Integral tak tentu dalam talian. Menyelesaikan integral secara online

Temuan integral tak tentu adalah masalah yang sangat umum dalam matematika tingkat tinggi dan cabang ilmu teknis lainnya. Bahkan masalah fisika yang paling sederhana pun tidak dapat diselesaikan tanpa menghitung beberapa integral sederhana. Oleh karena itu, sejak usia sekolah kita diajari teknik dan metode penyelesaian integral; banyak tabel yang berisi integral fungsi paling sederhana diberikan. Namun, seiring berjalannya waktu, semua ini terlupakan dengan aman, entah kita tidak punya cukup waktu untuk menghitungnya atau kita membutuhkannya mencari penyelesaian integral tak tentu dari sangat fungsi yang kompleks. Untuk mengatasi masalah ini, layanan kami sangat diperlukan bagi Anda, memungkinkan Anda menemukan integral tak tentu secara online secara akurat.

Selesaikan integral tak tentu

Layanan online di situs web memungkinkan Anda menemukan menyelesaikan integral secara online cepat, gratis dan berkualitas tinggi. Anda dapat mengganti pencarian di tabel integral yang diinginkan dengan layanan kami, dengan memasukkan dengan cepat fungsi yang diinginkan, Anda akan menerima solusi integral tak tentu dalam versi tabel. Tidak semua situs matematika mampu menghitung fungsi integral tak tentu secara online dengan cepat dan efisien, terutama jika Anda perlu mencarinya integral tak tentu dari fungsi kompleks atau fungsi yang tidak termasuk dalam mata kuliah umum matematika tingkat tinggi. Situs web situs web akan membantu menyelesaikan integral secara online dan mengatasi tugas itu. Dengan menggunakan solusi integral online di situs web, Anda akan selalu mendapatkan jawaban yang tepat.

Bahkan jika Anda ingin menghitung sendiri integralnya, berkat layanan kami akan mudah bagi Anda untuk memeriksa jawaban Anda, menemukan kesalahan atau kesalahan ketik, atau memastikan tugas diselesaikan dengan sempurna. Jika Anda memecahkan suatu masalah dan Anda perlu menghitung integral tak tentu sebagai tindakan tambahan, lalu mengapa membuang waktu untuk tindakan yang mungkin sudah Anda lakukan ribuan kali? Selain itu, perhitungan tambahan integral mungkin menjadi penyebab kesalahan ketik atau kesalahan kecil, yang selanjutnya menyebabkan jawaban salah. Cukup gunakan layanan kami dan temukan integral tak tentu secara online tanpa usaha apa pun. Untuk masalah praktis dalam menemukan integral fungsi on line server ini sangat berguna. Anda harus memasukkan fungsi yang diberikan, dapatkan solusi daring integral tak tentu dan bandingkan jawabannya dengan solusi Anda.

Suatu fungsi F(x) yang terdiferensiasi dalam interval tertentu X disebut antiturunan dari fungsi tersebut f(x), atau integral dari f(x), jika untuk setiap x ∈X persamaan berikut berlaku:

F " (x) = f(x). (8.1)

Menemukan semua antiturunan untuk suatu fungsi disebut nya integrasi. Fungsi integral tak tentu f(x) pada interval tertentu X adalah himpunan semua fungsi antiturunan untuk fungsi f(x); penamaan -

Jika F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x), maka ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

di mana C adalah konstanta sembarang.

Tabel integral

Langsung dari definisinya kita memperoleh sifat-sifat dasar integral tak tentu dan daftarnya integral tabel:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konstan)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Daftar integral tabel

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = busursin x + C

10. = - ctg x + C

Penggantian variabel

Untuk mengintegrasikan banyak fungsi, gunakan metode penggantian variabel atau pergantian pemain, memungkinkan Anda mereduksi integral menjadi bentuk tabel.

Jika fungsi f(z) kontinu pada [α,β], fungsi z =g(x) mempunyai turunan kontinu dan α ≤ g(x) ≤ β, maka

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Selain itu, setelah integrasi pada ruas kanan, harus dilakukan substitusi z=g(x).

