Fie k rânduri și k coloane (k ≤ min(m; n)) să fie selectate aleatoriu într-o matrice A de dimensiuni (m; n). Elementele matricei situate la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată de ordinul k, al cărei determinant se numește minorul M kk de ordinul k y sau minorul de ordinul k al matricei A.

Rangul unei matrice este ordinul maxim al r minore nenule ale matricei A, iar orice minor de ordinul r care este diferit de zero este o bază minoră. Denumire: rang A = r. Dacă rangul A = rangul B și dimensiunile matricelor A și B sunt aceleași, atunci matricele A și B se numesc echivalente. Denumire: A ~ B.

Principalele metode de calcul al rangului unei matrice sunt metoda limitării minorilor și metoda.

Metoda marginală minoră

Esența metodei minorilor învecinați este următoarea. Fie că un minor de ordinul k, diferit de zero, a fost deja găsit în matrice. Apoi considerăm mai jos doar acele minore de ordin k+1 care conțin (adică chenar) un minor de ordinul k, care este diferit de zero. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este k, în in caz contrar printre minorii învecinați de ordinul (k+1) există unul diferit de zero și se repetă întreaga procedură.

Independența liniară a rândurilor (coloanelor) unei matrice

Conceptul de rang de matrice este strâns legat de conceptul de independență liniară a rândurilor (coloanelor) sale.

se numesc dependente liniar dacă există numere λ 1, λ 2, λ k astfel încât egalitatea este adevărată:

Rândurile matricei A se numesc liniar independente dacă egalitatea de mai sus este posibilă numai în cazul în care toate numerele λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Dependența liniară și independența coloanelor matricei A sunt determinate în mod similar.

Dacă orice rând (a l) al matricei A (unde (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) poate fi reprezentat ca

Conceptul de combinație liniară de coloane este definit într-un mod similar. Următoarea teoremă despre baza minoră este valabilă.

Rândurile de bază și coloanele de bază sunt liniar independente. Orice rând (sau coloană) a matricei A este o combinație liniară de rânduri de bază (coloane), adică rânduri (coloane) care intersectează baza minoră. Astfel, rangul matricei A: rang A = k este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale matricei A.

Acestea. Rangul unei matrice este dimensiunea celei mai mari matrice pătrate din cadrul matricei pentru care trebuie determinat rangul, pentru care determinantul nu este egal cu zero. Dacă matricea originală nu este pătrată sau dacă este pătrată, dar determinantul său este zero, atunci pentru matricele pătrate de ordin inferior rândurile și coloanele sunt alese în mod arbitrar.

Pe lângă determinanți, rangul unei matrice poate fi calculat prin numărul de rânduri sau coloane liniar independente ale matricei. Este egal cu numărul de rânduri sau coloane liniar independente, oricare dintre acestea este mai mic. De exemplu, dacă o matrice are 3 rânduri liniar independente și 5 coloane liniar independente, atunci rangul ei este trei.

Exemple de găsire a rangului unei matrice

Folosind metoda limitării minorilor, găsiți rangul matricei

Soluție: minor de ordinul doi

minorul limitrof M 2 este, de asemenea, diferit de zero. Cu toate acestea, ambii minori sunt de ordinul al patrulea, învecinați cu M 3 .

sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul matricei A este 3, iar baza minoră este, de exemplu, minorul M 3 prezentat mai sus.

Metoda transformărilor elementare se bazează pe faptul că transformările elementare ale unei matrice nu-i schimbă rangul. Folosind aceste transformări, puteți aduce matricea într-o formă în care toate elementele sale, cu excepția a 11, a 22, ..., a rr (r ≤min (m, n)), sunt egale cu zero. Acest lucru înseamnă evident că rangul A = r. Rețineți că dacă o matrice de ordinul al n-lea are forma unei matrici triunghiulare superioare, adică o matrice în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero, atunci definiția sa este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală. . Această proprietate poate fi folosită atunci când se calculează rangul unei matrice folosind metoda transformărilor elementare: este necesar să le folosim pentru a reduce matricea la una triunghiulară și apoi, selectând determinantul corespunzător, constatăm că rangul matricei este egal cu numărul de elemente ale diagonalei principale care sunt diferite de zero.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți rangul matricei

Rezolvare.Să notăm i-lea rând al matricei A prin simbolul α i . În prima etapă, vom efectua transformări elementare

În a doua etapă, efectuăm transformările

Un sistem de vectori de același ordin se numește dependent liniar dacă un vector zero poate fi obținut din acești vectori printr-o combinație liniară adecvată. (Nu este permis ca toți coeficienții unei combinații liniare să fie egali cu zero, deoarece acest lucru ar fi banal.) În caz contrar, vectorii sunt numiți liniar independenți. De exemplu, următorii trei vectori:

sunt dependente liniar, deoarece acest lucru este ușor de verificat. În cazul unei dependențe liniare, orice vector poate fi întotdeauna exprimat printr-o combinație liniară de alți vectori. În exemplul nostru: fie sau Acest lucru este ușor de verificat cu calculele corespunzătoare. Aceasta conduce la următoarea definiție: un vector este liniar independent de alți vectori dacă nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a acestor vectori.

