Agenția Federală pentru Educație

___________________________________

Statul Sankt Petersburg

Universitatea Electrotehnică „LETI”

_______________________________________

Teoria funcțiilor unei variabile complexe

Instrucțiuni

la exerciții practice

la matematica superioară

St.Petersburg

Editura Universității Electrotehnice din Sankt-Petersburg „LETI”

UDC 512.64(07)

TFKP: Ghid pentru rezolvarea problemelor / comp.: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky. Sankt Petersburg: Editura St.

Aprobat

consiliul editorial și editorial al universității

ca linii directoare

© Universitatea Electrotehnică din Sankt Petersburg „LETI”, 2010

Funcțiile variabilei complexe ,, în cazul general diferă de mapările planului real
în sine doar formă de înregistrare. Un obiect important și extrem de util este clasa unei funcții a unei variabile complexe,

având aceeași derivată ca și funcții ale unei variabile. Se știe că funcțiile mai multor variabile pot avea derivate parțiale și direcționale, dar, de regulă, derivatele în direcții diferite nu coincid și nu se poate vorbi de derivată într-un punct. Totuși, pentru funcțiile unei variabile complexe, este posibil să se descrie condițiile în care acestea admit diferențierea. Studiul proprietăților funcțiilor diferențiabile ale unei variabile complexe este conținutul ghidurilor. Instrucțiunile sunt orientate spre demonstrarea modului în care proprietățile unor astfel de funcții pot fi utilizate pentru a rezolva diverse probleme. Stăpânirea cu succes a materialului prezentat este imposibilă fără abilități elementare de calcul cu numere complexe și familiarizarea cu cele mai simple obiecte geometrice definite în termeni de inegalități care relaționează părțile reale și imaginare ale unui număr complex, precum și modulul și argumentul acestuia. Un rezumat al tuturor informațiilor necesare pentru aceasta poate fi găsit în ghid.

Aparatul standard de analiză matematică: limite, derivate, integrale, serie este utilizat pe scară largă în textul ghidurilor. Acolo unde aceste concepte au propriile lor specificități, în comparație cu funcțiile unei variabile, se dau explicațiile corespunzătoare, dar în majoritatea cazurilor este suficient să se separe părțile reale și cele imaginare și să le aplici aparatul standard de analiză reală.

1. Funcții elementare ale unei variabile complexe

Este firesc să începem să discutăm condițiile de diferențiere a funcțiilor unei variabile complexe clarificând care funcții elementare au această proprietate. Din relația evidentă

Urmează diferențiabilitatea oricărui polinom. Și, deoarece seria de puteri poate fi diferențiată termen cu termen în interiorul cercului de convergență,

atunci orice funcție este diferențiabilă în punctele în jurul cărora poate fi extinsă într-o serie Taylor. Aceasta este o condiție suficientă, dar, după cum va deveni în curând clar, este și una necesară. Este convenabil să se susțină studiul funcțiilor unei variabile prin derivată prin controlul comportamentului graficului funcției. Pentru funcțiile unei variabile complexe, acest lucru nu este posibil. Punctele graficului se află într-un spațiu de dimensiunea 4, .

Cu toate acestea, o oarecare reprezentare grafică a funcției poate fi obținută prin luarea în considerare a imaginilor unor mulțimi suficient de simple ale planului complex.
apărute sub influența unei anumite funcții. De exemplu, luați în considerare, din acest punct de vedere, câteva funcții simple.

Funcție liniară

Această funcție simplă este foarte importantă, deoarece orice funcție diferențiabilă este similară local cu una liniară. Luați în considerare acțiunea funcției cu maximum de detaliu

Aici
-- modulul numărului complex și este argumentul lui. Astfel, funcția liniară realizează întindere, rotație și forfecare. Prin urmare, o mapare liniară mapează orice set la o mulțime similară. În special, sub influența unei mapări liniare, liniile se transformă în linii, iar cercurile în cercuri.

