Metode dasar integrasi. Kalkulator online Menghitung integral tak tentu (antiturunan)
Menemukan integral tak tentu adalah masalah yang sangat umum dalam matematika tingkat tinggi dan cabang ilmu teknis lainnya. Bahkan masalah fisika yang paling sederhana pun tidak dapat diselesaikan tanpa menghitung beberapa integral sederhana. Oleh karena itu, sejak usia sekolah kita diajari teknik dan metode penyelesaian integral; banyak tabel yang berisi integral fungsi paling sederhana diberikan. Namun, seiring berjalannya waktu, semua ini dilupakan dengan aman, entah kita tidak punya cukup waktu untuk menghitung atau kita membutuhkannya mencari penyelesaian integral tak tentu dari sangat fungsi yang kompleks. Untuk mengatasi masalah ini, layanan kami sangat diperlukan bagi Anda, memungkinkan Anda menemukan integral tak tentu secara online secara akurat.
Selesaikan integral tak tentu
Layanan online di situs web memungkinkan Anda menemukan menyelesaikan integral secara online cepat, gratis dan berkualitas tinggi. Anda dapat mengganti pencarian di tabel integral yang diinginkan dengan layanan kami, dengan memasukkan dengan cepat fungsi yang diinginkan, Anda akan menerima solusi integral tak tentu dalam versi tabel. Tidak semua situs matematika mampu menghitung fungsi integral tak tentu secara online dengan cepat dan efisien, terutama jika Anda perlu mencarinya integral tak tentu dari fungsi kompleks atau fungsi yang tidak termasuk dalam mata kuliah umum matematika tingkat tinggi. Situs web situs web akan membantu menyelesaikan integral secara online dan mengatasi tugas itu. Dengan menggunakan solusi integral online di situs web, Anda akan selalu mendapatkan jawaban yang tepat.
Bahkan jika Anda ingin menghitung sendiri integralnya, berkat layanan kami akan mudah bagi Anda untuk memeriksa jawaban Anda, menemukan kesalahan atau kesalahan ketik, atau memastikan tugas diselesaikan dengan sempurna. Jika Anda memecahkan suatu masalah dan Anda perlu menghitung integral tak tentu sebagai tindakan tambahan, lalu mengapa membuang waktu untuk tindakan yang mungkin sudah Anda lakukan ribuan kali? Selain itu, perhitungan tambahan integral mungkin menjadi penyebab kesalahan ketik atau kesalahan kecil, yang selanjutnya menyebabkan jawaban salah. Cukup gunakan layanan kami dan temukan integral tak tentu secara online tanpa usaha apa pun. Untuk masalah praktis dalam menemukan integral fungsi on line server ini sangat berguna. Anda harus memasukkan fungsi yang diberikan, dapatkan solusi daring integral tak tentu dan bandingkan jawabannya dengan solusi Anda.
Suatu fungsi F(x) yang terdiferensiasi dalam interval tertentu X disebut antiturunan dari fungsi tersebut f(x), atau integral dari f(x), jika untuk setiap x ∈X persamaan berikut berlaku:
F " (x) = f(x). (8.1)
Menemukan semua antiturunan untuk suatu fungsi disebut nya integrasi. Fungsi integral tak tentu f(x) pada interval tertentu X adalah himpunan semua fungsi antiturunan untuk fungsi f(x); penamaan -
Jika F(x) merupakan antiturunan dari fungsi f(x), maka ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
di mana C adalah konstanta sembarang.
Tabel integral
Langsung dari definisinya kita memperoleh sifat-sifat utama integral tak tentu dan daftar integral tabel:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=konstan)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Daftar integral tabel
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctan x + C
8. = busursin x + C
10. = - ctg x + C
Penggantian variabel
Untuk mengintegrasikan banyak fungsi, gunakan metode penggantian variabel atau pergantian pemain, memungkinkan Anda mereduksi integral menjadi bentuk tabel.
Jika fungsi f(z) kontinu pada [α,β], fungsi z =g(x) mempunyai turunan kontinu dan α ≤ g(x) ≤ β, maka
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
Selain itu, setelah integrasi pada ruas kanan, harus dilakukan substitusi z=g(x).
Untuk membuktikannya cukup dengan menuliskan integral aslinya dalam bentuk:
∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Misalnya:
Metode integrasi berdasarkan bagian
Misalkan u = f(x) dan v = g(x) adalah fungsi yang mempunyai kontinuitas. Kemudian, menurut pekerjaannya,
d(uv))= udv + vdu atau udv = d(uv) - vdu.
Untuk ekspresi d(uv), antiturunannya jelas adalah uv, sehingga rumusnya berlaku:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Rumus ini mengungkapkan aturannya integrasi berdasarkan bagian. Ini mengarahkan integrasi ekspresi udv=uv"dx ke integrasi ekspresi vdu=vu"dx.
Misalnya, Anda ingin mencari ∫xcosx dx. Misalkan u = x, dv = cosxdx, jadi du=dx, v=sinx. Kemudian
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.
