Вопросы:

1. Расчёт методом непосредственного применения закона Кирхгофа.
2. Расчёт методом контурных токов.
3. Расчёт методом суперпозиции.
4. Расчёт методом узловых напряжений.
5. Расчёт методом эквивалентного генератора.

Ход лекции:

I. Расчёт методом применения закона Кирхгофа.

1. Определяем кол-во узлов и ветвей.

1. Произвольно зададим направление токов всех ветвей.
2. Составляем уравнение по первому закону Кирхгофа для каждого независимого узла: k-1=3.

Для точки А: I 1 -I 3 -I 2 =0

Для точки В: I 3 +I 5 -I 4 =0

Для точки D: I 4 -I 1 +I 67 =0

1. Недостающие уравнения: m-(k-1)=3 составляем по второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура:

E 1 =I 3 R 3 +I 4 R 4 +I 1 R 1

E 2 -E 5 = -I 3 R 3 +I 2 R 2 +I 5 *0

E 5 = I 67 (R 6 +R 7)-I 4 R 4

1. Решая систему уравнений находим неизвестные токи в ветвях.
2. По результатам полученных численно значений токов выполняем действия:

1). Уточняем направление тока в ветвях: если ток отрицательный, то пишем примечание – реальное направление тока противоположено показанному на схеме.

2). Определяем режим работы источника питания: если направление ЭДС и реального тока совпадают, то режим источника питания – режим генератора, если направление ЭДС и реального тока противоположно, то это режим потребителя.

7. Проверка решения – проверка уравнения баланса мощностей: алгебраическая сумма мощностей источников равна арифметической сумме мощностей нагрузок

Если направление ЭДС и реального тока совпадают, то Р ист =EI (>0), если направление ЭДС и реального тока не совпадают, то Р ист = -EI (<0).

Можность нагрузки Р потр =I n 2 R n

Итак, уравнение баланса мощностей для нашей схемы:

E 1 I 1 +E 2 I 2 -E 5 I 5 =I 1 2 R 1 +I 2 2 R 2 +I 3 2 R 3 +I 2 4 R 4 +I 2 67 (R 6 +R 7)

Итак, если поле подстановки численных значений величин уравнения баланса обращается в тождество, то задача решена верно.

Достоинство метода: Его простота.

Недостатки метода: Большое количество совместно решаемых уравнений для сильно разветвленных цепей.

Поэтому метод применяется для расчета сложных цепей на компьютерах, в ручную не рекомендуется.

II. Расчёт методом контурных токов.

1. Определение кол-ва узлов К=4, m=6
2. Находим независимые контуры и для каждого задаётся произвольно положительное направление контурного тока. Контурный ток – ток, обтекающий ветви своего независимого контура.
3. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, учитывая все контурные токи, протекающие по ветвям выбранного контура.

I: E 1 =I k1 I(R 1 +R 3 +R 4)-I k2 R 3 -I k3 R 4

II: E 2 -E 5 =I k2 (R 2 +R 3)-R 3 I k1 -I k3 R 5

III. E 5 = I k3 (R 4 +R 6 +R 7)-I k1 R 4 -I k2 0

1. Решая систему уравнений например, методом Крамера, найдём контурные токи:

I k 1 =Δ 1 /Δ I k 2 = Δ 2 /Δ I k 3 =Δ 3 /Δ

Δ – коэффициент при контурных токах

R 1 +R 3 +R 4 -R 3 -R 4

Δ= -R 3 R 2 +R 3 0

R 4 0 R 4 +R 6 +R 7

Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 получают заменой к-того столбца на левую часть уравнений.

1. Произвольно обозначаем направление токов в ветвях.
2. Выражаем токи в ветвях через алгебраическую сумму прилегающих контурных токов: контурный ток, совпадающий с током в ветви, записывают с плюсом.

I 1 =I k1 I 4 =I k1 -I k3

I 2 =I k2 I 5 =I k2 -I k3

I 3 =I k 1 -I k 2 I 67 =I k 3

1. по полученным значениям уточняем реальные направления токов в ветвях и определяем режимы работ.
2. Проверка режимов баланса мощностей.

Достоинства метода: более короткий алгоритм

Недостатки метода: необходимо знание этого алгоритма.

Область применения: очень широкая для расчёта тока в разветвленных ветвях.

III. Расчёт методом суперпозиции.

В электротехнике принцип суперпозиции проявляет себя как принцип независимости действия ЭДС. Согласно этому принципу каждая ЭДС возбуждает в любой ветви свою долю тока – частичный ток. Результирующий ток в ветви определяется как алгебраическая сумма частичных токов.

1. Задаём произвольное направление тока в ветвях.
2. Создаём первую частичную схему замещения: из исходной схемы замещения выбрасываем все источники ЭДС, кроме первого, но оставляем их внутреннее сопротивление. Находим частичные токи в ветвях методом свёртки схемы.

1. Создаём вторую частичную схему замещения: выбрасываем все источники ЭДС, кроме второго и оставляем их внутренние сопротивления.

Е 2

R э 2 =R 2 +R 134

1. Создаём третью частичную схему замещения аналогично прошлым.

R э3 = R 12 +R 34

1. Наложив частичные схемы одну на другую, определяем результирующий ток в каждой ветви как алгебраическую сумму частичных токов.

Истинное направление токов на исходной схеме замещения определяем по результатам аналитического расчёта по правилу:

Если значение тока положительно, то направление тока угадано верно, если значение тока отрицательно, то реальное направление тока противоположно.

Алгоритм метода прост, требует знание только закона Ома, однако не производительный, поэтому для полного анализа сложной электрической цепи не применяется. Рекомендуется для частичного анализа цепи.

