Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство

можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)

ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня .

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см.рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Рисунок 2.1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи.

Методика решения задач ЛП графическим методом.

I. В ограничениях задачи (1.2) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые.

II. Найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1.2). Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное,

то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку;

иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси, т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые.

III. Определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений.

IV. Если ОДР - не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L - произвольное число, например, кратное и, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений.

V. Построить вектор, который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке. Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны .

VI. При поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора, при поиске минимума ЦФ - против направления вектора. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум).

VII. Определить координаты точки max (min) ЦФ и вычислить значение ЦФ. Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.

Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.

Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Решение задачи

Этап 1. Определение переменных

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z - это суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х 1 , х 2 , х 3 и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х 1 - количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х 2 - количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции

Целевая функция - это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х 1 , х 2 , … в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х 1 единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500х 1 . Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х 2 единиц продукта В составит 3500х 2 . Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит: Z = 2500х 1 +3500х 2 .

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Этап. 3. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х 1 и х 2) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х 1 , единиц, то будет потрачено Зх 1 , часов этого ресурса.

Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х 2 продуктов, то потребуется 10х 2 часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х 1 единиц продукта А и х 2 единиц продукта В, составляет 3х 1 +10х 2 . Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

3х 1 +10х 2 ≤330

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

16х 1 +4х 2 ≤400

6х 1 +6х 2 ≤240

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:

Этап. 4. Запись условий неотрицательности

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х 1 ≥0 и х 2 ≥0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х 2 не может быть меньше 12.

\[\left\{ {\begin{array}{}
{3{x_1} + 10{x_2} \le 330}\\
{16{x_1} + 4{x_2} \le 400}\\
{6{x_1} + 6{x_2} \le 240}\\
{{x_1} \ge 0}\\
{{x_2} \ge 12}
\end{array}} \right.\]

Решение симплекс-методом

Симплексный метод является универсальным методом решения задачи линейного грограммирования, так как позволяет решить практически любую задачу, представленную в каноническом виде.

Идея симплексного метода заключатся в том, что, начиная с некоторого опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям системы к оптимальному опорному решению. Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов оптимальное решение будет найдено.

Алгорим симплексного метода можно описать следующим образом:

1. Привести задачу к каноническому виду
2. Найти неотрицательное базисное решение системы ограничений
3. Рссчитать оценки свободных переменных по формуле:

\[{\Delta}_j = \sum\limits_{i = 1}^r {{c_i}{h_{ij}} – {c_j}} ,\;j = \overline {1,n} ,\]

где h ij – коэффициенты при свободной переменной x j ,

c i – коэффициенты при базисных переменных в целевой функции,

c j – коэффициенты при свободной переменной в целевой функции,

1. Проверить найденное опорное решение на оптмальность:

а) если все оценки \({\Delta}_j \ge 0\) , то найденное решение оптимально и задача решена;

б) если хотя бы одна оценка \({\Delta}_j < 0\) , а при соответствующей переменной x j нет ни одного положительного коэффициента, то задача не имеет оптимального решения из-за ограниченности целевой функции

в) если хотя бы одна оценка \({\Delta}_j < 0\) , а при соответствующей переменной x j есть хотя бы один положительный коэффициент, то решение не оптимально и его можно улучшить переходом к новому базису. Если отрицательных оценок несколько,то в базис ввести переменную с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой.

Приведем задачу к каноническому виду .

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

\[\left\{ {\begin{array}{}
{3{x_1} + 10{x_2} + {x_3} = 330}\\
{16{x_1} + 4{x_2} + {x_4} = 400}\\
{6{x_1} + 6{x_2} + {x_5} = 240}\\
{-{x_2} +{x_6} = 12}\\
{{x_j} \ge 0\;j = \overline {1,n}}
\end{array}} \right.\]

\[\bar{x}_{\text{опор}}=(0;0;330;400;20;12)\]

Проверим данное решение на оптимальность, для этого найдем свободные переменные в симплексной таблице. Вычисления представлены в файле lp_simplex.xlsx .

Данное решение не оптимально, поскольку в нижней строчке есть отрицательные значения. Поскольку имеются положительные коэффициенты, решение можно улучшить, для этого введем в базис переменную x 2 . Так как в колонке x 2 имеется несколько положительных коэффициентов, то определяем отношение свободного члена b i к соответсвующим коэффициентам в данной колонке и выбираем наименьший результат.

