Hari ini kita akan melihat pilihan masalah baru dalam mencari limit suatu titik. Mari kita mulai dengan contoh sederhana untuk substitusi nilai, paling sering dipertimbangkan di kelas 11 kurikulum sekolah dalam matematika.
Selanjutnya, kita akan berhenti dan menganalisis batasan dengan ketidakpastian, metode untuk mengungkapkan ketidakpastian, penerapan batasan penting pertama dan kedua serta konsekuensinya.
Contoh-contoh yang diberikan tidak akan sepenuhnya mencakup keseluruhan topik, tetapi akan memperjelas banyak pertanyaan.

Temukan limit fungsi di suatu titik:

Contoh 46. Limit suatu fungsi pada suatu titik ditentukan dengan substitusi

Karena penyebut pecahan tidak menjadi nol, setiap lulusan sekolah dapat menyelesaikan soal seperti itu.

Contoh 47. Kita mempunyai pecahan polinomial; selain itu, penyebutnya tidak mengandung singularitas (tidak sama dengan nol).
Tugas lain, sebenarnya untuk kelas 11.

Contoh 48. Dengan menggunakan metode substitusi kita menentukan limit suatu fungsi
Syaratnya, batas suatu fungsi sama dengan dua jika variabelnya cenderung tak terhingga.

Contoh 49. Substitusi langsung x=2 menunjukkan bahwa batas pada suatu titik mempunyai singularitas (0/0) . Artinya pembilang dan penyebutnya secara implisit mengandung (x-2) .
Kami menguraikan polinomial menjadi faktor prima, dan kemudian mengurangi pecahannya dengan faktor yang ditentukan (x-2).
Kita mencari limit pecahan yang tersisa melalui substitusi.

Contoh 50. Limit suatu fungsi pada suatu titik bertipe singularitas (0/0).
Kita menghilangkan selisih akar dengan mengalikan dengan jumlah akar (ekspresi konjugasi), dan memperluas polinomialnya.
Selanjutnya, dengan menyederhanakan fungsinya, kita mencari nilai limit dalam kesatuan.

Contoh 51. Perhatikan masalah limit kompleks.
Hingga saat ini, irasionalitas dihilangkan dengan mengalikan ekspresi konjugasi.
Di sini, pada penyebutnya, kita mempunyai akar pangkat tiga, jadi kita perlu menggunakan rumus selisih pangkat tiga.
Semua transformasi lainnya diulangi dari kondisi ke kondisi.
Kami memperluas polinomial menjadi faktor prima,
lalu kita kurangi dengan faktor yang memperkenalkan fitur (0)
dan dengan mensubstitusi x=-3 kita mencari limit fungsi di titik tersebut

Contoh 52. Kita mengungkap singularitas bentuk (0/0) menggunakan limit luar biasa pertama dan konsekuensinya.
Pertama, kita akan menulis selisih sinus menurut rumus trigonometri
sin(7x)-sin(3x)=2sin(2x)cos(5x).
Selanjutnya, kita melengkapi pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi yang diperlukan untuk menyoroti batas-batas penting.
Kami melanjutkan ke produk batas dan mengevaluasi investasi setiap faktor.

Di sini kami menggunakan batas luar biasa pertama:

dan konsekuensi darinya


di mana a dan b adalah bilangan sembarang.

Contoh 53. Untuk mengungkap ketidakpastian ketika suatu variabel cenderung nol, kita menggunakan batas luar biasa kedua.
Untuk mengisolasi eksponen, kita membawa eksponen tersebut ke batas luar biasa ke-2, dan segala sesuatu yang tersisa dalam perjalanan ke batas tersebut akan memberikan derajat eksponen tersebut.


Di sini kami menggunakan akibat wajar dari batas luar biasa kedua:

Hitung limit suatu fungsi di suatu titik:

Contoh 54. Kita perlu mencari limit suatu fungsi di suatu titik. Substitusi nilai yang sederhana menunjukkan bahwa kita memiliki pembagian nol.
Untuk mengungkapnya, kita memfaktorkan polinomial menjadi faktor prima dan melakukan pengurangan sebesar faktor yang memunculkan fitur (x+2).
Namun, pembilangnya selanjutnya berisi (x+2) , yang berarti pada x=-2 batasnya adalah nol.

