Pemfilteran linier banyak digunakan dalam sistem transmisi informasi untuk pemrosesan sinyal, meskipun dalam banyak kasus diperlukan pemrosesan nonlinier. Hal ini terutama dijelaskan oleh kesederhanaan penerapan filter linier, yang relatif mudah untuk disintesis dan adanya teori konstruksi yang dikembangkan, yang tidak dapat dikatakan tentang filter nonlinier.

Filter saluran merupakan bagian integral dari perangkat penerima apa pun. Dengan bantuan mereka, pemrosesan sinyal sebelum dan sesudah detektor dilakukan. Menggunakan filter linier, sinyal dipisahkan menjadi sistem multi-saluran transfer. Persyaratan untuk filter ini bisa sangat berbeda tergantung pada tujuannya. Di sini kita mempertimbangkan teori optimal filtrasi linier.

Biarkan sinyal masukan penyaring linier dengan respons impuls g(t) mewakili jumlah sinyal yang ditransmisikan s(t) dan noise n(t)

z(t) = s(t) + n(t). (7.57)

Diperlukan untuk menemukan fungsi g(t)y yang meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata

dimana s(t) adalah perkiraan sinyal pada keluaran filter. Di sini kita asumsikan bahwa waktu tunda sinyal s(t) dalam filter t 0 = 0, dan nilai rata-rata diambil alih ansambel sinyal S dan noise N. Kita asumsikan bahwa s(t) dan n(t) adalah proses stasioner yang tidak berkorelasi satu sama lain dengan spektrum energi yang diketahui G s (f) dan G N (f). Dalam rumusan ini, masalah diselesaikan secara independen satu sama lain oleh akademisi A. N. Kolmogorov (1939) dan N. Wiener (1942) dan oleh karena itu filter linier yang optimal (dalam arti tertentu) disebut filter Kolmogorov-Wiener. Persyaratan untuk realisasi fisik suatu filter, seperti diketahui, bermuara pada

fakta bahwa respons impuls filter harus memenuhi kondisi g(t)=0 untuk semua t

dimana daerah integrasi γ untuk filter yang dapat direalisasikan secara fisik adalah interval (0, ∞), dan untuk filter yang tidak dapat direalisasikan - (-∞, ∞). Dapat dibuktikan bahwa kondisi perlu dan cukup untuk filtrasi linier yang optimal adalah kondisi tersebut

(7.60)

untuk semua τ dari γ.

Artinya filter harus dipilih agar error ε (t) = s (t) - S(t) tidak berkorelasi dengan sinyal masukan Z(i) sepanjang waktu di wilayah γ. Jika terdapat korelasi antara error dengan sinyal yang diterima, maka estimasi yang lebih baik dapat diperoleh pada pemrosesan selanjutnya.

Mari kita buktikan validitas kondisi (7.60). Misalkan g 1 (t) adalah respon impuls dari kondisi kepuasan filter optimal (7.60), g 2 (t) menjadi respon impuls dari filter linier lainnya. Kami menyatakan respons filter masing-masing dengan S 1 (t) dan S 2 (t). Kemudian

Karena fungsi S (t) - Ŝ 1 (t) = ε(t) memenuhi kondisi (7.60), maka

Karena itu,

Jelasnya, ekspresi ini akan menjadi minimal jika Ŝ 2 (t) = Ŝ 1 (t), yang membuktikan validitas kondisi (7.60). Arti dari kondisi ini adalah bahwa vektor acak Ṡ harus merupakan proyeksi ortogonal dari Ṡ ke subruang linier yang dihasilkan oleh vektor acak z. Mari kita nyatakan kondisi (7.60) dalam bentuk

untuk semua τ dari γ. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan (7.59)

Dalam kasus ketika sinyal S(t) dan noise n(t) tidak berkorelasi,

(7.61) mengambil bentuk

Persamaan integral dasar teori filtrasi linier disebut persamaan Wiener-Hopf. Solusinya adalah fungsi yang diperlukan g(t), yang meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata

Filter linier optimal yang ditentukan oleh (7.61) atau (7.62) berbeda dengan filter cocok yang dibahas di § 6.4. Jika tujuan utama dari filter yang dibahas di sini adalah untuk reproduksi terbaik bentuk sinyal yang tidak diketahui, maka tugas filter yang cocok adalah membentuk puncak maksimum yang mungkin dari sinyal dengan bentuk yang diketahui pada waktu pengambilan sampel terhadap kebisingan latar belakang.

Persamaan (7.62) mudah diselesaikan untuk filter yang tidak dapat direalisasikan, yaitu ketika γ=(-∞, ∞). Untuk kasus ini, dengan menerapkan transformasi Fourier ke kedua bagian (7.62), kita memperoleh domain frekuensi

G s (f) = k(f). (7.63)

Oleh karena itu koefisien transmisi filter linier optimal

atau dalam kasus yang lebih umum, ketika waktu tunda t 0 dalam filter diperhitungkan,

Kesalahannya adalah

Sangat mudah untuk melihat kesalahan itu

hanya dalam kasus ketika G S (f)G N (f) = 0, yaitu ketika spektrum sinyal dan noise tidak tumpang tindih. Dalam semua kasus lainnya, filter optimal melewati berbagai frekuensi dengan bobot lebih kecil, semakin besar rasio G N (f)/G S (f) pada frekuensi tertentu.

Dengan meningkatkan waktu tunda t0, kita bisa mendekati (7.66) dalam kasus filter yang dapat diimplementasikan. Masalahnya menjadi jauh lebih rumit ketika filter optimal k(f) diperlukan untuk diimplementasikan tanpa penundaan yang berarti. Untuk mendapatkan fungsi transfer k(f) dari filter yang diimplementasikan, gunakan solusi yang diperoleh di atas untuk γ=(-∞, ∞). Untuk tujuan ini, filter yang tidak dapat direalisasikan (7.65) didekomposisi menjadi beberapa filter dan bagian optimal yang dapat direalisasikan diisolasi darinya. Dalam kasus umum, filter nonlinier optimal berdasarkan kriteria kesalahan kuadrat rata-rata minimum. Pengecualian adalah kasus ketika sinyal dan noise bersifat Gaussian, karena filter optimalnya selalu linier.

