Carilah rank suatu matriks dengan menggunakan metode transformasi elementer. Peringkat matriks

Pangkat suatu matriks merupakan karakteristik numerik yang penting. Masalah paling umum yang memerlukan pencarian pangkat suatu matriks adalah memeriksa konsistensi sistem persamaan aljabar linier. Pada artikel ini kami akan memberikan konsep rank matriks dan mempertimbangkan metode untuk menemukannya. Untuk lebih memahami materi, kami akan menganalisis secara detail solusi dari beberapa contoh.

Navigasi halaman.

Penentuan rank suatu matriks dan konsep tambahan yang diperlukan.

Sebelum menyuarakan definisi pangkat suatu matriks, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang konsep minor, dan mencari minor suatu matriks berarti kemampuan menghitung determinan. Jadi, jika perlu, kami menyarankan Anda mengingat kembali teori artikel, metode mencari determinan suatu matriks, dan sifat-sifat determinan.

Mari kita ambil matriks berorde A. Misalkan k adalah suatu bilangan asli yang tidak melebihi bilangan terkecil m dan n, yaitu, .

Definisi.

Pesanan ke-k kecil matriks A adalah determinan matriks persegi berorde, terdiri dari elemen-elemen matriks A, yang terletak pada k baris dan k kolom yang telah dipilih sebelumnya, dan susunan elemen-elemen matriks A dipertahankan.

Dengan kata lain, jika dalam matriks A kita menghapus (p–k) baris dan (n–k) kolom, dan dari elemen-elemen yang tersisa kita membuat matriks, dengan mempertahankan susunan elemen-elemen matriks A, maka determinan dari matriks yang dihasilkan merupakan minor berorde k dari matriks A.

Mari kita lihat definisi matriks minor menggunakan sebuah contoh.

Pertimbangkan matriksnya .

Mari kita tuliskan beberapa minor orde pertama dari matriks ini. Misalnya, jika kita memilih baris ketiga dan kolom kedua dari matriks A, maka pilihan kita sesuai dengan minor orde pertama . Dengan kata lain, untuk mendapatkan minor ini, kita mencoret baris pertama dan kedua, serta kolom pertama, ketiga dan keempat dari matriks A, dan membuat determinan dari elemen yang tersisa. Jika kita memilih baris pertama dan kolom ketiga dari matriks A, maka kita memperoleh minor .

Mari kita ilustrasikan prosedur untuk mendapatkan anak di bawah umur tingkat pertama yang dipertimbangkan
Dan .

Jadi, minor orde pertama suatu matriks adalah elemen matriks itu sendiri.

Mari kita tunjukkan beberapa anak di bawah umur orde kedua. Pilih dua baris dan dua kolom. Misalnya, ambil baris pertama dan kedua serta kolom ketiga dan keempat. Dengan pilihan ini kita memiliki minor orde kedua . Minor ini juga dapat dibuat dengan menghapus baris ketiga, kolom pertama dan kedua dari matriks A.

Minor orde kedua lainnya dari matriks A adalah.

Mari kita ilustrasikan konstruksi minor orde kedua ini
Dan .

Demikian pula, minor orde ketiga dari matriks A dapat ditemukan. Karena hanya ada tiga baris dalam matriks A, kita pilih semuanya. Jika kita memilih tiga kolom pertama dari baris ini, kita mendapatkan minor orde ketiga

Dapat juga dibuat dengan mencoret kolom terakhir matriks A.

Minor orde ketiga lainnya adalah

diperoleh dengan menghapus kolom ketiga matriks A.

Berikut adalah gambar yang menunjukkan konstruksi anak di bawah umur orde ketiga tersebut
Dan .

Untuk matriks A tertentu, tidak ada minor berorde lebih tinggi dari matriks A, karena .

Berapa banyak minor orde ke-k pada matriks berorde A?

Banyaknya anak di bawah umur berorde k dapat dihitung sebagai , dimana Dan - jumlah kombinasi masing-masing dari p ke k dan dari n ke k.

Bagaimana cara membuat semua minor berorde k dari matriks A berorde p kali n?

Kita memerlukan banyak nomor baris matriks dan banyak nomor kolom. Kami menuliskan semuanya kombinasi elemen p dengan k(mereka akan sesuai dengan baris-baris yang dipilih dari matriks A ketika membuat minor berorde k). Untuk setiap kombinasi nomor baris kita secara berurutan menjumlahkan semua kombinasi n elemen dari k nomor kolom. Himpunan kombinasi bilangan baris dan bilangan kolom matriks A ini akan membantu menyusun semua minor berorde k.

Mari kita lihat dengan sebuah contoh.

Contoh.

Temukan semua minor orde kedua dari matriks tersebut.

Larutan.

Karena orde matriks asal adalah 3 kali 3, maka total minor orde kedua adalah .

Mari kita tuliskan semua kombinasi bilangan baris 3 sampai 2 matriks A: 1, 2; 1, 3 dan 2, 3. Semua kombinasi angka kolom 3 sampai 2 adalah 1, 2; 1, 3 dan 2, 3.

Mari kita ambil baris pertama dan kedua dari matriks A. Dengan memilih kolom pertama dan kedua, kolom pertama dan ketiga, kolom kedua dan ketiga untuk baris-baris ini, kita memperoleh minornya masing-masing

Untuk baris pertama dan ketiga, dengan pilihan kolom yang serupa, kami punya

Tetap menambahkan kolom pertama dan kedua, pertama dan ketiga, kedua dan ketiga ke baris kedua dan ketiga:

Jadi, kesembilan minor orde kedua dari matriks A telah ditemukan.

Sekarang kita lanjutkan ke penentuan rank matriks.

Definisi.

Peringkat matriks adalah orde tertinggi dari minor bukan nol dari matriks tersebut.

