De regulă, copiii încep să studieze algebra în școala elementară. După ce stăpânesc principiile de bază ale lucrului cu numere, rezolvă exemple cu una sau mai multe variabile necunoscute. Găsirea semnificației unei astfel de expresii poate fi destul de dificilă, dar dacă o simplificați folosind cunoștințele din școala elementară, totul se va rezolva rapid și ușor.

Care este sensul unei expresii

O expresie numerică este o notație algebrică constând din numere, paranteze și semne, dacă are sens.

Cu alte cuvinte, dacă este posibil să găsim sensul unei expresii, atunci intrarea nu este lipsită de sens și invers.

Exemple de următoarele intrări sunt construcții numerice valide:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Un singur număr va reprezenta, de asemenea, o expresie numerică, cum ar fi numărul 18 din exemplul de mai sus.
Exemple de construcții de numere incorecte care nu au sens:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Exemplele numerice incorecte sunt doar o grămadă de simboluri matematice și nu au sens.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

Deoarece astfel de exemple conțin semne aritmetice, putem concluziona că permit calcule aritmetice. Pentru a calcula semnele sau, cu alte cuvinte, pentru a găsi sensul unei expresii, este necesar să se efectueze manipulările aritmetice adecvate.

Ca exemplu, luați în considerare următoarea construcție: (120-30)/3=30. Numărul 30 va fi valoarea expresiei numerice (120-30)/3.

Instrucțiuni:

Conceptul de egalitate numerică

O egalitate numerică este o situație în care două părți ale unui exemplu sunt separate prin semnul „=”. Adică, o parte este complet egală (identică) cu cealaltă, chiar dacă este afișată sub forma altor combinații de simboluri și numere.
De exemplu, orice construcție precum 2+2=4 poate fi numită egalitate numerică, deoarece chiar dacă părțile sunt schimbate, semnificația nu se va schimba: 4=2+2. Același lucru este valabil și pentru construcțiile mai complexe care implică paranteze, împărțire, înmulțire, operații cu fracții și așa mai departe.

Cum să găsiți corect valoarea unei expresii

Pentru a găsi corect valoarea unei expresii, este necesar să se efectueze calcule în funcție de o anumită ordine de acțiuni. Această ordine este predată la lecțiile de matematică, iar mai târziu la orele de algebră din școala elementară. Este cunoscut și sub denumirea de pași aritmetici.

Etape aritmetice:

1. Prima etapă este adunarea și scăderea numerelor.
2. A doua etapă este cea în care se efectuează împărțirea și înmulțirea.
3. A treia etapă - numerele sunt pătrate sau cuburi.

Respectând următoarele reguli, puteți determina întotdeauna corect sensul unei expresii:

1. Efectuați acțiuni începând cu al treilea pas, terminând cu primul, dacă în exemplu nu există paranteze. Adică, mai întâi pătrat sau cub, apoi împărțiți sau înmulțiți și abia apoi adăugați și scădeți.
2. În construcțiile cu paranteze, efectuați mai întâi acțiunile din paranteze, apoi urmați ordinea descrisă mai sus. Dacă există mai multe paranteze, utilizați și procedura de la primul paragraf.
3. În exemple sub formă de fracție, aflați mai întâi rezultatul la numărător, apoi la numitor, apoi împărțiți primul la al doilea.

Găsirea semnificației unei expresii nu va fi dificilă dacă dobândiți cunoștințe de bază ale cursurilor elementare de algebră și matematică. Ghidându-te de informațiile descrise mai sus, poți rezolva orice problemă, chiar și de complexitate crescută.

Aflați parola de la VK, cunoscând autentificarea

De asemenea, puteți calcula expresii matematice complexe în Lazăr. De exemplu, cum ar fi următoarea expresie:

Tot ce trebuie să facem este să obținem formula corectă, astfel încât Lazăr să o poată compila și apoi să o rezolve.

Orez. 4 – Programul „calcularea valorii expresiilor” înainte de lansare

Pentru început, la compilarea unui program, între „procedură” și „begin”, introduceți comanda var alfa………y:real; este necesar pentru calcularea numerelor zecimale. De asemenea, trebuie să introduceți comanda „matematică” în „utilizări”, altfel unele funcții din program nu vor funcționa.

