Tahun pertama, matematika tingkat tinggi, belajar matriks dan tindakan dasar terhadapnya. Di sini kami mensistematisasikan operasi dasar yang dapat dilakukan dengan matriks. Di mana mulai mengenal matriks? Tentu saja, dari hal yang paling sederhana - definisi, konsep dasar, dan pengoperasian sederhana. Kami meyakinkan Anda bahwa matriks ini akan dipahami oleh semua orang yang mencurahkan setidaknya sedikit waktu untuk matriks tersebut!

Definisi Matriks

Matriks adalah tabel elemen berbentuk persegi panjang. Nah, bagaimana jika dalam bahasa yang sederhana– tabel angka.

Biasanya matriks dilambangkan dengan huruf kapital dalam huruf latin. Misalnya matriks A , matriks B dan sebagainya. Matriks bisa saja ukuran yang berbeda: persegi panjang, persegi, ada juga matriks baris dan matriks kolom yang disebut vektor. Besar kecilnya matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom. Misalnya, mari kita menulis matriks persegi panjang ukuran M pada N , Di mana M – jumlah baris, dan N – jumlah kolom.

Item untuk itu saya=j (a11, a22, .. ) membentuk diagonal utama matriks dan disebut diagonal.

Apa yang dapat Anda lakukan dengan matriks? Tambah/Kurangi, kalikan dengan angka, berkembang biak di antara mereka sendiri, mengubah urutan. Sekarang tentang semua operasi dasar pada matriks secara berurutan.

Operasi penjumlahan dan pengurangan matriks

Izinkan kami segera memperingatkan Anda bahwa Anda hanya dapat menjumlahkan matriks dengan ukuran yang sama. Hasilnya adalah matriks dengan ukuran yang sama. Menjumlahkan (atau mengurangkan) matriks itu sederhana - Anda hanya perlu menambahkan elemen yang sesuai . Mari kita beri contoh. Mari kita lakukan penjumlahan dua matriks A dan B berukuran dua per dua.

Pengurangan dilakukan dengan analogi, hanya dengan tanda sebaliknya.

Matriks apa pun dapat dikalikan dengan bilangan sembarang. Untuk melakukan ini Anda perlu mengalikan setiap elemennya dengan angka ini. Misalnya, kalikan matriks A dari contoh pertama dengan angka 5:

Operasi perkalian matriks

Tidak semua matriks dapat dikalikan. Misalnya, kita mempunyai dua matriks - A dan B. Kedua matriks tersebut hanya dapat dikalikan satu sama lain jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Dalam hal ini setiap elemen matriks yang dihasilkan terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j, akan sama dengan jumlah hasil kali unsur-unsur yang bersesuaian pada baris ke-i faktor pertama dan kolom ke-j pada faktor kedua. Untuk memahami algoritma ini, mari kita tuliskan cara mengalikan dua matriks persegi:

Dan contoh dengan bilangan real. Mari kalikan matriksnya:

Operasi transpos matriks

Transposisi matriks adalah operasi pertukaran baris dan kolom yang bersesuaian. Misalnya, mari kita transpos matriks A dari contoh pertama:

Penentu matriks

Penentu atau determinan adalah salah satu konsep dasar aljabar linier. Suatu ketika orang-orang datang dengan ide tersebut persamaan linear, dan di belakangnya kami harus menemukan determinannya. Pada akhirnya, terserah Anda untuk menangani semua ini, jadi, dorongan terakhir!

Penentu adalah karakteristik numerik dari matriks persegi, yang diperlukan untuk menyelesaikan banyak masalah.
Untuk menghitung determinan matriks persegi paling sederhana, Anda perlu menghitung selisih antara produk elemen diagonal utama dan diagonal sekunder.

Penentu suatu matriks orde pertama, yaitu matriks yang terdiri dari satu elemen, sama dengan elemen tersebut.

Bagaimana jika matriksnya tiga kali tiga? Ini lebih sulit, tetapi Anda bisa mengatasinya.