Преобразуем таблицу и повторим расчет.

Данное решение не оптимально, поскольку в нижней строчке есть отрицательные значения. Поскольку имеются положительные коэффициенты, решение можно улучшить, для этого введем в базис переменную x 1 .

Полученное решение (10; 30) является оптимальным.

Решение с помощью Excel и LibreOffice

Решение в Excel осуществляется с помощью надстройки “Поиск решения”, также использующей симплекс-метод.

Анологично даную задач можно решить с помощью Решателя в LibreOffice. Следует отметить, что в LibreOffice нет ограничений на число переменных, в отличии от Excel.

Решение в R

Для решения задач линеного программирования в GNU R можно использовать следующие пакеты:

• lpSolve
• linprog

Второй пакет является надстройкой над первым и позволяет выводить больше диагностической информации

Решение с пакетом lpSolve

Результат

Таким образом, максимальное значение целевой функции равно 130000 и оно достигается при x 1 и x 2 равными, соответственно: 10 и 30.

Решение с пакетом linprog

Поскольку пакет linprog является дополнением к предыдущему пакету, то переменные уже все инициализированы.

Library(linprog) ## Warning: package "linprog" was built under R version 3.2.2 (result<-solveLP(f.obj, b.vec, a.mat, TRUE,const.dir=a.dir,lpSolve=T)) ## ## ## Results of Linear Programming / Linear Optimization ## (using lpSolve) ## ## Objective function (Maximum): 130000 ## ## Solution ## opt ## A 10 ## B 30 ## ## Constraints ## actual dir bvec free ## 1 330 <= 330 0 ## 2 280 <= 400 120 ## 3 240 <= 240 0 ## 4 10 >= 0 10 ## 5 30 >= 12 18

Результат получился тот же, дополнительно выведена информация по свободным ресурсам. Таким образом,GNU R предоставляет достаточно удобный механизм для решения задач линейного программирования.

Вконтакте

Рассмотрим несколько методов решения задач линейного программирования.

Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Каждое из неравенств задачи линейного программирования определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом - пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1) ОДР является пустым множеством.

Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1) включает равенства, поскольку любое равенство

можно представить в виде системы двух неравенств

ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.

Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным. Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L.

Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня. Направление вектора совпадает с направлением возрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направление убывания ЦФ противоположно направлению вектора.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений - единственная точка; задача не имеет решений.

Рисунок 1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи

Рассмотрим методику решения задач ЛП графическим методом.

• 1) в ограничениях задачи (1) заменить знаки неравенств знаками точных равенств и построить соответствующие прямые;
• 2) найти и заштриховать полуплоскости, разрешенные каждым из ограничений-неравенств задачи (1). Для этого нужно подставить в конкретное неравенство координаты какой-либо точки [например, (0;0)], и проверить истинность полученного неравенства.

Если неравенство истинное, то надо заштриховать полуплоскость, содержащую данную точку; иначе (неравенство ложное) надо заштриховать полуплоскость, не содержащую данную точку.

Поскольку и должны быть неотрицательными, то их допустимые значения всегда будут находиться выше оси и правее оси, т.е. в I-м квадранте.

Ограничения-равенства разрешают только те точки, которые лежат на соответствующей прямой. Поэтому необходимо выделить на графике такие прямые;

• 3) определить ОДР как часть плоскости, принадлежащую одновременно всем разрешенным областям, и выделить ее. При отсутствии ОДР задача не имеет решений;
• 4) если ОДР - не пустое множество, то нужно построить целевую прямую, т.е. любую из линий уровня (где L - произвольное число, например, кратное и, т.е. удобное для проведения расчетов). Способ построения аналогичен построению прямых ограничений;
• 5) построить вектор, который начинается в точке (0;0) и заканчивается в точке. Если целевая прямая и вектор построены верно, то они будут перпендикулярны;
• 6) при поиске максимума ЦФ необходимо передвигать целевую прямую в направлении вектора, при поиске минимума ЦФ - против направления вектора. Последняя по ходу движения вершина ОДР будет точкой максимума или минимума ЦФ. Если такой точки (точек) не существует, то можно сделать вывод о неограниченности ЦФ на множестве планов сверху (при поиске максимума) или снизу (при поиске минимум);
• 7) определить координаты точки max (min) ЦФ и вычислить значение ЦФ. Для вычисления координат оптимальной точки необходимо решить систему уравнений прямых, на пересечении которых находится.

Симплекс-метод - это один из первых специализированных методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум.