Hasil pemfilteran optimal dapat ditingkatkan secara signifikan dengan menerapkan apa yang disebut pra-penekanan sinyal, diikuti dengan koreksi pada penerimaan. Inti dari metode pra-penekanan adalah pada sisi transmisi sinyal s(t) dilewatkan melalui filter dengan koefisien transmisi k 1 (f). Sinyal yang dimodifikasi s"(i) yang diperoleh dengan cara ini ditransmisikan melalui saluran. Filter lain k 2 (f) dihidupkan di sisi penerima. Karakteristik filter k 1 (f) dan k 2 (f) adalah dipilih untuk memastikan kesalahan kuadrat rata-rata minimum. Perhitungan menunjukkan , bahwa pra-penekanan memberikan semakin besar penguatan, semakin kecil bandwidth relatif dari tumpang tindih sinyal dan spektrum interferensi dalam pita frekuensi saluran untuk memastikan. kondisi terbaik mencocokkan sumber sinyal dengan saluran (secara umum, akan berguna untuk memastikan bahwa jumlah kepadatan spektral daya sinyal dan daya interferensi konstan dalam pita frekuensi saluran). Ini berarti bahwa pra-penekanan dapat dianggap sebagai "pengkodean baris" sinyal terus menerus untuk mengurangi kesalahan dan meningkatkan kegunaan lebar pita saluran.

Penekanan awal linier banyak digunakan di sistem modern komunikasi. Ciri khas dalam hal ini adalah sistem yang menggunakan modulasi frekuensi. Menurut (7.41), kepadatan daya derau pada keluaran demodulator FM meningkat sebanding dengan kuadrat frekuensi, sehingga komponen frekuensi atas dari pesan lebih rentan terhadap derau dibandingkan komponen frekuensi lebih rendah. Metode pre-emphasis dan koreksi selanjutnya dapat mereduksi noise sebesar tiga kali lipat ah dan dengan demikian menciptakan kondisi yang kira-kira sama untuk transmisi pesan pada frekuensi yang lebih rendah dan lebih tinggi.

Perlu dicatat bahwa sebagai hasil dari pra-penekanan, sinyal baru Dengan properti yang diperlukan. Misalnya dalam penyiaran radio dan relai radio multisaluran dan komunikasi satelit dengan modulasi frekuensi pembawa, penekanan awal yang mendekati diferensiasi digunakan. Dalam hal ini, masukan modulator frekuensi bukanlah sinyal primer b(t), seperti yang dilakukan pada FM tanpa distorsi, melainkan turunannya db/dt. Oleh karena itu, bukan frekuensi sesaat yang berubah sebanding dengan b(t), melainkan frekuensi sesaat fase awal osilasi pembawa, yaitu, bukan sinyal FM yang dihasilkan, tetapi sinyal FM. Karena spektrum kebisingan pada keluaran demodulator sinyal FM seragam (7.39), maka dalam sistem multisaluran kekebalan kebisingan yang sama dipastikan di semua saluran. saluran frekuensi, dan dalam hal siaran radio - reproduksi siaran ucapan dan musik dengan kualitas lebih tinggi) dan CF timbal balik B2x ^,k) = M (21xk).

Membatasi diri pada perkiraan linier, kita dapat memperhitungkan seluruh variasi data apriori yang disajikan dengan memilih koefisien bobot (, ):

dimana O, adalah luas titik waktu pengamatan yang dilakukan.

Mari kita pertimbangkan solusi dari masalah membangun optimal, dalam arti varians kesalahan minimum C^k = M ((xk - xk)2) algoritma linier memperkirakan x, = ^ §1k21 dari parameter yang berubah

hk. Algoritme untuk menemukan estimasi optimal menggunakan penjumlahan observasi tertimbang disebut filter Kolmogorov-Wiener, atau filter Wiener diskrit.

Setelah transformasi dasar kita memperoleh ekspresi berikut untuk varians kesalahan algoritma dengan koefisien pembobotan sewenang-wenang (8g k):

= "1к + М \ X X ёг,к ё],к ^ ^ - 2к X ёг,к ^

[Oke] e °k g e Oke

Untuk mencari koefisien pembobotan optimal (, / e O k ) yang meminimalkan varians

kesalahan estimasi, bedakan terhadap (81 k, / e O k) dan samakan turunannya dengan nol. Kami mengerti sistem berikut persamaan:

M\(X -Xk | = 0, r "e,

m ((xk - Xk)2/ ) = 0, / e Bk,

menunjukkan bahwa kesalahan estimasi optimal Bk = Xk - Xk dan setiap observasi yang digunakan (2 1, / e Ok) seharusnya tidak berkorelasi. Kondisi ini disebut prinsip ortogonalitas observasi kesalahan, atau lemma proyeksi ortogonal. Setelah menghitung ekspektasi matematis, dihasilkan sistem persamaan linear

X 8]lBr(/,]) = Bgx(/,k), geik C1)

sebagai koefisien memuat nilai CF B2(/,]) = M (212.) SP 21,22,...,2k,... dan mutual CF B2x(/,k) = M (21Xk) SP 21,22 ,...,2k,... dan SP Х1,Х2,...,Хк,... Sistem persamaan (1)

disebut persamaan Wiener-Hopf untuk waktu diskrit. Dengan mempertimbangkan (1), mudah untuk menemukan varians minimum yang dapat dicapai dari kesalahan estimasi dalam kondisi masalah yang sedang dipertimbangkan:

"1k = Xk ^ 8kB2x (Kk) .