Funcţie

Această funcție este următoarea ca complexitate după cea liniară. Este greu de așteptat că va duce orice linie la o linie și un cerc la un cerc, exemplele simple arată că acest lucru nu se întâmplă, cu toate acestea, se poate demonstra că această funcție preia setul tuturor liniilor și cercurilor în sine. . Pentru a verifica acest lucru, este convenabil să treceți la descrierea reală (coordonată) a mapării

Dovada necesită o descriere a mapării inverse

Luați în considerare ecuația dacă
, atunci obținem ecuația generală a unei drepte. În cazul în care un
, apoi

Prin urmare, când
se obţine ecuaţia unui cerc arbitrar.

Rețineți că dacă
și
, apoi cercul trece prin origine. Dacă
și
, apoi obțineți o linie dreaptă care trece prin origine.

Sub acțiunea inversării, ecuația considerată va fi rescrisă sub formă

, (
)

sau . Se poate observa că aceasta este, de asemenea, o ecuație care descrie fie cercuri, fie linii drepte. Faptul că în ecuaţie coeficienţii și
schimbat înseamnă că în timpul inversării, liniile care trec prin 0 se vor transforma în cercuri, iar cercurile care trec prin 0 se vor transforma în linii.

Funcții de putere

Principala diferență dintre aceste funcții și cele considerate mai devreme este că nu sunt unu-la-unu (
). Putem spune că funcția
mapează planul complex la două instanțe ale aceluiași plan. O analiză atentă a acestui subiect necesită utilizarea aparatului greoi al suprafețelor Riemann și depășește domeniul de aplicare al întrebărilor examinate aici. Este important să înțelegem că planul complex poate fi împărțit în sectoare, fiecare dintre acestea fiind mapat unul la unul pe planul complex. Aceasta este defalcarea funcției
arată astfel, De exemplu, semiplanul superior este mapat unu-la-unu pe planul complex de către funcția
. Distorsiunile geometriei pentru astfel de imagini sunt mai greu de descris decât în ​​cazul inversării. Ca exercițiu, puteți urmări grila de coordonate dreptunghiulare ale semiplanului superior când este afișată

Se poate observa că grila de coordonate dreptunghiulare se transformă într-o familie de parabole formând un sistem de coordonate curbilinii în plan
. Partiția planului descris mai sus este astfel încât funcția
afișează fiecare dintre sectoare pe întregul plan. Descrierea mapării înainte și înapoi arată astfel

Deci funcția
Are diverse funcții inverse,

dat în diferite sectoare ale avionului

În astfel de cazuri, se spune că maparea este cu mai multe foi.

Funcția Jukovsky

Funcția are propriul nume, deoarece a stat la baza teoriei aripii aeronavei, creată de Jukovski (o descriere a acestui design poate fi găsită în carte). Funcția are o serie de proprietăți interesante, să ne concentrăm asupra uneia dintre ele - aflați pe ce seturi acţionează această funcție unu-la-unu. Luați în considerare egalitatea

, Unde
.

Prin urmare, funcția Jukovsky este unu-la-unu în orice domeniu în care, pentru orice și produsul lor nu este egal cu unitatea. Acestea sunt, de exemplu, cercul unității deschise
și complementul cercului unitar închis
.

Luați în considerare acțiunea funcției Jukovski asupra cercului

Separând părțile reale și imaginare, obținem ecuația parametrică a elipsei

,
.

În cazul în care un
, atunci aceste elipse umplu întregul plan. În mod similar, se verifică că imaginile segmentelor sunt hiperbole

.

Functie exponentiala

Funcția poate fi extinsă într-o serie de puteri, care converge absolut în întregul plan complex, prin urmare este diferențiabilă peste tot. Să descriem seturile pe care funcția este unu-la-unu. Egalitatea evidentă
arată că planul poate fi împărțit într-o familie de benzi, fiecare dintre acestea fiind mapată unu-la-unu de funcție pe întregul plan complex. Această partiție este esențială pentru a înțelege cum funcționează funcția inversă, sau mai degrabă, funcțiile inverse. Pe fiecare dintre benzi, harta inversă este definită în mod natural

Funcția inversă este, de asemenea, multivalentă în acest caz, iar numărul de funcții inverse este infinit.

Descrierea geometrică a mapării este destul de simplă: linii drepte
se transformă în grinzi
, segmente

mutați în cercuri
.