IV. Расчёт методом узловых напряжений.

В приложении для цепи с параллельными ветвями получил название «метод двух узлов».

1. k=2, m=3
2. Нахождение токов всех ветвей: Задаём произвольно условно положительное направление узлового напряжения между узлами и определяем его по формуле:

, где

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «МАТИ – Российский государственный технологический университет имени К.Э. Циолковского" (МАТИ)

Кафедра “Прикладная матемаика, информационные

технологии и электротехника”

Курсовая работа по модулю 1 "Электротехника"

базовой дисциплины для вузов "Электротехника и электроника"

Анализ и расчёт электрических цепей

1МТМ-2ДБ-035

Прокопенко Д.А. КР6-25

Выполнил: "___" _______2017г.

Сдано преподавателю на проверку "___" июня 2017г.

Проверила: Орешина М.Н. (____________) "___" _______ 2017г.

Москва 2017

1.1. Составить систему расчетных уравнений для определения токов в ветвях схемы, используя оба закона Кирхгофа непосредственно (метод законов Кирхгофа);

1.1.1 На рис. 1 приведена исходная Рис. 1

схем замещения цепи постоянного

тока, параметры которой заданы

1.1.2. Преобразуем схему к удобному виду и произвольно зададим положительные направления токов в ветвях схемы (рис.2).

1.1.3.Составляем часть уравнений расчетной системы, используя только первый закон Кирхгофа. Выбираем q-1 узлов на схеме (данная схема содержит q=4 узла, которые отмечены арабскими цифрами) и для каждого из них составляем уравнение по первому закону Кирхгофа

(узел 1) I 3 -I 5 -I 6 =0

(узел 2) I 5 -I 2 -I 4 =0

(узел 3)I 6 +I 4 +I 1 =0

1.1.4.1. Всего необходимо составить p уравнений в расчетной системе (p - число неизвестных токов, равное числу ветвей на схеме). Поэтому число уравнений, которое необходимо составить, используя второй закон Кирхгофа, равно p-(q-1) (для данной схемы p=6 и p-(q-1)=3 ).

1.1.4.2. Выбираем p-(q-1) независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление обхода контура (отмечено круглыми стрелками на рис.2).

1.1.4.3. Для каждого из выбранных контуров составляем уравнение, используя второй закон Кирхгофа, а также закон Ома (U=IR )

(контур I ). I 3 R 3 +I 5 R 5 +I 2 R 2 =-E 5

(контур II ). -I 4 R 4 -I 5 R 5 +I 6 R 6 =E 5 -E 6

(контур III ). I 2 R 2 +I 1 R 1 -I 4 R 4 =0

1.1.5. Полученные уравнения объединяем в систему, которую упорядочиваем и подставляем известные параметры

0+0+I 3 +0-I 5 -I 6 =0

0-I 2 +0-I 4 +I 5 +0=0

I 1 +0+0+I 4 +0+I 6 =0

0+12I 2 +20I 3 +0+10I 5 +0=-50

0+0+0-8I 4 -10I 5 +15I 6 =-50

16I 1 +12I 2 +0-8I 4 +0+0=0

Найдём с помощью калькулятора матриц значения токов

I 1 = I 2 =I 3 = I 4 =I 5 =

I 6 =

Первый пункт задания 1.1. выполнен.

1.2.1. Используя эквивалентно преобразованную схему (рис.2), произвольно задаем положительное направление реальных токов в каждой ветви схемы (рис.3) (в данном примере они оставлены без изменения).

1.2.2. Выбираем p-(q-1)=3 независимых контуров на схеме, в каждом из них произвольно задаем направление контурного тока I K1 ,I K2 ,I K3 (отмечено круглыми стрелками на рис.3).

1.2.3. Составим систему уравнений для контуров, в каждом из которых алгебраическая сумма ЭДС (контурная ЭДС) равна произведению контуроного тока данной ячейки на сумму всех

сопротивлений ячейки, минус произведения контурных токов соседних ячееек на оответствующие сопротивления общих ветвей.

(К1):-E 5 =(R 2 +R 3 +R 5 )I К1 -R 5 I К2 -R 2 I K3

(К2):E 5 -E 6 =(R 4 +R 5 +R 6 )I K2 -R 4 I K3 -R 5 I K1

(К3):0=(R 1 +R 2 +R 4 )I K3 -R 2 I K1 -R 4 I K2

1.2.4. После подстановки числовых значений имеем

-50=42I K1 -10I K 2 -12I K3

-50=-10I K1 +33I K2 -8I K3

0=-12I K1 -8I K2 +36I K3

1.2.5. Решив эту систему, найдём контурные токи:

I K1 =-2,14 A, I K2 =-2,47 A, I K3 =-1,26 A.

1.2.6. Токи ветвей определим, руководствуясь выбранными направлениями токов ветвей и правилами:

а)токи наружных (не имеющих соседних контуров) ветвей равны соответствующим контурным токам;

б)токи ветвей равны разности контурных токов соседних контуров ячеек:

I 1 =I K3 =-1,26 A,

I 3 =I K1 =-2,14 A,

I 6 =I K2 =-2,47 A,

I 2 =I K1 -I K3 =-2,14-(-1,26)=-0,88

I 4 =I K3 I K2 =-1,26-(-2,47)=1,21

I 5 =I K1 - I K2 =-2,14-(-2,47)=0,33

Второй пункт задания выполнен.

1.3.Проверить правильность расчета, определив токи методом двух узлов (методом узлового напряжения)

Рассматриваемая схема замещения содержит четыре узла, поэтому к заданной схеме метод двух узлов непосредственно не применим.