Jika tidak jumlah besar elemen di wilayah indeks Ok, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan (1) dan menemukan koefisien bobot optimal (81к, е Ок). Namun, untuk SP non-stasioner perlu mencari (§g k, / e O k) untuk setiap langkah estimasi ke-k, yang dapat menyebabkan masalah komputasi yang signifikan bahkan untuk skalar SP X^,X2,..., Xk,... Solusi disederhanakan secara signifikan untuk SP stasioner yang diamati dengan latar belakang kebisingan tambahan. Dalam hal ini 2 k = Xk + pk,

BxX (g, k) = M (2/Xk) = M (X/Xk) = Bx (g - k), Bg (g, ]) = M (2 2]) = Bx (g - ]) +

(l t P, jika saya = ],

M (n n) = Bx (g - ]) + (g - ]), ^ (g - ]) = \". ^ ^ ) Bx (g - ]) = Bx (g), g e O.

Untuk interval pengamatan tak terhingga O: (-dari< i < от) можно воспользоваться теоремой о свертке и тогда, после 2 -преобразования, получим

H (2)(C + ^ (2)) = ^ (2)

N (2) = F (2)/(c2 + F (2))

dimana ^ (2) = E Bx (y) 2 Y, H (2) = E ^y 2 y. Untuk mencari koefisien pembobotan diperlukan

y=-dari y=-dari

Kita dapat menggunakan transformasi 2 terbalik:

8у = 2- Н (2) 2^2,

dimana C adalah lingkaran satuan pada bidang variabel kompleks, dan varians kesalahan minimum yang dapat dicapai adalah

C = C - E ^y Bx (y) = C^0.

Tugas selanjutnya adalah mencari koefisien eksponensial CF Bx (y) = c^p informasi SP. Kemudian

Mari kita pertimbangkan solusi yang tepat untuk masalah mencari koefisien filter Wiener diskrit

dari dari dari L 2

^(2) = X CP2 = Cx2(p / 2)y + Cx2;^(P2)y+ = --P -1 .

y y (1 -рг)(1 -рг)

Karakteristik bobot filter optimal

^y = ^§ H(2)2y-11 = d (a -TO2!)y

y 2pS V1 + * + 2 d (1 + p2)/(1 - P2G;

dimana a = (q(1 - p2) + (1 + p2)) /2p, dapat dicari dengan mudah, misalnya dengan menggunakan residu integran. Analisis koefisien pembobotan ^., y = 0, ± 1, ± 2, ..., menunjukkan bahwa struktur estimasi yang disintesis secara fisik tidak dapat direalisasikan, karena untuk mencari nilai optimal

Untuk memperkirakan xk = §y2y-k, kita tidak hanya perlu menggunakan pengamatan xxk sebelumnya;

21, 22, ..., 2k, tetapi juga semua pengamatan selanjutnya 2k+1, 2k 2, ... Anda dapat mencapai perkiraan perkiraan optimal dengan menyimpan sebagian pengamatan dan menimbangnya secara geser.

jendela umum ххк = Е §у-2у_к, berisi elemen 2N +1. Implementasi ini akan mengakibatkan penundaan

memperoleh perkiraan pada N interval jam, serta hilangnya efisiensi penyaringan karena hilangnya informasi yang terkandung dalam pengamatan yang dibuang. Untuk memperkirakan besarnya kerugian tersebut, Anda dapat membandingkan varian kesalahan pemfilteran pada jendela geser dengan nilai minimum yang dapat dicapai

2 2 2 d £ = С g0 = С ■ ". (4)

D2 + 2 d(1 + р2)/(1 - р2)

Filter Diskrit Optimal yang Dapat Direalisasikan

Untuk mendapatkan algoritma estimasi yang dapat diimplementasikan secara fisik, Anda dapat menggunakan metode dekorelasi pengamatan dalam waktu kontinu yang terkenal, yang dapat dirumuskan sebagai berikut. Jika masukan filter berupa rangkaian pengamatan yang tidak berkorelasi, maka karakteristik bobot dapat direpresentasikan sebagai dua komponen

8, y = 0, 1, 2, ... dan 8, y = - 1, - 2, ..., yang masing-masing memungkinkan kita memperoleh dua independen

Estimasi parameter simulasi. Hanya menyisakan satu saja, kita dapat menemukan struktur Xk = 8y2

filter optimal yang dapat diterapkan. Implementasi ide ini dimungkinkan dengan mentransformasikan observasi SP 2k = Xk + Pk, yang memiliki spektrum Г2 + Р(2) = ¥(2)¥*(2), dengan filter dekorelasi dengan fungsi transfer Ho = 1/ ¥ (2). Memang benar, setelah melewatkan observasi SP 2k = X^ + Pk melalui filter dekorelasi, kita memperoleh SP T]k dengan spektrum energi yang seragam

G2 + P (2) = (G2 + P (2)) | N o(2)|2 = ¥ (2)¥*(2) N o(2) N*(2) = 1

dan KF y) = 8K(y). Perhatikan juga bahwa dalam hal ini tidak ada kehilangan informasi tentang nilai parameter Xk, karena SP 2k = Xk + Pk yang asli pada prinsipnya dapat dipulihkan dari SP

PC menggunakan konversi terbalik.

Dengan demikian, menjadi mungkin untuk memecahkan masalah penyaringan layak optimal sesuai dengan skema yang ditunjukkan pada Gambar. 1.

Dekorrelator 771 Filter linier

Beras. 1. Estimasi optimal berdasarkan dekorelasi

Setelah mendekorelasi transformasi = ^^ 8в1 2^ perlu dicari cha-

karakteristik H^(2) dari filter linier yang diterapkan mengubah SP yang tidak berkorelasi

P, y = 0, 1, 2, ... dalam penilaian xk = X8pu T)k-y. Dalam hal ini, koefisien 8,y = 0,1,... opti-

kecil transformasi linier ditemukan dari persamaan Wiener-Hopf (2), ditulis dalam kaitannya dengan kondisi tertentu dalam bentuk

X - L = vpxH]),] = 0,1,...

