2.6. Analisis korelasi-spektral sinyal deterministik

Dalam banyak masalah teknik radio, seringkali ada kebutuhan untuk membandingkan sinyal dan salinannya, yang bergeser beberapa waktu. Secara khusus, situasi ini terjadi di radar, di mana pulsa yang dipantulkan dari target tiba di input penerima dengan jeda waktu. Perbandingan sinyal-sinyal ini satu sama lain, mis. Membangun hubungan mereka selama pemrosesan memungkinkan seseorang untuk menentukan parameter pergerakan target.

Untuk hitungan hubungan antara sinyal dan salinannya yang mengalami pergeseran waktu, sebuah karakteristik diperkenalkan

, (2.57)

Yang disebut fungsi autokorelasi(AKF).

Untuk klarifikasi arti fisik Mari kita beri contoh ACF, dimana sinyalnya berupa pulsa persegi panjang dengan durasi dan amplitudo. Pada Gambar. 2.9 menunjukkan pulsa, salinannya digeser oleh interval waktu dan produk . Jelasnya, pengintegrasian produk memberikan nilai luas pulsa, yaitu produk . Nilai ini, bila tetap, dapat diwakili oleh sebuah titik dalam koordinat. Saat berubah, kita akan mendapatkan grafik fungsi autokorelasi.

Mari kita temukan ekspresi analitis. Karena

kemudian substitusikan persamaan ini ke (2.57), kita peroleh

. (2.58)

Jika Anda menggeser sinyal ke kiri, maka dengan menggunakan perhitungan serupa mudah untuk menunjukkan hal itu

. (2.59)

Kemudian menggabungkan (2.58) dan (2.59), kita peroleh

. (2.60)

Dari contoh yang dipertimbangkan, kesimpulan penting berikut dapat ditarik yang berlaku untuk sinyal: bentuk bebas:

1. Fungsi autokorelasi tidak sinyal periodik menurun seiring pertumbuhan (tidak harus monoton untuk jenis sinyal lainnya). Jelasnya, ACF juga cenderung nol.

2. Milikmu nilai maksimum ACF mencapai pada . Dalam hal ini, sama dengan energi sinyal. Jadi, ACF adalah energi karakteristik sinyal. Seperti yang diharapkan, sinyal dan salinannya sepenuhnya berkorelasi (saling berhubungan).

3. Dari perbandingan (2,58) dan (2,59) maka ACF adalah bahkan berfungsi argumen, yaitu

.

Karakteristik penting dari sinyal adalah interval korelasi. Interval korelasi dipahami sebagai interval waktu ketika sinyal dan salinannya digeser menjadi tidak berkorelasi.

Secara matematis, interval korelasi ditentukan oleh ekspresi berikut

,

atau sejak adalah fungsi genap

. (2.61)

Pada Gambar. Gambar 2.10 menunjukkan ACF dari bentuk gelombang sembarang. Jika Anda membuat persegi panjang dengan luas yang sama dengan luas di bawah kurva untuk nilai positif (cabang kanan kurva), yang salah satu sisinya sama dengan , maka sisi kedua akan bersesuaian dengan .

Mari kita cari interval korelasi untuk pulsa persegi panjang. Substitusikan (2.58) ke (2.60) setelah transformasi sederhana, kita peroleh:

,

sebagai berikut dari Gambar. 2.9.

Dengan analogi fungsi autokorelasi, derajat hubungan antara dua sinyal diperkirakan fungsi korelasi silang(VKF)

. (2.62)

Mari kita cari fungsi korelasi silang dari dua sinyal: pulsa persegi panjang dengan amplitudo dan durasi

dan pulsa segitiga dengan amplitudo dan durasi yang sama

Menggunakan (2.61) dan menghitung integral secara terpisah untuk dan , kita memperoleh:

Plot grafis yang menggambarkan perhitungan VCF ditunjukkan pada Gambar. 2.11

Di Sini garis putus-putus posisi awal (at ) dari pulsa segitiga ditampilkan.

Pada ekspresi (2.61) diubah menjadi (2.57). Oleh karena itu, ACF adalah kasus khusus dari CCF dengan sinyal yang sepenuhnya cocok.

Mari kita perhatikan properti utama VKF.

