Suatu fungsi F(x) yang terdiferensiasi dalam interval tertentu X disebut antiturunan dari fungsi tersebut f(x), atau integral dari f(x), jika untuk setiap x ∈X persamaan berikut berlaku:

F " (x) = f(x). (8.1)

Menemukan semua antiturunan untuk suatu fungsi disebut nya integrasi. Fungsi integral tak tentu f(x) pada interval tertentu X adalah himpunan semua fungsi antiturunan untuk fungsi f(x); penamaan -

Jika F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x), maka ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

di mana C adalah konstanta sembarang.

Tabel integral

Langsung dari definisinya kita memperoleh sifat-sifat utama integral tak tentu dan daftar integral tabel:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konstan)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Daftar integral tabel

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = busursin x + C

10. = - ctg x + C

Penggantian variabel

Untuk mengintegrasikan banyak fungsi, gunakan metode penggantian variabel atau pergantian pemain, memungkinkan Anda mereduksi integral menjadi bentuk tabel.

Jika fungsi f(z) kontinu pada [α,β], fungsi z =g(x) mempunyai turunan kontinu dan α ≤ g(x) ≤ β, maka

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Selain itu, setelah integrasi pada ruas kanan, harus dilakukan substitusi z=g(x).

Untuk membuktikannya cukup dengan menuliskan integral aslinya dalam bentuk:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Misalnya:

Metode integrasi berdasarkan bagian

Misalkan u = f(x) dan v = g(x) adalah fungsi yang mempunyai kontinuitas. Kemudian, menurut pekerjaannya,

d(uv))= udv + vdu atau udv = d(uv) - vdu.

Untuk ekspresi d(uv), antiturunannya jelas adalah uv, sehingga rumusnya berlaku:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Rumus ini mengungkapkan aturannya integrasi berdasarkan bagian. Ini mengarahkan integrasi ekspresi udv=uv"dx ke integrasi ekspresi vdu=vu"dx.

Misalnya, Anda ingin mencari ∫xcosx dx. Misalkan u = x, dv = cosxdx, jadi du=dx, v=sinx. Kemudian

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Aturan integrasi per bagian memiliki cakupan yang lebih terbatas dibandingkan substitusi variabel. Tapi ada seluruh kelas integral, misalnya,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dan lain-lain, yang dihitung secara tepat menggunakan integrasi per bagian.

Integral pasti

Konsep integral tertentu diperkenalkan sebagai berikut. Biarkan suatu fungsi f(x) terdefinisi pada suatu interval. Mari kita bagi segmen [a,b] menjadi N bagian demi poin a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x saya =xi - x saya-1. Jumlah dari bentuk f(ξ i)Δ x i disebut jumlah integral, dan limitnya di λ = maxΔx i → 0, jika ada dan berhingga, disebut integral tertentu fungsi f(x) dari A ke B dan ditunjuk:

F(ξ saya)Δx saya (8.5).

Fungsi f(x) dalam hal ini disebut dapat diintegrasikan pada interval tersebut, bilangan a dan b dipanggil batas bawah dan batas atas integral.

Sifat-sifat berikut ini berlaku untuk integral tertentu:

4), (k = konstanta, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Properti terakhir disebut teorema nilai rata-rata.

Misalkan f(x) kontinu pada . Kemudian pada ruas tersebut terdapat integral tak tentu

f(x)dx = F(x) + C

dan berlangsung Rumus Newton-Leibniz, menghubungkan integral tertentu dengan integral tak tentu:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretasi geometri: integral tentu adalah luas trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh kurva y=f(x), garis lurus x = a dan x = b dan ruas sumbunya Sapi.

Integral tak wajar

Integral dengan limit tak terhingga dan integral fungsi terputus-putus (tak terbatas) disebut bukan milikmu sendiri. Integral tak wajar jenis pertama - ini adalah integral pada interval tak terhingga, yang didefinisikan sebagai berikut:

(8.7)

Jika limit ini ada dan berhingga, maka disebut integral tak wajar konvergen dari f(x) pada interval [a,+ ∞), dan fungsi f(x) dipanggil dapat diintegrasikan dalam interval tak terhingga[a,+ ∞). Jika tidak maka dikatakan integral tidak ada atau menyimpang.

Integral tak wajar pada interval (-∞,b] dan (-∞, + ∞) didefinisikan dengan cara yang sama:

Mari kita definisikan konsep integral dari fungsi tak terbatas. Jika f(x) kontinu untuk semua nilai X segmen , kecuali titik c, di mana f(x) mempunyai diskontinuitas tak terhingga integral tak wajar jenis kedua f(x) mulai dari a sampai b jumlahnya disebut:

jika batasan ini ada dan terbatas. Penamaan:

Contoh perhitungan integral

Contoh 3.30. Hitung ∫dx/(x+2).

Larutan. Misalkan t = x+2, maka dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Contoh 3.31. Temukan ∫ tgxdx.

Larutan.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Misalkan t=cosx, maka ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Larutan.

Contoh3.33. Menemukan .

Larutan. = .

Contoh3.34 . Temukan ∫arctgxdx.

Larutan. Mari berintegrasi per bagian. Mari kita nyatakan u=arctgx, dv=dx. Maka du = dx/(x 2 +1), v=x, sehingga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Karena
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Contoh3.35 . Hitung ∫lnxdx.

Larutan. Menerapkan rumus integrasi per bagian, kita memperoleh:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Maka ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Contoh3.36 . Hitung ∫e x sinxdx.

Larutan. Misalkan u = e x, dv = sinxdx, maka du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Kita juga mengintegrasikan integral ∫e x cosxdx per bagian: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Kami memiliki:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kita memperoleh relasi ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, yang mana 2∫e x sinx dx = - ex cosx + e x sinx + C.

Contoh 3.37. Hitung J = ∫cos(lnx)dx/x.

