлежащих точек можно приблизительно получить локальный градиент функции. Если функция ошибок меньше слева, то мы двигаемся влево, если справа - то вправо.

В чём разница между градиентом и производной?

Понятия градиента и произвольной тесно связаны.

Градиент или косая производная функции - это вектор, указывающий в направлении наискорейшего подъёма. В случае одномерных функций (как на наших графиках) градиент равен или , если функция идёт вверх, или , если функция идёт вниз. Если функция определена через две переменные (например, робот-манипулятор с двумя соединениями), то градиент является «стрелкой» (единичным вектором ) двух элементов, направленным в сторону наискорейшего подъёма.

Производная функции, в отличие от градиента - это просто число, определяющее скорость подъёма функции при движении в направлении градиента.

В этой статье мы не будем стремиться вычислить настоящий градиент функции. Вместо этого мы создадим оценку. Наш приблизительный градиент - это вектор, который, как мы надеемся, указывает в направлении наискорейшего подъёма. Как мы увидим, это необязательно будет единичный вектор.

Насколько важно создание выборки?

Оно очень важно. Выборка близлежащих точек требует оценки функции на определённом расстоянии от текущего положения. Это расстояние критически важно.

Посмотрите на график:

Это расстояние выборки, использованное для оценки градиента, слишком велико. Градиентный спуск ошибочно «предполагает», что правая сторона выше, чем левая. В результате алгоритм будет двигаться в неправильном направлении.

Снижение расстояния выборки позволяет уменьшить эту проблему, но избавиться от неё никогда не удастся. Более того, меньшее расстояние выборки приводит ко всё более медленному приближению к решению.

Эту проблему можно решить с помощью более сложных вариаций градиентных спусков.

Что если у функции есть несколько локальных минимумов?

В общем случае такой «жадный» подход не даёт нам никаких гарантий, что мы на самом деле достигнем самой низкой точки долины. Если есть другие долины, то мы можем застрять в одной из них и не сможем достичь нашей истинной цели.

С учётом изложенного выше наивного описания градиентного спуска мы можем заметить, что именно это произойдёт с функцией на графике выше. У этой функции есть три локальных минимума , создающих три отдельные долины. Если мы инициализируем градиентный спуск в точке из зелёной области, то он закончится на дне зелёной долины. То же самое относится к красной и синей областям.

Все эти проблемы тоже можно решить с помощью усложнённых вариаций градиентного спуска.

Математика

С математической точки зрения производная функции называется . Её значение в точке равно , и оно показывает, насколько быстро растёт функция. Согласно ей:

Идея заключается в том, чтобы использовать оценку для вычисления градиента, обозначаемого . Математически определяется как:

На графике ниже показано, что это значит:

В нашем случае для оценки производной нам нужно выполнить выборку функции ошибок в двух разных точках. Небольшое расстояние между ними - это расстояние выборки , о котором мы говорили в предыдущем разделе.

Подведём итог. Для вычисления истинной производной функции необходимо использовать предел. Наш градиент является приблизительной оценкой производной, созданной с помощью достаточно небольшого расстояния выборки:

В следующем разделе мы увидим, чем эти два понятия отличаются при нескольких переменных.

Найдя приблизительную производную, нам нужно двигаться в противоположном направлении, чтобы спуститься по функции вниз. Это значит, что нужно обновить параметр следующим образом:

Константу часто называют learning rate . Она определяет, как быстро мы будем двигаться по градиенту. Чем больше значения, тем быстрее найдётся решение, но тем больше вероятность пропустить его.

lim?

Если вы не изучали математический анализ, то можете быть не знакомы с понятием пределов . Пределы - это математическое средство, позволяющее нам достичь бесконечности .

Рассмотрим наш условный пример. Чем меньше расстояние выборки , тем лучше мы можем оценить истинный градиент функции. Однако мы не можем задать , потому что деление на ноль не разрешено. Пределы позволяют нам обойти эту проблему. Мы не можем делить на ноль, но с помощью пределов мы можем задать число, условно близкое к нулю, но на самом деле ему не равное.

Несколько переменных

Функция с одним параметром соответствует роботу-манипулятору с единственным сочленением. Если мы хотим выполнить градиентный спуск для более сложных манипуляторов, то необходимо задать градиент функций с несколькими переменными. Например, если у нашего робота-манипулятора есть три сочленения, то функция будет больше похожа на . В таком случае градиент - это вектор, состоящий из трёх чисел, показывающих локальное поведение в трёхмерном пространстве его параметров.

Мы можем ввести понятие частных производных , которые, в сущности, являются «традиционными» производными, вычисляемыми для каждой из переменных:

Они представляют собой три различных скалярных числа, каждое из которых показывает, как растёт функция в определённом направлении (или по оси). Для вычисления общего градиента мы аппроксимируем каждую частную производную соответствующим градиентом с помощью достаточно малых расстояний выборки , и :

Для нашего градиентного спуска мы будем в качестве градиента использовать вектор, содержащий в себе все три результата:

Это не единичный вектор!