Aturan integrasi bagian memiliki cakupan yang lebih terbatas dibandingkan substitusi variabel. Tapi ada seluruh kelas integral, misalnya,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax dan lain-lain, yang dihitung secara tepat menggunakan integrasi per bagian.
Integral pasti
Konsep integral tertentu diperkenalkan sebagai berikut. Misalkan suatu fungsi f(x) terdefinisi pada suatu interval. Mari kita bagi segmen [a,b] menjadi N bagian demi poin a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x saya =xi - x saya-1. Jumlah dari bentuk f(ξ i)Δ x i disebut jumlah integral, dan limitnya di λ = maxΔx i → 0, jika ada dan berhingga, disebut integral tertentu fungsi f(x) dari A ke B dan ditunjuk:
F(ξ saya)Δx saya (8.5).
Fungsi f(x) dalam hal ini disebut dapat diintegrasikan pada interval tersebut, bilangan a dan b dipanggil batas bawah dan batas atas integral.
Sifat-sifat berikut ini berlaku untuk integral tertentu:
4), (k = konstanta, k∈R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Properti terakhir disebut teorema nilai rata-rata.
Misalkan f(x) kontinu pada . Kemudian pada ruas tersebut terdapat integral tak tentu
f(x)dx = F(x) + C
dan berlangsung Rumus Newton-Leibniz, menghubungkan integral tertentu dengan integral tak tentu:
F(b) - F(a). (8.6)
Interpretasi geometri: integral tentu adalah luas trapesium lengkung yang dibatasi dari atas oleh kurva y=f(x), garis lurus x = a dan x = b dan ruas sumbunya Sapi.
Integral tak wajar
Integral dengan limit tak terhingga dan integral fungsi terputus-putus (tak terbatas) disebut bukan milikmu sendiri. Integral tak wajar jenis pertama - ini adalah integral pada interval tak terhingga, yang didefinisikan sebagai berikut:
(8.7)
Jika limit ini ada dan berhingga, maka disebut integral tak wajar konvergen dari f(x) pada interval [a,+ ∞), dan fungsi f(x) dipanggil dapat diintegrasikan dalam interval tak terhingga[a,+ ∞). Jika tidak maka dikatakan integral tidak ada atau menyimpang.
Integral tak wajar pada interval (-∞,b] dan (-∞, + ∞) didefinisikan dengan cara yang sama:
Mari kita definisikan konsep integral dari fungsi tak terbatas. Jika f(x) kontinu untuk semua nilai X segmen , kecuali titik c, di mana f(x) mempunyai diskontinuitas tak terhingga integral tak wajar jenis kedua f(x) mulai dari a sampai b jumlahnya disebut:
jika batasan ini ada dan terbatas. Penamaan:
Contoh perhitungan integral
Contoh 3.30. Hitung ∫dx/(x+2).
Larutan. Misalkan t = x+2, maka dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.
Contoh 3.31. Temukan ∫ tgxdx.
Larutan.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Misalkan t=cosx, maka ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.
Contoh3.32 . Carilah ∫dx/sinxLarutan.
Contoh3.33. Menemukan .
Larutan. = .
Contoh3.34 . Temukan ∫arctgxdx.
Larutan. Mari berintegrasi per bagian. Mari kita nyatakan u=arctgx, dv=dx. Maka du = dx/(x 2 +1), v=x, sehingga ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; Karena
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
Contoh3.35 . Hitung ∫lnxdx.
Larutan. Menerapkan rumus integrasi per bagian, kita memperoleh:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Maka ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.
Contoh3.36 . Hitung ∫e x sinxdx.
Larutan. Misalkan u = e x, dv = sinxdx, maka du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Kita juga mengintegrasikan integral ∫e x cosxdx per bagian: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Kami memiliki:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Kita memperoleh relasi ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, yang mana 2∫e x sinx dx = - ex cosx + e x sinx + C.
Contoh 3.37. Hitung J = ∫cos(lnx)dx/x.
Larutan. Karena dx/x = dlnx, maka J= ∫cos(lnx)d(lnx). Mengganti lnx dengan t, kita mendapatkan tabel integral J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.
Contoh 3.38 . Hitung J = .
Larutan. Mengingat = d(lnx), kita melakukan substitusi lnx = t. Maka J = .
Contoh 3.39 . Hitung integral J = .
Larutan. Kami memiliki: . Oleh karena itu =
=
=.
dimasukkan seperti ini: sqrt(tan(x/2)).
Dan jika di jendela hasil Anda mengklik Tampilkan langkah di pojok kanan atas, Anda akan mendapatkan solusi detail.
Sebelumnya, dengan mempertimbangkan fungsi tertentu, dipandu oleh berbagai rumus dan aturan, kami menemukan turunannya. Turunannya memiliki banyak kegunaan: untuk kecepatan pergerakan (atau, lebih umum lagi, kecepatan proses apa pun); koefisien sudut garis singgung grafik fungsi; dengan menggunakan turunannya, Anda dapat memeriksa fungsi monotonisitas dan ekstrem; ini membantu memecahkan masalah optimasi.
