Metode universal Tidak ada solusi untuk persamaan irasional, karena kuantitas kelasnya berbeda. Artikel ini akan menyoroti jenis-jenis persamaan dengan substitusi menggunakan metode integrasi.

Untuk menggunakan metode integrasi langsung, perlu menghitung integral tak tentu bertipe ∫ k x + b p d x , dengan p adalah pecahan rasional, k dan b adalah koefisien real.

Contoh 1

Cari dan hitung antiturunan dari fungsi y = 1 3 x - 1 3 .

Larutan

Menurut aturan integrasi, perlu menerapkan rumus ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, dan tabel antiturunan menyatakan bahwa ada solusi siap pakai fungsi ini. Kami mengerti

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 + C

Menjawab:∫ dx 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Ada kalanya dimungkinkan untuk menggunakan metode penjumlahan tanda diferensial. Hal ini diselesaikan dengan prinsip menemukan integral tak tentu berbentuk ∫ f " (x) · (f (x)) p d x, bila nilai p dianggap pecahan rasional.

Contoh 2

Tentukan integral tak tentu ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Larutan

Perhatikan bahwa d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7"d x = (3 x 2 + 5) d x. Maka tanda diferensial tersebut perlu dijumlahkan dengan menggunakan tabel antiturunan. Kita peroleh bahwa

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Menjawab:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Menyelesaikan integral tak tentu memerlukan rumus berbentuk ∫ d x x 2 + p x + q, dengan p dan q adalah koefisien real. Maka Anda perlu memilih kuadrat lengkap dari bawah akar. Kami mengerti

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Menerapkan rumus yang terdapat pada tabel integral tak tentu, kita memperoleh:

∫ dx x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Kemudian integralnya dihitung:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Contoh 3

Tentukan integral tak tentu yang berbentuk ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Larutan

Untuk menghitungnya, Anda perlu mengambil angka 2 dan meletakkannya di depan akar:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Pilih persegi lengkap dalam ekspresi radikal. Kami mengerti

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Maka kita peroleh integral tak tentu yang bentuknya 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Menjawab: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrasi fungsi yang tidak rasional diproduksi dengan cara serupa. Berlaku untuk fungsi berbentuk y = 1 - x 2 + p x + q.

Contoh 4

Tentukan integral tak tentu ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Larutan

Pertama, Anda perlu menurunkan kuadrat penyebut ekspresi dari bawah akar.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Integral tabelnya berbentuk ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, maka diperoleh ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Menjawab:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Proses mencari fungsi irasional antiturunan berbentuk y = M x + N x 2 + p x + q, dimana M, N, p, q yang ada merupakan koefisien real, dan serupa dengan integrasi pecahan sederhana tipe ketiga . Transformasi ini memiliki beberapa tahapan:

menjumlahkan diferensial di bawah akar, mengisolasi kuadrat lengkap dari ekspresi di bawah akar, menggunakan rumus tabel.

Contoh 5

Tentukan antiturunan dari fungsi y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Larutan

Dari kondisi tersebut diperoleh d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x dan x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, maka (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Mari kita hitung integralnya: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 dalam x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 dalam x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Menjawab:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Pencarian integral tak tentu fungsi ∫ x m (a + b x n) p d x dilakukan dengan menggunakan metode substitusi.

Untuk mengatasinya perlu memperkenalkan variabel baru:

1. Jika p bilangan bulat, maka x = z N dianggap, dan N adalah penyebut m, n.
2. Jika m + 1 n bilangan bulat, maka a + b x n = z N, dan N adalah penyebut p.
3. Jika m + 1 n + p adalah bilangan bulat, maka diperlukan variabel a x - n + b = z N, dan N adalah penyebut bilangan p.

