Ce conțin tabelele de adevăr. Explicația noului material

AUTOMIR

1.4 Construirea circuitelor logice

1.4 Construirea circuitelor logice

Glosar, definiții ale logicii

Operații logice și tabele de adevăr

Ordinea operațiilor logice într-o expresie logică complexă

Glosar, definiții ale logicii

Operații logice și tabele de adevăr

Ordinea operațiilor logice într-o expresie logică complexă

Construirea tabelelor de adevăr și a funcțiilor logice

Funcția logică este o funcție în care variabilele iau doar două valori: una logică sau zero logic. Adevărul sau falsitatea propozițiilor complexe este o funcție a adevărului sau falsitatea celor simple. Această funcție se numește funcție de judecată booleană f(a, b).

Orice funcție logică poate fi specificată folosind un tabel de adevăr, pe partea stângă a căruia este scris un set de argumente, iar în partea dreaptă - valorile corespunzătoare ale funcției logice. La construirea unui tabel de adevăr, este necesar să se țină cont de ordinea în care sunt efectuate operațiile logice.

Ordinea operațiilor logiceîntr-o expresie logică complexă:

1. inversiune;

2. conjuncție;

3. disjuncție;

4. implicare;

5. echivalenţă.

Parantezele sunt folosite pentru a modifica ordinea specificată a operațiilor.

Algoritm pentru construirea tabelelor de adevăr pentru expresii complexe :

numărul de linii = 2 n + rând pentru titlu ,

n este numărul de afirmații simple.

numărul de coloane = numărul de variabile + numărul de operații logice ;

· determinarea numărului de variabile (expresii simple);

· determinarea numărului de operaţii logice şi succesiunea executării acestora.

3. Completați coloanele cu rezultatele efectuării operațiilor logice în succesiunea desemnată, ținând cont de tabelele de adevăr ale operațiilor logice de bază.

Exemplu: Creați un tabel de adevăr pentru o expresie logică:

D= A & (BVC)

Soluţie:

1. Determinați numărul de linii:

Există trei afirmații simple la intrare: A, B, C, deci n = 3 și numărul de linii = 23 +1 = 9.

2. Determinați numărul de coloane:

expresii simple (variabile): A, B, C;

rezultate intermediare (operații logice):

A- inversiune (notata cu E);

BVC- operație de disjuncție (notat cu F);

precum și valoarea finală dorită a expresiei aritmetice:

D= A & (BVC) . adică D = E & F este o operație de conjuncție.

Completați coloanele ținând cont de tabelele de adevăr ale operațiilor logice.

font-size:12.0pt">Construirea unei funcții logice folosind tabelul său de adevăr:

Să încercăm să rezolvăm problema inversă. Să fie dat un tabel de adevăr pentru o funcție logică Z (X,Y):

dimensiunea fontului:12.0pt">1.

Deoarece există două linii, obținem disjuncția a două elemente: () V () .

Scriem fiecare element logic din această disjuncție ca o conjuncție a argumentelor funcției X și Y: ( X & Y) V ( X & Y).

Soluția expresiilor logice este scrisă de obicei sub forma tabele de adevăr – tabele în care acțiunile arată ce valori ia o expresie logică pentru toate seturile posibile de variabile ale acesteia.

La construirea unui tabel de adevăr pentru o expresie logică, este necesar să se țină cont ordinea executării operaţiilor logice , și anume:

acțiuni între paranteze,
inversare (negație),
& (conjuncție),
v( disjuncție),
=> (implicație),
<=> (echivalenţă ).

Algoritm pentru construirea unui tabel de adevăr :

1. Aflați numărul de rânduri din tabel (calculat ca 2 n, unde n – numărul de variabile + rând de titluri de coloană).

2. Aflați numărul de coloane (calculat ca număr de variabile + numărul de operații logice).

3. Stabiliți succesiunea operațiilor logice.

4. Construiți un tabel, indicând numele coloanelor și posibilele seturi de valori ale variabilelor logice originale.

5. Completați tabelul de adevăr cu coloană.

6. Notează răspunsul.

Exemplul 6

Să construim un tabel de adevăr pentru expresieF =(Av B )&( ¬ A v¬ B) .