Karena untuk SP n yang tidak berkorelasi, Y = 0, 1, 2, ... CF Bp(1 - y) = 8К (1 - y), sistem dipecah menjadi persamaan-persamaan tersendiri yang penyelesaiannya:

xk E 8 « 2 k -1 \= E 8 « dalam(1+y), y=0,1,...

Setelah ini, dengan menggunakan transformasi 2, Anda dapat menemukan fungsi transfer dari filter linier (Gbr. 1)

N„ (2) = X 8*2- = X X 8*1 Dalam (1 + y) 2-

dan kemudian karakteristik filter Wiener diskrit optimal yang dapat direalisasikan:

H (2) = H0(2) Hn(2).

Mari kita tunjukkan kemungkinan mensintesis filter yang dapat direalisasikan menggunakan contoh masalah yang dipertimbangkan yaitu memfilter SP Xk stasioner dengan CF Bx (y) = G2py. Untuk melakukannya, mari kita sajikan spektrum pengamatan 2k = Xk + Pk dalam bentuk dua faktor konjugat kompleks:

C" + (2) =c +c (1 -p) =a(1 - b2a(1 -b2)

^ x (1 - P2-1)(1 - P2) (1 - P2-1) (1 - P2)

dimana koefisien = рС / а2 dan

a2 = 0,5c2(1 - p2)

d+tt^+V d2+1+2 d(1+P)/(1-р2) (1-р)

ditemukan dari kondisi identitas polinomial pada pembilang kiri dan bagian yang tepat dekomposisi yang disajikan. Dengan demikian, filter pemutih memiliki karakteristik transfer tampilan selanjutnya:

0 ¥ (2) a(1 - b2_1)"

Fungsi bobot filter tersebut dapat ditemukan menggunakan integrasi:

1/ a, jika j = 0,

g9 = Ф Н 0(2) 2У_1d2 =

2П С 0 [((в - Р) / а)в 1, jika j > 1.

Untuk contoh ini

g„ = E g- B, (i + y) = E ^сУ"у = сС(Р: Р) Р, у = 0,1,...,

¿=0 ¿=0 rata-rata

Nc(2) = Cx2(p - v)/ avd(1 - p2-1)

dan karena itu

Н (2) = Н,(2) Нп(2) = (1 - в//рР, gу = (1 - в / Р)ву, у = 0, 1, 2, ... .

Ekspresi yang dihasilkan untuk fungsi transfer memungkinkan kita untuk merepresentasikan proses pemfilteran dalam bentuk relasi perulangan berikut:

(1 - dalam 2-1) x, = (1 - dalam / P) 2,

xk = vhk-1 + (1-v/ p) 2k. Dengan demikian, dimungkinkan untuk mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan dengan melakukan penggantian

penjumlahan bobot x, = g .2 ._k menjadi setara dari sudut pandang pencapaian minimum

varians kesalahan perhitungan berulang dengan jumlah operasi minimum pada masing-masing operasi langkah ke-k penilaian.

Nilai varians kesalahan

c,2 = C2 = c2 - c) = c2-,-■ 2d o o; (5)

p (1 + d) (1 + f + 4dr2/(^ p2)(1 + d)2)

untuk algoritma penyaringan yang diimplementasikan secara fisik ternyata lebih besar dari (4). Misalnya, untuk d kecil dan (1 - p) untuk filter yang tidak dapat direalisasikan cC / cC - 1 / ^D + 2d / (1 - p), dan aplikasi (5)

menghasilkan ekspresi berikut: cC / cC - 2/(1 + 1 + 2d / (1 - p)). Perbandingan rumus ini menunjukkan bahwa dengan perubahan informasi yang lambat SP (1 - p)<< д дисперсия ошибки (5) в 2 раза больше, чем для нереализуемого фильтра. Это объясняется использованием в реализуемом алгоритме вдвое меньшего числа наблюдений.

Beras. 2. Varians kesalahan dari filter yang diterapkan

Kesimpulan

Hasil utama dari karya ini adalah pemaparan lengkap tentang teori sintesis dan analisis filter linier optimal yang dapat direalisasikan dan tidak dapat direalisasikan dalam waktu diskrit. Metodologi yang disajikan dan contoh-contoh yang dipertimbangkan akan bermanfaat bagi guru, mahasiswa pascasarjana dan mahasiswa yang mempelajari teori statistik penerimaan sinyal optimal dan teori kontrol stokastik.

REFERENSI

1. Kolmogorov A. N. Interpolasi dan ekstrapolasi barisan acak stasioner // Izv. Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Ser. Matematika. - 1941. - T.5, No.1. - Hal.3-14.

2. Wiener N. Ekstrapolasi, Interpolasi dan Pemulusan Deret Waktu Stasioner. - N.Y.: MIT Press/John Wiley, 1964. - 171 hal.

3. Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Analisis statistik dan sintesis perangkat dan sistem teknik radio: buku teks untuk universitas. - M.: Radio dan Komunikasi, 2004. - 608 hal.

4. Perov A.I. Teori statistik sistem teknik radio: buku teks untuk universitas. -M. : Teknik Radio, 2003. - 400 hal.

5. Sage E. P., Mels J. Teori penilaian dan penerapannya dalam komunikasi dan manajemen / Transl. dari bahasa Inggris; diedit oleh BR Levin. - M.: Komunikasi, 1976. - 495 hal.

6. Vasiliev K. K., Sluzhivyi M. N. Pemodelan matematika sistem komunikasi: buku teks. - Ulyanovsk: UlSTU, 2010. - 170 hal.

