Pada bagian ini akan dibahas metode integrasi fungsi rasional. 7.1. Informasi singkat tentang fungsi rasional Fungsi rasional yang paling sederhana adalah polinomial derajat kesepuluh, yaitu. suatu fungsi yang bentuknya adalah konstanta real, dan a0 Φ 0. Polinomial Qn(x) yang koefisien a0 = 1 disebut tereduksi. Suatu bilangan real b disebut akar polinomial Qn(z) jika Q„(b) = 0. Diketahui bahwa setiap polinomial Qn(x) dengan koefisien real didekomposisi secara unik menjadi faktor-faktor real yang berbentuk p, q adalah koefisien nyata, dan faktor kuadratnya tidak mempunyai akar nyata sehingga tidak dapat diuraikan menjadi faktor linier nyata. Dengan menggabungkan faktor-faktor identik (jika ada) dan dengan asumsi, untuk mempermudah, bahwa polinomial Qn(x) tereduksi, kita dapat menuliskan faktorisasinya dalam bentuk bilangan asli. Karena derajat polinomial Qn(x) sama dengan n, maka jumlah semua eksponen a, /3,..., A, ditambah dengan jumlah ganda semua eksponen ω,..., q, adalah sama ke n: Akar a dari suatu polinomial disebut sederhana atau tunggal , jika a = 1, dan kelipatan jika a > 1; bilangan a disebut multiplisitas dari akar a. Hal yang sama berlaku untuk akar polinomial lainnya. Fungsi rasional f(x) atau pecahan rasional adalah perbandingan dua polinomial, dan diasumsikan bahwa polinomial Pm(x) dan Qn(x) tidak mempunyai faktor persekutuan. Pecahan rasional disebut pecahan wajar jika derajat polinomial pada pembilangnya lebih kecil dari derajat polinomial pada penyebutnya, yaitu. Jika m n, maka pecahan rasional disebut pecahan biasa, dan dalam hal ini, membagi pembilangnya dengan penyebutnya menurut aturan pembagian polinomial, dapat direpresentasikan dalam bentuk di mana beberapa polinomial, dan ^^ adalah bilangan wajar pecahan rasional. Contoh 1. Pecahan rasional adalah pecahan biasa. Membagi dengan “sudut”, kita punya Oleh karena itu. Di Sini. dan itu adalah pecahan biasa. Untuk mencari konstanta tersebut, ruas kanan persamaan (I) dibawa ke penyebut yang sama, dan kemudian koefisien-koefisien pada pangkat x yang sama pada pembilang ruas kiri dan kanan disamakan. Ini menghasilkan sistem persamaan linier yang darinya konstanta yang diperlukan dapat ditemukan. . Cara mencari konstanta yang tidak diketahui ini disebut metode koefisien tak tentu. Kadang-kadang lebih mudah untuk menggunakan metode lain untuk menemukan konstanta yang tidak diketahui, yang terdiri dari fakta bahwa setelah menyamakan pembilangnya, identitas diperoleh sehubungan dengan x, di mana argumen x diberikan beberapa nilai, misalnya nilai ​akar-akarnya, menghasilkan persamaan untuk mencari konstanta. Hal ini sangat berguna jika penyebut Q„(x) hanya mempunyai akar-akar real sederhana. Contoh 2. Uraikan pecahan rasional menjadi pecahan yang lebih sederhana. Kita menguraikan penyebutnya menjadi perkalian: Karena akar-akar penyebutnya nyata dan berbeda, maka berdasarkan rumus (1), penguraian pecahan menjadi yang paling sederhana akan berbentuk: Mengurangi kehormatan yang tepat “persamaan itu menjadi penyebut yang sama dan menyamakan pembilang di sisi kiri dan kanannya, kita memperoleh identitas atau Kami menemukan koefisien yang tidak diketahui A. 2?, C dengan dua cara. Cara pertama Menyamakan koefisien pangkat x yang sama, t.v. dengan (suku bebas), dan sisi kiri dan kanan identitas, kita memperoleh sistem persamaan linier untuk mencari koefisien yang tidak diketahui A, B, C: Sistem ini memiliki solusi unik C Metode kedua. Karena akar-akar penyebutnya robek pada i 0, kita memperoleh 2 = 2A, maka A * 1; g i 1, kita mendapatkan -1 * -B, dari mana 5 * 1; x