Dasar-dasar > Landasan teori teknik elektro

Nyatakan metode variabel
Persamaan keadaanAnda dapat menyebutkan sistem persamaan apa saja yang menentukan modus rangkaian. Dalam arti sempit, ini adalah sebuah sistem persamaan diferensial urutan pertama, diselesaikan berkenaan dengan turunannya.
Metode variabel keadaan adalah analisis rangkaian berdasarkan penyelesaian persamaan keadaan (orde pertama) yang ditulis dalam bentuk Cauchy. Dengan demikian, metode keadaan variabel merupakan salah satu metode penghitungan yang utama proses sementara. Selanjutnya diasumsikan bahwa rangkaian hanya memiliki sumber independen dan tidak mengandung bagian induktif dan rangkaian kapasitif. DI DALAM jika tidak menulis persamaan menjadi jauh lebih sulit.
Untuk rangkaian linier dengan parameter gabungan yang konstan, arus setiap cabang, tegangan antara terminal yang dipilih, muatan pada pelat kapasitor, dll. selalu dapat ditemukan sebagai solusi persamaan diferensial yang disusun untuk arus, tegangan, muatan, dll. (misalnya, tidak termasuk arus dan tegangan lain dari sistem persamaan Kirchhoff):

Dengan memperkenalkan variabelpersamaan ini direduksi menjadi sistem ekuivalen persamaan diferensial orde pertama:

Di sini variabel dipanggilvariabel keadaan, variabel x dan turunannya berfungsi.
Seperti diketahui, proses transien di sirkuit apa pun, kecuali parameternya (nilai R , L, C, M) dan sumber arus[ e(t) dan J(t)], ditentukan oleh kondisi awal independen (t = 0) - arus dalam elemen induktifdan tegangan pada elemen kapasitif, yang harus diketahui atau dihitung. Kuantitas yang dibutuhkan dinyatakan melaluinya selama proses transisi. Mereka juga menentukan keadaan energi rantai. Oleh karena itu, disarankan untuk memilih arus sebagai variabel keadaan dan tegangan . Sumber operasi dapat disebut besaran masukan, jumlah yang dibutuhkan - pada akhir pekan. Untuk rantai dengan n arus independen dan stres juga harus ditentukan N kondisi awal yang independen.

Mari kita tulis persamaan diferensial keadaan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

atau lebih pendek

dimana X adalah matriks kolom (berukuran n x 1) variabel keadaan (vektor variabel keadaan); F - matriks kolom (ukuran mx 1) EMF dan arus sumber (gangguan eksternal); A - matriks persegi memesan N (utama); B - matriks berukuran n xm (matriks koneksi). Elemen matriks ini ditentukan oleh topologi dan parameter rangkaian.
Untuk besaran keluaran (jika arus pada induktif dan tegangan pada elemen kapasitif ditentukan) dalam bentuk matriks, sistem persamaan aljabar berbentuk

atau lebih pendek

dimana W adalah matriks kolom (ukuran l x 1); M - matriks koneksi (ukuran aku x n ); N - matriks koneksi (ukuran aku x m ).
Elemen matriks bergantung pada topologi dan parameter rangkaian. Untuk persamaan keadaan, berikut ini telah dikembangkan: algoritma mesin pembentukan berdasarkan topologi dan nilai parameter.
Persamaan dalam bentuk matriks (14.91) dapat dibangun, misalnya dengan menggunakan metode superposisi. Untuk mendapatkan ketergantungan antara variabel keadaan turunan, mis.dan variabel keadaan, serta EMF dan arus sumber yang bekerja dalam rangkaian, kita akan berasumsi bahwa variabel keadaan ditentukan. Rangkaian yang dipertimbangkan, misalnya pada Gambar. 14.41, a, setelah pergantian kita menggantinya dengan yang setara (Gbr. 14.41.6), yang masing-masing arusnya diberikandiwakili oleh sumber arus, dan masing-masing diberi tegangan- sumber tegangan (EMF). Dengan menggunakan metode superposisi (arah positif dipilih), kami menuliskan tegangannya dan arus (pertama kita memperhitungkan pengaruh sumber Kemudian dan sumber selanjutnya yang bekerja dalam rangkaian):