Vasiliev Konstantin Konstantinovich, dokter ilmu-ilmu teknik, profesor, kepala Departemen Telekomunikasi di Universitas Teknik Negeri Ulyanovsk.

Volskov Dmitry Gennadievich, Kandidat Ilmu Teknik, Associate Professor Departemen Teknik Pesawat IATU UlSTU. Ia memiliki monografi, artikel ilmiah di jurnal Komisi Pengesahan Tinggi, dan alat peraga. Diterima 03/11/2016 UDC 621.391 K. K. VASILIEV DISKRIT WIENER FILTER Masalah klasik sintesis dan analisis filter Kolmogorov – Wiener dipertimbangkan. Sebuah metode untuk mensintesis filter optimal yang dapat direalisasikan dalam waktu diskrit diusulkan. Contoh pemecahan masalah sintesis dan analisis filter optimal untuk barisan acak dengan fungsi korelasi eksponensial diberikan. Kata kunci: urutan acak, varian kesalahan, fungsi korelasi, estimasi linier, filter Pendahuluan Dalam banyak kasus informasi yang berguna terkandung dalam barisan nilai x1, x2,..., xk dari suatu parameter yang bervariasi dalam waktu diskrit. Untuk mengekstrak informasi tersebut digunakan observasi z1, z2,..., zk,... yang merupakan fungsi parameter yang berguna dan gangguan. Dalam hal ini, berdasarkan observasi, perlu diberikan perkiraan terbaik, dalam arti tertentu, xˆk = xˆk (z1, z2,..., zk,...) dari nilai parameter yang berubah. Golongan ini mencakup, misalnya, masalah memperkirakan perubahan parameter sinyal dan interferensi pada radar, navigasi radio, dan komunikasi radio. Solusi untuk masalah waktu diskrit pertama kali diberikan oleh A. N. Kolmogorov. Konstruksi filter optimal untuk waktu kontinu setelah penelitian mendasar N. Wiener disajikan dalam sejumlah besar karya. Saat mensintesis filter Wiener kontinu, masalah kelayakan diselesaikan dengan cukup sederhana berdasarkan pengamatan pemutihan dan faktorisasi fungsi transfer. Pada saat yang sama, untuk waktu yang terpisah, metode sintesis filter yang dapat direalisasikan tampaknya dilupakan karena munculnya metode penyaringan Kalman dan kuasi-linear. DI DALAM pekerjaan ini Hasil sintesis dan analisis filter linier optimal yang tidak dapat direalisasikan dan direalisasikan dalam waktu diskrit disajikan. Estimasi = xˆk Estimasi dalam waktu diskrit xˆk (z1, z2,...,= zk,...) xˆk (zi, i ∈ Dk) dari perubahan parameter berdasarkan fungsi pengamatan ( ) ( zi, i ∈ Dk) dibuat pada interval waktu yang diskrit, masalah untuk memperkirakan xk xk adalah Dk. Dalam berbagai kasus, observasi yang dilakukan sebelum momen i = k dan setelah momen ini dapat digunakan. Jika domain Dk berisi momen waktu diskrit i ≤ k, maka mencari estimasi dalam bentuk xˆk = xˆk (z1, z2,..., zk) disebut pemfilteran. Menduga xˆk berdasarkan pengamatan z1, z2, ..., zk, zk +1, ..., zk + m, m ≥ 1, diperoleh sebelum dan sesudah waktu i = k, disebut interpolasi, atau pemulusan. Jika saya< k , то оценивание будущего значения xˆk xˆ= = xˆk (z1 , z2 , ... , zk −m), m ≥ 1, является экстраполяцией, или проk (z1 , z2 , ... , zi) гнозированием значения xk на основе предшествующих наблюдений. времени Васильев К. К., 2016 Вестник УлГТУ 1/2016 47 Способ получения данных об информационном параметре, как правило, известен и поэтому может быть дано и математическое описание связи наблюдений и значений параметра. Наиболее общим способом такого описания является совместная плотность распределения вероятностей w(z1 , z2 ,..., zk ,..., x1 , x2 ,..., xk ,...) = w(x1 , x2 ,..., xk ,...) w(z1 , z2 ,..., zk ,... / x1 , x2 ,..., xk ,...). При этом w(x1 , x2 ,..., xk ,...) определяет динамику изменения информационной случайной последовательности (СП) x1 , x2 ,..., xk ,... Для гауссовских СП informasi lengkap tentang dinamika usaha patungan x1, x2,..., xk,... dapat ditentukan menggunakan fungsi korelasi(CF) Bx (i, j) = M ((xi − mi)(x j − m j)), i, j = 1, 2,... Pada soal yang sedang dibahas, uraian proses perubahan parameter xi dalam waktu diskrit xi , i = 1,2,..., k, menggabungkan pro- adalah hal yang sangat penting. Pilihan yang tepat Model SP, kualitas representasi matematis dan kecukupan nyata fenomena fisik, sering kali mewakili cukup masalah yang kompleks dan selalu membutuhkan analisis yang cermat. Dalam banyak hal sistem nyata pengamatan = zi h= (xi, ni), i 1,2,... dilakukan, hanya bergantung pada nilai parameter ni saat ini, i = 1,2,... xi dan kesalahan acak ni. Untuk kesalahan independen dengan distribusi yang diketahui, distribusi gabungan difaktorkan k w(z1, z2,..., zk / x1, x2,..., xk) = ∏ w(zi / xi), dan informasi lengkap tentang metode memperoleh data i = 1 w(zi / xi), i = 1,2,... h(xi , ni), i = 1,2,... . Perhatikan bahwa dengan perubahan parameter acak, yang paling informatif tentang nilai xk, biasanya, adalah pengamatan zk = h (xk, nk) pada waktu yang sama. Kontribusi pengamatan lain terhadap perkiraan yang dihasilkan xˆk = xˆk (z1 , z2 ,..., zk ,...) harus bergantung pada sifat bilangan dan waktu dari SP x1 , x2 ,..., xk ,.. .model observasi dan karakteristik interferensi ni, i = 1,2,... . terkandung dalam atau fungsi Filter linier optimal Biarkan implementasi SP x1, x2,..., xk,... mewakili nilai parameter informasi yang berubah dalam waktu diskrit. Kita asumsikan sebelum melakukan observasi CF nilai rata-rata = mi M= X (ti) , i 1,2,... ( ) Bx (i, j) = M ((X (ti) − mi)(X ( t j) − m j)) , i, j = 1, 2,... seperti SP. Untuk mendeskripsikan interaksi zi = h (xi, ni) parameter skalar xi dan noise Gaussian yang tidak berkorelasi ni, CF Bz (i, j) = M ( zi z j) dan CF timbal balik Bzx (i, k) = M ( zi xk) diasumsikan diketahui. Membatasi diri kita pada perkiraan linier, kita dapat memperhitungkan seluruh variasi data apriori yang disajikan dengan memilih koefisien pembobotan xˆk = (g) : ∑g i∈Dk i,k i,k zi, di mana Dk adalah rentang titik waktu dari observasi yang dilakukan. Mari kita pertimbangkan solusi untuk masalah membangun optimal, dalam arti varians kesalahan minimum = σ ε2k M ((xˆk − xk) 2 ) algoritma linier untuk memperkirakan xˆk = ∑ gi ,k zi dari perubahan parameter i∈Dk xk. Algoritme untuk menemukan estimasi optimal menggunakan penjumlahan observasi tertimbang disebut filter Kolmogorov – Wiener, atau filter Wiener diskrit. 