Для общего описания канала связи и построения теории информации используется одна и та же модель. Канал назы­вается д и с к р е т н ы м (непрерывным), если множества Х и Y дискретны (непрерывны), и п о л у н е п р е р ы в н ы м, если одно из множеств дискретно, а другое непрерывно. Ниже рассматриваются только дискретные каналы.

Канал полностью описывается условными вероятностями того, что k-ì принятым символом будет

j k -й символ множества Y (j k = 1, m y ).

Указанную вероятность можно рассматривать как функ­цию , вид которой отражает состояние канала, в частности, характер взаимодействия помехи и сиг­нала. Если

то соответствующий канал называется каналом без памяти. Если вероятность не зависит от k (от времени), то соответствующий канал называется стацио­нарным. Ограничимся рассмотрением только стационар­ных каналов без памяти. Определим скорость передачи информации как предел:

где - средняя взаимная информация между пере­данным и принятым. В случае отсутствия помехH (X /Y )=0, следовательно, R = H (X ). Этот предел в случае канала без памяти равен взаимной информации:

R=I (X,Y )=H (X ) -H (X|Y )=H (Y ) -H (Y|X ) .

Скорость передачи информации R полностью определяется

вероятностями . Поэтому изменять величину R мы можем только за счет изменения вида распре­деления , поскольку - характеристика неуп­равляемого канала. Определим пропускную способность кана­ла С как максимальную по скорость передачи инфор­мации:

.

В случае отсутствия помех

.

Вычисление пропускной способности симметричных каналов

Существует класс каналов, для которых пропускная спо­собность С легко вычисляется. Канал полностью описывается так называемой стохастической матрицей

в которой сумма всех элементов, образующих строку, рвана единице.

Канал называется с и м м е т р и ч н ы м п о в х о д у, если строки матрицы различаются только порядком расстановки некоторого множества чисел

Для симметричных по входу каналов частная условная энтропия

Она не зависит от номера передаваемой буквы и может быть вычислена по любой строке матрицы. Поэтому условная энтропия

Канал называется с и м м е т р и ч н ы м п о в ы х о д у, если столбцы матрицы различаются только порядком расста­новки некоторого множества чисел .

Если распределение источника равномерное

то распределение на выходе симметричного по выходу канала также будет равномерным. При этом энтропииН(Х) и H (Y ) достигают своего максимального значения. В этом легко убедиться, если доказать, что вероятность не за­висит оту j . Представим вероятность в виде

Поскольку

Сумма не зависит от номера столбцаj и в общем

случае не равна единице. Поэтому вероятность также

не зависит от j и равна . При этом

Канал называется симметричным, если он симметричен по входу и выходу. Для симметричного канала H (Y | X ) не зависит от распределения источника сообщений, поэтому пропускная способность

В качестве примера вычислим пропускную способность симметричного канала, который описывается матрицей

где m = m X = m Y . В этом случае

C 1

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 P e

Рис. 3. Зависимость пропускной

способности ДСК от вероятности ошибки p e

Вероятность 1-p e равна вероятности правильного приема символа. Вероятность ошибки p e равна вероятности приема y j c при условии, что было передано x i . Тогда

Широкое распространение получил двоичный симметрич-ный канал (ДСК) (m =2) , для которого пропускная способность (Рис. 3)

Максимальная скорость передачи информации, равная единице, получается при р е =0 и при р е =1. В этом случае множества Х и Y находятся во взаимно однозначном соответ­ствии, и по принятому у j (j =1, 2) всегда можно определить с вероятностью, равной единице, переданную букву. К сожа­лению, это возможно только тогда, когда априори (до при­ема) известно значение вероятности р е (нуль или единица).

Пропускная способность дискретного канала без помех

Определим пропускную способность канала как максимальное количество информации, которое можно передавать по нему в единицу времени:

C = max{Ixy}/ tx (бит/с) (4.1)

Для канала без помех справедливо условие I xy = H x , а потому его пропускная способность:

C бп = max{Hx}/ tx = log 2 m / tx (4.2)

В частном случае передачи двоичных разрядов (m = 2) справедливо

С бп = 1/tx (4.3).

