Движок не перемещает корабль. Корабль остается на месте, а движок перемещает вселенную относительно его.

Это очень важная часть уроков, убедитесь что прочитали ее несколько раз и хорошо поняли.

Однородные координаты

До текущего момента мы оперировали 3х-мерными вершинами как (x, y, z) триплетами. Введем еще один параметр w и будем оперировать векторами вида (x, y, z, w).

Запомните навсегда, что:

• Если w == 1, то вектор (x, y, z, 1) - это позиция в пространстве.
• Если же w == 0, то вектор (x, y, z, 0) - это направление.

Что это дает нам? Ок, для поворота это ничего не меняет, так как и в случае поворота точки и в случае поворота вектора направления вы получаете один и тот же результат. Однако в случае переноса есть разница. Перенос вектора направления даст тот же самый вектор. Подробнее об этом остановимся позднее.

Однородные координаты позволяют нам с помощью одной математической формулы оперировать векторами в обоих случаях.

Матрицы трансформаций

Введение в матрицы

Проще всего представить матрицу, как массив чисел, со строго определенным количеством строк и столбцов. К примеру, матрица 2x3 выглядит так:

Однако в трехмерной графике мы будем использовать только матрицы 4x4, которые позволят нам трансформировать наши вершины (x, y, z, w). Трансформированная вершина является результатом умножения матрицы на саму вершину:

Матрица x Вершина (именно в этом порядке!!) = Трансформир. вершина

Довольно просто. Мы будем использовать это довольно часто, так что имеет смысл поручить это компьютеру:

В C++, используя GLM:

glm :: mat4 myMatrix ; glm :: vec4 myVector ; glm :: // Обратите внимание на порядок! Он важен!

В GLSL:

mat4 myMatrix ; vec4 myVector ; // Не забудьте тут заполнить матрицу и вектор необходимыми значениями vec4 transformedVector = myMatrix * myVector ; // Да, это очень похоже на GLM:)

Попробуйте поэкспериментировать с этими фрагментами.

Матрица переноса

Матрица переноса выглядит так:

где X, Y, Z - это значения, которые мы хотим добавить к нашему вектору.

Значит, если мы захотим перенести вектор (10, 10, 10, 1) на 10 юнитов в направлении X, то мы получим:

… получим (20, 10, 10, 1) однородный вектор! Не забывайте, что 1 в параметре w, означает позицию, а не направление и наша трансформация не изменила того, что мы работаем с позицией.

Теперь посмотрим, что случится, если вектор (0, 0, -1, 0) представляет собой направление:

… и получаем наш оригинальный вектор (0, 0, -1, 0). Как было сказано раньше, вектор с параметром w = 0 нельзя перенести.

И самое время перенести это в код.

В C++, с GLM:

#include // после glm :: mat4 myMatrix = glm :: translate (glm :: mat4 (), glm :: vec3 (10.0 f , 0.0 f , 0.0 f )); glm :: vec4 myVector (10.0 f , 10.0 f , 10.0 f , 0.0 f ); glm :: vec4 transformedVector = myMatrix * myVector ;

В GLSL:

vec4 transformedVector = myMatrix * myVector ;

По факту, вы никогда не будете делать это в шейдере, чаще всего вы будете выполнять glm::translate() в C++, чтобы вычислить матрицу, передать ее в GLSL, а уже в шейдере выполнить умножение

Единичная матрица

Это специальная матрица, которая не делает ничего, но мы затрагиваем ее, так как важно помнить, что A умноженное на 1.0 дает A:

В C++ :

glm :: mat4 myIdentityMatrix = glm :: mat4 (1.0 f );

Матрица масштабирования

Выглядит также просто:

Значит, если вы хотите применить масштабирование вектора (позицию или направление - это не важно) на 2.0 во всех направлениях, то вам необходимо:

Обратите внимание, что w не меняется, а также обратите внимание на то, что единичная матрица - это частный случай матрицы масштабирования с коэффициентом масштаба равным 1 по всем осям. Также единичная матрица - это частный случай матрицы переноса, где (X, Y, Z) = (0, 0, 0) соответственно.

В C++ :

// добавьте #include и #include glm :: mat4 myScalingMatrix = glm :: scale (2.0 f , 2.0 f , 2.0 f );

Матрица поворота

Сложнее чем рассмотренные ранее. Мы опустим здесь детали, так как вам не обязательно знать это точно для ежедневного использования. Для получения более подробной информации можете перейти по ссылке Matrices and Quaternions FAQ (довольно популярный ресурс и возможно там доступен ваш язык)

В C++ :

// добавьте #include и #include glm :: vec3 myRotationAxis ( ?? , ?? , ?? ); glm :: rotate ( angle_in_degrees , myRotationAxis );

Собираем трансформации вместе

Итак, теперь мы умеем поворачивать, переносить и масштабировать наши векторы. Следующий шагом было бы неплохо объединить трансформации, что реализуется по следующей формуле:

TransformedVector = TranslationMatrix * RotationMatrix * ScaleMatrix * OriginalVector ;

ВНИМАНИЕ! Эта формула на самом деле показывает, что сначала выполняется масштабирование, потом поворот и только в самую последнюю очередь выполняется перенос. Именно так работает перемножение матриц.

Обязательно запомните в каком порядке все это выполняется, потому что порядок действительно важен, в конце концов вы можете сами это проверить:

• Сделайте шаг вперед и повернитесь влево
• Повернитесь влево и сделайте шаг вперед

Разницу действительно важно понимать, так как вы постоянно будете с этим сталкиваться. К примеру, когда вы будете работать с игровыми персонажами или какими-то объектами, то всегда сначала выполняйте масштабирование, потом поворот и только потом перенос.

На самом деле, приведенный выше порядок - это то, что вам обычно нужно для игровых персонажей и других предметов: сначала масштабируйте его, если это необходимо; затем установливаете его направление, а затем перемещаете его. Например, для модели судна (повороты удалены для упрощения):

• Неправильный путь:
  • Вы переносите корабль на (10, 0, 0). Его центр теперь находится в 10 единицах от начала координат.
  • Вы масштабируете свой корабль в 2 раза. Каждая координата умножается на 2 “относительно исходной”, что далеко… Итак, вы попадаете в большой корабль, но его центр 2 * 10 = 20. Не то, что вы хотели.
• Правильный путь:
  • Вы масштабируете свой корабль в 2 раза. Вы получаете большой корабль, с центром в начале координат.
  • Вы переносите свой корабль. Он по прежнему того же размера и на правильном расстоянии.