1. Sama seperti fungsi autokorelasi, VCF adalah fungsi argumen yang menurun. Ketika VKF cenderung nol.

2. Nilai fungsi korelasi silang pada sembarang adalah nilai energi timbal balik(energi interaksi) sinyal dan .

3. Ketika fungsi korelasi silang (berbeda dengan fungsi autokorelasi) tidak selalu mencapai maksimal.

4. Jika sinyal digambarkan dengan fungsi waktu genap, maka CCF juga genap. Jika setidaknya salah satu sinyal digambarkan dengan fungsi ganjil, maka CCFnya juga ganjil. Pernyataan pertama mudah dibuktikan jika Anda menghitung CCF keduanya pulsa persegi panjang polaritas yang berlawanan

Dan

Fungsi korelasi silang dari sinyal tersebut

, (2.63)

adalah fungsi genap dari argumen tersebut.

Adapun pernyataan kedua, contoh penghitungan CCF pulsa persegi panjang dan segitiga yang dipertimbangkan membuktikannya.

Dalam beberapa masalah terapan, insinyur radio menggunakan ACF yang dinormalisasi

, (2.64)

dan VKF yang dinormalisasi

, (2.65)

di mana dan adalah energi intrinsik dari sinyal dan . Ketika nilai VKF dinormalisasi ditelepon koefisien korelasi silang. Jika , maka koefisien korelasi silang

.

Jelas sekali, nilainya berkisar dari -1 hingga +1. Jika kita membandingkan (2,65) dengan (1,32), kita dapat memverifikasi bahwa koefisien korelasi silang sesuai dengan nilai kosinus sudut antara vektor dan dalam representasi geometris sinyal.

Mari kita hitung koefisien korelasi silang untuk contoh yang dibahas di atas. Karena energi sinyal pulsa persegi panjang adalah

dan pulsa segitiga

maka koefisien korelasi silang sesuai dengan (2,62) dan (2,65) adalah sama dengan . Adapun contoh kedua, untuk dua pulsa persegi panjang dengan amplitudo dan durasi yang sama, tetapi polaritasnya berlawanan, .

Secara eksperimental, ACF dan VCF dapat diperoleh dengan menggunakan suatu perangkat diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar.

2.12 Ketika ACF dilepas, sinyal diterima di salah satu input pengali, dan sinyal yang sama diterima di input kedua, tetapi tertunda untuk sementara waktu. Sinyal proporsional produk

, menjalani operasi integrasi. Pada keluaran integrator, dihasilkan tegangan yang sebanding dengan nilai ACF pada titik tetap. Dengan mengubah waktu tunda, Anda dapat membangun ACF sinyal. Untuk membangun VCF secara eksperimental, sinyal diumpankan ke salah satu input pengali, dan sinyal diumpankan ke perangkat penundaan (sirkuit masuk ditunjukkan dalam garis putus-putus). Jika tidak, perangkat bekerja dengan cara yang sama. Perhatikan bahwa perangkat yang dijelaskan disebut korelator

dan banyak digunakan di berbagai sistem radio untuk menerima dan memproses sinyal. Sejauh ini kami telah melakukan analisis korelasi sinyal non-periodik mempunyai energi yang terbatas. Pada saat yang sama, kebutuhan akan analisis semacam itu sering kali muncul untuk sinyal periodik, yang secara teoritis memiliki energi tak terhingga namun daya rata-ratanya terbatas. Dalam hal ini, ACF dan VCF dihitung dengan rata-rata selama periode tersebut dan masuk akal kekuatan sedang

, (2.66)

(masing-masing milik atau bersama). Jadi, ACF dari sinyal periodik adalah:

, (2.67)

dan fungsi korelasi silang dari dua sinyal periodik dengan beberapa periode:

dimana adalah nilai terbesar periode tersebut.

,

Mari kita cari fungsi autokorelasi dari sinyal harmonik

di mana adalah frekuensi melingkar dan merupakan fase awal.

.

Substitusikan persamaan ini ke (2.66) dan hitung integralnya menggunakan hubungan trigonometri yang diketahui:

Dari contoh yang dipertimbangkan, kita dapat menarik kesimpulan berikut, yang berlaku untuk setiap sinyal periodik.

2. ACF dari sinyal periodik merupakan fungsi genap dari argumennya.

3. Bila nilai tersebut mewakili daya rata-rata yang dilepaskan pada hambatan 1 ohm dan mempunyai dimensi.

4. ACF sinyal periodik tidak berisi informasi tentang fase awal sinyal.

Perlu juga diperhatikan interval korelasi suatu sinyal periodik.

Sekarang mari kita hitung fungsi korelasi silang dari dua sinyal harmonik dengan frekuensi yang sama, tetapi berbeda amplitudo dan fase awalnya.

Dan .