Contoh 55. Kita punya fungsi pecahan- di pembilangnya ada selisih akar, di penyebutnya ada log.
Substitusi langsung menghasilkan singularitas bentuk (0/0) .
Variabelnya cenderung minus satu, artinya kita harus mencari dan menghilangkan fitur-fitur berbentuk (x+1).
Untuk melakukan ini, kita menghilangkan irasionalitas dengan mengalikannya dengan jumlah akar-akarnya, dan fungsi kuadrat memecahnya menjadi faktor prima.
Setelah semua reduksi, kita menentukan limit fungsi di titik tersebut dengan metode substitusi

Contoh 56. Dari kemunculan fungsi sublimit, orang mungkin salah menyimpulkan bahwa limit pertama perlu diterapkan, namun perhitungan menunjukkan bahwa semuanya jauh lebih sederhana.
Pertama, mari kita tuliskan jumlah sinus penyebutnya sin(2x)+sin(6x)=2sin(4x)*cos(2x).
Selanjutnya kita tulis tg(2x) , dan sinus sudut ganda sin(4x)=2sin(2x)cos (2x).
Kami menyederhanakan sinus dan menggunakan metode substitusi untuk menghitung limit pecahan

Contoh 57. Tugas kemampuan menggunakan batas ajaib kedua:
Intinya adalah Anda harus menyorot bagian yang memberikan eksponen.
Sisanya yang tersisa dalam eksponen dalam perjalanan ke batas akan memberikan derajat eksponensial tersebut.


Analisis permasalahan limit fungsi dan barisan tidak berhenti sampai di sini.
Saat ini, lebih dari 150 jawaban siap pakai hingga batas fungsinya, jadi pelajari dan bagikan tautan ke materi dengan teman sekelas.

Misalkan fungsi y = ƒ (x) terdefinisi di lingkungan tertentu dari titik x o, kecuali, mungkin, titik x o itu sendiri.

Mari kita merumuskan dua definisi ekuivalen dari limit suatu fungsi di suatu titik.

Definisi 1 (dalam “bahasa urutan”, atau menurut Heine).

Bilangan A disebut limit fungsi y=ƒ(x) pada tungku x 0 (atau pada x® x o), jika untuk sembarang barisan nilai yang diperbolehkan dari argumen x n, n є N (x n ¹ x 0), konvergen ke x, barisan nilai-nilai yang bersesuaian dari fungsi ƒ(x n), n є N, konvergen ke bilangan A

Dalam hal ini mereka menulis
atau ƒ(x)->A di x→x o. Arti geometri limit suatu fungsi: berarti untuk semua titik x yang cukup dekat dengan titik xo, nilai fungsi yang bersesuaian berbeda sesedikit yang diinginkan dari bilangan A.

Definisi 2 (dalam “bahasa ε”, atau menurut Cauchy).

Suatu bilangan A disebut limit suatu fungsi di suatu titik x o (atau di x→x o) jika untuk sembarang ε positif terdapat bilangan positif δ sehingga untuk semua x¹ x o memenuhi pertidaksamaan |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Arti geometris dari limit suatu fungsi:

jika untuk sembarang lingkungan ε di titik A terdapat lingkungan δ di titik x o sehingga untuk semua x1 xo dari lingkungan δ ini, nilai fungsi ƒ(x) yang bersesuaian terletak di lingkungan ε dari titik A titik A. Dengan kata lain, titik-titik grafik fungsi y = ƒ(x) terletak di dalam strip yang lebarnya 2ε, dibatasi oleh garis lurus y=A+ ε, y=A-ε (lihat Gambar 110). Jelasnya, nilai δ bergantung pada pilihan ε, jadi kita tulis δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Buktikan itu

Penyelesaian: Ambil ε>0 sembarang, carilah δ=δ(ε)>0 sehingga untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Dengan mengambil δ=ε/2, kita melihat bahwa untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Batasan sepihak

Dalam menentukan limit suatu fungsi, x dianggap cenderung ke x 0 dengan cara apa pun: tetap kurang dari x 0 (di sebelah kiri x 0), lebih besar dari x o (di sebelah kanan x o), atau berosilasi di sekitar poin x 0.

Ada kasus ketika metode perkiraan argumen x ke x o secara signifikan mempengaruhi nilai batas fungsi. Oleh karena itu, konsep limit satu sisi diperkenalkan.

Bilangan A 1 disebut limit fungsi y=ƒ(x) di sebelah kiri titik x o jika untuk sembarang bilangan ε>0 terdapat bilangan δ=δ(ε)> 0 sehingga pada x є (x 0 -δ;x o), pertidaksamaan |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 atau singkatnya: ƒ(x o- 0) = A 1 (notasi Dirichlet) (lihat Gambar 111).

Limit fungsi di sebelah kanan ditentukan dengan cara yang sama;

Secara singkat, limit di sebelah kanan dilambangkan dengan ƒ(x o +0)=A.