Tentukan integral tentu ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Larutan

Kita peroleh bahwa ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Maka m = - 1, n = 1, p = - 1 2, maka m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 adalah bilangan bulat. Anda dapat memasukkan yang baru variabel seperti- 9 + 2 x = z 2. Kita perlu menyatakan x dalam bentuk z. Sebagai keluaran kita mendapatkan itu

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Penting untuk melakukan substitusi ke dalam integral yang diberikan. Kami punya itu

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Menjawab:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Untuk menyederhanakan penyelesaian persamaan irasional, digunakan metode integrasi dasar.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Kelas fungsi irasional sangat luas, sehingga tidak mungkin ada cara universal untuk mengintegrasikannya. Pada artikel ini kami akan mencoba mengidentifikasi jenis fungsi integran irasional yang paling khas dan mengaitkan metode integrasi dengannya.

Ada kalanya tepat untuk menggunakan metode berlangganan tanda diferensial. Misalnya, ketika mencari integral tak tentu bentuk dimana P– pecahan rasional.

Contoh.

Temukan integral tak tentu .

Larutan.

Tidak sulit untuk menyadarinya. Oleh karena itu, kami meletakkannya di bawah tanda diferensial dan menggunakan tabel antiturunan:

Menjawab:

.

13. Substitusi linier pecahan

Integral bertipe a, b, c, d adalah bilangan real, a, b,..., d, g adalah bilangan asli, direduksi menjadi integral fungsi rasional dengan substitusi, dimana K adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pecahan

Memang dari substitusinya begini

yaitu x dan dx dinyatakan melalui fungsi rasional t. Selain itu, setiap derajat pecahan dinyatakan melalui fungsi rasional t.

Contoh 33.4. Temukan integralnya

Penyelesaian: Kelipatan persekutuan terkecil penyebut pecahan 2/3 dan 1/2 adalah 6.

Oleh karena itu, kita masukkan x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Oleh karena itu,

Contoh 33.5. Tentukan substitusi untuk mencari integral:

Penyelesaian: Untuk substitusi I 1 x=t 2, untuk substitusi I 2

14. Substitusi trigonometri

Integral tipe direduksi menjadi integral fungsi yang bergantung secara rasional pada fungsi trigonometri menggunakan substitusi trigonometri berikut: x = sint untuk integral pertama; x=a tgt untuk integral kedua; untuk integral ketiga.

Contoh 33.6. Temukan integralnya

Penyelesaian: Misalkan x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Kemudian

Di sini integralnya adalah fungsi rasional terhadap x dan Dengan memilih kuadrat penuh di bawah akar dan melakukan substitusi, integral dari tipe yang ditunjukkan direduksi menjadi integral dari tipe yang telah dipertimbangkan, yaitu menjadi integral dari tipe Integral ini dapat dihitung dengan menggunakan substitusi trigonometri yang sesuai.

Contoh 33.7. Temukan integralnya

Penyelesaian: Karena x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, maka x+1=t, x=t-1, dx=dt. Itu sebabnya Ayo taruh

Catatan: Tipe integral Sebaiknya dicari dengan menggunakan substitusi x=1/t.

15. Integral pasti

Biarkan suatu fungsi didefinisikan pada suatu segmen dan memiliki antiturunannya. Perbedaannya disebut integral tertentu fungsi sepanjang segmen dan menunjukkan. Jadi,

Lalu, perbedaannya ditulis dalam bentuk . Nomor dipanggil batasan integrasi .

Misalnya, salah satu antiturunan suatu fungsi. Itu sebabnya

16 . Jika c adalah bilangan konstan dan fungsi ƒ(x) dapat diintegralkan pada , maka

artinya, faktor konstanta c dapat dikeluarkan dari tanda integral tertentu.

▼Mari kita buat jumlah integral fungsi tersebut dengan ƒ(x). Kami memiliki:

Maka fungsi c ƒ(x) dapat diintegrasikan pada [a; b] dan rumus (38.1) valid.▲

2. Jika fungsi ƒ 1 (x) dan ƒ 2 (x) dapat diintegrasikan pada [a;b], maka dapat diintegrasikan pada [a; b] jumlah mereka kamu

yaitu, integral dari jumlah tersebut sama dengan jumlah integralnya.

▼
▲

Properti 2 berlaku untuk jumlah sejumlah suku berhingga.

3.

Properti ini dapat diterima menurut definisi. Sifat ini juga dikonfirmasi oleh rumus Newton-Leibniz.