Sejak itu

Tentu saja persamaan (14.93) juga dapat diperoleh dari persamaan Kirchhoff dengan mengecualikan arus dan tegangan elemen resistif. Namun, solusi gabungan persamaan Kirchhoff menjadi semakin rumit seiring dengan bertambahnya jumlah cabang rantai.
Persamaan keadaan juga dapat segera dibentuk dalam bentuk matriks.
Jika tidak ada sumber arus dan EMF yaitu F = 0, maka persamaan (14.91) disederhanakan

dan mengkarakterisasi proses bebas dalam rantai. Kami menulis solusinya dalam formulir

dimana X (0) adalah matriks kolom nilai awal variabel keadaan; - fungsi eksponensial matriks.
Mengganti (14.94) menjadi (14.91c), kita pastikan mendapatkan identitas.
Padamari kita nyatakan solusi persamaan (14.91) dalam bentuk

di mana (t ) adalah beberapa fungsi matriks dari rantai. Setelah diferensiasi (14,95) kita peroleh

Mari kita bandingkan (14.96) dengan (14.91a)

dan mengalikannya dengan , setelah integrasi kami menemukannya

dimana q - variabel integrasi, atau



Mari kita substitusikan ekspresi ini ke (14.95):



Khususnya, pada t = 0 kita mempunyai
Oleh karena itu, solusi untuk variabel keadaan ditulis sebagai


(reaksi rangkaian sama dengan jumlah reaksi pada masukan nol dan keadaan awal nol).
Solusi ini juga dapat diperoleh dengan menerapkan metode operator untuk menghitung proses transien, yang dibahas pada bagian.
Nilai keluaran dapat ditemukan dari (14.92).
Jika keadaan rangkaian ditentukan bukan pada t = 0, tetapi pada, maka pada (14.97) suku pertama ditulis sebagai berikut:, dan batas bawah integralnya bukan 0, tapi T .
Kesulitan utama perhitungannya terletak pada perhitungan fungsi eksponensial matriks. Salah satu caranya adalah: pertama kita mencari nilai eigennya aku matriks A, yaitu akar-akar persamaan

dimana 1 - matriks identitas memesan N, yang ditentukan dari persamaan

Di mana - elemen matriks A.
Nilai eigennya bertepatan dengan akarnyapersamaan karakteristik rangkaian.
Eksponen matriks yang argumennya adalah matriks A T , menerima pesanan N , dapat diwakili oleh bilangan terbatas N ketentuan. Jika nilai eigennya berbeda, maka

Di mana - fungsi waktu; dll.
Selanjutnya untuk mendefinisikanmenyusun sistem aljabar n persamaan

Akhirnya, setelah didefinisikandari (14.100), menggunakan (14.99) kita temukandan kemudian X (t) menurut (14.97).

Contoh 14.6. Tentukan arus.

di sirkuit pada Gambar. 14.42 setelah beralih ke Larutan.Memilih arah arus positifdalam elemen induktif, yaitu keadaan dan variabel saat ini. Kondisi awal independen:

. Persamaan rangkaian diferensial Dengan menghilangkan arus

, kita memperoleh persamaan turunan variabel keadaan:

yaitu menurut (14.91)

dan matriks kolom nilai awal

Mari kita hitung nilai eigennya; oleh (14.98) Di mana.
. Jika kita menyamakan determinan utama persamaan dengan variabel keadaan dengan nol, kita memperoleh nilai yang sama

Kita cari koefisien ak dari (14.100), yaitu dari sistem persamaan Nilai-nilai saat inidihitung dalam hitungan detikdetik untuk selang waktu 0 - 0,1 detik, yang pada akhirnya arusnya berbeda dari kondisi tunak

kurang dari 1,5%, diberikan dalam tabel. 14.1. Saat menghitung, angka ditulis dengan 8 digit, dan semua rumus diberikan dalam contoh dan tabel. 14.1 ditandai dengan pembulatan.

	0,005	0,010	0,015	0,020	0,025	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050
	1,079	1,213	1,343	1,455	1,550	1,628	1,692	1,746	1,790	1,827
	0,055	0,060	0,065	0,070	0,075	0,080	0,085	0,090	0,095	0,100
Tabel 14.1 , lalu untuk n- q akar yang berbeda sistem (14.100) dikompilasi, dan untuk kelipatan q persamaan diperoleh setelah menghitung turunan q - 1 pertama terhadap dari kedua sisi persamaan dengan akar , yaitu. Jika hanya ada satu di sirkuit sumber ggl (atau arus), mewakili lompatan tunggal 1( t ), yaitu F(t )=1(t ), dan kondisi awalnya nol, maka solusinya (14.97) akan dituliskan dalam bentuk Untuk besaran keluaran menurut (14.92a) kita peroleh Ini akan menjadi fungsi transisi dari rantai h(t). Fungsi Transien Pulsa k(t Cara yang lebih umum untuk menghitung fungsi eksponensial matriks adalah dengan merepresentasikannya sebagai deret tak hingga tetapi deret tersebut konvergen secara perlahan untuk t yang besar. Jika dibatasi pada jumlah suku yang terbatas, penghitungannya direduksi menjadi perkalian dan penjumlahan matriks. Operasi semacam itu ada di perangkat lunak KOMPUTER. Ada metode yang diketahui untuk menghitung fungsi eksponensial matriks berdasarkan kriteria Silverst. Persamaan keadaan rangkaian, yang ordenya lebih besar dari dua atau tiga, lebih mudah diselesaikan bukan dengan metode analitis, tetapi dengan metode numerik, yang memungkinkan penghitungan otomatis jika menggunakan komputer.

