Sistem bilangan

Desimal

Biner

Oktal

Heksadesimal

BCD

Mereka yang mengikuti Ujian Negara Bersatu dan banyak lagi...

Anehnya, dalam pelajaran ilmu komputer di sekolah, mereka biasanya menunjukkan kepada siswa cara yang paling rumit dan merepotkan untuk mengubah bilangan dari satu sistem ke sistem lainnya. Cara ini terdiri dari membagi bilangan asli secara berurutan dengan bilangan pokok dan mengumpulkan sisa pembagian menjadi urutan terbalik.

Misalnya, Anda perlu mengonversi angka 810 10 ke biner:

Kami menulis hasilnya dalam urutan terbalik dari bawah ke atas. Ternyata 81010 = 11001010102

Jika Anda perlu mengonversi ke sistem biner, cukup angka besar, maka tangga pembagiannya menjadi seukuran gedung bertingkat. Dan bagaimana Anda bisa mengumpulkan semua angka satu dan angka nol dan tidak melewatkan satu pun?

DI DALAM Program Ujian Negara Bersatu dalam ilmu komputer mencakup beberapa tugas yang berkaitan dengan penerjemahan angka dari satu sistem ke sistem lainnya. Biasanya, ini adalah konversi antara sistem oktal dan heksadesimal dan biner. Ini adalah bagian A1, B11. Namun ada juga masalah dengan sistem bilangan lain, seperti pada bagian B7.

Untuk memulainya, mari kita ingat dua tabel yang sebaiknya diingat oleh mereka yang memilih ilmu komputer sebagai profesi masa depan mereka.

Tabel pangkat nomor 2:

Tabel bilangan biner dari 0 hingga 15 dengan representasi heksadesimal:

Konversi bilangan bulat

Jadi, mari kita mulai dengan mengonversi langsung ke sistem biner. Mari kita ambil nomor yang sama 810 10. Kita perlu menguraikan bilangan ini menjadi suku-suku yang sama dengan pangkat dua.

1. Kita mencari pangkat dua yang paling dekat dengan 810 dan tidak melebihinya. Ini adalah 2 9 = 512.
2. Kurangi 512 dari 810, kita mendapatkan 298.
3. Ulangi langkah 1 dan 2 hingga tidak ada angka 1 atau 0 yang tersisa.
4. Kita mendapatkannya seperti ini: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1.

Metode 1: Susunlah 1 menurut rangking indikator sukunya. Dalam contoh kita, angkanya adalah 9, 8, 5, 3, dan 1. Tempat sisanya akan berisi angka nol. Jadi, kita mendapatkan representasi biner dari bilangan 810 10 = 1100101010 2. Unit ditempatkan di tempat ke-9, ke-8, ke-5, ke-3 dan ke-1, dihitung dari kanan ke kiri dari nol.

Metode 2: Mari kita tuliskan suku-suku tersebut sebagai pangkat dua di bawah satu sama lain, dimulai dari yang terbesar.

810 =

Sekarang mari kita tambahkan langkah-langkah ini bersama-sama, seperti melipat kipas angin: 1100101010.

Itu saja. Pada saat yang sama, masalah “berapa unit dalam notasi biner angka 810?” juga dapat diselesaikan dengan mudah.

Jawabannya adalah sebanyak jumlah suku (pangkat dua) dalam representasi tersebut. 810 memiliki 5 di antaranya.

Sekarang contohnya lebih sederhana.

Mari kita ubah bilangan 63 ke sistem bilangan 5-ary. Pangkat terdekat dari 5 sampai 63 adalah 25 (kuadrat 5). Sebuah kubus (125) sudah banyak. Artinya, 63 terletak di antara kuadrat 5 dan kubus. Kemudian kita akan memilih koefisien untuk 5 2. Ini adalah 2.

Kita peroleh 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Dan terakhir, terjemahan yang sangat mudah antara sistem 8 dan heksadesimal. Karena basisnya adalah pangkat dua, penerjemahannya dilakukan secara otomatis, cukup dengan mengganti angka-angka tersebut dengan representasi binernya. Untuk sistem oktal, setiap digit diganti dengan tiga digit biner, dan untuk sistem heksadesimal, empat digit. Dalam hal ini, semua angka nol di depan wajib diisi, kecuali angka paling signifikan.

