Di antara berbagai ekspresi yang dibahas dalam aljabar, jumlah monomial menempati tempat yang penting. Berikut adalah contoh ekspresi tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Jumlah monomial disebut polinomial. Suku-suku dalam polinomial disebut suku-suku polinomial. Monomial juga diklasifikasikan sebagai polinomial, mengingat monomial adalah polinomial yang terdiri dari satu anggota.

Misalnya polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
dapat disederhanakan.

Mari kita nyatakan semua suku dalam bentuk monomial dari bentuk standar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Mari kita sajikan suku-suku serupa dalam polinomial yang dihasilkan:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya adalah polinomial, yang semua sukunya merupakan monomial dari bentuk standar, dan tidak ada yang serupa di antara mereka. Polinomial seperti ini disebut polinomial bentuk standar.

Untuk derajat polinomial bentuk standar mengambil kekuasaan tertinggi dari para anggotanya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai derajat ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai derajat kedua.

Biasanya, suku-suku polinomial bentuk standar yang memuat satu variabel disusun dalam urutan eksponen menurun. Misalnya:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Jumlah beberapa polinomial dapat diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar.

Terkadang suku-suku polinomial perlu dibagi menjadi beberapa kelompok, dan setiap kelompok diapit tanda kurung. Karena tanda kurung merupakan transformasi kebalikan dari tanda kurung buka, maka mudah untuk merumuskannya aturan untuk membuka tanda kurung:

Jika tanda “+” diletakkan sebelum tanda kurung, maka suku-suku yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda “-” diletakkan sebelum tanda kurung, maka suku-suku yang diapit tanda kurung ditulis dengan tanda yang berlawanan.

Transformasi (penyederhanaan) hasil kali monomial dan polinomial

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian, Anda dapat mengubah (menyederhanakan) hasil kali monomial dan polinomial menjadi polinomial. Misalnya:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil kali monomial dan polinomial sama dengan jumlah hasil kali monomial tersebut dan masing-masing suku polinomialnya.

Hasil ini biasanya dirumuskan sebagai suatu aturan.

Untuk mengalikan monomial dengan polinomial, Anda harus mengalikan monomial tersebut dengan masing-masing suku polinomial tersebut.

Kami telah menggunakan aturan ini beberapa kali untuk mengalikan dengan suatu jumlah.

Produk polinomial. Transformasi (penyederhanaan) hasil kali dua polinomial

Secara umum, hasil kali dua polinomial sama dengan jumlah hasil kali setiap suku dari satu polinomial dan setiap suku dari polinomial lainnya.

Biasanya aturan berikut digunakan.

Untuk mengalikan polinomial dengan polinomial, Anda perlu mengalikan setiap suku dari satu polinomial dengan setiap suku dari polinomial lainnya dan menjumlahkan hasil perkaliannya.

Rumus perkalian yang disingkat. Jumlah kuadrat, selisih dan selisih kuadrat

Anda harus lebih sering menangani beberapa ekspresi dalam transformasi aljabar daripada yang lain. Mungkin ekspresi yang paling umum adalah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), yaitu kuadrat dari jumlah, kuadrat dari perbedaan dan perbedaan kuadrat. Anda memperhatikan bahwa nama ekspresi ini tampaknya tidak lengkap, misalnya, \((a + b)^2 \) tentu saja bukan hanya kuadrat dari jumlah, tetapi kuadrat dari jumlah a dan b . Namun, kuadrat dari jumlah a dan b tidak terlalu sering muncul; sebagai aturan, alih-alih huruf a dan b, ia berisi berbagai ekspresi, terkadang cukup rumit.