В C++, с GLM:

glm :: mat4 myModelMatrix = myTranslationMatrix * myRotationMatrix * myScaleMatrix ; glm :: vec4 myTransformedVector = myModelMatrix * myOriginalVector ;

В GLSL:

mat4 transform = mat2 * mat1 ; vec4 out_vec = transform * in_vec ;

Мировая, видовая и проекционная матрицы

До конца этого урока мы будем полагать, что знаем как отображать любимую 3D модель из Blender - обезьянку Suzanne.

Мировая, видовая и проекционная матрицы - это удобный инструмент для разделения трансформаций.

Мировая матрица

Эта модель, также, как и наш красный треугольник задается множеством вершин, координаты которых заданы относительно центра объекта, т. е. вершина с координатами (0, 0, 0) будет находиться в центре объекта.

Далее мы бы хотели перемещать нашу модель, так как игрок управляет ей с помощью клавиатуры и мышки. Все, что мы делаем - это применяем масштабирование, потом поворот и перенос. Эти действия выполняются для каждой вершины, в каждом кадре (выполняются в GLSL, а не в C++!) и тем самым наша модель перемещается на экране.

Теперь наши вершины в мировом пространстве. Это показывает черная стрелка на рисунке. Мы перешли из пространства объекта (все вершины заданы относительно центра объекта) к мировому пространству (все вершины заданы относительно центра мира).

Схематично это показывается так:

Видовая матрица

Еще раз процитируем Футураму:

Движок не перемещает корабль. Корабль остается на том же месте, а движок перемещает вселенную вокруг него.

Попробуйте представить это применительно к камере. Например, если вы хотите сфотографировать гору, то вы не перемещаете камеру, а перемещаете гору. Это не возможно в реальной жизни, но это невероятно просто в компьютерной графике.

Итак, изначально ваша камера находится в центре мировой системы координат. Чтобы переместить мир вам необходимо ввести еще одну матрицу. Допустим, что вы хотите переместить камеру на 3 юнита ВПРАВО (+X), что будет эквивалентом перемещения всего мира на 3 юнита ВЛЕВО (-X). В коде это выглядит так:

// Добавьте #include и #include glm :: mat4 ViewMatrix = glm :: translate (glm :: mat4 (), glm :: vec3 (- 3.0 f , 0.0 f , 0.0 f ));

Опять же, изображение ниже полностью показывает это. Мы перешли из мировой системы координат (все вершины заданы относительно центра мировой системы) к системе координат камеры (все вершины заданы относительно камеры):

И пока ваш мозг переваривает это, мы посмотрим на функцию, которую предоставляет нам GLM, а точнее на glm::LookAt:

glm :: mat4 CameraMatrix = glm :: LookAt ( cameraPosition , // Позиция камеры в мировом пространстве cameraTarget , // Указывает куда вы смотрите в мировом пространстве upVector // Вектор, указывающий направление вверх. Обычно (0, 1, 0) );

А вот диаграмма, которая показывает то, что мы делаем:

Однако это еще не конец.

Проекционная матрица

Итак, теперь мы находимся в пространстве камеры. Это означает, что вершина, которая получит координаты x == 0 и y == 0 будет отображаться по центру экрана. Однако, при отображении объекта огромную роль играет также дистанция до камеры (z). Для двух вершин, с одинаковыми x и y, вершина имеющая большее значение по z будет отображаться ближе, чем другая.

Это называется перспективной проекцией:

И к счастью для нас, матрица 4х4 может выполнить эту проекцию :

// Создает действительно трудночитаемую матрицу, но, тем не менее это стандартная матрица 4x4 glm :: mat4 projectionMatrix = glm :: perspective ( glm :: radians (FoV ), // Вертикальное поле зрения в радианах. Обычно между 90° (очень широкое) и 30° (узкое) 4.0 f / 3.0 f , // Отношение сторон. Зависит от размеров вашего окна. Заметьте, что 4/3 == 800/600 == 1280/960 0.1 f , // Ближняя плоскость отсечения. Должна быть больше 0. 100.0 f // Дальняя плоскость отсечения. );

Мы перешли из Пространства Камеры (все вершины заданы относительно камеры) в Однородное пространство (все вершины находятся в небольшом кубе. Все, что находится внутри куба - выводится на экран).

Теперь посмотрим на следующие изображения, чтобы вы могли лучше понять что же происходит с проекцией. До проецирования мы имеем синие объекты в пространстве камеры, в то время как красная фигура показывает обзор камеры, т. е. все то, что видит камера.

Применение Проекционной матрицы дает следующий эффект:

На этом изображении обзор камеры представляет собой куб и все объекты деформируются. Объекты, которые находятся ближе к камере отображаются большими, а те, которые дальше - маленькими. Прямо как в реальности!

Вот так это будет выглядеть:

Изображение является квадратным, поэтому следующие математические трансформации применяются, чтобы растянуть изображение согласно актуальным размерам окна:

И это изображение является тем, что на самом деле будет выведено.

Объединяем трансформации: матрица ModelViewProjection

… Просто стандартные матричные преобразования, которые вы уже полюбили!

// C++ : вычисление матрицы glm :: mat4 MVPmatrix = projection * view * model ; // Запомните! В обратном порядке!

// GLSL: применение матрицы transformed_vertex = MVP * in_vertex ;

Совмещаем все вместе

• Первый шаг - создание нашей MVP матрицы. Это должно быть сделано для каждой модели, которую вы отображаете.