Mari kita ubah bilangan 547 8 menjadi biner.

Satu lagi misalnya 7D6A 16.

Mari kita ubah bilangan 7368 ke sistem heksadesimal. Pertama, tulis bilangan tersebut menjadi tiga kali lipat, lalu bagi menjadi empat kali lipat dari akhir: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Mari kita ubah bilangan C25 16 ke sistem oktal. Pertama kita tulis bilangannya menjadi empat, lalu bagi menjadi tiga dari akhir: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Sekarang mari kita lihat mengkonversi kembali ke desimal. Tidak sulit, yang utama jangan sampai salah dalam perhitungan. Kami memperluas bilangan tersebut menjadi polinomial dengan pangkat basis dan koefisiennya. Lalu kita kalikan dan tambahkan semuanya. E68 16 = 14*16 2 + 6*16 + 8 = 3688. 732 8 = 7*8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Konversi Bilangan Negatif

Di sini Anda perlu memperhitungkan bahwa nomor tersebut akan disajikan kode tambahan. Untuk mengubah suatu angka menjadi kode tambahan, Anda perlu mengetahui ukuran akhir dari angka tersebut, yaitu, kita ingin memasukkannya ke dalam apa - dalam satu byte, dalam dua byte, dalam empat. Digit paling penting suatu bilangan berarti tanda. Jika ada 0 maka bilangan tersebut positif, jika 1 maka negatif. Di sebelah kiri, nomor tersebut dilengkapi dengan angka tanda. Kami tidak mempertimbangkan angka yang tidak ditandatangani; angka tersebut selalu positif, dan bagian paling signifikan di dalamnya digunakan sebagai informasi.

Untuk mengubah bilangan negatif menjadi komplemen biner, Anda perlu mengubah bilangan positif menjadi biner, lalu mengubah angka nol menjadi satu dan satu menjadi nol. Kemudian tambahkan 1 ke hasilnya.

Jadi, mari kita ubah bilangan -79 ke sistem biner. Nomor tersebut akan membawa kita satu byte.

Kita ubah 79 ke sistem biner, 79 = 1001111. Kita tambahkan nol di sebelah kiri ke ukuran byte, 8 bit, kita dapatkan 01001111. Kita ubah 1 menjadi 0 dan 0 menjadi 1. Kita mendapatkan 10110000. Kita tambahkan 1 ke hasilnya kita mendapat jawaban 10110001. Sepanjang jalan, kami menjawab pertanyaan Ujian Negara Bersatu “berapa unit dalam representasi biner dari angka -79?” Jawabannya adalah 4.

Menambahkan 1 pada kebalikan suatu bilangan akan menghilangkan selisih antara representasi +0 = 00000000 dan -0 = 11111111. Pada kode komplemen dua, keduanya akan ditulis sama dengan 00000000.

Mengonversi bilangan pecahan

Bilangan pecahan dikonversi dengan cara kebalikan membagi bilangan bulat dengan basis, seperti yang telah kita bahas di awal. Artinya, menggunakan perkalian berurutan dengan basis baru dengan himpunan seluruh bagian. Bagian bilangan bulat yang diperoleh selama perkalian dikumpulkan, tetapi tidak ikut serta dalam operasi berikut. Hanya pecahan yang dikalikan. Jika bilangan aslinya lebih besar dari 1, maka bagian bilangan bulat dan pecahannya ditranslasikan secara terpisah lalu direkatkan.

Mari kita ubah bilangan 0,6752 ke sistem biner.

Prosesnya dapat dilanjutkan dalam waktu yang lama hingga kita mendapatkan semua angka nol di bagian pecahan atau akurasi yang diperlukan tercapai. Mari kita berhenti di tanda ke-6 untuk saat ini.

Ternyata 0,6752 = 0,101011.

Jika angkanya 5,6752, maka biner itu akan menjadi 101.101011.

Catatan 1

Jika Anda ingin mengonversi suatu bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya, akan lebih mudah jika Anda mengonversinya terlebih dahulu sistem desimal sistem bilangan, dan baru kemudian mengkonversi dari desimal ke sistem bilangan lainnya.