Berdasarkan persamaan (13.5), fungsi korelasi respon perangkat nonlinier dapat dinyatakan sebagai berikut dalam fungsi transisi perangkat ini:

Integral ganda adalah sama, seperti terlihat dari perbandingan dengan persamaan (4.25), dengan fungsi karakteristik gabungan besaran yang ditulis sebagai fungsi variabel kompleks. Karena itu,

Ekspresi (13.40) adalah rumus utama untuk menganalisis efek acak pada perangkat nonlinier dengan menggunakan metode transformasi. Sisa bab ini dikhususkan untuk mengevaluasi ungkapan ini berbagai jenis perangkat dan berbagai jenis dampaknya terhadap mereka.

Dalam banyak permasalahan, pengaruh yang diterapkan pada input sistem adalah jumlah dari sinyal dan noise yang berguna:

di mana adalah fungsi sampel dari proses probabilistik yang independen secara statistik. Dalam kasus seperti itu, fungsi karakteristik gabungan dari pengaruh sama dengan produk fungsi karakteristik sinyal dan kebisingan, dan persamaan (13.40) diambil

dimana - fungsi ciri gabungan besaran - fungsi ciri gabungan besaran dan

Kebisingan Gaussian pada masukan. Jika noise pada input perangkat adalah fungsi sampel dari proses probabilistik Gaussian nyata dengan ekspektasi matematis nol, maka menurut persamaan (8.23),

dimana Fungsi respon korelasi dalam hal ini berbentuk

Jika fungsi dari dan fungsi dari sekarang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali fungsi dari atau sebagai jumlah dari hasil kali tersebut, maka integral rangkap pada ekspresi terakhir dapat dihitung sebagai hasil kali integral. Fakta bahwa fungsi eksponensial dapat direpresentasikan melalui perkalian fungsi dan mengikuti perluasannya menjadi deret pangkat

Oleh karena itu, fungsi korelasi dari respon perangkat nonlinier ketika noise Gaussian diterapkan pada inputnya dapat ditulis

Sinyal sinusoidal.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa sinyal pada input perangkat adalah sinusoid termodulasi, yaitu

di mana adalah fungsi sampel dari proses probabilistik frekuensi rendah (yaitu, proses yang kerapatan spektralnya bukan nol hanya dalam rentang frekuensi yang berdekatan dengan frekuensi nol dan sempit dibandingkan dengan dan di mana variabel acak terdistribusi secara merata dalam interval dan tidak bergantung pada sinyal modulasi dan dari noise. Fungsi karakteristik sinyal tersebut sama dengan

Memperluas eksponensial ke rumus Jacobi-Anger [ekspresi (13.20)], kita memperoleh

Sejak

di mana kita mendapatkannya untuk modulasi amplitudo gelombang sinus

Fungsi korelasi respon perangkat nonlinier ketika sinyal sinusoidal dan noise Gaussian diterapkan pada inputnya sekarang dapat ditemukan dengan mensubstitusikan (13.47) ke (13.45). Mari kita definisikan fungsinya

dimana dan fungsi korelasinya

dimana rata-rata dilakukan pada sinyal modulasi; maka fungsi korelasi responnya akan sama dengan

Jika sinyal modulasi dan noise tidak bergerak, maka persamaan (13.50) akan berbentuk

Jika sinyal inputnya adalah gelombang sinus yang tidak termodulasi

karena dalam hal ini koefisiennya konstan dan sama satu sama lain.

Komponen sinyal dan noise pada output.

Sekarang mari kita perhatikan kasus di mana derau masukan berbentuk sinusoida termodulasi. Dalam hal ini, fungsi korelasi pada keluaran diberikan oleh ekspresi (13.52). Mari kita kembangkan ekspresi ini sebagai berikut:

Mari kita lihat masing-masing komponennya. Suku pertama berhubungan dengan komponen konstan pada keluaran perangkat. Kelompok istilah berikutnya sesuai dengan bagian periodik dari respons dan terutama disebabkan oleh interaksi sinyal masukan dengan dirimu sendiri. Istilah-istilah lainnya sesuai dengan fluktuasi acak dalam respons, yaitu kebisingan pada keluaran. Itu dari

istilah-istilah yang tersisa ini terutama disebabkan oleh interaksi derau masukan dengan dirinya sendiri, dan istilah-istilah yang disebabkan oleh interaksi sinyal dan derau pada masukan.