Iată cum arată codul pentru programul „calcularea valorii expresiilor” în Lazăr:

procedura TForm1.SpeedButton1Click(Expeditor: TObject);

var x,y: Single;

x:= StrToFloat(Edit1.Text);

y:= ((sin(x))/2)+3;

Label3.Caption:=FloatToStr(y);

Orez. 5 – Programul „Evaluarea expresiilor” după lansare.

Programul a fost compilat corect, interpretarea a avut succes. Acum, pentru a calcula funcția „y”, trebuie să introduceți valorile în formulă.

Calcularea sumelor unei serii de numere.

Folosind suma serii de numere, puteți: - extinde o funcție într-o serie de puteri; - efectuați calcule aproximative ale valorilor funcției; - efectuează calcule limită; - efectuarea calculului integralelor definite; - efectuarea calculelor logaritmice; - efectuează integrarea ecuaţiilor diferenţiale; - rezolvarea ecuaţiei de ordinul întâi folosind metoda iterativă.

Iterația este execuția repetată a unei acțiuni până când o anumită condiție este îndeplinită. O serie este considerată dată dacă este dată o lege prin care orice membru al seriei poate fi calculat, iar numărul de serie al acestui număr este cunoscut. Printre serii există serii convergente și serii divergente. Dacă valoarea sumelor parțiale Sn tinde către un anumit număr A pe măsură ce n crește fără limită, seria se numește convergentă, iar numărul A se numește sumă. Astfel, cu o creștere nelimitată a lui n, valoarea lui Sn diferă cât se dorește de A, adică. numărul A este limita șirului Sn.

Orez. 6 – Programul „Calculul sumelor unei serii de numere” înainte de lansare

Codul programului „Calculul sumelor unei serii de numere” va arăta astfel:

Clase, SysUtils, FileUtil, LResources, Formulare, Controale, Grafică, Dialoguri, ExtCtrls, StdCtrls, Math;

TForm1 = clasa (TForm)

Buton1: TBbutton;

procedură Button1Click(Expeditor: TObject);

(declarații private)

(declarații publice)

procedura TForm1.Button1Click(Expeditor: TObject);

var n, factorial: întreg; x, y, s: real;

x:=StrToFloat(Edit1.Text);

pentru n:=1 până la 25 do

s:=s + putere(x,(n-1))/factorial;

factorial:=factorial*(n+1);

Label4.Caption:=FloatToStr(s);

y:=(putere(2,76,x)-1)/x;

Label5.Caption:=FloatToStr(y);

Orez. 7 – Programul „Calculul sumelor unei serii de numere” după lansare

Programul a fost compilat corect, obiectul a fost compilat cu succes. Acum, pentru a calcula suma unei serii de numere, trebuie să introduceți valorile în formulă, iar programul creat, similar unui calculator, va calcula răspunsul.

Formulă

Adunare, scădere, înmulțire, împărțire - operații aritmetice (sau operatii aritmetice). Aceste operații aritmetice corespund semnelor operațiilor aritmetice:

+ (citit " la care se adauga") - semnul operațiunii de adăugare,

- (citit " minus") este semnul operației de scădere,

∙ (citit " multiplica") este semnul operației de înmulțire,

: (citit " divide") este semnul operațiunii de împărțire.

Se numește o înregistrare formată din numere interconectate prin semne aritmetice expresie numerică. O expresie numerică poate conține și paranteze. De exemplu, intrarea 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) este o expresie numerică.

Se numește rezultatul efectuării acțiunilor asupra numerelor în expresie numerică valoarea unei expresii numerice. Efectuarea acestor acțiuni se numește calcularea valorii unei expresii numerice. Înainte de a scrie valoarea unei expresii numerice, pune semn egal„=". Tabelul 1 prezintă exemple de expresii numerice și semnificațiile acestora.

