Топология компьютерных сетей

На скорость передачи данных в сети, на надежность обслуживания запросов клиентов, на устойчивость сети к отказам оборудования, на стоимость создания и эксплуатации сети значительное влияние оказывает ее топология.

Под топологией компьютерной сети понимается способ соединения ее отдельных компонентов (компьютеров, серверов, принтеров и т.д.). Различают следующие основные топологии:

· топология типа звезда;

· топология типа кольцо;

· топология типа общая шина;

· древовидная топология;

· полносвязная сеть.

Рассмотрим данные топологии сетей.

Топология типа звезда . При использовании топологии типа звезда информация между клиентами сети передается через единый центральный узел (Рис. 11). В качестве центрального узла может выступать сервер или специальное устройство – концентратор (Hub).

Рис. 11. Топология типа звезда

В топологии звезда могут использоваться активные и пассивные концентраторы. Активные концентраторы принимают и усиливают передаваемые сигналы. Пассивные концентраторы пропускают через себя сигналы, не усиливая их. Пассивные концентраторы не требуют подключения к источнику питания.

Преимущества топологии звезда состоят в следующем:

1. Высокое быстродействие сети, так как общая производительность сети зависит только от производительности центрального узла.

2. Отсутствие столкновения передаваемых данных, так как данные между рабочей станцией и сервером передаются по отдельному каналу, не затрагивая другие компьютеры.

Однако помимо достоинств у данной топологии есть и недостатки:

1. Низкая надежность, так как надежность всей сети определяется надежностью центрального узла. Если центральный узел (сервер или концентратор) выйдет из строя, то работа всей сети прекратится.

2. Высокие затраты на подключение компьютеров, так как к каждому новому абоненту необходимо ввести отдельную линию.

3. Отсутствие возможности выбора различных маршрутов для установления связи между абонентами.

Данная топология в настоящее время является самой распространенной.

Топология типа кольцо . При топологии кольцо все компьютеры подключаются к кабелю, замкнутому в кольцо. Сигналы передаются по кольцу в одном направлении и проходят через каждый компьютер (рис. 12).

Рис. 12. Топология типа кольцо

Передача информации в данной сети происходит следующим образом. Маркер (специальный сигнал) последовательно, от одного компьютера к другому, передается до тех пор, пока его не получит тот, который хочет передать данные. Получив маркер, компьютер создает так называемый пакет, который используется для передачи данных. В пакет помещается адрес получателя и данные, а затем он отправляется по кольцу. Пакет проходит через каждый компьютер, пока не окажется у того, чей адрес совпадает с адресом получателя. После этого принимающий компьютер посылает источнику информации подтверждение факта получения пакета. Получив подтверждение, передающий компьютер создает новый маркер и возвращает его в сеть.

Преимущества топологии типа кольцо состоят в следующем:

1. Пересылка сообщений является очень эффективной, т.к. можно отправлять несколько сообщений друг за другом по кольцу. Т.е. компьютер, отправив первое сообщение, может отправлять за ним следующее сообщение, не дожидаясь, когда первое достигнет адресата.

2. Протяженность сети может быть значительной. Т.е. компьютеры могут подключаться к друг к другу на значительных расстояниях, без использования специальных усилителей сигнала.

3. Отсутствие коллизий (см. тему №3, раздел 2) и столкновения данных, так как передачу в каждый момент времени ведет только один компьютер.

К недостаткам данной топологии относятся:

1. Низкая надежность сети, так как отказ любого компьютера влечет за собой отказ всей системы.

2. Для подключения нового клиента необходимо прервать работу в сети.

3. При большом количестве клиентов скорость работы в сети замедляется, так как вся информация проходит через каждый компьютер, а их возможности ограничены.

4. Общая производительность сети определяется производи­тельностью самого медленного компьютера .

Данная топология выигрывает в том случае, если в организации создается система распределенных центров обработки информации, расположенных на значительном расстоянии друг от друга.

