Dengan menggunakan karakteristik spektral, komposisi internal (spektrum) sinyal diperkirakan. Untuk tujuan ini sinyalnya x(t) direpresentasikan dalam bentuk deret Fourier yang digeneralisasi, memperluasnya sesuai dengan sistem fungsi dasar T k(t)

Di mana S ke - koefisien konstan yang mencerminkan kontribusi fungsi Х^(?) terhadap pembentukan nilai sinyal selama periode waktu yang dipertimbangkan.

Kemungkinan menghadirkan sinyal yang kompleks x(t) dalam bentuk jumlah sinyal sederhana "RDO ternyata sangat penting untuk sistem dinamis linier. Dalam sistem seperti itu, prinsip superposisi, yaitu reaksi mereka terhadap jumlah pengaruh (sinyal) sama dengan jumlah reaksi terhadap masing-masing pengaruh secara terpisah. Oleh karena itu, dengan mengetahui respons sistem linier terhadap sinyal sederhana, dengan menjumlahkan hasilnya, dimungkinkan untuk menentukan responsnya terhadap sinyal kompleks lainnya.

Memilih fungsi k(t) tunduk pada persyaratan akurasi maksimum perkiraan sinyal x(t) deret (7.21) dengan jumlah suku minimum dalam deret tersebut dan, jika mungkin, mengurangi kesulitan komputasi yang timbul saat menentukan koefisien deret tersebut S k.

Fungsi trigonometri nyata paling banyak digunakan sebagai fungsi basis.

dan fungsi eksponensial yang kompleks

Analisis spektral sinyal klasik didasarkan pada mereka. Pada saat yang sama, dimungkinkan untuk menggunakan sistem fungsi basis lainnya (fungsi Taylor, Walsh, Laguerre, Hermite, Legendre, Chebyshev, Kotelnikov, dll. 121), yang dalam beberapa kasus memungkinkan, dengan mempertimbangkan kekhususan fungsi basis. fungsi perkiraan x(t), kurangi jumlah suku deret (7.21) sambil mempertahankan kesalahan perkiraan yang diberikan.

Dalam beberapa tahun terakhir, sistem fungsi basis baru yang sangat menjanjikan telah muncul, yang disebut gelombang kecil. Tidak seperti fungsi harmonik, fungsi ini mampu beradaptasi dengan fitur lokal dari sinyal yang mendekat dengan mengubah bentuk dan propertinya. Akibatnya, menjadi mungkin untuk merepresentasikan sinyal kompleks (termasuk sinyal dengan lompatan dan diskontinuitas lokal) dengan kumpulan wavelet dari satu jenis atau lainnya.

Saat menggunakan fungsi basis trigonometri (7.22), deret (7.21) berbentuk deret Fourier trigonometri klasik

dimana Q = 2п/Т - frekuensi harmonik fundamental rangkaian (Г - periode sinyal); k = 1, 2, 3,... - bilangan bulat; ak, bk - bilangan real (koefisien Fourier), dihitung menggunakan rumus

Dalam rumus ini, seperti sebelumnya (lihat (7.20)), t 0 - bilangan sembarang yang dapat dipilih karena alasan kemudahan dalam menghitung integral (7.25), karena nilai integral ini bergantung pada besarannya t 0 tidak bergantung; xT(t) - pulsa sinyal dasar (lihat Gambar 7.3, V).

Koefisien sebuah 0 menentukan nilai rata-rata ganda (per periode) dari sinyal, koefisien yang tersisa ak > bk (k= 1, 2, 3, ...) - kontribusi Ke harmonik deret Fourier (7.24) dalam pembentukan nilai sinyal sesaat X(?).

Deret Fourier trigonometri (7.24) dapat ditulis dalam dua bentuk lain: dalam bentuk muai sinus

dan dalam bentuk ekspansi kosinus

Di mana L 0 /2 = dan 0 /2 - komponen sinyal yang konstan; Dan - amplitudo k-i harmonik deret tersebut, dihitung dengan rumus

Fase awal harmonik ini dihitung dari relasinya

Himpunan amplitudo komponen harmonik dari sinyal periodik (A sampai )°? =( ditelepon spektrum amplitudo sinyal ini. Himpunan fase awal komponen-komponen ini (f/^)^ =1 - spektrum fase sinyal.

Dengan menggunakan fungsi Dirac 5 8(?), kedua spektrum dapat direpresentasikan fungsi kisi frekuensi

t.s. amplitudo dan spektrum fase sinyal periodik adalah terpisah spektrum. Hal ini membedakan sinyal periodik dari sinyal lain yang memiliki spektrum kontinu.

Jadi, sinyal periodik dapat direpresentasikan sebagai jumlah harmonik (7.24). Dalam hal ini, frekuensi setiap komponen harmonik deret Fourier adalah kelipatan frekuensi harmonik fundamental?2, bergantung pada periode sinyal T.

Semakin banyak harmoniknya, semakin kecil kesalahan dalam memperkirakan fungsi tersebut x(t) jumlah terbatas dari deret Fourier (7.24). Pengecualiannya adalah titik diskontinuitas fungsi tersebut x(saya). Di sekitar titik-titik tersebut disebut Fenomena Gibbs|2|. Menurut fenomena ini, di sekitar titik diskontinuitas, jumlah deret Fourier yang terbatas

membentuk "ekor" yang berosilasi, yang tingginya tidak berkurang seiring dengan bertambahnya jumlah harmonik deret Fourier yang diperhitungkan N- itu kira-kira 9% dari nilai lompatan fungsi x(t) pada titik puncaknya.

Untuk menghitung amplitudo dan fase awal harmonik & dari sinyal periodik, alih-alih menggunakan rumus (7.28) dan (7.29), Anda dapat menggunakan rumus

Di mana Xt = Xt (p) = L(x T (t)) indeks T variabel X - Gambar Laplace dari pulsa sinyal dasar, ditentukan dengan rumus (lihat Lampiran 2)

Saya - satuan imajiner; & = 0,1,2,... adalah bilangan bulat positif. Penggunaan rumus ini menghilangkan kebutuhan untuk menghitung integral (7.25), yang sangat menyederhanakan perhitungan. Mari kita tunjukkan contoh perhitungan tersebut.