1.3.1. Используя эквивалентное преобразование участка схемы R 2 , R 4 , R 1 соединенного по схеме «треугольник», в участок R 7 , R 8 , R 9 , соединенный по схеме «звезда» (отмечен на рис. 4 пунктиром), приводим начальную схему к схеме, содержащей два узла (рис.5).

Рис. 4 Рис. 5

Эквивалентно объединяя последовательно соединенные R-элементы в каждой ветви, получаем исходную схему для расчета методом двух узлов (рис. 6).

При этом R 37 =R 3 +R 7 =20+5.3=25.3333 Ω, R 69 =R 6 +R 9 =15+3.5555=18.5555Ω

1.3.2. Произвольно задаем положительное направление токов в ветвях схемы и положительное направление узлового напряжения U 51 (рис. 6)

1.3.3. Рассчитываем проводимости ветвей схемы

.

1.3.4. Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение

Знак слагаемых числителя определяется несовпадением (+) или совпадением

(–) положительного направления и положительного направления ЭДС рассматриваемой ветви.

1.3.5. Рассчитываем неизвестные токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома

I 37 =-U 51 G 37 =-(-54.1676)*0.03947=2.1379 A,

I 58 =(U 51 +E 5)G 85 =(-54.1676+50)*0.07964=0.33 A,

I 69 =(U 51 +E 6)G 69 =(-54.1676+100)*0.5389=2.4699 A.

Проанализируем результаты расчета. На рис. 5 в каждой ветви источник ЭДС и -элементы соединены последовательно. Поэтому токи в этих ветвях равны рассчитанным. Однако участки схемы в окрестности источников не были охвачены преобразованием. Следовательно, в соответствии с условием эквивалентности преобразования участков схем величина этих токов должна остаться такой же, как и до преобразования. Сравниваем по модулю значения токов, рассчитанных настоящим методом и методом контурных токов

Видно, что значения токов практически совпадают. Следовательно, оба расчета проведены корректно. Третий пункт задания выполнен.

1.4.Определить ток, протекающий через R 2 , методом эквивалентного генератора;

1. Разрываем шестую ветвь (рис. 7)

Рис.7. Рис. 8.

и произвольно задаем положительное направление токов в остальных ветвях, положительное направление напряжения холостого хода и напряжениямежду узлами 1 и 3 (рис. 8)

2. Определяем величину . Для этого предварительно рассчитываемметодом двух узлов.

Используя основную формулу метода, определяем узловое напряжение

.

Рассчитываем токи и, используя обобщенный закон Ома

Для контура, включающего , составляем уравнение по второму закону Кирхгофа (направление обхода контура указано круглой стрелкой) и рассчитываем

3. Определяем входное сопротивление схемы со стороны зажимов разомкнутой ветви . Для этого эквивалентно преобразуем участок схемы, соединенный звездой, в участок, соединенный треугольником.

Преобразованная схема будет иметь вид (рис. 10)

Рис. 9. Рис. 10.

.

Используя свойства параллельного последовательного соединения - элементов, определяем

.

4. Определяем искомый ток, используя закон Ома для замкнутой цепи

.

Аналогичный ток, рассчитанный методом контурных токов, составляет

Они практически совпадают. Расчет проведен верно. Четвертый пункт задания выполнен.

ВВЕДЕНИЕ

Тема данной курсовой работы: «Расчёт и анализ электрических цепей».

Курсовой проект, включает в себя 5 разделов:

1)Расчёт электрических цепей постоянного тока.

2)Расчёт не линейных цепей постоянного тока.

3)Решение однофазных линейных электрических цепей переменного тока.

4)Расчёт трёхфазных линейных электрических цепей переменного тока.

5)Исследование переходных процессов в электрических цепях.

Каждое задание включает в себя построение диаграмм.

Задача курсового проекта изучить различные методы расчёта электрических цепей и на основании этих расчётов строить различного вида диаграмм.

В курсовом проекте используются следующие обозначения: R-активное сопротивление, Ом; L - индуктивность, Гн; C - ёмкость, Ф;XL, XC -реактивное сопротивление (ёмкостное и индуктивное), Ом; I - ток, А; U -напряжение, В; E - электродвижущая сила, В; шu,шi - углы сдвига напряжения и тока, град; P - активная мощность, Вт; Q - реактивная мощность, Вар; S - полная мощность, ВА; ц - потенциал, В; НЭ - нелинейный элемент.

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Для электрической цепи (рис.1) выполнить следующее:

1) Составить на основе законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода узловых потенциалов;

4) Составить баланс мощностей;

5) Результаты расчётов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя ЭДС.

Е1=30 В; R4=42 Ом;

Е2=40 В; R5=25 Ом;

R1=16 Ом; R6=52 Ом;

R2=63 Ом; r01=3 Ом;

R3=34 Ом; r02=2 Ом;

R1"=R1+r01=16+3=19 Ом;

R2"=R2+r02=63+2=65 Ом.

Выберем направление токов.

Выберем направление обхода контуров.

Составим систему уравнений по закону Кирхгофа:

E1=I1R1"+I5R5-I4R4

E2=I2R2"+I5R5+I6R6

E2=I4R4+I3R3+I2R2"

Рисунок 1. Схема электрической цепи постоянного тока

Расчет электрических цепей методом контурных токов.