// Проекционная матрица: 45° поле обзора, 4:3 соотношение сторон, диапазон: 0.1 юнит <-> 100 юнитов glm :: mat4 Projection = glm :: perspective (glm :: radians (45.0 f ), 4.0 f / 3.0 f , 0.1 f , 100.0 f ); // Или, для ортокамеры glm :: mat4 View = glm :: lookAt ( glm :: vec3 (4 , 3 , 3 ), // Камера находится в мировых координатах (4,3,3) glm :: vec3 (0 , 0 , 0 ), // И направлена в начало координат glm :: vec3 (0 , 1 , 0 ) // "Голова" находится сверху ); // Матрица модели: единичная матрица (Модель находится в начале координат) glm :: mat4 Model = glm :: mat4 (1.0 f ); // Индивидуально для каждой модели // Итоговая матрица ModelViewProjection, которая является результатом перемножения наших трех матриц glm :: mat4 MVP = Projection * View * Model ; // Помните, что умножение матрицы производиться в обратном порядке

• Второй шаг - передать это в GLSL:

// Получить хэндл переменной в шейдере // Только один раз во время инициализации. GLuint MatrixID = glGetUniformLocation (programID , "MVP" ); // Передать наши трансформации в текущий шейдер // Это делается в основном цикле, поскольку каждая модель будет иметь другую MVP-матрицу (как минимум часть M) glUniformMatrix4fv (MatrixID , 1 , GL_FALSE , & MVP [ 0 ][ 0 ]);

• Третий шаг - используем полученные данные в GLSL, чтобы трансформировать наши вершины.

// Входные данные вершин, разные для всех исполнений этого шейдера. layout (location = 0 ) in vec3 vertexPosition_modelspace ; // Значения, которые остаются постоянными для всей сетки. uniform mat4 MVP ; void main (){ // Выходная позиция нашей вершины: MVP * position gl_Position = MVP * vec4 (vertexPosition_modelspace , 1 ); }

• Готово! Теперь у нас есть такой же треугольник как и в Уроке 2, все так же находящийся в начале координат (0, 0, 0), но теперь мы его видим в перспективе из точки (4, 3, 3).

В Уроке 6 вы научитесь изменять эти значения динамически, используя клавиатуру и мышь, чтобы создать камеру, которую вы привыкли видеть в играх. Но для начала мы узнаем как придать нашем моделям цвета (Урок 4) и текстуры (Урок 5).

Задания

• Попробуйте поменять значения glm::perspective
• Вместо использования перспективной проекции попробуйте использовать ортогональную (glm:ortho)
• Измените ModelMatrix для перемещения, поворота и масштабирования треугольника
• Используйте предыдущее задание, но с разным порядком операций. Обратите внимание на результат.

Графический вывод обычно осущестсвляется в некоторую прямоугольную область экрана или окна. В OpenGL-визуализации эта область называется порт вывода. Именно в этой прямоугольной области будет размещено библиотекой сформированное изображение. Его размеры определяются относительно левого верхнего угла окна и измеряются в пикселах. Для определения порта вывода приложение должно отследить событие изменения размеров окна и определить порт вывода с использованием функции:

void glViewport(GLint x, GLint y, GLsizei width, GLsizei height);

Аргументы (x, y) определяют положение верхнего левого угла порта вывола, а width и height -- его размеры. По умолчанию библиотека растягивает порт вывода на всё OpenGL-окно.

Координатная система

Прежде чем быть отображённой на экране вершина, заданная в системе координат сцены должна пройти процесс проецирования. Для описания и проведения преобразований систем координат в библиотеке OpenGL используется матричный аппарат. Сама система координат и ее преобразования описываются матрицами в так называемых однородных координатах.

Во-первых, вершина преобразуется в матрицу 1X4, в которой первые три элемента представляют собой координаты x, y, z. Четвёртое число - масштабный коэффициент w, который обычно равен 1.0. Вершина домножается на видовую матрицу, которая описывает преобразования видовой системы координат. Получаем вершину в координатах вида. Она в свою очередь домножается на матрицу проекций и получаем вершину в координатах проекции. На этом этапе некоторве вершины отбрасываются (из-за непопадания в объём визуализации). Затем вершины нормализуются для передачи перспективы (если координата w не равна 1.0). Окончательное проецирование вершины на двумерную поверхность экрана выполняется библиотекой OpenGL самостоятельно и вмешаться в этот процесс нельзя.

Матрица проекций

Матрица проекций отвечает за то, какой объём пространства будет визуализироваться, каким образом вершины графических примитивов будут спроецированы на двумерную поверхность экрана монитора. Преобразования матрицы проекций ведут к тому, что все изображение будет изменяться (масштабироваться, перемещаться или вращаться). В OpenGL возможно использование двух режимов матрицы проекций: перспективная и ортографическая.

При перспективной проекции используется тот факт, что для человеческий глаз работает с предметом дальнего типа, размеры которого имеют угловые размеры. Чем дальше объект, тем меньше он нам кажется. Таким образом, объём пространства, который визуализируется представляет собой пирамиду.

Матрица преспективной проекции определяется с использованием функции:

void glFrustum(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);

(left, bottom, -near) и (right, top, -near) определяют координаты ближней отсекающей рамки; near и far имеют всегда положительные значения и определяют расстояние от точки зрения до ближней и дальней отсекающих рамок.

Для задания матрицы перспективной проекции также можно использовать функцию gluPerspective(), которая имеет другие аргументы

void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble near, GLdouble far);

Аргумент fovy (field of view) определяет поле зрения, а aspect -- отношение ширины отсекающей рамки к высоте. near и far имеют всегда положительные значения и определяют расстояние от точки зрения до ближней и дальней отсекающих рамок.

Перспективное проецирование обычно используется в играх и приложениях, где требуется добиться высокой реалистичности объектов, подожей на визуализацию глазом. Для двумерной и трехмерной визуализации научных и технических данных обычно используется ортографическая проекция. Рассмотрим установку ортографической проекции сначала для двумерной визуализации. При ортографической проекции объём пространства, который визуализируется представляет собой параллелепипед:

Особенностями ортографической проекции является то, что расстояние от камеры до объектов не влияет на итоговое изображение.

Для установки и последующего изменения матрицы проекций следует выполнить функцию glMatrixMode(GL_PROJECTION). Для начала также следует отменить все предыдущие установки и преобразования, сделав матрицу проекций единичной с помошью функции glLoadIdentity(). Матрица ортографической проекции устанавливается с использованием функции, которая имеет следующий прототип:

void glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far);

(left, bottom, -near) и (right, top, -near) -- точки, определяющие ближнюю отсекающую рамку. (left, bottom, -far) и (right, top, -far) -- точки, определяющие дальнюю отсекающую рамку. После применения этой команды направление проецирования параллельно оси z в сторону отрицательных значений

//Функция изменения размеров и установки координат
void Reshape(int width, int height)
{
//Установка порта вывода
glViewport(0, 0, width, height);

//Режим матрицы проекций
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
//Единичная матрица
glLoadIdentity();

//Установка двумерной ортографической системы координат
glOrtho(-50., 50., -50., 50., -1., 1.);

//Режим видовой матрицы
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
}

Специально для двумерной визуализации можно использовать функцию, которая имеет следующий прототип:

void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top);

Эта функция аналогична glOrtho(), при вызове которой аргумент near=-1.0, а far=1.0. В процессе двумерной визуализации z-координата у вершин имеет значение 0, то есть объекты находятся на средней плоскости.