Batas kiri dan kanan suatu fungsi disebut batas satu sisi. Jelasnya, jika ada, maka kedua limit satu sisi tersebut ada, dan A = A 1 = A 2.

Kebalikannya juga benar: jika kedua limit ƒ(x 0 -0) dan ƒ(x 0 +0) ada dan sama, maka ada limit dan A = ƒ(x 0 -0).

Jika A 1 ¹ A 2, maka kapel ini tidak ada.

16.3. Batas fungsi di x ® ∞

Misalkan fungsi y=ƒ(x) terdefinisi pada interval (-∞;∞). Nomor A dipanggil batas fungsinyaƒ(x) pada x→ ∞ , jika untuk sembarang bilangan positif ε terdapat bilangan M=M()>0 sehingga untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |x|>M maka pertidaksamaan |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Arti geometri dari definisi ini adalah sebagai berikut: untuk " ε>0 $M>0, bahwa untuk x є(-∞; -M) atau x є(M; +∞) nilai fungsi yang bersesuaian ƒ( x) berada di lingkungan ε titik A , yaitu titik-titik pada grafik terletak pada strip dengan lebar 2ε, dibatasi oleh garis lurus y=A+ε dan y=A-ε (lihat Gambar 112) .

16.4. Fungsi yang sangat besar (b.b.f.)

Fungsi y=ƒ(x) disebut sangat besar untuk x→x 0 jika untuk sembarang bilangan M>0 terdapat bilangan δ=δ(M)>0, yang untuk semua x memenuhi pertidaksamaan 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Misalnya, fungsi y=1/(x-2) adalah b.b.f. untuk x->2.

Jika ƒ(x) cenderung tak terhingga sebagai x→x o dan hanya mengambil nilai positif, maka dituliskan

jika hanya nilai negatif, maka

Fungsi y=ƒ(x), didefinisikan pada seluruh garis bilangan, disebut sangat besar sebagai x→∞, jika untuk sembarang bilangan M>0 terdapat bilangan N=N(M)>0 sehingga untuk semua x yang memenuhi pertidaksamaan |x|>N, pertidaksamaan |ƒ(x)|>M berlaku. Pendek:

Misalnya, y=2x memiliki b.b.f. sebagai x→∞.

Perhatikan bahwa jika argumen x, yang cenderung tak terhingga, hanya mengambil nilai natural, yaitu xєN, maka b.b.f. menjadi barisan yang sangat besar. Misalnya barisan v n =n 2 +1, n є N, adalah barisan yang besarnya tak terhingga. Jelasnya, setiap b.b.f. di lingkungan suatu titik x o tidak dibatasi di lingkungan ini. Kebalikannya tidak benar: fungsi tak terbatas mungkin bukan b.b.f. (Misalnya, y=xsinx.)

Namun, jika limƒ(x)=A untuk x→x 0, dimana A adalah bilangan berhingga, maka fungsi ƒ(x) terbatas di sekitar titik x o.

Memang dari definisi limit suatu fungsi dapat disimpulkan bahwa sebagai x→ x 0 kondisi |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Pada artikel ini kami akan memberi tahu Anda berapa limit suatu fungsi. Pertama, mari kita jelaskan poin-poin umum yang sangat penting untuk memahami esensi fenomena ini.

Yandex.RTB RA-339285-1

Batasi konsep

Dalam matematika, konsep ketidakterbatasan, yang dilambangkan dengan simbol ∞, sangatlah penting. Ini harus dipahami sebagai bilangan + ∞ yang sangat besar atau bilangan - ∞ yang sangat kecil. Ketika kita berbicara tentang tak terhingga, sering kali kita mengartikan kedua arti tersebut sekaligus, namun notasi dalam bentuk + ∞ atau - ∞ tidak boleh diganti begitu saja dengan ∞.

Limit suatu fungsi ditulis sebagai lim x → x 0 f (x) . Di bagian bawah kita menulis argumen utama x, dan dengan bantuan panah kita menunjukkan nilai x0 mana yang cenderung. Jika nilai x 0 adalah bilangan real konkrit, maka kita berhadapan dengan limit fungsi di suatu titik. Jika nilai x 0 cenderung tak terhingga (tidak peduli apakah ∞, + ∞ atau - ∞), maka kita harus membicarakan limit fungsi di tak terhingga.

Batasnya bisa terbatas atau tidak terbatas. Jika sama dengan bilangan real tertentu, mis. lim x → x 0 f (x) = A, maka disebut limit berhingga, tetapi jika lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ atau lim x → x 0 f (x) = - ∞ , maka tak terhingga.