Расставим токи

Выберем направление контурных токов по ЭДС

Составим уравнения для контурных токов:

Ik1 Ч(R1"+R4+R5)-Ik2ЧR4+Ik3R5"=E1

Ik2 Ч(R3+R+R2")-Ik1ЧR4+Ik3Ч=E2

Ik3 Ч(R6+R2"+R5)+Ik1ЧR5+Ik2ЧR2"=E2

Подставим в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений:

Ik1 Ч86-Ik2Ч42-+Ik3Ч25=30

Ik1 Ч42+Ik2Ч141+Ik3Ч65=40

Ik1 Ч(25)+Ik2Ч65+Ik3Ч142=40

Решим систему матричным методом (методом Крамера):

Д1= =5,273Ч105

Д2= =4,255Ч105

Д3= =-3,877Ч105

Рассчитываем Ik:

Выразим токи схемы через контурные:

I2 =Ik2+Ik3=0,482+(-44)=0,438 A

I4 =-Ik1+Ik2=0,482-0,591=-0,109A

I5 =Ik1 + Ik3=0,591+(-0,044)=0,547A

Составим баланс мощностей для заданной схемы:

Pис.=E1I1+E2I2=(30Ч91)+(40Ч38)=35,25 Вт

Рпр.=I12R1"+I22R2"+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=(91)2Ч16+(38)2Ч 63 + (82)2Ч Ч34+(-09)2Ч42+(47)2Ч25+(44)Ч52=41,53 Втц.

1 Расчет электрических цепей методом узловых потенциалов

2 Расставим токи

3 Расставим узлы

4 Составим уравнение для потенциалов:

ц1=(1?R3+1?R4+1?R1")-ц2Ч(1/R3)-ц3-(1/R4)=E1?R1"

ц2Ч(1/R3+1?R6+1?R2")-ц1Ч(1/R3)-ц3(1/R2") =(-E2 ?R2")

ц3Ч(1/R5+1?R4+1?R2")-ц2Ч(1/R2")-ц1Ч(1/R4)=E2?R2"

Подставим численные значения ЭДС и сопротивлений:

ц1Ч0,104-ц2Ч0,029-ц3Ч0,023=1,57

Ц1Ч0,029+ц2Ч0,063-ц3Ч0,015=(-0,61)

Ц1Ч0,023-ц2Ч0,015+ц3Ч0,078=0,31

5 Решим систему матричным методом (методом Крамера):

1= = (-7,803Ч10-3)

2= = (-0,457Ч10-3)

3= = 3,336Ч10-3

6 Рассчитываем ц:

ц2= = (-21Ч103)

7 Находим токи:

I1= (ц4- ц1+E)1?R1"=0,482A

I2= (ц2- ц3+E2) ?R2"=0,49A

I3= (ц1- ц2) ?R3=(-0,64)A

I4= (ц3- ц1) ?R4=(-0,28)A

I5= (ц3- ц4) ?R5= 0,35A

I6= (ц4- ц2) ?R6=(-0,023)A

8 Результаты расчёта токов двумя методами представлены в виде свободной таблицы

Таблица 1 - Результаты вычислений токов двумя методами

Построим потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура включающий ЭДС.

Рисунок 3 - Контур электрической цепи постоянного тока

Е1=30 В; R4=42 Ом;

Е2=40 В; R5=25 Ом;

R1=16 Ом; R6=52 Ом;

R2=63 Ом; r01=3 Ом;

R3=34 Ом; r02=2 Ом;

R1"=R1+r01=16+3=19 Ом;

R2"=R2+r02=63+2=65 Ом.

Вычисляем потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу, зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений.

Если ток совпадает по направлению с обходом значит - , если совпадает с ЭДС значит +.

ц2=ц1-I2R2"= 0 - 0,438 Ч 65 = - 28,47B

ц3=ц2+E2= - 28,47+40=11,53B

ц4=ц3-I4R4 = 11,58-(-4,57)=16,15B

ц4=ц4-I3R3 = 16,15-16,32=-0,17B

Строим потенциальную диаграмму, по оси абсцисс откладываем сопротивление контура, а по оси ординат потенциалы точек с учётом их знаков.

(см. задание КР6- 1)

П1.1. Основные определения. Электрическая цепь - это совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического то­ка, электромагнитные процессы в которых могут быть опи­саны с по­мощью по­нятий об электродвижущей силе, электрическом то­­ке и электрическом напряжении.

Электрический ток - это явление направленного движе­ния свободных носителей электрического заряда q в веществе или в пус­то­те, количественно характеризуемое скалярной величиной, равной производной по времени от электрического заряда, переносимого свободными носителями заряда сквозь рассматриваемую повер­­хность, т.е.

Из выражения (1.1) получают едини­цу тока

[I ] = [q ]/[t ] = Кл/c = A × c /c = A (ампер).

Постоянный электрический ток (в дальнейшем ток ) – это неизмен­ное и однонаправленное движение заряжен­ных частиц (зарядов). При постоянном токе в течение каждого одинакового про­межутка времени Dt переносится одинако­вый заряд Dq . Поэтому ток где q - весь заряд (Кл) за время t (с).

Условное положительное направление тока I во внешней (от источника энергии) цепи противоположно направлению дви­­жения потока электронов (элек­­трон – частица, обладающая наименьшим отрицательным зарядом (q e = -1,602×10 - 19 Кл, тогда 1 Кл = 6,24×10 18 электронов), т. е. он протекает от точ­ки а с большим потен­ци­алом к точке b с меньшим потенциалом, вы­зывая падение напря­жения (в дальнейшем напряжение ) на сопро­тив­лении этого участка

U ab = j а – j b . (1.2)

Электрическое напряжение – это работа, затрачиваемая на перенос единицы заряда (1 Кл) из точки а в точку b электрическогополя по произволь­ному пути. Однозначно определяют толькоразность потенциалов (напряже­ние ) между соответству­ю­щи­ми точками. Когда говорят о потенциале точки элек­трической цепи, то подразумевают разность потенциалов между этой точкой и другой (обычно зазем­лён­ной), потенциал которой принимают равным нулю.