Ekspresi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dapat dengan mudah diubah (disederhanakan) menjadi polinomial bentuk standar; pada kenyataannya, Anda telah menemui tugas seperti itu saat mengalikan polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Penting untuk mengingat identitas yang dihasilkan dan menerapkannya tanpa perhitungan perantara. Rumusan verbal singkat membantu dalam hal ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuadrat dari jumlah tersebut sama dengan jumlah kuadrat dan hasil kali gandanya.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuadrat selisihnya sama dengan jumlah kuadrat tanpa hasil kali ganda.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - selisih kuadrat sama dengan hasil kali selisih dan jumlah.

Ketiga identitas ini memungkinkan seseorang untuk mengganti bagian kirinya dengan bagian kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bagian kanan dengan bagian kiri. Hal tersulit adalah melihat ekspresi yang sesuai dan memahami bagaimana variabel a dan b diganti di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh penggunaan rumus perkalian yang disingkat.

Definisi 1

Pertama mari kita ingat Aturan mengalikan monomial dengan monomial:

Untuk mengalikan monomial dengan monomial, pertama-tama Anda harus mengalikan koefisien monomial, kemudian, dengan menggunakan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, mengalikan variabel-variabel yang termasuk dalam monomial.

Contoh 1

Carilah hasil kali monomial $(2x)^3y^2z$ dan $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

Larutan:

Pertama, mari kita hitung hasil kali koefisiennya

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ dalam tugas ini kita menggunakan aturan untuk mengalikan suatu bilangan dengan pecahan - untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu kalikan bilangan tersebut dengan pembilang pecahan, dan masukkan penyebutnya tanpa perubahan

Sekarang mari kita gunakan sifat utama pecahan - pembilang dan penyebut pecahan dapat dibagi dengan angka yang sama, berbeda dengan $0$. Mari kita bagi pembilang dan penyebut pecahan ini dengan $2$, yaitu, kurangi pecahan ini dengan $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frak(3 )(2)$

Hasil yang diperoleh ternyata merupakan pecahan biasa, yaitu pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya.

Mari kita ubah pecahan ini dengan mengisolasi seluruh bagiannya. Ingatlah bahwa untuk mengisolasi suatu bagian bilangan bulat, perlu menuliskan sisa pembagian menjadi pembilang bagian pecahan, pembagi menjadi penyebut.

Kami menemukan koefisien produk masa depan.

Sekarang kita akan mengalikan variabel $x^3\cdot x^2=x^5$ secara berurutan,

$y^2\cdot y^4 =y^6$. Di sini kita menggunakan aturan untuk mengalikan pangkat dengan basis yang sama: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

Maka hasil perkalian monomialnya adalah:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$.

Kemudian, berdasarkan aturan ini, Anda bisa melakukan tugas berikut:

Contoh 2

Nyatakan polinomial tertentu sebagai hasil kali polinomial dan monomial $(4x)^3y+8x^2$

Mari kita nyatakan setiap monomial yang termasuk dalam polinomial sebagai produk dari dua monomial untuk mengisolasi monomial yang sama, yang akan menjadi faktor dalam monomial pertama dan kedua.

Pertama, mari kita mulai dengan monomial pertama $(4x)^3y$. Mari kita faktorkan koefisiennya menjadi faktor sederhana: $4=2\cdot 2$. Kita akan melakukan hal yang sama dengan koefisien monomial kedua $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Perhatikan bahwa dua faktor $2\cdot 2$ disertakan dalam koefisien pertama dan kedua, yang berarti $2\cdot 2=4$ - angka ini akan dimasukkan dalam monomial umum sebagai koefisien

Sekarang mari kita perhatikan bahwa di monomial pertama ada $x^3$, dan di monomial kedua ada variabel yang sama pangkat $2:x^2$. Ini berarti akan lebih mudah untuk merepresentasikan variabel $x^3$ seperti ini:

Variabel $y$ hanya termasuk dalam satu suku polinomial, artinya tidak dapat dimasukkan dalam monomial umum.

Bayangkan monomial pertama dan kedua termasuk dalam polinomial sebagai produk:

$(4x)^3y=4x^2\cdot xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

Perhatikan bahwa monomial persekutuan, yang akan menjadi faktor dalam monomial pertama dan kedua, adalah $4x^2$.