Să considerăm un sistem de vectori fără a specifica dacă este liniar dependent sau liniar independent. Pentru fiecare sistem format din vectori coloană a, este posibil să se identifice numărul maxim posibil de vectori liniar independenți. Acest număr, notat cu litera , este rangul acestui sistem vectorial. Deoarece fiecare matrice poate fi privită ca un sistem de vectori coloană, rangul unei matrice este definit ca numărul maxim de vectori coloană liniar independenți pe care îi conține. Vectorii rând sunt, de asemenea, utilizați pentru a determina rangul unei matrice. Ambele metode dau același rezultat pentru aceeași matrice și nu pot depăși cel mai mic dintre sau Rangul unei matrice pătrate de ordin variază de la 0 la . Dacă toți vectorii sunt zero, atunci rangul unei astfel de matrice este zero. Dacă toți vectorii sunt liniar independenți unul de celălalt, atunci rangul matricei este egal. Dacă formăm o matrice din vectorii de mai sus, atunci rangul acestei matrice este 2. Deoarece fiecare doi vectori poate fi redus la o treime printr-o combinație liniară, atunci rangul este mai mic de 3.

Dar ne putem asigura că oricare doi vectori ai acestora sunt independenți liniar, de unde și rangul

O matrice pătrată se numește singulară dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt dependenți liniar. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero și matricea sa inversă nu există, așa cum s-a menționat mai sus. Aceste concluzii sunt echivalente între ele. Ca rezultat, o matrice pătrată este numită nesingulară sau nesingulară, dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt independenți unul de celălalt. Determinantul unei astfel de matrice nu este egal cu zero și matricea sa inversă există (comparați cu p. 43)

Rangul matricei are o interpretare geometrică destul de evidentă. Dacă rangul matricei este egal cu , atunci se spune că spațiul -dimensional este acoperit de vectori. Dacă rangul este, atunci vectorii se află într-un subspațiu -dimensional care îi include pe toți. Deci, rangul matricei corespunde dimensiunii minime necesare a spațiului „care conține toți vectorii”; un subspațiu -dimensional într-un spațiu -dimensional se numește hiperplan -dimensional. Rangul matricei corespunde celei mai mici dimensiuni a hiperplanului în care se află încă toți vectorii.

Ortogonalitatea. Se spune că doi vectori a și b sunt reciproc ortogonali dacă produsul lor scalar este zero. Dacă matricea de ordine are egalitatea în care D este o matrice diagonală, atunci vectorii coloană ai matricei A sunt perechi ortogonali reciproc. Dacă acești vectori coloană sunt normalizați, adică redusi la o lungime egală cu 1, atunci apare egalitatea și vorbim de vectori ortonormali. Dacă B este o matrice pătrată și egalitatea este valabilă, atunci matricea B se numește ortogonală. În acest caz, din formula (1.22) rezultă că matricea ortogonală este întotdeauna nesingulară. Prin urmare, din ortogonalitatea matricei, urmează independența liniară a vectorilor ei rând sau a vectorilor coloană. Afirmația inversă nu este adevărată: independența liniară a unui sistem de vectori nu implică ortogonalitatea pe perechi a acestor vectori.

Conceptul de rang de matrice este strâns legat de conceptul de dependență liniară (independență) a rândurilor sau coloanelor sale. Pe viitor vom prezenta materialul pentru rânduri; pentru coloane prezentarea este similară.

În matrice A Să notăm liniile sale după cum urmează:

, , …. ,

Se spune că două rânduri ale unei matrice sunt egale, dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale: , dacă , .

Operațiile aritmetice pe rânduri matrice (înmulțirea unui rând cu un număr, adăugarea de rânduri) sunt introduse ca operații efectuate element cu element:

Linia e numită combinație liniară de șiruri..., matrice, dacă este egală cu suma produselor acestor rânduri prin numere reale arbitrare:

Se numesc rândurile matricei dependent liniar, dacă există numere care nu sunt simultan egale cu zero, astfel încât o combinație liniară de rânduri ale matricei să fie egală cu rândul zero:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Teorema 3.3Rândurile unei matrice sunt dependente liniar dacă cel puțin un rând al matricei este o combinație liniară a celorlalte.