Untuk membuktikannya cukup dengan menuliskan integral aslinya dalam bentuk:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Misalnya:

Metode integrasi berdasarkan bagian

Misalkan u = f(x) dan v = g(x) adalah fungsi yang mempunyai kontinuitas. Kemudian, menurut pekerjaannya,

d(uv))= udv + vdu atau udv = d(uv) - vdu.

Untuk ekspresi d(uv), antiturunannya jelas adalah uv, sehingga rumusnya berlaku:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Rumus ini mengungkapkan aturannya integrasi berdasarkan bagian. Ini mengarahkan integrasi ekspresi udv=uv"dx ke integrasi ekspresi vdu=vu"dx.

Misalnya, Anda ingin mencari ∫xcosx dx. Misalkan u = x, dv = cosxdx, jadi du=dx, v=sinx. Kemudian

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Aturan integrasi per bagian memiliki cakupan yang lebih terbatas dibandingkan substitusi variabel. Tapi ada seluruh kelas integral, misalnya,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dan lain-lain, yang dihitung secara tepat menggunakan integrasi per bagian.

Integral pasti

Konsep integral tertentu diperkenalkan sebagai berikut. Biarkan suatu fungsi f(x) terdefinisi pada suatu interval. Mari kita bagi segmen [a,b] menjadi N bagian demi poin a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x saya =xi - x saya-1. Jumlah dari bentuk f(ξ i)Δ x i disebut jumlah integral, dan limitnya di λ = maxΔx i → 0, jika ada dan berhingga, disebut integral tertentu fungsi f(x) dari A ke B dan ditunjuk:

F(ξ saya)Δx saya (8.5).

Fungsi f(x) dalam hal ini disebut dapat diintegrasikan pada interval tersebut, bilangan a dan b dipanggil batas bawah dan batas atas integral.

Sifat-sifat berikut ini berlaku untuk integral tertentu:

4), (k = konstanta, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Properti terakhir disebut teorema nilai rata-rata.

Misalkan f(x) kontinu pada . Kemudian pada ruas tersebut terdapat integral tak tentu

f(x)dx = F(x) + C

dan berlangsung Rumus Newton-Leibniz, menghubungkan integral tertentu dengan integral tak tentu:

F(b) - F(a). (8.6)

Interpretasi geometri: integral tentu adalah luas trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh kurva y=f(x), garis lurus x = a dan x = b dan ruas sumbunya Sapi.

Integral tak wajar

Integral dengan limit tak terhingga dan integral fungsi terputus-putus (tak terbatas) disebut bukan milikmu sendiri. Integral tak wajar jenis pertama - ini adalah integral pada interval tak terhingga, yang didefinisikan sebagai berikut:

(8.7)

Jika limit ini ada dan berhingga, maka disebut integral tak wajar konvergen dari f(x) pada interval [a,+ ∞), dan fungsi f(x) dipanggil dapat diintegrasikan dalam interval tak terhingga[a,+ ∞). Jika tidak maka dikatakan integral tidak ada atau menyimpang.

Integral tak wajar pada interval (-∞,b] dan (-∞, + ∞) didefinisikan dengan cara yang sama:

Mari kita definisikan konsep integral dari fungsi tak terbatas. Jika f(x) kontinu untuk semua nilai X segmen , kecuali titik c, di mana f(x) mempunyai diskontinuitas tak terhingga integral tak wajar jenis kedua f(x) mulai dari a sampai b jumlahnya disebut:

jika batasan ini ada dan terbatas. Penamaan:

Contoh perhitungan integral

Contoh 3.30. Hitung ∫dx/(x+2).

Larutan. Misalkan t = x+2, maka dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Contoh 3.31. Temukan ∫ tgxdx.

Larutan.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Misalkan t=cosx, maka ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Contoh3.32 . Carilah ∫dx/sinx

Larutan.

Contoh3.33. Menemukan .

Larutan. = .

Contoh3.34 . Temukan ∫arctgxdx.

Larutan. Mari berintegrasi per bagian. Mari kita nyatakan u=arctgx, dv=dx. Maka du = dx/(x 2 +1), v=x, sehingga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Karena
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Contoh3.35 . Hitung ∫lnxdx.

Larutan. Menerapkan rumus integrasi per bagian, kita memperoleh:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Maka ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Contoh3.36 . Hitung ∫e x sinxdx.