i 2, kita peroleh 2 = 2C. dari mana C» 1, dan pemuaian yang diperlukan berbentuk 3. Rehlozhnt bukan pecahan paling sederhana pecahan rasional 4 Kami menguraikan polinomial yang arahnya berlawanan menjadi faktor-faktor: . Penyebutnya memiliki dua akar real yang berbeda: x\ = 0 multiplisitas multiplisitas 3. Oleh karena itu, penguraian pecahan ini bukanlah yang paling sederhana: Mengurangi ruas kanan menjadi penyebut yang sama, kita temukan atau Metode pertama. Menyamakan koefisien pangkat x yang sama pada ruas kiri dan kanan identitas terakhir. kita memperoleh sistem persamaan linier. Sistem ini memiliki solusi unik dan ekspansi yang diperlukan adalah metode Kedua. Pada identitas yang dihasilkan, dengan memasukkan x = 0, kita memperoleh 1 a A2, atau A2 = 1; bidang* gay x = -1, kita mendapatkan -3 i B), atau Bj i -3. Saat mensubstitusi nilai yang ditemukan dari koefisien A\ dan B) dan identitasnya akan berbentuk atau Puting x = 0, lalu x = -I. kita menemukan bahwa = 0, B2 = 0 dan. ini berarti B\ = 0. Jadi, kita kembali memperoleh Contoh 4. Perluas pecahan rasional 4 menjadi pecahan yang lebih sederhana. Penyebut pecahan tersebut tidak memiliki akar real, karena fungsi x2 + 1 tidak hilang untuk nilai real apa pun dari x. Oleh karena itu, penguraian menjadi pecahan sederhana harus berbentuk Dari sini kita peroleh atau. Menyamakan koefisien pangkat sinaks x di ruas kiri dan kanan persamaan terakhir, kita akan mendapatkan tempat kita menemukannya dan, oleh karena itu, Perlu dicatat bahwa dalam beberapa kasus perluasan menjadi pecahan sederhana dapat diperoleh lebih cepat dan mudah dengan bertindak dengan cara lain, tanpa menggunakan metode koefisien tak tentu Misalnya, untuk mendapatkan penguraian pecahan pada contoh 3, Anda dapat menjumlahkan dan mengurangi pembilang 3x2 dan membaginya seperti di bawah ini. 7.2. Integrasi pecahan sederhana, Seperti disebutkan di atas, pecahan rasional tak wajar apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari beberapa polinomial dan pecahan rasional wajar (§7), dan representasi ini unik. Mengintegrasikan polinomial tidaklah sulit, jadi pertimbangkan pertanyaan tentang pengintegrasian pecahan rasional yang tepat. Karena setiap pecahan rasional sejati dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan pecahan sederhana, maka integrasinya direduksi menjadi integrasi pecahan sederhana. Sekarang mari kita pertimbangkan pertanyaan tentang integrasi mereka. AKU AKU AKU. Untuk mencari integral pecahan paling sederhana tipe ketiga, kita pisahkan kuadrat lengkap binomial dari trinomial kuadrat: Karena suku kedua sama dengan a2, di mana lalu kita melakukan substitusi. Kemudian, dengan mempertimbangkan sifat linier integral, kita menemukan: Contoh 5. Temukan integral 4 Fungsi integran adalah pecahan paling sederhana dari tipe ketiga, karena trinomial persegi x1 + Ax + 6 tidak memiliki akar real (diskriminannya negatif: , dan pembilangnya mengandung polinomial derajat pertama. Oleh karena itu, kita lakukan sebagai berikut: 1) pilih kuadrat sempurna pada penyebutnya 2) lakukan substitusi (di sini 3) dengan * satu integral Untuk mencari integral dari bilangan tersebut pecahan paling sederhana dari tipe keempat, kita masukkan, seperti di atas, . Kemudian kita peroleh Integral di ruas kanan yang dinotasikan dengan A dan ditransformasikan sebagai berikut: Integral di ruas kanan terintegrasi bagian-bagiannya, dengan asumsi dari mana atau Integral fungsi rasional Informasi singkat tentang fungsi rasional Integral pecahan sederhana Kasus umum Integral irasional fungsi Substitusi pertama Euler