□ Într-adevăr, fie, pentru certitudine, în formula (3.3) , Apoi

Astfel, rândul este o combinație liniară a rândurilor rămase. ■

Dacă o combinație liniară de rânduri (3.3) este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții sunt egali cu zero, atunci rândurile se numesc liniar independente.

Teorema 3.4.(despre rangul matricei) Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri (coloane) sunt exprimate liniar.

□ Fie matricea A mărimea m n are rang r(r min). Aceasta înseamnă că există un minor diferit de zero r-a ordine. Orice minor diferit de zero r Al treilea ordin va fi numit baza minor.

Pentru certitudine, să fie baza minoră de conducere sau de colț minor. Atunci rândurile matricei sunt liniar independente. Să presupunem contrariul, adică unul dintre aceste șiruri, de exemplu, este o combinație liniară a celorlalte. Scădeți din elemente r- din rândul 1, elementele din rândul 1, înmulțite cu , apoi elementele din rândul 2, înmulțite cu , ... și elementele ( r- 1) - randurile ale lui inmultit cu . Pe baza proprietății 8, cu astfel de transformări ale matricei determinantul său D nu se va schimba, ci din moment ce r- rândul va fi format acum doar din zerouri, atunci D = 0 este o contradicție. Prin urmare, ipoteza noastră că rândurile matricei sunt dependente liniar este incorectă.

Să sunăm liniile de bază. Să arătăm că orice rând (r+1) ale matricei sunt dependente liniar, adică. orice șir este exprimat în termeni de cele de bază.

Să considerăm un minor (r +1) de ordinul întâi, care se obține prin completarea minorului în cauză cu elemente de alt rând i si coloana j. Acest minor este zero, deoarece rangul matricei este r, deci orice minor de ordin superior este zero.

Expandându-l în funcție de elementele ultimei coloane (adăugate), obținem

Unde modulul ultimului complement algebric coincide cu baza minoră Dși deci diferit de zero, adică. 0.

Lăsa

Coloane cu matrice de dimensiuni. Combinație liniară de coloane matrice numită matrice coloane, cu unele numere reale sau complexe numite coeficienți de combinație liniară. Dacă într-o combinație liniară luăm toți coeficienții egali cu zero, atunci combinația liniară este egală cu matricea coloanei zero.

Se numesc coloanele matricei liniar independent , dacă combinația lor liniară este egală cu zero numai atunci când toți coeficienții combinației liniare sunt egale cu zero. Se numesc coloanele matricei dependent liniar , dacă există o mulțime de numere printre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero

În mod similar, pot fi date definițiile dependenței liniare și ale independenței liniare a rândurilor matricei. În cele ce urmează, toate teoremele sunt formulate pentru coloanele matricei.

Teorema 5

Dacă există un zero între coloanele matricei, atunci coloanele matricei sunt dependente liniar.

Dovada. Luați în considerare o combinație liniară în care toți coeficienții sunt egali cu zero pentru toate coloanele diferite de zero și unul pentru toate coloanele zero. Este egal cu zero, iar printre coeficienții combinației liniare există un coeficient diferit de zero. Prin urmare, coloanele matricei sunt dependente liniar.

Teorema 6

Dacă coloane de matrice sunt dependente liniar, asta-i tot coloanele matriceale sunt dependente liniar.

Dovada. Pentru certitudine, vom presupune că primele coloane ale matricei dependent liniar. Apoi, prin definiția unei dependențe liniare, există o mulțime de numere dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero.

Să facem o combinație liniară a tuturor coloanelor matricei, inclusiv a coloanelor rămase cu coeficienți zero

Dar . Prin urmare, toate coloanele matricei sunt dependente liniar.

Consecinţă. Printre coloanele de matrice liniar independente, oricare sunt liniar independente. (Această afirmație poate fi ușor dovedită prin contradicție.)

Teorema 7

Pentru ca coloanele unei matrice să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca cel puțin o coloană a matricei să fie o combinație liniară a celorlalte.

Dovada.

Necesitate. Fie coloanele matricei dependente liniar, adică există o mulțime de numere dintre care cel puțin unul este diferit de zero, iar combinația liniară de coloane cu acești coeficienți este egală cu zero

Să presupunem pentru certitudine că . Atunci, adică prima coloană este o combinație liniară a restului.

Adecvarea. Fie cel puțin o coloană a matricei o combinație liniară a celorlalte, de exemplu, , unde sunt unele numere.

Atunci , adică combinația liniară de coloane este egală cu zero, iar dintre numerele din combinația liniară cel puțin unul (la ) este diferit de zero.

Fie rangul matricei . Orice minor diferit de zero de ordinul 1 este numit de bază . Se numesc rânduri și coloane la intersecția cărora există o bază minoră de bază .