Larutan. Misalkan u = e x, dv = sinxdx, maka du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Kita juga mengintegrasikan integral ∫e x cosxdx per bagian: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Kami memiliki:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kita memperoleh relasi ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, yang mana 2∫e x sinx dx = - ex cosx + e x sinx + C.

Contoh 3.37. Hitung J = ∫cos(lnx)dx/x.

Larutan. Karena dx/x = dlnx, maka J= ∫cos(lnx)d(lnx). Mengganti lnx dengan t, kita mendapatkan tabel integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Contoh 3.38 . Hitung J = .

Larutan. Mengingat = d(lnx), kita substitusikan lnx = t. Maka J = .

Contoh 3.39 . Hitung integral J = .

Larutan. Kami memiliki: . Oleh karena itu =
=
=.

dimasukkan seperti ini: sqrt(tan(x/2)).

78875C8D

Integral online di website bagi siswa dan anak sekolah untuk mengkonsolidasikan materi yang telah mereka bahas. Dan melatih keterampilan praktis Anda. Solusi lengkap integral online untuk Anda dalam beberapa saat akan membantu Anda menentukan semua tahapan proses. Setiap kali Anda mulai menyelesaikan integral online, Anda perlu mengidentifikasi jenisnya tanpa ini, Anda tidak dapat menggunakan metode apa pun, kecuali Anda anggap integral sebagai integral tabel. Tidak semua integral tabel terlihat jelas dari contoh yang diberikan; terkadang Anda perlu mengubah fungsi aslinya untuk mencari antiturunannya. Dalam praktiknya, penyelesaian integral dilakukan dengan menafsirkan masalah mencari bilangan asli, yaitu antiturunan dari keluarga fungsi tak terhingga, tetapi jika limit integrasi diberikan, maka menurut rumus Newton-Leibniz hanya ada satu fungsi tunggal. kiri untuk menerapkan perhitungan. Integral daring - integral tak tentu daring dan integral tentu daring. Integral suatu fungsi online adalah jumlah bilangan apa pun yang dimaksudkan untuk integrasinya. Oleh karena itu, secara informal, integral tentu online adalah luas antara grafik fungsi dan sumbu x dalam batas integrasi. Contoh penyelesaian masalah dengan integral. Mari kita evaluasi integral kompleks pada satu variabel dan menghubungkan jawabannya dengan solusi masalah selanjutnya. Seperti yang mereka katakan, dimungkinkan untuk menemukan integral integral secara langsung. Integral apa pun menentukan dengan akurasi tinggi luas bangun yang dibatasi oleh garis. Ini adalah salah satu makna geometrisnya. Metode ini memudahkan siswa. Beberapa langkah sebenarnya tidak akan banyak berdampak pada analisis vektor. Integral suatu fungsi online merupakan konsep dasar kalkulus integral. Menurut teorema utama analisis, integrasi adalah operasi kebalikan dari diferensiasi, yang membantu menyelesaikan persamaan diferensial. Ada beberapa definisi berbeda tentang operasi integrasi, berbeda dalam rincian teknisnya. Namun, semuanya kompatibel, yaitu dua metode integrasi apa pun, jika dapat diterapkan pada fungsi tertentu, akan memberikan hasil yang sama. Yang paling sederhana adalah integral Riemann - integral tertentu atau integral tak tentu. Secara informal, integral suatu fungsi suatu variabel dapat dimasukkan sebagai luas di bawah grafik (gambar yang terletak di antara grafik fungsi dan sumbu x). Setiap submasalah seperti itu dapat membenarkan bahwa penghitungan integral akan sangat diperlukan pada awal pendekatan penting. Jangan lupakan ini! Mencoba mencari luas ini, kita dapat mempertimbangkan bangun-bangun yang terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal, yang alas-alasnya bersama-sama membentuk suatu segmen integrasi dan diperoleh dengan membagi segmen tersebut menjadi sejumlah segmen kecil yang sesuai. Menyelesaikan integral secara online.. Integral online - integral tak tentu online dan integral pasti online. Penyelesaian integral online: integral tak tentu online dan integral pasti online. Kalkulator menyelesaikan integral dengan penjelasan rinci tentang tindakan dan gratis! Integral tak tentu online untuk suatu fungsi adalah himpunan semua antiturunan dari suatu fungsi tertentu. Jika suatu fungsi terdefinisi dan kontinu pada suatu interval, maka terdapat fungsi antiturunan (atau sekumpulan antiturunan) untuk fungsi tersebut. Integral hanya mendefinisikan ekspresi, kondisi yang Anda tetapkan ketika kebutuhan tersebut muncul. Lebih baik mendekati masalah ini dengan hati-hati dan merasakan kepuasan batin dari pekerjaan yang dilakukan. Namun menghitung integral menggunakan metode yang berbeda dari metode klasik terkadang memberikan hasil yang tidak terduga dan orang tidak perlu heran dengan hal ini. Saya senang bahwa fakta