Larutan. Karena dx/x = dlnx, maka J= ∫cos(lnx)d(lnx). Mengganti lnx dengan t, kita mendapatkan tabel integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Contoh 3.38 . Hitung J = .

Larutan. Mengingat = d(lnx), kita substitusikan lnx = t. Maka J = .

Contoh 3.39 . Hitung integral J = .

Larutan. Kami memiliki: . Oleh karena itu =
=
=.

dimasukkan seperti ini: sqrt(tan(x/2)).

Dan jika di jendela hasil Anda mengklik Tampilkan langkah di pojok kanan atas, Anda akan mendapatkan solusi detail. Reduksi ke bentuk tabel atau metode integrasi langsung

. Dengan menggunakan transformasi integran yang identik, integral direduksi menjadi integral yang menerapkan aturan dasar integrasi dan dimungkinkan untuk menggunakan tabel integral dasar.

Contoh Latihan.

Larutan. Temukan integral $\int 2^(3 x-1) d x$

Mari kita gunakan sifat-sifat integral dan mereduksi integral ini menjadi bentuk tabel.

$\int 2^(3 x-1) d x=\int 2^(3 x) \cdot 2^(-1) d x=\frac(1)(2) \int\left(2^(3)\ kanan)^(x) dx=$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$ Menjawab.

$\int 2^(3 x-1) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$

tautan →

2. Masuk di bawah tanda diferensial

3. Integrasi dengan perubahan variabel Integrasi dengan perubahan variabel atau metode substitusi

. Misalkan $x=\phi(t)$, dimana fungsi $\phi(t)$ mempunyai turunan kontinu $\phi^(\prime)(t)$, dan terdapat korespondensi satu-satu antara variabel $x$ dan $t$ . Maka kesetaraan itu benar

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \cdot \phi^(\prime)(t) \cdot d t$

. Dengan menggunakan transformasi integran yang identik, integral direduksi menjadi integral yang menerapkan aturan dasar integrasi dan dimungkinkan untuk menggunakan tabel integral dasar.

Contoh Integral pasti bergantung pada variabel integrasinya, sehingga jika terjadi perubahan variabel maka harus kembali ke variabel integrasi semula.

Larutan. Mari kita ganti penyebutnya dengan variabel $t$ dan mengurangi integral asli menjadi integral tabel.

$=-\frac(1)(5) \ln |t|+C=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$$\int \frac(d x)(3-5 x)=-\frac(1)(5) \ln |3-5 x|+C$

Baca lebih lanjut tentang metode penyelesaian integral ini di tautan →

4. Integrasi berdasarkan bagian

Integrasi bagian-bagian disebut integrasi menurut rumusnya

$\int u d v=u v-\int v d u$

Saat mencari fungsi $v$ dari diferensialnya $d v$, Anda dapat mengambil nilai apa pun dari konstanta integrasi $C$, karena nilai tersebut tidak disertakan dalam hasil akhir. Oleh karena itu, untuk kenyamanan, kami akan mengambil $C=0$ .

Penggunaan rumus integrasi per bagian disarankan jika diferensiasi menyederhanakan salah satu faktor, sedangkan integrasi tidak mempersulit faktor lainnya.

. Dengan menggunakan transformasi integran yang identik, integral direduksi menjadi integral yang menerapkan aturan dasar integrasi dan dimungkinkan untuk menggunakan tabel integral dasar.

Contoh Temukan integral $\int x \cos x d x$

Larutan. Pada integral asli, kita mengisolasi fungsi $u$ dan $v$, kemudian melakukan integrasi per bagian.

$=x \sin x+\cos x+C$

$=\frac(1)(2) \int 8^(x) d x=\frac(8^(x))(2 \ln 8)+C$$\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Integral kompleks

Artikel ini menyimpulkan topik integral tak tentu, dan memuat integral yang menurut saya cukup rumit. Pelajaran ini dibuat atas permintaan berulang kali dari pengunjung yang menyatakan keinginan mereka agar contoh-contoh yang lebih sulit dianalisis di situs.

Diasumsikan bahwa pembaca teks ini telah mempersiapkan diri dengan baik dan mengetahui bagaimana menerapkan teknik dasar integrasi. Orang bodoh dan orang yang tidak terlalu percaya diri dengan integral harus merujuk pada pelajaran pertama - Integral tak tentu. Contoh solusi, di mana Anda dapat menguasai topik tersebut hampir dari awal. Siswa yang lebih berpengalaman dapat mengenal teknik dan metode integrasi yang belum ditemukan dalam artikel saya.

Integral apa yang akan dibahas?

Pertama kita akan membahas integral dengan akar, yang solusinya akan kita gunakan secara berurutan penggantian variabel Dan integrasi berdasarkan bagian. Artinya, dalam satu contoh dua teknik digabungkan sekaligus. Dan bahkan lebih.

Kemudian kita akan berkenalan dengan hal-hal yang menarik dan orisinal metode mereduksi integral ke dirinya sendiri. Cukup banyak integral yang diselesaikan dengan cara ini.

Edisi ketiga dari program ini adalah integral dari pecahan kompleks yang melewati kasir di artikel sebelumnya.

Keempat, integral tambahan dari fungsi trigonometri akan dianalisis. Secara khusus, ada metode yang menghindari substitusi trigonometri universal yang memakan waktu.

(2) Pada fungsi integran, kita membagi pembilangnya dengan penyebut suku demi suku.

(3) Kita menggunakan sifat linearitas integral tak tentu. Di integral terakhir segera letakkan fungsinya di bawah tanda diferensial.

(4) Kita ambil integral sisanya. Perhatikan bahwa dalam logaritma Anda dapat menggunakan tanda kurung daripada modulus, karena .

(5) Kami melakukan penggantian terbalik, menyatakan “te” dari penggantian langsung:

Siswa masokis dapat membedakan jawabannya dan mendapatkan integran aslinya, seperti yang baru saja saya lakukan. Tidak, tidak, saya melakukan pengecekan dengan cara yang benar =)

Seperti yang Anda lihat, selama penyelesaian kami harus menggunakan lebih dari dua metode penyelesaian, jadi untuk menangani integral seperti itu, Anda memerlukan keterampilan integrasi yang percaya diri dan sedikit pengalaman.