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$

Sekarang kita menerapkan hukum perkalian distributif, maka ekspresi yang dihasilkan dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua faktor. Salah satu pengali akan menjadi pengali total: $4x^2$ dan pengali lainnya akan menjadi jumlah pengali yang tersisa: $xy + 2$. Cara:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

Metode ini disebut faktorisasi menggunakan faktor persekutuan.

Faktor persekutuan dalam kasus ini adalah monomial $4x^2$.

Algoritma

Catatan 1

Temukan pembagi persekutuan terbesar dari koefisien semua monomial yang termasuk dalam polinomial - ini akan menjadi koefisien faktor persekutuan-monomial, yang akan kita keluarkan dari tanda kurung

Monomial yang terdiri dari koefisien yang terdapat pada paragraf 2 dan variabel-variabel yang terdapat pada paragraf 3 akan menjadi faktor persekutuan. yang dapat dikeluarkan dari tanda kurung sebagai faktor persekutuan.

Contoh 3

Keluarkan faktor persekutuan $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$

Larutan:

Mari kita cari gcd dari koefisiennya; untuk ini kita akan menguraikan koefisiennya menjadi faktor sederhana

$45=3\cdot 3\cdot 5$

Dan kami menemukan produk dari yang termasuk dalam perluasan masing-masing:

Identifikasi variabel-variabel yang membentuk setiap monomial dan pilih variabel dengan eksponen terkecil

$a^3=a^2\cdot a$

Variabel $b$ hanya dimasukkan pada monomial kedua dan ketiga, artinya tidak termasuk dalam faktor persekutuan.

Mari kita buat monomial yang terdiri dari koefisien yang ditemukan pada langkah 2, variabel yang ditemukan pada langkah 3, kita mendapatkan: $3a$ - ini akan menjadi faktor persekutuan. Kemudian:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$

Dalam kerangka kajian transformasi identitas, topik menghilangkan faktor persekutuan menjadi sangat penting. Pada artikel ini kami akan menjelaskan apa sebenarnya transformasi tersebut, memperoleh aturan dasar, dan menganalisis contoh-contoh masalah yang umum.

Yandex.RTB RA-339285-1

Konsep mengeluarkan faktor dari tanda kurung

Agar berhasil menerapkan transformasi ini, Anda perlu mengetahui ekspresi apa yang digunakan dan hasil apa yang ingin Anda dapatkan pada akhirnya. Mari kita perjelas poin-poin ini.

Anda dapat mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung dalam ekspresi yang menyatakan jumlah yang setiap sukunya merupakan perkalian, dan dalam setiap perkalian terdapat satu faktor yang sama (sama) untuk semua orang. Ini disebut faktor persekutuan. Inilah yang akan kita keluarkan dari tanda kurung. Jadi, jika kita punya karya 5 3 Dan 5 4, maka kita dapat mengeluarkan faktor persekutuan 5 dari tanda kurung.

Terdiri dari apa transformasi ini? Selama itu, kami menyatakan ekspresi asli sebagai produk dari faktor persekutuan dan ekspresi dalam tanda kurung yang berisi jumlah semua suku asli kecuali faktor persekutuan.

Mari kita ambil contoh yang diberikan di atas. Mari tambahkan faktor persekutuan 5 ke 5 3 Dan 5 4 dan kita mendapatkan 5 (3 + 4) . Ekspresi akhir adalah hasil kali faktor persekutuan 5 dengan ekspresi dalam tanda kurung, yang merupakan jumlah suku asli tanpa 5.