Matrice– un tabel dreptunghiular de numere arbitrare dispuse într-o anumită ordine, mărimea m*n (rânduri pe coloane). Elementele matricei sunt desemnate unde i este numărul rândului, aj este numărul coloanei.

Adăugare (scădere) matricele sunt definite numai pentru matricele unidimensionale. Suma (diferența) matricelor este o matrice ale cărei elemente sunt, respectiv, suma (diferența) elementelor matricelor originale.

Înmulțire (împărțire)pe număr– înmulțirea (împărțirea) fiecărui element de matrice cu acest număr.

Înmulțirea matricelor este definită numai pentru matrice, numărul de coloane al primei dintre ele este egal cu numărul de rânduri al celui de-al doilea.

Înmulțirea matricei– matrice, ale cărei elemente sunt date prin formulele:

Matrix Transpose– o astfel de matrice B, ale cărei rânduri (coloane) sunt coloanele (rândurile) din matricea originală A. Desemnat

matrice inversă

Ecuații matriceale– ecuațiile de forma A*X=B sunt un produs de matrici, răspunsul la această ecuație este matricea X, care se găsește folosind regulile:

1. Dependența liniară și independența coloanelor (rândurilor) matricei. Criteriul de dependență liniară, condiții suficiente pentru dependența liniară a coloanelor (rândurilor) matricei.

Sistemul de rânduri (coloane) se numește liniar independent, dacă combinația liniară este banală (egalitatea este satisfăcută numai când a1...n=0), unde A1...n sunt coloane (rânduri), aa1...n sunt coeficienți de expansiune.

Criteriu: pentru ca un sistem de vectori să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar prin vectorii rămași ai sistemului.

Stare suficientă:

1. Determinanții matricei și proprietățile lor

Determinant matrice (determinant) este un număr care pentru o matrice pătrată A poate fi calculat din elementele matricei folosind formula:

, unde este minorul suplimentar al elementului

Proprietăți:

1. Matrice inversă, algoritm de calcul al matricei inverse.

matrice inversă– o astfel de matrice pătrată X, care, împreună cu o matrice pătrată A de același ordin, satisface condiția: unde E este matricea de identitate de același ordin ca A. Orice matrice pătrată cu determinant diferit de zero are 1 matrice inversă. Găsit folosind metoda transformărilor elementare și folosind formula:

Conceptul de rang de matrice. Teorema pe baza minoră. Criteriul pentru ca determinantul unei matrice să fie egal cu zero. Transformări elementare ale matricelor. Calcule de rang folosind metoda transformărilor elementare. Calculul matricei inverse folosind metoda transformărilor elementare.

rangul matricei - ordinea bazei minore (rg A)

minor de bază - un minor de ordinul r nu este egal cu zero, astfel încât toți minorii de ordinul r+1 și mai mari sunt egali cu zero sau nu există.

Teorema minoră a bazei -Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) în care se află baza minoră.

Dovada: Fie ca baza minoră dintr-o matrice A de dimensiuni m*n să fie situată în primele r rânduri și primele r coloane. Să luăm în considerare determinantul, care se obține prin atribuirea elementelor corespunzătoare ale rândului al șlea și al coloanei a k-a la baza minoră a matricei A.

Rețineți că pentru orice u acest determinant este egal cu zero. Dacă sau, atunci determinantul D conține două rânduri identice sau două coloane identice. Dacă sunt, atunci determinantul D este egal cu zero, deoarece este minor de ordinul (r+λ)-ro. Extinzând determinantul de-a lungul ultimului rând, obținem:, unde sunt complementele algebrice ale elementelor ultimului rând. Rețineți că, deoarece acesta este un minor de bază. Prin urmare, unde Scriind ultima egalitate pentru, obținem , adică Coloana k-a (pentru oricare) este o combinație liniară a coloanelor bazei minore, ceea ce trebuia să dovedim.

Criteriul detA=0– Un determinant este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) sale sunt dependente liniar.

Transformări elementare:

1) înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero;

2) adăugarea elementelor unei linii a elementelor altei linii;

3) rearanjarea corzilor;

4) tăierea unuia dintre rândurile (coloanele) identice;

5) transpunere;

Calculul rangului - Din teorema minoră a bazei rezultă că rangul matricei A este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente (coloane din matrice), prin urmare sarcina transformărilor elementare este de a găsi toate rândurile (coloanele) liniar independente.

Calcularea matricei inverse- Transformările pot fi implementate prin înmulțirea unei anumite matrice T cu matricea A, care este produsul matricelor elementare corespunzătoare: TA = E.

Această ecuație înseamnă că matricea de transformare T este inversa matricei matricei. Atunci, prin urmare,