ini akan berdampak positif terhadap apa yang terjadi. Daftar integral pasti dan integral tak tentu integral lengkap lengkap langkah demi langkah penyelesaiannya. Semua integral dengan solusi terperinci secara online. Integral tak tentu. Menemukan integral tak tentu secara online adalah masalah yang sangat umum dalam matematika tingkat tinggi dan bidang sains teknis lainnya. Metode dasar integrasi. Pengertian integral, integral tentu dan tak tentu, tabel integral, rumus Newton-Leibniz. Sekali lagi, Anda dapat mencari integral menggunakan tabel ekspresi integral, tetapi hal ini tetap perlu dilakukan, karena tidak semuanya sesederhana kelihatannya pada pandangan pertama. Pikirkan tentang bangunan yang telah selesai sebelum kesalahan ditemukan. Integral pasti dan cara menghitungnya. Integral pasti online dengan batas atas variabel. Menyelesaikan integral secara online. Contoh apa pun yang akan membantu menghitung integral menggunakan rumus tabel akan menjadi panduan tindakan yang berguna bagi siswa dari tingkat pelatihan apa pun. Langkah terpenting menuju jawaban yang benar.. Integral online. Integral tak tentu yang mengandung fungsi eksponensial dan logaritma. Memecahkan integral secara online - Anda akan menerima solusi terperinci untuk berbagai jenis integral: tak tentu, pasti, tak wajar. Kalkulator Integral Pasti menghitung integral tertentu secara online dari suatu fungsi pada suatu interval menggunakan integrasi numerik. Integral suatu fungsi merupakan analogi dari jumlah suatu barisan. Secara informal, integral tertentu adalah luas bagian grafik suatu fungsi. Menyelesaikan integral online.. Integral online - integral tak tentu online dan integral pasti online. Seringkali, integral seperti itu menentukan seberapa berat suatu benda daripada benda yang massa jenisnya sama dibandingkan dengan benda tersebut, dan tidak peduli apa bentuknya, karena permukaannya tidak menyerap air. Menyelesaikan integral secara online.. Integral online - integral tak tentu online dan integral pasti online. Setiap siswa junior mengetahui cara mencari integral secara online. Berdasarkan kurikulum sekolah, bagian matematika ini juga dipelajari, tetapi tidak secara rinci, tetapi hanya dasar-dasar dari topik yang kompleks dan penting tersebut. Dalam kebanyakan kasus, siswa mulai mempelajari integral dengan teori yang luas, yang juga didahului dengan topik-topik penting, seperti turunan dan perjalanan ke limit - yang juga merupakan limit. Pemecahan integral secara bertahap dimulai dengan contoh paling dasar dari fungsi sederhana, dan diakhiri dengan penggunaan banyak pendekatan dan aturan yang diusulkan pada abad terakhir dan bahkan jauh lebih awal. Kalkulus integral ditujukan untuk tujuan pendidikan di bacaan dan sekolah, yaitu di lembaga pendidikan menengah. Situs web kami akan selalu membantu Anda dan menyelesaikan integral secara online akan menjadi hal biasa bagi Anda, dan yang terpenting, tugas yang dapat dimengerti. Berdasarkan sumber ini, Anda dapat dengan mudah mencapai kesempurnaan di bagian matematika ini. Dengan memahami aturan yang Anda pelajari langkah demi langkah, misalnya integrasi per bagian atau penerapan metode Chebyshev, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan tes apa pun untuk mendapatkan jumlah poin maksimum. Jadi bagaimana kita masih bisa menghitung integral menggunakan tabel integral yang terkenal, tetapi sedemikian rupa sehingga penyelesaiannya tepat, benar, dan dengan jawaban seakurat mungkin? Bagaimana cara mempelajarinya dan apakah mungkin bagi mahasiswa baru biasa untuk melakukannya dalam waktu sesingkat mungkin? Mari kita jawab pertanyaan ini dengan ya – Anda bisa! Pada saat yang sama, Anda tidak hanya akan mampu memecahkan contoh apa pun, tetapi juga mencapai tingkat insinyur yang berkualifikasi tinggi. Rahasianya lebih sederhana dari sebelumnya - Anda perlu melakukan upaya maksimal dan mencurahkan jumlah waktu yang diperlukan untuk persiapan diri. Sayangnya, belum ada yang menemukan cara lain! Namun tidak semuanya mendung seperti yang terlihat pada pandangan pertama. Jika Anda menghubungi situs layanan kami dengan pertanyaan ini, kami akan membuat hidup Anda lebih mudah, karena situs kami dapat menghitung integral online secara detail, dengan kecepatan sangat tinggi dan dengan jawaban yang sangat akurat. Pada intinya, integral tidak menentukan bagaimana rasio argumen mempengaruhi stabilitas sistem secara keseluruhan. Andai saja semuanya seimbang. Meskipun Anda akan mempelajari dasar-dasar topik matematika ini, layanan ini dapat menemukan integral dari integral apa pun jika integral ini dapat