При необходимости сохранения пропорций установку системы координат необходимо осуществлять с учетом отношения ширины и высоты окна.

//Установка ортографической системы координат
double aspect=width/double(height);
if(width>=height)
{
gluOrtho2D(-50.*aspect, 50.*aspect, -50., 50.);
}
else
{
gluOrtho2D(-50., 50., -50./aspect, 50./aspect);
}

Видовая матрица

Видовая матрица отвечает за систему координат создаваемой трехмерной модели. В процессе создания модели видовая матрица может многократно изменяться для того, чтобы видоизменить изображение отдельных графических примитивов (превратить квадрат в прямоугольник, куб в параллелепипед, сферу в эллипсоид). Для установки и последующего изменения видовой матрицы следует выполнить функцию glMatrixMode(GL_MODELVIEW). Для начала также следует отменить все предыдущие установки и преобразования, сделав матрицу проекций единичной с помошью функции glLoadIdentity(). Если координаты вершин объекта задаются при его создании, то дополнительные преобразования системы координат не требуются. Однако часто это сложно или просто невозможно.

OpenGL предоставляет три функции для выполнения преобразования системы координат: glTranslated(), glRotated() и glScaled(). Эти команды генерируют матрицы переноса, поворота и масштабирования, которые домножаются на видовую матрицу с помощью функции glMultMatrix(). Как видите OpenGL берёт на себя матричные операции и выполняет их по специальным, быстрым алгоритмам с максимальной эффективностью. Например:

Перенос

Если аргумент больше 0, то объект при отображении будет смещён в сторону положительных значений вдоль оси. Если аргумент меньше 0, то объект при отображении будет смещён в сторону отрицательных значений вдоль оси.

Масштабированиe

Осуществляется с использованием функции, которая имеет следующий прототип:

Если аргумент больше 1, то объект при отображении будет увеличенным. Если аргумент меньше 1, то объект при отображении будет уменьшенным. Если аргумент отрицательный, то объект при отображении будет ещё и отраженным. Нулевое значение аргумента допускается, но будет приводить ктому, что размеры объекта будут нулевыми.

Поворот

Осуществляется с использованием функции, которая имеет следующий прототип:

void glRotated(double angle, double x, double y, double z); glRotated(30.,0.,0.,1.); //Поворот вокруг z glBegin(GL_LINE_LOOP); //Установка вершин glVertex2d(-2., 2.); glVertex2d(2., 2.); glVertex2d(2., -2.); glVertex2d(-2., -2.); glEnd();

Первый аргумент определяет угол поворота, а остальные три -- координаты вектора, вокруг которого осуществляется вращение.

Стек матриц

Полезным механизмом при построении сложных изображений является стек матриц. С использованием функций glPushMatrix() и glPopMatrix() можно запомнить текущую матрицу в стеке и восстановить ее после каких либо изменений в системе координат.

Дисплейные списки

Интересным и очень эффективным механизмом при создании сцены являются списки. Это механизм, который позволяет запоминать последовательности команд OpenGL и выполнять их снова. Это может существенно повысить эффективность визуализации большого количества одинаковых объектов.

Каждый дисплейный список должен иметь идентификатор. Это может быть произвольное целое число, которое вы можете назначить сами. Во избежание конфликтов идентификаторов списков библиотека OpenGL рекомендует воспользоваться функцией

GLuint glGenLists(GLsizei range);

которая находит свободный идентификатор и возвращает его. В качестве аргумента функции указывается количество, следующих подряд, списков, для которых следует получить идентификаторы. Если свободных идентификаторов не осталось, то функция возвращает ноль.

Для того, чтобы начать формировать список, необходимо вызвать функцию

void glNewList (GLuint list, GLenum mode);

Первый аргумент задает идентификатор формируемого списка, а второй определяет будет ли список только сформирован (GL_COMPILE) или сразу же и отображен (GL_COMPILE_AND_EXECUTE). Далее могут следовать команды OpenGL которые требуется сохранить в списке. Не все команды могут быть в него включены.

Формирование списка заканчивается функцией:

void glEndList (void);

После формирования дисплейные списки сохраняются во внутренней структуре данных OpenGL-окна и будут удалены, когда окно будет закрыто или разрушено.

Для выполнения дисплейного списка используется команда:

void glCallList (GLuint list);

которая в качестве аргумента принимает идентификатор списка.

Вызов функции glCallList() можно осуществить в любом мемте программы, когда требуется выполнение сохраненных в списке команд.

Рассмотрим пример:

Сегодня мы более подробно рассмотрим устройство виртуальной камеры. Начнём с картинки.

На рисунке мы видим координатное пространство камеры. Направление ("взгляд") камеры всегда совпадает с положительным направлением оси z, а сама камера расположена в начале координат.

Внутреннее пространство пирамиды изображённой на рисунке - это та часть виртуального мира, которую увидит пользователь.

Обратите внимание на три плоскости. Первая расположена на расстоянии 1 по оси z. Это ближняя плоскость. То что находится до неё игрок никогда не увидит. В данном случае значение z равно единице, но вообще говоря, оно может быть любым. Именно с ближней плоскостью связан один дефект отображения графики. Этот дефект проявляется прежде всего в шутерах (из-за большой свободы камеры). Когда ты слишком близко подходишь к объекту, то можно оказаться "внутри". Из последних игр этот дефект особенно сильно проявлялся в Left 4 dead: когда на игрока наваливалась толпа зомби, то очень часто можно было заглянуть внутрь других персонажей.

Плоскость расположенная на расстоянии 100 единиц по оси z называется дальней. Опять же, значение может быть произвольным. Пользователь никогда не увидит объекты расположенные дальше этой плоскости.