Contoh 7.1

Tentukan spektrum amplitudo sinyal periodik Larutan

Pada Gambar. 7.3, A, grafik sinyal tersebut ditampilkan. Dapat dilihat bahwa sinyal mempunyai periode T= saya. Akibatnya, frekuensi harmonik fundamental dari deret Fourier yang bersesuaian (7.24) adalah sama dengan Q = 2p/T = 2 detik -1 . Memukau t 0 = 0, x T (t) = dosa? (untuk 0 ton

Beras. 73.

A - bentuk gelombang; B - spektrum amplitudo sinyal

Karena itu, A 0 /2 = 2/p, A k= 4/saya(4& 2 - 1), sekolah= aku, dimana k= 1.2, 3, mis. perluasan fungsi |sin(?)| dalam deret Fourier trigonometri memiliki bentuk

Catatan: di sini diterima f/, = l (dan ns kamuk = 0) karena penggunaan tanda minus sebelum jumlah harmonik deret tersebut.

Pada Gambar. 7.3, B spektrum amplitudo sinyal yang dimaksud ditampilkan. Nilai amplitudo harmonik ke-? dari rangkaian tersebut A sampai diwakili oleh segmen vertikal dengan panjang yang sesuai, yang pada dasarnya ditunjukkan bilangan harmonik.

Perlu diingat bahwa amplitudo A sampai beberapa harmonik deret Fourier mungkin sama dengan nol. Selain itu, penurunan amplitudo harmonisa secara monotonik seiring bertambahnya bilangan harmonik adalah opsional, seperti yang terjadi pada Gambar. 7.3, B.

Namun, dalam semua kasus, kondisi lim harus dipenuhi A sampai= 0, dihasilkan dari

menguji konvergensi deret Fourier.

Mari kita selesaikan soal menggunakan rumus (7.32). Untuk melakukan ini, pertama-tama kita temukan gambar Laplace dari pulsa dasar sinyal xT(t)

Mengganti di sini p = ikQ = 2ik(Di mana Saya- satuan imajiner, k= 1, 2, 3,...), kita mendapatkan hasil yang sama dengan hasil sebelumnya.

Dalam aplikasi teknis, bentuk penulisan deret Fourier yang kompleks sering digunakan

Dalam hal ini, fungsi eksponensial kompleks (7.23) digunakan sebagai fungsi basis. Oleh karena itu koefisiennya S hal seri (7.36) menjadi luas. Mereka dihitung menggunakan rumus

dimana, seperti pada rumus (7.6), variabel indeks N dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif.

Saat menggunakan bentuk kompleks deret Fourier (7.36) spektrum amplitudo sinyal periodik x(t) adalah himpunan nilai absolut dari koefisien Fourier kompleks S hal

A spektrum fase- kumpulan argumen utama dari koefisien ini

Banyak kuantitas (DENGAN%)^ > = _ dipanggil spektrum daya sinyal periodik, dan himpunan bilangan kompleks (C hal - urutan spektral sinyal periodik. Ketiga karakteristik inilah (spektrum amplitudo, spektrum fase, dan spektrum daya) yang termasuk dalam karakteristik spektral utama sinyal periodik.

Berbeda dengan spektrum amplitudo dan fase sinyal periodik, yang disajikan dalam bentuk deret Fourier trigonometri (7.24), spektrum sinyal yang sama, yang dibuat menggunakan koefisien Fourier kompleks (7.37), ternyata adalah dua sisi. Hal ini merupakan konsekuensi dari adanya “frekuensi negatif” pada (7.36) Oleh.(untuk nilai negatif P). Yang terakhir ini, tentu saja, tidak ada dalam kenyataan. Mereka hanya mencerminkan representasi fungsi harmonik eksponensial yang digunakan dalam pembentukan deret Fourier kompleks e ~ t berupa vektor satuan yang berputar searah jarum jam dengan kecepatan sudut co.

Jika terdapat gambar Laplace dari pulsa dasar sinyal periodik X T (p) = L(x T (t)), kemudian spektrum amplitudo dan spektrum fasa sinyal periodik dapat dihitung menggunakan rumus

Algoritma yang disebut transformasi Fourier cepat, berkat itu dimungkinkan untuk mengurangi waktu penghitungan koefisien Fourier sedemikian rupa sehingga spektrum sinyal selama pemrosesan diperoleh hampir secara real-time.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat tiga sifat terpenting dari karakteristik spektral sinyal periodik.

• 1. Jika x(t) - adalah fungsi genap, maka komponen imajiner semua koefisien Fourier kompleks Im(Cw) sama dengan nol dan sebaliknya, jika fungsi ini ganjil, maka komponen riil semua koefisien Fourier kompleks Re(C„) adalah sama ke nol.
• 2. Pada titik diskontinuitas jenis pertama t = t r fungsi x(t) jumlah deret Fourier S(t) sama dengan setengah jumlah nilai batas fungsi ketika argumen mendekati titik istirahat T = t r kiri dan kanan, yaitu

Catatan: jika fungsi bernilai x(€) di ujung +G) pulsa dasar xT(t) tidak sama satu sama lain, maka dengan kelanjutan pulsa secara berkala, titik-titik tersebut menjadi titik diskontinuitas jenis pertama.

3. Kekuatan sinyal periodik dalam domain waktu dan frekuensi adalah sama, yaitu.

Rasio ini mengungkapkan teorema Parseval.

Kehadiran “frekuensi negatif” dalam rumus (7.36) nQ.(untuk kamu

Untuk menyederhanakan metode penyelesaian masalah analisis rangkaian, sinyal direpresentasikan sebagai penjumlahan fungsi tertentu.

Proses ini dibenarkan oleh konsep deret Fourier yang digeneralisasi. Dalam matematika telah dibuktikan bahwa setiap fungsi yang memenuhi kondisi Dirichlet dapat direpresentasikan sebagai deret:

Untuk menentukannya, kalikan ruas kiri dan kanan deret tersebut dengan dan ambil integral ruas kiri dan kanan:

untuk interval di mana kondisi ortogonalitas terpenuhi.