Metode variabel keadaan (juga disebut metode ruang keadaan) didasarkan pada dua persamaan yang ditulis dalam bentuk matriks.

Struktur persamaan pertama ditentukan oleh fakta bahwa persamaan tersebut menghubungkan matriks turunan pertama variabel keadaan dengan matriks variabel keadaan itu sendiri dan pengaruh eksternal dan, yang dianggap sebagai e. d.s. dan sumber arus.

Persamaan kedua berstruktur aljabar dan menghubungkan matriks besaran keluaran y dengan matriks variabel keadaan dan pengaruh luar dan.

Saat mendefinisikan variabel status, kami memperhatikan properti berikut:

1. Sebagai variabel keadaan dalam rangkaian listrik, arus pada induktansi dan tegangan pada kapasitor harus dipilih, dan tidak pada semua induktansi dan tidak pada semua kapasitor, tetapi hanya untuk induktansi independen, yaitu yang menentukan ketertiban umum sistem persamaan diferensial suatu rangkaian.

2. Persamaan diferensial rangkaian terhadap variabel keadaan ditulis dalam bentuk kanonik, yaitu direpresentasikan sebagai penyelesaian terhadap turunan pertama variabel keadaan terhadap waktu.

Perhatikan bahwa hanya ketika memilih arus k dalam induktansi independen dan tegangan pada kapasitor independen sebagai variabel keadaan, persamaan pertama metode variabel keadaan akan memiliki struktur yang ditunjukkan di atas.

Jika sebagai variabel keadaan kita memilih arus pada cabang dengan kapasitor atau arus pada cabang dengan hambatan, serta tegangan pada induktansi atau tegangan pada hambatan, maka persamaan pertama dari metode variabel keadaan juga dapat direpresentasikan dalam bentuk kanonik, yaitu diselesaikan terhadap turunan pertama terhadap waktu besaran tersebut. Namun, struktur ruas kanannya tidak akan sesuai dengan definisi yang diberikan di atas, karena ruas kanannya juga akan menyertakan matriks turunan pertama pengaruh luar.

3. Banyaknya keadaan variabel sama dengan orde sistem persamaan diferensial yang diteliti rangkaian listrik.

4. Pemilihan arus dan tegangan sebagai variabel keadaan juga tepat karena besaran-besaran ini, menurut hukum pergantian (§ 13-1), pada saat pergantian tidak berubah secara tiba-tiba, yaitu sama untuk beberapa saat.

5. Variabel keadaan disebut demikian karena pada setiap momen waktu variabel tersebut menentukan keadaan energi rangkaian listrik, karena variabel keadaan ditentukan oleh jumlah ekspresi

6. Representasi persamaan dalam bentuk kanonik sangat mudah ketika menyelesaikannya menggunakan persamaan analog komputer dan untuk pemrograman saat menyelesaikannya di komputer digital. Oleh karena itu, ide ini sangat bagus penting saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan teknologi komputer modern.

Mari kita tunjukkan contoh rangkaian pada Gambar. 14-14, bagaimana persamaan disusun menggunakan metode variabel keadaan.

Pertama, kita memperoleh sistem persamaan diferensial yang sesuai dengan persamaan matriks pertama dari metode tersebut, dan kemudian kita menuliskannya dalam bentuk matriks. Algoritma untuk menyusun persamaan ini untuk setiap rangkaian listrik adalah sebagai berikut. Pertama, persamaan ditulis menggunakan hukum Kirchhoff atau menggunakan metode arus loop; kemudian variabel keadaan dipilih dan dengan membedakan persamaan asli dan menghilangkan variabel lain, kita memperolehnya

Persamaan metode variabel keadaan dimulai. Algoritma ini sangat mirip dengan yang digunakan metode klasik perhitungan proses transien untuk memperoleh satu persamaan diferensial yang dihasilkan terhadap salah satu variabel

Dalam kasus khusus, ketika tidak ada sirkuit kapasitif di sirkuit, yaitu sirkuit, yang semua cabangnya mengandung kapasitansi, dan tidak ada node dengan cabang terpasang, yang masing-masing berisi induktansi, algoritma lain dapat ditentukan. Tanpa berpanjang lebar, kami hanya mencatat bahwa hal itu didasarkan pada penggantian kontainer dengan sumber e. d.s., induktansi - sumber arus dan penerapan metode superposisi.