Шесть плоскостей ограничивающих пространство, которое увидит пользователь, называются отсекающими (clipping planes): левая правая верхняя нижняя ближняя и дальняя.

Плоскость расположенная между ближней и дальней - проекционная. В дальнейшем, эту плоскость мы будем располагать в z=1, т.е. она будет совпадать с ближней. Здесь я отделил ближнюю и проекционную плоскости, чтобы показать, что это всё-таки не одно и то же. Проекционная плоскость предназначена для последнего преобразования координат: преобразование из трёхмерного пространства камеры - в двухмерное пространство.

Именно благодаря проекционной плоскости пользователь увидит виртуальный мир. Собственно, эта плоскость и есть то, что увидит пользователь. Проекционная плоскость напрямую связана с такими понятиями как основной/фоновый буферы, окно программы и экран пользователя. Все эти понятия можно рассматривать как прямоугольную картинку, которая в памяти компьютера представлена массивом цифр.

Преобразование координат из трёхмерного мира в проекционную плоскость - самое сложное из тех, которые на данный момент были нами изучены.

Поле зрения/зона обзора (field of view)

На рисунке выше у проекционной плоскости (а значит и у изображения, которое увидит пользователь) ширина больше высоты. Ширина и высота проекционной плоскости задаются с помощью углов. Встречаются разные названия этих углов: поля зрения или зоны обзора. В английском - fields of view.

Зоны обзора задаются двумя углами. Назовём их: fovx - зона обзора по горизонтали, fovy - зона обзора по вертикали. Подробно о зонах обзора: ниже.

Z-буфер / w-буфер / буфер глубины (z-buffer / w-buffer / depth buffer)

Посмотрим на картинку, на которой представлено два треугольника: на расстоянии в 25 и 50 единиц от камеры. На рисунке (а) показано местоположение треугольников в пространстве (вид сверху), а на рисунке (б) можно увидеть конечное изображение:

Как вы возможно догадываетесь, изображение нужно рисовать начиная с самых дальных элементов и заканчивая самыми ближними. Очевидное решение: вычислить расстояние от начала координат (от камеры) до каждого объекта, а затем сравнить. В компьютерной графике используется немного более усовершенствованный механизм. У этого механизма несколько названий: z-буфер, w-буфер, буфер глубины. Размер z-буфера по количеству элементов совпадает с размером фонового и основного буферов. В z-буфер заносится z-компонента самого ближнего к камере объекта. В данном примере, там где синий треугольник перекрывает зелёный, в буфер глубины будут занесены z-координаты синего. Мы ещё поговорим о z-буферах более подробно в отдельном уроке.

Ортографическая / параллельная проекция (orthographic / parallel projection)

Операция при которой происходит уменьшение размерности пространства (было трёхмерное пространство, стало двухмерным) называется проекцией. Прежде всего нас интересует перспективная проекция, но сналача мы познакомимся с параллельной (parallel или orthographic projection).

Для вычисления параллельной проекции достаточно отбросить лишнюю координату. Если у нас есть точка в пространстве [ 3 3 3 ], то при параллельной проекции на плоскость z=1, она спроецируется в точку .

Перспективная проекция (perspective projection) на проекционную плоскость

В данном виде проекции все линии сходятся в одной точке. Именно так устроено наше зрение. И именно с помощью перспективной проекции моделируется "взгляд" во всех играх.

Сравните этот рисунок с рисунком показывающим однородные координаты из предыдущего урока. Чтобы из трёхмерного пространства перейти в двухмерное, нужно первые две компоненты векторов разделить на третью: [ x/z y/z z/z ] = [ x/z y/z 1 ].

Как я уже писал выше, проекционная плоскость может располагаться где угодно между ближней и дальней. Мы будем всегда размещать проекционную плоскость в z=1, но в этом уроке мы рассмотрим и другие варианты. Посмотрим на картинку:

Расстояние до проекционной плоскости от начала координат обозначим как d. Мы рассмотрим два случая: d=1 и d=5. Важный момент: третья компонента всех векторов после проекции должна быть равна d - все точки расположены в одной плоскости z=d. Этого можно добиться умножив все компоненты вектора на d: [ xd/z yd/z zd/z ]. При d=1, мы получим: [ x/z y/z 1 ], именно эта формула использовалась для преобразования однородных координат.

Теперь, если мы отодвинем проекционную плоскость в точку z=5 (соотвтественно d=5), мы получим: [ xd/z yd/z zd/z ] = [ 5x/z 5y/z 5 ]. Последняя формула проецирует все векторы пространства в одну плоскость, где d=5.
У нас здесь небольшая проблемка. Предыдущая формула работает с трёхмерными векторами. Но мы договорились использовать четырёхмерные векторы. Четвёртую компоненту в данном случае можно просто отбросить. Но мы не будем этого делать, так как её использование даёт некоторые специфические возможности, которые мы ещё обсудим.

Нужно найти общий делитель третьей и четвёртой компонент, при делении на который в третьей компоненте остаётся значение d, а в четвёртой единица. Делитель этот - d/z. Теперь из обычного вектора [ x y z 1 ] нам нужно получить вектор готовый к проекции (делению) [ x y z z/d ]. Делается это с помощью матрицы преобразования (проверьте результат умножив любой вектор на данную матрицу):

Последнее преобразование - это ещё не проекция. Здесь мы просто приводим все векторы к нужной нам форме. Напоминаю, что мы будем размещать проекционную плоскость в d=1, а значит векторы будут выглядеть вот так: [ x y z z ].

Матрица перспективного преобразования

Мы рассмотрим матрицу перспективного преобразования использующуюся в DirectX:

Теперь мы знаем для чего предназначен элемент _34. Мы также знаем, что элементы _11 и _22 масштабируют изображение по горизонтали и вертикали. Давайте посмотрим, что конкретно скрывается за именами xScale и yScale.

Данные переменные зависят от зон обзора, о которых мы говорили выше. Увеличивая или уменьшая эти углы, можно масштавбировать (scale или zoom) изображение - менять размер и соотношение сторон проекционной плоскости. Механизм масштабирования отдалённо напомниает масштабирование в фотоаппаратах/камерах - принцип очень похожий. Рассмотрим рисунок:

Разделим угол fov на две части и рассмотрим только одну половинку. Что мы тут видим: увеличивая угол fov/2 (а соответсвенно и угол fov), мы увеличиваем sin угла и уменьшаем cos. Это приводит к увеличению проекционной плоскости и соответственно к уменьшеню спроецированных объектов. Идеальным для нас углом будет fov/2 = P/4. Напоминаю, что угол в P/4 радиан равен 45 градусам. При этом fov будет равен 90 градусам. Чем для нас хорош угол в 45 градусов? В данном случае не происходит масштабирования, а cos(P/4)/sin(P/4)=1.

