Misalkan k baris dan k kolom (k ≤ min(m; n)) dipilih secara acak dalam matriks A berdimensi (m; n). Unsur-unsur matriks yang terletak pada perpotongan baris dan kolom yang dipilih membentuk matriks persegi berorde k, yang determinannya disebut minor M kk berorde k y atau minor orde ke-k dari matriks A.

Pangkat suatu matriks adalah orde maksimum dari r minor bukan nol dari matriks A, dan sembarang minor berorde r yang bukan nol merupakan basis minor. Sebutan : rang A = r. Jika rang A = rang B dan ukuran matriks A dan B sama, maka matriks A dan B disebut ekuivalen. Sebutan: A ~ B.

Metode utama untuk menghitung pangkat suatu matriks adalah metode pembatas minor dan metode.

Metode membatasi anak di bawah umur

Inti dari metode border minor adalah sebagai berikut. Misalkan minor berorde k, selain nol, telah ditemukan dalam matriks. Kemudian kita pertimbangkan di bawah ini hanya minor berorde k+1 yang berisi (yaitu, batas) minor berorde ke-k yang berbeda dari nol. Jika semuanya sama dengan nol, maka rank matriksnya adalah k, in jika tidak di antara anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde (k+1) ada yang bukan nol dan seluruh prosedur diulangi.

Kemandirian linier baris (kolom) suatu matriks

Konsep rank matriks erat kaitannya dengan konsep independensi linier baris-barisnya (kolom).

disebut bergantung linier jika terdapat bilangan λ 1, λ 2, λ k sehingga persamaannya benar:

Baris-baris matriks A disebut bebas linier jika persamaan di atas hanya mungkin terjadi jika semua bilangan λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Ketergantungan linier dan independensi kolom-kolom matriks A ditentukan dengan cara yang sama.

Jika sembarang baris (a l) dari matriks A (di mana (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) dapat direpresentasikan sebagai

Konsep kombinasi linier kolom didefinisikan dengan cara yang sama. Teorema tentang basis minor berikut ini valid.

Baris basis dan kolom basis tidak bergantung linier. Setiap baris (atau kolom) matriks A merupakan kombinasi linier dari baris-baris basis (kolom), yaitu baris-baris (kolom) yang berpotongan dengan basis minor. Jadi, rank matriks A: rang A = k sama dengan jumlah maksimum baris (kolom) yang bebas linier dari matriks A.

Itu. Pangkat suatu matriks adalah dimensi matriks persegi terbesar di dalam matriks yang perlu ditentukan pangkatnya, yang determinannya tidak sama dengan nol. Jika matriks asal tidak berbentuk persegi, atau berbentuk persegi tetapi determinannya sama dengan nol, maka untuk matriks persegi berorde rendah, baris dan kolom dipilih secara sembarang.

Selain determinan, rank suatu matriks dapat dihitung dengan banyaknya baris atau kolom matriks yang bebas linier. Ini sama dengan jumlah baris atau kolom yang bebas linier, mana saja yang lebih kecil. Misalnya, jika suatu matriks mempunyai 3 baris bebas linier dan 5 kolom bebas linier, maka pangkatnya adalah tiga.

Contoh mencari rank suatu matriks

Dengan menggunakan metode border minor, carilah rank matriks tersebut

Solusi: Minor orde kedua

M 2 minor yang berbatasan juga bukan nol. Namun, kedua anak di bawah umur tersebut berada di urutan keempat, berbatasan dengan M 3 .

sama dengan nol. Oleh karena itu, rank matriks A adalah 3, dan basis minornya, misalnya minor M 3 yang disajikan di atas.

Metode transformasi elementer didasarkan pada kenyataan bahwa transformasi elementer suatu matriks tidak mengubah peringkatnya. Dengan menggunakan transformasi ini, Anda dapat membawa matriks ke bentuk yang semua elemennya, kecuali a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sama dengan nol. Ini jelas berarti pangkat A = r. Perhatikan bahwa jika suatu matriks orde ke-n berbentuk matriks segitiga atas, yaitu matriks yang semua elemen di bawah diagonal utamanya sama dengan nol, maka definisinya sama dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama. . Properti ini dapat digunakan ketika menghitung peringkat suatu matriks menggunakan metode transformasi dasar: mereka perlu menggunakannya untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga dan kemudian, dengan memilih determinan yang sesuai, kita menemukan bahwa peringkat matriks sama dengan banyaknya elemen diagonal utama yang berbeda dari nol.