Pangkat matriks A dilambangkan dengan Pangkat(A) . Anda juga dapat menemukan sebutan Rg(A) atau Rang(A) .

Dari pengertian rank matriks dan matriks minor, kita dapat menyimpulkan bahwa rank suatu matriks nol sama dengan nol, dan rank suatu matriks bukan nol tidak kurang dari satu.

Menemukan pangkat suatu matriks menurut definisi.

Jadi, cara pertama untuk mencari rank suatu matriks adalah metode penghitungan anak di bawah umur. Metode ini didasarkan pada penentuan rank matriks.

Mari kita mencari rank matriks berorde A.

Mari kita uraikan secara singkat algoritma memecahkan masalah ini dengan menghitung anak di bawah umur.

Jika paling sedikit ada satu elemen matriks yang berbeda dengan nol, maka pangkat matriks tersebut paling sedikit sama dengan satu (karena ada minor orde pertama yang tidak sama dengan nol).

Selanjutnya kita melihat anak di bawah umur urutan kedua. Jika semua minor orde kedua sama dengan nol, maka rank matriks tersebut sama dengan satu. Jika paling sedikit ada satu minor bukan nol orde kedua, maka kita lanjutkan dengan menghitung minor orde ketiga, dan pangkat matriksnya paling sedikit sama dengan dua.

Demikian pula, jika semua minor orde ketiga bernilai nol, maka rank matriksnya adalah dua. Jika paling sedikit ada satu minor orde ketiga selain nol, maka pangkat matriksnya paling sedikit tiga, dan kita lanjutkan ke penghitungan minor orde keempat.

Perhatikan bahwa pangkat matriks tidak boleh melebihi bilangan terkecil p dan n.

Contoh.

Temukan pangkat matriks tersebut .

Larutan.

Karena matriksnya bukan nol, maka pangkatnya tidak kurang dari satu.

Kecil dari urutan kedua berbeda dengan nol, maka rank matriks A paling sedikit dua. Kami melanjutkan ke penghitungan anak di bawah umur dari urutan ketiga. Jumlahnya hal-hal.

Semua minor orde ketiga sama dengan nol. Oleh karena itu, pangkat matriks tersebut adalah dua.

Menjawab:

Peringkat(A) = 2 .

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode border minor.

Ada metode lain untuk mencari peringkat suatu matriks yang memungkinkan Anda memperoleh hasil dengan lebih sedikit kerja komputasi.

Salah satu metode tersebut adalah metode tepi minor.

Mari kita tangani konsep edge minor.

Dikatakan bahwa minor M ok orde (k+1) matriks A berbatasan dengan minor M orde k matriks A jika matriks yang berkorespondensi dengan minor M ok “berisi” matriks yang bersesuaian dengan minor tersebut M .

Dengan kata lain, matriks yang bersesuaian dengan minor pembatas M diperoleh dari matriks yang bersesuaian dengan minor pembatas M ok dengan cara menghapus elemen-elemen satu baris dan satu kolom.

Misalnya, perhatikan matriks dan ambil minor orde kedua. Mari kita tuliskan semua anak di bawah umur yang berbatasan:

Cara membatasi anak di bawah umur dibenarkan oleh teorema berikut (kami sajikan rumusannya tanpa bukti).

Dalil.

Jika semua minor yang berbatasan dengan minor orde ke-k suatu matriks A berorde p kali n sama dengan nol, maka semua minor berorde (k+1) matriks A sama dengan nol.

Jadi, untuk mencari pangkat suatu matriks tidak perlu melalui semua minor yang berbatas cukup. Banyaknya minor yang berbatasan dengan minor orde ke-k suatu matriks berorde A, ditentukan dengan rumus . Perhatikan bahwa tidak ada lagi anak di bawah umur yang berbatasan dengan minor orde ke-k pada matriks A daripada jumlah minor orde (k + 1) pada matriks A. Oleh karena itu, dalam banyak kasus, menggunakan metode membatasi anak di bawah umur lebih menguntungkan daripada sekadar mencacah semua anak di bawah umur.

Mari kita lanjutkan mencari rank matriks menggunakan metode border minor. Mari kita uraikan secara singkat algoritma metode ini.

Jika matriks A bukan nol, maka sebagai minor orde pertama kita ambil setiap elemen matriks A yang bukan nol. Mari kita lihat anak di bawah umur yang berbatasan dengannya. Jika semuanya sama dengan nol, maka rank matriks tersebut sama dengan satu. Jika terdapat paling sedikit satu anak di bawah umur yang berbatasan bukan nol (urutannya ada dua), maka kita lanjutkan dengan mempertimbangkan anak di bawah umur yang berbatasan dengannya. Jika semuanya nol, maka Peringkat(A) = 2. Jika setidaknya satu anak di bawah umur yang berbatasan bukan nol (urutannya tiga), maka kami menganggap anak di bawah umur yang berbatasan. Dan sebagainya. Hasilnya, Rank(A) = k jika semua minor yang berbatasan dengan orde (k + 1) matriks A sama dengan nol, atau Rank(A) = min(p, n) jika terdapat non- nol minor yang berbatasan dengan minor orde (min( p, n) – 1) .

Mari kita lihat metode membatasi anak di bawah umur untuk mencari pangkat suatu matriks menggunakan sebuah contoh.

Contoh.

Temukan pangkat matriks tersebut dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur.

Larutan.

Karena elemen a 1 1 matriks A bukan nol, maka kita menganggapnya sebagai minor orde pertama. Mari kita mulai mencari anak di bawah umur yang berbatasan dengan nol:

Ditemukan sisi minor orde kedua, selain nol. Mari kita lihat anak di bawah umur yang berbatasan dengannya (mereka hal-hal):

Semua minor yang berbatasan dengan minor orde kedua sama dengan nol, oleh karena itu rank matriks A sama dengan dua.