Jelas bahwa kita telah memperoleh ekspresi untuk deret Fourier yang digeneralisasi:

Mari kita pilih jenis fungsi tertentu untuk perluasan sinyal secara seri. Sebagai fungsi tersebut, kami memilih sistem fungsi ortogonal:

Untuk menentukan deretnya, kita menghitung nilainya:

Jadi, kita mendapatkan:

Secara grafis deret ini disajikan dalam bentuk dua grafik komponen harmonik amplitudo.

Ekspresi yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai:

Kami memperoleh bentuk kedua pencatatan deret Fourier trigonometri. Secara grafis, deret ini disajikan dalam bentuk dua grafik - amplitudo dan spektrum fase.

Mari kita cari bentuk kompleks deret Fourier; untuk ini kita menggunakan rumus Euler:

Secara grafis, spektrum dalam bentuk ini direpresentasikan pada sumbu frekuensi dalam rentang tersebut.

Jelaslah bahwa spektrum sinyal periodik, yang dinyatakan dalam bentuk kompleks atau amplitudo, adalah diskrit. Artinya spektrum mengandung komponen-komponen yang mempunyai frekuensi

Karakteristik spektral dari sinyal non-periodik

Karena sinyal tunggal dianggap sebagai sinyal non-periodik dalam teknik radio, untuk mengetahui spektrumnya kita akan membayangkan sinyal tersebut sebagai sinyal periodik dengan suatu periode. Mari kita gunakan transformasi deret Fourier untuk periode ini. Kami mendapatkan untuk:

Analisis ekspresi yang dihasilkan menunjukkan bahwa pada , amplitudo komponen menjadi sangat kecil dan terletak terus menerus pada sumbu frekuensi. Kemudian, untuk keluar dari situasi ini, kita akan menggunakan konsep kerapatan spektral:

Mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam deret Fourier kompleks, kita mendapatkan:

Akhirnya kita mendapatkan:

Berikut adalah kerapatan spektral, dan ekspresi itu sendiri adalah transformasi Fourier langsung. Untuk menentukan sinyal dari spektrumnya, digunakan transformasi Fourier terbalik:

Sifat-sifat transformasi Fourier

Dari rumus transformasi Fourier langsung dan terbalik terlihat jelas bahwa jika sinyal berubah maka spektrumnya juga akan berubah. Sifat-sifat berikut menetapkan ketergantungan spektrum sinyal yang diubah pada spektrum sinyal sebelum perubahan.

1) Sifat linearitas transformasi Fourier

Kami menemukan bahwa spektrum jumlah sinyal sama dengan jumlah spektrumnya.

2) Spektrum sinyal yang bergeser waktu

Kami menemukan bahwa ketika sinyal digeser, spektrum amplitudo tidak berubah, tetapi hanya spektrum fase yang berubah besarnya

3) Mengubah skala waktu

yaitu, ketika sinyal mengembang (menyempit) beberapa kali, spektrum sinyal ini menyempit (memperluas).

4) Spektrum offset

5) Spektrum turunan sinyal

Mari kita ambil turunan ruas kiri dan kanan invers transformasi Fourier.

Kita melihat bahwa spektrum turunan sinyal sama dengan spektrum sinyal asli dikalikan, yaitu spektrum amplitudo berubah dan spektrum fasa berubah.

6) Spektrum integral sinyal

Mari kita ambil integral ruas kiri dan kanan transformasi Fourier terbalik.

Kita melihat bahwa spektrum turunan sinyal sama dengan spektrum sinyal asli dibagi dengan,

7) Spektrum produk dua sinyal

Jadi, spektrum hasil kali dua sinyal sama dengan konvolusi spektrumnya dikalikan dengan koefisien

8) Sifat dualitas

Jadi, jika suatu spektrum bersesuaian dengan sinyal tertentu, maka sinyal yang bentuknya sesuai dengan spektrum di atas juga bersesuaian dengan spektrum yang bentuknya sesuai dengan sinyal di atas.

Gambar Fourier - koefisien kompleks dari deret Fourier F(J w k) sinyal periodik (1) dan kepadatan spektral F(J w) sinyal non-periodik (2) - memiliki sejumlah properti umum.

1. Linearitas . Integral (1) Dan (2) melakukan transformasi linier dari fungsi tersebut F(T). Oleh karena itu, gambaran Fourier dari kombinasi fungsi linier sama dengan kombinasi linier serupa dari gambarnya. Jika F(T) = A 1 F 1 (T) + A 2 F 2 (T), Itu F(J w) = A 1 F 1 (J w) + A 2 F 2 (J w), dimana F 1 (J w) dan F 2 (J w) - Gambar sinyal Fourier F 1 (T) Dan F 2 (T), masing-masing.

2. Menunda (mengubah asal waktu untuk fungsi periodik) . Pertimbangkan sinyalnya F 2 (T), ditahan untuk sementara waktu T 0 relatif terhadap sinyal F 1 (T), mempunyai bentuk yang sama: F 2 (T) = F 1 (T – T 0). Jika sinyalnya F 1 punya gambar F 1 (J w), maka gambaran Fourier dari sinyal tersebut F 2 sama F 2 (J w) = = . Mengalikan dan membagi dengan , kita mengelompokkan suku-sukunya sebagai berikut:

Karena integral terakhir sama dengan F 1 (J w), lalu F 2 (J w) = e -J w T 0 F 1 (J w) . Jadi, ketika sinyal tertunda untuk sementara waktu T 0 (mengubah asal waktu), modul kerapatan spektralnya tidak berubah, dan argumennya berkurang sebesar nilai w T 0, sebanding dengan waktu tunda. Oleh karena itu, amplitudo spektrum sinyal tidak bergantung pada titik referensi, dan fase awal ketika tertunda T 0 berkurang sebesar w T 0 .

3. Simetri . Sungguh F(T) gambar F(J w) memiliki simetri konjugasi: F(– J w) = . Jika F(T) adalah fungsi genap, maka Im F(J w) = 0; untuk fungsi ganjil Re F(J w) = 0. Modul | F(J w)| dan bagian nyata dari Re F(J w) - fungsi frekuensi genap, argumen argumen F(J w) dan saya F(J w) - aneh.