4. Jika fungsi ƒ(x) dapat diintegralkan pada [a; b] dan a< с < b, то

yaitu, integral seluruh segmen sama dengan jumlah integral bagian-bagian segmen tersebut. Sifat ini disebut sifat penjumlahan suatu integral tertentu (atau sifat penjumlahan).

Saat membagi ruas [a;b] menjadi beberapa bagian, kita memasukkan titik c ke dalam jumlah titik pembagian (hal ini dapat dilakukan karena tidak bergantungnya limit jumlah integral dari cara membagi ruas [a;b] menjadi beberapa bagian). Jika c = x m, maka jumlah integralnya dapat dibagi menjadi dua jumlah:

Masing-masing jumlah yang tertulis merupakan integral untuk segmen [a; b], [a; s] dan [s; B]. Melewati limit persamaan terakhir sebagai n → ∞ (λ → 0), kita memperoleh persamaan (38.3).

Sifat 4 berlaku untuk sembarang lokasi titik a, b, c (kita asumsikan bahwa fungsi ƒ (x) dapat diintegralkan pada segmen yang dihasilkan lebih besar).

Jadi, misalnya, jika a< b < с, то

(properti 4 dan 3 digunakan).

5. “Teorema nilai rata-rata.” Jika fungsi ƒ(x) kontinu pada interval [a; b], lalu ada tonka dengan [a; b] sedemikian rupa

▼Dengan rumus Newton-Leibniz yang kita miliki

di mana F"(x) = ƒ(x). Dengan menerapkan teorema Lagrange (teorema pertambahan hingga suatu fungsi) terhadap selisih F(b)-F(a), kita peroleh

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

Sifat 5 (“teorema nilai rata-rata”) untuk ƒ (x) ≥ 0 mempunyai arti geometri sederhana: nilai integral tertentu sama, untuk beberapa c є (a; b), dengan luas persegi panjang dengan tinggi ƒ (c) dan alas b-a ( lihat gambar 170). Nomor

disebut nilai rata-rata fungsi ƒ(x) pada interval [a; B].

6. Jika fungsi ƒ (x) mempertahankan tandanya pada segmen [a; b], di mana a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Dengan “teorema nilai rata-rata” (properti 5)

dimana c [a; B]. Dan karena ƒ(x) ≥ 0 untuk semua x О [a; b], lalu

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Oleh karena itu ƒ(с) (b-а) ≥ 0, yaitu ▲

7. Pertidaksamaan antara fungsi kontinu pada interval [a; b], (sebuah

▼Karena ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, maka ketika a< b, согласно свойству 6, имеем

Atau, menurut properti 2,

Perlu diingat bahwa tidak mungkin membedakan kesenjangan.

8. Estimasi integral. Jika m dan M masing-masing merupakan nilai terkecil dan terbesar dari fungsi y = ƒ (x) pada ruas [a; b], (sebuah< b), то

▼Karena untuk sembarang x є [a;b] kita mempunyai m≤ƒ(x)≤M, maka, berdasarkan sifat 7, kita mempunyai

Menerapkan Properti 5 ke integral ekstrim, kita peroleh

▲

Jika ƒ(x)≥0, maka sifat 8 diilustrasikan secara geometris: luas trapesium lengkung terletak di antara luas persegi panjang yang alasnya , dan tingginya m dan M (lihat Gambar 171).

9. Modulus integral tertentu tidak melebihi modulus integral tertentu:

▼Menerapkan sifat 7 pada pertidaksamaan yang nyata -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, kita peroleh

Oleh karena itu

▲

10. Turunan integral tertentu terhadap suatu batas atas suatu variabel sama dengan integran yang variabel integrasinya digantikan oleh batas tersebut, yaitu.

Menghitung luas suatu bangun merupakan salah satu permasalahan tersulit dalam teori luas. Pada mata pelajaran geometri sekolah kita belajar mencari luas bangun-bangun dasar geometri, misalnya lingkaran, segitiga, belah ketupat, dan lain-lain. Namun, lebih sering Anda harus berurusan dengan penghitungan luas bangun yang lebih kompleks. Ketika memecahkan masalah seperti itu, kita harus menggunakan kalkulus integral.