O înregistrare formată din numere și litere mici ale alfabetului latin interconectate prin semne de operații aritmetice se numește expresie literală. Această intrare poate conține paranteze. De exemplu, înregistrați a+b - 3 ∙c este o expresie literală. În loc de litere, puteți înlocui diferite numere într-o expresie de litere. În acest caz, semnificația literelor se poate schimba, așa că literele din expresia literelor sunt numite și variabile.

Prin înlocuirea numerelor în loc de litere în expresia literală și calculând valoarea expresiei numerice rezultate, ei găsesc sensul unei expresii literale pentru valori date de litere(pentru valori date ale variabilelor). Tabelul 2 prezintă exemple de expresii de litere.

O expresie literală poate să nu aibă sens dacă înlocuirea valorilor literelor are ca rezultat o expresie numerică a cărei valoare nu poate fi găsită pentru numerele naturale. Această expresie numerică se numește incorect pentru numere naturale. Se mai spune că sensul unei astfel de expresii este „ nedefinit" pentru numerele naturale și expresia în sine "nu are sens". De exemplu, expresia literală a-b nu contează când a = 10 și b = 17. Într-adevăr, pentru numerele naturale, minuendul nu poate fi mai mic decât subtraend. De exemplu, dacă ai doar 10 mere (a = 10), nu poți oferi 17 dintre ele (b = 17)!

Tabelul 2 (coloana 2) prezintă un exemplu de expresie literală. Prin analogie, completați complet tabelul.

Pentru numerele naturale expresia este 10 -17 incorect (nu are sens), adică diferența 10 -17 nu poate fi exprimată ca număr natural. Un alt exemplu: nu poți împărți la zero, deci pentru orice număr natural b, câtul b: 0 nedefinit.

Legile matematice, proprietățile, unele reguli și relații sunt adesea scrise în formă literală (adică sub forma unei expresii literale). În aceste cazuri, se numește expresia literală formulă. De exemplu, dacă laturile unui heptagon sunt egale A,b,c,d,e,f,g, apoi formula (expresie literală) pentru a-și calcula perimetrul p are forma:

p =a+b+c +d+e+f+g

Cu a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, perimetrul heptagonului p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Cu a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, perimetrul celuilalt heptagon p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloc 1. Vocabular

Realizați un dicționar de termeni și definiții noi din paragraf. Pentru a face acest lucru, scrieți cuvinte din lista de termeni de mai jos în celulele goale. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați numerele termenilor în conformitate cu numerele cadrelor. Este recomandat să revizuiți cu atenție din nou paragraful înainte de a completa celulele dicționarului.

1. Operații: adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

2. Semne „+” (plus), „-” (minus), „∙” (înmulțire, „ : " (divide).

3. O înregistrare formată din numere care sunt interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice și care poate conține și paranteze.

4. Rezultatul efectuării de acțiuni asupra numerelor în exprimare numerică.

5. Semnul care precede valoarea unei expresii numerice.

6. O înregistrare formată din cifre și litere mici ale alfabetului latin, interconectate prin semne ale operațiilor aritmetice (pot fi prezente și paranteze).

7. Denumirea generală a literelor în expresie alfabetică.

8. Valoarea unei expresii numerice, care se obține prin înlocuirea variabilelor într-o expresie literală.

9.O expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale nu poate fi găsită.

10. O expresie numerică a cărei valoare pentru numere naturale poate fi găsită.

11. Legi matematice, proprietăți, unele reguli și relații, scrise sub formă de litere.

12. Un alfabet ale cărui litere mici sunt folosite pentru a scrie expresii alfabetice.

Bloc 2. Potrivire

Potriviți sarcina din coloana din stânga cu soluția din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a, 2d, 3b...

Blocul 3. Testul fațetelor. Expresii numerice și alfabetice

Testele fațete înlocuiesc colecții de probleme la matematică, dar diferă favorabil de ele prin faptul că pot fi rezolvate pe calculator, soluțiile pot fi verificate, iar rezultatul muncii poate fi aflat imediat. Acest test conține 70 de probleme. Dar puteți rezolva problemele prin alegere; pentru aceasta există un tabel de evaluare, care indică sarcini simple și altele mai dificile. Mai jos este testul.