Untuk rangkaian gambar. 14-14 menurut hukum Kirchhoff

(14-36)

Menentukan dari persamaan pertama, mensubstitusikan ke persamaan ketiga, mengganti dan menyajikan persamaan diferensial yang dihasilkan dalam bentuk kanonik, kita memperoleh:

Menyelesaikan persamaan kedua (14-36) untuk , mengganti sesuai persamaan pertama (14-36) dan mensubstitusi , kita mendapatkan:

Menjumlahkan suku demi suku (14-38) dikalikan persamaan (14-37) dan menentukan dari hasil yang diperoleh, diperoleh:

Mari kita tulis ulang persamaan (14-39) dan (14-37) dalam bentuk matriks:

(14-4°)

di mana untuk rangkaian yang dipertimbangkan kita memiliki:

(14-42a)

Secara umum, persamaan pertama metode keadaan variabel dalam bentuk matriks akan ditulis sebagai

(14-43)

Matriks A dan B dalam rangkaian linier hanya bergantung pada parameter rangkaian, yaitu nilai konstan. Dalam hal ini, A adalah matriks orde persegi dan disebut matriks utama rangkaian, matriks B umumnya berbentuk persegi panjang, ukurannya disebut matriks hubungan antara masukan rangkaian dan variabel keadaan, matriks adalah matriks kolom atau vektor variabel keadaan (ukuran dan gangguan eksternal (ukuran)

Dalam contoh yang dibahas, matriks B ternyata merupakan kuadrat orde kedua, karena jumlah variabel keadaan sama dengan jumlah gangguan eksternal.

Mari kita lanjutkan ke kompilasi persamaan kedua dari metode ini. Anda dapat memilih salah satu nilai sebagai keluaran. Mari kita ambil, misalnya, tiga nilai sebagai keluaran

Nilainya akan dituliskan melalui variabel keadaan dan gangguan luar langsung dari persamaan (14 36)

(14-44)

atau dalam bentuk matriks

atau singkatnya

(14-46)

di mana untuk sirkuit yang dipertimbangkan

dan dalam kasus umum persamaan kedua dari metode variabel keadaan

Matriks C dan D hanya bergantung pada parameter rangkaian. Secara umum, ini adalah matriks persegi panjang masing-masing, ukuran , dan C disebut matriks hubungan antara variabel keadaan dan keluaran rangkaian, matriks komunikasi langsung masukan dan keluaran suatu rangkaian (atau sistem).

Untuk satu baris sistem fisik D adalah matriks nol dan suku kedua pada (14-48) hilang, karena tidak ada suku segera. hubungan alami antara masukan dan keluaran sistem.

Jika kita mengambil, misalnya, arus i dan tegangan sebagai variabel keadaan dan menyajikan persamaan diferensialnya dalam bentuk kanonik, maka (dengan menghilangkan semua transformasi antara) persamaan metode pertama dalam bentuk matriks akan berbentuk:

Jadi, persamaan pertama metode variabel keadaan akan berbentuk (14-43) dalam bentuk matriks hanya jika arus dan tegangan dipilih sebagai variabel keadaan.

Pindah ke penyelesaian persamaan diferensial matriks (14-43), pertama-tama kita perhatikan bahwa persamaan ini disederhanakan terutama jika persegi yang mendasari matriks berorde A adalah diagonal. Kemudian semua persamaan diferensial linier (14-43) dipisahkan, yaitu turunan dari variabel keadaan masing-masing hanya bergantung pada variabel keadaannya sendiri.

Mari kita perhatikan dulu penyelesaian persamaan diferensial matriks tak homogen linier (14-43) menggunakan metode operator. Untuk melakukannya, kita transformasikan menurut Laplace:

dimana matriks-kolom nilai awal variabel keadaan, yaitu

(14-53)

yang pada saat peralihan tidak berubah secara tiba-tiba, diberikan dan sama dengan nilainya saat ini

Mari kita tulis ulang (14-51):

dimana adalah matriks identitas orde.

Untuk memperoleh matriks gambaran variabel keadaan, kita kalikan kedua ruas (14-54) di sebelah kiri dengan matriks inversnya

Kembali ke asal menggunakan transformasi Laplace terbalik, kita mendapatkan:

Dari metode operator diketahui bahwa

Dengan analogi, menuliskan transformasi Laplace invers dalam bentuk matriks, kita akan mendapatkan:

di mana adalah matriks transisi dari keadaan sistem, disebut juga matriks fundamental.