Топология типа общая шина . При шинной топологии все клиенты подключены к общему каналу передачи данных (рис. 13). При этом они могут непосредственно вступать в контакт с любым компьютером, имеющимся в сети.

Рис.13. Топология типа общая шина

Передача информациипроисходит следующим образом. Данные в виде электрических сигналов передаются всем компьютерам сети. Однако информацию принимает только тот, адрес которого соответствует адресу получателя. Причем в каждый момент времени только один компьютер может вести передачу.

Преимущества топологии общая шина:

1. Вся информация находится в сети и доступна каждому компьютеру. Т.е. с любого персонального компьютера можно получить доступ к информации, которая храниться на любом другом компьютере.

2. Рабочие станции можно подключать независимо друг от друга. Т.е. при подключении нового абонента нет необходимости останавливать передачу информации в сети.

3. Построение сетей на основе топологии общая шина обходится дешевле, так как отсутствуют затраты на прокладку дополнительных линий при подключении нового клиента.

4. Сеть обладает высокой надежностью, т.к. работоспособность сети не зависит от работоспособности отдельных компьютеров.

Последнее преимущество определяется тем, что шина является пассивной топологией. Т.е. компьютеры только принимают передаваемые данные, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому, если один из компьютеров выйдет из строя, это не скажется на работе остальных.

К недостаткам топологии типа общая шина относятся:

1. Низкая скорость передачи данных, так как вся информация циркулирует по одному каналу (шине).

2. Быстродействие сети зависит от числа подключенных компьютеров. Чем больше компьютеров подключено к сети, тем больше загружена шина и тем медленнее идет передача информации от одного компьютера к другому.

3. Для сетей, построенных на основе данной топологии, характерна низкая безопасность, так как информация на каждом компьютере может быть доступна с любого другого компьютера.

Древовидная топология . В сетях с древовидной топологией компьютеры непосредственно связаны с центральными узлами сети – серверами (Рис. 14).

Рис.14. Древовидная топология

Древовидная топология представляет собой комбинацию топологии типа звезда и топологии типа общая шина. Поэтому ей в основном присущи те же преимущества и недостатки, которые были указаны для данных топологий.

Полносвязная вычислительная сеть . В полносвязной сети каждый компьютер соединен со всеми другими компьютерами отдельными линиями (рис. 15).

Рис.15. Полносвязная вычислительная сеть

Преимущества полносвязной сети:

1. Высокая надежность, так как при отказе любого канала связи будет найден обходной путь для передачи информации.

2. Высокое быстродействие, так как информация между компьютерами передается по отдельным линиям.

Недостатки данной топологии:

1. Данная топология требует большого числа соединительных линий, т.е. стоимость создания подобной сети очень высокая.

2. Трудность построения сети при большом количестве компьютеров, так как от каждого компьютера к остальным необходимо прокладывать отдельные линии.

Топология полносвязной сети обычно применяется для малых сетей с небольшим количеством компьютеров, которые работают с полной загрузкой каналов связи.

Для крупных вычислительных сетей (глобальных или региональных) обычно применяется комбинация различных топологией для разных участков.

Модели ЛВС

Существует две модели локальных вычислительных сетей:

· одноранговая сеть;

· сеть типа клиент-сервер.

В одноранговой сети все компьютеры равноправны между собой. При этом вся информация в системе распределена между отдельными компьютерами. Любой пользователь может разрешить или запретить доступ к своим данным. В таких сетях на всех компьютерах устанавливаются однотипные операционные системы (ОС), которые предоставляет всем компьютерам в сети потенциально равные возможности.

Достоинстваданной модели:

1. Простота реализации. Для реализации данной сети достаточно наличия в компьютерах сетевых адаптеров и кабеля, которых их соединит.

2. Низкая стоимость создания сети. Так как отсутствуют затраты, связанные с покупкой дорогостоящего сервера, дорогой сетевой операционной системы и т.д.

Недостатки модели:

1. Низкое быстродействие при сетевых запросах. Рабочая станция всегда обрабатывает сетевые запросы медленнее, чем специализированный компьютер – сервер. Помимо этого на рабочей станции всегда выполняются различные задачи (набор текста, создание рисунков, математические расчеты и др.), которые замедляют ответы на сетевые запросы.

