Definisi Fungsi Linier

Mari kita perkenalkan definisi fungsi linier

Definisi

Fungsi berbentuk $y=kx+b$, dengan $k$ bukan nol, disebut fungsi linier.

Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Bilangan $k$ disebut kemiringan garis.

Ketika $b=0$ fungsi linier disebut fungsi proporsionalitas langsung $y=kx$.

Perhatikan Gambar 1.

Beras. 1. Arti geometris dari kemiringan suatu garis

Perhatikan segitiga ABC. Kita melihat bahwa $ВС=kx_0+b$. Mari kita cari titik potong garis $y=kx+b$ dengan sumbu $Ox$:

\ \

Jadi $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Mari kita cari perbandingan sisi-sisinya:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Sebaliknya, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan sebagai berikut:

Kesimpulan

Arti geometris dari koefisien $k$. Koefisien sudut garis lurus $k$ sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus tersebut terhadap sumbu $Ox$.

Mempelajari fungsi linier $f\left(x\right)=kx+b$ dan grafiknya

Pertama, pertimbangkan fungsi $f\left(x\right)=kx+b$, di mana $k > 0$.

1. $f"\kiri(x\kanan)=(\kiri(kx+b\kanan))"=k>0$. Akibatnya, fungsi ini meningkat di seluruh domain definisi. Tidak ada poin ekstrim.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafik (Gbr. 2).

Beras. 2. Grafik fungsi $y=kx+b$, untuk $k > 0$.

Sekarang perhatikan fungsi $f\left(x\right)=kx$, di mana $k

1. Domain definisinya adalah semua bilangan.
2. Rentang nilainya adalah semua angka.
3. $f\kiri(-x\kanan)=-kx+b$. Fungsinya tidak genap dan ganjil.
4. Untuk $x=0,f\kiri(0\kanan)=b$. Ketika $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Titik potong dengan sumbu koordinat: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ dan $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\kiri(x\kanan)=(\kiri(kx\kanan))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Oleh karena itu, fungsi tersebut tidak memiliki titik belok.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafik (Gbr. 3).

Fungsi linier disebut fungsi formulir kamu = kx + b, didefinisikan pada himpunan semua bilangan real. Di Sini k– kemiringan (bilangan real), B – suku bebas (bilangan real), X– variabel bebas.

Dalam kasus khusus, jika k = 0, kita memperoleh fungsi konstan kamu = b, grafiknya berupa garis lurus yang sejajar sumbu Sapi yang melalui suatu titik dengan koordinat (0; b).

Jika b = 0, lalu kita mendapatkan fungsinya kamu = kx, yang proporsionalitas langsung.

B – panjang segmen, yang dipotong oleh garis lurus sepanjang sumbu Oy, dihitung dari titik asal.

Arti geometris dari koefisien k – sudut kemiringan lurus ke arah positif sumbu Ox, dianggap berlawanan arah jarum jam.

Sifat-sifat fungsi linier:

1) Daerah definisi fungsi linier adalah seluruh sumbu real;

2) Jika k ≠ 0, maka rentang nilai fungsi linier tersebut adalah seluruh sumbu real. Jika k = 0, maka rentang nilai fungsi linier tersebut terdiri dari bilangan B;

3) Kemerataan dan keanehan suatu fungsi linier bergantung pada nilai koefisiennya k Dan B.

A) b ≠ 0, k = 0, karena itu, y = b – genap;

B) b = 0, k ≠ 0, karena itu y = kx – ganjil;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, karena itu y = kx + b – fungsi bentuk umum;

D) b = 0, k = 0, karena itu y = 0 – fungsi genap dan ganjil.

4) Fungsi linier tidak memiliki sifat periodisitas;

5) Titik potong dengan sumbu koordinat:

Sapi: y = kx + b = 0, x = -b/k, karena itu (-b/k; 0)– titik potong dengan sumbu absis.

Oy: kamu = 0k + b = b, karena itu (0; b)– titik potong dengan sumbu ordinat.

Catatan: Jika b = 0 Dan k = 0, lalu fungsinya kamu = 0 menjadi nol untuk nilai variabel apa pun X. Jika b ≠ 0 Dan k = 0, lalu fungsinya kamu = b tidak hilang untuk nilai variabel apa pun X.

6) Interval keteguhan tanda bergantung pada koefisien k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

kamu = kx + b– positif ketika X dari (-b/k; +∞),

kamu = kx + b– negatif kapan X dari (-∞; -b/k).

B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

kamu = kx + b– positif ketika X dari (-∞; -b/k),

kamu = kx + b– negatif kapan X dari (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; kamu = kx + b positif pada seluruh rentang definisi,

k = 0, b< 0; y = kx + b negatif di seluruh rentang definisi.

7) Interval monotonisitas suatu fungsi linier bergantung pada koefisien k.

k > 0, karena itu kamu = kx + b meningkat di seluruh domain definisi,

k< 0 , karena itu kamu = kx + b menurun di seluruh domain definisi.

8) Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik. Posisi garis lurus pada bidang koordinat bergantung pada nilai koefisien k Dan B. Di bawah ini adalah tabel yang menggambarkan hal ini dengan jelas.