Untuk matriks seperti itu, nilai determinannya sama dengan jumlah produk dari elemen-elemen diagonal utama dan produk dari elemen-elemen yang terletak pada segitiga dengan wajah sejajar dengan diagonal utama, dari mana produk dari elemen diagonal sekunder dan hasil kali elemen-elemen yang terletak pada segitiga dengan sisi diagonal sekunder yang sejajar dikurangi.

Untungnya, menghitung determinan matriks ukuran besar dalam praktiknya hal ini jarang diperlukan.

Di sini kita melihat operasi dasar pada matriks. Tentu saja, di kehidupan nyata Anda mungkin tidak pernah menemukan sedikit pun tentang sistem persamaan matriks, atau, sebaliknya, Anda mungkin menemukan lebih banyak lagi kasus yang kompleks ketika kamu benar-benar harus memutar otak. Untuk kasus-kasus seperti itulah layanan mahasiswa profesional ada. Minta bantuan, dapatkan kualitas dan solusi terperinci, nikmati kesuksesan akademis dan waktu luang Anda.

Diberikan manual metodologi akan membantu Anda mempelajari cara melakukan operasi dengan matriks: penjumlahan matriks (pengurangan), transposisi matriks, perkalian matriks, pencarian matriks terbalik. Semua materi disajikan dalam bentuk yang sederhana dan mudah diakses, contoh-contoh yang relevan diberikan, sehingga orang yang tidak siap pun dapat mempelajari cara melakukan tindakan dengan matriks.

Untuk self-monitoring dan self-testing, Anda dapat mendownload kalkulator matriks secara gratis >>>. Saya akan mencoba meminimalkan perhitungan teoretis; di beberapa tempat penjelasan “dengan jari” dan penggunaan istilah non-ilmiah dimungkinkan. Pecinta teori yang solid, mohon jangan terlibat dalam kritik, tugas kita adalah.

Untuk persiapan SUPER CEPAT tentang topik (siapa yang “on fire”) ada kursus pdf intensif Matriks, determinan dan tes!

Matriks adalah tabel persegi panjang dari beberapa tabel elemen. Sebagai elemen kita akan mempertimbangkan angka, yaitu matriks numerik. ELEMEN adalah sebuah istilah. Disarankan untuk mengingat istilah tersebut, akan sering muncul, bukan kebetulan saya menggunakan font tebal untuk menyorotnya.

Penamaan: matriks biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital

Contoh: Pertimbangkan matriks dua-kali-tiga:

matriks ini terdiri dari enam elemen:

Semua bilangan (elemen) di dalam matriks ada dengan sendirinya, yaitu tidak ada pembicaraan tentang pengurangan apa pun:

Itu hanya tabel (kumpulan) angka!

Kami juga akan setuju jangan mengatur ulang nomor, kecuali dinyatakan lain dalam penjelasan. Setiap nomor memiliki lokasinya sendiri dan tidak dapat diacak!

Matriks yang dimaksud memiliki dua baris:

dan tiga kolom:

STANDAR: ketika berbicara tentang ukuran matriks, maka pada awalnya menunjukkan jumlah baris, dan baru kemudian jumlah kolom. Kami baru saja memecah matriks dua per tiga.

Jika jumlah baris dan kolom suatu matriks sama, maka matriks tersebut disebut persegi, Misalnya: – matriks tiga kali tiga.

Jika suatu matriks mempunyai satu kolom atau satu baris, maka matriks tersebut disebut juga vektor.

Sebenarnya kita sudah mengenal konsep matriks sejak di sekolah, perhatikan misalnya suatu titik dengan koordinat “x” dan “y”: . Intinya, koordinat suatu titik dituliskan ke dalam matriks satu-dua. Omong-omong, berikut adalah contoh mengapa urutan angka itu penting: dan ada dua yang lengkap poin yang berbeda pesawat.

Sekarang mari kita beralih ke belajar operasi dengan matriks:

1) Babak pertama. Menghapus minus dari matriks (memasukkan minus ke dalam matriks).