Для нас важно, как соотносится величина С бп с потоком информации источника H`z , который определяется по формуле

H`z = Hz/tz (бит/с) (4.4).

Пропускная способность канала используется полностью, когда H`z = C. Между тем, уменьшение энтропии Hz может привести к сокращению информационного потока. Чтобы его увеличить, требуется сократить время tz . Если учесть, что

tz = tx * lср, где lср - средняя длина кода символа, то становится ясно: чтобы полнее использовать пропускную способность канала для любого источника, нужно рационально кодировать сообщения, по возможности сокращая величину lср .

Если записать условие полного использования пропускной способности канала H`z = C в развернутом виде, то для канала без помех оно будет иметь вид:

Hz/tz = log 2 m/tx (4.5),

а с учетом tz = tx * lср и log 2 m = 1 (при m=2) мы получим условие:

lср = Hz (4.6)

По сути, доказательство этой так называемой теоремы Шеннона о кодировании для канала без помех сводится к нахождению процедуры, позволяющей получить требуемый код. Эта процедура, именуемая эффективным кодированием, была предложена самим Шенноном и в дальнейшем усовершенствована (с точки зрения удобства ее практического применения) Хаффменом.

В обоих случаях речь идет о посимвольном кодировании и величина Hz имеет значение безусловной энтропии. В принципе можно пойти дальше и рассматривать кодирование цепочек символов. В этом случае Hz будет иметь смысл условной энтропии порядка l, где l - максимальная длина цепочки. О "цепочечном" кодировании речь впереди, а пока мы рассмотрим классический подход к эффективному кодированию на уровне символов.

Рассмотрим теперь вариант, когда помехи в канале вызывают появление ошибок с вероятностью p 0 . В этом случае из соотношения 3.1 следует:

C = max {Hx - Hx/y}/ tx = (log 2 m - Hx/y) / tx (4.8)

Рассмотрим наиболее распространенный случай так называемого двоичного симметричного канала. При этом m = 2 (log 2 m = 1), а вероятности ошибки “переход "1" в "0” ” “переход "0" в "1" ” одинаковы.

Если теперь рассмотреть в качестве случайного события передачу разряда кода с ошибкой (вероятность p 0), то, используя формулу (2.8) для определения энтропии, получим:

Hx/y = Hy/x = -p 0 log 2 p 0 - (1 - p 0) log 2 (1 - p 0) (4.9)

С учетом этого (4.8) преобразуется к виду:

C = /tx (4.10)

Таким образом, пропускная способность симметричного двоичного канала с помехами определяется только скоростью передачи разрядов кода (Vx = 1/tx) и вероятностью ошибок.

Наглядно зависимость C(p 0) иллюстрирует рисунок 2.

Рисунок 2

Как видно, максимальное значение пропускной способности канала достигается при p 0 = 0 «канал без помех»и при p 0 = 1 (очевидно, что если канал передает все символы с ошибками, то последние легко устраняются инвертированием). Минимальное значение C = 0 имеет место при p 0 = 0.5.

Шеннон показал, что за счет кодирования пропускную способность канала с помехами также можно использовать максимально полно (напомним, что сама она будет ниже, чем у канала без помех).

Способ кодирования, который позволяет этого добиться, основан на использовании избыточных кодов, когда каждый информационный блок защищается контрольными разрядами и чем больше длина блока, тем меньше удельный вес этих избыточных разрядов, позволяющих обнаружить и исправить ошибки. Вопросы применения корректирующих кодов мы рассмотрим в разделе 5.

Пропускная способность систем передачи информации

Одной из основных характеристик любой системы передачи информации, кроме перечисленных выше, является ее пропускная способность.

Пропускная способность – максимально возможное количество полезной информации, передаваемое в единицу времени:

c = max{Imax} / TC ,

c = [бит/с].

Иногда скорость передачи информации определяют как максимальное количество полезной информации в одно элементарном сигнале:

s = max{Imax} / n,

s = [бит/элемент].

Рассмотренные характеристики зависят только от канала связи и его характеристик и не зависят от источника.