Menjawab:

Peringkat(A) = 2 .

Contoh.

Temukan pangkat matriks tersebut menggunakan anak di bawah umur yang berbatasan.

Larutan.

Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 1 dari matriks A. Anak di bawah umur di sekitarnya dari urutan kedua tidak sama dengan nol. Anak di bawah umur ini berbatasan dengan anak di bawah umur tingkat ketiga
. Karena tidak sama dengan nol dan tidak ada satupun minor yang berbatasan dengannya, maka rank matriks A sama dengan tiga.

Menjawab:

Peringkat(A) = 3 .

Mencari rank menggunakan transformasi matriks dasar (metode Gauss).

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mencari pangkat suatu matriks.

Transformasi matriks berikut disebut dasar:

menata ulang baris (atau kolom) suatu matriks;
mengalikan semua elemen dari setiap baris (kolom) suatu matriks dengan bilangan sembarang k, selain nol;
menambahkan elemen-elemen suatu baris (kolom) elemen-elemen yang bersesuaian dari baris (kolom) lain dari matriks, dikalikan dengan bilangan sembarang k.

Matriks B disebut ekuivalen dengan matriks A, jika B diperoleh dari A menggunakan sejumlah transformasi dasar yang terbatas. Kesetaraan matriks dilambangkan dengan simbol “~”, yaitu ditulis A ~ B.

Mencari rank suatu matriks dengan menggunakan transformasi matriks elementer didasarkan pada pernyataan: jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan menggunakan sejumlah transformasi elementer berhingga, maka Rank(A) = Rank(B) .

Validitas pernyataan ini mengikuti sifat-sifat determinan matriks:

Ketika baris (atau kolom) suatu matriks disusun ulang, determinannya berubah tanda. Jika sama dengan nol, maka ketika baris (kolom) disusun ulang tetap sama dengan nol.
Saat mengalikan semua elemen setiap baris (kolom) suatu matriks dengan bilangan sembarang k selain nol, determinan matriks yang dihasilkan sama dengan determinan matriks asal dikalikan k. Jika determinan matriks asal sama dengan nol, maka setelah semua elemen baris atau kolom dikalikan dengan bilangan k, determinan matriks yang dihasilkan juga akan sama dengan nol.
Menjumlahkan elemen-elemen pada baris (kolom) tertentu suatu matriks dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada baris (kolom) matriks yang lain, dikalikan dengan bilangan k tertentu, tidak mengubah determinannya.

Inti dari metode transformasi dasar terdiri dari mereduksi matriks yang pangkatnya perlu kita cari menjadi matriks trapesium (dalam kasus tertentu, menjadi matriks segitiga atas) menggunakan transformasi dasar.

Mengapa hal ini dilakukan? Pangkat matriks jenis ini sangat mudah ditemukan. Ini sama dengan jumlah baris yang mengandung setidaknya satu elemen bukan nol. Dan karena rank matriks tidak berubah ketika melakukan transformasi elementer, maka nilai yang dihasilkan akan menjadi rank matriks aslinya.

Kami memberikan ilustrasi matriks, salah satunya harus diperoleh setelah transformasi. Kemunculannya bergantung pada urutan matriks.

Ilustrasi ini adalah templat yang akan kita ubah matriksnya A.

Mari kita jelaskan algoritma metode.

Mari kita mencari rank matriks berorde A bukan nol (p bisa sama dengan n).

Jadi, . Kalikan semua elemen baris pertama matriks A dengan . Dalam hal ini, kita memperoleh matriks ekuivalen, yang dilambangkan dengan A (1):

Ke elemen-elemen baris kedua dari matriks hasil A (1) kita tambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris pertama, dikalikan dengan . Ke elemen baris ketiga kita tambahkan elemen baris pertama yang bersesuaian, dikalikan dengan . Begitu seterusnya hingga baris ke-p. Mari kita dapatkan matriks yang setara, dilambangkan dengan A (2):

Jika semua elemen matriks hasil yang terletak pada baris kedua sampai ke p sama dengan nol, maka pangkat matriks tersebut sama dengan satu, dan akibatnya pangkat matriks asal juga sama. ke satu.

Jika pada baris kedua sampai ke p paling sedikit terdapat satu unsur bukan nol, maka kita terus melakukan transformasi. Selain itu, kami bertindak dengan cara yang persis sama, tetapi hanya dengan bagian matriks A (2) yang ditandai pada gambar.

Jika , maka baris dan (atau) kolom matriks A (2) kita susun ulang sehingga elemen “baru” menjadi bukan nol.

Dasar Transformasi matriks berikut disebut:

1) permutasi dua baris (atau kolom),

2) mengalikan baris (atau kolom) dengan angka bukan nol,

3) menambahkan ke satu baris (atau kolom) baris (atau kolom) lainnya, dikalikan dengan angka tertentu.

Kedua matriks tersebut disebut setara, jika salah satunya diperoleh dari yang lain menggunakan himpunan transformasi dasar yang terbatas.

Matriks-matriks ekuivalen secara umum tidaklah sama, namun rangking matriks-matriks tersebut sama. Jika matriks A dan B ekuivalen, maka dituliskan sebagai berikut: A ~ B.

Resmi Matriks adalah matriks yang pada awal diagonal utamanya terdapat beberapa matriks yang berurutan (yang banyaknya boleh nol), dan semua elemen lainnya sama dengan nol, misalnya,

Dengan menggunakan transformasi dasar baris dan kolom, matriks apa pun dapat direduksi menjadi matriks kanonik. Pangkat suatu matriks kanonik sama dengan jumlah matriks pada diagonal utamanya.