Transformasi ini didasarkan pada sifat distributif perkalian yang telah kita pelajari sebelumnya. Dalam bentuk harafiahnya dapat ditulis sebagai a (b + c) = a b + a c. Dengan mengganti ruas kanan dengan ruas kiri, kita akan melihat skema untuk mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Aturan untuk mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Dengan menggunakan semua hal di atas, kami memperoleh aturan dasar untuk transformasi seperti itu:

Definisi 1

Untuk menghapus faktor persekutuan dari tanda kurung, Anda perlu menulis ekspresi asli sebagai hasil kali faktor persekutuan dan tanda kurung yang menyertakan jumlah asli tanpa faktor persekutuan.

Contoh 1

Mari kita ambil contoh rendering sederhana. Kami memiliki ekspresi numerik 3 7 + 3 2 − 3 5, yang merupakan jumlah dari tiga suku 3 · 7, 3 · 2 dan faktor persekutuan 3. Dengan mengambil aturan yang kami turunkan sebagai dasar, kami menulis produknya sebagai 3 (7 + 2 − 5). Ini adalah hasil transformasi kami. Seluruh solusinya terlihat seperti ini: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

Kita dapat mengeluarkan faktor dari tanda kurung tidak hanya dalam bentuk numerik, tetapi juga dalam ekspresi literal. Misalnya, di 3 x − 7 x + 2 Anda dapat mengambil variabel x dan mendapatkan 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2, dalam ekspresi (x 2 + y) x y − (x 2 + y) x 3– faktor persekutuan (x2+y) dan dapatkan pada akhirnya (x 2 + kamu) · (x · kamu − x 3).

Tidak selalu mungkin untuk segera menentukan faktor mana yang umum. Terkadang suatu ekspresi harus diubah terlebih dahulu dengan mengganti angka dan ekspresi dengan hasil kali yang identik.

Contoh 2

Jadi, misalnya dalam ekspresi 6 x + 4 tahun dimungkinkan untuk menurunkan faktor persekutuan 2 yang tidak dituliskan secara eksplisit. Untuk menemukannya, kita perlu mengubah ekspresi aslinya, mewakili enam sebagai 2 · 3 dan empat sebagai 2 · 2. Yaitu 6 x + 4 tahun = 2 3 x + 2 2 tahun = 2 (3 x + 2 tahun). Atau dalam ekspresi x 3 + x 2 + 3 x kita dapat mengeluarkan faktor persekutuan x dari tanda kurung, yang terungkap setelah penggantian x 3 pada x · x 2 . Transformasi ini dimungkinkan karena sifat dasar derajat. Hasilnya, kita mendapatkan ekspresi x (x 2 + x + 3).

Kasus lain yang perlu dibahas secara terpisah adalah penghapusan tanda minus dari tanda kurung. Lalu kita keluarkan bukan tandanya sendiri, tapi minus satu. Misalnya, mari kita ubah ekspresi seperti ini − 5 − 12 x + 4 x y. Mari kita tulis ulang ekspresi tersebut sebagai (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x y, sehingga pengganda keseluruhan lebih terlihat jelas. Mari kita keluarkan dari tanda kurung dan dapatkan − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . Contoh ini menunjukkan bahwa dalam tanda kurung diperoleh jumlah yang sama, tetapi tandanya berlawanan.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa transformasi dengan menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung sangat sering digunakan dalam praktik, misalnya, untuk menghitung nilai ekspresi rasional. Metode ini juga berguna ketika Anda perlu merepresentasikan suatu ekspresi sebagai suatu produk, misalnya, untuk memfaktorkan suatu polinomial menjadi faktor-faktor individual.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

\(5x+xy\) dapat direpresentasikan sebagai \(x(5+y)\). Ini memang ekspresi yang identik, kita dapat memverifikasinya dengan membuka tanda kurung: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Seperti yang Anda lihat, sebagai hasilnya kami mendapatkan ekspresi aslinya. Artinya \(5x+xy\) memang sama dengan \(x(5+y)\). Omong-omong, ini adalah cara yang dapat diandalkan untuk memeriksa kebenaran faktor persekutuan - buka tanda kurung yang dihasilkan dan bandingkan hasilnya dengan ekspresi aslinya.