Aturan untuk mengonversi bilangan dari sistem bilangan apa pun ke desimal

DI DALAM teknologi komputer, dengan menggunakan aritmatika mesin, peran penting dimainkan oleh konversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya. Di bawah ini kami berikan aturan dasar untuk transformasi (terjemahan) tersebut.

Saat mengonversi bilangan biner ke desimal, bilangan biner harus direpresentasikan sebagai polinomial, yang setiap elemennya direpresentasikan sebagai hasil kali digit bilangan tersebut dan pangkat yang sesuai dari bilangan dasar, dalam dalam hal ini$2$, lalu Anda perlu menghitung polinomial menggunakan aturan aritmatika desimal:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Gambar 1. Tabel 1

Contoh 1

Ubah bilangan $11110101_2$ menjadi sistem bilangan desimal.

Larutan. Dengan menggunakan tabel pangkat $1$ dari basis $2$, kita menyatakan bilangan tersebut sebagai polinomial:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Untuk mengonversi suatu bilangan dari sistem bilangan oktal ke sistem bilangan desimal, Anda perlu merepresentasikannya sebagai polinomial, yang setiap elemennya direpresentasikan sebagai hasil kali digit bilangan tersebut dan pangkat yang sesuai dari bilangan dasar, dalam hal ini case $8$, dan kemudian Anda perlu menghitung polinomial sesuai dengan aturan aritmatika desimal:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Gambar 2. Tabel 2

Contoh 2

Ubah bilangan $75013_8$ menjadi sistem bilangan desimal.

Larutan. Dengan menggunakan tabel pangkat $2$ dari basis $8$, kita menyatakan bilangan tersebut sebagai polinomial:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Untuk mengonversi suatu bilangan dari heksadesimal ke desimal, Anda perlu merepresentasikannya sebagai polinomial, yang setiap elemennya direpresentasikan sebagai hasil kali digit bilangan tersebut dan pangkat yang sesuai dari bilangan dasar, dalam hal ini $16$, lalu Anda perlu menghitung polinomial sesuai dengan aturan aritmatika desimal:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Gambar 3. Tabel 3

Contoh 3

Ubah bilangan $FFA2_(16)$ menjadi sistem bilangan desimal.

Larutan. Dengan menggunakan tabel pangkat $3$ dari basis $8$, kita menyatakan bilangan tersebut sebagai polinomial:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Aturan untuk mengubah bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan lainnya

• Untuk mengubah suatu bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem biner, bilangan tersebut harus dibagi $2$ secara berurutan hingga terdapat sisa yang kurang dari atau sama dengan $1$. Suatu bilangan dalam sistem biner direpresentasikan sebagai barisan hasil pembagian terakhir dan sisa pembagian dalam urutan terbalik.

Contoh 4

Konversikan bilangan $22_(10)$ ke sistem bilangan biner.

Larutan:

Gambar 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Untuk mengubah suatu bilangan dari sistem bilangan desimal ke oktal, bilangan tersebut harus dibagi $8$ secara berurutan hingga terdapat sisa yang kurang dari atau sama dengan $7$. Suatu bilangan dalam sistem bilangan oktal direpresentasikan sebagai barisan angka-angka hasil pembagian terakhir dan sisa pembagian dengan urutan terbalik.

Contoh 5

Ubah angka $571_(10)$ menjadi sistem oktal Perhitungan.

Larutan:

Gambar 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Untuk mengubah suatu bilangan dari sistem bilangan desimal menjadi sistem heksadesimal itu harus dibagi $16$ berturut-turut sampai ada sisanya yang kurang dari atau sama dengan $15$. Suatu bilangan dalam sistem heksadesimal direpresentasikan sebagai barisan angka hasil pembagian terakhir dan sisa pembagian dengan urutan terbalik.

Contoh 6

Ubah bilangan $7467_(10)$ menjadi sistem bilangan heksadesimal.

Larutan:

Gambar 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Untuk mengubah pecahan biasa dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan non-desimal, bagian pecahan dari bilangan yang akan diubah harus dikalikan secara berurutan dengan basis sistem yang ingin diubah. Pecahan masuk sistem baru akan disajikan dalam bentuk keseluruhan bagian karya, dimulai dari bagian pertama.

Misalnya: $0.3125_((10))$ dalam sistem bilangan oktal akan terlihat seperti $0.24_((8))$.