Электродвижущая сила E (в даль­нейшем ЭДС E в вольтах) источника энергии численно равна работе (энергии) W в джоулях (Дж), за­тра­чи­­ваемой сторонним и индуктированным электрическими полями на перемещение единицы заряда (1 Кл) из одной точки поля в другую.

П1.2. Состав электрической цепи. Любая электрическая цепь состоит из следующих элементов:

· источников энергии (активныхэлементов), преобразующих различные виды энергии в электрическую. Это генераторы электрических стан­­ций, аккумуля­торные и солнечные батареи, термопары и др.;

· приёмников электрической энергии (пассивныхэлементов), в которых электрическая энергия преобразуется в другие виды: тепловую (нагревательные элементы), механическую (электрические двигатели), световую (люминесцентные лампы), химическую (гальванические ванны) и др.;

· вспомогательных элементов (проводов, выключателей, предохранителей, ре­­зи­стивных регуляторов тока, измерительных приборов, разъёмов и др.).

Электрические цепи принято изображать в виде электрических схем: принципиальных, монтажных, схем замещения и др. Схема электрической цепи – это её графическое изображение, содержащее условные обозначения элементов цепи и показываю­щее соединения этих элементов.

При анализе электрических цепей их заменяют схемами замещения. Схема замещения электрической цепи – это её расчётно-математическая модель, содержащая иде­альные пассивные (резистивные, индуктивные и ёмкостные) и активные (источники напряжения и источники тока) элементы. Элементом электрической цепи на­зывают отдельное устройство, вы­пол­няющее в цепи определённую фун­к­­цию Эти элементы являются эквивалентами (моделями) реальных устройств цепи, которым теоретически припи­сывают опре­де­лён­ные электрические и магнитные свой­ства, отражающие главные (доми­ни­ру­ющие) процессы в элементах цепи.

Пассивными называют элементы электрической цепи, которые не способны генериро­вать элек­три­че­скую энергию. К пассивным элементам относят резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы (табл. П1.1).

Резистор – это пассивный элемент элек­­­трической цепи, предназна­чен­ный для ис­пользования его электрического сопротивления R . Резистор не мо­жет на­капливать энергию: полученная им электрическая энергия необратимопреобразовывается в нёмв тепло­вую энергию.

Т а б л и ц а П1.1. Пассивные элементы цепей и их характеристики

Индуктивная катушка – это пассивный элемент цепи, предназначен­ный для ис­­пользования его собственной индуктивности L и/или его магнитного поля. При нара­стании тока в индуктивной катушке происходит преобразо­вание электрической энергии в магнитную и её накопление в магнитном поле катушки, а при убывании тока – обратное преобразование энергии магнитного поля в электрическую энергию, возвращаемую источнику.

Конденсатор – это пассивный эле­­мент цепи, предназначенный для ис­­­поль­зования его электрической ёмкости С . При нарастании напряжения на зажимах конден­сатора в нём происходит преобразование электрической энергии внешнего источника в энергию электрического поля за счёт накоп­ле­ния зарядов противоположных знаков на двух его электродах (пластинах). При уменьшении напряжения происхо­дит обратное преоб­разова­ние энергии электрического поля в электри­ческую энергию, возвращаемую источнику.

Активные элементы - это источники электрической энергии (аккумуляторы, генераторы и др.). Различают:источники напряжения (ИН) и источники тока (ИТ) в зависимости от их внутреннего сопротивления (табл. П1.2). В источнике напряжения внутреннее сопротивление R вт значительно меньше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИН R вт = 0), а в источнике тока R вт значительно больше сопротивления R нагрузки (в идеальном ИТ R вт = ¥), а проводимость (в сименсах)

G вт = 1/R вт << G = 1/R .

Т а б л и ц а П1.2. Активные элементы цепей и их характеристики

П1.3. Топологические параметры схем цепей . При анализе электрических схем пользуются следующими тополо­гическими параметрами схем:

· ветвь (В ) - участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же электрический ток;

· узел (У ) - место соединения ветвей электрической цепи. Обычно место, где соединены две ветви, называют не узлом, а соединением (или уст­ранимым узлом), а узел соединяет не менее трёх ветвей ;

· контур - последовательность ветвей электрической цепи, образующая замкнутый путь, в которой один из узлов одновременно является началом и концом пути, а остальные встречаются только один раз. В элек­­трической цепи вы­де­ляют линейно не­зависимые контуры k н, которые отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью. Число независимых контуров зависит от числа ветвей В и числа уз­лов У в цепи:

k н = В – (У – 1). (1.3)

Так, в схеме электрической цепи (рис. П1.1) ветвей В = 5, узлов У = 3, соединений 2, независимых контуров k н = 3.

Примечания.

1. Точки 5 , 6 , 7 и 8 имеют одинаковый электрический по­тен­­ци­ал, поэтому они могут быть геометрически объединены в одну общую точку - узел .

2. Точки 1 и 4 соединяют по два элемента, поэтому их называютточ­ками соединений двух элементов , а не узлами.

Задачей расчёта электрической цепи является, в первую очередь, оп­ре­де­ление токов и напряжений ветвей при заданных значениях параметров активных и пассивных элементов схемы цепи.

Для расчёта электрических цепей (точнее, их схем замещения) раз­работано несколько методов, наиболее общими из которых являются метод непосредственного применения законов Кирхгофа, ме­тод узловых напряжений, метод переменных состояния, метод контурных токов.

Примечание.Понятия «электрическая цепь» и «схема электрической цепи» часто отождествляют.

П1.5. Законы Ома и Кирхгофа. Решение задач анализа электромаг­ни­т­ных процессов в известной схеме электрической цепи с заданными параметрами источников энергии и резистивных элементов базируется на применении закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа, которые записывают соответственно для ветвей , узлов и контуров (табл. П1.3).