1. Număr de rânduri=2 2 (2 variabile+rând antet coloană)=5.

2. Numărul de coloane = 2 variabile logice (A, B) + 5 operații logice (v,&, ¬ , v, ¬ ) = 7.

3. Să aranjam ordinea operațiilor: 1 5 2 43

(A v B) și ( ¬ A v¬ B)

4-5. Să construim un tabel și să-l completăm în coloane:

6. Răspuns: F =0, cu A= B=0 și A= B=1

Exemplul 7

Să construim un tabel de adevăr pentru o expresie logică F=X v Y& ¬ Z.

1. Număr de rânduri=2 3 +1=(3 variabile+rând antet coloană)=9.

2. Număr de coloane = 3 variabile logice + 3 operații logice = 6.

3. Să indicăm ordinea acțiunilor: 3 2 1

X v Y& ¬ Z

4-5.Construim tabel și completați-l în coloane:

			¬ Z	Y& ¬ Z	X v Y& ¬ Z
0	0	0			0
0	0	1			0

6. Răspuns:
F = 0, la X= Y= Z= 0; la X= Y=0 și Z= 1.

Exercițiul 8

Construiți tabele de adevăr pentru următoarele expresii logice:

1. F =(Av B )&( ¬ A& ¬ B).

2. F = X& ¬ Y v Z.

Testează-te (răspunsuri standard)

Notă!

Pentru a evita erorile, se recomandă să listați seturi de variabile de intrare după cum urmează:

A) împărțiți coloana de valori a primei variabile în jumătate și umpleți partea superioară a coloanei cu zerouri și partea inferioară cu unu;

B) împărțiți coloana de valori a celei de-a doua variabile în patru părți și completați fiecare trimestru cu grupuri alternante de zerouri și unități, începând cu un grup de zerouri;

C) continuați împărțirea coloanelor de valori ale variabilelor ulterioare la 8, 16 etc. părți și umplerea lor cu grupuri de zerouri sau unu până când grupurile de zerouri și uni constau dintr-un singur caracter.

Tautologie - formulă identică adevărată Adevărat " ("1

Contradicţie - formulă identică falsă , sau o formulă care ia valoarea " minciună " ("0 ") pentru orice valori ale variabilelor incluse în acesta.

Formule echivalente - două formule AȘi ÎN luând aceleași valori, cu aceleași seturi de valori ale variabilelor incluse în acestea.Echivalența a două formule de algebră logică se notează prin simbol.

Informatică: hardware de calculator personal Yashin Vladimir Nikolaevich

4.3. Funcții logice și tabele de adevăr

Relațiile dintre variabilele logice și funcțiile logice din algebra logicii pot fi afișate și folosind tabelele corespunzătoare, care sunt numite tabele de adevăr. Tabelele de adevăr sunt utilizate pe scară largă deoarece arată clar ce valori ia o funcție logică pentru toate combinațiile de valori ale variabilelor sale logice. Tabelul de adevăr este format din două părți. Prima parte (stânga) se referă la variabile logice și conține o listă completă de combinații posibile de variabile logice A, B, C... etc. A doua parte (dreapta) a acestui tabel definește stările de ieșire ca o funcție logică a combinațiilor de mărimi de intrare.

De exemplu, pentru o funcție logică F=A v B v C(disjuncții) a trei variabile logice A, B,Și CU tabelul de adevăr va avea forma prezentată în Fig. 4.1. Pentru a înregistra valorile variabilelor logice și ale funcțiilor logice, acest tabel de adevăr conține 8 rânduri și 4 coloane, adică numărul de linii pentru înregistrarea valorilor argumentelor și funcțiilor oricărui tabel de adevăr va fi egal cu 2n, Unde P - numărul de argumente ale unei funcții logice și numărul de coloane este n + 1.

Orez. 4.1. Tabel de adevăr pentru o funcție logică F=A v ÎN v C

Un tabel de adevăr poate fi compilat pentru orice funcție logică, de exemplu, în Fig. 4.2 prezintă tabelul de adevăr al unei funcții logice F=A? B? C(echivalențe).

Funcțiile logice au nume corespunzătoare. Pentru două variabile binare, există șaisprezece funcții logice, ale căror nume sunt date mai jos. În fig. 4.3 prezintă un tabel care prezintă funcțiile logice F 1, F 2, F 3, … , F 16 două variabile logice AȘi ÎN.