Jika kita tidak dapat menentukan nilai yang terbatas atau tidak terbatas, berarti batas tersebut tidak ada. Contoh kasus ini adalah limit sinus di tak terhingga.

Pada paragraf ini akan dijelaskan cara mencari nilai limit suatu fungsi di suatu titik dan tak terhingga. Untuk melakukan ini, kita perlu memperkenalkan definisi dasar dan mengingat apa itu barisan bilangan, serta konvergensi dan divergensinya.

Definisi 1

Bilangan A adalah limit fungsi f(x) sebagai x → ∞ jika barisan nilainya konvergen ke A untuk sembarang barisan argumen yang sangat besar (negatif atau positif).

Penulisan limit suatu fungsi terlihat seperti ini: lim x → ∞ f(x) = A.

Definisi 2

Karena x → ∞, limit suatu fungsi f(x) tidak terhingga jika barisan nilai untuk sembarang barisan argumen yang besarnya juga sangat besar (positif atau negatif).

Entrinya terlihat seperti lim x → ∞ f (x) = ∞ .

Contoh 1

Buktikan persamaan lim x → ∞ 1 x 2 = 0 menggunakan definisi dasar limit x → ∞.

Larutan

Mari kita mulai dengan menulis barisan nilai fungsi 1 x 2 untuk barisan nilai positif tak terhingga dari argumen x = 1, 2, 3, . . . , N , . . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .

Kita melihat nilainya secara bertahap akan menurun, cenderung ke 0. Lihat di gambar:

x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - N , . . .

1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .

Di sini kita juga dapat melihat penurunan monotonik menuju nol, yang menegaskan validitasnya dalam kondisi kesetaraan:

Menjawab: Kebenarannya dalam kondisi kesetaraan telah dikonfirmasi.

Contoh 2

Hitung limitnya lim x → ∞ e 1 10 x .

Larutan

Mari kita mulai, seperti sebelumnya, dengan menuliskan barisan nilai f (x) = e 1 10 x untuk barisan argumen positif yang besarnya tak terhingga. Misalnya x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .

e 1 10 ; e 4 10 ; e 9 10 ; e 16 10 ; e 25 10 ; . . . ; e 100 10 ; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .

Kita melihat bahwa barisan ini positif tak terhingga, artinya f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞

Mari kita lanjutkan ke penulisan nilai barisan negatif yang besarnya tak terhingga, misalnya x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .

e - 1 10 ; e - 4 10 ; e - 9 10 ; e - 16 10 ; e - 25 10 ; . . . ; e - 100 10 ; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0,000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞

Karena juga cenderung nol, maka f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .

Solusi dari masalah tersebut ditunjukkan dengan jelas dalam ilustrasi. Titik biru menunjukkan rangkaian nilai positif, titik hijau menunjukkan rangkaian nilai negatif.

Menjawab: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr dan x → + ∞ 0 , pr dan x → - ∞ .

Mari kita beralih ke metode menghitung limit suatu fungsi di suatu titik. Untuk melakukan ini, kita perlu mengetahui cara mendefinisikan limit satu sisi dengan benar. Ini juga berguna bagi kita untuk mencari asimtot vertikal dari grafik suatu fungsi.

Definisi 3

Bilangan B adalah limit fungsi f(x) di sebelah kiri sebagai x → a jika barisan nilainya konvergen ke suatu bilangan tertentu untuk sembarang barisan argumen fungsi x n konvergen ke a, jika nilainya tetap kurang dari a (x n< a).

Batas tersebut dilambangkan secara tertulis sebagai lim x → a - 0 f(x) = B.

Sekarang mari kita rumuskan berapa limit suatu fungsi di sebelah kanan.

Definisi 4

Bilangan B adalah limit dari fungsi f (x) di sebelah kanan sebagai x → a jika barisan nilainya konvergen ke suatu bilangan tertentu untuk sembarang barisan argumen fungsi x n yang konvergen ke a, jika nilainya tetap lebih besar dari a (x n > a) .

Kita tuliskan limit ini sebagai lim x → a + 0 f (x) = B .

Kita dapat mencari limit suatu fungsi f (x) pada suatu titik tertentu jika mempunyai limit yang sama pada ruas kiri dan kanannya, yaitu. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Jika kedua limitnya tak terhingga, maka limit fungsi di titik awal juga tak terhingga.

Kami sekarang akan memperjelas definisi ini dengan menuliskan solusi untuk masalah tertentu.

Contoh 3

Buktikan adanya limit berhingga dari fungsi f(x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 di titik x 0 = 2 dan hitung nilainya.