Закон Ома устанавливает зависимость между током и на­пря­жением на пассивной ветви при совпадении направлений тока и напряжения на ней. (см. табл. П1.3, вторая строка). Для ветви с источниками напряжения используют обоб­щенный закон Ома : (см. табл. П1.3, третья строка). Знак плюс перед ЭДС E и напряжением U 12 записывают при совпадении их направлений с условно положительным направлением тока I и знак минус - при не совпадении их направлений с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа (1ЗК) записывают для узлов электрической схемы (см. табл. П1.3, четвертая строка). Закон формулируется следующим образом: алгебраическаясумма токов в любом узле схемы цепи равна нулю. При этом токи, направленные к узлу, при­­нято записывать со знаком плюс, а уходящие от уз­ла, со знаком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) применяется к контурам электрической цепи (см. табл. П1.3, пятая строка) и формулируется следующим образом: в лю­бом контуре схемы алгебраическая сумма ЭДС равна ал­ге­браической сум­ме напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур. При этом ЭДС и напряжения на элементах контура за­писывают со знаком плюс, если выбран­ное нап­равление обхода контура (например, по ходу часовой стрелки) совпадает с направлением напряжений (токов) на этих элементах, и со знаком минус при несовпадении.

Таблица П1.3. Топологические параметры схем цепей и их описание

П1.6. Метод расчёта, основанный на законах Кирхгофа . Анализ и расчёт лю­бой электрической цепи постоянного тока можно провести в результате совместного решения системы уравнений, составленных посредством первого и второго законов Кирхгофа. Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи (N МЗК = В ), при этомчисло независимых уравнений, которые можно запи­сать по 1ЗК, на од­но уравнение меньше числа узлов, т. е.

N 1ЗК = У - 1, (1.4)

а число независи­мых уравнений, записываемых по 2ЗК,

N 2ЗК = B - (У - 1), (1.5)

где В - число ветвей с неизвестными токами (без ветвей с источниками тока); У - чи­сло узлов.

Составим посредством законов Кирхгофа необходи­мое число уравнений для определения токов ветвей схемы (рис. П1.2), если заданы ЭДС E 1 и E 2 источников напряжения, ток J источника тока и соп­ротивления R 1 ,…, R 5 резисторов.

N МЗК = N 1ЗК + N 2ЗК = В .

С этой целью:

1. Проведём топологический анализ схемы для определения числа независимых урав­­нений. В схеме B 1 = 6 вет­вей, У = 3 узла. Од­нако в ветви с ИТ ток J задан, поэтому число независимых ветвей В = 5. Число независимых урав­нений для решения задачи по методу законов Кирхгофа

N МЗК = В = 5.

для узла 1 : I 1 - I 2 - J - I 3 = 0, (1)

для узла 2 : I 3 - I 4 + I 5 = 0. (2)

4. Выберем независимые кон­ту­ры и направление обхода контуров, на­при­­мер, по ходу часовой стре­лки. В на­шем случае имеется три независимых контура, так как ветвь с заданным током J ИТ в уравнениях, составляемых по2ЗК, не учитывается:

N 2ЗК = B - (У - 1) = 5 – (3 – 1) = 3.

5. Составим три уравнения по 2ЗК:

для контура 1"-1-0-1" : E 1 = R 1 I 1 + R 2 I 2 , (3)

для контура 1-2-0-1 : 0 = R 3 I 3 + R 4 I 4 - R 2 I 2 , (4)

для контура 2-2"-0-2 : -E 2 = -R 5 I 5 - R 4 I 4 . (5)

6. Решив систему уравнений (1)…(5), например, методом Гаусса или с использованием формул Крамера можно определить все неизвестные токи ветвей цепи.

П1.6. Структурные преобразования схем замещения цепей. Расчёт элек­трических цепей можно упростить путём преобразованияих схем замещения в более простые и удобные для расчёта. Такие преобразования приводят, как пра­вило, к уменьшению числа узлов схемы и, следовательно, необходимого числа исходных уравнений для расчёта.

Так, ветвь с последовательно соединёнными резисторами R 1 , R 2 , … , R n может быть преобразована в простую схему с одним резистивным эле­ментом (рис. П1.4а ), эквивалентное сопротивление которого равно сумме сопротивлений:

а ветвь с несколькими последовательно соединёнными источниками напряжения и резисторами (рис. П1.4б ) также может быть преобра­зована в ветвь с одним эквивалентным ИН с параметрами R э и Е э (рис. П1.4в ):

Так как напряжение на всех ветвях одно и тоже, равное U , то токи ветвей

где , - проводимости ветвей в сименсах.

В схеме с двумя узлами 1 и 2 (см. рис. П1.5а ) ток на входе цепи

а эквивалентная про­водимость и эквивалентное сопротивление пассивного участка цепи между узлами 1 и 2 равны

а затем сложить его с сопротивлением R 1 (рис. П1.6б , в ):

В электрических цепях элементы могут быть соединены по схеме треугольник или по схеме звезда (рис. П1.7).Треугольником называют соединение трёх элементов, в котором конец первого элемента со­еди­нён с началом вто­рого, конец второго с началом третьего, а конец тре­тьего с началом первого (рис. П1.7а ). Звездой называют соединение, в котором кон­­цы трёх элементов со­единены в одну общую точ­ку п (рис. П1.7б ).

, , (1.10)

т. е.сопротивление луча эквивалентной звезды равно дроби, в числителе которой произведение двух сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к рассматриваемому узлу, делённому на сумму всех сопротивлений сторон треугольника.