Dengan menggunakan metode transformasi elementer, carilah rank matriks tersebut

Solusi. Mari kita nyatakan baris ke-i dari matriks A dengan simbol α i . Pada tahap pertama, kita akan melakukan transformasi dasar

Pada tahap kedua, kami melakukan transformasi

Suatu sistem vektor-vektor yang ordenya sama disebut bergantung linier jika suatu vektor nol dapat diperoleh dari vektor-vektor tersebut melalui kombinasi linier yang sesuai. (Tidak boleh semua koefisien kombinasi linier sama dengan nol, karena ini sepele.) Jika tidak, vektor-vektor disebut bebas linier. Misalnya tiga vektor berikut:

bergantung linier, karena mudah untuk diperiksa. Dalam kasus ketergantungan linier, vektor apa pun selalu dapat dinyatakan melalui kombinasi linier dari vektor lainnya. Dalam contoh kita: salah satu atau Ini mudah untuk diperiksa dengan perhitungan yang sesuai. Hal ini mengarah pada definisi berikut: suatu vektor bebas linier terhadap vektor lain jika tidak dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.

Mari kita perhatikan sistem vektor tanpa menentukan apakah sistem tersebut bergantung linier atau bebas linier. Untuk setiap sistem yang terdiri dari vektor kolom a, dimungkinkan untuk mengidentifikasi jumlah maksimum vektor bebas linier yang mungkin. Angka yang dilambangkan dengan huruf ini merupakan pangkat dari sistem vektor tersebut. Karena setiap matriks dapat dipandang sebagai sistem vektor kolom, pangkat suatu matriks didefinisikan sebagai jumlah maksimum vektor kolom bebas linier yang dikandungnya. Vektor baris juga digunakan untuk menentukan rank suatu matriks. Kedua metode tersebut memberikan hasil yang sama untuk matriks yang sama, dan tidak boleh melebihi nilai terkecil atau pangkat matriks persegi yang berkisar antara 0 hingga . Jika semua vektor bernilai nol, maka pangkat matriks tersebut adalah nol. Jika semua vektor bebas linier satu sama lain, maka pangkat matriksnya sama. Jika kita membentuk matriks dari vektor-vektor di atas, maka pangkat matriks tersebut adalah 2. Karena setiap dua vektor dapat direduksi menjadi sepertiganya dengan kombinasi linier, maka pangkatnya kurang dari 3.

Namun kita dapat memastikan bahwa dua vektor mana pun di antaranya bebas linier, sehingga diberi peringkat

Suatu matriks persegi disebut tunggal jika vektor kolom atau vektor barisnya bergantung linier. Penentu matriks tersebut sama dengan nol dan matriks inversnya tidak ada, seperti disebutkan di atas. Kesimpulan-kesimpulan ini setara satu sama lain. Akibatnya, suatu matriks persegi disebut non-singular, atau non-singular, jika vektor kolom atau vektor barisnya tidak bergantung satu sama lain. Penentu matriks tersebut tidak sama dengan nol dan matriks inversnya ada (bandingkan dengan hal. 43)

Pangkat matriks mempunyai interpretasi geometrik yang cukup jelas. Jika pangkat matriks sama dengan , maka ruang berdimensi dikatakan direntang oleh vektor. Jika pangkatnya adalah maka vektor-vektor tersebut terletak pada subruang berdimensi yang mencakup semuanya. Jadi, pangkat matriks sesuai dengan dimensi minimum yang diperlukan dari ruang “yang memuat semua vektor”; subruang berdimensi dalam ruang berdimensi disebut bidang hiper berdimensi. Pangkat matriks sesuai dengan dimensi terkecil dari hyperplane di mana semua vektor masih berada.

