Рассмотрим интегралы с корнем от дробно-линейной функции:
(1) ,
где R - рациональная функция своих аргументов. То есть функция, составленная из входящих в нее аргументов и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения и деления (возведения в целочисленную степень).

Примеры рассматриваемых интегралов с дробно-линейной иррациональностью

Приведем примеры интегралов с корнями вида (1) .

Пример 1

Хотя здесь под знаком интеграла входят корни различных степеней, но подынтегральное выражение можно преобразовать следующим образом:
;
;
.

Таким образом, подынтегральное выражение составлено из переменной интегрирования x и корня от линейной функции с помощью конечного числа операций вычитания, деления и умножения. Поэтому оно является рациональной функцией от x и и принадлежит рассматриваемому типу (1) со значениями постоянных n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Пример 2

Здесь мы выполняем преобразование:
.
Отсюда видно, что подынтегральное выражение является рациональной функцией от x и . Поэтому принадлежит рассматриваемому типу.

Общий пример дробно-линейной иррациональности

В более общем случае, в подынтегральное выражение может входить любое конечное число корней от одной и той же дробно-линейной функции:
(2) ,
где R - рациональная функция своих аргументов,
- рациональные числа,
m 1 , n 1 , ..., m s , n s - целые числа.
Действительно, пусть n - общий знаменатель чисел r 1 , ..., r s . Тогда их можно представить в виде:
,
где k 1 , k 2 , ..., k s - целые числа. Тогда все входящие в (2) корни являются степенями от :
,
,
. . . . .
.

То есть все подынтегральное выражение (2) составлено из x и корня с помощью конечного числа операций сложения, умножения и деления. Поэтому оно является рациональной функцией от x и :
.

Метод интегрирования корней

Интеграл с дробно-линейной иррациональностью
(1)
сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
(3) .

Доказательство

Извлекаем корень степени n из обеих частей (3) :
.

Преобразуем (3) :
;
;
.

Находим производную:

;
;
.
Дифференциал:
.

Подставляем в (1) :
.

Отсюда видно, что подынтегральная функция составлена из постоянных и переменной интегрирования t с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения (возведения в целочисленную степень) и деления. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией от переменной интегрирования. Таким образом, вычисление интеграла свелось к интегрированию рациональной функции. Что и требовалось доказать.

Пример интегрирования линейной иррациональности

Найти интеграл:

Решение

Поскольку в интеграл входят корни от одной и той же (дробно) линейной функции x + 1 , и подынтегральное выражение образовано с помощью операций вычитания и деления, то данный интеграл принадлежит рассматриваемому типу.

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы в него входили корни одной степени:
;
;
.

Делаем подстановку
x + 1 = t 6 .
Берем дифференциал:
d(x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt .
Подставляем:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Выделяем целую часть дроби, замечая что
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1) .
Тогда

.

Ответ

,
где .

Пример интегрирования дробно-линейной иррациональности

Найти интеграл

Решение

Выделим корень из дробно-линейной функции:
.
Тогда
.
Делаем подстановку
.
Берем дифференциал
.
Находим производную
.
Тогда
.
Далее замечаем, что
.
Подставляем в подынтегральное выражение


.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Продолжаем рассматривать интегралы от дробей и корней. Не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

.

Замена тут простая:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.

(2) Выносим из-под корня.

(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем мы переставили слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.

(4) Полученный интеграл, как вы помните, решается методом выделения полного квадрата . Выделяем полный квадрат.

(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.

(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .

(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Пример 10

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

.

Единственное, что нужно, - это дополнительно выразить «икс» из проводимой замены:

.

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл

Пример 12

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом , решение которого рассматривалось на уроке Интегралы от иррациональных функций .

Интеграл от неразложимого в знаменателе многочлена 2-ой степени в степени

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваем, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:

Вернёмся к примеру со счастливым номером 13. Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Для интеграла вида

где (k ≥ 2) – натуральное число, выведена рекуррентная формула понижения степени:

; – это интеграл степенью ниже на 1.

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Если такой интеграл встретится, смотрите учебник – там всё просто.