Larutan

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita perlu mengingat kembali definisi limit suatu fungsi di suatu titik. Pertama, mari kita buktikan bahwa fungsi awal mempunyai limit di sebelah kiri. Mari kita tuliskan barisan nilai fungsi yang konvergen ke x 0 = 2 jika x n< 2:

f(-2); f (0) ; f (1) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . == 8.667; 2,667; 0,167; - 0,958; - 1.489; - 1.747; - 1.874; . . . ; - 1.998; . . . → - 2

Karena barisan di atas tereduksi menjadi - 2, kita dapat menulis bahwa lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Nilai fungsi dalam urutan ini akan terlihat seperti ini:

f (6) ; f (4) ; f (3) ; f 2 1 2 ; f 2 3 4 ; f 2 7 8 ; f 2 15 16 ; . . . ; f 2 1023 1024 ; . . . = = - 7.333; - 5.333; - 3.833; - 2.958; - 2.489; - 2.247; - 2,124; . . . , - 2,001, . . . → - 2

Barisan ini juga konvergen menjadi - 2 yang artinya lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Diketahui bahwa limit ruas kanan dan kiri fungsi ini sama, artinya limit fungsi f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 di titik x 0 = 2 ada, dan lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2 .

Anda dapat melihat kemajuan solusi dalam ilustrasi (titik hijau adalah barisan nilai yang konvergen ke x n< 2 , синие – к x n > 2).

Menjawab: Limit ruas kanan dan kiri fungsi ini sama, artinya limit fungsi tersebut ada, dan lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.

Untuk mempelajari teori limit lebih dalam, kami menyarankan Anda untuk membaca artikel tentang kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik dan jenis-jenis utama titik diskontinuitas.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Rumusan teorema utama dan sifat-sifat limit suatu fungsi diberikan. Definisi limit berhingga dan tak terhingga pada titik berhingga dan tak terhingga (dua sisi dan satu sisi) menurut Cauchy dan Heine diberikan. Properti aritmatika dipertimbangkan; teorema yang berkaitan dengan ketidaksetaraan; Kriteria konvergensi Cauchy; batas fungsi kompleks; sifat-sifat fungsi yang sangat kecil, sangat besar, dan monoton. Definisi suatu fungsi diberikan.

Definisi Fungsi

Fungsi kamu = f (X) adalah hukum (aturan) yang menyatakan bahwa setiap elemen x dari himpunan X dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.

Elemen x ∈ X ditelepon argumen fungsi atau variabel independen.
Elemen y ∈ kamu ditelepon nilai fungsi atau variabel terikat.

Himpunan X disebut domain fungsi.
Kumpulan elemen y ∈ kamu, yang memiliki gambar awal di himpunan X, disebut area atau kumpulan nilai fungsi.

Fungsi sebenarnya dipanggil dibatasi dari atas (dari bawah), jika terdapat bilangan M sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua:
.
Fungsi bilangan disebut terbatas, jika ada bilangan M sehingga untuk semua:
.

Tepi atas atau batas atas yang tepat Fungsi real disebut bilangan terkecil yang membatasi rentang nilainya dari atas. Artinya, ini adalah bilangan s yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya melebihi s′: .
Batas atas suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Masing-masing tepi bawah atau batas bawah yang tepat Fungsi real disebut bilangan terbesar yang membatasi rentang nilainya dari bawah. Artinya, ini adalah bilangan i yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya lebih kecil dari i′: .
Nilai terkecil suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Menentukan limit suatu fungsi

Penentuan limit suatu fungsi menurut Cauchy

Batas fungsi yang terbatas pada titik akhir

Biarkan fungsi tersebut terdefinisi di lingkungan tertentu dari titik akhir, dengan kemungkinan pengecualian pada titik itu sendiri.
.
pada suatu titik, jika ada hal seperti itu, bergantung pada , maka untuk semua x yang , pertidaksamaannya berlaku
.
Limit suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Atau di .
.

Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
Batasan sepihak.
.
Batas kiri suatu titik (batas sisi kiri):
.
Batas kanan pada suatu titik (batas kanan):
; .

Batas kiri dan kanan sering dilambangkan sebagai berikut:

Batas terbatas suatu fungsi pada titik tak terhingga
.
.
.
Batas pada titik tak terhingga ditentukan dengan cara yang sama.
; ; .

Mereka sering disebut sebagai:

Menggunakan konsep lingkungan suatu titik
.
Jika kita memperkenalkan konsep lingkungan tertusuk suatu titik, maka kita dapat memberikan definisi terpadu tentang limit berhingga suatu fungsi pada titik berhingga dan jarak tak terhingga:
; ;
.
Di sini untuk titik akhir
; ; .