1. Dat un triunghi cu laturi c,d,m, exprimat în cm
2. Dat un patrulater cu laturi b,c,d,m, exprimat în m
3. Viteza mașinii în km/h este b, timpul de călătorie în ore este d
4. Distanța parcursă de turist în m ore este Cu km
5. Distanța parcursă de turist, deplasându-se cu viteză m km/h este b km
6. Suma a două numere este mai mare decât al doilea număr cu 15
7. Diferența este mai mică decât cea care se reduce cu 7
8. O linie de pasageri are două punți cu același număr de locuri pentru pasageri. În fiecare dintre rândurile punții m scaune, rânduri pe punte n mai mult decât locuri la rând
9. Petya are m ani, Masha are n ani și Katya este cu k ani mai mică decât Petya și Masha împreună
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Sensul acestei expresii
2. Expresia literală pentru perimetru este
3. Perimetrul exprimat în centimetri
4. Formula pentru distanța parcursă de o mașină
5. Formula pentru viteza v, miscare turistica
6. Formula pentru timpul t, mișcarea turistică
7. Distanța parcursă de mașină în kilometri
8. Viteza turiștilor în kilometri pe oră
9. Durata călătoriei turistice în ore
10. Primul număr este...
11. Subtraend este egal cu...
12. Expresie pentru cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta o linie k zboruri
13. Cel mai mare număr de pasageri pe care îi poate transporta o aeronavă k zboruri
14. Expresie scrisă pentru vârsta lui Katya
15. Vârsta Katiei
16. Coordonata punctului B, dacă coordonata punctului C este t
17. Coordonata punctului D, dacă coordonata punctului C este t
18. Coordonata punctului A, dacă coordonata punctului C este t
19. Lungimea segmentului BD pe linia numerică
20. Lungimea segmentului CA pe linia numerică
21. Lungimea segmentului DA pe linia numerică

Acest articol discută cum să găsiți valorile expresiilor matematice. Să începem cu expresii numerice simple și apoi să luăm în considerare cazurile pe măsură ce complexitatea lor crește. La final vă prezentăm o expresie care conține simboluri cu litere, paranteze, rădăcini, simboluri matematice speciale, grade, funcții etc. Conform tradiției, vom oferi întregii teorii exemple abundente și detaliate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cum să găsiți valoarea unei expresii numerice?

Expresiile numerice, printre altele, ajută la descrierea stării unei probleme în limbajul matematic. În general, expresiile matematice pot fi fie foarte simple, formate dintr-o pereche de numere și simboluri aritmetice, fie foarte complexe, conținând funcții, puteri, rădăcini, paranteze etc. Ca parte a unei sarcini, este adesea necesar să găsiți sensul unei anumite expresii. Cum se face acest lucru va fi discutat mai jos.

Cele mai simple cazuri

Acestea sunt cazurile în care expresia nu conține decât numere și operații aritmetice. Pentru a găsi cu succes valorile unor astfel de expresii, veți avea nevoie de cunoștințe despre ordinea efectuării operațiilor aritmetice fără paranteze, precum și de capacitatea de a efectua operații cu diverse numere.

Dacă expresia conține doar numere și semne aritmetice " + " , " · " , " - " , " ÷ " , atunci acțiunile se execută de la stânga la dreapta în următoarea ordine: mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea și scăderea. Să dăm exemple.

Exemplul 1: valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsiți valorile expresiei 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Să facem mai întâi înmulțirea și împărțirea. Primim:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Acum efectuăm scăderea și obținem rezultatul final:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Exemplul 2: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Mai întâi efectuăm conversia fracțiilor, împărțirea și înmulțirea:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Acum să facem niște adunări și scăderi. Să grupăm fracțiile și să le aducem la un numitor comun:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Valoarea necesară a fost găsită.

Expresii cu paranteze

Dacă o expresie conține paranteze, acestea definesc ordinea operațiilor în expresia respectivă. Acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi, apoi toate celelalte. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplul 3: Valoarea unei expresii numerice

Să găsim valoarea expresiei 0,5 · (0,76 - 0,06).

Expresia conține paranteze, așa că mai întâi efectuăm operația de scădere în paranteze și abia apoi înmulțirea.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Sensul expresiilor care conțin paranteze în paranteze se găsește după același principiu.