48 Buletin UlSTU 1/2016 Setelah transformasi dasar, kita memperoleh ekspresi berikut untuk varian kesalahan algoritma dengan koefisien pembobotan arbitrer      2  2 M  ∑ g i ,k zi − xk   = σ ε2k = σ xk + M  ∑   i∈Dk dimana    σ xk2 = M ( xk2 ) . i∈Dk Untuk mencari koefisien pembobotan optimal kesalahan estimasi σ ε2k , kita bedakan σ ε2k (g ) : i ,k ∑g j∈Dk i ,k  g j ,k zi z j − 2 xk ∑ g i ,k zi  , i∈Dk  ( g , i ∈ D ) meminimalkan varians pada ( g , i ∈ D ) dan menyamakan turunannya i ,k k i ,k k dengan nol. Kita peroleh sistem persamaan berikut:   M (∑ g j ,k z j − xk) zi  = 0, i ∈ Dk , j D ∈ k   atau M ((xˆk − xk) zi ) = 0, i ∈ Dk , menunjukkan bahwa kesalahan estimasi optimal ε= xˆk − xk dan setiap k observasi yang digunakan ( zi , i ∈ Dk ) pasti tidak berkorelasi. Kondisi ini disebut prinsip ortogonalitas observasi kesalahan, atau lemma proyeksi ortogonal. Setelah menghitung ekspektasi matematis, maka dihasilkan sistem persamaan linier B (i, j) ∑g = j∈Dk j ,k Bzx (i, k), i ∈ Dk z sebagai koefisien yang memuat nilai CF dari linear CF Bz (i, j) = M ( zi z j ) (1) SP z1 , z2 ,..., zk ,... dan berbanding terbalik Bzx (i, k) = M ( zi xk ) SP z1 , z2 , ..., zk ,... dan SP x1 , x2 ,..., xk ,... Sistem persamaan (1) disebut persamaan Wiener-Hopf untuk waktu diskrit. Dengan mempertimbangkan (1), mudah untuk menemukan varians kesalahan estimasi minimum yang dapat dicapai dalam kondisi masalah yang sedang dipertimbangkan: 2 σ= σ xk2 − ∑ gi ,k Bzx (i, k) . εk i∈Dk Dengan jumlah elemen yang sedikit pada daerah indeks, maka perlu dicari koefisien pembobotan yang optimal (gi,k, i ∈ Dk) (gi,k Dk, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan (1) dan, saya ∈ Dk). Namun, untuk SP non-stasioner untuk setiap langkah estimasi ke-k diperlukan, yang dapat menyebabkan masalah komputasi yang signifikan bahkan untuk SP skalar x1, x2,..., xk,... Solusinya disederhanakan secara signifikan untuk SP stasioner yang diamati terhadap latar belakang interferensi aditif Dalam hal ini z= xk + nk , k Bzx (i, k)= M ( zi xk )= M ( xi xk )= Bx (i − k), Bz (i, j)= M ( zi z j )= Bx (i − j) + 1, jika i = j, + M (ni n j)= Bx (i − j) + σ 2δ K (i − j), δ K (i − j)=  0, jika saya ≠ j. Dengan demikian, sistem persamaan (1) diubah menjadi bentuk: σ 2 gi + Vestnik UlSTU 1/2016 ∑g j∈D j Bx (i −= j) Bx (i), i ∈ D . (2) 49 Untuk interval observasi tak terhingga D: (−∞< i < ∞) можно воспользоваться теоремой о свертке и тогда, после z -преобразования, получим H (z)(σ 2 + F (z)) = F (z) или где = H (z) F (z) / (σ 2 + F (z)) , ∞ F (z) = ∑ j =−∞ Bx (j) z − j , H (z) = димо воспользоваться обратным ∞ ∑gz j =−∞ −j j . Чтобы найти весовые коэффициенты, необхо- z -преобразованием: 1 gj = H (z) z j −1dz ,  ∫ 2π i C (3) где C − единичная окружность на плоскости комплексного переменного, а минимально достижимая дисперсия ошибки ∞ σ ε2k = σ x2 − ∑ g j Bx (j) = σ 2 g0 . j =−∞ Рассмотрим точное решение задачи нахождения коэффициентов дискретного фильтра Винера для экспоненциальной КФ F (z) = ∞ Bx (j) = σ x2 ρ j информационной СП. Тогда ∞ ∞ j=0 j =1 2 σ x2 ρ z − j σ x2 ∑ (ρ / z) j + σ x= = ∑ ∑ (ρ z) j + σ x2 j j = −∞ Весовая характеристика оптимального фильтра gj = где 1 H (z) z j −1dz =  ∫ 2π i C q 1 + q 2 + 2q (1 + ρ 2) / (1 − ρ 2) α= (q (1 − ρ) + (1 + ρ)) / 2 ρ , 2 2 1− ρ2 . (1 − ρ z)(1 − ρ z −1) (α − α 2 −1) j , легко находится, например, с помощью вычетов подынте- гральной функции. Анализ весовых коэффициентов g j , j = 0, ± 1, ± 2, ... , показывает, что синте- зированная структура оценивания является физически нереализуемой, так как для нахождения оптимальных оценок xˆk = ∞ ∑gz j =−∞ j j −k необходимо использовать не только предшествующие xˆk наблю- дения z1 , z2 , ..., zk , но и все последующие наблюдения zk +1 , zk + 2 , ... Можно реализовать приближение к оптимальной оценке с помощью запоминания части наблюдений и взвешивания в скользящем окне xˆk = N ∑gz j =− N j j −k , содержащем 2N + 1 элемент. Такая реализация приведёт к задержке получения оценок на N тактовых интервалах, а также к потерям в эффективности фильтрации за счёт потери информации, содержащихся в отброшенных наблюдениях. Для оценки величины таких потерь можно сравнить дисперсию ошибки фильтрации в скользящем окне с минимально достижимой величиной 2 g0 σ 2 = σ ε2 σ= q 1 + q 2 + 2q (1 + ρ 2) / (1 − ρ 2) . (4) Оптимальный реализуемый дискретный фильтр Для получения физически реализуемого алгоритма оценивания можно воспользоваться известным методом декорреляции наблюдений в непрерывном времени , который можно сформулировать следующим образом. Если бы на вход фильтра поступала последовательность некоррелированных наблюдений, то весовую характеристику можно было бы представить в виде двух компонент 50 Вестник УлГТУ 1/2016 g j , j = 0, 1, 2, ... и g j , j =−1, − 2, ... , каждая их которых позволяла бы получить две незави∞ симые оценки параметра. Оставляя только одну из них, можно найти структуру xˆk = ∑ g j z j −k оп- j =0 тимального реализуемого фильтра. Воплощение этой идеи возможно с помощью преобразования СП z= xk + nk , имеющих спектр σ 2 + F (z) = Ψ (z)Ψ∗* (z) , декоррелирующим фильтk ром с передаточной функцией H= 1 / Ψ (z) . Действительно, после прохождения СП наблюдений 0 z= xk + nk через декоррелирующий фильтр получим СП ηk с равномерным энергетическим k наблюдений спектром σ 2 + F (z) = (σ 2 + F (z)) H 0 (z) = Ψ (z)Ψ * (z) H 0 (z) H 0* (z) = 1 Bη (j) = δ K (j). Заметим также, что при этом не происходит потери информации о значении 2 и КФ параметра ηk xk , поскольку исходная СП z= xk + nk может быть в принципе восстановлена из СП k с помощью обратного преобразования. Таким образом, появляется возможность решения задачи оптимальной реализуемой фильтрации по схеме, представленной на рис. 1. Рис. 1. Оптимальное оценивание на основе декорреляции ∞ После декоррелирующего преобразования η j = ∑ g вi z j −i необходимо найти передаточную ха- i =0 рактеристику Hη (z) реализуемого линейного фильтра, преобразующего некоррелированную СП η j , j = 0, 1, 2, ... ∞ xˆk = ∑ gη j ηk − j . в оценку При этом коэффициенты j =0 gη j , j = 0,1,... опти- мального линейного преобразования находятся из уравнений Винера-Хопфа (2), записанных применительно к заданным условиям в виде ∞ ∑ gη i =0 i Bη (i= − j) Bη x (= j), j 0,1,... Поскольку для некоррелированной СП η j , j = 0, 1, 2, ... КФ Bη (i − j)= δ K (i − j), то систе- ма распадается на отдельные уравнения, являющиеся её решениями:  ∞  ∞ gη j = Bη x (j) = M { xkη k − j } = M  xk ∑ g вi zk − j −i  = ∑ g вi Bx (i + j) , j = 0,1,... =  i 0=  i 0 После этого с помощью фильтра (рис. 1) z -преобразования можно найти передаточную функцию линейного = Hη (z) а затем H (z) = и характеристику H 0 (z) Hη (z) . ∞ = gη j z − j ∑ =j 0 ∞ ∞ ∑ ∑g =j 0=i 0 оптимального вi Bx (i + j)z − j , реализуемого дискретного фильтра Винера: Покажем возможности синтеза реализуемого фильтра на примере рассмотренной задачи фильтрации стационарной СП z= xk + nk k j xk с КФ Bx (j) = σ x2 ρ . Для этого представим спектр наблюдений в виде двух комплексно-сопряжённых сомножителей: Вестник УлГТУ 1/2016 51 (1 − ρ 2) α (1 − β z −1) α (1 − β z) σ + F (z) = σ +σ = , (1 − ρ z −1)(1 − ρ z) (1 − ρ z −1) (1 − ρ z) 2 2 где коэффициенты β = ρσ / α и (1 + ρ 2) σ x2 2 2 2  2 2 2  , α 0,5σ (1 − ρ)  q + = + q + 1 + 2q (1 + ρ) / (1 − ρ)= , q 2 2 (1) ρ σ −   2 2 2 x находятся из условия тождественности полиномов в числителях левой и правой частей представленного разложения. Таким образом, передаточная характеристика выбеливающего фильтра имеет следующий вид: 1 (1 − ρ z −1) H0 = . = Ψ (z) α (1 − β z −1) Весовая функция такого фильтра может быть найдена с помощью интегрирования: 1 / α , если j = 0,  1 j −1 = H (z) z dz  0 j −1 ∫ 2π i  ((β − ρ) / α) β , если j ≥ 1. C = g вj Для рассматриваемого примера σ x2 (ρ − β) j gη j ∑ g вi Bx (= i + j) ∑ g вiσ= ρ ρ , j 0,1,..., = = αβ q =i 0=i 0 Hη (z) = σ x2 (ρ − β) / αβ q(1 − ρ z −1) ∞ ∞ 2 x i+ j , и поэтому (1 − β / ρ) H (z) = H 0 (z) Hη (z) = , gj = (1 − β / ρ) β j , j = 0, 1, 2, ... . −1 (1 − β z) Полученное выражение для передаточной функции позволяет представить процесс фильтрации в виде следующего рекуррентного соотношения: (1 − β z −1) xˆk = (1 − β / ρ) zk или β xˆk −1 + (1 − β / ρ) zk . xˆ= k Таким образом, появляется возможность значительно сократить объём вычислений за счёт замены ∞ весового суммирования xˆk = ∑ g j z j −k на эквивалентные с точки зрения достижения минимальной j =0 дисперсии ошибки рекуррентные вычисления с минимальным числом операций на каждом k-м шаге оценивания. Величина дисперсии ошибки σ ε2 = σ 2 g 0 = σ 2 (1 − β 2q)= σ2 ρ (1 + q) 1 + 1 + 4q ρ 2 / (1 − ρ 2)(1 + q) 2 () (5) для физически реализуемых алгоритмов фильтрации оказывается больше, чем (4). Например, при малых q и (1 − ρ) для нереализуемого фильтра σ ε2 / σ x2  1 / 1 + 2q / (1 − ρ) , а применение (5) σ ε2 / σ x2  2 / (1 + 1 + 2q / (1 − ρ)) . Сравнение этих формул показывает, что при медленном изменении информационной СП (1 − ρ) << q дисперсия ошиб- приводит к следующему выражению: ки (5) в 2 раза больше, чем для нереализуемого фильтра. Это объясняется использованием в реализуемом алгоритме вдвое меньшего числа наблюдений. 52 Вестник УлГТУ 1/2016 Рис. 2. Дисперсия ошибки реализуемого фильтра Заключение Основным результатом работы является завершенное изложение теории синтеза и анализа реализуемого и нереализуемого оптимального линейного фильтра в дискретном времени. Представленная методика и рассмотренные примеры будут полезны преподавателям, аспирантам и студентам, изучающим статистическую теорию оптимального приёма сигналов и теорию стохастического управления. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. – 1941. − Т. 5, №1. − С. 3−14. 2. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. – N. Y. : MIT Press/John Wiley, 1964. − 171 p. 3. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: учебное пособие для вузов. – М. : Радио и связь, 2004. – 608 с. 4. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем: учебное пособие для вузов. – М. : Радиотехника, 2003. – 400 с. 5. Сейдж Э. П., Мелс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении / Пер. с англ.; под ред. Б. Р. Левина. – М. : Связь, 1976. – 495 с. 6. Васильев К. К., Служивый М. Н. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 170 с. Васильев Константин Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Телекоммуникации» УлГТУ. Поступила 14.03.2016 г. Вестник УлГТУ 1/2016 53