Substitusi Euler kedua Substitusi ketiga Euler Kita telah memperoleh apa yang disebut rumus berulang, yang memungkinkan kita mencari integral Jk untuk sembarang k = 2, 3,. ... . Memang, integral J\ berbentuk tabel: Dengan memasukkan rumus perulangan, kita mencari Mengetahui dan memasukkan A = 3, kita dapat dengan mudah mencari Jj dan seterusnya. Pada hasil akhir, dengan mensubstitusi ekspresi mereka ke dalam x dan koefisien p dan q di mana-mana, bukan t dan a, kita memperoleh ekspresi dalam x dan bilangan tertentu M, LG, p, q untuk integral asli. Contoh 8. Integral baru “Fungsi integran adalah pecahan paling sederhana dari tipe keempat, karena diskriminan dari trinomial persegi adalah negatif, yaitu. Artinya penyebutnya tidak mempunyai akar real, dan pembilangnya adalah polinomial derajat 1. 1) Kita pilih kuadrat lengkap pada penyebutnya 2) Kita lakukan substitusi: Integralnya akan berbentuk: Masukkan rumus perulangan * = 2, a3 = 1. kita akan mendapatkan, dan oleh karena itu, integral yang diinginkan adalah sama Kembali ke variabel x, akhirnya kita memperoleh 7.3. Kasus umum Dari hasil paragraf. 1 dan 2 bagian ini segera mengikuti teorema penting. Dalil! 4. Integral tak tentu dari setiap fungsi rasional selalu ada (pada interval di mana penyebut pecahan Q„(x) φ 0) dan dinyatakan melalui sejumlah fungsi dasar yang terbatas, yaitu jumlah aljabar, suku-sukunya yang hanya dapat dikalikan, pecahan rasional, logaritma natural, dan tangen busur. Jadi, untuk mencari integral tak tentu suatu fungsi pecahan-rasional, harus dilakukan dengan cara berikut: 1) jika pecahan rasional tidak wajar, maka dengan membagi pembilangnya dengan penyebutnya, seluruh bagiannya diisolasi, yaitu fungsi ini direpresentasikan sebagai jumlah polinomial dan pecahan rasional biasa; 2) kemudian penyebut pecahan biasa yang dihasilkan didekomposisi menjadi hasil kali faktor linier dan kuadrat; 3) pecahan biasa ini diuraikan menjadi jumlah pecahan sederhana; 4) dengan menggunakan linearitas integral dan rumus langkah 2, integral setiap suku dicari secara terpisah. Contoh 7. Carilah integral M Karena penyebutnya adalah polinomial orde ketiga, maka fungsi integralnya adalah pecahan biasa. Kami menyoroti seluruh bagian di dalamnya: Oleh karena itu, kami akan memilikinya. Penyebut pecahan biasa memiliki phi akar real yang berbeda: dan oleh karena itu penguraiannya menjadi pecahan sederhana berbentuk Oleh karena itu kita temukan. Dengan memberikan argumen x nilai yang sama dengan akar-akar penyebutnya, kita menemukan dari identitas ini bahwa: Oleh karena itu, integral yang diperlukan akan sama dengan Contoh 8. Temukan integralnya 4 Integran adalah pecahan biasa yang penyebutnya memiliki dua akar real yang berbeda: x - O multiplisitas 1 dan x = 1 multiplisitas 3, Oleh karena itu, perluasan integran menjadi pecahan sederhana berbentuk Membawa ruas kanan persamaan ini ke penyebut yang sama dan mengurangi kedua ruas persamaan dengan penyebut ini, kita memperoleh atau. Kita menyamakan koefisien pangkat x yang sama pada sisi kiri dan kanan identitas ini: Dari sini kita temukan. Mengganti nilai-nilai koefisien yang ditemukan ke dalam ekspansi, kita akan mendapatkan. Mengintegrasikan, kita menemukan: Contoh 9. Temukan integral 4 Penyebut pecahan tidak memiliki akar real. Oleh karena itu, perluasan integran menjadi pecahan sederhana berbentuk Oleh karena itu atau Menyamakan koefisien pangkat x yang sama di sisi kiri dan kanan identitas ini, kita akan mendapatkan dari mana kita menemukan dan, oleh karena itu, Catatan. Pada contoh di atas, fungsi integran dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan pecahan sederhana dengan cara yang lebih sederhana, yaitu pada pembilang pecahan kita pilih biner yang ada pada penyebutnya, lalu kita lakukan pembagian suku demi suku. : §8. Integrasi fungsi irasional Suatu fungsi yang bentuknya Pm dan £?