Funcţie F 1 = 0și se numește funcție constantă zero sau generator de zero.

Orez. 4.2. Tabel de adevăr pentru o funcție logică F=A? B? C

Orez. 4.3. Funcții logice F 1, F 2, F 3,… F 16 din două argumente AȘi ÎN

Funcţie F 2 = A și B numită funcţie de conjuncţie.

Funcţie F4 = A A.

numită funcția ban pe o variabilă logică ÎN.

Funcţie F6 = B numită funcţia de repetare prin variabilă logică ÎN.

numită funcție SAU exclusivă.

Funcţie F 8 = A v B numită funcţie de disjuncţie.

numită funcţia Peirce.

numită funcţie de echivalenţă.

ÎN.

Funcţie F 12 = B? A B? A.

numită funcție de negație (inversie) a unei variabile logice A.

Funcţie F 14 = A? B numită funcţie de implicare A? B.

numită funcția Schaeffer.

Funcţie F 16 = 1 se numește funcția generatoare 1.

Printre funcțiile logice ale variabilelor enumerate mai sus, există mai multe funcții logice care pot fi folosite pentru a exprima alte funcții logice. Operația de înlocuire a unei funcții logice cu alta în algebra logicii se numește operație de suprapunere sau metoda de suprapunere. De exemplu, funcția Schaeffer poate fi exprimată folosind funcțiile logice de disjuncție și negație folosind legea lui De Morgan:

Funcțiile logice care pot fi folosite pentru a exprima alte funcții logice prin suprapunere sunt numite funcții logice de bază. Un astfel de set de funcții logice de bază se numește un set complet funcțional de funcții logice. În practică, trei funcții logice sunt cele mai utilizate ca atare mulțime: conjuncție, disjuncție și negație. Dacă o funcție logică este reprezentată folosind funcții de bază, atunci această formă de reprezentare se numește normală. În exemplul anterior, funcția logică Schaeffer, exprimată în termeni de funcții de bază, este reprezentată în formă normală.

Folosind un set de funcții de bază și dispozitivele tehnice corespunzătoare care implementează aceste funcții logice, puteți dezvolta și crea orice dispozitiv sau sistem logic.

Orez. 4.4. Function Wizard - Pasul 1 din 2 Caseta de dialog

După cum se poate observa din Fig. 4.4, ca parte a funcțiilor logice ale programului MS Excel include un set complet funcțional de funcții logice, constând din următoarele funcții logice: AND (conjuncție), SAU (disjuncție), NOT (negație). Astfel, folosind un set complet funcțional de funcții logice ale programului MS Excel alte funcții pot fi implementate. Funcția IF logică (implicație), inclusă și în funcțiile logice MS Excel, efectuează o verificare logică și, în funcție de rezultatul verificării, efectuează una dintre cele două acțiuni posibile. În acest program, are următorul format: = IF (arg1;arg2;arg3), unde arg1 este o condiție logică; arg2 – valoarea returnată cu condiția ca valoarea argumentului arg1 să fie adevărată (TRUE); arg3 este valoarea returnată cu condiția ca valoarea lui arg1 să nu fie adevărată (FALSE). De exemplu, dacă într-o celulă arbitrară a foii de program MS Excel introduceți expresia „=IF (A1 = 5; „cinci”; „nu cinci”), apoi când introduceți numărul 5 în celula A1 și apăsați tasta „Enter”, cuvântul „cinci” va fi scris automat în celulă A1, atunci când introduceți orice alt număr în celula A1, cuvântul „nu cinci” va fi scris în ea. După cum sa menționat deja, folosind funcțiile logice ale programului MS Excel este posibil prezintă alte funcții logice și tabele de adevăr corespunzătoare acestora.

Folosind funcțiile logice IF și AND, implementăm un tabel de adevăr modificat al unei funcții logice F = A și B(conjuncție), format din două rânduri și trei coloane, care permite modificarea valorilor (0 sau 1) ale variabilelor logice A și B setați automat, de exemplu, în celula E6 valoarea funcției F = A și B, corespunzătoare valorilor acestor variabile logice. Pentru a face acest lucru, introduceți următoarea expresie în celula E6: „=IF(AND(C6;D6);1;0)”, apoi când introduceți valorile 0 sau 1 în celulele C6 și D6, o funcție logică va se execută în celula E6 F = A și B. Rezultatul acestor acțiuni este prezentat în Fig. 4.5.