2. Отсутствие единой информационной базы, так как вся информация распределена по отдельным компьютерам. При этом приходиться обращаться к нескольким компьютерам для получения необходимой информации.

3. Отсутствие единой системы безопасности информации. Каждый персональный компьютер защищает свою информацию посредством операционной системы. Однако операционные системы персональных компьютеров, как правило, обладают меньшей защищенностью, чем сетевые операционные системы для серверов. Поэтому "взломать" такую сеть значительно проще.

4. Зависимость наличия в системе информации от состояния компьютера. Если какой-то компьютер будет выключен, то информация, хранимая на нем, будет недоступна другим пользователям.

В сети типа клиент-сервер имеется один или несколько главных компьютеров - серверов. В таких системах всей основной информацией управляют серверы.

Сеть типа клиент-сервер является функционально не симметричной: в ней используются два типа компьютеров - одни ориентированны на выполнение серверных функций и работают под управлением специализированных серверных ОС, а другие - выполняют клиентские функции и работают под управлением обычных ОС. Функциональная несимметричность вызывает и несимметричность аппаратуры - для выделенных серверов используются более мощные компьютеры с большими объемами оперативной и внешней памяти.

Достоинствами данной модели являются:

1. Высокое быстродействие сети, так как сервер быстро обрабатывает сетевые запросы и не загружен другими задачами.

2. Наличие единой информационной базы и системы безопасности. Взломать сервер можно, но это значительно сложнее, чем рабочую станцию.

3. Простота управления все сетью. Так как управление сетью заключается в основном в управлении только сервера.

Недостаткимодели:

1. Высокая стоимость реализации, так как требуется покупать дорогостоящий сервер и сетевую операционную систему для сервера.

2. Зависимость быстродействия сети от сервера. Если сервер будет не достаточно мощным, то работа в сети может сильно замедляться.

3. Для правильной работы сети требуется наличие дополнительного обслуживающего персонала, т.е. в организации должна быть введена должность администратор сети.

Введение

1. Понятие топологии сети

2. Базовые топологии сети

2.3 Базовая топология сети типа "кольцо" (ring)

3. Другие возможные сетевые топологии

3.1 Топология сети типа "дерево" (tree)

3.2 Комбинированные топологии сети

3.3 "Сеточная" топология сети

4. Многозначность понятия топологии

Заключение

Список используемой литературы

Введение

На сегодняшний день невозможно представить деятельность человека без использования им компьютерных сетей.

Компьютерная сеть - представляет собой систему распределенной обработки информации, состоящую как минимум из двух компьютеров, взаимодействующих между собой с помощью специальных средств связи.

В зависимости от удалённости компьютеров и масштабов, сети условно разделяют на локальные и глобальные.

Локальные сети - сети, имеющие замкнутую инфраструктуру до выхода на поставщиков услуг. Термин "LAN" может описывать и маленькую офисную сеть, и сеть уровня большого завода, занимающего несколько сотен гектаров. Локальные сети развёртываются обычно в рамках некоторой организации, поэтому их называют также корпоративными сетями.

Иногда выделяют сети промежуточного класса - городская или региональная сеть, т.е. сеть в пределах города, области и т.п.

Глобальная сеть покрывает большие географические регионы, включающие в себя как локальные сети, так и прочие телекоммуникационные сети и устройства. Глобальные сети практически имеют те же возможности, что и локальные. Но они расширяют область их действия. Польза от применения глобальных сетей ограничена в первую очередь скоростью работы: глобальные сети работают с меньшей скоростью, чем локальные.

Из выше перечисленных компьютерных сетей, обратим свое внимание на локальные сети, для того чтобы лучше понять архитектуру сетей, способы передачи данных. А для этого надо знать такое понятие, как топология сети.