Универсального способа решения иррациональных уравнений нет, так как их класс отличается количеством. В статье будут выделены характерные виды уравнений с подстановкой при помощи метода интегрирования.

Для использования метода непосредственного интегрирования необходимо вычислять неопределенные интегралы типа ∫ k x + b p d x , где p является рациональной дробью, k и b являются действительными коэффициентами.

Пример 1

Найти и вычислить первообразные функции y = 1 3 x - 1 3 .

Решение

По правилу интегрирования необходимо применить формулу ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C , а таблица первообразных говорит о том, что имеется готовое решение данной функции. Получаем, что

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 · 1 - 1 3 + 1 · (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C

Ответ: ∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Имеют место быть случаи, когда можно использовать метод подведения под знак дифференциала. Это решается по принципу нахождения неопределенных интегралов вида ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , когда значение p считается рациональной дробью.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Решение

Отметим, что d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 " d x = (3 x 2 + 5) d x . Тогда необходимо произвести подведение под знак дифференциала с использованием таблиц первообразных. Получаем, что

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 · (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Ответ: ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Решение неопределенных интегралов предусматривает формулу вида ∫ d x x 2 + p x + q , где p и q являются действительными коэффициентами. Тогда необходимо выделить полный квадрат из-под корня. Получаем, что

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Применив формулу, расположенную в таблице неопределенных интегралов, получаем:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Тогда вычисление интеграла производится:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Пример 3

Найти неопределенный интеграл вида ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Решение

Для вычисления необходимо вынести число 2 и расположить его перед радикалом:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Произвести выделение полного квадрата в подкоренном выражении. Получим, что

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Тогда получаем неопределенный интеграл вида 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Ответ: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Интегрирование иррациональных функций производится аналогичным способом. Применимо для функций вида y = 1 - x 2 + p x + q .

Пример 4

Найти неопределенный интеграл ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Решение

Для начала необходимо вывести квадрат знаменателя выражения из-под корня.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Табличный интеграл имеет вид ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C , тогда получаем, что ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C

Ответ: ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Процесс нахождения первообразных иррациональных функций вида y = M x + N x 2 + p x + q , где имеющиеся M , N , p , q являются действительными коэффициентами, причем имеют схожесть с интегрированием простейших дробей третьего типа. Это преобразование имеет несколько этапов:

подведение дифференциала под корень, выделение полного квадрата выражения под корнем, применение табличных формул.

Пример 5

Найти первообразные функции y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 .

Решение

Из условия имеем, что d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x и x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 , тогда (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Рассчитаем интеграл: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 · 1 - 1 2 + 1 · x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Ответ: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Поиск неопределенных интегралов функции ∫ x m (a + b x n) p d x осуществляется при помощи метода подстановки.

Для решения необходимо ввести новые переменные:

1. Когда число p является целым, тогда считают, что x = z N , а N является общим знаменателем для m , n .
2. Когда m + 1 n является целым числом, тогда a + b x n = z N , а N является знаменателем числа p .
3. Когда m + 1 n + p является целым числом, то необходим ввод переменной a x - n + b = z N , а N является знаменателем числа p .

Найти определенный интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Получаем, что ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Отсюда следует, что m = - 1 , n = 1 , p = - 1 2 , тогда m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 является целым числом. Можно ввести новую переменную вида - 9 + 2 x = z 2 . Необходимо выразить x через z . На выходы получим, что

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Необходимо произвести подстановку в заданный интеграл. Имеем, что

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Ответ: ∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Для упрощения решения иррациональных уравнений применяются основные методы интегрирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Под иррациональным понимают выражение, в котором независимая переменная %%x%% или многочлен %%P_n(x)%% степени %%n \in \mathbb{N}%% входят под знак радикала (от латинского radix — корень), т.е. возводятся в дробную степень. Некоторые классы иррациональных относительно %%x%% подынтегральных выражений заменой переменной удается свести к рациональным выражениям относительно новой переменной.