Mari kembali ke matriks kita . Seperti yang mungkin Anda perhatikan, ada terlalu banyak bilangan negatif dalam matriks ini. Ini sangat merepotkan dari sudut pandang kinerja. berbagai tindakan dengan matriks, tidak nyaman untuk menulis begitu banyak kekurangan, dan desainnya terlihat jelek.

Mari kita pindahkan tanda minus ke luar matriks, dengan mengubah tanda SETIAP elemen matriks:

Pada angka nol, seperti yang Anda pahami, tandanya tidak berubah; nol juga berarti nol di Afrika.

Contoh sebaliknya: . Kelihatannya jelek.

Mari kita masukkan tanda minus ke dalam matriks dengan mengubah tanda SETIAP elemen matriks:

Ternyata jauh lebih bagus. Dan, yang paling penting, akan LEBIH MUDAH untuk melakukan tindakan apa pun dengan matriks tersebut. Karena ada matematika seperti itu tanda rakyat: semakin banyak minusnya, semakin banyak kebingungan dan kesalahan.

2) Babak kedua. Mengalikan matriks dengan angka.

Contoh:

Sederhana saja, untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda memerlukannya setiap elemen matriks dikalikan dengan nomor yang diberikan. DI DALAM dalam hal ini- untuk tiga orang.

Lain contoh yang berguna:

– mengalikan matriks dengan pecahan

Pertama mari kita lihat apa yang harus dilakukan TIDAK PERLU:

TIDAK PERLU memasukkan pecahan ke dalam matriks, pertama hanya memperumitnya tindakan lebih lanjut dengan matriks, kedua, menyulitkan guru untuk memeriksa solusinya (apalagi jika – jawaban akhir tugas).

Dan terlebih lagi, TIDAK PERLU bagilah setiap elemen matriks dengan dikurangi tujuh:

Dari artikel tersebut Matematika untuk boneka atau harus mulai dari mana, kita ingat bahwa dalam matematika tingkat tinggi mereka berusaha menghindari pecahan desimal dengan koma dengan segala cara yang memungkinkan.

Satu-satunya hal adalah lebih disukai Apa yang harus dilakukan dalam contoh ini adalah menambahkan tanda minus pada matriks:

Tapi jika saja SEMUA elemen matriks dibagi 7 tanpa jejak, maka akan mungkin (dan perlu!) untuk membagi.

Contoh:

Dalam hal ini, Anda bisa PERLU kalikan semua elemen matriks dengan , karena semua bilangan matriks habis dibagi 2 tanpa jejak.

Catatan: dalam teori matematika SMA tidak ada konsep “pembagian”. Daripada mengatakan “ini dibagi itu”, Anda selalu bisa mengatakan “ini dikalikan dengan pecahan”. Artinya, pembagian adalah kasus khusus perkalian.

3) Babak ketiga. Transpos Matriks.

Untuk melakukan transposisi matriks, Anda perlu menuliskan baris-barisnya ke dalam kolom-kolom matriks yang ditransposisikan.

Contoh:

Ubah urutan matriks

Hanya ada satu baris di sini dan menurut aturan, perlu ditulis dalam kolom:

– matriks yang ditransposisikan.

Matriks yang ditransposisi biasanya ditandai dengan superskrip atau bilangan prima di kanan atas.

Contoh langkah demi langkah:

Ubah urutan matriks

Pertama kita tulis ulang baris pertama menjadi kolom pertama:

Kemudian kita tulis ulang baris kedua ke kolom kedua:

Dan terakhir, kita tulis ulang baris ketiga menjadi kolom ketiga:

Siap. Secara kasar, transpose berarti memutar matriks pada sisinya.

4) Babak keempat. Jumlah (selisih) matriks.

Penjumlahan matriks adalah operasi sederhana.
TIDAK SEMUA MATRIK DAPAT DILIPAT. Untuk melakukan penjumlahan (pengurangan) matriks, ukurannya harus SAMA.

Misalnya, jika diberikan matriks dua-dua, maka matriks tersebut hanya dapat dijumlahkan dengan matriks dua-dua dan tidak ada yang lain!