Ortogonalitas. Dua vektor a dan b dikatakan saling ortogonal jika hasil kali skalarnya nol. Jika matriks ordo mempunyai persamaan dimana D merupakan matriks diagonal, maka vektor-vektor kolom matriks A berpasangan saling ortogonal. Jika vektor kolom ini dinormalisasi, yaitu direduksi menjadi panjang sama dengan 1, maka terjadi persamaan dan kita berbicara tentang vektor ortonormal. Jika B adalah matriks persegi dan persamaannya berlaku, maka matriks B disebut ortogonal. Dalam hal ini, rumus (1.22) mengikuti bahwa matriks Ortogonal selalu non-singular. Oleh karena itu, ortogonalitas matriks diikuti oleh independensi linier dari vektor baris atau vektor kolomnya. Pernyataan sebaliknya tidak benar: independensi linier suatu sistem vektor tidak berarti ortogonalitas berpasangan dari vektor-vektor tersebut.

Konsep rank matriks erat kaitannya dengan konsep ketergantungan linier (independensi) baris atau kolomnya. Nantinya kami akan menyajikan materi untuk baris, untuk kolom penyajiannya serupa.

Dalam matriks A Mari kita nyatakan garis-garisnya sebagai berikut:

, , …. ,

Dua baris suatu matriks dikatakan sama, jika elemen-elemen yang bersesuaian sama: , jika , .

Operasi aritmatika pada baris matriks (mengalikan baris dengan angka, menambahkan baris) diperkenalkan sebagai operasi yang dilakukan elemen demi elemen:

Garis e disebut kombinasi linier string..., matriks, jika sama dengan jumlah hasil kali baris-baris ini dengan bilangan real sembarang:

Baris-baris matriks tersebut disebut bergantung secara linear, jika ada bilangan-bilangan yang tidak sekaligus sama dengan nol, sehingga kombinasi linier baris-baris matriks sama dengan baris nol:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorema 3.3Baris-baris suatu matriks bergantung linier jika paling sedikit salah satu baris matriks tersebut merupakan kombinasi linier dari baris-baris lainnya.

□ Memang benar, biar lebih pasti, dalam rumus (3.3) , Kemudian

Jadi, baris tersebut merupakan gabungan linier dari baris-baris yang tersisa. ■

Jika suatu kombinasi linier baris-baris (3.3) sama dengan nol jika dan hanya jika semua koefisien sama dengan nol, maka baris-baris tersebut disebut bebas linier.

Teorema 3.4.(tentang pangkat matriks) Pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris atau kolom bebas linier yang melaluinya semua baris (kolom) lainnya dinyatakan secara linier.

□ Biarkan matriks A ukuran m n memiliki peringkat R(R menit). Artinya ada anak di bawah umur yang bukan nol R urutan -th. Anak di bawah umur yang bukan nol R Urutan ke-th disebut basis minor.

Untuk lebih jelasnya, biarlah basis minornya minor terdepan atau sudut. Maka baris-baris matriks tersebut bebas linier. Mari kita asumsikan sebaliknya, yaitu salah satu string ini, misalnya, merupakan kombinasi linier dari string lainnya. Kurangi dari elemennya R- baris ke-1, elemen-elemen baris ke-1, dikalikan dengan , kemudian elemen-elemen baris ke-2, dikalikan dengan , ... dan elemen-elemen ( R- 1) - baris ke-th dikalikan dengan . Berdasarkan sifat 8, dengan transformasi matriks seperti itu, determinannya D tidak akan berubah, tetapi karena R- baris sekarang hanya terdiri dari nol, maka D = 0 adalah kontradiksi. Oleh karena itu, asumsi kita bahwa baris-baris matriks bergantung linier adalah salah.

Mari kita hubungi salurannya dasar. Mari kita tunjukkan bahwa setiap baris (r+1) dari matriks tersebut bergantung linier, yaitu. string apa pun dinyatakan dalam bentuk string dasar.

Mari kita perhatikan minor (r +1) orde pertama, yang diperoleh dengan melengkapi minor tersebut dengan elemen baris lain Saya dan kolom J. Minor ini adalah nol karena rank matriksnya adalah R, jadi minor orde tinggi apa pun adalah nol.