„ masing-masing merupakan polinomial dengan derajat tipe dalam variabel uub2,... disebut fungsi rasional dari ubu2j... Misalnya, polinomial kedua derajat dalam dua variabel u\ dan u2 memiliki bentuk di mana - beberapa konstanta nyata, dan Contoh 1, Fungsi tersebut adalah fungsi rasional dari variabel z dan y, karena mewakili rasio polinomial derajat ketiga dan polinomial derajat kelima dan bukan merupakan fungsi yew. Dalam hal variabel-variabel tersebut, pada gilirannya, merupakan fungsi dari variabel x: maka fungsi tersebut ] disebut fungsi rasional dari fungsi-fungsi Contoh. Suatu fungsi adalah fungsi rasional dari r dan rvdikvlv Pryaivr 3. Fungsi bentuk bukanlah fungsi rasional dari x dan akar y/r1 + 1, tetapi merupakan fungsi rasional dari fungsi fungsi tidak selalu dinyatakan melalui fungsi dasar. Misalnya, integral yang sering ditemui dalam aplikasi tidak dinyatakan dalam fungsi dasar; Integral ini masing-masing disebut integral elips jenis pertama dan kedua. Mari kita perhatikan kasus-kasus ketika integrasi fungsi-fungsi irasional dapat direduksi, dengan bantuan beberapa substitusi, menjadi integrasi fungsi-fungsi rasional. 1. Misalkan kita perlu mencari integral di mana R(x, y) adalah fungsi rasional dari argumennya x dan y; m £ 2 - bilangan asli; a, 6, c, d adalah konstanta real yang memenuhi syarat ad - bc ^ O (untuk ad - be = 0, koefisien a dan b sebanding dengan koefisien c dan d, sehingga hubungannya tidak bergantung pada x ; artinya dalam hal ini fungsi integran adalah fungsi rasional dari variabel x yang integrasinya telah dibahas sebelumnya). Selanjutnya kita temukan atau, setelah penyederhanaan, Oleh karena itu di mana A1 (t) adalah fungsi rasional dari *, karena funadia rasional dari suatu fungsi rasional, serta produk dari fungsi rasional, adalah fungsi rasional. Kami tahu bagaimana mengintegrasikan fungsi rasional. Misalkan Maka integral yang diperlukan sama dengan At. Integral IvYti 4 Fungsi integral* adalah fungsi rasional dari. Oleh karena itu, kita tetapkan t = Maka Integrasi fungsi rasional Informasi singkat tentang fungsi rasional Integrasi pecahan sederhana Kasus umum Integrasi fungsi irasional Substitusi pertama Euler Substitusi kedua Euler Substitusi ketiga Euler Jadi, kita memperoleh Primar 5. Temukan integralnya Penyebut yang sama dari pecahan eksponen pangkat x adalah 12, jadi integran fungsi tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk 1 _ 1_ yang menunjukkan bahwa ini adalah fungsi rasional dari: Dengan mempertimbangkan hal ini, mari kita masukkan. Akibatnya, 2. Pertimbangkan inteph dari bentuk di mana fungsi subintephal sedemikian rupa sehingga dengan mengganti radikal \/ax2 + bx + c di dalamnya dengan y, kita memperoleh fungsi R(x) y) - rasional terhadap kedua argumen x dan kamu. Integral ini direduksi menjadi integral fungsi rasional variabel lain dengan menggunakan substitusi Euler. 