1. Понятие топологии сети

Топология - это физическая конфигурация сети в совокупности с ее логическими характеристиками. Топология - это стандартный термин, который используется при описании основной компоновки сети. Если понять, как используются различные топологии, то можно будет определить, какими возможностями обладают различные типы сетей.

Существует два основных типа топологий:

физическая

логическая

Логическая топология описывает правила взаимодействия сетевых станций при передаче данных.

Физическая топология определяет способ соединения носителей данных.

Термин "топология сети" характеризует физическое расположение компьютеров, кабелей и других компонентов сети. Топология сети обуславливает ее характеристики.

Выбор той или иной топологии влияет на:

состав необходимого сетевого оборудования

характеристики сетевого оборудования

возможности расширения сети

способ управления сетью

Конфигурация сети может быть или децентрализованной (когда кабель "обегает" каждую станцию в сети), или централизованной (когда каждая станция физически подключается к некоторому центральному устройству, распределяющему фреймы и пакеты между станциями). Примером централизованной конфигурации является звезда с рабочими станциями, располагающимися на концах ее лучей. Децентрализованная конфигурация похожа на цепочку альпинистов, где каждый имеет свое положение в связке, а все вместе соединены одной веревкой. Логические характеристики топологии сети определяют маршрут, проходимый пакетом при передаче по сети.

При выборке топологии нужно учитывать, чтобы она обеспечивала надежную и эффективную работу сети, удобное управление потоками сетевых данных. Желательно также, чтобы сеть по стоимости создания и сопровождения получилась недорогой, но в то же время оставались возможности для ее дальнейшего расширения и, желательно, для перехода к более высокоскоростным технологиям связи. Это непростая задача! Чтобы ее решить, необходимо знать, какие бывают сетевые топологии.

2. Базовые топологии сети

Существует три базовые топологии, на основе которых строится большинство сетей.

звезда (star)

кольцо (ring)

Если компьютеры подключены вдоль одного кабеля, топология называется "шиной". В том случае, когда компьютеры подключены к сегментам кабеля, исходящим из одной точки, или концентратора, топология называется звездой. Если кабель, к которому подключены компьютеры, замкнут в кольцо, такая топология носит название кольца.

Хотя сами по себе базовые топологии несложны, в реальности часто встречаются довольно сложные комбинации, объединяющие свойства нескольких топологий.

2.1 Топология сети типа "шина" (bus)

В этой топологии все компьютеры соединяются друг с другом одним кабелем (рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема топологии сети тип "шина"

В сети с топологией "шина" компьютеры адресуют данные конкретному компьютеру, передавая их по кабелю в виде электрических сигналов - аппаратных MAC-адресов . Чтобы понять процесс взаимодействия компьютеров по шине, нужно уяснить следующие понятия:

передача сигнала

отражение сигнала

терминатор

1. Передача сигнала

Данные в виде электрических сигналов, передаются всем компьютерам сети; однако информацию принимает только тот, адрес которого соответствует адресу получателя, зашифрованному в этих сигналах. Причем в каждый момент времени только один компьютер может вести передачу. Так как данные в сеть передаются лишь одним компьютером, ее производительность зависит от количества компьютеров, подключенных к шине. Чем их больше, т.е. чем больше компьютеров, ожидающих передачи данных, тем медленнее сеть. Однако вывести прямую зависимость между пропускной способностью сети и количеством компьютеров в ней нельзя. Ибо, кроме числа компьютеров, на быстродействие сети влияет множество факторов, в том числе:

характеристики аппаратного обеспечения компьютеров в сети

частота, с которой компьютеры передают данные

тип работающих сетевых приложений

тип сетевого кабеля

расстояние между компьютерами в сети

Шина - пассивная топология. Это значит, что компьютеры только "слушают" передаваемые по сети данные, но не перемещают их от отправителя к получателю. Поэтому, если один из компьютеров выйдет из строя, это не скажется на работе остальных. В активных топологиях компьютеры регенерируют сигналы и передают их по сети.