Setiap lingkungan titik di tak terhingga tertusuk:

Batas Fungsi Tak Terbatas
Definisi Biarkan fungsi tersebut didefinisikan di lingkungan titik yang tertusuk (berhingga atau tak terhingga). (X) F 0 sebagai x → x sama dengan tak terhingga > 0 , jika untuk sembarang bilangan M yang besar > 0 , ada bilangan δ M
.
Batas tak hingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Limit suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit tak terhingga suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
.

Anda juga dapat memperkenalkan definisi batas tak terhingga dari tanda-tanda tertentu yang sama dengan dan :
.
.

Definisi universal dari limit suatu fungsi

Dengan menggunakan konsep lingkungan suatu titik, kita dapat memberikan definisi universal tentang limit suatu fungsi yang berhingga dan tak terhingga, yang dapat diterapkan baik untuk titik-titik berhingga (dua sisi dan satu sisi) maupun yang jauhnya tak terhingga:
.

Penentuan limit suatu fungsi menurut Heine

Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada himpunan X:.
Bilangan a disebut limit fungsi pada titik:
,
jika suatu barisan konvergen ke x 0 :
,
yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan X: ,
.

Mari kita tulis definisi ini dengan menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
.

Jika kita mengambil lingkungan sisi kiri titik x sebagai himpunan X 0 , maka kita memperoleh definisi limit kiri. Jika bertangan kanan, maka diperoleh definisi limit siku-siku. Jika kita mengambil lingkungan suatu titik di tak terhingga sebagai himpunan X, kita memperoleh definisi limit suatu fungsi di tak terhingga.

Dalil
Definisi Cauchy dan Heine tentang limit suatu fungsi adalah ekuivalen.
Bukti

Sifat dan teorema limit suatu fungsi

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa fungsi-fungsi yang dipertimbangkan didefinisikan di lingkungan titik yang bersesuaian, yang merupakan bilangan berhingga atau salah satu simbol: .

Bisa juga berupa titik batas satu sisi, yaitu berbentuk atau .

Lingkungan tersebut bersifat dua sisi untuk batas dua sisi dan satu sisi untuk batas satu sisi. (X) Properti dasar Jika nilai fungsi f mengubah (atau membuat tidak terdefinisi) sejumlah titik x yang terbatas 0 .

1, x 2, x 3, ... xn 0 , maka perubahan ini tidak akan mempengaruhi keberadaan dan nilai limit fungsi pada titik sembarang x (X) Jika terdapat limit berhingga, maka terdapat lingkungan tertusuk dari titik x
.

, di mana fungsinya f 0 terbatas:
.
Biarkan fungsinya berada di titik x 0 batas terbatas bukan nol:
Kemudian, untuk sembarang bilangan c dari interval , terdapat lingkungan titik x yang tertusuk
untuk apa,

, Jika ;

, Jika . 0
,
Jika, pada lingkungan titik yang tertusuk, , adalah sebuah konstanta, maka .

Jika terdapat batas berhingga dan dan pada suatu lingkungan tertusuk dari titik x
,
Jika, pada lingkungan titik yang tertusuk, , adalah sebuah konstanta, maka .
Itu .
,
Jika , dan di beberapa lingkungan titik tersebut
Khususnya, jika berada di lingkungan suatu titik

lalu jika , maka dan ; 0 :
,
dan ada batas-batas yang sama yang terbatas (atau tidak terbatas dari tanda tertentu):
, Itu
.

Bukti properti utama diberikan di halaman
"Sifat dasar limit suatu fungsi."

Sifat aritmatika dari limit suatu fungsi

Biarkan fungsi dan didefinisikan di beberapa lingkungan titik yang tertusuk .
Dan biarlah ada batasan yang terbatas:
Dan .
;
;
;
untuk apa,

Dan misalkan C adalah suatu konstanta, yaitu suatu bilangan tertentu. Kemudian

Jika, maka.
Bukti sifat aritmatika diberikan di halaman

"Sifat aritmatika dari batas suatu fungsi".

Dalil
Kriteria Cauchy untuk keberadaan limit suatu fungsi 0 Agar suatu fungsi terdefinisi pada suatu lingkungan tertusuk pada titik x yang berhingga atau tak terhingga > 0 , memiliki batas yang terbatas pada saat ini, maka perlu dan cukup untuk sembarang ε 0 ada lingkungan yang tertusuk di titik x
.

, bahwa untuk setiap titik dan dari lingkungan ini, pertidaksamaan berikut berlaku:

Batas fungsi kompleks
Teorema limit fungsi kompleks
Biarkan fungsi tersebut mempunyai batas dan petakan lingkungan titik yang tertusuk ke lingkungan titik yang tertusuk.
Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada lingkungan ini dan mempunyai batasnya.
.