П1.7. Правило делителя напряжения. В ветви, состоящей их двух после­дова­те­льно соединённых резисторов (рис. П1.8а ),напряжение на одном из резисторов равно при­ложенному к ветви напряжению, умноженному на сопротивление данного резистора и делённому на сумму сопротивлений обоих резисторов, т. е.

П1.8. Правило делителя тока . Для цепи с двумя параллельно соеди­нёнными резисторами (рис. П1.8б ) ток одной из двух параллельных ветвей цепи равен подходящему к разветвлению току I , ум­ноженному на сопро­тивление другой (противоположной) ве­тви и делён­ному на сумму соп­ротивлений обеих ветвей, т.е.

П1.9. Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений (МУН) базируется на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. В нём за вспомогательные расчётные величины принимают так называемые узловые напряжения U k 0 - напряжения между каждым k -м узлом схемы и выбранным базисным узлом (его будем обозначать цифрой 0 ), потенциал которого принимают равным нулю. Число уравнений для расчёта схемы по МУН

N МУН = У - 1. (1.13)

Для каждого узла, кроме базисного, составляют уравнение по 1ЗК. В полученных уравнениях токи ветвей, присоединённых к базисному узлу, выражают через узловые напряжения и проводимости посредством обобщённого закона Ома:

где G k = 1/R k - проводимость k -й ветви.

Токв ветви, подключённой к узлам k и j ,

= (E kj - U k 0 + U j 0 )G kj , (1.15)

где U kj = U k 0 - U j 0 – межузловое напряжение; G kj = 1/R kj - меж­узловая про­водимость.

После группирования членов при соответствующих узловых напряжениях и переноса E k G k и токов J k источников тока в правую часть, получают систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений.

Структура каждого уравнения одинаковая, например, уравнение относительно узла 1 :

G 11 U 10 - G 12 U 20 - ... - G 1n U n 0 = + (1.16)

где G 11 = G 1 + G 2 + ... + G n - собственная проводимость узла1 , равная сумме проводимостей ветвей, присоединённых к узлу 1 (проводимости ветвей с ИТ не учитываются, так как G j = 1/R j = 0 (R j = ¥)); G 12 , ... , G 1 n – меж­узловые проводимости; + - узловой ток узла 1 ; - алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу 1 , на проводимости этих ветвей, причём со знаком плюс (минус) записывают произведения, если ЭДС направлена к узлу 1 (от узла 1 ); - алгебраическая сумма токов источников тока ветвей, подключённых к узлу 1 , причём токи J k записывают со знаком плюс (минус), если они направлены к узлу 1 (от узла 1 ).

Решив систему уравнений относительно узловых напряжений, определяют межузловые напряжения и токи ветвей посредством соотношений (1.14) и (1.15).

Решение. 1. Выбираем базисный узел 0 и направления узловых напряжений U 10 и U 20 от узлов 1 и 2 к базисному (см. рис. П1.9).

2. Составляем (N МУН = У - 1 = 3 - 1 = 2) уравнения по МУН:

для узла 1 : G 11 U 10 - G 12 U 20 = E 1 G 1 - J ,

для узла 2 : -G 21 U 10 + G 22 U 20 = E 5 G 5 ,

где G 11 = G 1 + G 2 + G 3 , G 12 = G 3 = 1/R 3 , G 22 = G 3 + G 4 + G 5 , G 21 = G 12 = G 3 .

3. После подстановки числовых значений (G 1 = 1/R 1 = 1 См, G 2 = 0,2 См, G 3 = G 4 = = 0,1 См, G 5 = 1 См) имеем:

1,3U 10 - 0,1U 20 = 12 - 2 = 10,

0,1U 10 + 1,2U 20 = 15.

4. Воспользовавшись форму­­лами Крамера, находим узловые нап­ря­жения:

Примечание. Вычисление узловых напряжений нужно проводить с большой точностью. В данном примере достаточно округлить четвёртый знак после запятой.

5. Межузловое напряжение

U 12 = U 10 - U 20 = 8,7097 - 13,226 = - 4,5163 B.

6. Искомые токи ветвей (см. выбранные направления токов ветвей на рис. П1.9):

I 1 = (E 1 - U 10)G 1 = 3,29 A, I 2 = U 10 G 2 = 1,754 A,

I 3 = U 12 G 3 = - 0,452 A, I 4 = U 20 G 4 = 1,323 A,

I 5 = (-E 5 + U 20)G 5 = -1,774 A.

7. Проверим результаты расчёта токов. Согласно 1ЗК для узла 2 :

= I 3 - I 4 - I 5 = - 0,452 - 1,323 + 1,774 = 0.

П1.10. Метод двух узлов . Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений и применяется для расчёта схем, содержащих (после преобразования) два узла и произвольное число параллельных пассивных и активных ветвей. Для расчёта токов ветвей цепи составляют и решают одно уравнение узлового напряжения , равное алгебраической сумме токов, создаваемыхвсеми источниками напряжения и источниками тока цепи, делённой на собственную проводимость узла , т. е.

а токи ветвей определяют по обобщённому закону Ома (см. (1.14)).

Пример П1.2. Упростить схему цепи (рис. П1.10а ) посредством преобразования пас­сивного треугольника в эквивалентную звезду и найти токи в преобразованной схеме метотом двух узлов. Токи ветвей пассивного треугольника исходной схемы найти из составленных уравнений 1ЗК для узлов треугольника и (при необходимости) уравнения 2ЗК для контура, в который входит одна из ветвей треугольника с искомым током. Параметры схемы замещения цепи: E 5 = 20 В, E 6 = 36 В; R 1 = 10 Ом, R 2 = 12 Ом, R 3 = 4 Ом, R 4 = 8 Ом, R 5 = 6 Ом, R 6 = 5 Ом.