Симплекс метод - это характерный пример итерационных вычислений, используемых при решении большинства оптимизационных задач. В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс, при котором, начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки (обычно начало координат), осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор, пока не будет найдена точка, соответствующая оптимальному решению (рисунок 2).

Рисунок 2 Переход от одной вершины к другой

Симплекс-метод, известный также в нашей литературе под названием метода последовательного улучшения плана, впервые разработал Г. Данциг в 1947 г. Этот метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают. В результате оптимальное решение находят за конечное число шагов.

Симплекс метод - универсальный метод для решения линейной системы уравнений или неравенств и линейного функционала.

Алгоритм решения ЗЛП симплексным методом.

Симплекс-метод подразумевает последовательный перебор всех вершин области допустимых значений с целью нахождения той вершины, где функция принимает экстремальное значение. На первом этапе находится какое-нибудь решение, которое улучшается на каждом последующем шаге. Такое решение называется базисным.

Рассмотрим шаги симлекс-метода.

• 1) в составленной таблице сначала необходимо просмотреть столбец со свободными членами. Если в нем имеются отрицательные элементы, то необходимо осуществить переход ко второму шагу, если же нет, то к пятому;
• 2) на втором шаге необходимо определиться, какую переменную исключить из базиса, а какую включить, для того, что бы произвести перерасчет симплекс-таблицы. Для этого просматриваем столбец со свободными членами и находим в нем отрицательный элемент. Строка с отрицательным элементом будет называться ведущей. В ней находим максимальный по модулю отрицательный элемент, соответствующий ему столбец - ведомый. Если же среди свободных членов есть отрицательные значения, а в соответствующей строке нет, то такая таблица не будет иметь решений. Переменная в ведущей строке, находящаяся в столбце свободных членов исключается из базиса, а переменная, соответствующая ведущему столбцу включается в базис. В таблице 1 приведен пример симплекс-таблицы.

Таблица 1

Пример симплекс-таблицы

• 3) на третьем шаге пересчитываем всю симплекс-таблицу по специальным формулам;
• 4) если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицательные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то к пятому;
• 5) если Вы дошли до пятого шага, значит нашли решение, которое допустимо. Однако, это не значит, что оно оптимально. Оптимальным оно будет только в том случае, если положительны все элементы в F-строке. Если же это не так, то необходимо улучшить решение, для чего находим для следующего перерасчета ведущие строку и столбец по следующему алгоритму. Первоначально, находим минимальное отрицательное число в строке F, исключая значение функции. Столбец с этим числом и будем ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответствующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они положительны. Минимальное отношение позволит определить ведущую строку. Вновь пересчитываем таблицу по формулам, т.е. переходим к шагу 3;
• 6) если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена сверху и F max ->?. Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Краткая теория

Линейное программирование - раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.

Графический метод решения задач линейного программирования дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачу линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно. Случай двух переменных не имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ограничений ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Если ограничения и целевая функция содержит более двух переменных, тогда необходимо (или методом последовательного улучшения решения) - он универсален и им можно решить любую ЗЛП. Для некоторых прикладных задач линейного программирования, таких как , разработаны специальные методы решения.

Пример решения задачи

Условие задачи

Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить кг сырья первого типа, кг сырья второго типа, кг сырья третьего типа. На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить кг первого типа, сырья второго типа, сырья третьего типа. Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве кг, кг, кг соответственно. Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет тыс руб., а единицы Изделия 2 - тыс. руб.

Требуется:

• Построить математическую модель задачи.
• Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.

Решение задачи

Построение модели

Через и обозначим количество выпускаемых изделий 1-го и 2-го типа.

Тогда ограничения на ресурсы:

Кроме того, по смыслу задачи

Целевая функция экономико-математической модели, выражающая получаемую от реализации выручку:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Построение области допустимых решений

Решим полученную задачу линейного программирования графическим способом:

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Найдем точки, через которые проходят прямые:

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 1-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Возьмём любую точку, например , не принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Областью допустимых решений является фигура .

Нахождение решения задачи ЛП

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции. Здесь - коэффициент пропорциональности.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка , координаты которой находим как точку пересечения прямых (2) и (1).

Ответ

Таким образом необходимо выпускать 56 изделий 1-го вида и 64 изделия 2-го вида. При этом выручка от реализации изделий будет максимальна и составит 5104 ден.ед.