Пропускная способность дискретного канала связи без помех. В канале связи без помех информацию можно передавать неизбыточным сигналом. При этом число n = m, а энтропия элементарного сигнала HCmax = logK.

max{IC} = nHCmax= mHCmax .

Длительность элементарного сигнала , где – длительность элементарного сигнала.

где FC – спектр сигнала.

Пропускная способность канала связи без помех

Введем понятие скорости генерации элементарного сигнала источником информации:

Тогда, используя новое понятие, можно преобразовать формулу для скорости передачи информации:

Полученная формула определяет максимально возможную скорость передачи информации в дискретном канале связи без помех. Это следует из предположения о том, что энтропия сигнала максимальна.

Если HC < HCmax, то c = BHC и не является максимально возможной для данного канала связи.

Пропускная способность дискретного канала связи с помехами. В дискретном канале связи с помехами наблюдается ситуация, изображенная на рис. 6.

Учитывая свойство аддитивности, а также формулы Шеннона для определения количества информации, рассмотренные выше, можно записать

IC = TC FC log(AK PC),

IПОМ = TП FП log(APП).

Для получателя источник полезной информации и источник помехи равноценны, поэтому нельзя на приемной стороне выделить составляющую помехи в сигнале с результирующей информацией

IРЕЗ = TC FC log(AK (PП + PC)), если TC = TП, FC = FП.

Приемник может быть узкополосным, а помеха находиться в других интервалах частот. В этом случае она не будет влиять на сигнал.

Будем определять результирующий сигнал для наиболее “неприятного” случая, когда параметры сигнала и помехи близки друг к другу или совпадают. Полезная информация определяется выражением

Эта формула получена Шенноном. Она определяет скорость передачи информации по каналу связи в случае, если сигнал имеет мощность PC, а помеха – мощность PП. Все сообщения при такой скорости передадутся с абсолютной достоверностью. Формула не содержит ответа на вопрос о способе достижения такой скорости, но дает максимально возможное значение с в канале связи с помехами, то есть такое значение скорости передачи, при которой полученная информация будет абсолютно достоверной. На практике экономичнее допустить определенную долю ошибочности сообщения, хотя скорость передачи при этом увеличится.

Рассмотрим случай PC >> PП. Если ввести понятие отношения сигнал/шум

PC >> PП означает, что . Тогда

Полученная формула отражает предельную скорость мощного сигнала в канале связи. Если PC << PП, то с стремится к нулю. То есть сигнал принимается на фоне помех. В таком канале в единицу времени сигнал получить не удается. В реальных ситуациях полностью помеху отфильтровать нельзя. Поэтому приемник получает полезную информацию с некоторым набором ошибочных символов. Канал связи для такой ситуации можно представить в виде, изображенном на рис. 7, приняв источник информации за множество передаваемых символов {X}, а приемник – за множество получаемых символов {Y}.

Рис.7 Граф переходных вероятностей K- ичного канала связи

Между существует определенное однозначное соответствие. Если помех нет, то вероятность однозначного соответствия равна единице, в противном случае она меньше единицы.

Если qi – вероятность принятия yi за xi, a pij = p{yi / xi} – вероятность ошибки, то

.

Граф переходных вероятностей отражает конечный результат влияния помехи на сигнал. Как правило, он получается экспериментально.

Полезная информация может быть оценена как IПОЛ = nH(X · Y), где n – количество элементарных символов в сигнале; H(X · Y) – взаимная энтропия источника X и источника Y.

В данном случае источником X является источник полезной информации, а источником Y является приемник. Соотношение, определяющее полезную информацию, можно получить исходя из смысла взаимной энтропии: заштрихованный участок диаграммы определяет сообщения, переданные источником Xи полученные приемником Y; незаштрихованные участки отображают сигналы источника X, не дошедшие до приемника и полученные приемником посторонние сигналы, не передаваемые источником.

B – скорость генерации элементарных символов на выходе источника.

Для получения max нужно по возможности увеличить H(Y) и уменьшить H(Y/X). Графически эта ситуация может быть представлена совмещением кругов на диаграмме (Рис. 2г).