Mari kita bayangkan respons perangkat nonlinier sebagai jumlah dari nilai rata-rata, komponen periodik, dan komponen acak:

Maka fungsi respon korelasi dapat dituliskan sebagai

dimana Membandingkan persamaan (13,53) dan (13,55), kita melihat bahwa nilai rata-rata respon dan amplitudo komponen periodiknya dapat dinyatakan secara langsung melalui koefisien

Selain itu, fungsi korelasi bagian acak dari respon dapat ditulis sebagai

dimana kita masukkan menurut definisi sesuai dengan (13.50)

Perlu dicatat bahwa, sebenarnya, semua istilah ini adalah fungsi dari proses modulasi sinyal input.

Pemecahan terhadap pertanyaan suku manakah pada (13.62) yang menentukan sinyal keluaran yang berguna, tentu saja, bergantung pada tujuan perangkat nonlinier. Jika, misalnya, perangkat digunakan sebagai detektor, maka bagian frekuensi rendah dari sinyal keluaran berguna. Dalam hal ini, sinyal yang berguna sesuai dengan bagian tersebut fungsi korelasi, ditentukan oleh kesetaraan

Sebaliknya, jika perangkat tersebut digunakan sebagai penguat nonlinier, maka

karena dalam hal ini komponen sinyal yang berguna terkonsentrasi di sekitar frekuensi pembawa sinyal masukan

Korelasi – operasi matematika, mirip dengan konvolusi, memungkinkan Anda memperoleh sinyal ketiga dari dua sinyal. Terjadinya: autokorelasi (fungsi autokorelasi), korelasi silang (fungsi korelasi silang, fungsi korelasi silang). Contoh:

[Fungsi korelasi silang]

[Fungsi autokorelasi]

Korelasi adalah teknik untuk mendeteksi sinyal yang diketahui sebelumnya dengan latar belakang noise, disebut juga filtrasi optimal. Meskipun korelasi sangat mirip dengan konvolusi, penghitungannya berbeda. Area penerapannya juga berbeda (c(t)=a(t)*b(t) - konvolusi dua fungsi, d(t)=a(t)*b(-t) - korelasi silang).

Korelasi sama dengan konvolusi, hanya salah satu sinyalnya yang dibalik dari kiri ke kanan. Autokorelasi (fungsi autokorelasi) mencirikan tingkat hubungan antara sinyal dan salinannya yang digeser sebesar τ. Fungsi korelasi silang mencirikan derajat hubungan antara 2 sinyal berbeda.

Sifat-sifat fungsi autokorelasi:

• 1) R(τ)=R(-τ). Fungsi R(τ) genap.
• 2) Jika x(t) merupakan fungsi sinusoidal terhadap waktu, maka fungsi autokorelasinya merupakan fungsi kosinus dengan frekuensi yang sama. Informasi tentang fase awal hilang. Jika x(t)=A*sin(ωt+φ), maka R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Fungsi autokorelasi dan spektrum daya dihubungkan melalui transformasi Fourier.
• 4) Jika x(t) adalah suatu fungsi periodik, maka R(τ) untuk fungsi tersebut dapat direpresentasikan sebagai jumlah fungsi autokorelasi dari komponen konstan dan dari komponen yang bervariasi secara sinusoidal.
• 5) Fungsi R(τ) tidak membawa informasi apapun fase awal komponen harmonik dari sinyal.
• 6) Untuk fungsi waktu acak, R(τ) menurun dengan cepat seiring bertambahnya τ. Interval waktu setelah R(τ) menjadi sama dengan 0 disebut interval autokorelasi.
• 7) Suatu x(t) tertentu sesuai dengan R(τ) yang terdefinisi dengan baik, tetapi untuk R(τ) yang sama, fungsi yang berbeda x(t) dapat bersesuaian

Sinyal asli dengan noise:

Fungsi autokorelasi dari sinyal asli:

Sifat-sifat fungsi korelasi silang (MCF):

• 1) VKF bukan fungsi genap atau ganjil, mis. R xy (τ) tidak sama dengan R xy (-τ).
• 2) VCF tetap tidak berubah ketika pergantian fungsi berubah dan tanda argumen berubah, mis. R xy (τ)=R xy (-τ).
• 3) Jika fungsi acak x(t) dan y(t) tidak mengandung komponen konstan dan dibuat oleh sumber independen, maka bagi mereka R xy (τ) cenderung 0. Fungsi seperti itu disebut tidak berkorelasi.

Sinyal asli dengan noise:

Gelombang persegi dengan frekuensi yang sama:

Korelasi sinyal asli dan liku-liku:

Perhatian! Setiap catatan kuliah elektronik adalah kekayaan intelektual penulisnya dan dipublikasikan di situs web untuk tujuan informasi saja.

