© 2005 A. I. Saichev*, S. G. Utkin*

TRANZIȚIA PROCESELOR MULTIDIMENSIONALE DE SĂRIT DE LA DIFUZIA ANOMALĂ LA LINEARĂ

Luăm în considerare procesele multidimensionale ale mersurilor aleatoare „cvasi-anomale” care au asimptotice de difuzie liniară pe vremuri mariși respectarea modelelor de difuzie anormale la timpi intermediari (de asemenea, destul de mari în raport cu scalele microscopice). Este demonstrată trecerea unui proces asemănător unui salt de la difuzie anormală la difuzie liniară. Folosind calcule numerice, se confirmă validitatea calculelor analitice pentru cazuri bidimensionale și tridimensionale. ,.....

Cuvinte cheie: subdifuzie anormală, superdifuzie anormală, ecuații diferențiale fracționale parțiale, asimptotice intermediare, plimbări aleatoare cvasi-anomale.

1. INTRODUCERE

Semnul principal al difuziei anormale este creșterea neliniară a pătratului mediu al procesului aleator în timp: >r: V» „

caracteristică, de exemplu, unui astfel de fenomene fizice, cum ar fi difuzia turbulentă, dinamica haotică a sistemelor hamiltoniene, transferul de sarcină în semiconductori amorfi etc. Dinamica unor astfel de fenomene este modelată adecvat prin procese aleatoare de tip salt cu anumite distribuții / (r) ale intervalelor dintre salturi și distribuții w( x) a mărimii salturilor.

De asemenea, se știe că difuzia anormală are loc din cauza unei încălcări a teoremei limitei centrale (CLT) sau a legii numere mari(ZBCh) (vezi, de exemplu,). La rândul său, inaplicabilitatea ZBC se datorează infinitității primelor momente de așteptare pentru sărituri, iar încălcarea CPT este asociată cu infinitatea momentelor secunde de sărituri. Aceste circumstanțe servesc drept obiect de critică a teoriei difuziei anormale de către fizicieni, care notează pe bună dreptate că pentru majoritatea fenomenelor fizice aceste puncte sunt limitate.

„Nijni Novgorod Universitate de stat, Nijni Novgorod, Rusia. E-mail: [email protected]; [email protected]

Pret 18 ^ub. Legare 1 frecare.

456 A. I. SAICHEV, S. G. Utkin;

Scopul acestei lucrări este de a demonstra faptul că subdifuzia anormală poate apărea și în „cazul clasic” când ZBC și CPT sunt valabile. Și anume, alături de procesele de difuzie „pur” anormale studiate în detaliu, există și procese aleatoare „cvasi-anomale” care se supun legilor difuziei liniare la timpi foarte mari și la scară spațială, iar la momente „intermediare” demonstrează anomalii universale. -asimptotice de difuzie. acest lucru este dedicat analizei tocmai a unor astfel de cvasi-anomale procese aleatoriiîn spaţii de dimensiuni diferite. S-a descoperit, în special, că, spre deosebire de difuzia multidimensională clasică, coordonatele aleatorii ale procesului de salt de difuzie anormală sunt dependente statistic chiar și cu componente independente ale vectorilor de salt aleatoriu.

2. MERGE ALEATORIE

Să luăm în considerare un proces tipic de mers aleatoriu care se supune celei mai simple ecuații stocastice hh-.

*-----. < к 1

Fără pierderea generalității, presupunem că intervalele de așteptare aleatoare pentru salturile t~k = tk - ifc-i și salturile aleatoare hk în sine sunt independente reciproc și au, de asemenea, aceleași distribuții f(t) și respectiv w(x). Este evident că

unde N(t) este numărul de salturi la momentul t. Aceasta este o funcție inversă timpului celui de-al n-lea salt T(n):

t = T(n) = ] " "

Folosind relația de echivalență evidentă pentru aceste funcții ~!! N(t)^n T(n)

iar despărţirea unităţii este m.„ >".. l ■ >.

1= ^IIn(z) = ^, z>0, „U ■

unde x(z) este funcția pas, derivăm o ecuație pentru funcția caracteristică a procesului luat în considerare X (f):

©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /exp (w £ hk) V p=0 ^ ^ fc=1 " "

Pret 18 stejar. Legarea Í r.