2. Отражение сигнала

Данные, или электрические сигналы, распространяются по всей сети - от одного конца кабеля к другому. Если не предпринимать никаких специальных действий, сигнал, достигая конца кабеля, будет отражаться и не позволит другим компьютерам осуществлять передачу. Поэтому, после того как данные достигнут адресата, электрические сигналы необходимо погасить.

3. Терминатор

Чтобы предотвратить отражение электрических сигналов, на каждом конце кабеля устанавливают заглушки (терминаторы, terminators), поглощающие эти сигналы (Рисунок 2). Все концы сетевого кабеля должны быть к чему-нибудь подключены, например к компьютеру или к баррел-коннектору - для увеличения длины кабеля. К любому свободному - неподключенному - концу кабеля должен быть подсоединен терминатор, чтобы предотвратить отражение электрических сигналов.

Рисунок 2 - Установка терминатора

Нарушение целостности сети может произойти, если разрыв сетевого кабеля происходит при его физическом разрыве или отсоединении одного из его концов. Возможна также ситуация, когда на одном или нескольких концах кабеля отсутствуют терминаторы, что приводит к отражению электрических сигналов в кабеле и прекращению функционирования сети. Сеть "падает". Сами по себе компьютеры в сети остаются полностью работоспособными, но до тех пор, пока сегмент разорван, они не могут взаимодействовать друг с другом.

У такой топологии сети есть достоинства и недостатки. К достоинствам можно отнести:

небольшое время установки сети

дешевизна (требуется меньше кабеля и сетевых устройств)

простота настройки

выход из строя рабочей станции не отражается на работе сети

Недостатки такой топологии следующие.

такие сети трудно расширять (увеличивать число компьютеров в сети и количество сегментов - отдельных отрезков кабеля, их соединяющих).

поскольку шина используется совместно, в каждый момент времени передачу может вести только один из компьютеров.

"шина" является пассивной топологией - компьютеры только "слушают" кабель и не могут восстанавливать затухающие при передаче по сети сигналы.

надежность сети с топологией "шина" невысока. Когда электрический сигнал достигает конца кабеля, он (если не приняты специальные меры) отражается, нарушая работу всего сегмента сети.

Проблемы, характерные для топологии "шина", привели к тому, что эти сети, столь популярные еще десять лет назад, сейчас уже практически не используются.

Топология сети типа "шина" известна как логическая топология Ethernet 10 Мбит/с.

2.2 Базовая топология сети типа "звезда" (star)

При топологии "звезда" все компьютеры с помощью сегментов кабеля подключаются к центральному компоненту, именуемому концентратором (hub) (рисунок 3).

Сигналы от передающего компьютера поступают через концентратор ко всем остальным.

Эта топология возникла на заре вычислительной техники, когда компьютеры были подключены к центральному, главному, компьютеру.

ТОПОЛОГИЯ
раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия "анализ ситус" (анализ положения), а также "теория точечных множеств". В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология - один из новейших разделов математики.
История. В 1640 французский математик Р.Декарт (1596-1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V - E + F = 2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. В 1752 швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777-1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808-1882), П. Тэйт (1831-1901) и Дж. Александер. В 1840 А. Мебиус (1790-1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии являются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр (1881-1966).
Разделы топологии. Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.
Некоторые основные понятия. Топологическое пространство состоит из множества точек S и набора S подмножеств множества S, удовлетворяющего следующим аксиомам: (1) все множество S и пустое множество принадлежат набору S; (2) объединение любой совокупности множеств из S есть множество из S; (3) пересечение любого конечного числа множеств из S есть множество из S. Множества, входящие в набор S, называются открытыми множествами, а сам этот набор - топологией в S.
См. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ . Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, S", - это отображение (p (r) p") точек p из S в точки p" из S", удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и S" взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка p" из S" и в каждую точку p" отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками p", q" из S" также стремится к нулю, и наоборот. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Рис. 1. ПОВЕРХНОСТЬ КУБА И СФЕРА гомеоморфны, т.е. могут быть переведены друг в друга топологическим преобразованием, но ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору (поверхности "бублика").