Contoh 2 Temukan pangkat suatu matriks

SEBUAH=

dan membawanya ke bentuk kanonik.

Larutan. Dari baris kedua, kurangi baris pertama dan atur ulang baris berikut:

Sekarang dari baris kedua dan ketiga kita kurangi baris pertama, dikalikan masing-masing dengan 2 dan 5:

;

kurangi baris pertama dari baris ketiga; kita mendapatkan matriks

B = ,

yang ekuivalen dengan matriks A, karena diperoleh dari matriks tersebut dengan menggunakan himpunan transformasi elementer berhingga. Tentu saja rank matriks B adalah 2, sehingga r(A)=2. Matriks B dapat dengan mudah direduksi menjadi kanonik. Dengan mengurangkan kolom pertama, dikalikan dengan angka-angka yang sesuai, dari semua kolom berikutnya, kita mengubah semua elemen baris pertama, kecuali yang pertama, menjadi nol, dan elemen baris yang tersisa tidak berubah.

Kemudian, dengan mengurangkan kolom kedua, dikalikan dengan angka-angka yang sesuai, dari semua kolom berikutnya, kita mengubah semua elemen baris kedua menjadi nol, kecuali baris kedua, dan memperoleh matriks kanonik: Kronecker - Teorema Capelli

- kriteria kompatibilitas sistem persamaan aljabar linier:

Agar suatu sistem linier dapat konsisten, maka pangkat matriks yang diperluas dari sistem ini perlu dan cukup sama dengan pangkat matriks utamanya.

Bukti (kondisi kompatibilitas sistem)

Kebutuhan Membiarkan sistem

persendian Lalu ada angka seperti itu.

Oleh karena itu, kolom merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom matriks. Dari kenyataan bahwa pangkat suatu matriks tidak akan berubah jika suatu baris (kolom) dihapus atau ditambahkan dari sistem baris (kolomnya), yang merupakan kombinasi linier dari baris (kolom) yang lain, maka . Kecukupan

Membiarkan . Mari kita ambil beberapa minor dasar dalam matriks. Karena itu juga akan menjadi basis minor dari matriks tersebut.

Kemudian menurut teorema dasar kecil, kolom terakhir matriks akan menjadi kombinasi linier dari kolom-kolom dasar, yaitu kolom-kolom matriks.

Oleh karena itu, kolom suku bebas sistem merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom matriks. Membiarkan Konsekuensi

Jumlah variabel utama

sistem15 . 2 sama dengan peringkat sistem.

Persendian

akan terdefinisi (solusinya unik) jika rank sistem sama dengan jumlah semua variabelnya. Sistem persamaan homogen

Menawarkan

sistem15 . 3 Sistem persamaan homogen

akan terdefinisi (solusinya unik) jika rank sistem sama dengan jumlah semua variabelnya. selalu bersama.

Bukti

. Untuk sistem ini, himpunan bilangan , , , adalah solusinya.

Bukti

Pada bagian ini kita akan menggunakan notasi matriks sistem: .15 . 1 Jumlah penyelesaian sistem persamaan linier homogen merupakan penyelesaian sistem tersebut. Solusi dikalikan dengan suatu bilangan juga merupakan solusi.

Memang, mengalikan solusi bukan nol dengan berbagai bilangan, kita akan memperoleh solusi yang berbeda.

Definisi15 . 5 Kami akan mengatakan bahwa solusinya bentuk sistem sistem dasar solusi, jika kolom membentuk sistem bebas linier dan solusi apa pun terhadap sistem tersebut merupakan kombinasi linier dari kolom-kolom ini.

Suatu bilangan r disebut rank matriks A jika:
1) pada matriks A terdapat minor berorde r selain nol;
2) semua minor berorde (r+1) dan lebih tinggi, jika ada, sama dengan nol.
Jika tidak, pangkat suatu matriks adalah orde minor tertinggi selain nol.
Sebutan: rangA, r A atau r.
Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa r adalah bilangan bulat positif. Untuk matriks nol, rangkingnya dianggap nol.

Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk mencari peringkat matriks. Dalam hal ini, solusinya disimpan dalam format Word dan Excel. lihat contoh solusi.

instruksi. Pilih dimensi matriks, klik Berikutnya.

Definisi. Misalkan matriks dengan pangkat r diberikan. Setiap minor suatu matriks yang berbeda dari nol dan mempunyai orde r disebut matriks dasar, dan baris serta kolom komponen-komponennya disebut baris dan kolom dasar.
Menurut definisi ini, matriks A dapat memiliki beberapa basis minor.

Rank matriks identitas E adalah n (banyaknya baris).

Contoh 1. Diberikan dua matriks, dan anak di bawah umur mereka , . Manakah di antara mereka yang dapat dianggap sebagai dasar?
Larutan. Minor M 1 =0, sehingga tidak dapat menjadi basis matriks mana pun. Minor M 2 =-9≠0 dan berorde 2, artinya dapat dijadikan basis matriks A atau / dan B asalkan mempunyai rank sama dengan 2. Karena detB=0 (sebagai determinan dengan dua kolom proporsional), maka rangB=2 dan M 2 dapat diambil sebagai minor basis matriks B. Rank matriks A adalah 3, karena detA=-27≠ 0 dan oleh karena itu, orde basis minor matriks ini harus sama dengan 3, artinya M 2 bukan basis matriks A. Perhatikan bahwa matriks A mempunyai basis minor tunggal yang sama dengan determinan matriks A.

Teorema (tentang basis minor). Setiap baris (kolom) suatu matriks merupakan kombinasi linier dari baris-baris (kolom) basisnya.
Akibat wajar dari teorema.