Dalam hal ini, Anda mungkin menghadapi masalah ketika pecahan desimal berhingga dapat berkorespondensi dengan pecahan tak terhingga (periodik) dalam sistem bilangan non-desimal. Dalam hal ini, jumlah digit pecahan yang direpresentasikan dalam sistem baru akan bergantung pada akurasi yang diperlukan. Perlu juga dicatat bahwa bilangan bulat tetaplah bilangan bulat, dan pecahan biasa tetaplah pecahan dalam sistem bilangan apa pun.

Aturan untuk mengkonversi bilangan dari sistem bilangan biner ke sistem bilangan lainnya

• Untuk mengonversi angka dari sistem biner penomoran ke dalam oktal, harus dibagi menjadi triad (tiga digit), dimulai dengan angka penting terkecil, jika perlu, tambahkan angka nol pada triad terdepan, kemudian ganti setiap triad dengan digit oktal yang sesuai sesuai Tabel 4.

Gambar 7. Tabel 4

Contoh 7

Konversikan bilangan $1001011_2$ ke sistem bilangan oktal.

Larutan. Menggunakan Tabel 4, kita mengubah bilangan dari sistem bilangan biner ke oktal:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Untuk mengubah suatu bilangan dari sistem bilangan biner ke heksadesimal, bilangan tersebut harus dibagi menjadi tetrad (empat digit), dimulai dengan digit terkecil, jika perlu, tambahkan nol ke tetrad paling signifikan, lalu ganti setiap tetrad dengan digit oktal yang sesuai. menurut Tabel 4.

Mengonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya merupakan bagian penting dalam aritmatika mesin. Mari kita pertimbangkan aturan dasar penerjemahan.

1. Untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan desimal, perlu dituliskan dalam bentuk polinomial, yang terdiri dari hasil kali digit-digit bilangan tersebut dan pangkat 2 yang bersesuaian, dan menghitungnya sesuai dengan aturan dari aritmatika desimal:

Saat menerjemahkan, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel pangkat dua:

Tabel 4. Pangkat angka 2

Contoh.

2. Untuk mengubah bilangan oktal menjadi bilangan desimal, perlu dituliskan dalam bentuk polinomial yang terdiri dari hasil kali digit-digit bilangan tersebut dan pangkat bilangan 8 yang sesuai, dan menghitungnya sesuai aturan. aritmatika desimal:

Saat menerjemahkan, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel pangkat delapan:

Tabel 5. Pangkat bilangan 8

Contoh. Ubahlah bilangan tersebut menjadi sistem bilangan desimal.

3. Untuk terjemahan angka heksadesimal dalam desimal harus ditulis sebagai polinomial, yang terdiri dari hasil perkalian digit-digit bilangan tersebut dan pangkat yang sesuai dari bilangan 16, dan dihitung menurut aturan aritmatika desimal:

Saat menerjemahkan, akan lebih mudah digunakan kilatan kekuatan nomor 16:

Tabel 6. Pangkat bilangan 16

Contoh. Ubahlah bilangan tersebut menjadi sistem bilangan desimal.

4. Untuk terjemahan angka desimal pada sistem biner harus berturut-turut dibagi 2 hingga tersisa sisa yang kurang dari atau sama dengan 1. Suatu bilangan pada sistem biner dituliskan barisan hasil pembagian terakhir dan sisa pembagian dengan urutan terbalik.

Contoh. Konversikan bilangan tersebut ke sistem bilangan biner.

5. Untuk mengubah suatu bilangan desimal ke sistem oktal, ia harus dibagi 8 secara berurutan hingga tersisa sisa yang kurang dari atau sama dengan 7. Suatu bilangan dalam sistem oktal dituliskan sebagai barisan angka-angka hasil pembagian terakhir dan sisa pembagian dalam urutan terbalik.

Contoh. Ubahlah bilangan tersebut menjadi sistem bilangan oktal.

6. Untuk mengubah suatu bilangan desimal ke sistem heksadesimal harus berurutan dibagi 16 hingga tersisa sisa yang kurang dari atau sama dengan 15. Suatu bilangan dalam sistem heksadesimal dituliskan sebagai barisan angka-angka hasil pembagian terakhir dan sisa pembagian dalam urutan terbalik.

Contoh. Ubahlah bilangan tersebut menjadi sistem bilangan heksadesimal.