Memperluasnya sesuai dengan elemen kolom terakhir (ditambahkan), kita dapatkan

Dimana modulus komplemen aljabar terakhir bertepatan dengan basis minor D dan karena itu berbeda dari nol, yaitu. 0.

Membiarkan

Kolom matriks dimensi. Kombinasi linier kolom matriks disebut matriks kolom, dengan beberapa bilangan real atau kompleks disebut koefisien kombinasi linier. Jika dalam kombinasi linier kita mengambil semua koefisien sama dengan nol, maka kombinasi linier tersebut sama dengan matriks kolom nol.

Kolom matriks disebut independen linier , jika kombinasi liniernya sama dengan nol hanya jika semua koefisien kombinasi liniernya sama dengan nol. Kolom matriks disebut bergantung secara linear , jika ada himpunan bilangan yang paling sedikit salah satunya bukan nol, dan kombinasi linier kolom dengan koefisien ini sama dengan nol

Demikian pula, definisi ketergantungan linier dan independensi linier dari baris-baris matriks dapat diberikan. Berikut ini, semua teorema untuk kolom matriks dirumuskan.

Teorema 5

Jika terdapat angka nol di antara kolom-kolom matriks, maka kolom-kolom matriks tersebut bergantung linier.

Bukti. Pertimbangkan kombinasi linear di mana semua koefisien sama dengan nol untuk semua kolom bukan nol dan satu untuk semua kolom nol. Itu sama dengan nol, dan di antara koefisien kombinasi linier terdapat koefisien bukan nol. Oleh karena itu, kolom-kolom matriks tersebut bergantung linier.

Teorema 6

Jika kolom matriks bergantung secara linier, itu saja kolom matriks bergantung linier.

Bukti. Untuk lebih pastinya, kita asumsikan kolom pertama dari matriks bergantung secara linear. Kemudian, menurut definisi ketergantungan linier, terdapat himpunan bilangan-bilangan yang paling sedikit satu bukan nol, dan kombinasi linier kolom-kolom dengan koefisien-koefisien tersebut sama dengan nol.

Mari kita buat kombinasi linier dari semua kolom matriks, termasuk kolom sisanya dengan koefisien nol

Tetapi . Oleh karena itu, semua kolom matriks bergantung linier.

Konsekuensi. Di antara kolom-kolom matriks yang bebas linier, semua kolom matriks bebas linier. (Pernyataan ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan kontradiksi.)

Teorema 7

Agar kolom-kolom suatu matriks bergantung linier, paling sedikit satu kolom matriks harus merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya.

Bukti.

Kebutuhan. Misalkan kolom-kolom suatu matriks bergantung linier, yaitu ada himpunan bilangan-bilangan yang paling sedikit satu berbeda dari nol, dan kombinasi linier kolom-kolom dengan koefisien-koefisien ini sama dengan nol

Mari kita asumsikan dengan pasti bahwa. Artinya, kolom pertama merupakan kombinasi linier dari kolom lainnya.

Kecukupan. Misalkan paling sedikit satu kolom matriks merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya, misalnya, , di mana terdapat beberapa bilangan.

Maka , yaitu kombinasi linier kolom-kolomnya sama dengan nol, dan di antara bilangan-bilangan dalam kombinasi linier tersebut paling sedikit ada satu (at ) yang berbeda dari nol.

Misalkan pangkat matriks tersebut adalah . Setiap minor bukan nol berorde 1 disebut dasar . Baris dan kolom yang perpotongannya terdapat basis minor disebut dasar .

Matriks– tabel persegi panjang berisi angka-angka sembarang yang disusun dalam urutan tertentu, ukuran m*n (baris demi kolom). Unsur-unsur matriks ditetapkan dengan i adalah nomor baris dan aj adalah nomor kolom.

Tambahan (pengurangan) matriks didefinisikan hanya untuk matriks satu dimensi. Jumlah (selisih) matriks adalah matriks yang elemen-elemennya masing-masing merupakan jumlah (selisih) elemen-elemen matriks aslinya.

Perkalian (pembagian)per nomor– perkalian (pembagian) setiap elemen matriks dengan bilangan ini.