Теперь мы можем легко масштабировать картинку по вертикали (горизонтали), используя синус и косинус половины зоны обзора (функция котангенса в C++ называется cot):

yScale = cos(fovY/2)/sin(fovY/2) = cot(fovY/2)
В DirectX используется только вертикальная зона обзора (fovY), а масштабирование по горизонатли зависит от вертикальной зоны обзора и соотношения сторон.

Напоминаю, что окно в наших программах размером в 500x500. Соотношение сторон: 1 к 1. Поэтому переменные будут равны: xScale=1, yScale=1.

Соотношение сторон стандартного монитора/телевизора: 4:3. Этому соотношению соответствуют разрешения экрана: 640x480, 800x600, 1600x1200. Мы пока не будем касаться полноэкранного режима, но можем изменить размер окна программы. Вы можете поменять размер окна (в present parameters), например, на 640X480. Но чтобы все предметы не растянулись (квадраты будут выглядеть как прямоугольники), не забудьте поменять соответствующие переменные в проекционной матрице.

Чуть не забыл, форумула для xScale в DirectX:

xScale = yScale / соотношение сторон
Соотношения сторон задаются просто: 1/1, 4/3, 16/9 - это из стандартных.

Осталось выяснить назначение элементов _33, _34 матрицы перспективного преобразования. zf - z-координата дальней плоскости (от far - далеко), а zn - z-координата ближней (от near - близко). Обратите внимание, что элемент _43 = _33 * -zn.

Легче всего понять, что именно делают эти формулы, можно на примерах. Умножим стандартный вектор [ x y z w ] на матрицу представленную выше. Рекомендую вам сделать это, взяв лист бумаги и карандаш (надеюсь вы помните как перемножать две матрицы). Компоненты вектора примут следующий вид.

1-ая = x*xScale
2-ая = y*yScale
3-я = z*(zf/(zf-zn)) + w*(-(zn*zf)/(zf-zn)) = (zf/(zf-zn))*(z - w*zn)
4-ая = (w*z)/d
Совершим проекционное преобразование (разделим все элементы на 4-ую компоненту, при этом допустим, что d=1 и w=1):

1-ая = (d*x*xScale)/(w*z) = (x*xScale)/z
2-ая = (d*y*yScale)/(w*z) = (y*xScale)/z
3-я = (zf/(zf-zn))*(z - w*zn)*(w*d/z) = (zf/(zf-zn))*(1 - zn/z)
4-ая = 1
В результате мы получили вектор вида:

[ x/(z*xScale) y/(z*yScale) (zf/(zf-zn))*(1-zn/z) 1 ]
Теперь, если вы зададите конкретные значения zf и zn, то обнаружите следующее (для положительных значений): если вектор расположен до ближней плоскости, то z-компонента после преобразования будет меньше нуля, если вектор расположен за дальней плоскостью, то z-компонента будет больше единицы.

Нет никакой разници где именно расположены ближняя и дальняя плоскости: zn=1, zf=10 или zn=10, а zf=100 (или любые другие значения) - после преобразования видимая область будет располагаться в отрезке от нуля до единицы, включительно.

Именно для этого и предназначены формулы в элементах _33, _34 проекционной матрицы - спроецировать расстояние от ближней до дальней плоскости в отрезок . Проверьте это, вычислив значения нескольких векторов для конкретных значений zn,zf (да-да, на листке бумаги!!!).

Двигатель не двигает корабль.
Корабль остается на месте, а
двигатели двигают вселенную
вокруг него.

Футурама

Это один из самых важных уроков. Вдумчиво прочитайте его хотя бы восемь раз.

Гомогенные координаты

В предыдущих уроках мы предполагали, что вершина расположена по координатам (x, y, z). Давайте-ка добавим еще одну координату – w. Отныне вершины у нас будут по координатам (x, y, z, w)

Вскоре вы поймете, что к чему, но пока примите это как данность:

• Если w==1, тогда вектор (x,y,z,1) – это позиция в пространстве
• Если w==0, тогда вектор (x,y,z,0) – это направление.

Запомните это как аксиому без доказательств!!!

И что это нам дает? Ну, для вращения ничего. Если вы вращаете точку или направление, то получите один и тот же результат. Но если вы вращаете перемещение(когда вы двигаете точку в определенном направлении), то все кардинально меняется. А что значит «переместить направление»? Ничего особенного.

Гомогенные координаты позволяют нам оперировать единым матаппаратом для обоих случаев.

Матрицы Трансформаций

Введение в матрицы

Если по простому, то матрица, это просто массив чисел с фиксированным количеством строк и столбцов.

Например, матрица 2 на 3 будет выглядеть так:

В 3д графике мы пользуемся почти всегда матрицами 4х4. Это позволяет нам трансформировать наши (x,y,z,w) вершины. Это очень просто – мы умножаем вектор позиции на матрицу трансформации.

Матрица*Вершину = трансформированная вершина

Все не так страшно как выглядит. Укажите пальцем левой руки на a, а пальцем правой руки на x. Это будет ax. Переместите левый палец на следующее число b, а правый палец вниз на следующее число – y. У нас получилось by. Еще раз – cz. И еще раз – dw. Теперь суммируем все получившиеся числа – ax+by +cz +dw . Мы получили наш новый x. Повторите то же самое для каждой строки и вы получите новый вектор (x,y,z,w).

Однако это довольно скучная операция, так что пусть её за нас будет выполнять компьютер.

В С++ при помощи библиотеки GLM:

glm::mat4 myMatrix;

glm::vec4 myVector;

glm :: vec 4 transformedVector = myMatrix * myVector ; // Не забываем про порядок!!! Это архиважно!!!

В GLSL:

mat4 myMatrix;

vec4 myVector;

// заполняем матрицу и вектор нашими значениями… это мы пропускаем

vec 4 transformedVector = myMatrix * myVector ; // точно так же как и в GLM

(Чего-то мне кажется, что вы не скопировали этот кусок кода к себе в проект и не попробовали…ну же, попробуйте, это интересно!)