Orez. 4.5. Implementarea unui tabel de adevăr modificat al unei funcții logice F = A și B

Acest text este un fragment introductiv. Din cartea Computer Science and Information Technologies: Lecture Notes autorul Tsvetkova A V

1. Comenzi logice Alături de mijloacele de calcul aritmetic, sistemul de instrucțiuni cu microprocesor are și mijloace de conversie logică a datelor. Prin logica intelegem astfel de transformari de date, care se bazeaza pe regulile formale

Din cartea Computer 100. Începând cu Windows Vista autor Zozulya Yuri

Funcții logice în Excel Când faceți calcule, de multe ori trebuie să alegeți o formulă în funcție de condiții specifice. De exemplu, la calcularea salariilor, pot fi aplicate diferite indemnizații în funcție de vechimea în muncă, calificările sau condițiile specifice de muncă care sunt calculate

Dintr-un registru de lucru Excel. Curs multimedia autor Medinov Oleg

Funcții logice Funcțiile logice pot fi utilizate în calcule matematice, de inginerie sau în analiza comparativă a datelor. Vom analiza o funcție logică folosind funcția IF ca exemplu Folosind funcția IF, puteți crea o expresie logică și

Din cartea Computer Science: Personal Computer Hardware autor Iașin Vladimir Nikolaevici

4.1. Variabile logice și operații logice Informațiile (date, instrucțiuni ale mașinii etc.) dintr-un computer sunt reprezentate într-un sistem de numere binar, care utilizează două cifre - 0 și 1. Semnal electric care trece prin circuite și conexiuni electronice

Din cartea PHP Reference a autorului

Funcții booleene pentru determinarea tipului unei variabile is_scalar Testează dacă o variabilă este simplă Sintaxă: bool is_scalar(mixed var) Returnează adevărat dacă var este de tip scalar (chils, strings, booleans) dar nu complex (matrice sau obiecte). is_null Testează dacă

Din cartea HTML 5, CSS 3 și Web 2.0. Dezvoltarea de site-uri web moderne autor Dronov Vladimir

Operatori logici Operatorii logici efectuează operații pe valori logice. Toate sunt date în tabel. 14.5. Și în tabel Figurile 14.6 și 14.7 arată rezultatele executării acestor operatori Principala zonă de aplicare a operatorilor logici este expresiile de comparație (pentru mai multe informații, vezi

Din cartea XSLT autor Holzner Stephen

Funcții booleene XPath XPath acceptă, de asemenea, următorul set de funcții booleene: boolean(). Reduce argumentul la o valoare logică; fals(). Returnează false; lang(). Verifică dacă limba setată în atributul xml:lang se potrivește cu limba transmisă funcției; nu().

Din cartea XSLT Technology autor Valikov Alexey Nikolaevici

Operatori logici Există doi operatori logici în XSLT - sau și și. Aceste operații sunt binare, adică fiecare dintre ele este definită pentru doi operanzi. Dacă operanzii nu sunt valori booleene, ei sunt implicit transformați în tipul boolean. Semantica sau și și este evidentă

Din cartea Limbajul de programare C pentru un computer personal autorul Bochkov S. O.

Operații logice Operațiile logice efectuează funcțiile logice ȘI (&&) și SAU (||) pe operanzii lor. Operanzii operațiilor logice pot fi de tip întreg, de tip flotant sau pointeri. Tipurile primului și celui de-al doilea operanzi pot diferi. Întotdeauna primul

Din cartea O scurtă introducere în programarea Bash autor Rodriguez Harold

ȘI și SAU logic Ați văzut deja ce sunt structurile de control și cum să le utilizați. Mai sunt două moduri de a rezolva aceleași probleme. Acestea sunt ȘI logice - „&&” și „SAU” logice - « || " ȘI logic este folosit după cum urmează: expresie_1&&expresie_2 În primul rând