8.1. Substitusi pertama Euler Misalkan koefisien a > 0. Mari kita tetapkan atau Oleh karena itu kita temukan x sebagai fungsi rasional dari u, yang berarti Jadi, substitusi yang ditunjukkan dinyatakan secara rasional dalam bentuk *. Oleh karena itu, kami akan mendapat komentar. Substitusi Euler pertama juga dapat diambil dalam bentuk Contoh 6. Mari kita cari integralnya. Oleh karena itu, kita akan mendapatkan substitusi dx Euler, tunjukkan bahwa Y 8.2. Substitusi Euler yang kedua Misalkan trinomial ax2 + bx + c mempunyai akar-akar real yang berbeda R] dan x2 (koefisiennya dapat bertanda apa saja). Dalam hal ini, kita asumsikan Sejak maka kita peroleh Karena x,dxn y/ax2 + be + c dinyatakan secara rasional dalam bentuk t, maka integral asal direduksi menjadi integral fungsi rasional, yaitu dimana Soal. Dengan menggunakan substitusi pertama Euler, tunjukkan bahwa ini merupakan fungsi rasional dari t. Contoh 7. Carilah integral dx M fungsi ] - x1 mempunyai akar-akar real yang berbeda. Oleh karena itu, kami menerapkan substitusi Euler kedua. Dari sini kami menemukan. Mengganti ekspresi yang ditemukan ke dalam Diberikan?v*gyvl; kita mendapatkan 8.3. Substatom Euler ketiga Misalkan koefisien c > 0. Kita melakukan perubahan variabel dengan menempatkan. Perhatikan bahwa untuk mereduksi integral menjadi integral fungsi rasional, substitusi Euler pertama dan kedua sudah cukup. Faktanya, jika diskriminan b2 -4ac > 0, maka akar-akar trinomial kuadrat ax + bx + c adalah real, dan dalam hal ini substitusi Euler kedua dapat diterapkan. Jika, maka tanda trinomial ax2 + bx + c bertepatan dengan tanda koefisien a, dan karena trinomial tersebut harus positif, maka a > 0. Dalam hal ini, substitusi pertama Euler dapat diterapkan. Untuk mencari integral seperti yang ditunjukkan di atas, tidak selalu disarankan untuk menggunakan substitusi Euler, karena bagi mereka dimungkinkan untuk menemukan metode integrasi lain yang lebih cepat mencapai tujuan. Mari kita pertimbangkan beberapa integral ini. 1. Untuk mencari integral bentuk, pisahkan kuadrat sempurna dari kuadrat trinomial ke-th: dimana Setelah itu, lakukan substitusi dan dapatkan dimana koefisien a dan P mempunyai tanda berbeda atau keduanya positif. Untuk, dan juga untuk a > 0, integralnya akan direduksi menjadi logaritma, dan jika demikian, menjadi arcsinus. Pada. Carilah bilangan bulat 4 Sokak lalu. Dengan asumsi, kita mendapatkan Prmmar 9. Temukan. Dengan asumsi x -, kita akan mendapatkan 2. Integral bentuk tersebut direduksi menjadi integral y dari langkah 1 sebagai berikut. Mengingat turunan ()" = 2, kita soroti pada pembilangnya: 4 Kita identifikasikan pada pembilangnya turunan dari ekspresi radikal. Karena (x, maka kita akan mendapatkan, dengan memperhitungkan hasil dari contoh 9, 3. Integral bentuk dimana P„(x) adalah polinomial n derajat -th, dapat dicari dengan metode koefisien tak tentu, yang terdiri dari berikut ini. Misalkan persamaannya adalah Contoh 10. Integral kuat dimana Qn-i (s) adalah polinomial berderajat (n - 1) dengan koefisien tak tentu: Untuk mencari koefisien yang tidak diketahui |. kita bedakan kedua ruas (1): Kemudian kita kurangi ruas kanan persamaan (2) menjadi penyebut yang sama penyebut ruas kiri, yaitu y/ax2 + bx + c, dengan mereduksi kedua ruas (2) sehingga kita memperoleh identitas yang kedua ruasnya mengandung polinomial berderajat n sisi kiri dan kanan (3), kita memperoleh n + 1 persamaan, dari mana kita menemukan koefisien yang diperlukan j4*(fc = 0,1,2,..., n ). dari (1) dan mencari integral + c kita memperoleh jawaban untuk integral ini. Contoh 11. Cari integralnya Mari kita bedakan kedua persamaan tersebut, kita akan mendapatkan ruas kanan menjadi penyebut yang sama dan mengurangkan kedua ruas tersebut, kita memperoleh identitas atau. Menyamakan koefisien dengan pangkat x yang sama, kita sampai pada sistem persamaan yang kita temukan = Kemudian kita temukan integral di sisi kanan persamaan (4): Oleh karena itu, integral yang diperlukan akan sama dengan