Матрица перемещений

Матрица перемещения, это, наверное, самая простая матрица из всех. Вот она:

Тут X, Y, Z – это значения, которые мы хотим добавить к нашей позиции вершины.

Итак, если нам нужно переместить вектор (10,10,10,1) на 10 пунктов, по позиции Х, то:
(Попробуйте это сами, ну пожаааалуйста!)

…И у нас получится (20,10,10,1) в гомогенном векторе. Как вы, я надеюсь, помните, 1 значит, что вектор представляет собой позицию, а не направление.

А теперь давайте попробуем таким же образом трансформировать направление (0,0,-1,0):

И в итоге у нас получился тот же вектор (0,0,-1,0).
Как я и говорил, двигать направление не имеет смысла.

Как же нам закодить это?

В С++ при помощи GLM:

#include // после

glm::mat4 myMatrix = glm::translate(10.0f, 0.0f, 0.0f );

glm::vec4 myVector(10.0f, 10.0f, 10.0f, 0.0f );

glm :: vec 4 transformedVector = myMatrix * myVector ; // и какой у нас получится результат?

А в GLSL: В GLSL так редко кто делает. Чаще всего с помощью функции glm::translate(). Сначала создают матрицу в С++, а затем отправляют её в GLSL, и уже там делают лишь одно умножение:

vec4 transformedVector = myMatrix * myVector;

Единичная матрица(Identity Matrix)

Это специальная матрица. Она не делает ничего. Но я упоминаю её, так как важно знать, что умножение A на 1.0 в результате дает А:

glm::mat4 myIdentityMatrix = glm::mat4(1.0f);

Матрица Масштабирования

Матрица масштабирования так же достаточно проста:

Поэтому если вам хочется увеличить вектор(позицию или направление, не важно) в два раза по всем направлениям:

А координата w не поменялась. Если вы спросите: «А что такое масштабирование направления?». Полезно не часто, но иногда полезно.

(заметьте, что масштабирование единичной матрицы с (x,y,z) = (1,1,1))

С++:

// Используйте #include и #include

glm::mat4 myScalingMatrix = glm::scale(2.0f, 2.0f ,2.0f);

Матрица Вращения

А вот эта матрица достаточно сложная. Поэтому я не буду останавливаться на подробностях её внутренней реализации. Если сильно хочется, лучше почитайте (Matrices and Quaternions FAQ)

В С ++:

// Используйте #include и #include

glm::vec3 myRotationAxis(??, ??, ??);

glm::rotate(angle_in_degrees, myRotationAxis);

Совмещенные Трансформации

Теперь мы знаем как вращать, перемещать и масштабировать наши вектора. Хорошо бы узнать, как объединить все это. Это делается просто умножением матриц друг на друга.

TransformedVector = TranslationMatrix * RotationMatrix * ScaleMatrix * OriginalVector;

И снова порядок!!! Сначала нужно изменить размер, потом прокрутить и лишь потом сдвинуть.

Если мы будем применять трансформации в другом порядке, то не получим такой же результат. Вот попробуйте:

• Сделайте шаг вперед(не свалите компьютер со стола) и повернитесь влево
• Повернитесь влево и сделайте один шаг вперед.

Да, нужно всегда помнить про порядок действий при управлении, например, игровым персонажем. Сначала, если нужно, делаем масштабирование, потом выставьте направление(вращение) а потом перемещайте. Давайте разберем небольшой пример(я убрал вращение для облегчения расчетов):

Не правильный способ:

• Перемещаем корабль на (10,0,0). Его центр теперь на 10 по Х от центра.
• Увеличиваем размер нашего корабля в 2 раза. Каждая координата умножается на 2 относительно центра который далеко… И в итоге у нас получается корабль необходимого размера но по позиции 2*10=20. Что не совсем то, чего мы хотели.

Правильный способ:

• Увеличиваем размер корабля в 2 раза. Теперь у нас есть большой корабль расположенный по центру.
• Перемещаем корабль. Размер корабля не изменился и он расположен в нужном месте.

Матрицы Модели, Вида и Проекции

Матрицы Модели, Вида и Проекции очень удобный метод разделения трансформаций. Если сильно хочется, вы можете не использовать их(мы же не использовали их в уроках 1 и 2). Но я настойчиво рекомендую вам пользоваться ими. Просто почти все 3д библиотеки, игры итд используют их для разделения трансформаций.

Матрица Модели

Теперь мы имеем возможность двигать нашу модель. Например, потому, что пользователь управляет ей с помощью клавиатуры и мыши. Это сделать очень просто: масштабирование*вращение*перемещение и все. Вы применяете вашу матрицу ко всем вершинам в каждом кадре(в GLSL а не в C++) и все перемещается. Все что не перемещается – расположено в центре «мира».

Вершины находятся в мировом пространстве Черная стрелка на рисунке показывает, как мы переходим из пространства модели, в мировое пространство(Все вершины были заданы относительно центра модели, а стали заданы относительно центра мира)

Эту трансформацию можно отобразить следующей диаграммой:

Матрица Вида

«Двигатель не двигает корабль. Корабль остается на месте, а двигатели двигают вселенную вокруг него.»

То же самое можно применить и к фотоаппарату. Если вы хотите сфотографировать гору под каким-нибудь углом, то можно передвинуть фотокамеру…или гору. В реальной жизни это невозможно, но очень легко и удобно в компьютерной графике.

По умолчанию наша камера находится в центре Мировых Координат. Чтобы двигать наш мир нужно создать новую матрицу. К примеру нам нужно переместить нашу камеру на 3 единицы вправо(+Х). Это то же самое, что переместить весь мир на 3 единицы влево(-Х). И пока ваши мозги плавятся, давайте попробуем:

// Используйте #include и #include

glm::mat4 ViewMatrix = glm::translate(-3.0f, 0.0f ,0.0f);

Картинка ниже демонстрирует это: мы переходим от Мирового пространства(все вершины заданы относительно центра мира как мы это делали в предыдущей секции) к пространству камеры(все вершины заданы относительно камеры).