Sinyal dan sistem linier. Korelasi sinyal

Topik 6. Korelasi sinyal

Ketakutan yang ekstrim dan semangat keberanian yang ekstrim sama-sama membuat perut sakit dan menyebabkan diare.

Michel Montaigne. Pemikir-pengacara Perancis, abad ke-16.

Ini nomornya! Kedua fungsi tersebut memiliki korelasi 100% dengan fungsi ketiga dan saling ortogonal. Nah, Yang Maha Kuasa punya lelucon saat penciptaan Dunia.

Anatoly Pyshmintsev. Ahli geofisika Novosibirsk dari sekolah Ural, abad ke-20.

1. Fungsi autokorelasi sinyal. Konsep fungsi autokorelasi (ACFs). ACF sinyal terbatas waktu. ACF sinyal periodik. Fungsi autokovarians (ACF). ACF sinyal diskrit. ACF dari sinyal bising. ACF sinyal kode.

2. Fungsi korelasi silang sinyal (CSF). Fungsi korelasi silang (CCF). Korelasi silang sinyal bising. CCF sinyal diskrit. Estimasi sinyal periodik dalam kebisingan. Fungsi koefisien korelasi timbal balik.

3. Kepadatan spektral fungsi korelasi. Kepadatan spektral ACF. Interval korelasi sinyal. Kepadatan spektral VKF. Perhitungan fungsi korelasi menggunakan FFT.

Perkenalan

Korelasi, dan kasus khusus untuk sinyal terpusat – kovarians, adalah metode analisis sinyal. Kami menyajikan salah satu opsi untuk menggunakan metode ini. Mari kita asumsikan bahwa ada sinyal s(t), yang mungkin (atau mungkin tidak) berisi beberapa barisan x(t) dengan panjang terbatas T, posisi temporal yang menarik perhatian kita. Untuk mencari urutan ini dalam jendela waktu dengan panjang T yang meluncur di sepanjang sinyal s(t), produk skalar dari sinyal s(t) dan x(t) dihitung. Jadi, kita “menerapkan” sinyal yang diinginkan x(t) ke sinyal s(t), meluncur sepanjang argumennya, dan dengan nilai produk skalar kita memperkirakan tingkat kemiripan sinyal pada titik perbandingan.

Analisis korelasi memungkinkan untuk menetapkan dalam sinyal (atau rangkaian data digital sinyal) adanya hubungan tertentu antara perubahan nilai sinyal pada variabel independen, yaitu ketika nilai besar dari satu sinyal (relatif ke nilai rata-rata sinyal) dikaitkan dengan nilai besar sinyal lain (korelasi positif), atau sebaliknya, nilai kecil dari satu sinyal dikaitkan dengan nilai besar sinyal lainnya (korelasi negatif), atau data dua sinyal tidak berhubungan sama sekali (korelasi nol).

Dalam ruang fungsional sinyal, tingkat koneksi ini dapat dinyatakan dalam satuan koefisien korelasi yang dinormalisasi, yaitu. dalam kosinus sudut antara vektor sinyal, dan, karenanya, akan mengambil nilai dari 1 (kebetulan total sinyal) hingga -1 (berlawanan total) dan tidak bergantung pada nilai (skala) satuan pengukuran .

Dalam versi autokorelasi, teknik serupa digunakan untuk menentukan produk skalar dari sinyal s(t) dengan salinannya sendiri yang meluncur di sepanjang argumen. Autokorelasi memungkinkan Anda memperkirakan ketergantungan statistik rata-rata sampel sinyal saat ini pada nilai sebelumnya dan selanjutnya (yang disebut radius korelasi nilai sinyal), serta mengidentifikasi keberadaan elemen berulang secara berkala dalam sinyal.

Metode korelasi sangat penting dalam analisis proses acak untuk mengidentifikasi komponen non-acak dan mengevaluasi parameter non-acak dari proses ini.

Perhatikan bahwa ada beberapa kebingungan mengenai istilah "korelasi" dan "kovarians". Dalam literatur matematika, istilah "kovarians" diterapkan pada fungsi terpusat, dan "korelasi" diterapkan pada fungsi arbitrer. Dalam literatur teknis, dan khususnya literatur tentang sinyal dan metode pemrosesannya, terminologi yang berlawanan sering digunakan. Ini tidak terlalu penting, tetapi ketika Anda membiasakan diri dengan sumber-sumber sastra, Anda harus memperhatikan tujuan yang diterima dari istilah-istilah ini.