4. Diferensiasi . Dari rumus transformasi langsung, dengan mengintegrasikan bagian-bagiannya, kita memperoleh hubungan antara gambar turunan sinyal F(T) dengan gambar sinyal itu sendiri

Untuk fungsi yang benar-benar dapat diintegrasikan F(T) suku non-integral sama dengan nol, dan oleh karena itu, untuk , dan integral terakhir mewakili gambar Fourier dari sinyal asli F(J w) . Oleh karena itu, gambaran Fourier merupakan turunan df/dt terkait dengan gambaran sinyal itu sendiri melalui relasi J w F(J w) - saat membedakan sinyal, gambar Fouriernya dikalikan dengan J w. Hubungan yang sama juga berlaku untuk koefisien F(J w k), yang ditentukan oleh integrasi dalam batas berhingga dari – T/2 hingga + T/2. Memang produknya dalam batas yang sesuai

Karena karena periodisitas fungsinya F(T/2) = F(– T/2), a = = = (– 1) k, maka dalam hal ini suku non-integralnya hilang, dan rumusnya valid

dimana panah secara simbolis menunjukkan operasi transformasi Fourier langsung. Hubungan ini digeneralisasikan menjadi diferensiasi berganda: untuk N turunan ke-th yang kita punya: d n f/dt n (J w) n F(J w).

Rumus yang dihasilkan memungkinkan kita menemukan gambaran Fourier dari turunan suatu fungsi dari spektrumnya yang diketahui. Rumus ini juga mudah digunakan jika, sebagai hasil diferensiasi, kita sampai pada suatu fungsi yang gambaran Fouriernya dapat dihitung dengan lebih sederhana. Jadi, jika F(T) adalah fungsi linier sepotong-sepotong, lalu turunannya df/dt adalah konstanta sepotong-sepotong, dan untuk itu integral transformasi langsung dapat dicari dengan cara dasar. Untuk memperoleh karakteristik spektral integral fungsi F(T) gambarnya harus dibagi menjadi J w.

5. Dualitas waktu dan frekuensi . Perbandingan integral transformasi Fourier langsung dan terbalik mengarah pada kesimpulan tentang simetri khasnya, yang menjadi lebih jelas jika rumus transformasi terbalik ditulis ulang dengan memindahkan faktor 2p ke sisi kiri persamaan:

Untuk sinyal F(T), yang merupakan fungsi genap waktu F(– T) = F(T), ketika kepadatan spektral F(J w) - kuantitas nyata F(J w) = F(w), kedua integral dapat ditulis ulang dalam bentuk trigonometri transformasi kosinus Fourier:

Dengan saling menggantikan T dan w integral transformasi langsung dan terbalik saling bertransformasi. Oleh karena itu jika F(w) mewakili kerapatan spektral fungsi waktu yang genap F(T), maka fungsinya 2p F(w) adalah kerapatan spektral sinyal F(T). Untuk fungsi ganjil F(T) [F(T) = – F(T)] kerapatan spektral F(J w) murni imajiner [ F(J w) = jF(w)]. Dalam hal ini, integral Fourier direduksi menjadi bentuk transformasi sinus, yang berarti kerapatan spektral jF(w) sesuai dengan fungsi ganjil F(T), lalu nilainya J 2p F(w) mewakili kerapatan spektral sinyal F(T). Dengan demikian, grafik ketergantungan waktu dari sinyal kelas ini dan kerapatan spektralnya bersifat ganda satu sama lain.

Integral (1)

Integral (2)

Dalam teknik radio, representasi sinyal spektral dan temporal banyak digunakan. Meskipun sinyal pada dasarnya adalah proses acak, namun implementasi individual dari proses acak dan beberapa sinyal khusus (misalnya, pengukuran) dapat dianggap sebagai fungsi deterministik (yaitu, diketahui). Yang terakhir ini biasanya dibagi menjadi periodik dan non-periodik, meskipun tidak ada sinyal yang benar-benar periodik. Suatu sinyal disebut periodik jika memenuhi kondisi

pada selang waktu, dimana T adalah nilai konstan yang disebut periode, dan k adalah bilangan bulat apa pun.

Contoh paling sederhana dari sinyal periodik adalah osilasi harmonik (atau disingkat harmonik).

dimana adalah amplitudo, = adalah frekuensi, adalah frekuensi melingkar, adalah fase awal harmonik.

Pentingnya konsep harmonik bagi teori dan praktik teknik radio dijelaskan oleh beberapa alasan:

1. sinyal harmonik mempertahankan bentuk dan frekuensinya ketika melewati rangkaian listrik linier stasioner (misalnya, filter), hanya mengubah amplitudo dan fase;
2. Sinyal harmonik dihasilkan dengan cukup sederhana (misalnya, menggunakan osilator mandiri LC).

Sinyal non-periodik adalah sinyal yang bukan nol dalam selang waktu tertentu. Sinyal non-periodik dapat dianggap periodik, tetapi dengan periode yang sangat lama. Salah satu karakteristik utama sinyal non-periodik adalah spektrumnya. Spektrum suatu sinyal merupakan fungsi yang menunjukkan ketergantungan intensitas berbagai harmonisa dalam sinyal terhadap frekuensi harmonisa tersebut. Spektrum sinyal periodik adalah ketergantungan koefisien deret Fourier pada frekuensi harmonisa yang sesuai dengan koefisien tersebut. Untuk sinyal non-periodik, spektrumnya adalah transformasi sinyal Fourier langsung. Jadi, spektrum sinyal periodik merupakan spektrum diskrit (fungsi frekuensi diskrit), sedangkan sinyal non-periodik dicirikan oleh spektrum spektrum kontinu (kontinu).

Mari kita perhatikan fakta bahwa spektrum diskrit dan spektrum kontinu memiliki dimensi yang berbeda. Spektrum diskrit mempunyai dimensi yang sama dengan sinyal, sedangkan dimensi spektrum kontinu sama dengan perbandingan dimensi sinyal terhadap dimensi frekuensi. Jika, misalnya, sinyal diwakili oleh tegangan listrik, maka spektrum diskrit akan diukur dalam volt [V], dan spektrum kontinu akan diukur dalam volt per hertz [V/Hz]. Oleh karena itu, istilah “kerapatan spektral” juga digunakan untuk spektrum kontinu.