Din cartea Firebird DATABASE DEVELOPER'S GHIDE de Borri Helen

Operatori logici Firebird furnizează trei operatori logici care pot opera asupra altor predicate în moduri diferite * NOT specifică negarea termenului de căutare la care se aplică. Are cea mai mare prioritate.* ȘI creează un predicat complex, combinând două

Din cartea The C Language - A Guide for Beginners de Prata Steven

Înțelegerea adevărului și a falsității Din punct de vedere semantic, dacă un predicat returnează „incert”, nu este nici adevărat, nici fals. În SQL, instrucțiunile sunt rezolvate doar ca adevărate sau false - o declarație care nu este evaluată ca adevărată este tratată ca

Din cartea Data Recovery 100% autor Tașkov Petr Andreevici

IV. Operatori logici De obicei, operatorii logici „tratează” expresiile condiționale ca operanzi. Operațiune! are un operand situat în dreapta. Operațiile rămase au doi operanzi: unul în stânga și unul în dreapta. && ȘI logic: rezultatul operației este adevărat,

Din cartea C++ pentru începători de Lippman Stanley

Încălcări logice Dacă unitatea este sănătoasă din punct de vedere fizic, dar apare ca goală sau neformatată, iar datele de pe ea nu sunt vizibile pentru sistemul de operare, atunci în acest caz tabelele de servicii ale sistemului de fișiere sunt deteriorate

Din cartea Descrierea limbajului PascalABC.NET autor Echipa RuBoard

12.3.4. Obiecte cu funcții logice Obiectele cu funcție logică acceptă operațiile „ȘI logic” (returnează adevărat dacă ambii operanzi sunt adevărati - folosește operatorul && asociat tipului Tip), „SAU logic” (returnează adevărat dacă cel puțin unul dintre operanzi este egal cu Adevărat, -

Din cartea autorului

Operatori logici Operațiile logice includ operatorii binari și, sau și xor, precum și operatorul unar not, care au operanzi de tip boolean și returnează o valoare de tip boolean. Aceste operații urmează regulile standard ale logicii: a și b sunt adevărate numai dacă a și b sunt adevărate, a sau b sunt adevărate

Când compilați un tabel de adevăr pentru o expresie logică, trebuie să:

Aflați numărul de rânduri din tabel (calculat ca 2 n, unde n este numărul de variabile).

Aflați numărul de coloane (definit ca număr de variabile + numărul de operații logice).

Stabiliți succesiunea operațiilor logice.

Construiți un tabel, indicând numele coloanelor și posibilele seturi de valori ale variabilelor logice originale.

Completați tabelul de adevăr cu coloană.

Caz de testare. Construiți un tabel de adevăr pentru expresia F = (A V B) & (¬A V ¬B).

Numărul de rânduri din tabel este definit ca 2 2 (2 variabile) + 1 (antetul tabelului) = 5.

Numărul de coloane este de 2 variabile logice (A, B) + 5 operații logice (&, V, ¬, →, ↔).

Să aranjam ordinea operațiilor:

(A V B) și (¬A V ¬B).

Să construim o tabelă de adevăr pentru această expresie logică (Tabelul 5).

Tabelul 5 – Tabelul de adevăr pentru expresia logică

Caz de testare. Construiți un tabel de adevăr pentru expresia logică X V Y & ¬Z.

Număr de linii = 2 3 + 1 = 9.

Număr de coloane = 3 variabile logice + 3 operații logice = 6.

Să indicăm procedura:

Să desenăm și să completăm Tabelul 6:

Tabelul 6 – Tabelul de adevăr pentru expresia logică

Din punct de vedere logic, curentul electric fie curge, fie nu curge; dacă există sau nu un impuls electric; indiferent dacă există sau nu tensiune electrică. Să luăm în considerare circuitele de contact electrice care implementează operații logice (circuite 1 – 3). În diagramele 1 – 3, contactele sunt desemnate prin literele latine A și B.