Funcțiile unei variabile complexe.
Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Acest articol deschide o serie de lecții în care voi lua în considerare probleme tipice legate de teoria funcțiilor unei variabile complexe. Pentru a stăpâni cu succes exemplele, trebuie să aveți cunoștințe de bază despre numerele complexe. Pentru a consolida și repeta materialul, este suficient să vizitați pagina. Veți avea nevoie și de abilități de găsit derivate parțiale de ordinul doi. Iată-le, aceste derivate parțiale... chiar și acum am fost puțin surprins cât de des apar...

Tema pe care începem să o analizăm nu este deosebit de dificilă, iar în funcțiile unei variabile complexe, în principiu, totul este clar și accesibil. Principalul lucru este să adere la regula de bază, care este derivată de mine empiric. Citește mai departe!

Conceptul de funcție a unei variabile complexe

Mai întâi, să ne reîmprospătăm cunoștințele despre funcția școlară a unei variabile:

Funcția unei variabile este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente (din domeniul de definiție) îi corespunde una și doar o valoare a funcției . Desigur, „x” și „y” sunt numere reale.

În cazul complex, dependența funcțională este dată în mod similar:

Funcția cu o singură valoare a unei variabile complexe este regula ca toata lumea cuprinzătoare valoarea variabilei independente (din domeniu) corespunde uneia si numai una cuprinzătoare valoarea functiei. În teorie, sunt luate în considerare și funcții multivalorice și alte tipuri de funcții, dar pentru simplitate, mă voi concentra pe o singură definiție.

Care este funcția unei variabile complexe?

Principala diferență este că numerele sunt complexe. Nu sunt ironic. Dintre astfel de întrebări cad adesea într-o stupoare, la sfârșitul articolului voi spune o poveste mișto. La lecție Numere complexe pentru manechine am considerat un număr complex sub forma . De acum litera „Z” a devenit variabil, atunci o vom nota astfel: , în timp ce „x” și „y” pot lua diferite valabil valorile. În linii mari, funcția unei variabile complexe depinde de variabilele și , care iau valori „obișnuite”. Următorul punct decurge logic din acest fapt:

Funcția unei variabile complexe poate fi scrisă astfel:
, unde și sunt două funcții ale lui doi valabil variabile.

Funcția este numită parte reală funcții .
Funcția este numită parte imaginară funcții .

Adică, funcția unei variabile complexe depinde de două funcții reale și . Pentru a clarifica în sfârșit totul, să ne uităm la exemple practice:

Exemplul 1

Soluţie: Variabila independentă „z”, după cum vă amintiți, este scrisă ca , prin urmare:

(1) Înlocuit în funcția originală.

(2) Pentru primul termen s-a folosit formula de multiplicare redusă. În termen, parantezele au fost deschise.

(3) Pătrat cu grijă, fără a uita că

(4) Rearanjarea termenilor: prima rescrie a termenilor , în care nu există o unitate imaginară(primul grup), apoi termenii, unde există (al doilea grup). Trebuie remarcat faptul că nu este necesară amestecarea termenilor, iar acest pas poate fi sărit (de fapt, executându-l oral).

(5) Al doilea grup este scos din paranteze.

Ca urmare, funcția noastră s-a dovedit a fi reprezentată în formă

Răspuns:
este partea reală a funcției.
este partea imaginară a funcției.

Care sunt aceste funcții? Cele mai obișnuite funcții a două variabile, din care se pot găsi atât de populare derivate parțiale. Fără milă - vom găsi. Dar puțin mai târziu.

Pe scurt, algoritmul problemei rezolvate poate fi scris astfel: înlocuim în funcția originală, efectuăm simplificări și împărțim toți termenii în două grupuri - fără o unitate imaginară (partea reală) și cu o unitate imaginară (partea imaginară).

Exemplul 2

Găsiți partea reală și imaginară a unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Înainte de a te arunca în luptă în avionul complex cu dame goale, permiteți-mi să vă dau cel mai important sfat pe această temă:

ATENȚIE! Trebuie să fii atent, desigur, peste tot, dar în numere complexe ar trebui să fii atent mai mult ca oricând! Amintiți-vă că, extindeți cu atenție parantezele, nu pierdeți nimic. Conform observațiilor mele, cea mai frecventă greșeală este pierderea semnului. Nu te grabi!

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Acum cub. Folosind formula de înmulțire prescurtată, obținem:
.