■go) subdiferenţa anormală şi CPT sunt valabile. Și sunt difuziune pro-l, supuse unor scale legale, anormal-difuzive dar astfel de cvasi-anomalie-1. S-a descoperit în partea I că coordonatele aleatoare sunt chiar dependente

umbrit cel mai simplu

Aștept sărituri și am și unul-)

Primul pas al celui de-al n-lea salt T(n):

r > O, ^ " funcția logică a

TRANZIȚIA PROCESELOR MULTIDIMENSIONALE JUMPY. ..

Să aplicăm transformarea Laplace pe ambele părți ale egalității și să însumăm progresia geometrică rezultată:

Expresia găsită pentru imaginea Laplace 0(u; s) a funcției caracteristice este un analog multidimensional al ecuației Montroll-Weiss. Aici f(s) este imaginea Laplace a distribuției intervalelor dintre sărituri, iar w(u) este funcția caracteristică a sărituri. Din ultima egalitate este clar că Q(u; s) respectă ecuația

0(u;s) - w(u)Q(u;s) =

.......... ÎM (2-2)

Aplicându-i transformatele inverse Fourier și Laplace, este ușor de obținut (în funcție de tipul distribuțiilor f(r) și w(x)) atât ecuația clasică Kolmogorov-Feller, cât și ecuațiile cinetice de difuzie anormală.

3. ECUAȚII ASIMPTOTICE PENTRU DENSITATEA PROBABILITĂȚII DE MERCAT X(t)

După cum sa menționat mai sus, forma ecuației pentru densitatea de probabilitate W(x; t) depinde de tipul distribuțiilor f(r) și tu(x), sau mai precis, de imaginea lor Laplace f(s) și de caracteristica funcția w(u). În continuare, vom obține ecuații asimptotice pentru W(x; t), valabile pe diverse scale de timp, în cazul distribuției /(r) cu imaginea Laplace

V „I + sp” >

unde S este un parametru mic. Toate momentele /(r) sunt limitate, ceea ce o face fizic mai corectă decât distribuția exponențială fracțională aferentă (corespunzătoare valorii 6 = 0), care este una dintre cele cheie în teoria difuziei anormale. Să luăm în considerare cazul în care parametrul 6 este atât de mic încât intervalul de timp între 1 și 1/(5 este suficient de mare. Apoi procesul X(t) trece prin trei etape succesive. Inițial, la momentele t 1, comportamentul lui procesul depinde de structura fină a distribuțiilor /(t ) u(x) iae reflectă legile universale de difuzie În plus, uneori între 1 și 1/6, datorită cozilor de putere-lege ale distribuției /. (t), procesul se supune legilor de difuzie anormale Apoi, la t 3> 1/6, procesul se supune legii de difuzie liniară normală datorită cozilor descrescătoare exponențiale ale distribuției /(r) la m 1/6.

Să substituim f(s) (3.1) în ecuația (2.2) și să discutăm comportamentul său asimptotic pentru s 1, care corespunde proprietăților probabilistice ale unui proces de salt la timpi mari.

În raport cu imaginea Laplace a distribuției /(t), evidențiem cazul s oo, precum și cazul 6 s 1, responsabil pentru modul „intermediar” 1

Pret 18 ^ub. Legare 1 frecare.

iar (2.2) va lua forma

A. I. SAICHEV, S. G. UTKIN

în ©(“;“) + - w(“)]in(“; 5) = 1,

iar în a doua/(c) ~ 1 - (1 + 8$) și, în consecință,

""§("; e) + (1 + - th(")]in(i; ") = în"-1.

Aplicând transformarea inversă Fourier și Laplace la egalitățile obținute, ajungem la ecuația Kolmogorov-Feller

> + [tsg(x.^ _ * Ts*)] =< оо,

sau la ecuația generalizată Kolmogorov-Feller

A+b0)t*m) - w(x-l)*yu(,x)) = 1“*“

caracteristică, de exemplu, a unei distribuții normale multivariate cu coordonate independente și aceeași dispersie a2 de-a lungul tuturor axelor. Apoi, ecuațiile de difuzie liniară și anormală pentru diferite asimptotice de timp urmează din ecuațiile de mai sus, respectiv:

e-l ".(< "■

T? 2 ore* "" h"#""" " g(1 -0)

Soluția pentru prima dintre ele este binecunoscută:

xShx), !«*<-. (3.3)

* „I” (x O- (1 + 1 + -

unde n este dimensiunea spațiului procesului aleator. Soluția celei de-a doua ecuații este dată în secțiunea următoare.

În acest scop h în n-dimensional

componente ale argumentului! /3-stabil

Tag-Leffle multidimensional

Așa funcționează difuzia.