Contoh:

Tambahkan matriks Dan

Untuk menjumlahkan matriks, Anda perlu menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian:

Untuk selisih matriks aturannya serupa, perlu untuk menemukan perbedaan elemen-elemen yang bersesuaian.

Contoh:

Temukan perbedaan matriks ,

Bagaimana cara memutuskan contoh ini lebih mudah agar tidak bingung? Dianjurkan untuk menghilangkan minus yang tidak perlu; untuk melakukan ini, tambahkan minus ke matriks:

Catatan: dalam teori matematika SMA tidak ada konsep “pengurangan”. Daripada mengatakan “kurangi ini dari ini”, Anda selalu dapat mengatakan “tambahkan angka negatif ke ini”. Artinya, pengurangan adalah kasus khusus penjumlahan.

5) Babak lima. Perkalian matriks.

Matriks apa saja yang dapat dikalikan?

Agar suatu matriks dapat dikalikan dengan suatu matriks, maka perlu sehingga jumlah kolom matriks sama dengan jumlah baris matriks.

Contoh:
Apakah suatu matriks dapat dikalikan dengan matriks?

Artinya data matriks dapat dikalikan.

Tetapi jika matriks-matriksnya disusun ulang, maka dalam hal ini perkalian tidak mungkin lagi!

Oleh karena itu, perkalian tidak dapat dilakukan:

Tidak jarang kita menjumpai tugas-tugas yang mengandung trik, ketika siswa diminta untuk mengalikan matriks yang jelas-jelas tidak mungkin untuk dikalikan.

Perlu dicatat bahwa dalam beberapa kasus, matriks dapat dikalikan dengan kedua cara.
Misalnya, untuk matriks, perkalian dan perkalian dimungkinkan

Topik ini akan mencakup operasi seperti penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan bilangan, perkalian matriks dengan matriks, dan transposisi matriks. Semua simbol yang digunakan pada halaman ini diambil dari topik sebelumnya.

Penjumlahan dan pengurangan matriks.

Jumlah $A+B$ matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ disebut matriks $C_(m \times n) =(c_(ij))$, di mana $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline( 1,n) $.

Definisi serupa diperkenalkan untuk perbedaan matriks:

Selisih antara matriks $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dan $B_(m\times n)=(b_(ij))$ adalah matriks $C_(m\times n)=( c_(ij))$, di mana $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1, n)$.

Penjelasan untuk entri $i=\overline(1,m)$: tampilkan\sembunyikan

Notasi "$i=\overline(1,m)$" berarti parameter $i$ bervariasi dari 1 hingga m. Misalnya, entri $i=\overline(1,5)$ menunjukkan bahwa parameter $i$ mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5.

Perlu dicatat bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan hanya ditentukan untuk matriks dengan ukuran yang sama. Secara umum, penjumlahan dan pengurangan matriks merupakan operasi yang jelas secara intuitif, karena pada dasarnya hanya berarti penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen yang bersesuaian.

Contoh No.1

Tiga matriks diberikan:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \kanan)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \kanan); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \kanan). $$

Apakah mungkin menemukan matriks $A+F$? Temukan matriks $C$ dan $D$ jika $C=A+B$ dan $D=A-B$.

Matriks $A$ berisi 2 baris dan 3 kolom (dengan kata lain ukuran matriks $A$ adalah $2\kali 3$), dan matriks $F$ berisi 2 baris dan 2 kolom. Ukuran matriks $A$ dan $F$ tidak cocok, jadi kita tidak dapat menjumlahkannya, mis. operasi $A+F$ tidak ditentukan untuk matriks ini.

Ukuran matriks $A$ dan $B$ adalah sama, yaitu. Data matriks berisi jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga operasi penjumlahan dapat diterapkan pada baris dan kolom tersebut.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \kanan)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \kanan)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \kanan) $$

Mari kita cari matriks $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \kanan)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \kanan)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \kanan) $$

Menjawab: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \kanan)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \kanan)$.

Mengalikan matriks dengan angka.

Hasil kali matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dengan bilangan $\alpha$ adalah matriks $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dimana $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ untuk semua $i=\overline(1,m)$ dan $j=\overline(1,n)$.