Pada artikel ini kita akan membahas masalah penghitungan luas trapesium lengkung, dan kita akan mendekatinya dalam pengertian geometris. Hal ini memungkinkan kita mengetahui hubungan langsung antara integral tertentu dan luas trapesium lengkung.

Jawaban siap pakai pada pengintegrasian fungsi diambil dari tes untuk mahasiswa tahun 1 dan 2 jurusan matematika. Agar rumus pada soal dan jawaban tidak mengulangi ketentuan tugas, kami tidak akan menuliskan ketentuannya. Anda sudah tahu bahwa dalam soal Anda perlu "Menemukan integralnya" atau "Menghitung integralnya". Oleh karena itu, jika Anda membutuhkan jawaban tentang integrasi, mulailah mempelajari contoh-contoh berikut.

Integrasi fungsi irasional

Contoh 18. Kami melakukan perubahan variabel di bawah integral. Untuk menyederhanakan penghitungan, kami tidak hanya memilih akar, tetapi seluruh penyebut untuk variabel baru. Setelah penggantian tersebut, integral diubah menjadi jumlah dua integral tabel, yang tidak perlu disederhanakan

Setelah integrasi, kami mengganti variabel dengan substitusi.
Contoh 19. Banyak waktu dan ruang yang dihabiskan untuk mengintegrasikan fungsi irasional pecahan ini, dan kami bahkan tidak tahu apakah Anda dapat mengetahuinya dari tablet atau ponsel. Untuk menghilangkan irasionalitas, dan di sini kita berurusan dengan akar pangkat tiga, kita memilih fungsi akar pangkat tiga untuk variabel baru. Selanjutnya kita cari diferensialnya dan ganti fungsi sebelumnya dengan integral

Bagian yang paling memakan waktu adalah menjadwalkan fungsi baru untuk relasi kekuasaan dan pecahan.

Setelah transformasi, kami segera menemukan beberapa integral, dan kami menulis yang terakhir menjadi dua, yang kami ubah sesuai dengan rumus integrasi tabel

Setelah semua perhitungan dilakukan, jangan lupa kembali ke penggantian yang dilakukan di awal

Mengintegrasikan fungsi trigonometri

Contoh 20. Kita perlu mencari integral sinus pangkat 7. Menurut aturan, satu sinus perlu diubah menjadi diferensial (kita mendapatkan diferensial kosinus), dan sinus pangkat 6 harus ditulis melalui kosinus. Jadi kita sampai pada integrasi dari fungsi variabel baru t = cos (x).



Dalam hal ini, Anda harus membawa selisihnya ke kubus, lalu mengintegrasikannya
Hasilnya, kita memperoleh polinomial berorde 7 dalam kosinus.


Contoh 22. Pada integral kita mempunyai hasil kali sinus dan cosinus. Menurut rumus trigonometri, kita menulis hasil kali selisih sinus. Bagaimana busur ini diperoleh dapat dipahami dari analisis koefisien “x”. Selanjutnya kita mengintegrasikan sinus

Contoh 23. Di sini kita memiliki fungsi sinus dan cosinus pada penyebutnya. Selain itu, rumus trigonometri tidak akan membantu menyederhanakan ketergantungan. Untuk mencari integral, kita menerapkan penggantian trigonometri universal t=tan(x/2)

Dari catatan terlihat jelas bahwa penyebutnya akan hilang dan kita akan mendapatkan trinomial persegi pada penyebut pecahan tersebut. Di dalamnya kita memilih kotak lengkap dan bagian bebas. Setelah integrasi, kita sampai pada logaritma selisih antara faktor prima penyebutnya. Untuk menyederhanakan notasi, pembilang dan penyebut di bawah logaritma dikalikan dua.

Di akhir perhitungan, alih-alih variabel, kami mengganti tangen dari setengah argumen.
Contoh 24. Untuk mengintegrasikan suatu fungsi, kita keluarkan kuadrat kosinus dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kita kurangi dan tambahkan satu untuk mendapatkan kotangen.