Un dispozitiv care măsoară dispersia unui proces aleatoriu, după cum urmează din (6.44), trebuie să aibă la intrare un condensator care separă componenta constantă. Alte etape ale procesului de măsurare - pătrarea și media timpului - sunt efectuate de un voltmetru pătratic inerțial.

Principiul de funcționare al contorului de funcție de corelare (corelometru) rezultă din formula (6.45). Aici, valorile instantanee ale unui semnal aleatoriu, după filtrarea componentei constante, sunt împărțite în canale și transmise unui multiplicator, iar într-unul dintre canale semnalul este întârziat pentru un timp. Pentru a obține valoarea funcției de corelare, semnalul de la ieșirea multiplicatorului este procesat de o legătură inerțială, care efectuează o medie.

Indiferent de dimensiune

Aici se folosește aceeași notație ca și în formula (6.26). Elementele matricei de corelație a acestui proces aleatoriu sunt determinate de funcția de corelație normalizată:

În cele ce urmează, vom folosi adesea densitatea gaussiană bidimensională

Un proces gaussian staționar ocupă un loc excepțional printre alte procese aleatoare - oricare dintre densitatea sa de probabilitate multidimensională este determinată de caracteristicile sale: așteptarea matematică și funcția de corelare.

Un proces aleator staționar multidimensional este definit ca un set de procese aleatoare staționare și staționare interconectate . Un astfel de proces este de obicei notat ca un vector coloană aleatoriu în funcție de timp:

.

Procesele aleatoare multidimensionale sunt utilizate pentru a descrie sisteme multidimensionale (multicanal). Această secțiune ia în considerare problema modelării digitale a proceselor aleatoare staționare multidimensionale normale. Rezultatul rezolvării acestei probleme, ca și în cazul unidimensional, este un algoritm care face posibilă generarea de implementări discrete multidimensionale ale unui proces dat pe un computer digital. -procesul aleator staţionar normal continuu dimensional este de obicei specificat fie sub forma matricei sale de corelaţie

sau sub forma unei matrice spectrale

Unde - funcțiile de autocorelare (at ) și de corelație încrucișată (at ) ale proceselor aleatoare - transformata Fourier a . În același timp, de când , elementele și matricea spectrală sunt conjugate complexe,

.

Procesele aleatoare normale multidimensionale discrete sunt specificate în mod similar cu cele continue folosind corelații și matrici spectrale [35, 70]

Unde , și .

Este recomandabil să se formuleze problema modelării digitale a unui proces aleator normal multidimensional după cum urmează. Este dată o corelație sau o matrice spectrală a unui proces aleatoriu. Este necesar să se găsească un algoritm pentru generarea de implementări discrete ale unui proces aleatoriu cu proprietăți de corelație (spectrale) date pe un computer digital.

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi, ca și până acum, ideea unui filtru liniar de modelare. În cazul luat în considerare, vorbim despre sinteza unui filtru de modelare multidimensional.

Un filtru liniar dimensional este definit ca un sistem dinamic liniar cu intrări și ieșiri. Dacă - influenţa de intrare şi este răspunsul sistemului, atunci conexiunea dintre intrarea și ieșirea filtrului continuu liniar -dimensional este descrisă folosind o matrice de transfer sub forma

Unde Și - imagini ale semnalelor de intrare și respectiv de ieșire, în sensul transformării Laplace; - matricea de transfer a unui filtru -dimensional, ale cărui elemente sunt funcții de transfer ale canalelor -a intrare - -a ieșire.

Conexiunea intrare-ieșire în filtre liniare dimensionale discrete este descrisă în mod similar:

,

unde si - imagini în sensul transformării discrete Laplace a semnalelor de intrare și de ieșire; - matricea de transfer a unui filtru dimensional discret.

Diagrama bloc a unui filtru multidimensional folosind un exemplu de filtru bidimensional este prezentată în Fig. 2.9, conform căruia

(2.107)

Vedem că fiecare dintre semnalele de ieșire și este suma operatorilor liniari din semnalele de intrare și . Relații similare sunt valabile în cazul general. Aceasta este identificarea matricelor de transfer.

Fie influența la intrarea filtrului liniar -dimensional zgomot alb -dimensional, adică un proces aleatoriu cu o matrice de corelație de forma

pentru timp continuu și

pentru timp discret, unde - functie delta. Zgomotul alb dimensional este definit aici ca un set de procese aleatoare independente, corelate.

