В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f (x ) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции.

Шаги

Часть 1

Определите тип данной вам функции. Областью значений функции являются все допустимые значения «х» (откладываются по горизонтальной оси), которым соответствуют допустимые значения «у». Функция может быть квадратичной или содержать дроби или корни. Для нахождения области определения функции сначала необходимо определить тип функции.

1. Выберите соответствующую запись для области определения функции. Область определения записывается в квадратных и/или круглых скобках. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область определения функции; если значение не входит в область определения, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей определения, между ними ставится символ «U».

   • Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.

2. Постройте график квадратичной функции. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Так как парабола возрастает или убывает на всей оси Х, то областью определения квадратичной функции являются все действительные числа. Другими словами, областью определения такой функции является множество R (R обозначает все действительные числа).

   • Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
   • Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
   • Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.

3. Если функция содержит дробь, приравняйте ее знаменатель к нулю. Помните, что делить на нуль нельзя. Поэтому, приравняв знаменатель к нулю, вы найдете значения «х», которые не входят в область определения функции.

   • Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
   • Здесь знаменатель: (х - 1).
   • Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х - 1 = 0; х = 1.
   • Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
   • Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.

4. Если функция содержит квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Помните, что квадратный корень из отрицательных чисел не извлекается. Поэтому любое значение «х», при котором подкоренное выражение становится отрицательным, нужно исключить из области определения функции.

   • Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
   • Подкоренное выражение: (х + 3).
   • Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
   • Найдите «х»: х ≥ -3.
   • Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).

   Часть 2

   Нахождение области значений квадратичной функции

   1. Убедитесь, что вам дана квадратичная функция. Квадратичная функция имеет вид: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Существуют различные методы нахождения области значений квадратичной функции.

      • Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.

   2. Найдите координату «х» вершины графика функции. В случае квадратичной функции найдите координату «х» вершины параболы. Помните, что квадратичная функция имеет вид: ax 2 + bx + c. Для вычисления координаты «х» воспользуйтесь следующим уравнением: х = -b/2a. Это уравнение является производной от основной квадратичной функции и описывает касательную, угловой коэффициент которой равен нулю (касательная к вершине параболы параллельна оси Х).

      • Например, найдите область значений функции 3x 2 + 6x -2.
      • Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Найдите координату «у» вершины графика функции. Для этого в функцию подставьте найденную координату «х». Искомая координата «у» представляет собой предельное значение области значений функции.

      • Вычислите координату «у»: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).

   4. Определите направление параболы, подставив в функцию по крайней мере одно значение «х». Выберите любое другое значение «х» и подставьте его в функцию, чтобы вычислить соответствующее значение «у». Если найденное значение «у» больше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вверх. Если же найденное значение «у» меньше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вниз.

      • Подставьте в функцию х = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
      • Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
      • Область значений этой функции: [-5, ∞)

   5. Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».

      • Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
      • С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Л.является создателем основ современного р.яз.Изучение языка для Л было важной сферой интересов.Он сам знал 8 языков.Многие изучил самостоятельно.Во время детства Л. культурно -официальным языком Российской империи считался церковнославянский.
Учась в Германии,Л.видел силу единого литературного нем.яз.Это он проецировал на русскую реальность.К середине 18 российская элита была двуязычна.Одновременно функционировали 2 языка,но в разных сферах жизни:церковнославянский и русский.Первый был престижен,употреблялся в небытовых,высоких сферах: в церкви,в книгах,в госдокументах,в образовании и науке.А русский имел статус непрестижного и использовался в повседневной жизни,в записках,в договорах,объявлениях и др.) Р.яз не имел официального статуса,не преподавался в школах.Элита называла его мужицким,грубым,невыразительным Иностранцы,посетившие империю,говорили,что там разговаривать надо по - русски,писать - по - словенски.
Письменный яз той эпохи - это смесь церковнославянизмов,простонародных слов,диалектов,архаизмов,вульгаризмов, заимствований Научных,специальных терминов не было в языке.
Элита говорила на иностранных языках (так как Пётр прорубил окно в Европу).Одним словом язык не имел системы.логики,стройности.
Великая миссия Л. в том,что он создал работы по лингвистике,которые определили законы и правила развития русского языка.
Какую же миссию выполнил М.В.Ломоносов в отношении русского языка и шире культуры? Об этом говорят названия его языковедческих работ: 
Краткое руководство к риторике (1743); 
Риторика (1748); 
Российская грамматика (1755).
Эти работы объединены в один том ППС.
Главный труд Л. как лингвиста "Российская грамматика"Это первая полная,нормативная грамматика р.яз,заложившая основы современного р. яз.Л. в ней ясно определил нормы яз,звуковой состав,произношение,правописание и грамматику (учение о частях речи)За основу взял московское наречие.Л.говорил: «Московское наречие не только для важности столичного города, но и для своей отменной красоты прочим справедливо предпочитается».
Его труд был очень востребован.За 30 лет переиздавалась Грамматика 5 раз.
Л разработал стилистическую систему яз,известную как теорию 3-х штилей: высокого,среднего и низкого,Л. определил сферу употребления каждого стиля.
Р.яз для Л. -объект реформации,систематизации,кодификации.Учёный и на практике дал образцы употребления языка: в научных трудах,публичных лекциях,трактатах,стихотворениях.Именно после Л. появились первые общенациональные классики:Фонвизин,Карамзин,Державин,И мировые:Пушкин,Лермонтов,Гоголь
Л.боролся за расширение применения р.яз.в сфере науки.В стенах Академии наук зазвучала русская речь:Л. выхлопотал разрешение читать лекции по физике и химии на русском яз,развивая терминологию.,научный стиль,.
Русская грамматика"Л. послужила образцом для написания многих грамматик других народов.
"Таким образом, филологическая деятельность М.В.Ломоносова дала большой импульс не только изучению русского языка, но и многих других языков российской державы"