Distribusi Rayleigh dan Rice mencirikan sinyal tidak memudar sepenuhnya. Secara khusus, mereka tidak memberikan gambaran tentang bagaimana proses pemudaran sinyal terjadi seiring waktu. Mari kita asumsikan bahwa proses tersebut dipertimbangkan pada dua titik waktu T Dan T+t, dimana t adalah penundaan. Kemudian hubungan statistik antara fading diberikan oleh fungsi korelasi, yang didefinisikan sebagai berikut.

Mari kita asumsikan bahwa proses yang sedang dipertimbangkan bersifat stasioner. Artinya parameter statistiknya, seperti mean, varians, dan korelasi silang, tidak bergantung pada waktu T. Untuk proses pita sempit (2.3.37) diperoleh fungsi korelasi dalam bentuk

Mari kita perkenalkan fungsi korelasi sinyal kuadratur:

Sekarang kita ubah ekspresi (2.3.61) ke bentuk

Untuk transformasi lebih lanjut (2.3.63) kita akan menggunakan hubungan trigonometri.

(2.3.64)

Hasilnya, kami mendapatkan itu

Karena prosesnya stasioner, fungsi korelasinya tidak bergantung pada waktu. Persyaratan ini dapat dipenuhi jika suku kedua dan keempat pada (2.3.65) sama dengan nol, yang selanjutnya dimungkinkan jika fungsi korelasi sinyal kuadratur memenuhi hubungan berikut:

Dengan demikian, fungsi korelasi sinyal pita sempit normal stasioner adalah sama dengan

Mari kita tunjukkan bahwa fungsi korelasi merupakan fungsi ganjil dari t. Untuk ini kami memperhitungkan itu

Mari kita substitusikan (2.3.68) ke rumus kedua di (2.3.66) dan temukan itu

. (2.3.69)

Jadi, fungsi korelasi silang dari sinyal kuadratur adalah ganjil. Hal ini mengarah pada hasil penting pada saat yang sama sinyal kuadratur tidak berkorelasi, yaitu .

Sekarang mari kita perhatikan korelasi amplitudo kompleks

Berdasarkan definisi fungsi korelasi, kita dapat menuliskannya

. (2.3.71)

Fungsinya kompleks dan mempunyai sifat simetri, yaitu.

. (2.3.72)

Mari kita substitusikan (2.3.70) ke (2.3.71) dan pertimbangkan (2.3.62). Kemudian (2.3.71) mengambil bentuk

Jika kita memperhitungkan (2.3.66), maka rumus ini disederhanakan secara signifikan:

Fungsi korelasi (2.3.67) dari sinyal pita sempit dan fungsi korelasi (2.3.74) dari amplitudo kompleksnya saling berhubungan. Hubungan ini mudah diketahui dari perbandingan (2.3.67) dan (2.3.74). Hasilnya akan kita dapatkan

Sifat korelasi suatu sinyal berkaitan erat dengan sifat spektralnya. Secara khusus, kerapatan spektral daya ditemukan menggunakan transformasi Fourier dari fungsi korelasi dan sama dengan

. (2.3.76)

Mari kita tunjukkan bahwa itu adalah fungsi nyata, sedangkan fungsi korelasinya kompleks. Untuk melakukan ini, kita mengambil konjugat kompleks dari ekspresi (2.3.76) dan memperhitungkan sifat simetri (2.3.72) dari fungsi korelasi. Hasilnya, kami mendapatkan itu

Membandingkan (2.3.77) dengan (2.3.76) kita mendapatkan itu . Hal ini membuktikan bahwa spektrum amplitudo kompleks merupakan fungsi nyata.

Di bawah ini akan ditunjukkan bahwa spektrum amplitudo kompleks dari sinyal yang menggambarkan fading dalam saluran multipath adalah bahkan nyata fungsi frekuensi, yaitu . Maka fungsi korelasi menjadi valid. Untuk membuktikannya, kami menulis fungsi korelasi sebagai transformasi Fourier terbalik dari kerapatan spektral daya dalam bentuk

. (2.3.78)

Mari kita ambil konjugasi kompleks dari ekspresi (2.3.78) dan memperhitungkan paritas fungsinya. Kami mengerti

Membandingkan (2.3.79) dengan (2.3.78) kita mendapatkan itu . Hal ini membuktikan bahwa fungsi korelasi amplitudo kompleks dengan spektrum nyata yang berbentuk fungsi genap merupakan fungsi nyata.