Решение. 1. Обозначим узлы и пунктирными линиями лучи (ветви) эквивалентной звезды R 1 n , R 2 n , R 3 n (рис. П1.10б ), равные (см. (1.10))

2. В результате преобразований получили схему с двумя узлами: n и 4 (рис. П1.11), в которой узлы исходной схемы 1 , 2 и 3 стали соединениями.

3. Расчет схемы (рис. П1.11) методом двух узлом проведем в три этапа:

а ) выбираем базисный узел 4 и приравниваем его потенциал нулю (j 4 = 0);

В зависимости от числа источников ЭДС (питания) в схеме, ее топологии и других признаков цепи анализируются и рассчитываются различными методами. При этом известными обычно являются ЭДС (напряжения) источников электроэнергии и параметры цепи, расчетными - напряжения, токи и мощности.

В этой главе мы ознакомимся с методами анализа и расчета цепей постоянного тока различной сложности.

Расчет цепей с одним источником питания

Когда в цепи имеется один активный элемент (источник электроэнергии), а другие являются пассивными, например резисторы /? t , R 2 ,..., то цепи анализируются и рассчитываются методом преобразования схем , сущность которого заключается в преобразовании (свертке) исходной схемы в эквивалентную и последующем разворачивании, в процессе которых определяются искомые величины. Проиллюстрируем этот метод для расчета цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединением резисторов.

Цепь с последовательным соединением резисторов. Рассмотрим этот вопрос на следующем качественном примере. От идеализированного источника ЭДС Е (R 0 = 0), на выходных зажимах которого имеется напряжение U, т.е. когда E=U , через последовательно соединенные сопротивления R { , R 2 ,..., R n питается нагрузка (приемник) с сопротивлением R H (рис. 2.1, а).

Рис . 2.1

Требуется найти напряжение, сопротивление и мощность цепи эквивалентной заданной, изображенной на рис. 2.1, б, делая соответствующие выводы и обобщения.

Решение

А. При известных сопротивлениях и токе напряжения на отдельных элементах цепи, согласно закону Ома, находились бы так:

Б. Общее напряжение (ЭДС) цепи, согласно второму закону Кирхгофа, запишется так:

Г. Умножив все члены (2-2) на ток / или (2-5) на Р, будем иметь откуда

В. Разделив все члены (2-2) на ток /, получим где

Формулы (2-3), (2-5), (2-7) показывают, что в цепи с одним источником питания и последовательным соединением сопротивлений эквивалентные напряжение, сопротивление и мощность равны арифметическим суммам напряжений, сопротивлений и мощностей элементов цепи.

Приведенные соотношения и выводы свидетельствуют о том, что исходную схему по рис. 2.1, а с сопротивлениями /? 2 , R„ можно заменить (свернуть) простейшей по рис. 2.1, б с эквивалентным сопротивлением R 3 , определяемым по выражению (2-5).

а) для схемы по рис. 2.1, б справедливы соотношения U 3 = U = RI , где R = R 3 + R u . Исключив из них ток /, получим выражение

которое показывает, что напряжение U 3 на одном из сопротивлений цепи, состоящей из двух, соединенных последовательно, равно произведению общего напряжения U на отношение сопротивления этого участка R 3 к общему сопротивлению цепи R. Исходя из этого

б) ток и напряжения в цени но рис. 2.2, б можно записать в различных вариантах:

Решенные задачи

Задача 2.1. Чему равны сопротивление, напряжение и мощность цепи по рис. 2.1, а, если I = 1 A, R x = 1 Ом, Д 2 = 2 Ом, = 3 Ом, R u = 4 Ом?

Решение

Напряжения на резисторах, очевидно, будут равны: U t =IR^ = 1 1 = 1 В, U 2 = IR 2 = = 1 2 = 2 В, U n = /Л я = 1 3 = 3 В, t/ H = ZR H = 1 4 = 4 В. Эквивалентное сопротивление цепи: R 3 = R { + /? 9 + R n = 1 + 2 + 3 = 6 Ом. Сопротивление, напряжение и мощность цепи: /? = &, + /?„ = 6 + 4= 10 Ом; U= U { + U 2 + U„+U n = 1+2 + 3 + 4 = 10 В, или U=IR = = 1 10= 10 В; Р= Ш= 10 - 1 = 10 Вт, или Р= UJ+ U 2 I + U n I+ U U I= 11+21+31 + + 4 1 = 10 Вт, или Р = PR X + PR 2 + PR a + PR n = 12 1 + 12 2 + 12 3 + 12 4 = 10 Вт, или Р = Щ /R x +U? 2 /R 2 +UZ /R n +1/2 /R n = 12 / 1 + 22/2 + 32/3 + 42 /4 = 10 Вт.

Задача 2.2. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R { = Ом, R 2 = 2 Ом, = = 3 Ом, R H = 4 Ом. Определить U 2 .

Решение

R = /?! + /?, + Л 3 + Л 4 = Л,+ Л Н = 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ом, 1=11/R= 110/10 = = 11 А, // 2 = Л? 2 = 11 2 = 22 В или U 2 =UR 2 /R = 110 2 / 10 = 22 В.

Задачи, требующие решения

Задача 2.3. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R^ = Ом, R 2 = 2 Ом, R n = = 3 Ом, R u = 4 Ом. Определить Р„.

Задача 2.4. В цепи по рис. 2.1, б известны: U= 110 В, U H = 100 В, = 2 Ом. Определить Р э.

Задача 2.5. В цепи по рис. 2.1,6 известны: U= 110 В, R t = 3 Ом, Д н = 2 Ом. Определить }