Mari kita perhatikan integral dengan akar fungsi pecahan linier:
(1) ,
dimana R adalah fungsi rasional dari argumennya. Artinya, suatu fungsi yang terdiri dari argumen dan konstanta sembarangnya menggunakan sejumlah operasi penjumlahan (pengurangan), perkalian, dan pembagian yang terbatas (pangkat bilangan bulat).

Contoh integral yang dipertimbangkan dengan irasionalitas linier pecahan

Mari kita beri contoh integral dengan akar bentuk (1) .

Contoh 1

Meskipun di sini tanda integral mencakup akar-akar dengan derajat yang berbeda-beda, ekspresi integran dapat diubah sebagai berikut:
;
;
.

Jadi, integran terdiri dari variabel integrasi x dan akar fungsi linier menggunakan sejumlah operasi pengurangan, pembagian, dan perkalian yang terbatas. Oleh karena itu, ini adalah fungsi rasional dari x dan dan termasuk dalam tipe yang dipertimbangkan (1) dengan nilai konstan n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Contoh 2

Di sini kita melakukan konversi:
.
Hal ini menunjukkan bahwa integran merupakan fungsi rasional dari x dan .

Oleh karena itu termasuk dalam tipe yang dimaksud.

Contoh umum irasionalitas linier pecahan
(2) ,
Dalam kasus yang lebih umum, integran dapat mencakup sejumlah akar berhingga dari fungsi pecahan linier yang sama:
dimana R adalah fungsi rasional dari argumennya,
- bilangan rasional, M 1, n 1, ..., m s, n s
- bilangan bulat.
,
Memang, misalkan n adalah penyebut persekutuan dari bilangan r 1, ..., r s. Kemudian mereka dapat direpresentasikan sebagai: dimana k (2) 1 , k 2 , ..., k s
,
,
. . . . .
.

- bilangan bulat. Lalu semua orang ikut serta (2) akar adalah kekuatan dari:
.

Artinya, seluruh integran

terdiri dari x dan akar menggunakan sejumlah operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian yang terbatas. Oleh karena itu merupakan fungsi rasional dari x dan :
(1)
Metode integrasi root
(3) .

Integral dengan irasionalitas linier pecahan

direduksi menjadi integral fungsi rasional melalui substitusi (3) :
.

Bukti (3) :
;
;
.

Ekstrak akar ke-n dari kedua sisi

;
;
.
Mari bertransformasi
.

Menemukan turunannya: (1) :
.

Hal ini menunjukkan bahwa fungsi integran terdiri dari konstanta dan variabel integrasi t menggunakan sejumlah operasi penjumlahan (pengurangan), perkalian (pangkat bilangan bulat) dan pembagian yang terbatas. Oleh karena itu, integran merupakan fungsi rasional dari variabel integrasi. Dengan demikian, perhitungan integral direduksi menjadi integrasi fungsi rasional. Q.E.D.

Contoh integrasi irasionalitas linier

Temukan integralnya:

Larutan

Karena integral mencakup akar-akar fungsi linier yang sama (fraksional) x + 1 , dan integran dibentuk dengan menggunakan operasi pengurangan dan pembagian, maka integral tersebut termasuk dalam jenis yang dipertimbangkan.

Mari kita transformasikan integran sehingga mencakup akar-akar yang derajatnya sama:
;
;
.

Melakukan pergantian pemain
x+ 1 = t 6.
Mari kita ambil perbedaannya:
D (x + 1) = dx = ( jilid 6 )′ dt = 6t 5dt.
Mari kita gantikan:
x = t 6 - 1 ;
;
;
.
Kami memilih seluruh bagian pecahan, mencatatnya
T 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Kemudian

.

Menjawab

,
Di mana .

Contoh integrasi irasionalitas fraksional-linier

Temukan integralnya

Larutan

Mari kita pilih akar dari fungsi pecahan linier:
.
Kemudian
.
Melakukan pergantian pemain
.
Ambil perbedaannya
.
Menemukan turunannya
.
Kemudian
.
Selanjutnya kita memperhatikan hal itu
.
Gantikan ke integrand


.

Menjawab

Sastra bekas:
N.M. Gunther, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003.

Di bawah irasional memahami ekspresi di mana variabel independen %%x%% atau polinomial %%P_n(x)%% berderajat %%n \in \mathbb(N)%% disertakan di bawah tanda radikal(dari bahasa Latin akar- akar), mis. dipangkatkan ke pangkat pecahan. Dengan mengganti variabel, beberapa kelas integran yang irasional terhadap %%x%% dapat direduksi menjadi ekspresi rasional terhadap variabel baru.

Konsep fungsi rasional dari satu variabel dapat diperluas ke beberapa argumen. Jika untuk setiap argumen %%u, v, \dotsc, w%% saat menghitung nilai suatu fungsi, hanya operasi aritmatika dan kenaikan pangkat bilangan bulat yang disediakan, maka kita berbicara tentang fungsi rasional dari argumen ini, yang biasanya dilambangkan %%R(u, v, \ titikc, w)%%. Argumen dari fungsi tersebut dapat berupa fungsi dari variabel independen %%x%%, termasuk radikal dalam bentuk %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Misalnya, fungsi rasional $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ dengan %%u = x, v = \sqrt(x)%% dan %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% adalah fungsi rasional dari $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ dari %%x%% dan radikal %%\sqrt(x)%% dan %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, sedangkan fungsi %%f(x)%% akan menjadi fungsi irasional (aljabar) dari satu variabel independen %%x%%.