Dalam praktiknya, tentu saja, akar kuadrat lebih umum digunakan; berikut tiga contoh untuk menyelesaikannya sendiri:

Contoh 2

Temukan integral tak tentu

Contoh 3

Temukan integral tak tentu

Contoh 4

Temukan integral tak tentu

Contoh-contoh ini sejenis, jadi solusi lengkapnya di akhir artikel hanya untuk Contoh 2; Pengganti mana yang akan digunakan di awal pengambilan keputusan, menurut saya, sudah jelas. Mengapa saya memilih contoh yang sejenis? Sering ditemukan dalam peran mereka. Lebih sering, mungkin, hanya sesuatu seperti itu .

Namun tidak selalu, jika di bawah fungsi arctangen, sinus, kosinus, eksponensial, dan lainnya terdapat akar fungsi linier, Anda harus menggunakan beberapa metode sekaligus. Dalam beberapa kasus, dimungkinkan untuk “turun dengan mudah”, yaitu, segera setelah penggantian, diperoleh integral sederhana, yang dapat dengan mudah diambil. Tugas termudah yang diusulkan di atas adalah Contoh 4, di mana, setelah penggantian, diperoleh integral yang relatif sederhana.

Dengan mereduksi integral ke dirinya sendiri

Metode yang cerdas dan indah. Mari kita lihat genre klasiknya:

Contoh 5

Temukan integral tak tentu

Di bawah akarnya terdapat binomial kuadrat, dan mencoba mengintegrasikan contoh ini dapat membuat teko sakit kepala selama berjam-jam. Integral seperti itu diambil sebagian dan direduksi menjadi dirinya sendiri. Prinsipnya tidak sulit. Jika Anda tahu caranya.

Mari kita nyatakan integral yang sedang dipertimbangkan dengan huruf Latin dan mulai penyelesaiannya:

Mari kita integrasikan berdasarkan bagian:

(1) Siapkan fungsi integral untuk pembagian suku demi suku.

(2) Kita membagi suku fungsi integran dengan suku. Ini mungkin tidak jelas bagi semua orang, tetapi saya akan menjelaskannya lebih detail:

(3) Kita menggunakan sifat linearitas integral tak tentu.

(4) Ambil integral terakhir (logaritma “panjang”).

Sekarang mari kita lihat awal dari solusinya:

Dan pada akhirnya:

Apa yang telah terjadi? Akibat manipulasi kami, integralnya tereduksi menjadi dirinya sendiri!

Mari kita samakan awal dan akhir:

Pindah ke sisi kiri dengan perubahan tanda:

Dan kami memindahkan keduanya ke sisi kanan. Sebagai akibat:

Konstanta sebenarnya seharusnya ditambahkan lebih awal, tetapi saya menambahkannya di akhir. Saya sangat menyarankan membaca betapa ketatnya di sini:

Catatan: Lebih tepatnya, tahap akhir dari solusi terlihat seperti ini:

Dengan demikian:

Konstanta tersebut dapat didesain ulang dengan . Mengapa bisa didesain ulang? Karena dia masih menerimanya setiap nilai, dan dalam pengertian ini tidak ada perbedaan antara konstanta dan.
Sebagai akibat:

Trik serupa dengan renotasi konstan banyak digunakan di persamaan diferensial. Dan di sana saya akan bersikap tegas. Dan di sini saya memberikan kebebasan seperti itu hanya agar tidak membingungkan Anda dengan hal-hal yang tidak perlu dan memusatkan perhatian tepat pada metode integrasi itu sendiri.

Contoh 6

Temukan integral tak tentu

Integral khas lainnya untuk solusi independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran. Akan ada perbedaan dengan jawaban pada contoh sebelumnya!

Jika di bawah akar kuadrat terdapat trinomial kuadrat, maka penyelesaiannya akan bergantung pada dua contoh yang dianalisis.

Misalnya, pertimbangkan integral . Yang perlu Anda lakukan adalah terlebih dahulu pilih kotak lengkap:
.
Selanjutnya, penggantian linier dilakukan, yang “tanpa konsekuensi apa pun”:
, menghasilkan integral . Sesuatu yang familier, bukan?

Atau contoh ini, dengan binomial kuadrat:
Pilih persegi lengkap:
Dan, setelah penggantian linier, kita memperoleh integralnya, yang juga diselesaikan menggunakan algoritma yang telah dibahas.

Mari kita lihat dua contoh umum tentang cara mereduksi integral menjadi dirinya sendiri:
– integral eksponensial dikalikan sinus;
– integral eksponensial dikalikan kosinus.

Dalam integral yang terdaftar berdasarkan bagian, Anda harus mengintegrasikan dua kali:

Contoh 7

Temukan integral tak tentu

Integran adalah eksponensial dikalikan sinus.

Kami mengintegrasikan bagian-bagian dua kali dan mengurangi integral ke dirinya sendiri:

Sebagai hasil dari integrasi ganda oleh bagian-bagian, integral tersebut direduksi menjadi dirinya sendiri. Kami menyamakan awal dan akhir solusi:

Kita pindahkan ke ruas kiri dengan perubahan tanda dan nyatakan integral kita:

Siap. Pada saat yang sama, disarankan untuk menyisir sisi kanan, mis. keluarkan eksponen dari tanda kurung, dan tempatkan sinus dan cosinus dalam tanda kurung dengan urutan yang “indah”.

Sekarang mari kita kembali ke awal contoh, atau lebih tepatnya, integrasi per bagian:

Kami menetapkan eksponen sebagai. Timbul pertanyaan: apakah eksponen harus selalu dilambangkan dengan ? Belum tentu. Padahal, dianggap integral secara mendasar tidak masalah, apa yang kita maksud dengan , kita bisa saja mengambil cara lain:

Mengapa hal ini mungkin terjadi? Karena eksponensial berubah menjadi dirinya sendiri (baik selama diferensiasi dan integrasi), sinus dan kosinus saling berubah menjadi satu sama lain (sekali lagi, selama diferensiasi dan integrasi).