Se poate arăta (vezi, de exemplu,) că atunci când este expusă la zgomot alb, matricea spectrală a procesului la ieșire - filtru dimensional pentru timp continuu și, respectiv, discret, este legată de matricea de transfer a filtrului prin relații

(2.108)

unde simbolul denotă matricea transpusă.

În consecință, pentru a obține un proces aleator -dimensional cu o matrice spectrală dată, este necesar să treceți zgomotul alb -dimensional printr-un filtru de modelare -dimensional, a cărui matrice de transfer satisface ecuațiile (2.108). Pentru a găsi matricea de transfer dintr-o matrice spectrală dată, este necesară împărțirea acesteia din urmă în doi factori de forma (2.108). Această procedură se numește factorizarea matricelor spectrale. Poate fi implementat folosind algoritmi cunoscuți.

Filtrarea multidimensională a zgomotului alb este destul de simplă: fiecare componentă proces aleatoriu la ieșirea unui filtru dimensional cu o matrice de transfer este obținut prin însumarea componentelor proces de intrare, filtrat prin filtre unidimensionale cu funcții de transfer [vezi. formula (2.107)]. Algoritmii de filtrare unidimensionali sunt discutați mai sus.

Cu această metodă de modelare, sunt posibile două moduri: 1) o matrice spectrală dată a unui proces aleator continuu-dimensional poate fi factorizată direct pentru a obține matricea de transfer a unui filtru de modelare continuă și apoi, folosind metodele exacte sau aproximative de discretizare a continuului filtrele descrise mai sus, filtrarea multidimensională a albului continuu poate fi efectuată de zgomot; 2) dată fiind matricea spectrală a unui proces -dimensional continuu, folosind transformarea -, puteți găsi matricea spectrală a procesului aleator discret corespunzător (vezi § 2.3), apoi, prin factorizare, găsiți funcția de transfer a filtrului de modelare discretă , și apoi efectuați filtrarea multidimensională a zgomotului alb discret.

Cele mai mari dificultăți se întâlnesc la factorizarea matricelor spectrale. În prezent, algoritmi au fost dezvoltați pentru factorizarea numai a matricelor spectrale raționale, adică a unor astfel de matrici ale căror elemente sunt funcții fracționale-raționale ale argumentelor sau .

Să descriem, omițând dovezi, unul dintre algoritmii de factorizare a matricelor spectrale raționale, preluat din.

Să fie dată o matrice spectrală rațională

.

Matricea poate fi redusă la formă

prin următoarele transformări.

1. Se determină rangul matricei, apoi unul dintre minorii majori ai ordinului este situat în colțul din stânga sus al matricei.

2. Matricea este redusă la formă diagonală. Pentru a face acest lucru, primul rând înmulțit cu - se adaugă la al-lea rând al matricei, apoi prima coloană înmulțită cu ; rezultatul este o matrice

, (2.109)

unde sunt elementele matricei

arată ca

(2.110)

Cu matricea se efectuează aceleași transformări ca și cu matricea originală . Continuarea acestui proces la pasul a treia produce o matrice diagonală

astfel încât .

3. Este localizată matricea auxiliară

ale căror elemente au următoarea formă:

(2.111)

unde sunt determinate din relaţiile de recurenţă

(2.112)

4. Găsiți polinoame auxiliare

Unde - zerourile de polinoame , situate în semiplanul inferior, numărate de câte ori multiplicitatea lor maximă și sunt numitorii funcțiilor raționale fracționale, care sunt elemente ale matricei:

.

5. Conform metodei discutate în § 2.9, paragraful 2, funcții fracționale-raționale

sunt prezentate sub formă

,

unde polinoamele și nu au zerouri în semiplanul inferior.

Acest lucru completează procesul de factorizare. În cele din urmă, matricea de transfer a filtrului de modelare este scrisă sub formă

(2.113)

Aici descriem un algoritm pentru factorizarea matricelor spectrale raționale ale proceselor multidimensionale continue. Factorizarea matricelor spectrale ale proceselor discrete se realizează într-un mod similar, numai că în loc de rădăcini situate în semiplanul inferior, sunt luate rădăcini situate în cercul unitar.

Exemplul 1. Să fie dat un proces aleator centrat staționar continuu bidimensional cu o matrice de corelație

, (2.114)

unde sunt unele constante pozitive și .