Exemplul 4: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Vom efectua acțiuni începând de la cele mai interioare paranteze, trecând la cele exterioare.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Când găsiți semnificațiile expresiilor cu paranteze, principalul lucru este să urmăriți succesiunea acțiunilor.

Expresii cu rădăcini

Expresiile matematice ale căror valori trebuie să le găsim pot conține semne rădăcină. Mai mult decât atât, expresia în sine poate fi sub semnul rădăcinii. Ce să faci în acest caz? Mai întâi trebuie să găsiți valoarea expresiei sub rădăcină și apoi să extrageți rădăcina din numărul obținut ca rezultat. Dacă este posibil, este mai bine să scăpați de rădăcinile din expresiile numerice, înlocuindu-le cu valori numerice.

Exemplul 5: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei cu rădăcini - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Mai întâi, calculăm expresiile radicale.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Acum puteți calcula valoarea întregii expresii.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Adesea, găsirea sensului unei expresii cu rădăcini necesită adesea mai întâi transformarea expresiei originale. Să explicăm acest lucru cu încă un exemplu.

Exemplul 6: Valoarea unei expresii numerice

Ce este 3 + 1 3 - 1 - 1

După cum puteți vedea, nu avem posibilitatea de a înlocui rădăcina cu o valoare exactă, ceea ce complică procesul de numărare. Cu toate acestea, în acest caz, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Prin urmare:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Expresii cu puteri

Dacă o expresie conține puteri, valorile acestora trebuie calculate înainte de a continua cu toate celelalte acțiuni. Se întâmplă ca exponentul sau baza gradului în sine să fie expresii. În acest caz, se calculează mai întâi valoarea acestor expresii, apoi valoarea gradului.

Exemplul 7: Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Să începem să calculăm în ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Tot ce rămâne este să efectuați operația de adăugare și să aflați semnificația expresiei:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

De asemenea, este adesea recomandabil să simplificați o expresie folosind proprietățile unui grad.

Exemplul 8: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea următoarei expresii: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Exponenții sunt din nou astfel încât valorile lor numerice exacte nu pot fi obținute. Să simplificăm expresia originală pentru a-i găsi valoarea.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Expresii cu fracții

Dacă o expresie conține fracții, atunci când se calculează o astfel de expresie, toate fracțiile din ea trebuie reprezentate ca fracții obișnuite și valorile lor trebuie calculate.

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții conțin expresii, atunci se calculează mai întâi valorile acestor expresii și se notează valoarea finală a fracției în sine. Operațiile aritmetice sunt efectuate în ordinea standard. Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplul 9: Valoarea unei expresii numerice

Să aflăm valoarea expresiei care conține fracții: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

După cum puteți vedea, există trei fracții în expresia originală. Să le calculăm mai întâi valorile.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Să rescriem expresia noastră și să calculăm valoarea acesteia:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Adesea, atunci când găsiți sensul expresiilor, este convenabil să reduceți fracțiile. Există o regulă nerostită: înainte de a-i găsi valoarea, cel mai bine este să simplificați la maximum orice expresie, reducând toate calculele la cele mai simple cazuri.

Exemplul 10: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm expresia 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Nu putem extrage complet rădăcina lui cinci, dar putem simplifica expresia originală prin transformări.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Expresia originală ia forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Să calculăm valoarea acestei expresii:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Expresii cu logaritmi

Când logaritmii sunt prezenți într-o expresie, valoarea lor este calculată de la început, dacă este posibil. De exemplu, în expresia log 2 4 + 2 · 4, puteți nota imediat valoarea acestui logaritm în loc de log 2 4 și apoi efectuați toate acțiunile. Obținem: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Expresiile numerice pot fi găsite și sub semnul logaritm în sine și la baza acestuia. În acest caz, primul lucru de făcut este să le găsiți semnificațiile. Să luăm expresia log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Avem:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Dacă este imposibil să se calculeze valoarea exactă a logaritmului, simplificarea expresiei ajută la găsirea valorii acestuia.