Selanjutnya, kita memilih kotangen u = ctg (x) untuk variabel baru, diferensialnya akan memberi kita faktor yang kita perlukan untuk penyederhanaan. Setelah substitusi kita sampai pada suatu fungsi yang, jika diintegrasikan, menghasilkan tangen busur.

Nah, jangan lupa ubah kamu menjadi kotangen.
Contoh 25. Pada tugas tes terakhir, Anda perlu mengintegrasikan kotangen sudut ganda ke derajat ke-4.


Pada titik ini, ujian integrasi telah diselesaikan, dan tidak ada satu guru pun yang akan menemukan kesalahan dalam jawaban dan pembenaran transformasi tersebut.
Jika Anda mempelajari cara berintegrasi seperti ini, maka tes atau bagian tentang topik integral tidak menakutkan bagi Anda. Setiap orang mempunyai kesempatan untuk mempelajari atau memesan solusi integral dari kami (atau pesaing kami :))).

Mari kita perhatikan integral dengan akar fungsi pecahan linier:
(1) ,
di mana R adalah fungsi rasional dari argumennya. Artinya, suatu fungsi yang terdiri dari argumen dan konstanta sembarangnya menggunakan sejumlah operasi penjumlahan (pengurangan), perkalian, dan pembagian yang terbatas (pangkat bilangan bulat).

Contoh integral yang dipertimbangkan dengan irasionalitas linier-fraksional

Mari kita beri contoh integral dengan akar bentuk (1) .

Contoh 1

Meskipun di sini tanda integral mencakup akar-akar dengan derajat yang berbeda-beda, ekspresi integran dapat diubah sebagai berikut:
;
;
.

Jadi, integran terdiri dari variabel integrasi x dan akar fungsi linier menggunakan sejumlah operasi pengurangan, pembagian, dan perkalian yang terbatas. Oleh karena itu, ini adalah fungsi rasional dari x dan dan termasuk dalam tipe yang dipertimbangkan (1) dengan nilai konstan n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Contoh 2

Di sini kita melakukan konversi:
.
Hal ini menunjukkan bahwa integran merupakan fungsi rasional dari x dan .

Oleh karena itu termasuk dalam tipe yang dimaksud.

Contoh umum irasionalitas linier pecahan
(2) ,
Dalam kasus yang lebih umum, integran dapat mencakup sejumlah akar berhingga dari fungsi pecahan linier yang sama:
dimana R adalah fungsi rasional dari argumennya,
- bilangan rasional, M 1, n 1, ..., m s, n s
- bilangan bulat.
,
Memang, misalkan n adalah penyebut persekutuan dari bilangan r 1, ..., r s. Kemudian mereka dapat direpresentasikan sebagai: dimana k (2) 1 , k 2 , ..., k s
,
,
. . . . .
.

- bilangan bulat. Lalu semua orang ikut serta (2) akar adalah kekuatan dari:
.

Artinya, seluruh integran

terdiri dari x dan akar menggunakan sejumlah operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian yang terbatas. Oleh karena itu merupakan fungsi rasional dari x dan :
(1)
Metode integrasi root
(3) .

Integral dengan irasionalitas linier pecahan

direduksi menjadi integral fungsi rasional melalui substitusi (3) :
.

Bukti (3) :
;
;
.

Mengekstraksi akar derajat n dari kedua sisi

;
;
.
Mari bertransformasi
.

Menemukan turunannya: (1) :
.

Diferensial:

Gantikan

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi integran terdiri dari konstanta dan variabel integrasi t menggunakan sejumlah operasi penjumlahan (pengurangan), perkalian (pangkat bilangan bulat) dan pembagian yang terbatas. Oleh karena itu, integran merupakan fungsi rasional dari variabel integrasi. Dengan demikian, perhitungan integral direduksi menjadi integrasi fungsi rasional. Q.E.D.

Contoh integrasi irasionalitas linier

Temukan integralnya: 1 Larutan

Karena integral mencakup akar-akar fungsi linier yang sama (fraksional) x +
;
;
.

