Fiecare funcție are două variabile - o variabilă independentă și o variabilă dependentă ale cărei valori depind de valorile variabilei independente. De exemplu, în funcție y = f(X) = 2X + y variabila independentă este „x” și variabila dependentă este „y” (cu alte cuvinte, „y” este o funcție a lui „x”). Valorile valide ale variabilei independente „x” se numesc domeniul funcției, iar valorile valide ale variabilei dependente „y” se numesc domeniul funcției.

Pași

Partea 1

Determinați tipul funcției care vi se oferă. Gama de valori ale funcției sunt toate valorile x valide (trasate de-a lungul axei orizontale), care corespund valorilor y valide. Funcția poate fi pătratică sau poate conține fracții sau rădăcini. Pentru a găsi domeniul de aplicare al unei funcții, mai întâi trebuie să determinați tipul funcției.

1. Selectați intrarea corespunzătoare pentru domeniul de aplicare al funcției. Domeniul de definiție este scris între paranteze pătrate și/sau rotunde. Paranteza pătrată este utilizată atunci când valoarea se află în domeniul de aplicare al funcției; dacă valoarea este în afara domeniului de aplicare, se folosește o paranteză. Dacă o funcție are mai multe domenii necontigue, un caracter „U” este plasat între ele.

   • De exemplu, domeniul de aplicare al [-2,10) U(10,2] include valorile -2 și 2, dar nu include valoarea 10.

2. Reprezentați grafic funcția pătratică. Graficul unei astfel de funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate fie în sus, fie în jos. Deoarece parabola crește sau scade de-a lungul întregii axe X, domeniul funcției pătratice este toate numerele reale. Cu alte cuvinte, domeniul unei astfel de funcții este mulțimea R (R reprezintă toate numerele reale).

   • Pentru o mai bună înțelegere a conceptului de funcție, alegeți orice valoare a lui „x”, înlocuiți-o în funcție și găsiți valoarea lui „y”. Perechea de valori „x” și „y” reprezintă un punct cu coordonatele (x, y), care se află pe graficul funcției.
   • Trasați acest punct pe planul de coordonate și faceți procesul descris cu o valoare x diferită.
   • Prin trasarea mai multor puncte pe planul de coordonate, veți obține o idee generală despre forma graficului funcției.

3. Dacă funcția conține o fracție, setați numitorul acesteia la zero. Amintiți-vă că nu puteți împărți la zero. Prin urmare, echivalând numitorul cu zero, veți găsi valorile lui „x” care nu sunt incluse în domeniul de aplicare al funcției.

   • De exemplu, găsiți domeniul funcției f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
   • Aici numitorul este: (x - 1).
   • Echivalează numitorul cu zero și află „x”: x - 1 = 0; x = 1.
   • Notați domeniul de aplicare al funcției. Domeniul de definiție nu include 1, adică include toate numerele reale cu excepția lui 1. Astfel, domeniul funcției este: (-∞,1) U (1,∞).
   • Notația (-∞,1) U (1,∞) se citește astfel: mulțimea tuturor numerelor reale cu excepția lui 1. Simbolul infinitului ∞ înseamnă toate numerele reale. În exemplul nostru, toate numerele reale care sunt mai mari decât 1 și mai mici decât 1 sunt incluse în domeniu.

4. Dacă funcția conține o rădăcină pătrată, atunci expresia rădăcinii trebuie să fie mai mare sau egală cu zero. Amintiți-vă că rădăcina pătrată a numerelor negative nu este luată. Prin urmare, orice valoare a lui „x” la care expresia radicalului devine negativă trebuie exclusă din domeniul de aplicare al funcției.

   • De exemplu, găsiți domeniul funcției f(x) = √(x + 3).
   • Expresie radicală: (x + 3).
   • Expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero: (x + 3) ≥ 0.
   • Găsiți „x”: x ≥ -3.
   • Domeniul acestei funcții include mulțimea tuturor numerelor reale care sunt mai mari sau egale cu -3. Astfel, domeniul de definire este: [-3,∞).

   Partea 2

   Găsirea domeniului unei funcții pătratice

   1. Asigurați-vă că vi se oferă o funcție pătratică. O funcție pătratică are forma: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Graficul unei astfel de funcție este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate fie în sus, fie în jos. Există diferite metode pentru a găsi domeniul unei funcții pătratice.

      • Cea mai ușoară modalitate de a găsi intervalul unei funcții care conține o rădăcină sau o fracție este să reprezentați o astfel de funcție folosind un calculator grafic.

   2. Aflați coordonata x a vârfului graficului funcției.În cazul unei funcții pătratice, găsiți coordonata x a vârfului parabolei. Amintiți-vă că funcția pătratică este: ax 2 + bx + c. Pentru a calcula coordonata „x”, utilizați următoarea ecuație: x = -b/2a. Această ecuație este o derivată a funcției pătratice de bază și descrie o tangentă a cărei pantă este zero (tangenta la vârful parabolei este paralelă cu axa X).

      • De exemplu, găsiți intervalul funcției 3x 2 + 6x -2.
      • Calculați coordonata „x” a vârfului parabolei: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Găsiți coordonata y a vârfului graficului funcției. Pentru a face acest lucru, înlocuiți coordonatele x găsite în funcție. Coordonata dorită „y” este valoarea limită a domeniului funcției.

      • Calculați coordonata y: y = 3x 2 + 6x - 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Coordonatele vârfurilor parabolei ale acestei funcții: (-1,-5).

   4. Determinați direcția parabolei introducând cel puțin o valoare x în funcție. Alegeți orice altă valoare x și conectați-o la funcție pentru a calcula valoarea y corespunzătoare. Dacă valoarea găsită „y” este mai mare decât coordonata „y” a vârfului parabolei, atunci parabola este îndreptată în sus. Dacă valoarea găsită „y” este mai mică decât coordonata „y” a vârfului parabolei, atunci parabola este îndreptată în jos.

      • Înlocuiți x = -2 în funcție: y = 3x 2 + 6x - 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Coordonatele unui punct situat pe o parabolă: (-2,-2).
      • Coordonatele găsite indică faptul că ramurile parabolei sunt îndreptate în sus. Astfel, intervalul funcției include toate valorile lui „y” care sunt mai mari sau egale cu -5.
      • Domeniul acestei funcții: [-5, ∞)

   5. Domeniul de aplicare al unei funcții este scris în mod similar cu domeniul unei funcții. Paranteza pătrată este utilizată atunci când valoarea se află în intervalul funcției; dacă valoarea este în afara intervalului, se folosește o paranteză. Dacă funcția are mai multe intervale necontigue, un caracter „U” este plasat între ele.

      • De exemplu, intervalul [-2,10) U(10,2] include valorile -2 și 2, dar nu include valoarea 10.
      • Parantezele sunt folosite întotdeauna cu simbolul infinit ∞.

L. este creatorul bazelor limbii ruse moderne. Învățarea limbii pentru L a fost un domeniu important de interes. El însuși știa 8 limbi. A învățat multe singur. În copilăria lui L., slavona bisericească a fost considerată limba culturală și oficială a Imperiului Rus.
În timp ce studia în Germania, L. a văzut puterea unui singur german literar.non-domestic, sfere înalte: în biserică, în cărți, în documente de stat, în educație și știință.Și rusul avea statutul de neprestigioasă. și era folosit în viața de zi cu zi, în notițe, în contracte, anunțuri etc.) R. yaz nu avea statut oficial, nu era predat în școli.Elita îl numea muzhik, nepoliticos, inexpresiv.Străinii care au vizitat imperiul a spus că ar trebui să vorbească rusă acolo, scrie slovenă.
Limba scrisă a acelei epoci este un amestec de slavonisme bisericești, cuvinte uzuale, dialecte, arhaisme, vulgarisme, împrumuturi.Nu existau termeni științifici, speciali în limbă.
Elita vorbea limbi străine (de când Petru a tăiat o fereastră către Europa). Într-un cuvânt, limba nu avea un sistem, logică, armonie.
Marea misiune a lui L. este aceea că a creat lucrări de lingvistică care au determinat legile și regulile pentru dezvoltarea limbii ruse.
Ce misiune a îndeplinit M.V.Lomonosov în raport cu limba rusă și cultura mai largă? Acest lucru este dovedit de titlurile lucrărilor sale lingvistice: 
A Brief Guide to Rhetoric (1743); 
Retorică (1748); 
Gramatica Rusă (1755).
Aceste lucrări sunt combinate într-un singur volum de cadre didactice.
Principala lucrare a lui L. ca lingvist este „Gramatica Rusă” Aceasta este prima gramatică completă, normativă a limbii ruse, care a pus bazele râului modern. lang.L. a definit clar normele de limbă, compoziția sunetului, pronunția, ortografie și gramatică (doctrina părților de vorbire) El a luat ca bază dialectul Moscovei. L. a spus: „Dialectul Moscovei nu este doar pentru importanța capitalei oraș, dar și pentru frumusețea sa excelentă, altele sunt pe bună dreptate preferate”.
Lucrarea lui a fost la mare căutare. Timp de 30 de ani, Gramatica a fost retipărită de 5 ori.
L a dezvoltat un sistem stilistic de limbaj, cunoscut sub numele de teoria a 3 calme: mare, medie și scăzută, L. a determinat sfera fiecărui stil.
Limba rusă pentru L. este un obiect de reformare, sistematizare, codificare.Omul de știință a dat și exemple de utilizare a limbii în practică: în lucrări științifice, prelegeri publice, tratate și poezii.După L. primii clasici naționali au apărut: Fonvizin, Karamzin, Derzhavin și lumea: Pușkin, Lermontov, Gogol
L. a luptat pentru extinderea utilizării limbii ruse în domeniul științei, vorbirea rusă a început să sune între zidurile Academiei de Științe: L. a obținut permisiunea de a ține prelegeri despre fizică și chimie în limba rusă, dezvoltând terminologie., stil științific,.
Gramatica rusă „L. a servit drept model pentru scrierea multor gramatici ale altor popoare.
„Astfel, activitatea filologică a lui M.V. Lomonosov a dat un mare impuls nu numai studiului limbii ruse, ci și multor alte limbi ale statului rus”

Definiție
Funcţie y=f (X) se numeste legea (regula, maparea), conform careia, fiecare element x al multimii X este asociat cu unul si un singur element y al multimii Y .

Se numește mulțimea X domeniul de aplicare al funcției.
Set de elemente y ∈ Y, care au preimagini în mulțimea X , se numește set de valori ale funcției(sau gamă).

Domeniu funcțiile sunt uneori numite set de definiții sau set de sarcini funcții.

Elementul x ∈ X numit argumentul funcției sau variabila independenta.
y element ∈ Y numit valoarea functiei sau variabilă dependentă.

Maparea f însăși este numită caracteristica functiei.

Caracteristica f are proprietatea ca daca doua elemente si din multimea definitiei au valori egale: , atunci .

Caracterul care denotă caracteristica poate fi același cu caracterul elementului valoare funcției. Adică o poți scrie așa: În același timp, merită să ne amintim că y este un element din setul de valori ale funcției și este o regulă conform căreia elementul x este asociat cu elementul y .

Procesul de calcul al funcției în sine constă din trei pași. În primul pas, selectăm un element x din mulțimea X . Mai departe, cu ajutorul regulii , elementul x este asociat cu elementul multimii Y . În al treilea pas, acest element este atribuit variabilei y.

Valoarea privată a funcției denumește valoarea funcției pentru valoarea selectată (privată) a argumentului acesteia.

Graficul funcției f se numește un set de perechi.

Funcții complexe

Definiție
Lasă funcțiile și să fie date. În plus, domeniul funcției f conține un set de valori ale funcției g. Atunci fiecărui element t din domeniul funcției g îi corespunde un element x , iar acest x îi corespunde y . Această corespondență se numește functie complexa: .

Se mai numește și o funcție complexă alcătuirea sau suprapunerea funcţiilorși uneori este denumită:

În analiza matematică, se acceptă în general că, dacă caracteristica unei funcții este notă cu o literă sau simbol, atunci stabilește aceeași corespondență. Totuși, în alte discipline, există o altă modalitate de notare, conform căreia mapările cu aceeași caracteristică, dar argumente diferite, sunt considerate diferite. Adică, mapările și sunt considerate distincte. Să luăm un exemplu din fizică. Să presupunem că luăm în considerare dependența impulsului de coordonată . Și să avem dependența coordonatei de timp. Atunci dependența momentului de timp este o funcție complexă. Dar pentru concizie, se notează după cum urmează:. Cu această abordare, și sunt funcții diferite. Cu aceleași valori ale argumentelor, pot da valori diferite. În matematică, această notație nu este acceptată. Dacă este necesară o reducere, atunci trebuie introdusă o nouă caracteristică. De exemplu . Apoi se vede clar că și sunt funcții diferite.

Funcții valide

Domeniul de aplicare al funcției și setul de valori ale acesteia pot fi orice seturi.
De exemplu, secvențele numerice sunt funcții al căror domeniu este mulțimea numerelor naturale, iar setul de valori este numerele reale sau complexe.
Produsul încrucișat este, de asemenea, o funcție, deoarece pentru doi vectori și există o singură valoare a vectorului . Aici domeniul definiției este mulțimea tuturor perechilor posibile de vectori. Setul de valori este mulțimea tuturor vectorilor.
Expresia booleană este o funcție. Domeniul său de definiție este mulțimea numerelor reale (sau orice mulțime în care este definită operația de comparare cu elementul „0”). Setul de valori este format din două elemente - „adevărat” și „fals”.

Funcțiile numerice joacă un rol important în analiza matematică.

Funcția numerică este o funcție ale cărei valori sunt numere reale sau complexe.

Funcție reală sau reală este o funcție ale cărei valori sunt numere reale.

Maxim și minim

Numerele reale au o operație de comparare. Prin urmare, setul de valori ale funcției reale poate fi limitat și are cele mai mari și cele mai mici valori.

Funcția reală este numită limitat de sus (de jos), dacă există un astfel de număr M încât următoarea inegalitate să fie valabilă pentru toți:
.

Se apelează funcția de număr limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.

Maxim M (minimum m) funcția f , pe o mulțime X se numește valoarea funcției pentru o anumită valoare a argumentului său , pentru care pentru toate ,
.

fata de sus sau limita superioară exactă reală, mărginită de sus, funcția se numește cel mai mic dintre numerele care limitează intervalul valorilor sale de sus. Adică acesta este un număr s pentru care, pentru toți și pentru orice , există un astfel de argument, a cărui valoare a funcției depășește s′ : .
Limita superioară a funcției poate fi notată după cum urmează:
.

Limita superioară a unei funcții nemărginită de sus

fata de jos sau limită inferioară precisă o funcție reală, mărginită de jos, se numește cea mai mare dintre numerele care limitează intervalul valorilor sale de jos. Adică acesta este un număr i pentru care pentru toți și pentru orice , există un astfel de argument , valoarea funcției din care este mai mică decât i′ : .
Limita inferioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Limita inferioară a unei funcții nemărginită de jos este punctul de la infinit.

Astfel, orice funcție reală, pe o mulțime nevidă X , are o limită superioară și inferioară. Dar nu orice funcție are un maxim și un minim.

Ca exemplu, luați în considerare o funcție definită pe un interval deschis.
Este limitat, pe acest interval, de sus de valoare 1 iar mai jos - valoarea 0 :
pentru toți .
Această funcție are fețe de sus și de jos:
.
Dar nu are maxim și minim.

Dacă luăm în considerare aceeași funcție pe segmentul , atunci este mărginită deasupra și dedesubt pe această mulțime, are limite superioare și inferioare și are un maxim și un minim:
pentru toți ;
;
.

Funcții monotone

Definiții ale funcțiilor crescătoare și descrescătoare
Fie definită funcția pe o mulțime de numere reale X . Funcția este numită strict în creștere (strict în scădere)
.
Funcția este numită nedescrescător (necrescător), dacă pentru toate acestea sunt valabile următoarea inegalitate:
.

Definiția unei funcții monotone
Funcția este numită monoton dacă nu este în scădere sau în creştere.

Funcții cu mai multe valori

Un exemplu de funcție cu mai multe valori. Ramurile sale sunt marcate cu culori diferite. Fiecare ramură este o caracteristică.

După cum reiese din definiția funcției, fiecărui element x din domeniul definiției este asociat doar un singur element din setul de valori. Dar există mapări în care elementul x are mai multe sau un număr infinit de imagini.

Ca exemplu, luați în considerare funcția arcsinus: . Este inversul funcției sinusuluiși se determină din ecuația:
(1) .
Pentru o valoare dată a variabilei independente x aparținând intervalului , această ecuație satisface infinite valori ale lui y (vezi figura).

Să impunem o restricție soluțiilor ecuației (1). Lăsa
(2) .
În această condiție, valoarea dată corespunde unei singure soluții a ecuației (1). Adică, corespondența definită de ecuația (1) în condiția (2) este o funcție.

În loc de condiția (2), se poate impune orice altă condiție de forma:
(2.n) ,
unde n este un număr întreg. Ca urmare, pentru fiecare valoare a lui n, vom obține propria noastră funcție, diferită de celelalte. Multe dintre aceste funcții sunt funcţie multivalorică. Și funcția determinată din (1) în condiția (2.n) este ramură a unei funcții cu mai multe valori.

Aceasta este o colecție de funcții definite pe un anumit set.

Ramura cu funcții cu mai multe valori este una dintre funcțiile incluse în funcția multivalorică.

funcție cu o singură valoare este o funcție.

Referinte:
O.I. demoni. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

O altă expresie (cuvânt, propoziție, semn etc.) a unei limbi. Semnificațiile expresiilor lingvistice sunt studiate în lingvistică, logică și semiotică.

3) Valoarea unei marimi fizice este o estimare a acestei marimi sub forma unui anumit numar de unitati acceptate pentru ea, de exemplu. 3 kg - valoarea masei unui anumit corp etc.

4) Înțelesul în informatică, vezi Numele în informatică.

Dicţionar enciclopedic mare. 2000 .

Vedeți ce înseamnă „VALUE” în ​​alte dicționare:

Conținut indicat de una sau alta expresie lingvistică printr-un cuvânt, propoziție, semn etc. Problema Z. a expresiilor lingvistice este studiată de lingvistică, semiotică și semantică logică. Distinge subiect, semantic și expresiv Z. lingvistic ... Enciclopedie filosofică

Sens, rațiune; greutate, importanță, autoritate, demnitate, putere, valoare. Real, figurat, direct, propriu, strict, figurat, literal, sens larg al cuvântului. Această fată este o artistă în toate sensurile cuvântului. Turg. Mintea legii (prot.:). ... ... Dicţionar de sinonime

Unul din principalele elemente de cultură, împreună cu obiceiul, norma, valoarea și sensul; un mijloc specific cultural de a conecta o persoană cu lumea exterioară sau, în general, un subiect cu un obiect prin semne. Dacă în economie activitate...... Enciclopedia de studii culturale

sens- o formă generalizată de captare de către subiect a experienței socio-istorice dobândite în procesul de activitate și comunicare comună și existentă sub formă de concepte, obiectivate în scheme de acțiune, roluri sociale, norme și valori. Marea Enciclopedie Psihologică

VALOARE, valori, cf. (carte). 1. Adică, ce înseamnă obiectul dat (Cuvânt, gest, semn). Cuvântul cunoaștere are mai multe sensuri. Cuvântul bolnav ca substantiv. Sensul acestui gest a fost greu de determinat. 2. Importanța, ...... Dicționar explicativ al lui Ushakov

sens- SEMNIFICAT, SEMNIFICAT, SEMNIFICAT Franz. semnificație, semnificant, SEMNIFICA. Conceptele de bază ale lingvisticii moderne pentru a descrie semnul au fost fundamentate de clasicul acestei științe F. de Saussure. Potrivit omului de știință, semnificantul / semnificatul sunt ...... Postmodernismul. Glosar de termeni.

VALOARE, conținut asociat unei anumite expresii (cuvânt, propoziție, semn etc.) a unei anumite limbi. Semnificația expresiilor lingvistice este studiată în lingvistică, logică și semiotică... Enciclopedia modernă

Latura de conținut a unui semn sau a unei serii de semne: limbaj, situație, acțiune, idee sau obiect. În engleză: semnificație Sinonime în engleză: semnificație, semnificație Vezi și: semnificații Semne Dicționar financiar Finam ... Vocabular financiar

sens- SEMNIFICAȚIE construcții ideale în care sunt prezentate forme de generalizări ale experienței sociale cumulate. Sub 3. se înțelege conținutul unui semn, simbol, imagine, mișcare expresivă, comportament ritual etc. in invarianta ei ...... Enciclopedia Epistemologiei și Filosofia Științei

Sens- VALOARE, conținut asociat unei anumite expresii (cuvânt, propoziție, semn etc.) a unei anumite limbi. Semnificația expresiilor lingvistice este studiată în lingvistică, logică și semiotică. … Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

Cărți

• Semnificația domniei Ecaterinei a II-a, V.S. Ikonnikov. Sensul domniei Ecaterinei a II-a: Chit. în Est. insula Nestor Cronicarul 17 nov. 1896 / Op. V. S. Ikonnikova W 188/212 J 28/68 A 239/398: Kiev: tip. Imp. Universitatea St. Vladimir, 1897: Op.…
• Semnificația pregătirilor pentru război în general și a operațiunilor strategice pregătitoare în special, Leer. Semnificația pregătirii pentru război în general și a operațiunilor strategice pregătitoare în special / Op. G. A. Leera, prof. Acad. Gene. sediu D 7/230? 7/122: Sankt Petersburg: tip. V. Bezobrazov și...

Funcţie y=f(x) este o astfel de dependență a variabilei y față de variabila x atunci când fiecare valoare validă a variabilei x corespunde unei singure valori a variabilei y .

Domeniul de aplicare a funcției D(f) este mulțimea tuturor valorilor posibile ale variabilei x .

Gama de funcții E(f) este mulțimea tuturor valorilor valide ale variabilei y.

Graficul funcției y=f(x) este mulțimea punctelor plane ale căror coordonate satisfac dependența funcțională dată, adică puncte de forma M (x; f(x)) . Graficul funcției este o anumită dreaptă pe plan.

Dacă b=0 , atunci funcția va lua forma y=kx și va fi apelată proporționalitate directă.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

Panta k a dreptei y=kx+b se calculează folosind următoarea formulă:

k= tg \alpha , unde \alpha este unghiul de înclinare al dreptei față de direcția pozitivă a axei Ox.

1) Funcția crește monoton pentru k > 0 .

De exemplu: y=x+1

2) Funcția scade monoton pe măsură ce k< 0 .

De exemplu: y=-x+1

3) Dacă k=0 , atunci dând b valori arbitrare, obținem o familie de drepte paralele cu axa Ox .

De exemplu: y=-1

Proporționalitate inversă

Proporționalitate inversă se numește o funcție a formei y=\frac (k)(x), unde k este un număr real diferit de zero

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Graficul funcției y=\frac (k)(x) este o hiperbolă.

1) Dacă k > 0, atunci graficul funcției va fi situat în primul și al treilea sferturi ale planului de coordonate.

De exemplu: y=\frac(1)(x)

2) Dacă k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

De exemplu: y=-\frac(1)(x)

Funcția de putere

Funcția de putere este o funcție de forma y=x^n , unde n este un număr real diferit de zero

1) Dacă n=2 , atunci y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; perioada principală a funcţiei T=2 \pi