Setiap matriks (r+1) kolom (baris) dengan pangkat r bergantung linier.
Jika pangkat suatu matriks lebih kecil dari jumlah baris (kolomnya), maka baris (kolomnya) bergantung linier. Jika rangA sama dengan jumlah baris (kolomnya), maka baris (kolom) tersebut bebas linier.
Penentu matriks A sama dengan nol jika dan hanya jika baris (kolom)-nya bergantung linier.
Jika suatu baris (kolom) lain dijumlahkan pada suatu baris (kolom) suatu matriks, dikalikan dengan bilangan apa pun selain nol, maka pangkat matriks tersebut tidak akan berubah.
Jika suatu baris (kolom) dicoret pada suatu matriks yang merupakan kombinasi linier dari baris (kolom) yang lain, maka pangkat matriks tersebut tidak akan berubah.
Pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris (kolom) yang bebas linier.
Jumlah maksimum baris bebas linier sama dengan jumlah maksimum kolom bebas linier.

Contoh 2. Temukan pangkat suatu matriks .
Larutan. Berdasarkan definisi rank matriks, kita akan mencari minor yang berorde tertinggi, selain nol. Pertama, mari kita ubah matriksnya ke bentuk yang lebih sederhana. Caranya, kalikan baris pertama matriks dengan (-2) dan tambahkan ke baris kedua, lalu kalikan dengan (-1) dan tambahkan ke baris ketiga.

Kami juga akan mempertimbangkan penerapan praktis yang penting dari topik ini: mempelajari sistem persamaan linear untuk konsistensi.

Berapakah rank suatu matriks?

Prasasti lucu dari artikel tersebut mengandung banyak kebenaran. Kita biasanya mengasosiasikan kata “pangkat” dengan semacam hierarki, paling sering dengan jenjang karier. Semakin banyak pengetahuan, pengalaman, kemampuan, koneksi, dll yang dimiliki seseorang. – semakin tinggi posisinya dan jangkauan peluangnya. Dalam istilah pemuda, pangkat mengacu pada tingkat “kecuraman” secara umum.

Dan saudara-saudara matematika kita hidup dengan prinsip yang sama. Mari kita jalan-jalan beberapa yang acak matriks nol:

Mari kita pikirkan, jika dalam matriks semua nol, lalu kita bisa membicarakan peringkat apa? Semua orang akrab dengan ungkapan informal “total nol”. Dalam masyarakat matriks, semuanya persis sama:

Pangkat matriks nolukuran apa pun sama dengan nol.

Catatan : Matriks nol dilambangkan dengan huruf Yunani "theta"

Agar lebih memahami rank matriks, selanjutnya saya akan menggunakan bahan-bahan untuk membantu geometri analitik. Pertimbangkan nol vektor ruang tiga dimensi kita, yang tidak menentukan arah tertentu dan tidak berguna untuk bangunan dasar affine. Dari sudut pandang aljabar, koordinat vektor ini dituliskan matriks“satu per tiga” dan logis (dalam arti geometris yang ditunjukkan) asumsikan rank matriks ini adalah nol.

Sekarang mari kita lihat beberapa bukan nol vektor kolom Dan vektor baris:

Setiap instance memiliki setidaknya satu elemen bukan nol, dan itu adalah sesuatu!

Pangkat setiap vektor baris bukan nol (vektor kolom) sama dengan satu

Dan secara umum - jika dalam matriks ukuran sewenang-wenang paling sedikit ada satu elemen bukan nol, lalu peringkatnya tidak kurang unit.

Vektor baris aljabar dan vektor kolom sampai batas tertentu bersifat abstrak, jadi mari kita kembali ke asosiasi geometri. Bukan nol vektor menetapkan arah yang sangat pasti dalam ruang dan cocok untuk konstruksi dasar, oleh karena itu pangkat matriks dianggap sama dengan satu.

Informasi teoretis : dalam aljabar linier, vektor adalah elemen ruang vektor (didefinisikan melalui 8 aksioma), yang, khususnya, dapat mewakili baris (atau kolom) bilangan real yang terurut dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan bilangan real yang ditentukan untuk mereka. Informasi lebih rinci tentang vektor dapat ditemukan di artikel Transformasi linier.

bergantung secara linear(dinyatakan melalui satu sama lain). Dari sudut pandang geometris, garis kedua berisi koordinat vektor collinear , yang sama sekali tidak memajukan masalah dalam pembangunan dasar tiga dimensi, dalam hal ini berlebihan. Jadi, rank matriks ini juga sama dengan satu.

Mari kita tulis ulang koordinat vektor ke dalam kolom ( mengubah urutan matriks):

Apa saja yang berubah dari segi peringkat? Tidak ada apa-apa. Kolomnya proporsional, artinya pangkatnya sama dengan satu. Ngomong-ngomong, perhatikan bahwa ketiga garis tersebut juga proporsional. Mereka dapat diidentifikasi dengan koordinatnya tiga vektor-vektor collinear pada bidang tersebut, yang mana hanya satu berguna untuk membangun dasar "datar". Dan ini sepenuhnya konsisten dengan pengertian peringkat geometris kita.

Pernyataan penting berikut dari contoh di atas:

Pangkat matriks pada baris sama dengan pangkat matriks pada kolom. Saya sudah menyebutkan ini sedikit dalam pelajaran tentang efektif metode untuk menghitung determinan.

Catatan : ketergantungan linier baris menyiratkan ketergantungan linier kolom (dan sebaliknya). Namun untuk menghemat waktu, dan karena kebiasaan, saya hampir selalu berbicara tentang ketergantungan linier dari string.

Ayo terus latih hewan kesayangan kita. Mari tambahkan koordinat vektor kolinear lainnya ke matriks pada baris ketiga :

Apakah dia membantu kita membangun basis tiga dimensi? Tentu saja tidak. Ketiga vektor berjalan bolak-balik sepanjang jalur yang sama, dan pangkat matriksnya sama dengan satu. Anda dapat mengambil vektor kolinear sebanyak yang Anda suka, katakanlah, 100, masukkan koordinatnya ke dalam matriks “seratus kali tiga”, dan peringkat gedung pencakar langit tersebut akan tetap satu.