Exemplul 11: Valoarea unei expresii numerice

Să găsim valoarea expresiei log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Prin proprietatea logaritmilor:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Folosind din nou proprietățile logaritmilor, pentru ultima fracție din expresie obținem:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Acum puteți continua la calcularea valorii expresiei originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Expresii cu funcții trigonometrice

Se întâmplă ca expresia să conțină funcțiile trigonometrice sinus, cosinus, tangentă și cotangente, precum și funcțiile inverse ale acestora. Valoarea este calculată înainte ca toate celelalte operații aritmetice să fie efectuate. În caz contrar, expresia este simplificată.

Exemplul 12: Valoarea unei expresii numerice

Aflați valoarea expresiei: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Mai întâi, calculăm valorile funcțiilor trigonometrice incluse în expresie.

sin - 5 π 2 = - 1

Înlocuim valorile în expresie și calculăm valoarea acesteia:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Valoarea expresiei a fost găsită.

Adesea, pentru a găsi valoarea unei expresii cu funcții trigonometrice, aceasta trebuie mai întâi convertită. Să explicăm cu un exemplu.

Exemplul 13: Valoarea unei expresii numerice

Trebuie să găsim valoarea expresiei cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Pentru conversie vom folosi formulele trigonometrice pentru cosinusul unui unghi dublu și cosinusul unei sume.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Cazul general al unei expresii numerice

În general, o expresie trigonometrică poate conține toate elementele descrise mai sus: paranteze, puteri, rădăcini, logaritmi, funcții. Să formulăm o regulă generală pentru găsirea semnificațiilor unor astfel de expresii.

Cum să găsiți valoarea unei expresii

1. Rădăcini, puteri, logaritmi etc. sunt înlocuite cu valorile lor.
2. Acțiunile din paranteze sunt efectuate.
3. Acțiunile rămase sunt efectuate în ordine de la stânga la dreapta. Mai întâi - înmulțirea și împărțirea, apoi - adunarea și scăderea.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 14: Valoarea unei expresii numerice

Să calculăm valoarea expresiei - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Expresia este destul de complexă și greoaie. Nu întâmplător am ales un astfel de exemplu, încercând să încadrăm în el toate cazurile descrise mai sus. Cum să găsim sensul unei astfel de expresii?

Se știe că atunci când se calculează valoarea unei forme fracționale complexe, valorile numărătorului și numitorului fracției se găsesc mai întâi separat, respectiv. Vom transforma și simplifica secvențial această expresie.

Mai întâi de toate, să calculăm valoarea expresiei radicalului 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți valoarea sinusului și expresia care este argumentul funcției trigonometrice.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Acum puteți afla valoarea sinusului:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Calculăm valoarea expresiei radicalului:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Cu numitorul fracției totul este mai simplu:

Acum putem scrie valoarea întregii fracții:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Ținând cont de acest lucru, scriem întreaga expresie:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Rezultat final:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

În acest caz, am putut calcula valorile exacte ale rădăcinilor, logaritmilor, sinusurilor etc. Dacă acest lucru nu este posibil, puteți încerca să scăpați de ele prin transformări matematice.

Calcularea valorilor expresiei folosind metode raționale

Valorile numerice trebuie calculate în mod consecvent și precis. Acest proces poate fi raționalizat și accelerat folosind diverse proprietăți ale operațiilor cu numere. De exemplu, se știe că un produs este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Ținând cont de această proprietate, putem spune imediat că expresia 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 este egală cu zero. În același timp, nu este deloc necesar să efectuați acțiunile în ordinea descrisă în articolul de mai sus.

De asemenea, este convenabil să folosiți proprietatea de a scădea numere egale. Fără a efectua nicio acțiune, puteți comanda ca valoarea expresiei 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 să fie și ea zero.

O altă tehnică de accelerare a procesului este utilizarea transformărilor de identitate, cum ar fi gruparea termenilor și factorilor și plasarea factorului comun dintre paranteze. O abordare rațională a calculului expresiilor cu fracții este de a reduce aceleași expresii în numărător și numitor.

De exemplu, luați expresia 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Fără a efectua operațiile din paranteze, ci prin reducerea fracției, putem spune că valoarea expresiei este 1 3 .