Если же круги вообще не пересекаются, X и Y существуют независимо друг от друга. В дальнейшем будет показано, как можно использовать общее выражение для максимальной скорости передачи при анализе конкретных каналов связи.

Характеризуя дискретный канал, используют два понятия скорости: техническая и информационная.

Под технической скоростью передачи RT, называемой также скоростью манипуляции, подразумевают число символов (элементарных сигналов), передаваемых по каналу в единицу времени. Она зависит от свойств линии связи и быстродействия аппаратуры канала.

С учетом различий в длительности символов техническая скорость определяется как

где - среднее время длительности символа.

Единицей измерения служит »бод» - это скорость, при которой за одну секунду передается один символ.

Информационная скорость или скорость передачи информации определяется средним количеством информации, которое передается по каналу за единицу времени. Она зависит как от характеристик конкретного канала (таких как объем алфавита используемых символов, технической скорости их передачи, статистического свойства помех в линии), так и от вероятностей поступающих на вход символов и их статистической взаимосвязи.

При известной скорости манипуляции скорость передачи информации по каналу задается соотношением:

,

где – среднее количество информации, переносимое одним символом.

Для практики важно выяснить, до какого предела и каким путем можно повысить скорость передачи информации по конкретному каналу. Предельные возможности канала по передаче информации характеризуются его пропускной способностью.

Пропускная способность канала с заданными переходными вероятностями равна максимуму передаваемой информации по всем входным распределениям символов источника X:

С математической точки зрения поиск пропускной способности дискретного канала без памяти сводится к поиску распределения вероятностей входных символов источника Х, обеспечивающего максимум переданной информации . При этом, на вероятности входных символов накладывается ограничение: , .

В общем случае, определение максимума при заданных ограничениях возможно с помощью мультипликативного метода Лагранжа. Однако такое решение требует чрезмерно больших затрат.

В частном случае для дискретных симметричных каналов без памяти пропускная способность (максимум , достигается при равномерном распределении входных символов источника X.

Тогда для ДСК без памяти, считая заданной вероятность ошибки ε и для равновероятных входных символов = = = =1/2, можно получить пропускную способность такого канала по известному выражению для :

где = – энтропия двоичного симметричного канала при заданной вероятности ошибки ε.

Интерес представляют граничные случаи:

1. Передача информации по бесшумному каналу (без помех):

, [бит/символ].

При фиксированных основных технических характеристиках канала (например, полосе частот, средней и пиковой мощности передатчика), которые определяют значение технической скорости, пропускная способность канала без помех будет равна [бит/сек].

Соотношения (7.1)–(7.3), определяющие скорость пе­редачи и пропускную способность канала и линии связи, являются общими, и поэтому они при­менимы как для дискретных, так и для непрерывных ка­налов, как для каналов без шумов, так и для каналов с шумами. Разница заключается в способе вычисления ко­личества информации, содержащейся в последовательности выходных сигналов Z T , о входных сигналах Y T , т.е. I (Z T , Y T ).

Для вычисления I (Z T , Y T ) можно использовать соотношения (5.30) или (5.31). Из этих соотношений получаем

I(Z T ,Y T) = H(Z T) – H(Z T ‌ | Y T) = H(Y T) – H(Y T | Z T). (8.9)

Будем полагать, что шумы, действующие в канале связи, имеют эргодический характер. Это значит, что, например, при длительной многократной передаче сигнала у i сигналы z на выходе канала с вероятностью, как угодно близкой к единице, образуют типичную последовательность. То же самое справедливо и при передаче эргодической последовательности различных сигналов у. При таком условии выход канала связи может рассматриваться как эргодический источник.

Для последовательности длительностью Т, содержащей М сигналов такого источника, имеем

H(Z T) = MH(Z), (8.10)

где H(Z) – энтропия выходного сигнала или, точнее, энтропия выхода канала связи, рассматриваемого как эргодический источник.

Величина H(Z) может быть подсчитана по формуле, аналогичной (6.10),

H(Z) = (8.11)

При этом Q l и Q k обозначены характерные состояния выхода канала связи.