Berikut adalah titik akhir atau jarak yang tak terhingga: .
.

Lingkungan dan batas-batasnya dapat bersifat dua sisi atau satu sisi.
.
Maka ada limit suatu fungsi kompleks dan sama dengan:

Teorema limit suatu fungsi kompleks diterapkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik atau mempunyai nilai yang berbeda dari limitnya.
Untuk menerapkan teorema ini, harus ada lingkungan titik yang tertusuk di mana himpunan nilai fungsi tidak memuat titik tersebut: Jika fungsi tersebut kontinu di titik , maka tanda limit dapat diterapkan pada argumen fungsi kontinu: Berikut teorema yang berkaitan dengan kasus tersebut. 0 Teorema limit fungsi kontinu suatu fungsi 0 :
.
Misalkan ada limit dari fungsi g 0 (T)
sebagai t → t (X), dan itu sama dengan x 0 .
Ini poin t bisa terbatas atau jauh tak terhingga: . Dan biarkan fungsinya f kontinu di titik x:
.

Maka terdapat limit dari fungsi kompleks f
(g(t))

, dan itu sama dengan f

(x0)

Batas Fungsi Tak Terbatas
Bukti teorema diberikan di halaman
.

“Batas dan kesinambungan suatu fungsi yang kompleks”. Fungsi yang sangat kecil dan sangat besar

Fungsi yang sangat kecil Suatu fungsi dikatakan sangat kecil jika

Agar suatu fungsi mempunyai limit yang berhingga, maka hal itu perlu dan cukup
,
di mana adalah fungsi yang sangat kecil di .

"Sifat fungsi yang sangat kecil".

Fungsi yang sangat besar

Batas Fungsi Tak Terbatas
Suatu fungsi dikatakan sangat besar jika
.

Jumlah atau selisih suatu fungsi berbatas, pada suatu lingkungan titik yang tertusuk, dan suatu fungsi yang besarnya tak terhingga di adalah fungsi yang besarnya tak terhingga di .

Jika fungsi tersebut sangat besar untuk , dan fungsi tersebut dibatasi pada suatu lingkungan titik yang tertusuk , maka
.

Jika fungsinya , pada suatu lingkungan titik yang tertusuk , memenuhi pertidaksamaan:
,
dan fungsinya sangat kecil di:
, dan (pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk), lalu
.

Bukti properti disajikan di bagian
"Properti fungsi yang sangat besar".

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil

Dari dua sifat sebelumnya berikut hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil.

Jika suatu fungsi sangat besar di , maka fungsi tersebut sangat kecil di .

Jika suatu fungsi sangat kecil untuk , dan , maka fungsi tersebut sangat besar untuk .

Hubungan antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dinyatakan secara simbolis:
, .

Jika suatu fungsi yang sangat kecil mempunyai tanda tertentu di , yaitu positif (atau negatif) di suatu lingkungan titik yang tertusuk , maka fakta ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
.
Dengan cara yang sama, jika suatu fungsi yang besarnya tak terhingga mempunyai tanda tertentu di , maka dituliskan:
.

Kemudian hubungan simbolis antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dilengkapi dengan hubungan berikut:
, ,
, .

Rumus tambahan terkait simbol tak terhingga dapat ditemukan di halaman
"Titik tak terhingga dan sifat-sifatnya."

Batasan fungsi monotonik

Batas Fungsi Tak Terbatas
Suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan real X disebut meningkat secara ketat, jika untuk semua pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Oleh karena itu, untuk sangat menurun fungsi yang dimiliki pertidaksamaan berikut:
.
Untuk tidak menurun:
.
Untuk tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, fungsi yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Fungsi yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Fungsinya disebut membosankan, apakah tidak berkurang atau tidak bertambah.

Dalil
Biarkan fungsi tersebut tidak berkurang pada interval dimana .
Jika di atas dibatasi oleh bilangan M: maka ada limit yang berhingga.
Jika tidak dibatasi dari atas, maka .

Jika titik a dan b berada pada jarak tak terhingga, maka dalam persamaan tanda batas berarti .
Teorema ini dapat dirumuskan dengan lebih kompak.

Biarkan fungsi tersebut tidak berkurang pada interval dimana .
;
.

Maka terdapat limit sepihak di titik a dan b:

Teorema serupa untuk fungsi tak bertambah.
;
.

Biarkan fungsinya tidak bertambah pada interval di mana .
Lalu ada batasan sepihak:

Bukti teorema disajikan pada halaman
"Batas fungsi monotonik".
Sastra bekas:

L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.