Mari berkenalan dengan matriks yang baris-barisnya independen linier. Sepasang vektor non-kolinear cocok untuk membangun basis tiga dimensi. Pangkat matriks ini adalah dua.

Berapakah rank matriks tersebut? Garisnya sepertinya tidak proporsional... jadi, secara teori, ada tiga. Namun pangkat matriks ini juga dua. Saya menambahkan dua baris pertama dan menulis hasilnya di bagian bawah, yaitu. dinyatakan secara linear baris ketiga melalui dua baris pertama. Secara geometris, baris-baris matriks bersesuaian dengan koordinat tiga vektor koplanar, dan di antara ketiganya ada sepasang kawan non-collinear.

Seperti yang Anda lihat, ketergantungan linier dalam matriks yang dipertimbangkan tidak jelas, dan hari ini kita akan belajar bagaimana mengungkapkannya.

Saya rasa banyak orang dapat menebak apa pangkat suatu matriks!

Perhatikan matriks yang baris-barisnya independen linier. Bentuk vektor dasar affine, dan pangkat matriks ini adalah tiga.

Seperti yang Anda ketahui, setiap vektor keempat, kelima, kesepuluh dari ruang tiga dimensi akan dinyatakan secara linier dalam vektor basis. Oleh karena itu, jika Anda menambahkan sejumlah baris ke suatu matriks, maka pangkatnya akan tetap sama dengan tiga.

Penalaran serupa dapat dilakukan untuk matriks dengan ukuran lebih besar (tentu saja, tanpa makna geometris apa pun).

Definisi : Pangkat suatu matriks adalah jumlah maksimum baris-baris yang bebas linier. Atau: Pangkat suatu matriks adalah jumlah maksimum kolom bebas linier. Ya, nomor mereka selalu sama.

Pedoman praktis yang penting juga mengikuti hal di atas: pangkat matriks tidak melebihi dimensi minimumnya. Misalnya pada matriks empat baris dan lima kolom. Dimensi minimalnya adalah empat, sehingga rank matriks ini dipastikan tidak akan melebihi 4.

Sebutan: dalam teori dan praktik dunia tidak ada standar yang diterima secara umum untuk menentukan peringkat suatu matriks; yang paling umum dapat ditemukan: - seperti yang mereka katakan, orang Inggris menulis satu hal, orang Jerman menulis hal lain. Oleh karena itu, berdasarkan lelucon terkenal tentang neraka Amerika dan Rusia, mari kita nyatakan peringkat matriks dengan kata asli. Misalnya: . Dan jika matriksnya “tidak disebutkan namanya”, yang jumlahnya banyak, maka Anda cukup menulis .

Bagaimana cara mencari rank suatu matriks menggunakan minor?

Jika nenek kita memiliki kolom kelima dalam matriksnya, maka kita harus menghitung minor lain dari orde ke-4 (“biru”, “raspberry” + kolom ke-5).

Kesimpulan: maksimal orde anak di bawah umur bukan nol adalah tiga yang artinya .

Mungkin tidak semua orang telah sepenuhnya memahami frasa ini: anak di bawah umur dari urutan ke-4 sama dengan nol, tetapi di antara anak di bawah umur dari urutan ke-3 ada yang bukan nol - oleh karena itu urutan maksimum bukan nol kecil dan sama dengan tiga.

Timbul pertanyaan, mengapa tidak segera menghitung determinannya? Pertama, di sebagian besar tugas, matriksnya tidak persegi, dan kedua, meskipun Anda mendapatkan nilai bukan nol, tugas tersebut kemungkinan besar akan ditolak, karena biasanya melibatkan solusi standar "bottom-up". Dan dalam contoh yang dipertimbangkan, determinan nol orde ke-4 memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa pangkat matriks hanya kurang dari empat.

Harus saya akui, saya mengemukakan masalah yang saya analisis sendiri untuk menjelaskan dengan lebih baik metode membatasi anak di bawah umur. Dalam praktik nyata, semuanya lebih sederhana:

Contoh 2

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode edge minors

Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Kapan algoritma bekerja paling cepat? Mari kita kembali ke matriks empat kali empat yang sama. . Tentu saja, solusinya akan menjadi yang terpendek dalam kasus “baik” sudut anak di bawah umur:

Dan jika , maka , sebaliknya – .

Pemikirannya sama sekali tidak hipotetis - ada banyak contoh di mana seluruh materi terbatas hanya pada sudut minor.

Namun, dalam beberapa kasus, metode lain lebih efektif dan lebih disukai:

Bagaimana cara mencari rank suatu matriks menggunakan metode Gaussian?

Paragraf tersebut ditujukan bagi pembaca yang sudah familiar dengannya metode Gaussian dan kurang lebih berhasil mendapatkannya.

Dari sudut pandang teknis, metode ini bukanlah hal baru:

1) menggunakan transformasi dasar, kita mereduksi matriks menjadi bentuk bertahap;

2) pangkat matriks sama dengan jumlah barisnya.

Hal ini sangat jelas penggunaan metode Gaussian tidak mengubah rank matriks, dan intinya di sini sangat sederhana: menurut algoritme, selama transformasi dasar, semua baris proporsional (bergantung linier) yang tidak perlu diidentifikasi dan dihilangkan, menghasilkan "residu kering" - jumlah maksimum baris bebas linier.

Mari kita transformasikan matriks lama yang sudah dikenal dengan koordinat tiga vektor kolinear:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga.

(2) Garis nol dihilangkan.