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Смотреть что такое "ТОПОЛОГИЯ" в других словарях:

Топология … Орфографический словарь-справочник

топология - Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… … Справочник технического переводчика

В широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия

Наука, учение о местностях. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. топология (гр. topos место, местность + ...логия) раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур (свойства, не… … Словарь иностранных слов русского языка

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании, растягивании, скручивании (но без разрывов и склеиваний). Чашка с ручкой топологически эквивалентна бублику; куб,… … Научно-технический энциклопедический словарь

- (от греч. topos место и...логия) раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных… … Большой Энциклопедический словарь

ТОПОЛОГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos место и logos учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.). Толковый словарь… … Толковый словарь Ушакова

Топология - довольно красивое, звучное слово, очень популярное в некоторых нематематических кругах, заинтересовало меня еще в 9 классе. Точного представления конечно же я не имел, тем не менее, подозревал, что все завязано на геометрии.

Слова и текст подбирались таким образом, чтобы все было «интуитивно ясно». Как следствие - полное отсутствие математической грамоты.

Что такое топология? Сразу скажу, что есть, по крайней мере, два термина «Топология» - один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй - несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Наглядный пример 1. Чашка бублик.

Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете - она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

Наглядный пример 2. Топологический человек.

Давайте внесем ясности

Очень полезный случай - сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек - тогда это просто сфера, может быть одна - тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.
Так почему же сфера с ручками - обособляется среди других фигур? Все очень просто - любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет О_о Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Поясню: мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:
1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),
2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера - двухмерная поверхность),
3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна

Лента Мебиуса, интересна тем, что имеет только одну поверхность; такие формы являются объектом изучения топологии. Топология (греч. – место, logos – наука) – раздел математики, который приближен к геометрии. В то время как алгебра начинается с рассматривания операций, геометрия – фигур, а математический анализ – функций; фундаментальное понятие топологии – непрерывность. Непрерывное отображение деформирует пространство, не разрывая его, при этом отдельные точки или части пространства могут склеиться (соединиться), но близкие точки остаются близкими. В отличие от геометрии, где рассматриваются преимущественно метрические характеристики, такие как длина, угол и площадь, в топологии эти характеристики считаются несущественными на фоне изучаются такие фундаментальные свойства фигуры, как связность (количество кусков, дыр и т.д.) или возможность непрерывно здеформуваты ее к сферы и обратно (это возможно для поверхности куба, но невозможно для поверхности тора).
Аксиоматика топологии построена на принципах теории множеств, но ведущую роль в исследованиях по современной топологии играют прежде алгебраические и геометрические методы. Объектами исследования топологии является топологические пространства, совместное обобщение таких структур как граф, поверхность в трехмерном пространстве и множество Кантора и отображения между ними. При этом исследуются свойства топологических пространств как в малом (локальные), так и в целом (глобальные). Среди разнообразных направлений топологии отметим приближенную к теории множеств общую топологию, которая изучает такие общие свойства абстрактных топологических пространств как компактность или связность, и алгебраическую топологию, которая пытается описать топологические пространства с помощью их алгебраических инвариантов, например чисел Бетти и фундаментальной группы. Геометрическая топология изучает топологические пространства геометрического происхождения, узлы в трехмерном евклидовом пространстве и трехмерные многообразия. К геометрической топологии принадлежит одна из крупнейших и известнейших математических проблем, гипотеза Пуанкаре, которую наконец (2003 г.) доказал российский математик Григорий Перельман.
Наряду с алгеброй и геометрией, топологические методы широко используются в функциональном анализе, теории динамических систем и современной математической физике.
Срок топология используется для обозначения как математической дисциплины, так и для определенной математической структуры, смотри топологическое пространство.
Семь мостов Кенигсберга – первая задача топологии, которая была рассмотрена Л. Эйлером. Начальные исследования по топологии принадлежат Леонарду Эйлеру. Считается, что статья Эйлера «Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis» («Решение вопроса, связанного с геометрией положения»), напечатанная в 1736 г., содержала первые результаты по топологии. Новая точка зрения, предложенная Эйлером, заключалась в том, чтобы во время изучения определенных вопросов по геометрии отказаться от рассмотрения метрических свойств геометрических фигур, таких как длина и площадь. Так, в 1750 г. в письме Гольдбаха Эйлер сообщил о своей славной формулу