Aturan utama untuk melakukan bracketing:

Misalnya, dalam ekspresi \(3ab+5bc-abc\) hanya \(b\) yang dapat dikeluarkan dari tanda kurung, karena hanya \(b\) yang terdapat pada ketiga suku tersebut. Proses menghilangkan faktor persekutuan dari tanda kurung ditunjukkan pada diagram di bawah ini:

Aturan braket

Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menghilangkan semua faktor persekutuan sekaligus.

Contoh:\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Harap dicatat bahwa di sini kita dapat memperluas seperti ini: \(3(xy-xz)\) atau seperti ini: \(x(3y-3z)\). Namun, ini merupakan dekomposisi yang tidak lengkap. Baik C dan X harus dihilangkan.


Terkadang anggota umum tidak langsung terlihat.


Contoh:\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
Dalam hal ini, istilah umum (lima) disembunyikan. Namun, setelah memperluas \(10\) sebagai \(2\) dikalikan dengan \(5\), dan \(15\) sebagai \(3\) dikalikan dengan \(5\) - kita “menarik kelimanya ke dalam terang Tuhan”, setelah itu mereka dengan mudah dapat mengeluarkannya dari braket.


Jika suatu monomial dihilangkan seluruhnya, hanya ada satu yang tersisa darinya.

Contoh: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Kita keluarkan \(x\) dari tanda kurung, dan monomial ketiga hanya terdiri dari x. Mengapa seseorang tetap tinggal darinya? Karena jika suatu ekspresi dikalikan satu, maka ekspresi tersebut tidak akan berubah. Artinya, \(x\) yang sama dapat direpresentasikan sebagai \(1\cdot x\). Kemudian kita memiliki rantai transformasi berikut:

\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\ (1\)\()\)

Selain itu, ini adalah satu-satunya cara yang benar untuk mengekstraknya, karena jika kita tidak meninggalkannya, maka saat membuka tanda kurung kita tidak akan kembali ke ekspresi aslinya. Memang jika kita melakukan ekstraksi seperti ini \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), maka ketika diperluas kita akan mendapatkan \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Anggota ketiga hilang. Artinya pernyataan seperti itu tidak benar.

Anda dapat menempatkan tanda minus di luar tanda kurung, dan tanda suku di dalam tanda kurung dibalik.


Contoh:\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
Intinya, di sini kita menampilkan “minus satu”, yang dapat “dipilih” di depan monomial apa pun, meskipun tidak ada minus di depannya. Di sini kami menggunakan fakta bahwa seseorang dapat ditulis sebagai \((-1) \cdot (-1)\). Berikut adalah contoh yang sama, dijelaskan secara rinci:

\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)

Tanda kurung juga bisa menjadi faktor umum.


Contoh:\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
Situasi ini paling sering kita temui (menghilangkan tanda kurung dari tanda kurung) ketika memfaktorkan menggunakan metode pengelompokan atau

Dalam pelajaran ini, kita akan mengenal aturan pengurungan faktor persekutuan dan mempelajari cara mencarinya dalam berbagai contoh dan ekspresi. Mari kita bahas tentang bagaimana operasi sederhana, menghilangkan faktor persekutuan di luar tanda kurung, memungkinkan Anda menyederhanakan penghitungan. Kami akan mengkonsolidasikan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan melihat contoh-contoh dari berbagai kompleksitas.

Apa faktor umum, mengapa mencarinya dan untuk tujuan apa dikeluarkan dari tanda kurung? Mari kita jawab pertanyaan-pertanyaan ini dengan melihat contoh sederhana.

Mari kita selesaikan persamaannya. Ruas kiri persamaan adalah polinomial yang terdiri dari suku-suku serupa. Bagian hurufnya sama dengan istilah-istilah ini, artinya akan menjadi faktor persekutuan. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:

Dalam hal ini, menghilangkan faktor persekutuan dari tanda kurung membantu kita mengubah polinomial menjadi monomial. Dengan demikian, kami dapat menyederhanakan polinomial dan transformasinya membantu kami menyelesaikan persamaan tersebut.