Schema 1 – Schema de conjuncție 2 – Schema de disjuncție 3 – Inversare

(cheie automata)

Circuitul 4 – Circuitul conjunctor 5 – Circuitul disjunctor 6 – Invertor

Circuitul din Schema 1 cu o conexiune serială de contacte corespunde operației logice „ȘI” și este reprezentat de un conjunctor (Schema 4). Circuitul din diagrama 2 cu o conexiune paralelă de contacte corespunde operației logice „SAU” și este reprezentat de un disjunctor (diagrama 5). Circuitul din schema 3 (releu electromagnetic) corespunde operației logice „NU” și este reprezentat de un invertor (diagrama 6).

Tocmai astfel de circuite electronice și-au găsit aplicația ca bază elementară a computerelor. Elementele care implementează operații logice de bază se numesc elemente logice de bază sau supapeși se caracterizează nu prin starea contactelor, ci prin prezența semnalelor la intrarea și la ieșirea elementului. Numele și simbolurile lor sunt standard și sunt utilizate în compilarea și descrierea circuitelor logice de calculator.

Circuitele logice trebuie construite din numărul minim posibil de elemente, ceea ce, la rândul său, asigură o viteză de funcționare mai mare și crește fiabilitatea dispozitivului.

Regula pentru construirea circuitelor logice:

Determinați numărul de variabile logice.

Determinați numărul de operații logice de bază și ordinea acestora.

Pentru fiecare operație logică, desenați poarta corespunzătoare.

Conectați porțile în ordinea operațiilor logice.

Caz de testare. Fie X = adevărat (1), Y = fals (0). Construiți o diagramă logică pentru următoarea expresie logică: F = X V Y & X.

1) Două variabile –X și Y.

2) Două operații logice: X V Y & X.

3) Construim o diagramă (Figura 3).

4) Răspuns: 1 V 0 & 1 = 1.

Figura 3 – Diagrama logică pentru expresia logică F = X V Y & X

Și, care vă va fi suficient pentru a rezolva expresii logice complexe. Ne vom uita, de asemenea, la ordinea în care aceste operații logice sunt efectuate în expresii logice complexe și prezente tabele de adevăr pentru fiecare operaţie logică. Vă sfătuim să utilizați programele noastre pentru rezolvarea problemelor de matematică și. Pe lângă un număr mare de programe pentru rezolvarea problemelor, rulează site-ul , unde poți oricând să pui o întrebare și unde poți fi mereu ajutat la rezolvarea problemelor. Folosește serviciile noastre pentru sănătatea ta!

Afirmație este o propoziție declarativă despre care se poate spune cu siguranță dacă este adevărată sau falsă (adevărat (1 logic), fals (0 logic)).

Operații logice- acțiuni mentale, al căror rezultat este o modificare a conținutului sau domeniului de aplicare a conceptelor, precum și formarea de noi concepte.

Expresie booleană- o declarație sau o înregistrare orală, care, alături de cantități constante, include în mod necesar cantități variabile (obiecte). În funcție de valorile acestor variabile (obiecte), o expresie logică poate lua una dintre cele două valori posibile: adevărat (1 logic) sau fals (0 logic).

Expresie logică complexă- o expresie logică constând din una sau mai multe expresii logice simple (sau expresii logice complexe) conectate prin operații logice.

1) Înmulțirea sau conjuncția logică:

O conjuncție este o expresie logică complexă care este considerată adevărată dacă și numai dacă ambele expresii simple sunt adevărate în toate celelalte cazuri, expresia complexă este falsă.
Denumire: F = A & B.

Tabelul de adevăr pentru conjuncție

3) Negație sau inversare logică:

Inversarea este o expresie logică complexă, dacă expresia logică inițială este adevărată, atunci rezultatul negației va fi fals și invers, dacă expresia logică originală este falsă, atunci rezultatul negației va fi adevărat. Cu alte cuvinte simple, această operațiune înseamnă că particula NU sau cuvântul NU ADEVĂRAT CE se adaugă la expresia logică originală.

Tabelul de adevăr pentru inversare

5) Echivalență logică sau echivalență:

Echivalența este o expresie logică complexă care este adevărată dacă și numai dacă ambele expresii logice simple au același adevăr.

Tabelul de adevăr pentru echivalență

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

1. Inversiunea;
2. Conjuncție;
3. Disjuncție;
4. Implicație;
5. Echivalența.

Parantezele sunt folosite pentru a modifica ordinea specificată a operațiilor logice.

(A v B)&( ¬ A v¬ B)