Artinya, kita juga dapat menyatakan fungsi trigonometri. Namun pada contoh yang dibahas, hal ini kurang rasional, karena akan muncul pecahan. Jika mau, Anda dapat mencoba menyelesaikan contoh ini menggunakan cara kedua; jawabannya harus cocok.

Contoh 8

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Sebelum Anda memutuskan, pikirkan apa yang lebih menguntungkan dalam hal ini untuk dilambangkan dengan , fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri? Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Dan tentu saja, jangan lupa bahwa sebagian besar jawaban dalam pelajaran ini cukup mudah untuk diperiksa dengan membedakannya!

Contoh-contoh yang dipertimbangkan bukanlah yang paling rumit. Dalam praktiknya, integral lebih umum digunakan jika konstanta berada dalam eksponen dan argumen fungsi trigonometri, misalnya: . Banyak orang akan bingung dengan integral seperti itu, dan saya sendiri sering bingung. Faktanya adalah ada kemungkinan besar pecahan muncul dalam larutan, dan sangat mudah kehilangan sesuatu karena kecerobohan. Selain itu, ada kemungkinan besar kesalahan tanda; perhatikan bahwa eksponen memiliki tanda minus, dan ini menimbulkan kesulitan tambahan.

Pada tahap akhir, seringkali hasilnya seperti ini:

Bahkan di akhir penyelesaian, Anda harus sangat berhati-hati dan memahami pecahan dengan benar:

Mengintegrasikan Pecahan Kompleks

Kami perlahan-lahan mendekati ekuator pelajaran dan mulai mempertimbangkan integral pecahan. Sekali lagi, tidak semuanya super rumit, hanya saja karena satu dan lain hal, contoh-contoh tersebut sedikit “keluar dari topik” di artikel lain.

Melanjutkan tema akar

Contoh 9

Temukan integral tak tentu

Pada penyebut di bawah akar terdapat trinomial kuadrat ditambah “tambahan” berbentuk “X” di luar akar. Integral jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi standar.

Kami memutuskan:

Penggantiannya di sini sederhana:

Mari kita lihat kehidupan setelah penggantian:

(1) Setelah substitusi, suku-suku di bawah akar direduksi menjadi penyebut yang sama.
(2) Kami mencabutnya dari bawah akarnya.
(3) Pembilang dan penyebutnya dikurangi . Pada saat yang sama, di bawah root, saya mengatur ulang istilah-istilah tersebut dalam urutan yang nyaman. Dengan beberapa pengalaman, langkah (1), (2) dapat dilewati dengan melakukan tindakan yang dikomentari secara lisan.
(4) Integral yang dihasilkan, seperti yang Anda ingat dari pelajaran Mengintegrasikan Beberapa Pecahan, sedang diputuskan metode ekstraksi persegi lengkap. Pilih kotak yang lengkap.
(5) Dengan integrasi kita memperoleh logaritma “panjang” biasa.
(6) Kami melakukan penggantian terbalik. Jika awalnya , lalu kembali: .
(7) Tindakan terakhir ditujukan untuk meluruskan hasil: di bawah akar kita kembali membawa suku-suku tersebut ke penyebut yang sama dan mengeluarkannya dari bawah akar.

Contoh 10

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Di sini sebuah konstanta ditambahkan ke satu-satunya “X”, dan penggantiannya hampir sama:

Satu-satunya hal yang perlu Anda lakukan tambahan adalah menyatakan “x” dari penggantian yang dilakukan:

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kadang-kadang dalam integral seperti itu mungkin terdapat binomial kuadrat di bawah akar, ini tidak mengubah metode penyelesaiannya, bahkan akan lebih sederhana. Rasakan perbedaannya:

Contoh 11

Temukan integral tak tentu

Contoh 12

Temukan integral tak tentu

Solusi dan jawaban singkat di akhir pelajaran. Perlu dicatat bahwa Contoh 11 adalah persisnya integral binomial, metode penyelesaiannya dibahas di kelas Integral fungsi irasional.

Integral polinomial tak terurai derajat 2 pangkat

(polinomial dalam penyebut)

Jenis integral yang lebih jarang, namun ditemui dalam contoh praktis.

Contoh 13

Temukan integral tak tentu

Tapi mari kita kembali ke contoh dengan angka keberuntungan 13 (jujur ​​saja saya tidak menebak dengan benar). Integral ini juga merupakan salah satu integral yang bisa membuat frustasi jika Anda tidak tahu cara menyelesaikannya.

Solusinya dimulai dengan transformasi buatan:

Saya rasa semua orang sudah paham cara membagi pembilang dengan penyebut suku demi suku.

Integral yang dihasilkan diambil sebagian:

Untuk integral bentuk ( – bilangan asli) kita turunkan berulang rumus reduksi:
, Di mana – integral satu derajat lebih rendah.

Mari kita verifikasi validitas rumus ini untuk integral terselesaikan.
Dalam hal ini: , , kita menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, jawabannya sama.

Contoh 14

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi sampel menggunakan rumus di atas dua kali berturut-turut.

Jika di bawah gelar tersebut tak terpisahkan trinomial persegi, maka penyelesaiannya direduksi menjadi binomial dengan mengisolasi kuadrat sempurna, contoh:

Bagaimana jika ada polinomial tambahan pada pembilangnya? Dalam hal ini, metode koefisien tak tentu digunakan, dan fungsi integran diperluas menjadi jumlah pecahan. Tapi dalam praktik saya ada contoh seperti itu tidak pernah bertemu, jadi saya melewatkan kasus ini di artikel Integral fungsi rasional pecahan, saya akan melewatkannya sekarang. Jika Anda masih menemukan integral seperti itu, lihat buku teks - semuanya sederhana di sana. Menurut saya tidak disarankan untuk memasukkan materi (bahkan yang sederhana), yang kemungkinan bertemunya cenderung nol.