Namun seiring dengan masalah menemukan kecepatan menurut hukum gerak yang diketahui, ada juga masalah kebalikannya - masalah memulihkan hukum gerak menurut kecepatan yang diketahui. Mari kita pertimbangkan salah satu masalah ini. Contoh 1.
Sebuah titik material bergerak lurus, kecepatan pergerakannya pada waktu t diberikan dengan rumus v=gt. Temukan hukum gerak.
Larutan. Misalkan s = s(t) adalah hukum gerak yang diinginkan. Diketahui s"(t) = v(t). Artinya untuk menyelesaikan soal tersebut perlu memilih fungsi s = s(t) yang turunannya sama dengan gt. Tidak sulit untuk menebaknya bahwa \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \kiri(\frac(gt^2)(2) \kanan)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Jawaban: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Untuk membuat soal lebih spesifik, kita perlu memperbaiki situasi awal: tunjukkan koordinat titik bergerak pada suatu titik waktu, misalnya pada t = 0. Jika, katakanlah, s(0) = s 0, maka dari persamaan s(t) = (gt 2)/2 + C kita peroleh: s(0) = 0 + C, yaitu C = s 0. Sekarang hukum gerak didefinisikan secara unik: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Dalam matematika, operasi saling invers diberi nama berbeda, diciptakan notasi khusus, misalnya: kuadrat (x 2) dan akar kuadrat (\(\sqrt(x)\)), sinus (sin x) dan arcsinus (arcsin x) dan sebagainya. Proses mencari turunan suatu fungsi tertentu disebut diferensiasi, dan operasi inversnya, yaitu proses mencari fungsi dari turunan tertentu, adalah integrasi.
Istilah “turunan” sendiri dapat dibenarkan “dalam istilah sehari-hari”: fungsi y = f(x) “melahirkan” fungsi baru y" = f"(x). Fungsi y = f(x) bertindak seolah-olah ia adalah “induk”, tetapi ahli matematika, tentu saja, tidak menyebutnya sebagai “induk” atau “produsen”; mereka mengatakan demikian, dalam kaitannya dengan fungsi y" = f"(x) , gambar primer, atau primitif.
Definisi. Fungsi y = F(x) disebut antiturunan untuk fungsi y = f(x) pada interval X jika persamaan F"(x) = f(x) berlaku untuk \(x \in X\)
Dalam praktiknya, interval X biasanya tidak ditentukan, tetapi tersirat (sebagai domain natural definisi fungsi).
Mari kita beri contoh.
1) Fungsi y = x 2 merupakan antiturunan dari fungsi y = 2x, karena untuk sembarang x persamaan (x 2)" = 2x benar
2) Fungsi y = x 3 merupakan antiturunan dari fungsi y = 3x 2, karena untuk sembarang x persamaan (x 3)" = 3x 2 benar
3) Fungsi y = sin(x) merupakan antiturunan dari fungsi y = cos(x), karena untuk sembarang x persamaan (sin(x))" = cos(x) benar
Saat mencari antiturunan, serta turunannya, tidak hanya rumus yang digunakan, tetapi juga beberapa aturan. Mereka berhubungan langsung dengan aturan terkait untuk menghitung turunan.
Kita tahu bahwa turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya. Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.
Aturan 1. Antiturunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah antiturunan.
Kita tahu bahwa faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Aturan ini menghasilkan aturan yang sesuai untuk menemukan antiturunan.
Aturan 2. Jika F(x) merupakan antiturunan dari f(x), maka kF(x) merupakan antiturunan dari kf(x).
Teorema 1. Jika y = F(x) merupakan antiturunan dari fungsi y = f(x), maka antiturunan dari fungsi y = f(kx + m) adalah fungsi \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)
Teorema 2. Jika y = F(x) merupakan antiturunan untuk fungsi y = f(x) pada interval X, maka fungsi y = f(x) mempunyai banyak antiturunan tak terhingga, dan semuanya berbentuk y = F(x) + C.
Metode integrasi
Metode penggantian variabel (metode substitusi)
Metode integrasi dengan substitusi melibatkan pengenalan variabel integrasi baru (yaitu substitusi). Dalam hal ini, integral tertentu direduksi menjadi integral baru, yang bersifat tabular atau dapat direduksi menjadi integral tersebut. Tidak ada metode umum untuk memilih pemain pengganti. Kemampuan untuk menentukan substitusi dengan benar diperoleh melalui latihan.
Misalkan perlu menghitung integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Mari kita lakukan substitusi \(x= \varphi(t) \) dengan \(\varphi(t) \) adalah fungsi yang mempunyai turunan kontinu.
Kemudian \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) dan berdasarkan sifat invarian dari rumus integrasi integral tak tentu, kita memperoleh rumus integrasi dengan substitusi:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Integrasi ekspresi bentuk \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Jika m ganjil, m > 0, maka akan lebih mudah jika dilakukan substitusi sin x = t.
Jika n ganjil, n > 0, maka akan lebih mudah dilakukan substitusi cos x = t.
Jika n dan m genap, maka lebih mudah dilakukan substitusi tg x = t.
Integrasi berdasarkan bagian
Integrasi per bagian - menerapkan rumus integrasi berikut:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
atau:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)