Mari kita pertimbangkan integral dari bentuk %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Integral tersebut dirasionalisasikan dengan mengganti variabel %%t = \sqrt[n](x)%%, lalu %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Contoh 1

Temukan %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

Integran dari argumen yang diinginkan ditulis sebagai fungsi dari radikal derajat %%2%% dan %%3%%. Karena kelipatan persekutuan terkecil dari %%2%% dan %%3%% adalah %%6%%, integral ini merupakan integral bertipe %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% dan dapat dirasionalisasikan dengan mengganti %%\sqrt(x) = t%%. Maka %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Oleh karena itu, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Mari kita ambil %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% dan $$ \begin(array)( akan ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \kiri(\sqrt(x) + 1\kanan)^3 - 9 \kiri(\sqrt(x) + 1\kanan)^2 + \\ &+~ 18 \kiri( \sqrt(x) + 1\kanan) - 6 \ln\kiri|\sqrt(x) + 1\kanan| + C \end(array) $$

Integral dengan bentuk %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% adalah kasus khusus dari irasionalitas linier pecahan, yaitu integral bentuk %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, dengan %% ad - bc \neq 0%%, yang dapat dirasionalisasikan dengan mengganti variabel %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, lalu %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Maka $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Contoh 2

Cari %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Misalkan %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, lalu %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Oleh karena itu, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\kanan) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Mari kita pertimbangkan integral dari bentuk %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. Dalam kasus yang paling sederhana, integral tersebut direduksi menjadi integral tabel jika, setelah mengisolasi kuadrat lengkap, terjadi perubahan variabel.

Contoh 3

Cari integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Mengingat %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, kita ambil %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, lalu $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\kiri|t + \sqrt(t^2 + 1)\kanan| + C = \\ &= \ln\kiri|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\kanan| + C.\end(array) $$

Dalam kasus yang lebih kompleks, untuk mencari integral bentuk %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% digunakan

Jawaban siap pakai pada pengintegrasian fungsi diambil dari tes untuk mahasiswa tahun 1 dan 2 jurusan matematika. Agar rumus pada soal dan jawaban tidak mengulangi ketentuan tugas, kami tidak akan menuliskan ketentuannya. Anda sudah tahu bahwa dalam soal Anda perlu "Mencari integralnya" atau "Menghitung integralnya". Oleh karena itu, jika Anda membutuhkan jawaban tentang integrasi, mulailah mempelajari contoh-contoh berikut.

Integrasi fungsi irasional

Contoh 18. Kami melakukan perubahan variabel di bawah integral. Untuk menyederhanakan penghitungan, kami tidak hanya memilih akar, tetapi seluruh penyebut untuk variabel baru. Setelah penggantian tersebut, integral diubah menjadi jumlah dua integral tabel, yang tidak perlu disederhanakan

Setelah integrasi, kami mengganti variabel dengan substitusi.
Contoh 19. Banyak waktu dan ruang yang dihabiskan untuk mengintegrasikan fungsi irasional pecahan ini, dan kami bahkan tidak tahu apakah Anda dapat mengetahuinya dari tablet atau ponsel. Untuk menghilangkan irasionalitas, dan di sini kita berurusan dengan akar pangkat tiga, kita memilih fungsi akar pangkat tiga untuk variabel baru. Selanjutnya kita cari diferensialnya dan ganti fungsi sebelumnya dengan integral

Bagian yang paling memakan waktu adalah menjadwalkan fungsi baru untuk relasi kekuasaan dan pecahan.

Setelah transformasi, kami segera menemukan beberapa integral, dan kami menulis yang terakhir menjadi dua, yang kami ubah sesuai dengan rumus integrasi tabel

Setelah semua perhitungan dilakukan, jangan lupa untuk kembali ke penggantian yang dilakukan di awal

Mengintegrasikan fungsi trigonometri

Contoh 20. Kita perlu mencari integral sinus pangkat 7. Menurut aturan, satu sinus perlu diubah menjadi diferensial (kita mendapatkan diferensial kosinus), dan sinus pangkat 6 harus ditulis melalui kosinus. Jadi kita sampai pada integrasi dari fungsi variabel baru t = cos (x).



Dalam hal ini, Anda harus membawa selisihnya ke kubus, lalu mengintegrasikannya
Hasilnya, kita memperoleh polinomial berorde 7 dalam kosinus.


Contoh 21. Dalam integral ini, kosinus derajat ke-4 perlu ditulis dalam rumus trigonometri melalui ketergantungan pada kosinus derajat pertama. Selanjutnya, kita menerapkan rumus tabel untuk integrasi kosinus.