Jadi, kita menemukan suku pertama yang asli di sisi kanan (14-56)

Invers matriks ditentukan dengan membagi matriks adjoint atau timbal balik dengan determinan matriks utama:

dimana persamaannya

(14-61)

mewakili persamaan karakteristik rangkaian yang diteliti.

Suku kedua sebelah kanan (14-56) yang asli dicari dengan menggunakan teorema konvolusi dalam bentuk matriks

jika kamu menaruh

Kemudian berdasarkan (14-62)-(14-64)

Dan solusi umum persamaan matriks diferensial tak homogen (14-43) berdasarkan (14-56), (14-59) dan (14-65) akan berbentuk:

(14-66)

Suku pertama di sebelah kanan (14-66) menyatakan nilai variabel keadaan atau reaksi rangkaian pada masukan nol, yaitu. Dengan kata lain, ini mewakili komponen pertama dari proses bebas dalam rangkaian karena ke nilai awal bukan nol dari variabel keadaan rangkaian, dan oleh karena itu merupakan solusi persamaan tersebut. Suku kedua mewakili komponen reaksi berantai, yaitu pada keadaan rantai nol.

Kita menyebut keadaan nol suatu rangkaian sebagai keadaan ketika nilai awal semua variabel keadaan sama dengan nol. Dengan kata lain, suku kedua (14-66) mewakili jumlah reaksi paksa dari rantai yang timbul di bawah pengaruh pengaruh eksternal dan komponen kedua dari proses bebas.

Persamaan (14-66) berarti reaksi rangkaian sama dengan jumlah reaksi pada masukan nol dan keadaan nol.

Berdasarkan (14-48) dan (14-66) untuk besaran keluaran yang kita miliki.

Jika keadaan rangkaian ditentukan bukan pada saat ini , tetapi pada saat ini , maka persamaan (14-66) dan (14-67) digeneralisasikan:

(14-68)

Contoh 14-5. Untuk rantai bercabang orde kedua, persamaan keadaan telah dikompilasi

dalam kondisi awal bukan nol dan dengan satu sumber e. d.s.

Temukan variabel keadaan.

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan keadaan dalam bentuk matriks

Pertama-tama mari kita cari komponen bebas pertama dari variabel keadaan dengan masukan nol. Untuk melakukan ini, kita akan membuat matriks

Untuk mencari matriks adjoin atau timbal balik, ganti setiap elemen matriks sebelumnya dengan komplemen aljabar Mari kita ambil matriksnya

Kita transposnya dengan mencari matriks adjoint atau timbal balik:

Mari kita cari determinan matriksnya

Berdasarkan (14-60) matriks terbalik akan sama dengan:

Mari kita masukkan transformasi invers Laplace, dengan mempertimbangkan fakta bahwa untuk ini kita perlu memasukkan setiap elemennya ke transformasi invers Laplace. Berdasarkan (14-73), kita memperoleh matriks transisi keadaan rangkaian

Misalnya,

Untuk matriks transisi keadaan sistem kita peroleh:

Untuk komponen bebas pertama dari variabel keadaan yang akan kita miliki

Meringkas hasil yang diperoleh, kami menemukan nilai variabel keadaan yang diperlukan:

Karena solusi persamaan (14-43) diperoleh di atas dan diberikan oleh rumus (14-66), maka untuk memeriksa kebenaran solusi (14-66) dan menghitung matriks variabel keadaan dengan bantuannya, Anda dapat langsung terlebih dahulu substitusikan (14-66) ke (14-43) pastikan bahwa yang terakhir berubah menjadi identitas. Untuk melakukannya, Anda hanya perlu menghitung terlebih dahulu dengan membedakan (14-66). Dalam hal ini kita mendapatkan:

Sekarang tidak sulit untuk memverifikasi secara langsung bahwa (14-66) memang merupakan solusi persamaan diferensial matriks

Perhatikan bahwa matriks transisi keadaan sistem em memungkinkan seseorang untuk menemukan dalam ruang keadaan, yaitu dalam ruang yang jumlah dimensinya sama dengan jumlah komponen vektor variabel keadaan, pergerakannya dimulai dari suatu posisi awal(di atau di ) dan vektor berisi informasi penting, karena secara bersamaan menggambarkan semua variabel keadaan, yaitu fungsi waktu.