diselesaikan dalam fungsi dasar. Sebaliknya, untuk integral yang tidak diambil dalam fungsi dasar, dalam prakteknya tidak perlu dicari jawabannya secara analitis atau dengan kata lain dalam bentuk eksplisit. Semua perhitungan integral dilakukan untuk menentukan fungsi antiturunan dari integral tertentu. Untuk melakukan ini, pertama-tama hitung integral tak tentu menurut semua hukum matematika online. kemudian, jika perlu, substitusikan nilai integral atas dan bawah. Jika tidak perlu menentukan atau menghitung nilai numerik integral tak tentu, maka sebuah konstanta ditambahkan ke fungsi antiturunan yang dihasilkan, sehingga menentukan kelompok fungsi antiturunan. Integrasi memiliki tempat khusus dalam sains dan bidang teknik apa pun secara umum, termasuk mekanika kontinum; integrasi menggambarkan keseluruhan sistem mekanis, pergerakannya, dan banyak lagi. Dalam banyak kasus, integral yang dikompilasi menentukan hukum gerak suatu titik material. Ini adalah alat yang sangat penting dalam studi ilmu terapan. Berdasarkan hal ini, tidak ada salahnya untuk menyebutkan perhitungan skala besar untuk menentukan hukum keberadaan dan perilaku sistem mekanis. Kalkulator online untuk menyelesaikan integral di situs web adalah alat yang ampuh untuk insinyur profesional. Kami pasti menjamin hal ini kepada Anda, tetapi kami akan dapat menghitung integral Anda hanya setelah Anda memasukkan ekspresi yang benar ke dalam domain integran. Jangan takut melakukan kesalahan, semuanya bisa diperbaiki dalam hal ini! Biasanya penyelesaian integral dilakukan dengan menggunakan fungsi tabel dari buku teks atau ensiklopedia terkenal. Seperti integral tak tentu lainnya, integral ini akan dihitung menggunakan rumus standar tanpa kritik besar apa pun. Siswa tahun pertama dengan mudah dan alami memahami materi yang telah mereka pelajari dengan cepat, dan bagi mereka, menemukan integral terkadang membutuhkan waktu tidak lebih dari dua menit. Dan jika seorang siswa telah mempelajari tabel integral, maka secara umum ia dapat menentukan jawabannya di kepalanya. Memperluas fungsi dengan variabel relatif terhadap permukaan pada awalnya berarti arah vektor yang benar pada beberapa titik absis. Perilaku garis permukaan yang tidak dapat diprediksi memerlukan integral tertentu sebagai dasar sumber respons fungsi matematika. Tepi kiri bola tidak menyentuh silinder yang di dalamnya terdapat lingkaran, jika dilihat dari potongan pada bidang. Jumlah area kecil yang dibagi menjadi ratusan fungsi kontinu sepotong-sepotong merupakan integral online dari suatu fungsi tertentu. Arti mekanis dari integral terletak pada banyak masalah terapan, seperti menentukan volume benda dan menghitung massa suatu benda. Integral rangkap tiga dan ganda terlibat dalam perhitungan ini. Kami bersikeras bahwa penyelesaian integral online dilakukan hanya di bawah pengawasan guru yang berpengalaman dan melalui berbagai pemeriksaan. Kami sering ditanya tentang kinerja siswa yang tidak menghadiri perkuliahan, membolos tanpa alasan, dan bagaimana mereka dapat menemukannya integral itu sendiri. Kami menjawab bahwa siswa adalah orang-orang bebas dan cukup mampu belajar secara eksternal, mempersiapkan ujian atau ujian dalam kenyamanan rumah mereka sendiri. Dalam hitungan detik, layanan kami akan membantu siapa pun menghitung integral fungsi tertentu pada suatu variabel. Hasil yang diperoleh harus diperiksa dengan mengambil turunan dari fungsi antiturunan. Dalam hal ini, konstanta penyelesaian integral menjadi nol. Aturan ini jelas berlaku bagi semua orang. Karena operasi multiarah dapat dibenarkan, integral tak tentu sering kali direduksi menjadi membagi domain menjadi bagian-bagian kecil. Namun, beberapa siswa dan anak sekolah mengabaikan persyaratan ini. Seperti biasa, integral online dapat diselesaikan secara detail di situs layanan kami dan tidak ada batasan jumlah permintaan, semuanya gratis dan tersedia untuk semua orang. Tidak banyak situs yang memberikan jawaban langkah demi langkah dalam hitungan detik, dan yang terpenting, dengan akurasi tinggi dan dalam bentuk yang nyaman. Pada contoh terakhir, di halaman kelima pekerjaan rumah, ada satu yang menunjukkan perlunya menghitung integral langkah demi langkah. Namun kita tidak boleh lupa tentang bagaimana mungkin untuk menemukan integral menggunakan layanan yang sudah jadi, telah teruji oleh waktu dan diuji pada ribuan contoh yang diselesaikan secara online. Bagaimana integral tersebut menentukan gerak sistem ditunjukkan dengan jelas dan jelas kepada kita melalui sifat gerak fluida kental, yang dijelaskan oleh sistem persamaan ini.