Dengan mempertimbangkan realitas fungsi korelasi, dari (2.3.74) kita menemukan bahwa

. (2.3.80)

Dengan menggunakan (2.3.75), kita memperoleh fungsi korelasi sinyal pita sempit dalam bentuk

Sekarang mari kita menetapkan tugas untuk menemukan dalam bentuk eksplisit fungsi spektrum dan korelasi yang menggambarkan pemudaran sinyal dalam saluran multipath. Pertimbangkan kembali dua momen dalam satu waktu T Dan T+t. Jika selama waktu t pemancar, penerima, dan reflektor ulang tidak mengubah lokasinya dan mempertahankan parameternya, maka total sinyal di penerima tidak berubah. Agar sinyal memudar, diperlukan pergerakan timbal balik antara pemancar, penerima dan (atau) reflektor. Hanya dalam kasus ini terjadi perubahan amplitudo dan fase sinyal yang dijumlahkan pada input antena penerima. Semakin cepat gerakan ini terjadi, semakin banyak pula kecepatan lebih tinggi terjadi pemudaran sinyal dan oleh karena itu spektrumnya harus lebih luas.

Kita asumsikan bahwa penerima bergerak dengan kecepatan tertentu ay, dan pemancar tetap diam. Jika antena pemancar memancarkan sinyal harmonik dengan frekuensi tertentu F, kemudian karena efek Doppler, penerima mendaftarkan sinyal dengan frekuensi berbeda. Perbedaan antara frekuensi-frekuensi ini disebut pergeseran frekuensi Doppler. Untuk mencari nilai pergeseran frekuensi, perhatikan Gambar. 2.16, yang menunjukkan pemancar, penerima, vektor gelombang k gelombang bidang dan vektor ay kecepatan penerima.

Beras. 2.16. Menuju penentuan pergeseran frekuensi Doppler

Kami menulis persamaan gerak seragam penerima dalam bentuk

Maka fase sinyal yang diterima akan menjadi fungsi waktu

dimana q adalah sudut antara vektor kecepatan dan vektor gelombang.

Frekuensi sesaat didefinisikan sebagai turunan fase. Oleh karena itu, dengan membedakan (2.3.83) dan memperhitungkan bilangan gelombang , kita akan mendapatkan

. (2.3.84)

Dengan gerakan seragam penerima, sebagai berikut dari (2.3.84), pergeseran frekuensi sama dengan

Sebagai contoh, mari kita asumsikan kecepatannya ay=72 km/jam = 20 m/s, frekuensi pemancar F=900 MHz, dan sudut q=0. Panjang gelombang l dan frekuensi F terhubung melalui kecepatan cahaya Dengan perbandingan Dengan=fl. Dari sini kita mendapatkan l= C/F=0,33 m. Sekarang dari (2.3.85) kita menemukan bahwa frekuensi Doppler bergeser fd=60Hz.

Pergeseran frekuensi Doppler (2.3.85) mempunyai nilai positif dan negatif, bergantung pada sudutnya Q antara vektor kecepatan dan vektor gelombang. Besarnya pergeseran Doppler tidak melebihi nilai maksimum yang setara dengan f maks=ay/l. Rumus (2.3.85) dapat dengan mudah direpresentasikan dalam bentuk

. (2.3.86)

Jika terdapat banyak reflektor ulang, wajar untuk berasumsi bahwa reflektor tersebut ditempatkan secara merata di sekitar penerima, misalnya, dalam lingkaran, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.17. Model reflektor ini disebut model Clark.

Beras. 2.17. Lokasi reflektor dalam model Clark

Kerapatan spektral daya dalam kasus model Clark ditentukan dengan cara berikut. Mari pilih interval frekuensi df d frekuensi dekat fd. Daya yang diterima dalam interval ini sama dengan . Kekuatan ini disebabkan oleh pergeseran frekuensi Doppler (2.3.86). Daya yang hilang berhubungan dengan jarak sudut D q, sama dengan , di mana adalah kerapatan sudut daya yang dihamburkan. Perhatikan pergeseran Doppler yang sama fd diamati untuk reflektor ulang dengan koordinat sudut ±q. Ini menyiratkan persamaan kekuasaan berikut

Kita asumsikan bahwa total daya yang dihamburkan sama dengan satu dan terdistribusi secara merata dalam interval tersebut.