Jadi, masih ada satu baris tersisa. Tentu saja, ini jauh lebih cepat daripada menghitung sembilan nol minor orde ke-2 dan baru kemudian menarik kesimpulan.

Saya mengingatkan Anda hal itu sendiri matriks aljabar tidak ada yang bisa diubah, dan transformasi dilakukan hanya untuk menentukan peringkat! Ngomong-ngomong, mari kita memikirkan sekali lagi pertanyaannya, mengapa tidak? Matriks sumber membawa informasi yang secara fundamental berbeda dari informasi matriks dan baris. Dalam beberapa model matematika (tidak berlebihan), selisih satu angka bisa menjadi persoalan hidup dan mati. ...Saya teringat guru matematika sekolah dasar dan menengah yang tanpa ampun memotong nilai sebesar 1-2 poin karena ketidakakuratan atau penyimpangan sekecil apa pun dari algoritme. Dan itu sangat mengecewakan ketika, alih-alih “A” yang tampaknya dijamin, ternyata “baik” atau bahkan lebih buruk. Pemahaman muncul kemudian - bagaimana lagi kita bisa mempercayakan satelit, hulu ledak nuklir, dan pembangkit listrik kepada manusia? Tapi jangan khawatir, saya tidak bekerja di bidang ini =)

Mari beralih ke tugas yang lebih bermakna, di mana, antara lain, kita akan mengenal teknik komputasi yang penting metode Gauss:

Contoh 3

Temukan peringkat matriks menggunakan transformasi dasar

Larutan: diberikan matriks “empat kali lima”, yang berarti pangkatnya tentu tidak lebih dari 4.

Pada kolom pertama tidak ada 1 atau –1, oleh karena itu diperlukan tindakan tambahan untuk mendapatkan minimal satu unit. Sepanjang keberadaan situs ini, saya telah berulang kali ditanyai pertanyaan: “Apakah mungkin untuk mengatur ulang kolom selama transformasi dasar?” Di sini, kami mengatur ulang kolom pertama dan kedua, dan semuanya baik-baik saja! Di sebagian besar tugas yang menggunakannya metode Gaussian, kolomnya memang bisa diatur ulang. TAPI TIDAK DIPERLUKAN. Dan intinya bahkan bukan pada kemungkinan kebingungan dengan variabel, intinya adalah bahwa dalam kursus klasik matematika yang lebih tinggi, tindakan ini secara tradisional tidak dipertimbangkan, sehingga anggukan seperti itu akan dipandang SANGAT bengkok (atau bahkan dipaksa untuk mengulang semuanya).

Poin kedua menyangkut angka. Saat Anda membuat keputusan, ada gunanya menggunakan aturan praktis berikut: transformasi dasar harus, jika memungkinkan, mengurangi bilangan matriks. Lagi pula, bekerja dengan satu, dua, tiga jauh lebih mudah daripada, misalnya, dengan 23, 45, dan 97. Dan tindakan pertama ditujukan tidak hanya untuk mendapatkan satu di kolom pertama, tetapi juga untuk menghilangkan angka-angka tersebut. 7 dan 11.

Pertama solusi lengkapnya, lalu komentar:

(1) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –2. Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan –3. Dan ke heap: baris ke-1 ditambahkan ke baris ke-4, dikalikan –1.

(2) Tiga garis terakhir proporsional. Baris ke-3 dan ke-4 dihilangkan, baris kedua dipindahkan ke tempat pertama.

(3) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3.

Matriks yang direduksi menjadi bentuk eselon mempunyai dua baris.

Menjawab:

Sekarang giliran Anda untuk menyiksa matriks empat kali empat:

Contoh 4

Mencari rank suatu matriks menggunakan metode Gaussian

Saya mengingatkan Anda akan hal itu metode Gaussian tidak menyiratkan kekakuan yang jelas, dan keputusan Anda kemungkinan besar akan berbeda dengan keputusan saya. Contoh singkat tugas di akhir pelajaran.

Metode mana yang harus saya gunakan untuk mencari pangkat suatu matriks?

Dalam praktiknya, seringkali tidak disebutkan sama sekali metode mana yang harus digunakan untuk mencari peringkat tersebut. Dalam situasi seperti itu, kondisinya harus dianalisis - untuk beberapa matriks lebih rasional diselesaikan melalui minor, sementara untuk matriks lain jauh lebih menguntungkan untuk menerapkan transformasi elementer:

Contoh 5

Temukan pangkat suatu matriks

Larutan: cara pertama entah kenapa langsung hilang =)

Sedikit lebih tinggi, saya menyarankan untuk tidak menyentuh kolom-kolom matriks, tetapi bila ada kolom nol, atau kolom proporsional/bertepatan, maka masih layak diamputasi:

(1) Kolom kelima nol, keluarkan dari matriks. Jadi, pangkat matriksnya tidak lebih dari empat. Baris pertama dikalikan –1. Ini adalah fitur khas lain dari metode Gauss, yang mengubah tindakan berikut menjadi perjalanan yang menyenangkan:

(2) Untuk semua baris, mulai dari baris kedua, baris pertama ditambahkan.

(3) Baris pertama dikalikan –1, baris ketiga dibagi 2, baris keempat dibagi 3. Baris kedua ditambahkan pada baris kelima, dikalikan –1.

(4) Baris ketiga ditambahkan ke baris kelima, dikalikan –2.

(5) Dua baris terakhir proporsional, baris kelima dihapus.

Hasilnya adalah 4 baris.

Menjawab:

Bangunan standar lima lantai untuk belajar mandiri:

Contoh 6

Temukan pangkat suatu matriks

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa frasa "peringkat matriks" tidak begitu sering terlihat dalam praktik, dan dalam sebagian besar soal, Anda dapat melakukannya tanpa frasa tersebut sama sekali. Namun ada satu tugas dimana konsep yang dimaksud adalah tokoh utamanya, dan kami akan menyimpulkan artikel dengan penerapan praktis ini:

Bagaimana cara mempelajari sistem persamaan linear untuk konsistensi?