Dalam contoh yang dibahas, faktor persekutuannya sudah jelas, tetapi apakah mudah untuk menemukannya dalam polinomial sembarang?

Mari kita temukan arti dari ungkapan tersebut: .

Dalam contoh ini, menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung sangat menyederhanakan penghitungan.

Mari kita selesaikan satu contoh lagi. Mari kita buktikan pembagian menjadi ekspresi.

Ekspresi yang dihasilkan habis dibagi , sebagaimana harus dibuktikan. Sekali lagi, mengambil faktor persekutuan memungkinkan kita menyelesaikan masalah tersebut.

Mari kita selesaikan satu contoh lagi. Mari kita buktikan bahwa ekspresi tersebut habis dibagi untuk sembarang bilangan asli: .

Ekspresinya adalah hasil kali dua bilangan asli yang berdekatan. Salah satu dari dua bilangan tersebut pasti genap, artinya bilangan tersebut habis dibagi .

Kami melihat contoh yang berbeda, tetapi kami menggunakan metode penyelesaian yang sama: kami mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung. Kami melihat bahwa operasi sederhana ini sangat menyederhanakan perhitungan. Sangat mudah untuk menemukan faktor persekutuan untuk kasus-kasus khusus ini, tetapi apa yang harus dilakukan dalam kasus umum, untuk polinomial sembarang?

Ingatlah bahwa polinomial adalah jumlah dari monomial.

Pertimbangkan polinomialnya . Polinomial ini adalah jumlah dari dua monomial. Monomial adalah hasil kali suatu bilangan, koefisien, dan bagian huruf. Jadi, dalam polinomial kita, setiap monomial diwakili oleh hasil kali bilangan dan pangkat, hasil kali faktor. Faktornya bisa sama untuk semua monomial. Faktor-faktor inilah yang perlu ditentukan dan dikeluarkan dari kelompok. Pertama, kita mencari faktor persekutuan untuk koefisien-koefisien tersebut, yaitu bilangan bulat.

Menemukan faktor persekutuannya mudah, tetapi mari kita tentukan gcd koefisiennya: .

Mari kita lihat contoh lain: .

Mari kita cari , yang memungkinkan kita menentukan faktor persekutuan untuk ekspresi ini: .

Kami telah memperoleh aturan untuk koefisien bilangan bulat. Anda perlu menemukan gcd mereka dan mengeluarkannya dari braket. Mari kita konsolidasikan aturan ini dengan menyelesaikan satu contoh lagi.

Kita telah melihat aturan untuk menetapkan faktor persekutuan untuk koefisien bilangan bulat, mari kita beralih ke bagian huruf. Pertama kita cari huruf-huruf yang termasuk dalam semua monomial, lalu kita tentukan derajat tertinggi dari huruf yang termasuk dalam semua monomial: .

Dalam contoh ini hanya ada satu variabel huruf umum, namun bisa ada beberapa, seperti pada contoh berikut:

Mari kita memperumit contoh ini dengan menambah jumlah monomial:

Setelah menghilangkan faktor persekutuannya, kami mengubah jumlah aljabar menjadi hasil kali.

Kita telah membahas aturan pengurangan koefisien bilangan bulat dan variabel huruf secara terpisah, namun paling sering Anda perlu menerapkannya bersama-sama untuk menyelesaikan contoh. Mari kita lihat sebuah contoh:

Terkadang sulit untuk menentukan ekspresi mana yang tersisa di dalam tanda kurung, mari kita lihat trik mudah yang akan memungkinkan Anda menyelesaikan masalah ini dengan cepat.

Faktor persekutuan juga bisa menjadi nilai yang diinginkan:

Faktor persekutuan tidak hanya berupa bilangan atau monomial, tetapi juga ekspresi apa pun, seperti persamaan berikut.