Mengintegrasikan fungsi trigonometri kompleks

Kata sifat “kompleks” untuk sebagian besar contoh sekali lagi sebagian besar bersifat kondisional. Mari kita mulai dengan garis singgung dan kotangen pangkat tinggi. Dilihat dari metode penyelesaian yang digunakan, tangen dan kotangen hampir sama, jadi saya akan membahas lebih lanjut tentang tangen, yang menyiratkan bahwa metode penyelesaian integral yang ditunjukkan juga berlaku untuk kotangen.

Dalam pelajaran di atas kita melihat substitusi trigonometri universal untuk menyelesaikan jenis integral fungsi trigonometri tertentu. Kerugian dari substitusi trigonometri universal adalah penggunaannya sering kali menghasilkan integral yang rumit dan perhitungannya sulit. Dan dalam beberapa kasus, substitusi trigonometri universal dapat dihindari!

Mari kita perhatikan contoh kanonik lainnya, integral dari satu dibagi sinus:

Contoh 17

Temukan integral tak tentu

Di sini Anda dapat menggunakan substitusi trigonometri universal dan mendapatkan jawabannya, tetapi ada cara yang lebih rasional. Saya akan memberikan solusi lengkap dengan komentar untuk setiap langkah:

(1) Kita menggunakan rumus trigonometri untuk sinus sudut ganda.
(2) Kita melakukan transformasi buatan: Bagi penyebutnya dan kalikan dengan .
(3) Dengan menggunakan rumus penyebut yang terkenal, kita ubah pecahan menjadi garis singgung.
(4) Kita letakkan fungsi tersebut di bawah tanda diferensial.
(5) Ambil integralnya.

Beberapa contoh sederhana untuk Anda pecahkan sendiri:

Contoh 18

Temukan integral tak tentu

Catatan: Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menggunakan rumus reduksi dan dengan hati-hati melakukan tindakan yang serupa dengan contoh sebelumnya.

Contoh 19

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh yang sangat sederhana.

Solusi dan jawaban lengkap di akhir pelajaran.

Saya pikir sekarang tidak ada yang akan memiliki masalah dengan integral:
dll.

Apa ide dari metode ini? Idenya adalah menggunakan transformasi dan rumus trigonometri untuk mengatur hanya garis singgung dan turunan garis singgung ke dalam integran. Artinya, kita berbicara tentang penggantian: . Pada Contoh 17-19 sebenarnya kita menggunakan penggantian ini, namun integralnya sangat sederhana sehingga kita dapat menggunakan tindakan ekuivalen - dengan memasukkan fungsi tersebut ke dalam tanda diferensial.

Alasan serupa, seperti yang telah saya sebutkan, dapat diterapkan untuk kotangen.

Ada juga prasyarat formal untuk menerapkan penggantian di atas:

Jumlah pangkat cosinus dan sinus adalah bilangan GENAP bilangan bulat negatif, Misalnya:

untuk integral – bilangan GENAP bilangan bulat negatif.

! Catatan : jika integran HANYA berisi sinus atau HANYA kosinus, maka integral tersebut juga dianggap berderajat ganjil negatif (kasus paling sederhana ada pada Contoh No. 17, 18).

Mari kita lihat beberapa tugas yang lebih bermakna berdasarkan aturan ini:

Contoh 20

Temukan integral tak tentu

Jumlah pangkat sinus dan cosinus: 2 – 6 = –4 adalah bilangan GENAP bilangan bulat negatif, artinya integral tersebut dapat direduksi menjadi garis singgung dan turunannya:

(1) Mari kita ubah penyebutnya.
(2) Dengan menggunakan rumus terkenal, kita memperoleh .
(3) Mari kita ubah penyebutnya.
(4) Kami menggunakan rumus .
(5) Kita letakkan fungsi tersebut di bawah tanda diferensial.
(6) Kami melakukan penggantian. Siswa yang lebih berpengalaman mungkin tidak melakukan penggantian, tetapi lebih baik mengganti garis singgung dengan satu huruf - risiko kebingungan lebih kecil.

Contoh 21

Temukan integral tak tentu

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Bertahanlah, putaran kejuaraan akan segera dimulai =)

Seringkali integrand berisi "gado-gado":

Contoh 22

Temukan integral tak tentu

Integral ini awalnya mengandung garis singgung, yang langsung mengarah pada pemikiran yang sudah dikenal:

Saya akan membiarkan transformasi buatan di awal dan langkah selanjutnya tanpa komentar, karena semuanya telah dibahas di atas.

Beberapa contoh kreatif untuk solusi Anda sendiri:

Contoh 23

Temukan integral tak tentu

Contoh 24

Temukan integral tak tentu

Ya, di dalamnya, tentu saja, Anda dapat menurunkan pangkat sinus dan kosinus, dan menggunakan substitusi trigonometri universal, tetapi penyelesaiannya akan jauh lebih efisien dan lebih singkat jika dilakukan melalui garis singgung. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran

Kata "integral" berasal dari bahasa Latin integralis - integral. Nama ini diusulkan pada abad ke-17. murid Leibniz yang agung (dan juga ahli matematika terkemuka) I. Bernoulli. Apa yang dimaksud dengan integral dalam pengertian modern? Di bawah ini kami akan mencoba memberikan jawaban komprehensif atas pertanyaan tersebut.

Latar belakang sejarah munculnya konsep integral

Pada awal abad ke-17. Ilmuwan terkemuka sedang mempertimbangkan sejumlah besar masalah fisik (terutama mekanis) yang memerlukan studi ketergantungan beberapa besaran terhadap besaran lain. Masalah yang paling jelas dan mendesak adalah menentukan kecepatan sesaat dari gerakan tidak rata suatu benda pada setiap saat dan masalah kebalikannya dalam menemukan jarak yang ditempuh benda selama periode waktu tertentu selama gerakan tersebut. Hari ini kita sudah mengetahui apa yang dimaksud dengan integral kecepatan gerak - yaitu jarak yang ditempuh. Namun pemahaman tentang cara menghitungnya, mengetahui kecepatan pada setiap momen waktu, tidak serta merta muncul.