Formulele sunt foarte convenabile de utilizat în practică, deoarece accelerează foarte mult procesul de soluție.

Diferențierea funcțiilor unei variabile complexe.

Am două vești: bune și rele. Voi începe cu unul bun. Pentru o funcție a unei variabile complexe sunt valabile regulile de diferențiere și tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Astfel, derivata este luată exact în același mod ca și în cazul unei funcții a unei variabile reale.

Vestea proastă este că pentru multe funcții ale unei variabile complexe, nu există nicio derivată și trebuie să vă dați seama este diferențiabilă o funcție sau alta. Și „a-ți da seama” cum se simte inima ta este asociată cu probleme suplimentare.

Considerăm o funcție a unei variabile complexe. Pentru ca această funcție să fie diferențiabilă, este necesar și suficient ca:

1) Pentru a exista derivate parțiale de ordinul întâi. Uitați imediat de aceste notații, deoarece în teoria funcției unei variabile complexe, se folosește în mod tradițional o altă versiune a notației: .

2) Pentru a efectua așa-numitul Condiții Cauchy-Riemann:

Numai în acest caz derivatul va exista!

Exemplul 3

Soluţie descompuse în trei etape succesive:

1) Găsiți părțile reale și imaginare ale funcției. Această sarcină a fost analizată în exemplele anterioare, așa că o voi scrie fără comentarii:

De atunci:

În acest fel:

este partea imaginară a funcției.

Mă voi opri asupra unui alt punct tehnic: în ce ordine scrieți termeni în părți reale și imaginare? Da, practic nu contează. De exemplu, partea reală poate fi scrisă astfel: , și imaginar - așa: .

2) Să verificăm îndeplinirea condiţiilor Cauchy-Riemann. Sunt doi dintre ei.

Să începem prin a verifica starea. Găsim derivate parțiale:

Astfel, condiția este îndeplinită.

Fără îndoială, vestea bună este că derivatele parțiale sunt aproape întotdeauna foarte simple.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiții:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă.

3) Aflați derivata funcției. Derivatul este, de asemenea, foarte simplu și se găsește conform regulilor obișnuite:

Unitatea imaginară în diferențiere este considerată o constantă.

Răspuns: - parte reală este partea imaginară.
Sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, .

Mai există două moduri de a găsi derivatul, ele sunt bineînțeles utilizate mai rar, dar informațiile vor fi utile pentru înțelegerea celei de-a doua lecție - Cum se află funcția unei variabile complexe?

Derivatul poate fi găsit folosind formula:

În acest caz:

În acest fel

Este necesar să rezolvați problema inversă - în expresia rezultată, trebuie să izolați . Pentru a face acest lucru, este necesar în termeni și pentru a scoate din paranteze:

Acțiunea inversă, după cum mulți au observat, este ceva mai dificil de efectuat, pentru verificare este întotdeauna mai bine să luați expresia și pe ciornă sau să deschideți verbal parantezele înapoi, asigurându-vă că va ieși exact.

Formula oglindă pentru găsirea derivatei:

În acest caz: , de aceea:

Exemplul 4

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Dacă sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann, găsiți derivata funcției.

O scurtă soluție și o mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

Sunt întotdeauna îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann? Teoretic, de cele mai multe ori nu sunt îndeplinite decât sunt. Dar în exemple practice, nu-mi amintesc un caz în care nu au fost executate =) Astfel, dacă derivatele tale parțiale „nu au convergit”, atunci cu o probabilitate foarte mare putem spune că ai greșit undeva.

Să ne complicăm funcțiile:

Exemplul 5

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. calculati

Soluţie: Algoritmul de soluție este complet păstrat, dar la final se adaugă un nou mod: găsirea derivatei într-un punct. Pentru cub, formula necesară a fost deja derivată:

Să definim părțile reale și imaginare ale acestei funcții:

Atentie si din nou atentie!

De atunci:


În acest fel:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Verificarea a doua condiție:

A ieșit același lucru, dar cu semne opuse, adică și condiția este îndeplinită.

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite, prin urmare, funcția este diferențiabilă:

Calculați valoarea derivatei în punctul necesar:

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann,

Funcțiile cu cuburi sunt comune, deci un exemplu de consolidat:

Exemplul 6

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Calculati .