Beras. 2.18. Spektrum Jakes Doppler untuk f maks=10Hz

Untuk menentukan fungsi korelasi (2.3.71) dari amplitudo kompleks, perlu untuk mengganti ekspresi (2.3.90) yang diperoleh untuk kerapatan daya spektral menjadi (2.3.78). Hasilnya, kami mendapatkan itu

Modulus fungsi korelasi (2.3.91) amplitudo kompleks untuk dua frekuensi maksimum Doppler f maks=10 Hz (kurva padat) dan f maks=30 Hz (kurva putus-putus) ditunjukkan pada Gambar. 2.19. Jika kita memperkirakan waktu korelasi memudarnya sinyal dalam suatu saluran pada level 0,5, maka itu sama dengan . Ini memberikan 24ms untuk f maks=10 Hz dan 8 ms untuk f maks=30Hz.

Beras. 2.19. Modul fungsi korelasi untuk f maks=10 dan 30 Hz (kurva padat dan putus-putus,
masing-masing).

Secara umum, spektrum Doppler mungkin berbeda dengan spektrum Jakes (2.3.90). Rentang nilaiD fd, yang berbeda secara signifikan dari nol disebut Hamburan Doppler di saluran. Karena ini terkait dengan transformasi Fourier, maka waktu koherensi T coh saluran adalah nilai t coh"1/H fd, yang mencirikan laju perubahan properti saluran.

Saat menurunkan (2.3.90) dan (2.3.91), diasumsikan bahwa kekuatan rata-rata sinyal hamburan sama dengan satu. Ini juga mengikuti dari (2.3.91) dan (2.3.71), karena

Koefisien korelasi sama dengan rasionya fungsi korelasi dengan daya rata-rata. Oleh karena itu di dalam hal ini ekspresi (2.3.91) juga memberikan koefisien korelasi.

Dari (2.3.81) kita menemukan fungsi korelasi sinyal pita sempit sama dengan

Dalam praktiknya, sifat korelasi dari variabel acak seperti amplitudo A dan kekuatan sesaat P=A 2. Besaran ini biasanya dicatat, misalnya, pada keluaran detektor linier atau kuadrat. Sifat korelasinya sampai batas tertentu terkait dengan sifat korelasi amplitudo kompleks Z(T).

Koefisien korelasi daya sesaat berhubungan dengan koefisien korelasi amplitudo kompleks melalui hubungan sederhana dalam bentuk:

. (2.3.94)

Mari kita berikan bukti dari rumus ini. Berdasarkan definisi koefisien korelasi, kita dapat menuliskannya

, (2.3.95)

dimana adalah fungsi korelasi daya.

Mari kita asumsikan bahwa tidak ada komponen deterministik dari sinyal dan amplitudo A mempunyai distribusi Rayleigh. Kemudian<P>=<A 2 >=2σ 2 . Kuantitas yang termasuk dalam (2.3.95) . Dengan menggunakan hukum distribusi Rayleigh, kita temukan hal tersebut

. (2.3.96)

Dengan mempertimbangkan (2.3.96), kita menemukan fungsi korelasi pangkat dari (2.3.95) menggunakan transformasi aljabar sederhana. Kami mengerti

. (2.3.97)

Kita juga dapat menyatakan fungsi korelasi pangkat dalam bentuk komponen kuadratur

Melakukan perkalian dan rata-rata pada ruas kanan persamaan (2.3.98), kita memperoleh suku-suku yang mewakili momen orde keempat berikut:

Oleh karena itu, kita perlu menghitung momen orde keempat. Mari kita perhatikan komponen kuadratur SAYA Dan Q adalah variabel acak Gaussian dengan mean nol dan varians identik σ 2 dan kami menggunakan aturan terkenal untuk membuka momen orde keempat. Menurutnya, jika ada empat variabel acak A, B, C, Dan D, maka itu adil rumus berikut:

Dengan menerapkan aturan ini, kita menghitung momen orde keempat pada (2.3.99). Hasilnya akan kita dapatkan

(2.3.101)

Jika kita memperhitungkan (2.3.96), (2.3.66) dan (2.3.74), maka (2.3.98) dapat ditulis sebagai

Sekarang kita perlu memperhitungkan hal itu . Hasilnya, kita memperoleh ekspresi berikut untuk fungsi korelasi pangkat:

Membandingkan rumus yang dihasilkan dengan (2.3.97), kami yakin akan validitas (2.3.94).

Untuk model saluran Clark, kami menemukan bahwa koefisien korelasi ditentukan oleh (2.3.91). Dengan memperhatikan (2.3.94), koefisien korelasi daya dalam kasus model Clarke akan sama dengan

. (2.3.104)

Sifat korelasi amplitudo A diselidiki menggunakan peralatan matematika yang jauh lebih kompleks dan tidak dipertimbangkan di sini. Namun perlu diperhatikan koefisien korelasi amplitudo A memenuhi perkiraan persamaan berikut.