В – Р + Г = 2,

Которая связывает число вершин В, ребер Р и граней Г выпуклого многогранника.
В 1895 г. Анри Пуанкаре опубликовал цикл статей Analysis Situs, в которых заложил основы алгебраической топологии. Совершенствуя предварительные исследования связности топологических пространств, Пуанкаре ввел понятие гомотопии и гомологии и предоставил определение фундаментальной группы.
В определенном смысле, работы Пуанкаре подвели итог исследованиям Эйлера, Люилье, Гаусса, Римана, листингу, Мебиуса, Жордана, Клейна, Бетти и др. с комбинаторной и геометрической топологии. Важной особенностью почти всех этих работ, включая Пуанкаре, был их интуитивный характер. Вместе с существенным количеством примеров топологических объектов и результатов для их свойств, новой области математики хватало ли не самого главного: строгого определения объектов ее исследования, то есть, современным языком, топологических пространств.
Осознание важности топологической парадигмы в математическом анализе, связанной со строгим обоснованием границ, непрерывности и компактности в работах Больцано, Коши, Вейерштрасса, Кантора и др. привело к аксиоматического определения основных понятий топологии и развития общей топологии, а вместе с ней и топологии векторных пространств, функционального анализа. Таким образом, проблемы анализа образуют вторых, во многом, независимое от вопросов геометрии, источник для развития топологии. Следует отметить что до сих пор пути развития общего и алгебраической топологии почти не пересекаются.
Общепризнанная ныне аксиоматика топологии основывается на теории множеств, которая была образована Георгом Кантором во второй половине 19-го века. В 1872 г. Кантор предоставил определение открытых и замкнутых множеств действительных чисел. Интересно отметить, что Кантор поступил в некоторых идей теории множеств, например, множества Кантора, в пределах своих исследований по рядов Фурье. Систематизируя работы Георга Кантора, Вито Вольтерры, Чезаре Арцела, Жака Адамара и др., в 1906 году Морис Фреше обозначил понятие метрического пространства. Чуть позже было осознано, что метрическое пространство – это частный случай более общего понятия, топологического пространства. В 1914 г. Феликс Хаусдорф использовал термин «топологическое пространство» в близком к современному смысле (рассмотренные им топологические пространства сейчас называют хаусдорфовой).
Происхождение названия
Собственно термин «топология» («topologie» на немецком языке) впервые появился лишь в 1847 г. в статье Листинг Vorstudien zur Topologie. Однако к тому времени Листинг уже более 10 лет использовал этот термин в своих переписки. «Topology», английская форма срока, была предложена в 1883 в журнале Nature для того чтобы различить качественную геометрию от геометрии обычной, в которой превалируют количественные соотношения. Слово topologist – т.е. тополог, в смысле «специалист по топологии" было впервые использовано в 1905 в журнале Spectator. Благодаря влиянию упомянутых выше статей Пуанкаре, топология долгое время была известна еще под названием Analysis Situs (лат. анализ места).
Топологические пространства естественно появляются во многих разделах математики. Это делает топологию чрезвычайно универсальным инструментом для математиков Общая топология определяет и изучает такие свойства пространств и отображений между ними как связность, компактность и непрерывность. Алгебраическая топология использует объекты абстрактной алгебры, а особенно теории категорий для изучение топологических пространств и отображений между ними.
Чтобы понять, для чего нужна топология, можно привести такой пример: в некоторых геометрических задачах не так важно знать точную форму объектов, как знать как они расположены. Если рассмотреть квадрат и круг (контуры), казалось бы такие разные фигуры, можно заметить несколько общего: оба объекта являются одномерными и оба разделяют пространство на две части – внутренность и внешность.