Perkalian matriks hanya berlaku untuk matriks yang jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

Perkalian matriks– matriks, yang elemen-elemennya diberikan oleh rumus:

Transpos Matriks– matriks B yang baris (kolomnya) merupakan kolom (baris) matriks asal A. Ditunjuk

Matriks terbalik

Persamaan matriks– persamaan bentuk A*X=B merupakan hasil kali matriks, jawaban persamaan tersebut adalah matriks X yang dicari dengan menggunakan aturan:

1. Ketergantungan linier dan independensi kolom (baris) suatu matriks. Kriteria ketergantungan linier, kondisi yang cukup untuk ketergantungan linier kolom matriks (baris).

Sistem baris (kolom) disebut independen linier, jika kombinasi liniernya sepele (persamaan hanya berlaku untuk a1...n=0), dengan A1...n adalah kolom (baris), aa1...n adalah koefisien muai.

Kriteria: agar suatu sistem vektor bergantung linier, paling sedikit salah satu vektor sistem harus dinyatakan linier melalui vektor-vektor sistem yang tersisa.

Kondisi cukup:

1. Penentu matriks dan sifat-sifatnya

Penentu matriks (determinan)– bilangan yang untuk matriks persegi A dapat dihitung dari elemen-elemen matriks tersebut dengan menggunakan rumus:

, di mana adalah minor tambahan dari elemen tersebut

Properti:

1. Matriks invers, algoritma untuk menghitung matriks invers.

Matriks terbalik– matriks persegi X, yang bersama-sama dengan matriks persegi A berorde sama, memenuhi syarat: di mana E adalah matriks identitas berorde sama dengan A. Setiap matriks persegi yang determinannya tidak sama dengan nol mempunyai 1 matriks invers. Ditemukan menggunakan metode transformasi dasar dan menggunakan rumus:

Konsep peringkat matriks. Teorema pada basis minor. Kriteria determinan suatu matriks harus sama dengan nol.

Transformasi dasar matriks. Perhitungan rangking menggunakan metode transformasi elementer. Perhitungan matriks invers menggunakan metode transformasi elementer.

Peringkat matriks – urutan basis minor (rg A)

Dasar kecil – minor berorde r tidak sama dengan nol, sehingga semua minor berorde r+1 dan lebih tinggi sama dengan nol atau tidak ada.

Dasar teorema minor - Misalkan basis minor matriks A berdimensi m*n terletak pada r baris pertama dan r kolom pertama. Mari kita perhatikan determinan, yang diperoleh dengan menugaskan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris ke-s dan kolom ke-k ke basis minor matriks A.

Perhatikan bahwa untuk sembarang u determinan ini sama dengan nol. Jika atau, maka determinan D memuat dua baris identik atau dua kolom identik. Jika ya, maka determinan D sama dengan nol, karena merupakan minor berorde (r+λ)-ro. Memperluas determinan sepanjang baris terakhir, kita memperoleh :, di mana adalah komplemen aljabar dari elemen-elemen baris terakhir. Perhatikan bahwa karena ini adalah minor dasar. Oleh karena itu, dimana Menulis persamaan terakhir, kita dapatkan , yaitu Kolom ke-k (untuk apa pun) adalah kombinasi linier dari kolom-kolom basis minor, yang perlu kita buktikan.

Kriteria detA=0– Suatu determinan sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya (kolom-kolomnya) bergantung linier.

Transformasi dasar:

1) mengalikan suatu string dengan angka selain nol;

2) menambahkan elemen garis yang satu ke elemen garis yang lain;

3) penataan ulang senar;

4) mencoret salah satu baris (kolom) yang identik;

5) transposisi;

Perhitungan peringkat – Dari teorema basis minor diketahui bahwa pangkat matriks A sama dengan jumlah maksimum baris (kolom dalam matriks) yang bebas linier, oleh karena itu tugas transformasi dasar adalah mencari semua baris (kolom) yang bebas linier.

Menghitung matriks invers- Transformasi dapat dilakukan dengan mengalikan matriks T tertentu dengan matriks A, yang merupakan hasil kali matriks elementer yang bersesuaian: TA = E.

Persamaan ini berarti matriks transformasi T merupakan matriks invers dari matriks . Oleh karena itu, maka