Sederhananya, mengalikan suatu matriks dengan suatu bilangan tertentu berarti mengalikan setiap elemen suatu matriks dengan bilangan tersebut.

Contoh No.2

Matriksnya diberikan: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Temukan matriks $3\cdot A$, $-5\cdot A$ dan $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan) =\left(\begin( array) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \kanan)= \kiri(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \kanan).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \kanan)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan). $$

Notasi $-A$ adalah notasi singkat untuk $-1\cdot A$. Artinya, untuk mencari $-A$ Anda perlu mengalikan semua elemen matriks $A$ dengan (-1). Intinya, ini berarti tanda semua elemen matriks $A$ akan berubah menjadi sebaliknya:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \kanan)= \ kiri(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \kanan) $$

Menjawab: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \kanan);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \kanan);\; -A=\kiri(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \kanan)$.

Produk dari dua matriks.

Definisi operasi ini rumit dan sekilas tidak jelas. Oleh karena itu, pertama-tama saya akan menunjukkannya definisi umum, lalu kita akan melihat secara detail apa artinya dan cara menggunakannya.

Hasil kali matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dengan matriks $B_(n\times k)=(b_(ij))$ adalah matriks $C_(m\times k )=(c_( ij))$, yang mana setiap elemen $c_(ij)$ sama dengan jumlah produk dari elemen yang bersangkutan elemen ke-i baris matriks $A$ ke elemen kolom ke-j matriks $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \ ;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Mari kita lihat perkalian matriks langkah demi langkah menggunakan sebuah contoh. Namun perlu segera diperhatikan bahwa tidak semua matriks dapat dikalikan. Jika kita ingin mengalikan matriks $A$ dengan matriks $B$, pertama-tama kita perlu memastikan bahwa jumlah kolom matriks $A$ sama dengan jumlah baris matriks $B$ (matriks seperti ini sering disebut disepakati). Misalnya matriks $A_(5\times 4)$ (matriks berisi 5 baris dan 4 kolom) tidak dapat dikalikan dengan matriks $F_(9\times 8)$ (9 baris dan 8 kolom), karena bilangan tersebut kolom matriks $A$ tidak sama dengan jumlah baris matriks $F$, yaitu $4\neq 9$. Namun matriks $A_(5\times 4)$ dapat dikalikan dengan matriks $B_(4\times 9)$, karena jumlah kolom matriks $A$ sama dengan jumlah baris matriks $ B$. Dalam hal ini, hasil perkalian matriks $A_(5\times 4)$ dan $B_(4\times 9)$ adalah matriks $C_(5\times 9)$ yang berisi 5 baris dan 9 kolom:

Contoh No.3

Matriks yang diberikan: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (array) \kanan)$ dan $ B=\kiri(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \kanan) $. Cari matriks $C=A\cdot B$.

Pertama, mari kita segera menentukan ukuran matriks $C$. Karena matriks $A$ berukuran $3\times 4$, dan matriks $B$ berukuran $4\times 2$, maka ukuran matriks $C$ adalah: $3\times 2$:

Jadi, sebagai hasil perkalian matriks $A$ dan $B$, diperoleh matriks $C$, yang terdiri dari tiga baris dan dua kolom: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_(11) & c_(12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \ akhir(array)\kanan)$. Jika penunjukan unsur menimbulkan pertanyaan, maka Anda dapat melihat topik sebelumnya: “Matriks. Tujuan kami: menemukan nilai semua elemen matriks $C$.