Mula-mula, dari pertimbangan ketergantungan besaran fisika, misalnya lintasan terhadap kecepatan, maka terbentuklah konsep matematika tentang fungsi y = f(x). Studi tentang sifat-sifat berbagai fungsi menyebabkan lahirnya analisis matematis. Para ilmuwan telah secara aktif mencari cara untuk mempelajari sifat-sifat berbagai fungsi.

Bagaimana cara menghitung integral dan turunan?

Setelah Descartes menciptakan dasar-dasar geometri analitik dan munculnya kemampuan untuk menggambarkan ketergantungan fungsional secara grafis pada sumbu sistem koordinat Cartesian, para peneliti dihadapkan pada dua masalah besar baru: bagaimana menggambar garis singgung garis lengkung di titik mana pun dan cara mencari luas bangun yang dibatasi di atas oleh kurva dan garis lurus yang sejajar sumbu koordinat. Di luar dugaan, ternyata yang pertama setara dengan mencari kecepatan sesaat, dan yang kedua setara dengan mencari jarak yang ditempuh. Memang, selama gerakan tidak rata, "jarak" dan "waktu" digambarkan dalam sumbu koordinat Cartesian dengan semacam garis lengkung.

Kejeniusan Leibniz dan Newton pada pertengahan abad ke-17. metode diciptakan yang memungkinkan untuk memecahkan kedua masalah ini. Ternyata untuk menggambar garis singgung kurva di suatu titik, perlu dicari nilai yang disebut turunan dari fungsi yang menggambarkan kurva ini pada titik yang ditinjau, dan nilai ini ternyata sama dengan dengan laju perubahan fungsi, yaitu dalam kaitannya dengan ketergantungan “jalur pada kecepatan” kecepatan sesaat benda itu sendiri.

Untuk mencari luas yang dibatasi oleh garis lengkung, perlu dihitung integral tertentu yang memberikan nilai pastinya. Turunan dan integral adalah konsep dasar kalkulus diferensial dan integral, yang merupakan dasar analisis matematika modern - cabang terpenting matematika tingkat tinggi.

Area di bawah garis lengkung

Jadi, bagaimana cara menentukan nilai pastinya? Mari kita coba mengungkap proses penghitungannya melalui integral secara detail, dari dasar-dasarnya.

Misalkan f adalah fungsi kontinu pada interval tersebut. Perhatikan kurva y = f(x), yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Bagaimana cara mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva), sumbu x, dan garis x = a dan x = b? Artinya, luas bangun yang diarsir pada gambar tersebut.

Kasus paling sederhana adalah ketika f adalah fungsi konstan; yaitu kurvanya berupa garis mendatar f(X) = k, dengan k konstan dan k ≥ 0, seperti terlihat pada gambar di bawah.

Dalam hal ini luas di bawah kurva hanyalah persegi panjang dengan tinggi k dan lebar (b - a), sehingga luasnya didefinisikan sebagai: k · (b - a).

Luas beberapa bangun datar lainnya, seperti segitiga, trapesium, dan setengah lingkaran, ditentukan dengan rumus planimetri.

Luas daerah di bawah kurva kontinu y = f(x) dinyatakan dengan integral tertentu, yang ditulis dengan cara yang sama seperti integral biasa.

Jumlah Riemann

Sebelum mendalami jawaban rinci atas pertanyaan tentang apa itu integral, mari kita soroti beberapa gagasan dasar.

Pertama, luas di bawah kurva dibagi menjadi sejumlah n garis vertikal dengan lebar cukup kecil Δx. Selanjutnya setiap garis vertikal diganti dengan persegi panjang vertikal dengan tinggi f(x), lebar Δx, dan luas f(x)dx. Langkah selanjutnya adalah membentuk jumlah luas semua persegi panjang tersebut, yang disebut jumlah Riemann (lihat gambar di bawah).

Saat menggambar persegi panjang dengan lebar Δx, kita dapat mengambil tingginya sama dengan nilai fungsi di tepi kiri setiap strip, yaitu titik paling kiri dari sisi pendek atas dengan lebar Δx akan terletak pada kurva. Selain itu, pada bagian yang fungsinya bertambah dan kurvanya cembung, semua persegi panjang berada di bawah kurva ini, yaitu. jumlah pastinya akan lebih kecil dari luas persis di bawah kurva pada bagian ini (lihat gambar di bawah). Metode perkiraan ini disebut sisi kiri.

Pada prinsipnya, seseorang dapat menggambar persegi panjang sedemikian rupa sehingga titik paling kanan dari sisi pendek atasnya yang lebarnya Δx terletak pada kurva. Kemudian mereka akan berada di atas kurva, dan perkiraan luas pada bagian ini akan lebih besar dari nilai pastinya, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Metode ini disebut tangan kanan.

Tapi kita juga bisa mengambil tinggi masing-masing persegi panjang yang didekati, yang sama dengan beberapa nilai fungsi pada titik sembarang x* i di dalam strip yang sesuai Δx i (lihat gambar di bawah). Dalam hal ini, kita mungkin tidak mengambil lebar semua garis yang sama.

Mari kita buat jumlah Riemann:

Transisi dari jumlah Riemann ke integral tertentu

Dalam matematika tingkat tinggi, terbukti teorema yang menyatakan bahwa jika, dengan pertambahan tak terhingga jumlah n persegi panjang yang mendekati, lebar terbesarnya cenderung nol, maka jumlah Riemannian A n cenderung ke batas tertentu A. Bilangan A adalah sama untuk setiap metode pembentukan persegi panjang perkiraan dan untuk setiap pilihan titik x* i .