Persamaan keadaan suatu rangkaian listrik adalah sistem persamaan diferensial apa pun yang menggambarkan keadaan (mode) suatu rangkaian tertentu. Misalnya, sistem persamaan Kirchhoff adalah persamaan keadaan untuk rangkaian yang menyusunnya.

Dalam arti sempit, dalam matematika, persamaan keadaan adalah sistem persamaan diferensial orde 1 yang diselesaikan terhadap turunan (bentuk Cauchy). Sistem persamaan keadaan dalam bentuk umum mempunyai bentuk:

Sistem persamaan yang sama dalam bentuk matriks:

atau dalam bentuk matriks umum:

Sistem persamaan keadaan bentuk Cauchy diselesaikan dengan metode integrasi numerik (metode Euler atau metode Runge-Kutta) pada komputer menggunakan program standar, yang seharusnya ada dalam paket perangkat lunak standar. Jika tidak ada program seperti itu di dalam paket, program tersebut dapat dengan mudah dikompilasi menggunakan algoritma berikut (metode Euler) untuk langkah ke-k:

Nilai turunan pada langkah ke-k:

Nilai variabel pada langkah ke-k:

Untuk menentukan nilai variabel dan turunannya pada langkah integrasi pertama digunakan nilainya pada saat t=0, yaitu. kondisi awalnya x1(0), x2(0)...xn(0).

Persamaan keadaan bentuk Cauchy untuk rangkaian tertentu dapat diperoleh dari sistem persamaan Kirchhoff dengan mentransformasikannya. Untuk tujuan ini: a) dari sistem persamaan Kirchhoff, dengan menggunakan metode substitusi, variabel “ekstra” yang memiliki kondisi awal dependen dikeluarkan, dan variabel iL(t) dan uC(t) dibiarkan, yang tidak berubah secara tiba-tiba dan mempunyai kondisi awal yang independen iL (0) dan uC(0); b) persamaan yang tersisa diselesaikan terhadap turunan dan direduksi menjadi bentuk Cauchy.

Jika sirkuit yang kompleks persamaan keadaan bentuk Cauchy dapat dibangun dengan metode topologi menggunakan matriks koneksi [A] dan [B].

Urutan penghitungan proses transien menggunakan metode variabel keadaan adalah sebagai berikut:

1. Rangkaian dihitung dalam keadaan tunak sebelum beralih dan kondisi awal independen iL(0) dan uC(0) ditentukan.

2. Sistem persamaan diferensial disusun menurut hukum Kirchhoff untuk rangkaian setelah peralihan.

3. Dengan metode menghilangkan ""yang tidak perlu"" sistem variabel Persamaan Kirchhoff diubah menjadi sistem persamaan Cauchy, dan matriks koefisien disusun.

4. Perkiraan waktu (durasi proses transisi) dan jumlah langkah integrasi N dipilih.

5. Masalahnya diselesaikan di komputer dengan menggunakan program standar. Fungsi keluaran terima dalam bentuk bagan grafis x=f(t)atau dalam bentuk tabel koordinat fungsi untuk titik waktu tertentu.

Contoh. Untuk diagram pada Gambar. 74,1 detik parameter yang diberikan elemen (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C) menghitung proses transien dan menentukan fungsi uab(t).

1. Rangkaian dihitung dalam kondisi tunak AC sebelum pergantian dan kondisi awal i1(0), i2(0), uC(0) ditentukan.

2. Sistem persamaan diferensial disusun menurut hukum Kirchhoff:

3. Sistem persamaan Kirchhoff diubah menjadi sistem persamaan Cauchy.

Untuk tujuan ini, dari (1) kami nyatakan

dan lakukan substitusi pada (1) dan (2), dan dari (4) kita lakukan substitusi pada (1). Kemudian kita mendapatkan:

Mari kita perkenalkan beberapa notasi.

Prosedur ini menjelaskan cara mendefinisikan variabel paket yang menyimpan informasi status CDC.

Variabel status CDC dimuat, diinisialisasi, dan diperbarui oleh tugas Manajemen CDC dan digunakan oleh komponen aliran data Sumber CDC untuk menentukan rentang pemrosesan saat ini untuk catatan data perubahan. Variabel status CDC dapat ditentukan dalam wadah yang digunakan bersama antara tugas Manajemen CDC dan sumber CDC. Definisi ini dapat dibuat pada tingkat paket, serta dalam wadah lain seperti wadah perulangan.

Mengubah nilai variabel status CDC secara manual tidak disarankan, namun mungkin ada gunanya jika Anda membiasakan diri dengan konten variabel.

Tabel berikut menunjukkan gambaran umum komponen nilai variabel status CDC.