Aplikasi

Sebelumnya, dengan mengetahui fungsi tertentu, dipandu oleh berbagai rumus dan aturan, kami menemukan turunannya. Turunannya memiliki banyak kegunaan: untuk kecepatan pergerakan (atau, lebih umum lagi, kecepatan proses apa pun); koefisien sudut garis singgung grafik fungsi; dengan menggunakan turunannya, Anda dapat memeriksa suatu fungsi untuk monotonisitas dan ekstrem; ini membantu memecahkan masalah optimasi.

Namun seiring dengan masalah menemukan kecepatan menurut hukum gerak yang diketahui, ada juga masalah kebalikannya - masalah memulihkan hukum gerak menurut kecepatan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini. Contoh 1.
Sebuah titik material bergerak lurus, kecepatan pergerakannya pada waktu t diberikan dengan rumus v=gt. Temukan hukum gerak.
Larutan. Misalkan s = s(t) adalah hukum gerak yang diinginkan. Diketahui s"(t) = v(t). Artinya untuk menyelesaikan soal tersebut perlu memilih fungsi s = s(t) yang turunannya sama dengan gt. Tidak sulit untuk menebaknya bahwa $s(t) = \frac(gt^ 2)(2)$.
$s"(t) = \kiri(\frac(gt^2)(2) \kanan)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt$

Jawaban: $s(t) = \frac(gt^2)(2) $

Untuk membuat soal lebih spesifik, kita perlu memperbaiki situasi awal: tunjukkan koordinat titik bergerak pada suatu titik waktu, misalnya pada t = 0. Jika, katakanlah, s(0) = s 0, maka dari persamaan s(t) = (gt 2)/2 + C kita peroleh: s(0) = 0 + C, yaitu C = s 0. Sekarang hukum gerak didefinisikan secara unik: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Dalam matematika, operasi saling invers diberi nama berbeda, diciptakan notasi khusus, misalnya: kuadrat (x 2) dan akar kuadrat ($\sqrt(x) $), sinus (sin x) dan arcsinus (arcsin x) dan sebagainya. Proses mencari turunan suatu fungsi tertentu disebut diferensiasi, dan operasi inversnya, yaitu proses mencari fungsi dari turunan tertentu, adalah integrasi.