Penjelasan visual dari teorema tersebut diberikan pada gambar di bawah ini.

Terlihat bahwa semakin sempit persegi panjang maka luas bangun berundak semakin dekat dengan luas di bawah kurva. Jika banyaknya persegi panjang adalah n→∞, lebarnya adalah Δx i →0, dan limit A dari jumlah A n secara numerik sama dengan luas yang dibutuhkan. Limit ini merupakan integral tentu dari fungsi f(x):

Simbol integral, yaitu huruf miring S yang dimodifikasi, diperkenalkan oleh Leibniz. J. B. Fourier menyarankan untuk menempatkan limit di atas dan di bawah notasi integral. Nilai awal dan akhir x ditunjukkan dengan jelas.

Interpretasi geometri dan mekanik integral tertentu

Mari kita coba memberikan jawaban rinci atas pertanyaan apa itu integral? Mari kita perhatikan integral pada interval fungsi positif f(x) di dalamnya, dan kita asumsikan bahwa batas atas lebih besar dari batas bawah a

Jika ordinat fungsi f(x) di dalamnya negatif, maka nilai absolut integralnya sama dengan luas antara sumbu absis dan grafik y=f(x), sedangkan integralnya sendiri negatif.

Dalam kasus perpotongan grafik y=f(x) satu kali atau berulang dengan sumbu absis pada segmen tersebut , seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah, untuk menghitung integral, Anda perlu menentukan selisih di mana minuendnya adalah sama dengan luas total bagian-bagian yang terletak di atas sumbu absis, dan pengurangannya akan sama dengan luas total bagian-bagian yang terletak di bawahnya.

Jadi, untuk fungsi pada gambar di atas, integral tentu dari a ke b sama dengan (S1 + S3) - (S2 + S4).

Interpretasi mekanis integral tertentu berkaitan erat dengan interpretasi geometri. Mari kita kembali ke bagian “Jumlah Riemann” dan bayangkan bahwa grafik yang ditunjukkan pada gambar menyatakan fungsi kecepatan v=f(t) untuk gerak tidak rata suatu titik material (sumbu x adalah sumbu waktu). Maka luas persegi panjang perkiraan dengan lebar Δt, yang kita bangun saat membentuk jumlah Riemann, kira-kira akan menyatakan jalur titik dalam waktu Δt, yaitu v(t*)Δt.

Jumlah total luas persegi panjang pada ruas dari t 1 =a sampai t 2 =b kira-kira akan menyatakan lintasan s selama waktu t 2 - t 1, dan limitnya, yaitu integral (ditentukan) dari a ke b dari fungsi v = f(t ) dengan dt akan memberikan nilai pasti dari jalur s.

Diferensial integral tertentu

Jika kita kembali ke peruntukannya, maka sangat mungkin untuk mengasumsikan bahwa a = const, dan b adalah nilai spesifik dari beberapa variabel bebas x. Kemudian integral tertentu yang mempunyai batas atas x̃ dari suatu bilangan tertentu diubah menjadi fungsi x̃. Integral ini sama dengan luas gambar di bawah kurva yang ditunjukkan oleh titik aABb pada gambar di bawah.

Dengan garis diam aA dan garis bergerak Bb, luas tersebut menjadi fungsi f(x̃), dan pertambahan Δx̃ masih diplot sepanjang sumbu x, dan pertambahan fungsi f(x̃) adalah pertambahan dari area di bawah kurva.

Anggaplah kita memberi variabel x̃ = b sedikit kenaikan Δx̃. Maka pertambahan luas bangun aABb adalah jumlah luas persegi panjang (yang diarsir pada gambar) Bb∙Δx̃ dan luas bangun BDC di bawah kurva. Luas persegi panjang sama dengan Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, yaitu merupakan fungsi linier dari pertambahan variabel bebas. Luas bangun BDC jelas lebih kecil dari luas persegi panjang BDCK = Δx̃∙Δy, dan seiring dengan kecenderungan Δx̃ →0, luas tersebut semakin mengecil. Artinya f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ adalah selisih luas variabel aABb, yaitu selisih integral tertentu

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa perhitungan integral terdiri dari pencarian fungsi dari ekspresi diferensial yang diberikan. Kalkulus integral adalah suatu sistem metode untuk mencari fungsi-fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan yang diketahui.

Hubungan mendasar kalkulus integral

Ini menghubungkan hubungan antara diferensiasi dan integrasi dan menunjukkan bahwa ada operasi kebalikan dari diferensiasi suatu fungsi - integrasinya. Hal ini juga menunjukkan bahwa jika ada fungsi f(x) yang kontinu, maka dengan menerapkan operasi matematika ini padanya seseorang dapat menemukan seluruh ansambel (himpunan, himpunan) fungsi yang antiturunannya (atau sebaliknya, temukan integral tak tentu dari fungsi tersebut ).

Misalkan fungsi F(x) menyatakan hasil integrasi fungsi f(x). Kesesuaian antara kedua fungsi tersebut sebagai hasil pengintegrasian fungsi kedua dilambangkan sebagai berikut:

Seperti terlihat, dengan simbol integral tidak ada batasan integrasi. Artinya dari yang pasti diubah menjadi integral tak tentu. Yang dimaksud dengan “tak tentu” adalah hasil operasi integrasi dalam hal ini tidak hanya satu, melainkan banyak fungsi. Lagi pula, selain fungsi F(x) itu sendiri, ekspresi terakhir juga dipenuhi oleh fungsi apa pun F(x)+C, di mana C = const. Ini menyiratkan bahwa suku konstan dalam ansambel antiturunan dapat ditentukan secara sewenang-wenang.

Perlu ditekankan bahwa jika integral yang didefinisikan oleh suatu fungsi adalah suatu bilangan, maka integral tak tentu adalah suatu fungsi, atau lebih tepatnya, himpunan dari fungsi-fungsi tersebut. Istilah “integrasi” digunakan untuk mendefinisikan operasi pencarian kedua jenis integral.