Contoh 22. Pada integral kita mempunyai hasil kali sinus dan cosinus. Menurut rumus trigonometri, kita menulis hasil kali selisih sinus. Bagaimana busur ini diperoleh dapat dipahami dari analisis koefisien “x”. Selanjutnya kita mengintegrasikan sinus

Contoh 23. Di sini kita memiliki fungsi sinus dan cosinus pada penyebutnya. Selain itu, rumus trigonometri tidak akan membantu menyederhanakan ketergantungan. Untuk mencari integral, kita menerapkan penggantian trigonometri universal t=tan(x/2)

Di akhir perhitungan, alih-alih variabel, kami mengganti tangen dari setengah argumen.
Contoh 24. Untuk mengintegrasikan suatu fungsi, kita keluarkan kuadrat kosinus dari tanda kurung, dan dalam tanda kurung kita kurangi dan tambahkan satu untuk mendapatkan kotangen.

Selanjutnya, kita memilih kotangen u = ctg (x) untuk variabel baru, diferensialnya akan memberi kita faktor yang kita perlukan untuk penyederhanaan. Setelah substitusi kita sampai pada suatu fungsi yang, jika diintegrasikan, menghasilkan tangen busur.

Nah, jangan lupa ubah kamu menjadi kotangen.
Contoh 25. Pada tugas tes terakhir, Anda perlu mengintegrasikan kotangen sudut ganda ke derajat ke-4.


Pada titik ini, ujian integrasi telah diselesaikan, dan tidak ada satu guru pun yang akan menemukan kesalahan dalam jawaban dan pembenaran transformasi tersebut.
Jika Anda mempelajari cara berintegrasi seperti ini, maka tes atau bagian tentang topik integral tidak menakutkan bagi Anda. Setiap orang mempunyai kesempatan untuk mempelajari atau memesan solusi integral dari kami (atau pesaing kami :))).

Definisi 1

Himpunan semua antiturunan dari fungsi tertentu $y=f(x)$, yang didefinisikan pada segmen tertentu, disebut integral tak tentu dari fungsi tertentu $y=f(x)$. Integral tak tentu dilambangkan dengan simbol $\int f(x)dx $.

Komentar

Definisi 2 dapat ditulis sebagai berikut:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

Tidak semua fungsi irasional dapat dinyatakan sebagai integral melalui fungsi dasar. Namun, sebagian besar integral ini dapat direduksi dengan menggunakan substitusi integral fungsi rasional, yang dapat dinyatakan dalam fungsi dasar.

$\int R\kiri(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \kanan)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \kanan)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \kanan)^(r/s) \kanan)dx $;

$\int R\kiri(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \kanan)dx $.

SAYA

Untuk mencari integral berbentuk $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ maka perlu dilakukan substitusi berikut:

Dengan substitusi ini, setiap pangkat pecahan dari variabel $x$ dinyatakan melalui pangkat bilangan bulat dari variabel $t$. Hasilnya, fungsi integran diubah menjadi fungsi rasional variabel $t$.

Contoh 1

Lakukan integrasi:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) .\]

Larutan:

$k=4$ adalah penyebut pecahan $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \kanan)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(array)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \kiri+C\]

II

Saat mencari integral berbentuk $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ maka perlu dilakukan substitusi berikut:

dimana $k$ adalah penyebut pecahan $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Sebagai hasil dari substitusi ini, integran diubah menjadi fungsi rasional dari variabel $t$.

Contoh 2

Lakukan integrasi:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Larutan:

Mari kita lakukan substitusi berikut:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \kanan)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \kiri |\frac(t-2)(t+2) \kanan|+C\]

Setelah melakukan substitusi terbalik, kita mendapatkan hasil akhir:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ persegi(x+4) +2) \kanan|+C.\]

AKU AKU AKU

Saat mencari integral berbentuk $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, yang disebut substitusi Euler dilakukan (satu dari tiga kemungkinan substitusi adalah digunakan).

Pergantian pertama Euler

Untuk kasus $a>

Dengan mengambil tanda “+” di depan $\sqrt(a) $, kita peroleh

Contoh 3

Lakukan integrasi:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) .\]

Larutan:

Mari kita lakukan substitusi berikut (case $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t) .\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Setelah melakukan substitusi terbalik, kita mendapatkan hasil akhir:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Pergantian kedua Euler

Untuk kasus $c>0$ perlu dilakukan substitusi berikut:

Dengan mengambil tanda “+” di depan $\sqrt(c) $, kita peroleh

Contoh 4

Lakukan integrasi:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Larutan:

Mari kita lakukan substitusi berikut:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Setelah melakukan kebalikannya substitusi, kita mendapatkan hasil akhir:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \kanan|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \kiri|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\kanan|+C) \end ( susunan)\]

Pergantian ketiga Euler