Fungsi linier adalah fungsi yang berbentuk y=kx+b, dengan x adalah variabel bebas, k dan b adalah bilangan apa pun.
Grafik fungsi linier berupa garis lurus.

1. Untuk memplot grafik fungsi, kita membutuhkan koordinat dua titik yang termasuk dalam grafik fungsi tersebut. Untuk menemukannya, Anda perlu mengambil dua nilai x, mensubstitusikannya ke dalam persamaan fungsi, dan menggunakannya untuk menghitung nilai y yang sesuai.

Misalnya, untuk memplot fungsi y= x+2, akan lebih mudah untuk mengambil x=0 dan x=3, maka ordinat titik-titik ini akan sama dengan y=2 dan y=3. Kami mendapatkan poin A(0;2) dan B(3;3). Mari kita hubungkan keduanya dan dapatkan grafik fungsinya y= x+2:

2. Dalam rumus y=kx+b, bilangan k disebut koefisien proporsionalitas:
jika k>0, maka fungsi y=kx+b bertambah
jika k
Koefisien b menunjukkan perpindahan grafik fungsi sepanjang sumbu OY:
jika b>0, maka grafik fungsi y=kx+b diperoleh dari grafik fungsi y=kx dengan cara menggeser b satuan ke atas sepanjang sumbu OY
jika b
Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi y=2x+3; kamu= ½ x+3; kamu=x+3

Perhatikan bahwa dalam semua fungsi ini koefisien k lebih besar dari nol dan fungsinya adalah meningkat. Selain itu, semakin besar nilai k maka semakin besar sudut kemiringan garis lurus terhadap arah positif sumbu OX.

Dalam semua fungsi b=3 - dan kita melihat bahwa semua grafik memotong sumbu OY di titik (0;3)

Sekarang perhatikan grafik fungsi y=-2x+3; kamu=- ½ x+3; kamu=-x+3

Kali ini di semua fungsi koefisien k kurang dari nol dan fungsi sedang menurun. Koefisien b=3, dan grafiknya, seperti pada kasus sebelumnya, memotong sumbu OY di titik (0;3)

Perhatikan grafik fungsi y=2x+3; kamu=2x; kamu=2x-3

Sekarang dalam semua persamaan fungsi, koefisien k sama dengan 2. Dan kita mendapatkan tiga garis sejajar.

Namun koefisien b berbeda, dan grafik berikut memotong sumbu OY di titik berbeda:
Grafik fungsi y=2x+3 (b=3) memotong sumbu OY di titik (0;3)
Grafik fungsi y=2x (b=0) memotong sumbu OY di titik (0;0) - titik asal.
Grafik fungsi y=2x-3 (b=-3) memotong sumbu OY di titik (0;-3)

Jadi, jika kita mengetahui tanda-tanda koefisien k dan b, maka kita bisa langsung membayangkan seperti apa grafik fungsi y=kx+b tersebut.
Jika k 0

Jika k>0 dan b>0, maka grafik fungsi y=kx+b terlihat seperti:

Jika k>0 dan b, maka grafik fungsi y=kx+b terlihat seperti:

Jika k, maka grafik fungsi y=kx+b terlihat seperti:

Jika k=0, maka fungsi y=kx+b berubah menjadi fungsi y=b dan grafiknya terlihat seperti:

Ordinat semua titik pada grafik fungsi y=b sama dengan b Jika b=0, maka grafik fungsi y=kx (proporsionalitas langsung) melalui titik asal:

3. Mari kita perhatikan secara terpisah grafik persamaan x=a. Grafik persamaan ini berupa garis lurus yang sejajar sumbu OY yang semua titiknya mempunyai absis x=a.

Misalnya, grafik persamaan x=3 terlihat seperti ini:
Perhatian! Persamaan x=a bukan suatu fungsi, jadi satu nilai argumen sesuai dengan nilai fungsi yang berbeda, yang tidak sesuai dengan definisi suatu fungsi.

4. Syarat paralelisme dua garis:

Grafik fungsi y=k 1 x+b 1 sejajar dengan grafik fungsi y=k 2 x+b 2 jika k 1 =k 2

5. Syarat dua garis lurus tegak lurus:

Grafik fungsi y=k 1 x+b 1 tegak lurus terhadap grafik fungsi y=k 2 x+b 2 jika k 1 *k 2 =-1 atau k 1 =-1/k 2

6. Titik potong grafik fungsi y=kx+b dengan sumbu koordinat.

Dengan sumbu OY. Absis suatu titik pada sumbu OY sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik potong dengan sumbu OY, Anda perlu mengganti x ke persamaan fungsi dengan nol. Kita mendapatkan y=b. Artinya, titik potong dengan sumbu OY mempunyai koordinat (0; b).

Dengan sumbu OX: Ordinat titik mana pun yang termasuk dalam sumbu OX adalah nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik potong dengan sumbu OX, Anda perlu mengganti y dengan nol dalam persamaan fungsinya. Kita peroleh 0=kx+b. Oleh karena itu x=-b/k. Artinya, titik potong dengan sumbu OX memiliki koordinat (-b/k;0):