Istilah “turunan” sendiri dapat dibenarkan “dalam istilah sehari-hari”: fungsi y = f(x) “melahirkan” fungsi baru y" = f"(x). Fungsi y = f(x) bertindak seolah-olah merupakan “induk”, tetapi matematikawan, tentu saja, tidak menyebutnya sebagai “induk” atau “produsen”; mereka mengatakan demikian, dalam kaitannya dengan fungsi y" = f"(x) , gambar primer, atau primitif.

Definisi. Fungsi y = F(x) disebut antiturunan untuk fungsi y = f(x) pada interval X jika persamaan F"(x) = f(x) berlaku untuk $x \in X$

Dalam praktiknya, interval X biasanya tidak ditentukan, tetapi tersirat (sebagai domain natural definisi fungsi).

Mari kita beri contoh.
1) Fungsi y = x 2 merupakan antiturunan dari fungsi y = 2x, karena untuk sembarang x persamaan (x 2)" = 2x benar
2) Fungsi y = x 3 merupakan antiturunan dari fungsi y = 3x 2, karena untuk sembarang x persamaan (x 3)" = 3x 2 benar
3) Fungsi y = sin(x) merupakan antiturunan dari fungsi y = cos(x), karena untuk sembarang x persamaan (sin(x))" = cos(x) benar

Saat mencari antiturunan, serta turunannya, tidak hanya rumus yang digunakan, tetapi juga beberapa aturan. Mereka berhubungan langsung dengan aturan terkait untuk menghitung turunan.

Kita tahu bahwa turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya. Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.

Aturan 1. Antiturunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah antiturunan.

Kita tahu bahwa faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.

Aturan 2. Jika F(x) merupakan antiturunan dari f(x), maka kF(x) merupakan antiturunan dari kf(x).

Teorema 1. Jika y = F(x) merupakan antiturunan dari fungsi y = f(x), maka antiturunan dari fungsi y = f(kx + m) adalah fungsi $y=\frac(1)(k)F (kx+m) $

Teorema 2. Jika y = F(x) merupakan antiturunan untuk fungsi y = f(x) pada interval X, maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiturunan tak terhingga, dan semuanya berbentuk y = F(x) + C.

Metode integrasi

Metode penggantian variabel (metode substitusi)

Metode integrasi dengan substitusi melibatkan pengenalan variabel integrasi baru (yaitu substitusi). Dalam hal ini, integral tertentu direduksi menjadi integral baru, yang bersifat tabular atau dapat direduksi menjadi integral tersebut. Tidak ada metode umum untuk memilih pemain pengganti. Kemampuan untuk menentukan substitusi dengan benar diperoleh melalui latihan.
Misalkan perlu menghitung integral $\textstyle \int F(x)dx $. Mari kita lakukan substitusi $x= \varphi(t) $ dengan $\varphi(t) $ adalah fungsi yang mempunyai turunan kontinu.
Kemudian $dx = \varphi " (t) \cdot dt $ dan berdasarkan sifat invarian dari rumus integrasi integral tak tentu, kita memperoleh rumus integrasi dengan substitusi:
$\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt $

Integrasi ekspresi bentuk $\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx $

Jika m ganjil, m > 0, maka akan lebih mudah jika dilakukan substitusi sin x = t.
Jika n ganjil, n > 0, maka akan lebih mudah dilakukan substitusi cos x = t.
Jika n dan m genap, maka lebih mudah dilakukan substitusi tg x = t.

Integrasi berdasarkan bagian

Integrasi per bagian - menerapkan rumus integrasi berikut:
$\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du $
atau:
$\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx $

Tabel integral tak tentu (antiturunan) dari beberapa fungsi

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \teks(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\teks(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \teks(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \teks(arctg) x +C $$ $$ \int \teks(ch) x dx = \teks(sh) x +C $$ $$ \int \teks(sh) x dx = \teks(ch ) x+C$$

OTOMATIS