CM. Nikolsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.

Dengan membuktikan sifat-sifat limit suatu fungsi, kami yakin bahwa tidak ada yang benar-benar diperlukan dari lingkungan tertusuk di mana fungsi kami didefinisikan dan yang muncul dalam proses pembuktian, kecuali sifat-sifat yang ditunjukkan dalam pendahuluan paragraf sebelumnya. 2. Keadaan ini menjadi pembenaran untuk mengidentifikasi objek matematika berikut.

A. Basis; definisi dan contoh dasar

Definisi 11. Kumpulan B dari himpunan bagian himpunan X akan disebut basis pada himpunan X jika dua kondisi terpenuhi:

Dengan kata lain, elemen-elemen dari koleksi B adalah himpunan tak kosong, dan perpotongan dua elemen tersebut mengandung beberapa elemen dari koleksi yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa dasar yang paling umum digunakan dalam analisis.

Jika kemudian mereka menulis dan mengatakan bahwa x cenderung ke a dari kanan atau dari sisi nilai yang lebih besar (masing-masing, dari kiri atau dari sisi nilai yang lebih kecil). Ketika rekaman pendek diterima sebagai gantinya

Entri tersebut akan digunakan sebagai pengganti She yang berarti a; cenderung pada himpunan E ke a, tetap lebih besar (lebih kecil) dari a.

kemudian mereka menulis dan mengatakan bahwa x cenderung plus tak terhingga (masing-masing, hingga minus tak terhingga).

Entri tersebut akan digunakan sebagai gantinya

Ketika alih-alih (jika hal ini tidak menimbulkan kesalahpahaman) kita akan, seperti kebiasaan dalam teori limit suatu barisan, menulis

B. Batasan fungsi berdasarkan basis

Definisi 12. Misalkan suatu fungsi pada himpunan X; B adalah basis di X. Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi terhadap basis B jika untuk sembarang lingkungan titik A terdapat elemen basis yang bayangannya terdapat pada lingkungan tersebut.

Jika A adalah limit suatu fungsi terhadap basis B, maka tulislah

Mari kita ulangi definisi limit berdasarkan basis dalam simbolisme logis:

Karena kita sekarang melihat fungsi dengan nilai numerik, ada gunanya mengingat bentuk definisi dasar berikut ini:

Dalam rumusan ini, alih-alih lingkungan sembarang V (A), diambil lingkungan simetris (sehubungan dengan titik A) (lingkungan e). Kesetaraan definisi fungsi bernilai riil ini berasal dari fakta bahwa, sebagaimana telah disebutkan, setiap lingkungan suatu titik mengandung beberapa lingkungan simetris dari titik yang sama (lakukan pembuktian secara lengkap!).

Kami telah memberikan definisi umum tentang limit suatu fungsi pada suatu basis. Di atas kita membahas contoh database yang paling umum digunakan dalam analisis. Dalam suatu masalah tertentu di mana salah satu dari dasar-dasar ini muncul, perlu untuk dapat menguraikan definisi umum dan menuliskannya untuk dasar tertentu.

Dengan mempertimbangkan contoh-contoh basa, kami, khususnya, memperkenalkan konsep lingkungan tak terhingga. Jika kita menggunakan konsep ini, maka sesuai dengan definisi umum limit, wajar jika kita menerima konvensi berikut:

atau, apa yang sama,

Biasanya yang kami maksud adalah nilai yang kecil. Tentu saja hal ini tidak berlaku pada definisi di atas. Sesuai dengan konvensi yang berlaku, misalnya, kita bisa menulis

Agar semua teorema limit yang telah kita buktikan di paragraf 2 untuk suatu basis khusus dianggap terbukti dalam kasus umum limit pada basis sembarang, perlu diberikan definisi yang sesuai: akhirnya konstan, akhirnya terbatas dan sangat kecil untuk basis fungsi tertentu.

Definisi 13. Suatu fungsi dikatakan konstan akhirnya dengan basis B jika terdapat bilangan dan elemen basis sedemikian rupa sehingga pada suatu titik

Saat ini, manfaat utama dari pengamatan yang dilakukan dan konsep basis yang diperkenalkan sehubungan dengan itu adalah bahwa mereka menyelamatkan kita dari pemeriksaan dan pembuktian formal teorema limit untuk setiap jenis lintasan limit tertentu atau, dalam terminologi kita saat ini, untuk setiap tipe tertentu mendasarkan

Untuk akhirnya mengenal konsep limit pada basis sembarang, kita akan melakukan pembuktian lebih lanjut sifat-sifat limit suatu fungsi dalam bentuk umum.