Косая производная функции - это единичный вектор, показывающий направление наискорейшего подъёма. Направления - это векторы единичной длины. Однако можно легко заметить, что вычисленный градиент необязательно является единичным вектором.

Хотя это и может выглядеть как насилие над математикой (а возможно, так оно и есть!), но при этом оно не обязательно станет проблемой для нашего алгоритма. Нам нужен вектор, указывающий в направлении наискорейшего подъёма. Использование приблизительных значений частных производных в качестве элементов такого вектора удовлетворяет нашим ограничениям. Если нам нужно, чтобы это был единичный вектор, то можно просто нормализовать его, поделив на его длину.

Использование единичного вектора даёт нам преимущество определения максимальной скорости, с которой мы движемся по поверхности. Эта скорость является learning rate . Использование ненормализованного вектора означает, что мы будем быстрее или медленнее, в зависимости от наклона . Это не хорошо и не плохо, это просто ещё один подход к решению нашей проблемы.

Часть 5. Инверсная кинематика для робота-манипулятора

Введение

Для этого мы сначала вычислим градиент функции при текущем . Градиент - это вектор, показывающий направление наискорейшего подъёма. Проще говоря, это стрелка, указывающая нам направление, в котором растёт функция. Каждый элемент градиента - это приблизительное значение частной производной .

Например, если у робота-манипулятора есть три сочленения, то у нас будет функция , получающая три параметра: , и . Тогда наш градиент задаётся как:

А , и - достаточно малые значения.

Мы получили приблизительный градиент . Если мы хотим минимизировать , то необходимо двигаться в противоположном направлении. Это означает обновление , и следующим образом:

Где - это learning rate , положительный параметр, управляющий скоростью удаления от поднимающегося градиента.

Реализация

Public float PartialGradient (Vector3 target, float angles, int i) { // Сохраняет угол, // который будет восстановлен позже float angle = angles[i]; // Градиент: / h float f_x = DistanceFromTarget(target, angles); angles[i] += SamplingDistance; float f_x_plus_d = DistanceFromTarget(target, angles); float gradient = (f_x_plus_d - f_x) / SamplingDistance; // Восстановление angles[i] = angle; return gradient; }
При вызове этой функции она возвращает одно число, определяющее, как изменяется расстояние от цели как функция от поворота сочленения.

Нам нужно обработать в цикле все сочленения, вычисляя их влияние на градиент.

Public void InverseKinematics (Vector3 target, float angles) { for (int i = 0; i < Joints.Length; i ++) { // Градиентный спуск // Обновление: Solution -= LearningRate * Gradient float gradient = PartialGradient(target, angles, i); angles[i] -= LearningRate * gradient; } }
Многократный вызов InverseKinematics перемещает робот-манипулятор ближе к целевой точке.

Преждевременное завершение

Так происходит потому, что мы обновляем углы слишком часто, и это приводит к «перелёту» через истинную точку. Правильным решением этой проблемы будет использование адаптивного learning rate, изменяющегося в зависимости от близости к решению. Более дешёвая альтернатива - останавливать алгоритм оптимизации, если мы ближе, чем определённое пороговое значение:

< DistanceThreshold) return; for (int i = Joints.Length -1; i >= 0; i --) { // Градиентный спуск // Обновление: Solution -= LearningRate * Gradient float gradient = PartialGradient(target, angles, i); angles[i] -= LearningRate * gradient; // Преждевременное завершение if (DistanceFromTarget(target, angles) < DistanceThreshold) return; } }
Если мы будем повторять эту проверку после каждого поворота сочленения, мы выполним минимальное количество требуемых движений.

Чтобы ещё больше оптимизировать движение манипулятора, мы можем применить градиентный спуск в обратном порядке. Если мы начнём с конечного звена, а не с основания, то это позволит нам совершать более короткие движения. В целом, эти небольшие хитрости позволяют приблизиться к более естественному решению.

Ограничения

Решение достаточно очевидно. Мы добавим в класс RobotJoint минимальные и максимальные углы:

Using UnityEngine; public class RobotJoint: MonoBehaviour { public Vector3 Axis; public Vector3 StartOffset; public float MinAngle; public float MaxAngle; void Awake () { StartOffset = transform.localPosition; } }
затем нужно убедиться, что мы ограничиваем углы нужным диапазоном:

Public void InverseKinematics (Vector3 target, float angles) { if (DistanceFromTarget(target, angles) < DistanceThreshold) return; for (int i = Joints.Length -1; i >= 0; i --) { // Градиентный спуск // Обновление: Solution -= LearningRate * Gradient float gradient = PartialGradient(target, angles, i); angles[i] -= LearningRate * gradient; // Ограничение angles[i] = Mathf.Clamp(angles[i], Joints[i].MinAngle, Joints[i].MaxAngle); // Преждевременное завершение if (DistanceFromTarget(target, angles) < DistanceThreshold) return; } }

Проблемы

Посмотрите на анимацию:

Часть 6. Инверсная кинематика щупалец

Введение

У некоторых существ есть части тела, имеющие несколько степеней свободы. Примером могут служить хобот слона и щупальце осьминога. Моделирование таких частей тела - особо сложная задача, потому что приведённые выше традиционные техники не смогут создать реалистичных результатов.