Понятие рациональной функции одной переменной можно распространить на несколько аргументов. Если над каждым аргументом %%u, v, \dotsc, w%% при вычислении значения функции предусмотрены лишь арифметические действия и возведение в целую степень, то говорят о рациональной функции этих аргументов, которую обычно обозначают %%R(u, v, \dotsc, w)%%. Аргументы такой функции сами могут быть функциями независимой перменной %%x%%, в том числе и радикалами вида %%\sqrt[n]{x}, n \in \mathbb{N}%%. Например, рациональная функция $$ R(u,v,w) = \frac{u + v^2}{w} $$ при %%u = x, v = \sqrt{x}%% и %%w = \sqrt{x^2 + 1}%% является рациональной функцией $$ R\left(x, \sqrt{x}, \sqrt{x^2+1}\right) = \frac{x + \sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2 + 1}} = f(x) $$ от %%x%% и радикалов %%\sqrt{x}%% и %%\sqrt{x^2 + 1}%%, тогда как функция %%f(x)%% будет иррациональной (алгебраической) функцией одной независимой переменной %%x%%.

Рассмотрим интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%%. Такие интегралы рационалируются заменой переменной %%t = \sqrt[n]{x}%%, тогда %%x = t^n, \mathrm{d}x = nt^{n-1}%%.

Пример 1

Найти %%\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}%%.

Подынтегральная функция искомого аргумента записана как функция от радикалов степени %%2%% и %%3%%. Так как наименьшее общее кратное чисел %%2%% и %%3%% равно %%6%%, то данный интеграл является интегралом типа %%\int R(x, \sqrt{x}) \mathrm{d}x%% и может быть рационализирован посредством замены %%\sqrt{x} = t%%. Тогда %%x = t^6, \mathrm{d}x = 6t \mathrm{d}t, \sqrt{x} = t^3, \sqrt{x} =t^2%%. Следовательно, $$ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \int \frac{6t^5 \mathrm{d}t}{t^3 + t^2} = 6\int\frac{t^3}{t+1}\mathrm{d}t. $$ Примем %%t + 1 = z, \mathrm{d}t = \mathrm{d}z, z = t + 1 = \sqrt{x} + 1%% и $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} &= 6\int\frac{(z-1)^3}{z} \mathrm{d}t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm{d}z + 18\int \mathrm{d}z -6\int\frac{\mathrm{d}z}{z} = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt{x} + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left(\sqrt{x} + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt{x} + 1\right| + C \end{array} $$

Интегралы вида %%\int R(x, \sqrt[n]{x}) \mathrm{d}x%% являются частным случаем дробно линейных иррациональностей, т.е. интегралов вида %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}\right) \mathrm{d}x%%, где %%ad - bc \neq 0%%, которые допускают рационализацию путем замены переменной %%t = \sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cd+d}}%%, тогда %%x = \dfrac{dt^n - b}{a - ct^n}%%. Тогда $$ \mathrm{d}x = \frac{n t^{n-1}(ad - bc)}{\left(a - ct^n\right)^2}\mathrm{d}t. $$

Пример 2

Найти %%\displaystyle\int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\dfrac{\mathrm{d}x}{x + 1}%%.

Примем %%t = \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}%%, тогда %%x = \dfrac{1 - t^2}{1 + t^2}%%, $$ \begin{array}{l} \mathrm{d}x = -\frac{4t\mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}, \\ 1 + x = \frac{2}{1 + t^2}, \\ \frac{1}{x + 1} = \frac{1 + t^2}{2}. \end{array} $$ Следовательно, $$ \begin{array}{l} \int \sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}}\frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \\ = \frac{t(1 + t^2)}{2}\left(-\frac{4t \mathrm{d}t}{\left(1 + t^2\right)^2}\right) = \\ = -2\int \frac{t^2\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2\int \mathrm{d}t + 2\int \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \\ = -2t + \text{arctg}~t + C = \\ = -2\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + \text{arctg}~\sqrt{\dfrac{1 -x}{1 + x}} + C. \end{array} $$

Рассмотрим интегралы вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%%. В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным, если после выделения полного квадрата сделать замену переменных.

Пример 3

Найти интеграл %%\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}}%%.