Decizie și eșantion de finisare la sfârșitul lecției.

În teoria analizei complexe sunt definite și alte funcții ale unui argument complex: exponențial, sinus, cosinus etc. Aceste funcții au proprietăți neobișnuite și chiar bizare - și este cu adevărat interesant! Chiar vreau să vă spun, dar aici, tocmai s-a întâmplat, nu o carte de referință sau un manual, ci o soluție, așa că voi lua în considerare aceeași sarcină cu câteva funcții comune.

În primul rând despre așa-numitul Formule Euler:

Pentru oricine valabil numere, sunt valabile următoarele formule:

De asemenea, îl puteți copia în caiet ca referință.

Strict vorbind, există o singură formulă, dar de obicei, pentru comoditate, ei scriu și un caz special cu un minus în indicator. Parametrul nu trebuie să fie o singură literă, poate fi o expresie complexă, o funcție, important este doar să ia numai valabil valorile. De fapt, o vom vedea chiar acum:

Exemplul 7

Găsiți derivată.

Soluţie: Linia generală a partidului rămâne de neclintit - este necesar să se evidențieze părțile reale și imaginare ale funcției. Voi oferi o soluție detaliată și voi comenta fiecare pas de mai jos:

De atunci:

(1) Înlocuiește „z”.

(2) După înlocuire, este necesară separarea părților reale și imaginare primul ca exponent expozanti. Pentru a face acest lucru, deschideți parantezele.

(3) Grupăm partea imaginară a indicatorului, scoțând unitatea imaginară dintre paranteze.

(4) Folosiți acțiunea școlară cu puteri.

(5) Pentru multiplicator, folosim formula Euler , în timp ce .

(6) Deschidem parantezele, ca rezultat:

este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Alte acțiuni sunt standard, să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Exemplul 9

Determinați părțile reale și imaginare ale unei funcții . Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann. Așa să fie, nu vom găsi derivata.

Soluţie: Algoritmul de soluție este foarte asemănător cu cele două exemple anterioare, dar există puncte foarte importante, așa că voi comenta din nou etapa inițială pas cu pas:

De atunci:

1) Înlocuim în loc de „z”.

(2) În primul rând, selectați părțile reale și imaginare în interiorul sinusului. În acest scop, deschideți parantezele.

(3) Folosim formula , în timp ce .

(4) Utilizare paritatea cosinusului hiperbolic: și ciudăţenie hiperbolice: . Hiperbolice, deși nu din această lume, dar în multe privințe seamănă cu funcții trigonometrice similare.

În cele din urmă:
este partea reală a funcției;
este partea imaginară a funcției.

Atenţie! Semnul minus se referă la partea imaginară și în niciun caz nu trebuie să o pierdem! Pentru o ilustrare vizuală, rezultatul obținut mai sus poate fi rescris după cum urmează:

Să verificăm îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann:

Condițiile Cauchy-Riemann sunt îndeplinite.

Răspuns:, , sunt îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann.

Cu cosinus, doamnelor și domnilor, înțelegem singuri:

Exemplul 10

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Am luat în mod deliberat exemple mai complicate, pentru că toată lumea se poate descurca cu ceva de genul alunelor decojite. În același timp, antrenează-ți atenția! Spărgătorul de nuci la sfârșitul lecției.

Ei bine, în concluzie, voi lua în considerare un alt exemplu interesant când argumentul complex este la numitor. Ne-am întâlnit de câteva ori în practică, să analizăm ceva simplu. Oh, îmbătrânesc...

Exemplul 11

Determinați părțile reale și imaginare ale funcției. Verificați îndeplinirea condițiilor Cauchy-Riemann.

Soluţie: Din nou, este necesar să se separe părțile reale și imaginare ale funcției.
Daca atunci

Apare întrebarea, ce să faci când „Z” este la numitor?

Totul este simplu - standardul va ajuta metodă de înmulțire a numărătorului și numitorului cu expresia conjugată, a fost deja folosit în exemplele lecției Numere complexe pentru manechine. Să ne amintim formula școlii. În numitor avem deja , deci expresia conjugată va fi . Astfel, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu:

Unde
sunt numere reale și este un personaj special numit unitate imaginară . Pentru unitatea imaginară, prin definiție, se presupune că
.