LSN dan nomor urut dikodekan sebagai string heksadesimal hingga 20 karakter, mewakili nilai LSN Biner (10).

Tabel berikut menjelaskan kemungkinan nilai status CDC.

Berikut ini adalah contoh nilai variabel status CDC.

ILSTART/IR/0x0000162B158700000000//TS/2011-08-07T17:10:43.0031645/

TFEND/CS/0x0000025B000001BC0003/TS/2011-07-17T12:05:58.1001145/

TFSTART/CS/0x0000030D000000AE0003/CE/0x0000159D1E0F01000000/TS/2011-08-09T05:30:43.9344900/

TFREDO/CS/0x0000030D000000AE0003/CE/0x0000159D1E0F01000000/TS/2011-08-09T05:30:59.5544900/

Mendefinisikan Variabel Status CDC

DI DALAM SQLServer Alat Data membuka paket Layanan Integrasi SQL Server 2016 (SSIS) yang memiliki aliran CDC di mana Anda perlu menentukan variabel.

Klik tab Peramban Paket dan menambahkan variabel baru.

Berikan nama pada variabel yang membantu mengidentifikasinya sebagai variabel keadaan.

Menetapkan tipe variabel data Rangkaian .

Tidak pantas nilai variabel sebagai bagian dari definisinya. Nilainya harus ditetapkan oleh tugas Manajemen CDC.

Jika Anda ingin menggunakan tugas Manajemen CDC dengan parameter Penghematan negara otomatis, maka variabel status CDC akan dibaca dari tabel status yang ditentukan dalam database dan, setelah diperbarui, ditulis kembali ke tabel yang sama ketika nilainya berubah. Informasi lebih lanjut Untuk informasi tentang tabel status, lihat bagian dan .

Jika Anda tidak menggunakan tugas Manajemen CDC dengan parameter penyimpanan otomatis menyatakan, Anda harus memuat nilai variabel dari penyimpanan persisten tempat nilai terakhir disimpan selama proses batch, lalu menulisnya kembali ke penyimpanan persisten setelah rentang pemrosesan saat ini selesai.

Perhitungan proses transien pada rangkaian listrik linier dengan metode variabel keadaan

Ini adalah metode paling universal untuk menghitung rangkaian linier dan nonlinier. Metode ini digunakan untuk menghitung rangkaian tingkat tinggi ketika penggunaan metode perhitungan lain tidak praktis atau praktis tidak mungkin. Metode variabel keadaan didasarkan pada penyelesaian persamaan keadaan (orde pertama) yang ditulis dalam bentuk Cauchy. Untuk menyelesaikan sistem persamaan orde pertama, metode numerik telah dikembangkan yang memungkinkan untuk mengotomatisasi perhitungan proses transien dengan komputer. Dengan demikian, metode variabel keadaan merupakan salah satu perhitungan proses sementara, yang difokuskan terutama pada penggunaan komputer.

Untuk rangkaian linier dengan parameter gabungan yang konstan, arus setiap cabang, tegangan antar terminal, muatan pada pelat, kapasitor, dll. dapat ditemukan sebagai solusi persamaan diferensial yang disusun untuk arus, tegangan, muatan, dll., tidak termasuk arus dan tekanan lain dari sistem persamaan Kirchhoff:

Dengan memperkenalkan variabel

persamaan (1.1) direduksi menjadi sistem ekuivalen persamaan diferensial orde pertama:

(1.2)

Di sini variabel yang disebut variabel keadaan adalah variabel X dan turunannya. Diasumsikan bahwa rangkaian hanya memiliki sumber independen dan tidak mengandung bagian induktif dan rangkaian kapasitif. Jika tidak, menulis persamaan menjadi lebih sulit

1. Pembentukan persamaan keadaan variabel

Keadaan energi rangkaian, dan oleh karena itu, proses transisi dalam rangkaian apa pun, ditentukan oleh energi medan magnet, disimpan dalam induktansi, dan energi medan listrik disimpan dalam kapasitor. Cadangan energi dalam elemen reaktif menentukan arus dalam induktansi dan tegangan dalam kapasitor, mis. mereka menentukan keadaan energi rangkaian dan oleh karena itu diambil sebagai variabel keadaan independen.

Sistem persamaan apa pun yang menentukan keadaan suatu rangkaian disebut persamaan keadaan. Arus dalam elemen induktif dan tegangan pada elemen kapasitif
mewakili kondisi awal yang independen
rangkaian dan harus diketahui atau dihitung. Kuantitas yang dibutuhkan selama proses transisi dinyatakan melaluinya.