Seringkali, selain solusinya sistem persamaan linear sesuai dengan kondisinya, pertama-tama perlu diperiksa kompatibilitasnya, yaitu membuktikan bahwa ada solusi sama sekali. Peran penting dalam verifikasi tersebut dimainkan oleh Teorema Kronecker-Capelli, yang akan saya rumuskan dalam bentuk yang diperlukan:

Jika peringkat matriks sistem sama dengan peringkat sistem matriks yang diperluas, maka sistemnya konsisten, dan jika bilangan ini bertepatan dengan bilangan yang tidak diketahui, maka penyelesaiannya unik.

Jadi, untuk mempelajari kompatibilitas sistem, perlu dilakukan pemeriksaan kesetaraan , Di mana - matriks sistem(ingat terminologi dari pelajaran metode Gauss), A - matriks sistem yang diperluas(yaitu matriks dengan koefisien variabel + kolom suku bebas).

Biarkan beberapa matriks diberikan:

Mari kita pilih dalam matriks ini string sewenang-wenang dan kolom sewenang-wenang
. Lalu determinannya orde ke-th, terdiri dari elemen-elemen matriks
, yang terletak di perpotongan baris dan kolom yang dipilih, disebut minor matriks orde ke-th
.

Definisi 1.13. Peringkat matriks
adalah orde terbesar dari minor bukan nol matriks ini.

Untuk menghitung pangkat suatu matriks, kita harus mempertimbangkan semua minor dari orde terendah dan, jika setidaknya salah satu dari matriks tersebut berbeda dari nol, lanjutkan dengan mempertimbangkan minor dari orde tertinggi. Pendekatan untuk menentukan rank suatu matriks disebut metode bordering (atau metode border minor).

Masalah 1.4. Dengan menggunakan metode border minor, tentukan rank matriks tersebut
.

Pertimbangkan tepian orde pertama, misalnya,
. Kemudian kita melanjutkan untuk mempertimbangkan beberapa tepian orde kedua.

Misalnya,
.

Terakhir, mari kita analisis batas orde ketiga.

Jadi, urutan tertinggi dari anak di bawah umur bukan nol adalah 2
.

Saat menyelesaikan Soal 1.4, Anda dapat melihat bahwa sejumlah anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde kedua adalah bukan nol. Dalam hal ini, konsep berikut berlaku.

Definisi 1.14. Basis minor suatu matriks adalah sembarang minor bukan nol yang ordenya sama dengan pangkat matriks tersebut.

Teorema 1.2.(Dasar teorema minor). Baris basis (kolom basis) bebas linier.

Perhatikan bahwa baris (kolom) suatu matriks bergantung linier jika dan hanya jika setidaknya salah satu baris (kolom) tersebut dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari baris-baris lainnya.

Teorema 1.3. Banyaknya baris matriks yang bebas linier sama dengan jumlah kolom matriks yang bebas linier dan sama dengan pangkat matriks tersebut.

Teorema 1.4.(Kondisi perlu dan cukup agar determinan sama dengan nol). Agar menjadi determinan urutan -th sama dengan nol, maka baris (kolom) tersebut perlu dan cukup bergantung linier.

Menghitung peringkat suatu matriks berdasarkan definisinya terlalu rumit. Hal ini menjadi sangat penting untuk matriks berorde tinggi. Sehubungan dengan itu, dalam prakteknya, pangkat suatu matriks dihitung berdasarkan penerapan Teorema 10.2 - 10.4, serta penggunaan konsep kesetaraan matriks dan transformasi dasar.

Definisi 1.15. Dua matriks
Dan disebut setara jika peringkatnya sama, yaitu.
.

Jika matriks
Dan setara, lalu catat
 .

Teorema 1.5. Pangkat matriks tidak berubah karena transformasi dasar.

Kami akan menyebut transformasi matriks dasar
salah satu operasi berikut pada matriks:

Mengganti baris dengan kolom dan kolom dengan baris yang sesuai;

Menata ulang baris matriks;

Mencoret garis yang semua elemennya nol;

Mengalikan string dengan angka selain nol;

Menjumlahkan elemen-elemen suatu garis dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada garis lain dikalikan dengan bilangan yang sama
.

Akibat Teorema 1.5. Jika matriks
diperoleh dari matriks menggunakan sejumlah transformasi dasar yang terbatas, lalu matriks
Dan setara.

Saat menghitung pangkat suatu matriks, matriks tersebut harus direduksi menjadi bentuk trapesium menggunakan sejumlah transformasi dasar yang terbatas.

Definisi 1.16. Kita akan menyebut trapesium sebagai suatu bentuk representasi suatu matriks jika, pada minor yang berbatasan dengan orde tertinggi selain nol, semua elemen di bawah diagonalnya hilang. Misalnya:

Di Sini
, elemen matriks
pergi ke nol. Maka bentuk representasi matriks tersebut adalah trapesium.

Biasanya, matriks direduksi menjadi bentuk trapesium menggunakan algoritma Gaussian. Ide dari algoritma Gauss adalah, dengan mengalikan elemen-elemen baris pertama matriks dengan faktor-faktor yang bersesuaian, dicapai bahwa semua elemen kolom pertama yang terletak di bawah elemen tersebut
, akan berubah menjadi nol. Kemudian, dengan mengalikan elemen kolom kedua dengan faktor yang bersesuaian, kami memastikan bahwa semua elemen kolom kedua yang terletak di bawah elemen
, akan berubah menjadi nol. Kemudian lanjutkan dengan cara yang sama.