(4.1) – forma algebrică număr complex și
numit parte reală număr complex și
-parte imaginară .

Număr
numit conjugare complexa la număr
.

Să fie date două numere complexe
,
.

1. sumă
numere complexe și numit număr complex

2. diferență
numere complexe și numit număr complex

3. muncă
numere complexe și numit număr complex

4. Privat din împărțirea unui număr complex la un număr complex
numit număr complex

.

Observație 4.1. Adică, operațiile pe numere complexe sunt introduse după regulile uzuale ale operațiilor aritmetice pe expresii literale din algebră.

Exemplul 4.1. Sunt date numere complexe. Găsi

.

Soluţie. 1) .

4) Înmulțind numărătorul și numitorul cu conjugatul complex al numitorului, obținem

formă trigonometrică număr complex:

Unde
este modulul unui număr complex,
este argumentul unui număr complex. Colţ definit ambiguu, până la un termen
:

,
.

- valoarea principală a argumentului, determinată de condiție

, (sau
).

forma indicativa număr complex:

.

Rădăcină
gradul de număr Are valori diferite, care se găsesc prin formulă

Unde
.

Puncte corespunzătoare valorilor
, sunt vârfuri ale unui regulat
un pătrat înscris într-un cerc de rază
centrat la origine.

Exemplul 4.2. Găsiți toate valorile rădăcinilor
.

Soluţie. Imaginează-ți un număr complex
în formă trigonometrică:

,

, Unde
.

Apoi
. Prin urmare, prin formula (4.2)
are patru sensuri:

,
.

Presupunând
, găsim

,
,

, .

Aici am convertit valorile argumentului în valoarea sa principală.

Se instalează pe planul complex

Număr complex
înfățișat într-un avion
punct
cu coordonate
. Modul
si argument
corespund coordonatele polare ale punctului
.

Este util să ne amintim că inegalitatea
definește un cerc centrat într-un punct rază . Inegalitate
definește un semiplan situat la dreapta dreptei
, și inegalitatea
- un semiplan situat deasupra unei linii drepte
. În plus, sistemul de inegalități
stabilește unghiul dintre raze
și
care ies de la originea coordonatelor.

Exemplul 4.3. Desenați aria definită de inegalități:
.

Soluţie. Prima inegalitate corespunde unui inel centrat într-un punct
iar două raze 1 și 2, cercuri nu sunt incluse în zonă (Fig. 4.1).

A doua inegalitate corespunde unghiului dintre raze
(bisectoarea celui de-al 4-lea unghi de coordonate) și
(direcția axei pozitive
). Razele în sine nu intră în regiune (Fig. 4.2).

Zona dorită este intersecția celor două zone obținute (Fig. 4.3)

4.2. Funcțiile unei variabile complexe

Fie o funcție cu o singură valoare
definite şi continue în domeniu
, A este o curbă orientată pe bucăți, închisă sau neînchisă
. Să, ca de obicei,
,, Unde
,
- funcţiile reale ale variabilelor și .

Calculul integralei unei funcții
variabilă complexă se reduce la calculul integralelor curbilinii obişnuite şi anume

Dacă funcţia
este analitic într-un domeniu simplu conectat
conţinând puncte și , atunci formula Newton-Leibniz este valabilă:

Unde
- unele antiderivate pentru functie
, acesta este
în zona
.

În integralele funcțiilor unei variabile complexe, se poate modifica variabila, iar integrarea pe părți este similară cu modul în care se face atunci când se calculează integralele funcțiilor unei variabile reale.

De asemenea, rețineți că, dacă calea de integrare este o parte a unei linii drepte pornind de la punct , sau o parte a unui cerc centrată într-un punct , atunci este utilă schimbarea variabilei formei
. In primul caz
, A - variabilă de integrare reală; în al doilea caz
, A este variabila reală de integrare.

Exemplul 4.4. calculati
de-a lungul unei parabole
din punct de vedere
până la punctul
(Figura 4.4).

Exemplul 4.5. Calculați integrala
, Unde - arc de cerc
,
(Fig. 4.5) .

Funcţie
, cu valoare unică și analitică în ring
, se descompune în acest inel în Seria Laurent

În formula (4.5) seria
numit parte principală Seria Laurent și seria
numit partea dreaptă Rândul Laurent.