Mari kita mulai dengan elemen $c_(11)$. Untuk memperoleh elemen $c_(11)$, Anda perlu mencari jumlah hasil kali elemen-elemen baris pertama matriks $A$ dan kolom pertama matriks $B$:

Untuk mencari elemen $c_(11)$ itu sendiri, Anda perlu mengalikan elemen baris pertama matriks $A$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom pertama matriks $B$, yaitu elemen pertama ke elemen pertama, elemen kedua ke elemen kedua, elemen ketiga ke elemen ketiga, elemen keempat ke elemen keempat. Kami merangkum hasil yang diperoleh:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Mari lanjutkan solusinya dan temukan $c_(12)$. Untuk melakukannya, Anda harus mengalikan elemen baris pertama matriks $A$ dan kolom kedua matriks $B$:

Mirip dengan yang sebelumnya, kami memiliki:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Semua elemen baris pertama matriks $C$ telah ditemukan. Mari beralih ke baris kedua, yang dimulai dengan elemen $c_(21)$. Untuk menemukannya, Anda harus mengalikan elemen baris kedua matriks $A$ dan kolom pertama matriks $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Kita mencari elemen berikutnya $c_(22)$ dengan mengalikan elemen-elemen baris kedua matriks $A$ dengan elemen-elemen yang bersesuaian pada kolom kedua matriks $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Untuk mencari $c_(31)$, kalikan elemen baris ketiga matriks $A$ dengan elemen kolom pertama matriks $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Dan terakhir, untuk mencari elemen $c_(32)$, Anda harus mengalikan elemen baris ketiga matriks $A$ dengan elemen yang bersesuaian pada kolom kedua matriks $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Semua elemen matriks $C$ sudah ditemukan, tinggal menuliskannya $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( larik) \kanan)$ . Atau, untuk menulis secara lengkap:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \kanan)\cdot \kiri(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \kanan) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \kanan). $$

Menjawab: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \kanan)$.

Omong-omong, seringkali tidak ada alasan untuk menjelaskan secara rinci lokasi setiap elemen matriks hasil. Untuk matriks yang ukurannya kecil, dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:

Perlu juga dicatat bahwa perkalian matriks bersifat non-komutatif. Artinya dalam kasus umum $A\cdot B\neq B\cdot A$. Hanya untuk beberapa jenis matriks yang disebut dapat diubah(atau bepergian), persamaan $A\cdot B=B\cdot A$ benar. Justru berdasarkan perkalian non-komutatifitas kita perlu menunjukkan dengan tepat bagaimana kita mengalikan ekspresi dengan matriks tertentu: di kanan atau di kiri. Misalnya, frasa “kalikan kedua ruas persamaan $3E-F=Y$ dengan matriks $A$ di sebelah kanan” berarti Anda ingin mendapatkan persamaan berikut: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $.

Ditransposisikan terhadap matriks $A_(m\times n)=(a_(ij))$ adalah matriks $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, untuk elemen yang $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Sederhananya, untuk mendapatkan matriks yang ditransposisikan $A^T$, Anda perlu mengganti kolom-kolom dalam matriks asli $A$ dengan baris-baris yang bersesuaian sesuai dengan prinsip ini: ada baris pertama - akan ada kolom pertama ; ada baris kedua - akan ada kolom kedua; ada baris ketiga - akan ada kolom ketiga dan seterusnya. Misalnya, cari matriks yang ditransposisikan ke matriks $A_(3\times 5)$:

Oleh karena itu, jika matriks asli memiliki ukuran $3\times 5$, maka matriks yang ditransposisi memiliki ukuran $5\times 3$.

Beberapa sifat operasi pada matriks.

Di sini diasumsikan bahwa $\alpha$, $\beta$ adalah beberapa bilangan, dan $A$, $B$, $C$ adalah matriks. Untuk empat properti pertama, saya menunjukkan nama; sisanya dapat diberi nama dengan analogi dengan empat properti pertama.

1. $A+B=B+A$ (komutatifitas penjumlahan)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asosiasi penjumlahan)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distribusi perkalian matriks terhadap penjumlahan bilangan)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distribusi perkalian suatu bilangan relatif terhadap penjumlahan matriks)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, di mana $E$ - matriks identitas urutan yang sesuai.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, dengan $O$ adalah matriks nol dengan ukuran yang sesuai.
10. $\kiri(A^T \kanan)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\kiri(\alpha A \kanan)^T=\alpha A^T$

Pada bagian selanjutnya, kita akan membahas operasi menaikkan matriks ke pangkat bilangan bulat non-negatif, dan juga menyelesaikan contoh di mana perlu melakukan beberapa operasi pada matriks.