Такое же соотношение получим и для вычисления условной энтропии

H(Z T | Y T) = MH(Z | Y), (8.12)

где H(Z |Y) – энтропия выходного сигнала канала связи при известных входных сигналах.

Повторяя рассуждения, приведенные при выводе (6.10), получим

H(Z |Y) = (8.13)

При этом p(Q l | Q k , y j) – условная вероятность перехода выхода канала связи из состояния Q k в состояние Q l при передаче сигнала y j .

Из (8.9), (8.10) и (8.12) следует, что

I(Z T , Y T) = MH(Z) – MH(Z | Y).

При определении скорости передачи информации по (7.3 ’) учтем, что ; при этом, как и ранее, - средняя длительность сигнала одного сообщения. Тогда получим

Повторяя рассуждения, аналогично найдем

В последнем равенстве - поток информации на выходе кодирующего устройства, характеризует потерю информации, обусловленную действием помех.

Из найденных соотношений и (7.3) следует, что пропускная способность канала связи при наличии помех может быть определена из условия

Оба определения равноправны и дают одно и то же значение С с. Использование того или иного определения дикдуется удобством анализа. При отыскании оптимальных статистических характеристик передаваемых сигналов (у ) необходимо иметь в виду следующее:

Характерные состояния выхода канала связи (Q k , Q l ) могут определяться двумя обстоятельствами:

а) наличием фиксированных ограничений, т.е. запретов, накладываемых на допустимую последовательность передачи различных сигналов, и

б) коррелятивными связями между символами, вызываемыми действием шумов.

Каналы, у которых на каждый передаваемый сигнал (символ) шум воздействует независимоот того, какие сигналы передавались ранее, называются каналами без памяти. В этих каналах шумы не вызывают дополнительных коррелятивных связей между сигналами. В настоящее время основные выводы теории информации получены применительно к каналам без памяти.

Проиллюстрируем вычисление пропускной способности канала на следующем примере.

Пусть требуется определить пропускную способность канала связи, по которому передаются двоичные сигналы со скоростью v x , если вероятность превращения в результате действия помех каждого из этих сигналов в противоположный равна р (вероятность правильного приема, следовательно, 1 – р ). Передаваемые сигналы предполагаются независимыми.

Рис. 8.3. Двоичный симметричный канал

В этом случае алфавит Х и алфавит Y состоят из двух символов: Х = (х 1 ,х 2), Y =(у 1 , у 2). Диаграмма рис. 8.3 показывает возможные варианты передачи и соответствующие им вероятности. Такой канал называется симметричным.

Средняя условная энтропия

Но p (x 1) + p (x 2)=1.

H (Y ôX )= -p log p – (1 – p )log (1 – p ).

Отсюда видно, что H (Y ôX )не зависит от характеристик источника, т.е. от р (х 1)и р (х 2),и определятся только помехами в канале передачи.

Максимальное количество информации на один символ получается, следовательно, при таком распределении вероятностей р (х i ),при котором оказывается максимальным член H (Y ). Но H (Y )не может превосходить величины

H m (Y )= log m =log 2

(что достигается при р (х 1)= р (х 2)=1/2.Поэтому имеем:

max{I (Y , X ) = log 2 + p log p + (1 – p )log (1 – p )

и, следовательно, пропускная способность

C = v x max {I (Y , X )} =

= v x . (8.19)

Отсюда следует, в частности, что при p = 0,т.е. при отсутствии шумов в канале, имеем максимальное значение С

С max = v x log 2.

При р =1 также имеем детерминированный случай, когда сигналы х 1 переводятся в сигналы х 2 и наоборот с вероятностью, равной единице. При этом пропускная способность канала также максимальна.

Минимальное значение пропускная способность имеет при p =1/2(C max = 0).

Если на вход канала подаются сигналы от всех возможных источников дискретных сообщений с одинаковым количеством символов в единицу времени u = 1/T и числом элементарных символов т, то выражение для С и, соответственно, для пропускной способности канала в расчете на единицу времени выглядит так:

Отсюда при т = 2 имеем (8.19).