Учитывая, что %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, примем %%t = x + 2, \mathrm{d}x = \mathrm{d}t%%, тогда $$ \begin{array}{ll} \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} &= \int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t^2 + 1}} = \\ &= \ln\left|t + \sqrt{t^2 + 1}\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}\right| + C. \end{array} $$

В более сложных случаях для нахождения интегралов вида %%\int R\left(x, \sqrt{ax^2 + bx + c}\right) \mathrm{d}x%% используются

Готовые ответы по интегрированию функций взяты из контрольной работы для студентов 1, 2 курсов математических факультетов. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись условия заданий выписывать не будем. Вам и так известно, что в задачах нужно или "Найти интеграл", или "Вычислить интеграл". Поэтому если Вам нужны ответы по интегрированию то начинайте изучать следующие примеры.

Интегрирование иррациональных функций

Пример 18. Выполняем замену переменных под интегралом. Для упрощения вычислений за новую переменную выбираем не только корень, а весь знаменатель. После такой замены интеграл преобразуется к сумме двух табличных интегралов, которые и упрощать не надо

После интегрирования вместо переменной подставляем замену.
Пример 19. На интегрирования этой дробной иррациональной функции потрачено много времени и места и даже не знаем, сможете ли Вы что-то разобрать с планшета или телефона. Чтобы избавиться от иррациональности, а тут имеем дело с корнем кубическим за новую переменную выбираем корневую функцию в третьем степени. Далее находим дифференциал и заменяем предыдущую функцию под интегралом

Больше всего времени занимает расписание новой функции на степенные зависимости и дроби

После преобразований часть интегралов находим сразу, а последний расписываем на два которые превращаем согласно табличных формул интегрирования

После всех вычислений не забываем вернуться к выполненной в начале замене

Интегрирование тригонометрических функций

Пример 20. Нужно найти интеграл от синуса в 7 степени. Согласно правилам один синус нужно загнать в дифференциал (получим дифференциал косинуса), а синус в 6 степени расписать через косинус. Таким образом придем к интегрированию от функции новой переменной t = cos (x). При этом придется подносить разницу к кубу, а потом уже интегрировать



В результате получим полином 7 порядке от косинуса.
Пример 21. В этом интеграле необходимо косинус 4 степени за тригонометрическими формулами расписать через зависимость от косинуса в первой степени. Далее применяем табличную формулу интегрирования косинуса.


Пример 22. Под интегралом имеем произведение синуса на косинус. Согласно тригонометрическим формулам произведение расписываем через разницу синусов. Как получили эту дужку, можно понять из анализа коэффициентов при «икс». Далее интегрируем синусы

Пример 23. Здесь имеем в знаменателе одновременно и синус и косинус функцию. Причем тригонометрические формулы упростить зависимость не помогут. Для нахождения интеграла применим универсальную тригонометрическую замену t=tan(x/2)

Из записи видно что знаменатели сократятся и получим в знаменателе дроби квадратный трехчлен. В нем выделяем полный квадрат и свободную часть. После интегрирования придем к логарифму от разницы простых множителей знаменателя. Для упрощения записи и числитель и знаменатель под логарифмом умножили на двойку.

В конце вычислений вместо переменной подставляем тангенс половины аргумента.
Пример 24. Для интегрирования функции вынесем квадрат косинуса за скобки, а в скобках вычтем и добавим единицу чтобы получить котангенс.

Дальше за новую переменную выбираем котангенс u = ctg (x) , ее дифференциал нам даст нужный для упрощения множитель. После подстановки придем к функции которая при интегрировании дает арктангенс.

Ну и не забываем поменять u на котангенс.
Пример 25. В последнем задании контрольной работы нужно проинтегрировать котангенс двойного угла в 4 степени.


На этом контрольная работа на интегрирование решена, причем ни один преподаватель к ответам и обоснованию преобразований не придерется.
Если научитесь так интегрировать, то тесты или срезы по теме интегралы для Вас не страшны. Все остальные имеют возможность научиться или заказать решения интегралов у нас (или наших конкурентов :))) .