Definiție 4.1. Punct numitpunct singular izolat funcții
dacă există o vecinătate a acestui punct unde funcţia
este analitic peste tot, cu excepția punctului în sine .

Funcţie
în vecinătatea punctului poate fi extins într-o serie Laurent. În acest caz, sunt posibile trei cazuri diferite când seria Laurent:

1) nu conține termeni cu grade negative de diferență
, acesta este

(seria Laurent nu conține partea principală). În acest caz numit punct singular detașabil funcții
;

2) conține un număr finit de termeni cu grade negative de diferență
, acesta este

,

și
. În acest caz, ideea numit pol de ordine funcții
;

3) conține un număr infinit de termeni cu puteri negative:

.

În acest caz, ideea numit punct esential funcții
.

Când se determină natura unui punct singular izolat, nu este necesar să se caute o extindere a seriei Laurent. Puteți utiliza diverse proprietăți ale punctelor cheie izolate.

1) este un punct singular detașabil al funcției
dacă există o limită finită a funcției
la punct :

.

2) este un pol al funcției
, dacă

.

3) este un punct singular esențial al funcției
, eu gras
funcția nu are limită, nici finită, nici infinită.

Definiție 4.2. Punct numitzero
Ordin (sau multiplicităţi ) funcții
daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

…,

.

Observație 4.2. Punct atunci și numai atunci este zero
Ordin funcții
când, într-o vecinătate a acestui punct, egalitatea

,

unde este functia
este analitic la punct și

4) punct este polul ordinii (
) funcții
dacă acest punct este zero de ordin pentru functie
.

5) lasa - punct singular izolat al unei funcții
, Unde
- funcţionează analitic la un punct . Și lăsați punctul este ordinul zero funcții
si comanda zero funcții
.

La
punct este polul ordinii
funcții
.

La
punct este un punct singular detașabil al funcției
.

Exemplul 4.6. Găsiți puncte izolate și determinați tipul lor pentru funcție
.

Soluţie. Funcții
și
- analitice în întreg planul complex. Prin urmare, punctele singulare ale funcției
sunt zerourile numitorului, adică punctele în care
. Există o infinitate de astfel de puncte. În primul rând, acesta este ideea
, precum și puncte care satisfac ecuația
. De aici
și
.

Luați în considerare un punct
. În acest moment obținem:

,
,

,
.

Ordinul zero este
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Deci ideea
este un pol de ordinul doi (
).

. Apoi

,
.

Ordinea numărătorului zero este
.

,
,
.

Ordinul numitorului zero este
. Prin urmare, punctele
la
sunt poli de ordinul întâi ( stâlpi simpli ).

Teorema 4.1. (Teorema reziduului Cauchy ). Dacă funcţia
este analitic la graniță zone
și peste tot în interiorul regiunii, cu excepția unui număr finit de puncte singulare
, apoi

.

La calcularea integralelor, merită să găsiți cu atenție toate punctele singulare ale funcției
, apoi desenați un contur și puncte speciale și apoi selectați numai acele puncte care se află în interiorul conturului de integrare. A face alegerea corectă fără o imagine este adesea dificil.

Metoda de calcul a deducerii
depinde de tipul punctului singular. Prin urmare, înainte de a calcula reziduul, trebuie să determinați tipul punctului singular.

1) reziduu de funcție într-un punct este egal cu coeficientul minus prima putere din expansiunea Laurent
în vecinătatea punctului :

.

Această afirmație este adevărată pentru toate tipurile de puncte izolate și, prin urmare, în acest caz nu este necesar să se determine tipul unui punct singular.

2) reziduul la punctul singular amovibil este egal cu zero.

3) dacă este un pol simplu (pol de ordinul întâi), iar funcția
poate fi reprezentat ca
, Unde
,
(rețineți că în acest caz
), apoi reziduul la punct egală

.

În special, dacă
, apoi
.

4) dacă este un simplu stâlp, atunci

5) dacă - stâlp
funcția de ordine
, apoi

Exemplul 4.7. Calculați integrala
.

Apoi, prin formula (4.7) găsim reziduul în acest punct:

În virtutea teoremei 4.1 găsim