Aturan dasar integrasi

Ini adalah kebalikan dari aturan diferensiasi yang terkait. Bagaimana cara mengambil integral tak tentu? Kami akan melihat contoh prosedur ini menggunakan fungsi tertentu.

Mari kita lihat fungsi daya secara umum:

Setelah kita melakukan ini dengan setiap suku dalam ekspresi fungsi yang dapat diintegralkan (jika ada lebih dari satu), kita menambahkan sebuah konstanta di akhir. Ingatlah bahwa mengambil turunan dari suatu nilai konstanta akan menghancurkannya, jadi mengambil integral dari fungsi apa pun akan memberi kita pemulihan konstanta ini. Kami menyebutnya C karena konstanta tidak diketahui - bisa berupa bilangan apa pun! Oleh karena itu, kita dapat mempunyai ekspresi yang tak terhingga banyaknya untuk integral tak tentu.

Mari kita lihat integral tak tentu sederhana, contohnya ditunjukkan di bawah ini.

Misalkan kita perlu mencari integral dari fungsi tersebut:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Mari kita mulai dengan semester pertama. Kita lihat eksponen 2 dan naikkan 1, lalu bagi suku pertama dengan eksponen yang dihasilkan 3. Kita peroleh: 4(x 3) / 3.

Kemudian kita melihat anggota berikutnya dan melakukan hal yang sama. Karena pangkatnya 1, maka pangkat yang dihasilkan adalah 2. Jadi, kita bagi suku ini dengan 2: 2(x 2) / 2 = x 2.

Suku terakhir mempunyai faktor x, tetapi kita tidak melihatnya. Kita dapat menganggap suku terakhir sebagai (-3x 0). Ini setara dengan (-3)∙(1). Jika kita menggunakan aturan integrasi, kita akan menambahkan 1 pada eksponen untuk menaikkannya menjadi pangkat satu, lalu membagi suku terakhir dengan 1. Kita mendapatkan 3x.

Aturan integrasi ini berlaku untuk semua nilai n kecuali n = - 1 (karena kita tidak bisa membaginya dengan 0).

Kita telah melihat contoh paling sederhana dalam mencari integral. Secara umum, menyelesaikan integral bukanlah tugas yang mudah, dan pengalaman yang telah dikumpulkan dalam matematika sangat membantu.

Tabel integral

Pada bagian di atas, kita melihat bahwa dari setiap rumus diferensiasi diperoleh rumus integrasi yang sesuai. Oleh karena itu, semua opsi yang memungkinkan telah lama diperoleh dan dirangkum dalam tabel yang sesuai. Tabel integral di bawah ini berisi rumus-rumus pengintegrasian fungsi aljabar dasar. Rumus-rumus ini perlu dihafal, dihafal secara bertahap sambil dikonsolidasikan dengan latihan.

Tabel integral lainnya berisi fungsi trigonometri dasar:

Cara menghitung integral tertentu

Ternyata melakukan hal ini, mengetahui cara mengintegrasikan, yaitu mencari integral tak tentu, sangatlah sederhana. Dan rumus pendiri kalkulus integro-diferensial, Newton dan Leibniz, membantu dalam hal ini

Menurutnya, perhitungan integral yang diinginkan terdiri dari tahap pertama mencari bilangan tak tentu, kemudian menghitung nilai antiturunan F(x) yang ditemukan dengan mensubstitusikan x yang mula-mula sama dengan batas atas, kemudian batas bawah, dan, terakhir, menentukan perbedaan nilai-nilai tersebut. Dalam hal ini, konstanta C tidak perlu dituliskan. Karena itu menghilang ketika pengurangan dilakukan.

Mari kita lihat beberapa integral dengan solusi rinci.

Mari kita cari luas area di bawah salah satu sinusoidal setengah gelombang.

Mari kita hitung luas daerah yang diarsir di bawah hiperbola.

Sekarang mari kita pertimbangkan integral dengan solusi terperinci , menggunakan properti aditif pada contoh pertama, dan substitusi variabel integrasi perantara pada contoh kedua. Mari kita hitung integral pasti dari fungsi rasional pecahan:

y=(1+t)/t 3 dari t=1 hingga t=2.

Sekarang kami akan menunjukkan bagaimana Anda dapat menyederhanakan pengambilan integral dengan memasukkan variabel perantara. Misalkan kita perlu menghitung integral dari (x+1) 2 .

Tentang integral tak wajar

Kita telah membahas tentang integral tentu untuk interval berhingga suatu fungsi f(x) yang kontinu pada fungsi tersebut. Namun sejumlah masalah khusus menyebabkan perlunya memperluas konsep integral ke kasus ketika limit (satu atau keduanya) sama dengan tak terhingga, atau untuk fungsi diskontinu. Misalnya, saat menghitung luas di bawah kurva yang mendekati sumbu koordinat secara asimtotik. Untuk memperluas konsep integral pada kasus ini, selain meneruskan ke limit saat menghitung jumlah Riemannian dari perkiraan persegi panjang, satu langkah lagi dilakukan. Dengan lintasan ganda hingga batas tersebut, diperoleh integral tak wajar. Sebaliknya, semua integral yang dibahas di atas disebut integral yang tepat.

Jika definisi dari buku teks terlalu rumit dan tidak jelas, baca artikel kami. Kami akan mencoba menjelaskan sesederhana mungkin, “dengan jari”, poin-poin utama dari cabang matematika seperti integral tertentu. Cara menghitung integral, baca di manual ini.

Untuk menguji diri sendiri atau setidaknya memahami proses penyelesaian masalah integral, akan lebih mudah menggunakan layanan online untuk mencari integral, tetapi sebelum Anda mulai menyelesaikannya, bacalah aturan untuk memasukkan fungsi. Keuntungan terbesarnya adalah seluruh solusi masalah integral dijelaskan di sini selangkah demi selangkah.