Jika kita berasumsi bahwa kriteria optimalitas ditentukan oleh fungsi kuadrat dari selisih antara nilai yang diinginkan dan keluaran filter, dan filter tersebut linier dan dijelaskan oleh persamaan konvolusi, maka kita sampai pada masalah menentukan Kolmogorov yang optimal. -Filter Wiener. Solusi untuk masalah ini adalah dengan meminimalkan fungsionalitas

Pendekatan analitis yang menggunakan kalkulus variasi dan teori korelasi menghasilkan persamaan tipe Wiener-Hopf atau masalah nilai batas ekuivalen yang diselesaikan dengan faktorisasi. Kekompakan komparatif dari hasil akhir, yang menentukan respon impuls atau fungsi transfer yang sesuai dari filter optimal, menciptakan ilusi kesederhanaan dalam menghitung karakteristik optimal ini. Faktanya, hal ini jauh dari kasusnya. Sejumlah besar perhitungan dilakukan untuk menentukan fungsi korelasi dan kepadatan spektral yang sesuai untuk implementasinya. Untuk beberapa alasan, yang terakhir ini selalu dianggap diberikan, dan, sebagai suatu peraturan, dalam bentuk yang agak sederhana. Apakah mungkin untuk melewati tahap ini dan menentukan karakteristik filter yang optimal langsung dari implementasinya? Ternyata hal ini mungkin terjadi jika Anda menggunakan pendekatan adaptif.

Kita akan mencari respon impuls optimal dalam bentuk . Substitusikan ke (6.32), kita peroleh

dimana, jelasnya,

(6.34)

Sekarang Anda dapat melakukan minimalisasi dengan . Dalam hal ini, kita memperoleh sistem persamaan linier untuk , yang koefisien dan ruas kanannya dinyatakan melalui fungsi korelasi saat ini. Solusi kontinu dari sistem persamaan ini menentukan nilai optimal dari waktu ke waktu, dan oleh karena itu

(6.35)

Penerapan algoritma adaptasi, mis.

(6.36)

memungkinkan Anda menyederhanakan perangkat adaptasi secara signifikan. Dengan cara yang sama, kita dapat mempertimbangkan dari perspektif adaptasi pendekatan yang sangat menarik untuk memecahkan masalah serupa, yang berhasil dikembangkan oleh R. Kalman.