Метод графического решения, если задача с двумя переменными имеет линейные ограничения, а целевая функция - квадратичная, подробно рассмотрен .

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Пример 6.1.

Решение:

Задача линейного программирования задана в стандартной форме и имеет два проектных параметра, следовательно

Воз-можно ее решение геометрическим методом.

1 этап: ( ОДР ).

Рассмотрим первое ограничение, заменим знак неравенства знаком равенства и выразим переменную х2 через х1 :

.

Аналогично определяем точки для остальных ограничений системы и строим по ним прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 1). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 этап: .

Определим полуплоскости – решения каждого из неравенств.

Рассмотрим первое неравенство системы ограничений задачи. Возьмем какую-либо точку (контрольную точку), не принадлежащую соответствующей данному неравенству прямой, например, точку (0; 0). Подставим ее в рассматриваемое неравенство:

При подстановке координат контрольной точки неравенство остается справедливым. Следовательно, множество точек, принадлежащих данной прямой (т.к. неравенство не строгое), а также расположенных ниже ее, будут являться решениями рассматриваемого неравенства (пометим на графике (рис. 1) найденную полуплоскость двумя стрелками направленными вниз рядом с прямой I ) .

Аналогично определяем решения других неравенств и соответственно помечаем их графике. В результате график примет следующий вид:

3 этап: .

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) при пересечении образуют многоугольник ABCDEO , который и является ОДР рассматриваемой задачи.

Рис. 1. Область допустимых решений задачи

4 этап:
Вектор-градиент показывает направление максимизации целевой функции . Определим его координаты: координаты начальной его точки (точки приложения) – (0; 0), координаты второй точки:

Построим данный вектор на графике (рис. 2).

5 этап: .

Рассмотрим целевую функцию данной задачи:

.

Зададим ей какое-либо значение, к примеру, . Выразим переменную х2 через х1 :

.

Для построения прямой по данному уравнению зададим две произвольные точки, к примеру:

Построим прямую соответствующую целевой функции (рис. 2).

Рис. 2. Построение целевой функции F(X) и вектора-градиента С

6 этап: определение максимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (X ) параллельно са-мой себе по направлению вектора-градиента, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 3), такой точкой является точка С ­– точка пересечения прямых I и II .

Рис. 3. Определение точки максимума целевой функции F(X)

Определим координаты точки С, с этой целью, решим сле-дующую систему линейных уравнений:

Подставим найденные координаты в целевую функцию и найдем ее оптимальное (максимальное) значение:

Ответ: при заданных ограничениях макси-мальное значение целевой функции F (Х )=24, которое достигается в точке С, координаты которой х1 =6, х2 =4.

Пример 6.2. Решить задачу линейного про- граммирования геометрическим методом:

Решение:

Этапы 1-3 аналогичны соответствующим этапам предыдущей задачи.
4 этап: построение вектора-градиента.
Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функцииF (X ).

5 этап: построение прямой целевой функ-ции .

Построение прямой целевой функции F (X ) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 4).

Рис. 4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

6 этап: определение оптимума целевой функ-ции .

Перемещая прямую F (x ) параллельно са-мой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, опреде-ляем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5), та- кой точкой является точка О с координатами (0; 0).

Рис. 5. Определение точки минимума целевой функции

Подставляя координаты точки минимума в целевую функ-цию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.
Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F (Х )=0, которое достигается в точке О (0; 0).

Пример 6.3. Решить следующую задачу ли-нейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x 1 и x 2 .

Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана- Гаусса базисные переменныеx 1 и x 2 .

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со вто-рой:
.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой:

.

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные перемен-ные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

Запишем полученную задачу линейного программирования:

Так как переменные x 1 и x 2 неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эк- вивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим мето-дом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений ( ОДР ).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного програм-мирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схе-ме.

2 этап: определение решения каждого из нера-венств системы ограничений .

С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 6) с помощью стрелок.

3 этап: определение ОДР задачи линейного про- граммирования .

Найденные полуплоскости (т.е. решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

Рис. 6. Фрагмент MathCAD-документа:

построение области допустимых решений задачи

Ответ: рассматриваемая задача линейного программирования не имеет решения в силу несовместности системы ограничений.

Если после подстановки координат контрольной точки в неравенство его смысл нарушается, то решением данного неравенства является полуплоскость не содержащая данную точку (т.е. расположенная по другую сторону прямой).

Направление, обратное вектору-градиенту, соответствует направлению минимизации целевой функции.