Sumber energi yang beroperasi biasanya disebut besaran masukan
, dan besaran yang diinginkan (arus dan tegangan) - besaran keluaran
.

Untuk rantai dengan N arus independen dan stres
juga harus ditentukan N kondisi awal yang independen. Untuk operasi dengan sejumlah besar variabel menggunakan metode kalkulus matriks.

Persamaan diferensial keadaan disingkat yang menggambarkan rangkaian menurut hukum Kirchhoff ditulis dalam bentuk matriks:

, (1.3)

di mana X adalah vektor kolom (ukuran n x 1) dari variabel keadaan sembarang; V adalah vektor kolom (ukuran mx 1) pengaruh luar (EMF dan arus sumber); A - matriks persegi berorde n (utama); B adalah matriks koneksi antara input rangkaian dan variabel keadaan (ukuran n x m). Elemen matriks ini ditentukan oleh topologi dan parameter rangkaian
,m - jumlah input, n - jumlah variabel keadaan.

Untuk besaran keluaran (jika arus pada induktansi dan tegangan pada elemen kapasitif tidak ditentukan), perlu ditambahkan persamaan lain dalam bentuk matriks:

(1.4)

di mana Y adalah vektor - kolom arus dan tegangan keluaran yang diinginkan (ukuran 1 x 1), 1 - jumlah keluaran; C adalah matriks hubungan antara variabel keadaan dan keluaran rangkaian (n x 1); D - matriks koneksi langsung input dan output rangkaian (ukuran 1 x m). Elemen matriks bergantung pada topologi dan nilai parameter rangkaian
.

Sistem persamaan matriks

;
(1.5)

dapat disajikan dalam bentuk diagram blok (Gbr. 1.3).

1.1. Menyusun persamaan keadaan suatu rangkaian

metode overlay

Biarkan diagram sirkuit setelah peralihan diberikan

Kami akan berasumsi bahwa variabel keadaan ditentukan. Setelah peralihan, kami mengganti rangkaian yang dipertimbangkan (Gbr. 2) dengan yang setara (Gbr. 3), yang memiliki arus tertentu diwakili oleh sumber arus , atur voltase
sumber tegangan
.

Dengan menggunakan metode superposisi (arah positif dipilih), kami menuliskan tegangannya
dan arus
(pertama kita memperhitungkan tindakan sumbernya Kemudian
dan sumber selanjutnya yang bekerja dalam rangkaian).

Dari tindakan :

;
;

dari tindakan
:

;
;

dari tindakan e:

;
,

dan total arus
dan tegangan.

(1.6)

Mengingat bahwa
Dan
kita dapatkan

yaitu, dalam bentuk matriks kita menulis persamaan (1.7)

(1.8)

1.2. Menyusun persamaan keadaan suatu rangkaian menggunakan

hukum Kirchhoff

Persamaan (1.7) juga dapat diperoleh dari persamaan Kirchhoff dengan mengecualikan arus dan tegangan elemen resistif. Menurut hukum Kirchhoff, kita menulis persamaan rangkaian (lihat Gambar 2) dalam bentuk

(1.9)

Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem tersebut , ketiga, mengingat hal itu
, relatif . Kemudian

(1.10)

Variabel
Dan adalah variabel keadaan untuk rangkaian yang dimaksud. Di sisi kanan sistem (1.10) ada variabel , tidak menjadi variabel negara independen. Untuk menghilangkannya, kita tulis ulang persamaan kedua sistem (1.9) ke dalam bentuk

(1.11)

dan menaruhnya di sini
.

Nilai saat ini diperoleh dari (1.11)

(1.12)

Mari kita substitusikan ke dalam sistem (1.10).

Kami memperoleh sistem persamaan dalam variabel keadaan
untuk rangkaian yang sedang dipelajari

(1.13)

dimana X, X, V, A, B sesuai dengan sistem persamaan (1.7).

Misalkan dalam contoh yang sedang dipertimbangkan perlu untuk menentukan arus Dan . Karena itu Dan akan menjadi besaran keluaran rangkaian dan harus direpresentasikan dalam bentuk
,
.Saat ini telah didefinisikan dalam bentuk yang diperlukan (1.12), dan saat ini
.Kemudian sistem persamaan kedua dalam keadaan variabel
akan mengambil formulir tersebut

(1.14)

Dalam bentuk matriks, sistem persamaan (1.14) akan ditulis dalam bentuk

(1.15)

Dalam kasus khusus, jika variabel keluaran adalah variabel keadaan
maka matriks C berbentuk matriks diagonal, dan elemen-elemen matriks D sama dengan nol.

Persamaan keadaan diselesaikan di komputer menggunakan metode numerik.