И прежде чем ваша голова совсем взорвется, посмотрите на прекрасную функцию из нашей старой доброй GLM:

glm::mat4 CameraMatrix = glm::LookAt(

cameraPosition , // Позиция камеры в мировых координатах

cameraTarget , // точка на которую мы хотим посмотреть в мировых координатах

upVector // скорее всего glm :: vec 3(0,1,0), а (0,-1,0) будет все показывать вверх ногами, что иногда тоже прикольно.

Вот иллюстрация к вышесказанному:

Но к нашей радости, это еще не все.

Матрица Проекции

Это называется перспективная проекция:

И к большому счастью для нас, матрица 4х4 может представлять собой и перспективные трансформации:

glm::mat4 projectionMatrix = glm::perspective(

FoV , // Горизонтальное Поле Вида в градусах. Или величина приближения . Как будто « линза » на камере . Обычно между 90(суперширокий, как рыбий глаз) и 30(как небольшая подзорная труба)

4.0 f / 3.0 f , // Соотношение сторон. Зависит от размера вашего окна. Например, 4/3 == 800/600 == 1280/960, знакомо, не правда ли?

0.1 f , // Ближнее поле отсечения. Его нужно задавать как можно большим, иначе будут проблемы с точностью.

100.0 f // Дальнее поле отсечения. Нужно держать как можно меньшим.

);

Повторим то что мы сейчас сделали:

Мы ушли от пространства камеры(все вершины заданы в координатах относительно камеры) в гомогенное пространство(все вершины в координатах маленького куба(-1,1). Все что находится в кубе – находится на экране.)

И финальная диаграмма:

Вот еще одна картинка чтобы стало яснее, что же происходит, когда мы умножаем всю эту проекционную матричную ерунду. Перед умножением на проекционную матрицу у нас есть голубые объекты заданные в пространстве камеры и красный объект, который представляет собой поле вида камеры: пространство которое попадает в объектив камеры:

После умножения на проекционную матрицу у нас выходит следующее:

На предыдущей картинке поле вида превратилось в идеальный куб(с координатами вершин от -1 до 1 по всем осям.), а все объекты деформированы в перспективе. Все голубые объекты которые близко к камере – стали большими, а которые дальше – маленькими. Так же как и в жизни!

Вот какой вид у нас открывается из «объектива»:

Однако оно квадратное, и нужно применить еще одно математическое преобразование, чтобы подогнать картинку под размеры окна.

В компьютерной графике определенны понятия различных матриц. Это мировая матрица (World Matrix), матрица вида (View Matrix) и матрица проекции (Projection Matrix). С помощью данных матриц в исходном коде программы производятся матричные преобразования над моделями. Матричные преобразования подразумевают под собой умножение каждой вершины объекта на одну из матриц, а точнее последовательное умножение всех вершин объекта на каждую из трех матриц. Такой подход позволяет корректно представить модель в трехмерном пространстве вашего двухмерного монитора. Техника прохода модели через три перечисленные матрицы представляет суть механизма работы с графическими данными в трехмерной плоскости монитора.

Мировая матрица

Мировая матрица – позволяет производить различные матричные преобразования (трансформацию и масштабирование) объекта в мировой системе координат. Мировая система координат – это своя локальная система координат данного объекта, которой наделяется каждый объект, скажем так прошедший через мировую матрицу, поскольку каждая вершина участвует в произведении этой матрицы.

Новая локальная система координат значительно упрощает аффинные преобразования объекта в пространстве. Например, чтобы перенести объект с левого верхнего угла дисплея в нижний правый угол дисплея, то есть переместить игровой объект в пространстве, необходимо просто перенести его локальную точку отсчета, системы координат на новое место. Если бы не было мировой матрицы, то этот объект пришлось переносить по одной вершине. Поэтому любой объект, а точнее все вершины этого объекта проходят через мировую матрицу преобразования.

Как уже упоминалось, мировое преобразование вершин объекта может состоять из любых комбинаций вращения, трансляции и масштабирования. В математической записи вращение вершины по оси Х выглядит следующим образом:

где cos - угол вращения в радианах.

Вращение вершины вокруг оси Y выглядит так:

А вращение вокруг оси Z происходит по следующей формуле:

Трансляция вершины позволяет переместить эту саму вершину с координатами x, y, z в новую точку с новыми координатами x1, y1, z1. В математической записи это выглядит так:

X1 = x + Tx y1 = y + Ty z1 = z + Tz

Трансляция вершины в матричной записи выглядит следующим образом:

где Tx, Ty и Tz - значения смещения по осям X, Y и Z.

Масштабировать вершину в пространстве (удалять или приближать) с координатами x, y, z в новую точку с новыми значениями x1, y1, z1, можно посредством следующей записи:

X1 = x * S y1 = y * S z1 = z * S

В матричной записи это выражается следующим образом:

где Sx, Sy, Sz - значения коэффициентов растяжения или сжатия по осям X, Y, Z.

Все перечисленные операции можно делать в исходном коде программы вручную, то есть вычислять приведенные записи так, как я их только что описал. Но естественно так никто не делает (почти никто), потому что в DirectX имеется огромное количество методов, которые сделают все выше приведенные операции за вас.

Матрица вида

Матрица вида – задает местоположение камеры в пространстве и это вторая по счету матрица, на которую умножаются вершины объекта. Эта матрица способствует определению направления просмотра трехмерной сцены. Трехмерная сцена – это все то, что вы видите на экране монитора. Это как в театре, где вы сидите в портере или на галерке и наблюдаете за действиями на сцене. Так вот сидя в портере у вас будет одно местоположение камеры, а сидя на галерке уже совсем другое.

Фактически эта матрица позволяет определять жанр игры. Например, игра DOOM от первого лица – это можно сказать первые ряды портера в театре, тогда как игра Warcraft – это галерка на балконе. Матрица вида предназначена для определения положения камеры в пространстве, и вы можете смещать позицию камеры влево, вправо, вверх, вниз, удалять, приближать ее и так далее.

Матрица проекции

Матрица проекции – это более сложная матрица, которая создает проекцию трехмерного объекта на плоскость двумерного экрана монитора. С помощью этой матрицы определяются передняя и задняя области отсечения трехмерного пространства, что позволяет регулировать пространство отсечения невидимых на экране объектов, а заодно и снизить нагрузку процессора видеокарты. На рисунке изображен механизм проекции объекта в плоскости и отсечение пространства.