Mari kita perhatikan representasi spektral sinyal periodik terlebih dahulu. Diketahui dari kursus matematika bahwa setiap fungsi periodik yang memenuhi kondisi Dirichlet (salah satu syarat yang diperlukan adalah energinya berhingga) dapat direpresentasikan oleh deret Fourier dalam bentuk trigonometri:

dimana menentukan nilai rata-rata sinyal selama periode tersebut dan disebut komponen konstan. Frekuensi tersebut disebut frekuensi dasar sinyal (frekuensi harmonik pertama), dan kelipatan frekuensinya disebut harmonik yang lebih tinggi. Ekspresi (3) dapat direpresentasikan sebagai:

Ketergantungan terbalik untuk koefisien a dan b berbentuk

Gambar 1 menunjukkan grafik tipikal spektrum amplitudo sinyal periodik untuk bentuk trigonometri deret (6):

Menggunakan ekspresi (rumus Euler).

alih-alih (6), kita dapat menulis bentuk kompleks deret Fourier:

dimana koefisiennya disebut amplitudo kompleks harmonik, yang nilainya, sebagai berikut dari (4) dan rumus Euler, ditentukan oleh ekspresi:

Membandingkan (6) dan (9), kami mencatat bahwa ketika menggunakan bentuk penulisan kompleks deret Fourier, nilai k negatif memungkinkan kita untuk berbicara tentang komponen dengan "frekuensi negatif". Namun, kemunculan frekuensi negatif bersifat formal dan dikaitkan dengan penggunaan notasi kompleks untuk merepresentasikan sinyal sebenarnya.

Maka alih-alih (9) kita mendapatkan:

memiliki dimensi [amplitudo/hertz] dan menunjukkan amplitudo sinyal per pita 1 Hz. Oleh karena itu, fungsi kontinu frekuensi S(jw) disebut kerapatan spektral amplitudo kompleks atau kerapatan spektral saja. Mari kita perhatikan satu keadaan penting. Membandingkan ekspresi (10) dan (11), kita perhatikan bahwa ketika w=kwo keduanya berbeda hanya dengan faktor konstan, dan

itu. amplitudo kompleks suatu fungsi periodik dengan periode T dapat ditentukan dari karakteristik spektral fungsi non-periodik dengan bentuk yang sama, yang ditentukan dalam interval. Hal di atas juga berlaku sehubungan dengan modulus kerapatan spektral:

Dari hubungan ini dapat disimpulkan bahwa selubung spektrum amplitudo kontinu dari sinyal non-periodik dan selubung amplitudo spektrum garis sinyal periodik memiliki bentuk yang sama dan hanya berbeda skalanya. Sekarang mari kita menghitung energi sinyal non-periodik. Mengalikan kedua ruas pertidaksamaan (14) dengan s(t) dan mengintegrasikannya pada batas tak terhingga, kita peroleh:

dimana S(jw) dan S(-jw) merupakan besaran konjugasi kompleks. Karena

Ekspresi ini disebut persamaan Parseval untuk sinyal non-periodik. Ini menentukan energi total sinyal. Oleh karena itu, tidak ada yang lebih dari energi sinyal per 1 Hz pita frekuensi di sekitar frekuensi w. Oleh karena itu, fungsi ini terkadang disebut kerapatan energi spektral sinyal s(t). Kami sekarang menyajikan, tanpa bukti, beberapa teorema tentang spektrum yang mengungkapkan sifat dasar transformasi Fourier.

1.2 Karakteristik spektral sinyal

Sinyal yang digunakan dalam teknik radio memiliki struktur yang agak rumit. Deskripsi matematis dari sinyal-sinyal tersebut adalah tugas yang sulit. Oleh karena itu, untuk menyederhanakan prosedur analisis sinyal dan meneruskannya melalui rangkaian radio, digunakan teknik yang melibatkan penguraian sinyal kompleks menjadi sekumpulan model matematika ideal yang dijelaskan oleh fungsi dasar.

Analisis spektral harmonik sinyal periodik melibatkan perluasan ke deret Fourier dalam fungsi trigonometri - sinus dan kosinus. Fungsi-fungsi ini menggambarkan osilasi harmonik yang mempertahankan bentuknya selama transformasi dengan perangkat linier (hanya perubahan amplitudo dan fasa), yang memungkinkan penggunaan teori sistem osilasi untuk menganalisis sifat-sifat rangkaian radio.

Deret Fourier dapat direpresentasikan sebagai

Bentuk penulisan lain dari deret Fourier mempunyai penerapan praktis

dimana spektrum amplitudo;

– spektrum fase.

Bentuk kompleks deret Fourier

Rumus di atas digunakan untuk memperoleh karakteristik spektral sinyal periodik. Untuk mendapatkan spektrum sinyal non-periodik digunakan transformasi Fourier.

Transformasi Fourier langsung

Transformasi Fourier terbalik

Ekspresi (1.5), (1.6) merupakan relasi utama untuk memperoleh karakteristik spektral.

1.3 Sifat transformasi Fourier

Rumus transformasi Fourier langsung dan terbalik memungkinkan kita menentukan kerapatan spektral S(jω) dari sinyal s(t) dan, jika perlu, menentukan sinyal s(t) dari kerapatan spektral yang diketahui S(jω). Untuk menunjukkan korespondensi antara sinyal dan spektrumnya, simbol s(t)↔ S(jω) digunakan.

Dengan menggunakan sifat transformasi Fourier, Anda dapat menentukan spektrum sinyal yang dimodifikasi dengan mentransformasikan spektrum sinyal asli.

Properti utama:

1. Linearitas

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s n (t)↔ S n (jω)

_____________________

Mari kita gunakan transformasi Fourier langsung

Hasil akhir

Kesimpulan: Transformasi Fourier langsung merupakan operasi linier dan mempunyai sifat homogenitas dan aditif. Oleh karena itu, spektrum jumlah sinyal sama dengan jumlah spektrum.

2. Spektrum sinyal yang bergeser waktu

s(t±t 0)↔ S c (jω)

Hasil akhir

Kesimpulan: pergeseran waktu sinyal sebesar ±t 0 menyebabkan perubahan karakteristik fase spektrum sebesar ±ωt 0 . Spektrum amplitudo tidak berubah.

3. Mengubah skala seiring waktu

s(αt)↔ S m (jω)

Hasil akhir

Kesimpulan: ketika suatu sinyal dikompresi (diperluas) dalam waktu sejumlah tertentu, spektrumnya mengembang (dikompres) sepanjang sumbu frekuensi dengan jumlah yang sama, dengan penurunan (peningkatan) proporsional dalam amplitudo komponen-komponennya.