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile este găsită pentru anumite valori date de litere și variabile.

Găsirea valorilor expresiilor cu variabile

Pentru a găsi valoarea unei expresii literale și a unei expresii cu variabile, trebuie să înlocuiți valorile date ale literelor și variabilelor în expresia originală, apoi să calculați valoarea expresiei numerice rezultate.

Exemplul 15: Valoarea unei expresii cu variabile

Calculați valoarea expresiei 0, 5 x - y dat x = 2, 4 și y = 5.

Înlocuim valorile variabilelor în expresie și calculăm:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Uneori puteți transforma o expresie astfel încât să obțineți valoarea acesteia indiferent de valorile literelor și variabilelor incluse în ea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scăpați de literele și variabilele din expresie, dacă este posibil, folosind transformări identice, proprietăți ale operațiilor aritmetice și toate celelalte metode posibile.

De exemplu, expresia x + 3 - x are evident valoarea 3, iar pentru a calcula această valoare nu este necesar să se cunoască valoarea variabilei x. Valoarea acestei expresii este egală cu trei pentru toate valorile variabilei x din intervalul său de valori permise.

Încă un exemplu. Valoarea expresiei x x este egală cu unu pentru toate x-urile pozitive.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Expresiile numerice sunt formate din numere, simboluri aritmetice și paranteze. Dacă o astfel de expresie conține variabile, se va numi algebrică. O expresie trigonometrică este o expresie în care o variabilă este conținută sub semnele funcțiilor trigonometrice. Probleme care implică determinarea valorilor expresiilor numerice, trigonometrice și algebrice sunt adesea întâlnite în cursurile de matematică din școală.

Instrucțiuni

Pentru a găsi valoarea unei expresii numerice, determinați ordinea operațiilor din exemplul dat. Pentru comoditate, marcați-l cu un creion deasupra semnelor corespunzătoare. Efectuați toate acțiunile indicate într-o anumită ordine: acțiuni între paranteze, exponențiere, înmulțire, împărțire, adunare, scădere. Numărul rezultat va fi valoarea expresiei numerice.

Exemplu. Găsiți valoarea expresiei (34 10+(489–296) 8):4–410. Stabiliți cursul acțiunii. Efectuați prima acțiune în parantezele interioare 489–296=193. Apoi, înmulțiți 193 8=1544 și 34 10=340. Următoarea acțiune: 340+1544=1884. Apoi, împărțiți 1884:4=461 și apoi scădeți 461–410=60. Ai găsit sensul acestei expresii.

Pentru a afla valoarea unei expresii trigonometrice pentru un unghi cunoscut?, mai întâi. Pentru a face acest lucru, aplicați formulele trigonometrice adecvate. Calculați valorile date ale funcțiilor trigonometrice și înlocuiți-le în exemplu. Urmareste pasii.

Exemplu. Găsiți semnificația expresiei 2sin 30? ca 30? tg 30? ctg 30?. Simplificați această expresie. Pentru a face acest lucru, utilizați formula tg? ctg ?=1. Obține: 2sin 30? ca 30? 1=2sin 30? cos 30?. Se știe că sin 30?=1/2 și cos 30?=?3/2. Prin urmare, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Ai găsit sensul acestei expresii.

Sensul unei expresii algebrice depinde de valoarea variabilei. Pentru a găsi valoarea unei expresii algebrice având în vedere variabilele, simplificați expresia. Înlocuiți anumite valori pentru variabile. Parcurgeți pașii necesari. Ca rezultat, veți primi un număr, care va fi valoarea expresiei algebrice pentru variabilele date.

Exemplu. Aflați valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10. Simplificați această expresie și obțineți: a–2y. Înlocuiți valorile corespunzătoare ale variabilelor și calculați: a–2y=21–2 10=1. Aceasta este valoarea expresiei 7(a+y)–3(2a+3y) cu a=21 și y=10.

Notă

Există expresii algebrice care nu au sens pentru unele valori ale variabilelor. De exemplu, expresia x/(7–a) nu are sens dacă a=7, deoarece în acest caz, numitorul fracției devine zero.