Мы начнём с примера из предыдущей части и постепенно придём к поведению, которое для наших целей окажется достаточно реалистичным.

Риггинг щупальца

Компонент Unity, позволяющий реализовать эту функцию, называется Skinned Mesh Renderer :

Кости и сочленения

У обычного осьминога каждое сочленение может свободно поворачиваться по всем трём осям. К сожалению, код написанный для робота-манипулятора, позволяет вращать сочленения только по одной оси. Если попытаться изменить это, то мы добавим нашему коду новый уровень сложности. Вместо этого мы можем циклично менять ось сочленений, чтобы сочленение 0 поворачивалось по X, сочленение 1 - по Y, сочленение 2 - по Z, и так далее. Это может привести к неестественному поведению, но такая проблема у вас может никогда не возникнуть, если кости достаточно малы.

В скачиваемом проекте Unity, продаваемом с этим туториалом, скрипт SetRobotJointWeights автоматически инициализирует параметры всех сочленений щупальца. Вы можете делать это вручную, чтобы иметь более точный контроль над движением каждой кости.

Функция комфорта

Щупальце справа минимизирует другую функцию. Функция DistanceFromTarget , использованная для манипулятора, заменена на новую, более сложную функцию. Мы можем заставить эту новую функцию ErrorFunction учитывать и другие параметры, которые нам важны. Показанные в этом туториале щупальца минимизируют три различные функции:

• Расстояние до цели : уже готова
• Поворот конечного звена : конец щупальца пытается соответствовать повороту объекта, к которому мы хотим приблизиться. Такое поведение можно заметить в анимации выше, когда правое щупальце спирально загибается вокруг сферы. Поскольку каждое сочленение имеет ограниченный диапазон движений, это создаёт пульсации, распространяющиеся вниз по кинетической цепи костей. Мы можем заставить щупальце соответствовать повороту объекта, к которому она стремится. Для этого мы можем измерить угол между поворотом конечного звена и поворотом цели. В Unity есть для этого удобная функция - Quaternion.Angle:

  Float rotationPenalty = Mathf.Abs (Quaternion.Angle(EndEffector.rotation, Destination.rotation) / 180f);
  Такое приведение к соответствию с локальным поворотом не всегда подходит. В зависимости от ситуации можно выравнивать щупальце иначе.

• Кручение : держать части тела неестественным образом некомфортно. Этот параметр «штрафует» криволинейные движения, заставляя инверсную кинематику выполнять более линейный, простой поворот. Для вычисления штрафа за кручение нам нужно сначала определить, что же такое «кручение» в данном контексте. Проще всего определить его как среднее углов для всех сочленений. Такой штраф стремится к тому, чтобы щупальце было расслабленным, и «наказывает» решения, требующие большого количества изгибов.

  Float torsionPenalty = 0; for (int i = 0; i < solution.Length; i++) torsionPenalty += Mathf.Abs(solution[i]); torsionPenalty /= solution.Length;

Используем разные единицы измерения?

Эти три параметра, скорее всего, будут выражаться в разных единицах измерения. Расстояние до цели может указываться в метрах, а поворот конечного звена - в градусах. Нужно добавить им веса согласно их важности, чтобы разница в десять градусов не считалась такой же плохой, как расстояние в десять метров до цели.

В идеале их нужно нормализовать между и . После этого можно будет использовать коэффициенты для указания их относительной важности:

Public float ErrorFunction (Vector3 target, float angles) { return NormalisedDistance(target, angles) * DistanceWeight + NormalisedRotation(target, angles) * RotationWeight + NormalisedTorsion (target, angles) * TorsionWeight ; }
Такой подход ещё и обеспечивает более точный контроль за поведением щупальца. В любой момент можно изменить коэффициенты, чтобы менять способ движения в зависимости от ситуации. Например, можно увеличить TorsionWeight , чтобы распутывать запутавшиеся щупальца.

У нас нет аналитического определения!

Традиционную проблему прямой кинематики можно смоделировать аналитически. Это значит, что мы можем вывести уравнение, которое её решает. Мы уже упоминали о существовании аналитических методов решения двойственной проблемы инверсной кинематики.

На данный момент у нас есть функция, которую, возможно, не получится описать аналитически. Если бы мы выбрали традиционный, аналитический подход к решению инверсной кинематики, то нам не удалось бы добавить такие нюансы поведения щупальца. Использование градиентного спуска означает, что теперь мы можем минимизировать (почти!) любую произвольную функцию, есть у неё уравнение или нет.

Усовершенствования

Кроме того, щупальца не должны взаимно пересекаться. Чтобы избежать этого, следует использовать коллайдеры для каждого сочленения. Однако это может привести к причудливому поведению. В нашем коде коллизии игнорируются и он может приблизиться к решению, в котором возникают самопересечения. Решение заключается в изменении функции пригодности, чтобы решения с самопересечением имели высокие штрафы.

[Готовый проект Unity со скриптами и 3D-моделями можно приобрести за 10 долларов на странице Patreon автора оригинала статьи.]