4. Spektrum turunan

ds(t)/dt↔ S p (jω).

Untuk menentukan spektrum turunan sinyal, kita mengambil turunan waktu dari sisi kanan dan kiri transformasi Fourier terbalik:

Hasil akhir

Kesimpulan: spektrum turunan sinyal sama dengan spektrum sinyal asli dikalikan jω. Dalam hal ini, spektrum amplitudo berubah sebanding dengan perubahan frekuensi, dan komponen konstan ditambahkan ke karakteristik fase sinyal asli, sama dengan π/2 untuk ω>0 dan sama dengan -π/2 untuk ω

5. Spektrum integral

Mari kita ambil integral ruas kanan dan kiri transformasi Fourier invers

Membandingkan hasilnya dengan transformasi Fourier terbalik, kita peroleh

Hasil akhir

Kesimpulan: spektrum sinyal sama dengan integral sinyal asli sama dengan spektrum sinyal asli dibagi jω. Dalam hal ini, spektrum amplitudo berubah berbanding terbalik dengan perubahan frekuensi, dan komponen konstan sama dengan π/2 pada ω 0 ditambahkan ke karakteristik fase sinyal asli.

6. Spektrum hasil kali dua sinyal

s 1 (t)↔ S 1 (jω)

s 2 (t)↔ S 2 (jω)

s 1 (t) s 2 (t)↔ S pr (jω).

Mari kita cari spektrum hasil kali dua sinyal menggunakan transformasi Fourier terbalik

Hasil akhir

Kesimpulan: Spektrum hasil kali dua sinyal sama dengan konvolusi spektrumnya, dikalikan dengan koefisien 1/(2π).

Selama perhitungan spektrum sinyal, sifat linearitas dan integral sinyal akan digunakan.

1.4 Klasifikasi dan sifat rangkaian radio

Metode analisis dan sintesis berbagai rangkaian radio menempati tempat yang besar dalam landasan teori teknik radio. Dalam hal ini, sirkuit radio dipahami sebagai sekumpulan elemen pasif dan aktif yang terhubung dengan cara tertentu, memastikan lewatnya dan konversi sinyal secara fungsional. Elemen pasif adalah resistor, kapasitor, induktor dan sarana penghubungnya. Elemen aktifnya adalah transistor, tabung vakum, catu daya dan elemen lain yang mampu menghasilkan energi dan meningkatkan kekuatan sinyal. Jika ada kebutuhan untuk menekankan tujuan fungsional rangkaian, maka istilah perangkat digunakan sebagai pengganti istilah rangkaian. Rangkaian radio yang digunakan untuk konversi sinyal sangat beragam komposisi, struktur dan karakteristiknya. Dalam proses pengembangan dan penelitian analitisnya, digunakan berbagai model matematika yang memenuhi persyaratan kecukupan dan kesederhanaan. Secara umum, setiap rangkaian radio dapat digambarkan dengan relasi formal yang menentukan transformasi sinyal masukan x(t) menjadi keluaran y(t), yang secara simbolis dapat direpresentasikan sebagai

di mana T adalah operator yang menunjukkan aturan konversi sinyal input.

Jadi, himpunan operator T dan dua himpunan X = (), Y = () sinyal pada masukan dan keluaran rangkaian dapat berfungsi sebagai model matematis rangkaian teknik radio sehingga

Berdasarkan jenis transformasi sinyal masukan menjadi sinyal keluaran, yaitu. Berdasarkan jenis operator T, rangkaian radio diklasifikasikan.

1. Suatu rangkaian radio bersifat linier jika operator T sedemikian rupa sehingga rangkaian tersebut memenuhi kondisi aditivitas dan homogenitas.

Merupakan ciri khas bahwa transformasi linier suatu sinyal dalam bentuk apa pun tidak disertai dengan kemunculan komponen harmonik dengan frekuensi baru dalam spektrum sinyal keluaran, yaitu. transformasi linier tidak mengarah pada pengayaan spektrum sinyal.

2. Suatu rangkaian radio bersifat nonlinier jika operator T tidak memastikan bahwa kondisi aditivitas dan homogenitas terpenuhi. Fungsi rangkaian tersebut dijelaskan oleh persamaan diferensial nonlinier, yaitu. persamaan, setidaknya satu koefisiennya merupakan fungsi dari sinyal masukan atau turunannya. Sirkuit nonlinier tidak memenuhi prinsip superposisi. Saat menganalisis aliran sinyal melalui rangkaian nonlinier, hasilnya didefinisikan sebagai respons terhadap sinyal itu sendiri. Itu tidak dapat diuraikan menjadi sinyal yang lebih sederhana. Pada saat yang sama, rangkaian nonlinier memiliki sifat yang sangat penting - rangkaian ini memperkaya spektrum sinyal. Artinya pada transformasi nonlinier, komponen harmonik dengan frekuensi muncul pada spektrum sinyal keluaran yang tidak berada pada spektrum sinyal masukan. Mungkin juga muncul komponen dengan frekuensi yang sama dengan kombinasi frekuensi komponen harmonik spektrum sinyal masukan. Sifat rangkaian nonlinier ini telah menyebabkan penggunaannya untuk memecahkan berbagai masalah yang berkaitan dengan pembangkitan dan konversi sinyal. Secara struktural, rangkaian linier hanya berisi elemen linier, yang juga mencakup elemen nonlinier yang beroperasi dalam mode linier (dalam bagian linier dari karakteristiknya). Rangkaian linier adalah penguat yang beroperasi dalam mode linier, filter, saluran panjang, saluran tunda, dll. Rangkaian nonlinier mengandung satu atau lebih elemen nonlinier. Rangkaian nonlinier meliputi generator, detektor, modulator, pengganda dan konverter frekuensi, pembatas, dll.

Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk membiasakan diri dengan prinsip-prinsip pengukuran komposisi spektral sinyal listrik, memperoleh keterampilan dalam bekerja dengan penganalisis spektrum, dan mengukur komposisi spektral sinyal listrik.

Program kerja.