Определение
Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы во множестве X , называется множеством значений функции (или областью значений ).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Само отображение f называется характеристикой функции .

Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции f называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g . Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x , а этому x соответствует y . Такое соответствие называют сложной функцией : .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m ) функции f , на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу - значением 0 :
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X . Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей) , если для всех таких что выполняется неравенство:
.

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус : . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1) .
При заданном значении независимой переменной x , принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2) .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n) ,
где n - целое. В результате, для каждого значения n , мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией . А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией .

Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция - это функция.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Иным выражением (слова, предложения, знака и т. п.) некоторого языка. Значения языковых выражений изучаются в языкознании, логике и семиотике.

3) Значение физической величины - оценка этой величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц, напр. 3 кг - значение массы некоторого тела и т. п.

4) Значение в информатике, см. Имя в информатике.

Большой Энциклопедический словарь . 2000 .

Смотреть что такое "ЗНАЧЕНИЕ" в других словарях:

Содержание, обозначенное тем или иным языковым выражением словом, предложением, знаком и т.п. Вопрос о З. языковых выражений исследуется лингвистикой, семиотикой и логической семантикой. Различают предметное, смысловое и экспрессивное З. языковых … Философская энциклопедия

Смысл, разум; вес, важность, авторитет, достоинство, сила, ценность. Настоящий, переносный, прямой, собственный, строгий, фигуральный, буквальный, широкий смысл слова. Эта девушка артистка в полном смысле слова. Тург. Разум закона (прот.:).… … Словарь синонимов

Один из осн. элементов культуры, наряду с обычаем нормой, ценностью и смыслом; специфически культурное средство соединения человека с окружающим миром или вообще субъекта с объектом через посредство знаков. Если в экон. деятельности… … Энциклопедия культурологии

значение - обобщенная форма запечатления субъектом общественно исторического опыта, приобретенного в процессе совместной деятельности и общения и существующего в виде понятий, опредмеченных в схемах действия, социальных ролях, нормах и ценностях.… … Большая психологическая энциклопедия

ЗНАЧЕНИЕ, значения, ср. (книжн.). 1. Смысл, то, что данный предмет (Слово, жест, знак) значит. Слово знание имеет несколько значений. Слово больной в значении существительного. Значение этого жеста было трудно определить. 2. Важность,… … Толковый словарь Ушакова

значение - ЗНАЧЕНИЕ, ОЗНАЧАЮЩЕЕ, ОЗНАЧАЕМОЕ Франц. signification, signifiant, SIGNIFIE. Основные понятия современной лингвистики для описания знака, были обоснованы классиком этой науки Ф. де Соссюром. По определению ученого, означающее/означаемое являются… … Постмодернизм. Словарь терминов.

ЗНАЧЕНИЕ, содержание, связываемое с тем или иным выражением (слова, предложения, знака и т.п.) некоторого языка. Значение языковых выражений изучаются в языкознании, логике и семиотике … Современная энциклопедия

Содержательная сторона знака или ряда знаков: языка, ситуации, действия, идеи или объекта. По английски: Signification Синонимы английские: Signifiance, Meaning См. также: Значения Знаки Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

значение - ЗНАЧЕНИЕ идеальные конструкции, в которых представлены формы обобщений совокупного общественного опыта. Под 3. понимается содержание знака, символа, изображения, выразительного движения, ритуального поведения и т.д. в его инвариантном… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

Значение - ЗНАЧЕНИЕ, содержание, связываемое с тем или иным выражением (слова, предложения, знака и т.п.) некоторого языка. Значение языковых выражений изучаются в языкознании, логике и семиотике. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Книги

• Значение царствования Екатерины II-й , В.С. Иконников. Значение царствования Екатерины II-й: Чит. в Ист. о-ве Нестора летописца 17 нояб. 1896 г. / Соч. В. С. Иконникова W 188/212 J 28/68 A 239/398:Киев: тип. Имп. Ун-та св. Владимира, 1897: Соч.…
• Значение подготовки к войне вообще и подготовительных стратегических операций в особенности , Леер. Значение подготовки к войне вообще и подготовительных стратегических операций в особенности / Соч. Г. А. Леера, проф. Акад. Ген. штаба D 7/230 ? 7/122: Санкт-Петербург: тип. В. Безобразова и…

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

Например: y=x+1

2) Функция монотонно убывает при k < 0 .

Например: y=-x+1

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Например: y=-1

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число

D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .

Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

Например: y=\frac{1}{x}

2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Например: y=-\frac{1}{x}

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi