Pentru a converti rapid numerele din zecimal în binar, trebuie să cunoașteți bine numerele „2 la putere”. De exemplu, 2 10 \u003d 1024 etc. Acest lucru vă va permite să rezolvați câteva exemple de traducere în doar câteva secunde. Una dintre aceste sarcini este sarcina A1 din demonstrația USE 2012. Puteți, desigur, să împărțiți lung și plictisitor numărul la „2”. Dar este mai bine să decideți diferit, economisind timp prețios la examen.

Metoda este foarte simplă. Esența sa este aceasta: dacă numărul de convertit din sistemul zecimal este egal cu numărul „2 la putere”, atunci acest număr din sistemul binar conține numărul de zerouri egal cu puterea. Adăugăm un „1” în fața acestor zerouri.

• Să traducem numărul 2 din sistemul zecimal. 2=2 1 . Prin urmare, în sistemul binar, numărul conține 1 zero. Punem „1” în față și obținem 10 2 .
• Să traducem 4 din sistemul zecimal. 4=2 2 . Prin urmare, în sistemul binar, numărul conține 2 zerouri. Punem „1” în față și obținem 100 2.
• Să traducem 8 din sistemul zecimal. 8=2 3 . Prin urmare, în sistemul binar, numărul conține 3 zerouri. Punem „1” în față și obținem 1000 2.

La fel și pentru alte numere „2 la putere”.

Dacă numărul de tradus este mai mic decât numărul „2 la putere” cu 1, atunci în sistemul binar acest număr este format numai din unități, al căror număr este egal cu puterea.

• Să traducem 3 din sistemul zecimal. 3=2 2 -1. Prin urmare, în sistemul binar, numărul conține 2 uni. Primim 11 2.
• Să traducem 7 din sistemul zecimal. 7=2 3 -1. Prin urmare, în sistemul binar, numărul conține 3 uni. Primim 111 2.

În figură, pătratele indică reprezentarea binară a numărului, iar în stânga, reprezentarea zecimală este roz.

Traducerea este similară pentru alte numere „2 la puterea lui -1”.

Este clar că translația numerelor de la 0 la 8 se poate face rapid sau prin împărțire, sau pur și simplu cunoaștem pe de rost reprezentarea lor în sistemul binar. Am dat aceste exemple astfel încât să înțelegeți principiul acestei metode și să o utilizați pentru a traduce mai multe „numere impresionante”, de exemplu, pentru a traduce numerele 127,128, 255, 256, 511, 512 etc.

Puteți îndeplini astfel de sarcini atunci când trebuie să traduceți un număr care nu este egal cu numărul „2 la putere”, dar aproape de acesta. Poate fi mai mare sau mai mic decât numărul „2 la putere”. Diferența dintre numărul tradus și numărul „2 la putere” ar trebui să fie mică. De exemplu, până la 3. Reprezentarea numerelor de la 0 la 3 în sistemul binar ar trebui pur și simplu cunoscută fără translație.

Dacă numărul este mai mare decât , atunci îl rezolvăm astfel:

Mai întâi traducem numărul „2 la putere” în sistemul binar. Și apoi adăugăm la el diferența dintre numărul „2 la putere” și numărul tradus.

De exemplu, să traducem 19 din sistemul zecimal. Este mai mare decât numărul „2 la putere” cu 3.

16=2 4 . 16 10 =10000 2 .

3 10 =11 2 .

19 10 =10000 2 +11 2 =10011 2 .

Dacă numărul este mai mic decât numărul „2 la putere”, atunci este mai convenabil să utilizați numărul „2 la puterea lui -1”. Noi decidem asa:

Mai întâi traducem numărul „2 la puterea lui -1” în sistemul binar. Și apoi scădeți din el diferența dintre numărul „2 la puterea lui -1” și numărul tradus.

De exemplu, să traducem 29 din sistemul zecimal. Este mai mare decât numărul „2 la puterea lui 1” cu 2. 29=31-2.

31 10 =11111 2 .

2 10 =10 2 .

29 10 =11111 2 -10 2 =11101 2

Dacă diferența dintre numărul tradus și numărul „2 la putere” este mai mare de trei, atunci puteți împărți numărul în componente, puteți converti fiecare parte în sistemul binar și puteți adăuga.

De exemplu, traduceți numărul 528 din sistemul zecimal. 528=512+16. Traducem separat 512 și 16.
512=2 9 . 512 10 =1000000000 2 .
16=2 4 . 16 10 =10000 2 .
Acum hai să o stivuim:

Sistemul de numere binare folosește doar două cifre 0 și 1. Cu alte cuvinte, doi este baza sistemului de numere binar. (În mod similar, sistemul zecimal are baza 10.)

Pentru a învăța cum să înțelegeți numerele în sistemul numeric binar, luați în considerare mai întâi modul în care sunt formate numerele în sistemul numeric zecimal care ne este familiar.

În sistemul numeric zecimal, avem zece cifre (de la 0 la 9). Când numărul ajunge la 9, este introdusă o nouă cifră (zeci), iar unitățile sunt resetate la zero și numărătoarea începe din nou. După 19, cifra zecilor este mărită cu 1, iar cele sunt resetate la zero. etc. Când zecile ajung la 9, atunci apare a treia cifră - sute.

Sistemul de numere binar este similar cu cel zecimal, cu excepția faptului că doar două cifre sunt implicate în formarea numărului: 0 și 1. De îndată ce bitul atinge limita sa (adică, unu), apare un nou bit și cel vechi este resetat.

Să încercăm să numărăm în sistem binar:
0 este zero
1 este unul (și aceasta este limita de descărcare)
10 este doi
11 este trei (și aceasta este din nou limita)
100 este patru
101 - cinci
110 - șase
111 - șapte etc.

Conversia numerelor din binar în zecimal

Nu este greu de observat că, în sistemul numeric binar, lungimile numerelor cresc rapid odată cu creșterea valorilor. Cum să determin ce înseamnă asta: 10001001? Neobișnuit cu această formă de scriere a numerelor, creierul uman de obicei nu poate înțelege cât de mult este. Ar fi frumos să poți converti numerele binare în zecimale.

În sistemul numeric zecimal, orice număr poate fi reprezentat ca o sumă de unități, zeci, sute etc. De exemplu:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Privește cu atenție această intrare. Aici numerele 1, 4, 7 și 6 sunt un set de numere care alcătuiesc numărul 1476. Toate aceste numere sunt înmulțite alternativ cu zece ridicate într-un grad sau altul. Zece este baza sistemului numeric zecimal. Puterea la care se ridică zece este cifra cifrei minus unu.

Orice număr binar poate fi descompus în același mod. Doar baza aici va fi 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Acestea. numărul 10001001 în baza 2 este egal cu numărul 137 în baza 10. Îl puteți scrie astfel:

10001001 2 = 137 10

De ce este atât de comun sistemul de numere binar?

Faptul este că sistemul de numere binare este limbajul tehnologiei informatice. Fiecare figură trebuie să fie reprezentată cumva pe un mediu fizic. Dacă acesta este un sistem zecimal, atunci va trebui să creați un astfel de dispozitiv care poate fi în zece stări. Este complicat. Este mai ușor să faci un element fizic care poate fi doar în două stări (de exemplu, există curent sau nu există curent). Acesta este unul dintre motivele principale pentru care sistemul binar primește atât de multă atenție.

Conversie zecimală în binară

Poate fi necesar să convertiți un număr zecimal în binar. O modalitate este de a împărți la doi și de a forma un număr binar din resturile. De exemplu, trebuie să obțineți notația sa binară de la numărul 77.

Instruire

Videoclipuri asemănătoare

În sistemul de numărare pe care îl folosim în fiecare zi, există zece cifre - de la zero la nouă. De aceea se numește zecimală. Totuși, în calculele tehnice, în special cele legate de calculatoare, altele sisteme, în special binar și hexazecimal. Prin urmare, trebuie să fiți capabil să traduceți numere de la unul sisteme socotind altuia.

Vei avea nevoie

• - o bucată de hârtie;
• - creion sau pix;
• - calculator.

Instruire

Sistemul binar este cel mai simplu. Are doar două cifre - zero și unu. Fiecare cifră a binarului numere, începând de la capăt, corespunde unei puteri de doi. Doi este unul, primul este egal cu doi, al doilea este egal cu patru, al treilea este egal cu opt și așa mai departe.

Să presupunem că vi se dă un număr binar 1010110. Unitățile din acesta sunt pe locurile al doilea, al treilea, al cincilea și al șaptelea de la sfârșit. Deci, în zecimal, acest număr este 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Problemă inversă - zecimală numere sistem. Să presupunem că aveți numărul 57. Pentru a obține înregistrarea acestuia, trebuie să împărțiți succesiv acest număr la 2 și să notați restul diviziunii. Numărul binar va fi construit de la sfârșit până la început.
Primul pas vă va oferi ultima cifră: 57/2 = 28 (restul 1).
Apoi îl obțineți pe al doilea de la final: 28/2 = 14 (restul 0).
Alți pași: 14/2 = 7 (restul 0);
7/2 = 3 (restul 1);
3/2 = 1 (restul 1);
1/2 = 0 (restul 1).
Acesta este ultimul pas deoarece rezultatul împărțirii este zero. Drept urmare, ați primit numărul binar 111001.
Verificați dacă răspunsul dvs. este corect: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Al doilea, folosit în chestiuni informatice, este hexazecimal. Nu are zece, ci șaisprezece cifre. Pentru a preveni noile convenții, primele zece cifre ale hexazecimalului sisteme sunt indicate prin numere obișnuite, iar cele șase rămase - cu litere latine: A, B, C, D, E, F. corespund notării zecimale numere m de la 10 la 15. Pentru a evita confuzia, un număr scris în hexazecimal este precedat de semnul # sau caracterele 0x.

Traducere inversă din zecimală sisteme la hexazecimal se realizează prin aceeași metodă a resturilor ca și în binar. De exemplu, luați numărul 10000. Împărțindu-l succesiv la 16 și notând restul, obțineți:
10000/16 = 625 (restul 0).
625/16 = 39 (restul 1).
39/16 = 2 (restul 7).
2/16 = 0 (restul 2).
Rezultatul calculului va fi numărul hexazecimal #2710.
Verificați răspunsul: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Transfer numere din hexazecimal sisteme binar este mult mai ușor. Numărul 16 este doi: 16 = 2^4. Prin urmare, fiecare cifră hexazecimală poate fi scrisă ca un număr binar de patru cifre. Dacă obțineți mai puțin de patru cifre în binar, adăugați zerouri la început.
De exemplu, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Verificați dacă răspunsul dvs. este corect: ambele numereîn notație zecimală sunt 8062.

Pentru a traduce, trebuie să împărțiți numărul binar în grupuri de patru cifre, începând de la sfârșit, și să înlocuiți fiecare astfel de grup cu o cifră hexazecimală.
De exemplu, 11000110101001 devine (0011)(0001)(1010)(1001), care în hexazecimal este #31A9. Corectitudinea răspunsului este confirmată prin conversia în notație zecimală: ambele numere sunt egale cu 12713.

Sfatul 5: Cum se transformă un număr în binar

Datorită utilizării limitate a simbolurilor, sistemul binar este cel mai convenabil pentru utilizare în computere și alte dispozitive digitale. Există doar două caractere: 1 și 0, deci acesta sistem utilizate în registre.

Instruire

Binarul este pozițional, adică poziția fiecărei cifre în număr corespunde unei anumite cifre, care este egală cu două în gradul corespunzător. Gradul începe de la zero și crește pe măsură ce vă deplasați de la dreapta la stânga. De exemplu, număr 101 este egal cu 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Considerați numărul zecimal în binar sistem metoda împărțirii succesive la 2. Pentru a traduce zecimala număr 25 în cod, trebuie să-l împărțiți la 2 până rămâne 0. Resturile obținute la fiecare pas de împărțire sunt scrise pe linia de la dreapta la stânga, după ce ați scris ultima cifră rămasă, aceasta va fi finala

Într-unul dintre materialele noastre, am luat în considerare definiția . Are cel mai scurt alfabet. Doar două cifre: 0 și 1. Exemple de alfabete ale sistemelor de numere poziționale sunt date în tabel.

Sisteme numerice poziționale

Pentru a converti un număr mic din zecimal în binar și invers, este mai bine să utilizați următorul tabel.

Tabel pentru conversia numerelor zecimale de la 0 la 20 în sistemul numeric binar.

Cu toate acestea, tabelul se va dovedi a fi uriaș dacă scrieți toate numerele acolo. Găsirea numărului potrivit dintre ele va fi mai dificilă. Este mult mai ușor să ne amintim mai mulți algoritmi pentru traducerea numerelor dintr-un sistem numeric pozițional în altul.

Cum se convertesc de la un sistem numeric la altul? În informatică, există mai multe moduri simple de a converti numere zecimale în numere binare. Să luăm în considerare două dintre ele.

Metoda numărul 1.

Să presupunem că doriți să traduceți un număr 637 sistem zecimal la sistem binar.

Acest lucru se face după cum urmează: puterea maximă a doi este găsită astfel încât doi în această putere să fie mai mic sau egal cu numărul inițial.

În cazul nostru, acesta este 9, pentru că 2 9 =512 , A 2 10 =1024 , care este mai mare decât numărul nostru inițial. Astfel, am obținut numărul de cifre ale rezultatului. Este egal cu 9+1=10. Aceasta înseamnă că rezultatul va arăta ca 1ххххххххх, unde în loc de x poate fi 1 sau 0.

Găsiți a doua cifră a rezultatului. Să ridicăm doi la puterea lui 9 și să scădem din numărul inițial: 637-2 9 =125. Apoi comparați cu numărul 2 8 =256 . Deoarece 125 este mai mic decât 256, al nouălea bit va fi 0, adică. rezultatul va lua deja forma 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , deci a opta cifră va fi zero.

2 6 =64 , atunci a șaptea cifră este egală cu 1. 125-64=61 Astfel, am primit patru cifre de ordin înalt și numărul va arăta ca 10011ххххх.

2 5 =32 și vezi că 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - a cincea cifră 1 => 1001111xxx. Restul 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111xx. 13-8=5

2 2 =4 < 5 => 10011111xx, rest 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, rest 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Acesta va fi rezultatul final.

Metoda numărul 2.

Regula pentru conversia numerelor zecimale întregi în sistem de numere binar este:

1. Să împărțim a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 cu 2.
2. Coeficientul va fi an−1⋅2n−2+...+a1, iar restul va fi
3. Coeficientul rezultat este din nou împărțit la 2, restul împărțirii va fi egal cu a1.
4. Dacă continuăm acest proces de împărțire, atunci la al n-lea pas obținem un set de numere: a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a n−1, care sunt incluse în reprezentarea binară a numărului inițial și coincid cu resturile atunci când acesta este împărțit succesiv la 2.
5. Astfel, pentru a converti un număr întreg zecimal într-un sistem de numere binar, trebuie să împărțiți succesiv numărul dat și coeficientii întregi rezultați la 2 până când obținem câtul, care va fi egal cu zero.

Numărul original din sistemul de numere binar este compilat prin înregistrarea secvenţială a reziduurilor rezultate. Începem să-l scriem de la ultimul găsit.

Convertiți numărul zecimal 11 în sistemul binar. Secvența acțiunilor luate în considerare mai sus (algoritm de traducere) poate fi descrisă după cum urmează:

Primit 11 10 =1011 2 .

Exemplu:

Dacă numărul zecimal este suficient de mare, atunci este mai convenabil următorul mod de a scrie algoritmul de mai sus:

363 10 =101101011 2

Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 de litere latine, până la urmă). Numerele nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți intrarea”.

numărul original înregistrate în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -al-lea sistem de numere.

Vreau să obțin o înregistrare a unui număr în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.

Obțineți o intrare

Traduceri finalizate: 1363710

Sisteme numerice

Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalși nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional și există și cel roman - pur și simplu nu este pozițional. În sistemele poziționale, poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles privind exemplul unui număr.

Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:

Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.

Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. O numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Numărul 1234.567 se poate scrie astfel: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -1 + 6 +7 10 -3 .

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Cel mai simplu mod de a traduce un număr dintr-un sistem numeric în altul este de a converti mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, iar apoi, rezultatul obținut în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistem numeric zecimal

Pentru a converti un număr din orice sistem de numere în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând de la zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:

1. Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Decizie: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Decizie: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie traduse separat.

Conversia părții întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Partea întreagă este translată din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric prin împărțirea succesivă a părții întregi a numărului la baza sistemului numeric până când se obține un rest întreg, mai mic decât baza sistemului numeric. Rezultatul transferului va fi o înregistrare din rămășițe, începând cu ultimul.

3. Convertiți numărul 273 10 în sistem de numere octale.
Decizie: 273 / 8 = 34 și restul 1, 34 / 8 = 4 și restul 2, 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din rămășițe va arăta astfel: 421
Examinare: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultatul este același. Deci traducerea este corecta.
Răspuns: 273 10 = 421 8

Să luăm în considerare translația fracțiilor zecimale corecte în diferite sisteme numerice.

Conversia părții fracționale a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Amintiți-vă că o fracție zecimală adecvată este număr real cu parte întreagă zero. Pentru a traduce un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți în mod constant numărul cu N până când partea fracțională este adusă la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă în timpul înmulțirii se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.

4. Convertiți numărul 0,125 10 în sistem de numere binar.
Decizie: 0,125 2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va fi prima cifră a rezultatului), 0,25 2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5 2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului , iar din moment ce partea fracțională este zero, translația este completă).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2