• 1. Periksa karakteristik teknis dasar penganalisis spektrum.
• 2. Pengukuran komposisi spektral sinyal pulsa periodik.
• 3. Pengukuran komposisi spektral osilasi termodulasi.

Ketentuan dasar.

Komposisi spektral sinyal listrik. Untuk menganalisis bentuk sinyal listrik, pengukuran komposisi spektral (frekuensi) banyak digunakan. Sinyal periodik kompleks dijelaskan secara lengkap oleh amplitudo dan fase komponen spektralnya, tetapi dalam banyak kasus, informasi tentang amplitudo dan frekuensi komponen spektrum sinyal sudah cukup, yaitu. tentang spektrum frekuensi amplitudo.

Secara teoritis, komposisi spektral sinyal periodik dapat ditentukan dengan memperluasnya menjadi deret Fourier:

penganalisis sinyal listrik spektral

dimana A 0 adalah komponen konstan sinyal, A k adalah amplitudo harmonik ke-k, adalah fase awal harmonik ke-k, W adalah frekuensi harmonik (fundamental) pertama, k adalah serial bilangan harmonik.

Dari persamaan (1) dapat disimpulkan bahwa spektrum sinyal periodik adalah diskrit atau linier. Dalam kasus umum, sinyal periodik berisi komponen konstanta yang tidak bergantung waktu A 0 dan himpunan osilasi harmonik tak terhingga yang disebut harmonik, dengan frekuensi yang merupakan kelipatan frekuensi dasar barisan periodik.

Komponen konstan sinyal didefinisikan sebagai nilai rata-ratanya selama waktu yang sama dengan periode T:

Amplitudo harmonik individu ditentukan oleh rumus

Ketergantungan amplitudo Ak pada frekuensi merupakan spektrum amplitudo-frekuensi dan digambarkan secara grafis dalam bentuk diagram spektral seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.

Selain spektrum amplitudo, secara teoritis dimungkinkan untuk menentukan spektrum fase, yang mewakili ketergantungan fase awal pada frekuensi. Fase awal harmonik individu dihitung menggunakan rumus

Tabel 1 menunjukkan spektrum amplitudo beberapa sinyal periodik.

Tabel 1

Sinyal asli	Spektrum amplitudo
Pulsa persegi
Sinyal termodulasi amplitudo
Sinyal Berkunci Pergeseran Amplitudo

Sinyal non-periodik, tidak seperti sinyal periodik, memiliki spektrum kontinu, yaitu berisi semua frekuensi tanpa kecuali. Namun, amplitudo masing-masing komponen spektral dalam sinyal tersebut sangat kecil, oleh karena itu komposisi spektralnya tidak dijelaskan oleh amplitudo harmonik individu, tetapi oleh kerapatan spektral X(), yang dipahami sebagai rasio kenaikan amplitudo A ke pertambahan frekuensi pada frekuensi tertentu, yaitu

Secara teoritis, kerapatan spektral kompleks dari sinyal non-periodik, x(t), dapat ditentukan menggunakan integral Fourier.

Dalam hal ini, kerapatan spektral kompleks (6) membawa informasi tidak hanya tentang amplitudo, tetapi juga tentang fase komponen spektral sinyal. Spektrum amplitudo sinyal x(t) ditentukan oleh modulus kerapatan spektral (6)

Selain kerapatan spektral amplitudo, secara teoritis dimungkinkan untuk menentukan kerapatan spektral fase

Instrumen untuk menganalisis spektrum sinyal listrik, atau penganalisis spektrum, dirancang untuk mempelajari spektrum frekuensi amplitudo sinyal listrik periodik. Menurut prinsip operasinya, perangkat ini dapat dibagi menjadi perangkat untuk analisis paralel, sekuensial, dan seri-paralel.

Diagram blok penganalisis spektrum paralel ditunjukkan pada Gambar 2. Sinyal listrik yang diteliti diumpankan ke serangkaian filter listrik yang dihubungkan secara paralel, yang masing-masing hanya memilih satu harmonik dari spektrum sinyal. Pada keluaran filter, indikator amplitudo harmonik disertakan, di mana Anda dapat melihat nilai amplitudo harmonik individu.

Keakuratan pengukuran frekuensi komponen spektral ditentukan oleh bandwidth masing-masing filter. Dalam praktiknya, pita sandi dari filter yang berdekatan agak tumpang tindih, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3, oleh karena itu, ketika mengukur spektrum menggunakan filter, dimungkinkan untuk menentukan amplitudo sinyal dalam pita frekuensi tertentu yang bertepatan dengan pita sandi filter. . Untuk meningkatkan keakuratan analisis, bandwidth filter dibuat sesempit mungkin, tetapi jumlah filter yang diperlukan meningkat tajam, yang secara signifikan mempersulit peralatan.

Diagram blok penganalisis spektrum sekuensial ditunjukkan pada Gambar 4. Sinyal listrik x(t) yang diteliti disuplai ke mixer SM, di mana sinyal x(t) dikalikan dengan sinyal harmonik yang berasal dari osilator lokal G. Filter bandpass PF memilih dari spektrum pada keluaran mixer a sinyal yang frekuensinya sama dengan selisih antara frekuensi harmonik sinyal masukan dan frekuensi osilator lokal. Dengan mengubah frekuensi osilator lokal, amplitudo semua harmonik sinyal x(t) dapat diukur. Pada keluaran filter bandpass PF, disertakan indikator, yang paling sering digunakan sebagai tabung sinar katoda (CRT).

Dan jika sinyal x(t) yang diteliti mempunyai komposisi spektral yang ditentukan oleh ekspresi

dan sinyal harmonik dari osilator lokal sama dengan

maka sinyal pada keluaran mixer ditentukan oleh ekspresi

Komponen sinyal yang kondisinya terpenuhi

dimana adalah frekuensi filter, diteruskan ke output filter dan ditampilkan pada layar CRT.

Mengubah frekuensi osilator lokal memungkinkan, pada frekuensi filter konstan, untuk mengisolasi harmonik dengan nomor seri dari spektrum sinyal x(t)

Untuk menentukan frekuensi setiap komponen spektrum, penalaan frekuensi osilator lokal adalah waktu yang dikoordinasikan dengan pergerakan horizontal berkas tabung sinar katoda. Untuk tujuan ini, generator penyapu GR tunggal digunakan, yang memastikan bahwa osilator lokal disetel secara serempak dengan sinar yang bergerak melintasi layar. Diagram blok penganalisis spektrum sekuensial dengan tabung sinar katoda ditunjukkan pada Gambar 5.

Jadi, dalam penganalisis spektrum serial, komponen frekuensi dari spektrum sinyal yang diteliti diisolasi secara berurutan menggunakan filter bandpass PF yang tidak dapat disetel. Namun, ketika frekuensi osilator lokal berubah dengan cepat, tegangan pada keluaran filter bandpass tidak memiliki waktu untuk menetap dan kesalahan tertentu muncul karena mode pengukuran dinamis. Untuk mengurangi kesalahan dinamis, penyetelan osilator lokal dilakukan dengan sangat lambat, yang menyebabkan peningkatan waktu analisis.

Diagram blok penganalisis spektrum seri-paralel ditunjukkan pada Gambar 6. Sinyal x(t) yang diteliti diumpankan, seperti pada penganalisis spektrum paralel, ke serangkaian filter bandpass. Namun, untuk mendapatkan gambaran spektrum pada layar tabung sinar katoda (CRT), keluaran filter dihubungkan secara bergantian menggunakan saklar K. Dengan demikian, mode non-stasioner yang disebabkan oleh penyetelan osilator lokal dihilangkan, dan waktu analisis dihilangkan. berkurang.

Penganalisis spektrum serial-paralel presisi tinggi memerlukan sejumlah besar filter, yang pitanya tidak boleh tumpang tindih. Bandwidth masing-masing filter menentukan kesalahan dalam mengukur frekuensi komponen harmonik.

Karakteristik teknis utama dari penganalisis spektrum serial. Karakteristik teknis utama dari penganalisis spektrum serial meliputi: rentang frekuensi F dari sinyal yang dianalisis, rentang F K, bandwidth filter F, waktu analisis, kesalahan pengukuran frekuensi dan amplitudo komponen spektral.

Rentang frekuensi P dari sinyal yang dianalisis mencirikan pita frekuensi di mana harmonik dapat ditentukan. Rentang dalam perangkat ini dibagi menjadi beberapa bagian F K , yang disebut petak. Dalam rentang F K, harmonik individu dengan resolusi yang sama dengan bandwidth filter F diisolasi dari spektrum sinyal yang diteliti.

Analisis spektrum F-band membutuhkan waktu

Waktu analisis pada pita frekuensi F dari sinyal yang dianalisis meningkat sebesar F/ F kali dan sama dengan

Dalam hal ini, analisis sekuensial dengan passband praktis tidak digunakan karena waktu analisis yang lama. Keadaan ini membatasi rentang frekuensi yang lebih rendah dari penganalisis sekuensial ke nilai 5,....., 10 Hz.

Dalam analisa serial, kesalahan dalam mengukur frekuensi dan amplitudo komponen spektral dapat dibagi menjadi statis dan dinamis. Kesalahan statis disebabkan oleh pengaturan frekuensi osilator lokal yang tidak akurat, respons frekuensi amplitudo mixer yang tidak merata, kesalahan pembagi pembacaan, dan kesalahan skala indikator.

Kesalahan dinamis disebabkan oleh penyetelan frekuensi osilator lokal dalam rentang tersebut. Ketika frekuensi osilator lokal berubah, perbedaan frekuensi pada input filter bandpass PF berubah, dan amplitudo tegangan pada output filter tidak memiliki waktu untuk mencapai nilai kondisi tunak. Hal ini menyebabkan deformasi respons frekuensi amplitudo filter, yang ditandai dengan perubahan relatif pada respons frekuensi maksimum filter.

dan pergeseran frekuensi relatif maksimum

relatif terhadap karakteristik statis filter, dimana frekuensi karakteristik dinamis PF; - frekuensi karakteristik statis PF; - nilai respon frekuensi dinamis maksimum PF; - nilai respon frekuensi statis maksimum PF.

Bandwidth filter dalam mode dinamis juga berubah, yang ditandai dengan ekspansi relatifnya

di mana pita sandi PF dalam mode dinamis; - Pita sandi PF dalam mode statis.

Penganalisis spektrum S4-25 dirancang untuk mengamati dan mengukur spektrum sinyal termodulasi dan tidak termodulasi periodik. Karakteristik teknis utama perangkat diberikan pada Tabel 2.

Tabel 2

Diagram blok perangkat ditunjukkan pada Gambar. 7. Sinyal yang dipelajari x(t) melalui pembagi input VD dan filter low-pass filter low-pass memasuki mixer SM, dimana diubah menjadi frekuensi 108 MHz. Osilator lokal G1 dapat disetel pada rentang frekuensi 108 hingga 158 MHz. Rentangnya ditentukan oleh rentang frekuensi osilator lokal dan bervariasi dari 0 hingga 50 MHz. Hal ini memungkinkan Anda untuk melihat spektrum pada seluruh rentang frekuensi, dan, jika perlu, memeriksanya secara lebih rinci di bagian mana pun dari rentang perangkat.

Untuk mengurangi interferensi dari konverter frekuensi, perangkat menggunakan konversi frekuensi ganda menggunakan media mixer kedua dan osilator lokal kedua G2 yang beroperasi pada frekuensi 100 MHz. Output dari mixer kedua menghasilkan sinyal dengan frekuensi 8160 kHz, yang melewati filter bandpass PF dengan passband 300 kHz atau filter CF kuarsa dengan passband yang dapat disesuaikan mulai dari 3 hingga 70 kHz.

Setelah penyaringan, sinyal dideteksi oleh detektor D, diperkuat oleh penguat U dan dikirim ke pelat defleksi vertikal tabung sinar katoda CRT. Generator pemindaian GR menyediakan perubahan frekuensi osilator lokal G1 dan sapuan sinkron berkas CRT.

Pengukuran frekuensi dan interval frekuensi dilakukan dengan menggunakan tanda yang merupakan komponen spektral kalibrator K. Interval tetap antara tanda 0,1, I dan 10 MHz ditentukan pada skala dengan menggunakan saklar tanda. Kontrol utama penganalisis spektrum dan tujuannya diberikan pada Tabel 3.

Tabel 3.