, dan integran dibentuk dengan menggunakan operasi pengurangan dan pembagian, maka integral tersebut termasuk dalam jenis yang dipertimbangkan.
Mari kita transformasikan integran sehingga mencakup akar-akar yang derajatnya sama: Melakukan pergantian pemain.
x+
1 = t 6 Mari kita ambil perbedaannya: ( D )′ (x + 1) = dx =.
jilid 6
dt = 6t 5dt 6 - 1 ;
;
;
.
Mari kita gantikan:
x = t 6 - 1 = Kami memilih seluruh bagian pecahan, mencatatnya.
T

.

(t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1)

,
Kemudian

Menjawab

Di mana .

Contoh integrasi irasionalitas linier

Mari kita pilih akar dari fungsi pecahan linier:
.
T
.
Melakukan pergantian pemain
.
Ambil perbedaannya
.
Menemukan turunannya
.
T
.
Selanjutnya kita memperhatikan hal itu
.
Gantikan ke integrand


.

(t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1)

Sastra bekas:
N.M. Gunter, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003.

Di bawah irasional memahami ekspresi di mana variabel independen %%x%% atau polinomial %%P_n(x)%% berderajat %%n \in \mathbb(N)%% disertakan di bawah tanda radikal(dari bahasa Latin akar- akar), mis. dipangkatkan ke pangkat pecahan. Dengan mengganti variabel, beberapa kelas integran yang irasional terhadap %%x%% dapat direduksi menjadi ekspresi rasional terhadap variabel baru.

Konsep fungsi rasional dari satu variabel dapat diperluas ke beberapa argumen. Jika untuk setiap argumen %%u, v, \dotsc, w%% saat menghitung nilai suatu fungsi, hanya operasi aritmatika dan kenaikan pangkat bilangan bulat yang disediakan, maka kita berbicara tentang fungsi rasional dari argumen ini, yang biasanya dilambangkan %%R(u, v, \ titikc, w)%%. Argumen dari fungsi tersebut dapat berupa fungsi dari variabel bebas %%x%%, termasuk radikal dalam bentuk %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Misalnya, fungsi rasional $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ dengan %%u = x, v = \sqrt(x)%% dan %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% adalah fungsi rasional dari $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ dari %%x%% dan radikal %%\sqrt(x)%% dan %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, sedangkan fungsi %%f(x)%% akan menjadi fungsi irasional (aljabar) dari satu variabel bebas %%x%%.

Mari kita pertimbangkan integral dari bentuk %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Integral tersebut dirasionalisasikan dengan mengganti variabel %%t = \sqrt[n](x)%%, lalu %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Contoh 1

Temukan %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Integran dari argumen yang diinginkan ditulis sebagai fungsi dari radikal derajat %%2%% dan %%3%%. Karena kelipatan persekutuan terkecil dari %%2%% dan %%3%% adalah %%6%%, integral ini merupakan integral bertipe %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% dan dapat dirasionalisasikan dengan mengganti %%\sqrt(x) = t%%. Maka %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Oleh karena itu, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Mari kita ambil %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% dan $$ \begin(array)( akan ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \kiri(\sqrt(x) + 1\kanan)^3 - 9 \kiri(\sqrt(x) + 1\kanan)^2 + \\ &+~ 18 \kiri( \sqrt(x) + 1\kanan) - 6 \ln\kiri|\sqrt(x) + 1\kanan| + C \end(array) $$

Integral dengan bentuk %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% adalah kasus khusus dari irasionalitas linier pecahan, yaitu integral berbentuk %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, dengan %% ad - bc \neq 0%%, yang dapat dirasionalisasikan dengan mengganti variabel %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, lalu %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Maka $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Contoh 2

Cari %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Misalkan %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, lalu %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Oleh karena itu, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Mari kita pertimbangkan integral dari bentuk %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Dalam kasus yang paling sederhana, integral tersebut direduksi menjadi integral tabel jika, setelah mengisolasi kuadrat lengkap, terjadi perubahan variabel.

Contoh 3

Cari integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Mengingat %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kita ambil %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, lalu $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\kiri|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kiri|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C.\end(array) $$

Dalam kasus yang lebih kompleks, untuk mencari integral bentuk %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% digunakan