Темой одной из самых статей (автор – Леонард Эйлер) по топологии была демонстрация того, что невозможно найти путь в Кенигсберге (ныне Калининград), который бы пролег через каждый из семи городских мостов ровно по одному разу. Этот результат не зависел ни от длины мостов, ни от расстояния между ними. Влияли только свойства связности: какие мосты связывают которые острова или берега. Эта задача Семи мостов Кенигсберга показательна при изучении математики, также она стала основополагающей в разделе математики, называется теория графов.
Похожей является теорема мохнатой шара с алгебраической топологии, в которой говорится следующее: «невозможно причесать волосы на шаре в одну сторону». Этот факт является достаточно наглядным и многие сразу находят понимание, однако ее формальную запись для многих не является очевидным: не существует ненулевого непрерывного поля касательных векторов на сфере. Как и с кенигсбергских мостами, результат не зависит от точной формы сферы; утверждение выполняется и для грушевидных форм, даже для более общих – каплевидных форм (с некоторыми условиями на гладкость поверхности), при общей условии отсутствия дыр.
Так что для того, чтобы решать подобные задачи, которые в действительности не нуждаются сведений о точной форму объектов, нужно четко знать, от каких же свойств зависит решение таких задач. Сразу возникает потребность в определении топологической эквивалентности. Невозможность пройти каждым из мостов по одному разу относится также к любому расположения мостов, эквивалентного Кенигсбергского; теорема мохнатой шара может быть применена к любому объекту топологически эквивалентного шара.
Непрерывная деформация кофейной чашки в баранку (тор). Такое преобразование называют гомотопии. Фазы преобразования чашки в баранку Интуитивно, два топологических пространства эквивалентны (гомеоморфными), если один может быть преобразован в другой без отрезков или склеек. Традиционным есть такая шутка: тополог не может отличить чашку кофе, из которой она пьет, от бублика, которую он ест, так как достаточно гибкий баранку можно легко превратить в форму чашки, создав углубления и увеличивая его, одновременно уменьшая отверстие до размеров ручки.
В качестве простого исходной задачи можно классифицировать буквы латинского алфавита в терминах топологической эквивалентности. (Будем считать, что толщина линий, из которых составлен буквы ненулевая) В большинстве шрифтов что сейчас применяются существует класс букв ровно с одной дыркой {a, b, d, e, o, p, q}, класс букв без дырок: {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z}, и класс букв, состоящих из двух кусков: {i, j}. Буква «g» может принадлежать либо классу букв с одной дыркой, или (в некоторых шрифтах) это может быть буква с двумя дырками (если ее хвостик был заперт). Для более сложного примера можно рассмотреть случай нулевой толщины линий; можно рассмотреть различные топологии в зависимости от того, какой шрифт выбрать. Топология букв имеет свое практическое применение в трафаретной типографии: например, шрифт Braggadocio может быть вырезан из плоскости, не распавшись после этого.
Топология – одна из наиболее центрально-расположенных математических дисциплин, в смысле численности связей и степени взаимного влияния с другими разделами математики. Приведем следующие примеры.
Математическая сообщество высоко отметила вклад топологий к развитию математики. За период с 1936 по 2006 г., одна из высших наград в математике, Медаль Филдса, была присуждена 48 математикам, 9 из них за исследования именно в топологии. В работах еще нескольких из лауреатов топологические методы играли важную роль.
Трем из них премия была присуждена за решение гипотезы Пуанкаре: Григорию Перельману за доведение оригинальной гипотезы относительно трехмерной сферы и Майклу Фридману и Стивену Смейла – за решение аналогичного вопроса в четырех (Фридман) и пяти и более измерениях (Смейл). Интересно, что еще две с Филдсовской премий была присуждена за результаты о сферах: Джону Милнору за открытие 28 дифференцируемых структур на семивимирний сфере, и Жану-Пьеру Серра за разработку методов вычисления гомотопических групп сфер. Таким образом, пять из сорока восьми Филдсовской премий получили исследователи сфер!