Matricea de corelație corespunzătoare matricei spectrale (2.114) are forma

, (2.115)

Unde Și - momentele de autocorelare şi corelaţie reciprocă ale proceselor şi, respectiv; - coeficientul de corelare încrucișată a proceselor și a momentelor de timp coincidente. Coeficienții și reprezintă în acest caz lățimea (la nivelul de 0,5) a spectrelor de energie și spectrul energetic reciproc al proceselor și .

Este necesară factorizarea matricei spectrale (2.114) pentru a obține matricea de transfer a filtrului de modelare.

Vom efectua procedura de factorizare pas cu pas în conformitate cu algoritmul de factorizare de mai sus.

1. În acest caz, rangul matricei spectrale este.

2. Reducerea matricei la diagonală necesită un pas. Folosind formulele (2.109) și (2.110) obținem

.

3. În conformitate cu expresiile (2.111) și (2.112), matricea auxiliară are forma

4. În cazul luat în considerare, trebuie să găsiți un singur polinom auxiliar. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile numitorului elementului de matrice, adică rădăcinile polinomului. Aceste rădăcini sunt egale

Prin urmare,

.

5. În etapa finală, este necesară factorizarea funcțiilor fracționale-raționale

În acest caz, rădăcinile numărătorilor și numitorilor funcțiilor raționale fracționale sunt ușor de calculat. Folosind rădăcinile situate în semiplanul superior (rădăcini cu părți imaginare pozitive), obținem pentru variabilă:

.

În fig. Figura 2.9 prezintă o diagramă bloc a unui filtru de modelare bidimensional, la ieșirea căruia se formează un proces aleator bidimensional cu caracteristicile spectrale necesare dacă se aplică zgomot alb la intrarea filtrului. Înlocuind un filtru bidimensional continuu cu un filtru discret corespunzător, obținem un algoritm pentru generarea de implementări discrete ale unui proces normal aleator bidimensional pe un computer digital, adică implementări discrete a două procese aleatoare normale staționare și staționare cu exponențial. funcții de auto- și corelație încrucișată de forma (2.115).

O altă abordare a sintetizării unui filtru de modelare necesită mai întâi găsirea matricei spectrale a procesului aleator multidimensional discret corespunzător. În exemplul luat în considerare, această matrice are forma

Și matrice (2.116).

Exemplul luat în considerare arată că factorizarea matricelor spectrale se realizează relativ simplu dacă este posibil să se găsească analitic zerourile polinoamelor corespunzătoare. La factorizarea matricei spectrale a unui proces bidimensional continuu, acest lucru nu a fost dificil, deoarece pentru a determina zerourile a fost necesar să se rezolve doar ecuații pătratice și biquadratice. La factorizarea matricei spectrale a unui proces bidimensional discret au existat ecuații pătratice și o ecuație reciprocă de gradul al patrulea, care admite și o soluție analitică.

În alte cazuri, mai complexe, zerourile polinomului nu pot fi găsite întotdeauna analitic. În aceste cazuri, se recurge la metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I. În general, procesul de factorizare poate fi implementat pe un computer digital ca program standard. În acest scop, pe lângă cel prezentat aici, pot fi utilizați și alți algoritmi de factorizare.

Trebuie remarcat faptul că toți algoritmii existenți în prezent pentru factorizarea matricelor spectrale sunt, în general, foarte intensivi în muncă.

Prognoza analitică a proceselor multidimensionale.

Metoda parametrilor generalizati.

Scopul lucrării: studiul tehnicilor practice de prezicere a stării unui obiect multiparametric.

Scurte informații teoretice:

Modificarea stării sistemelor tehnice poate fi considerată ca un proces caracterizat prin modificări ale unui anumit set de parametri. Poziția vectorului de stare în spațiu determină gradul de performanță a sistemului. Starea sistemului este caracterizată de un vector în spațiu k-dimensional, unde coordonatele spațiului sunt k parametri de sistem , .

Prognoza de stat se reduce la o monitorizare preliminară periodică a parametrilor; determinarea în momentele t i T 1 de control al funcţiei de stat

Q =Q[ ] și calcularea valorilor funcției de stare Q în intervalul de timp T 2 > T 1 .

Mai mult, cu cât vectorul de stare este situat mai departe de hipersuprafața valorilor admisibile ale gradului de performanță Q*, cu atât performanța sistemului diagnosticat este mai mare. Cu cât diferența * este mai mică, cu atât nivelul de performanță este mai scăzut.

Utilizarea metodelor de prognoză analitică presupune schimbări regulate ale componentelor procesului în timp.

Ideea metodei parametrilor generalizați este că un proces caracterizat de multe componente este descris de o funcție unidimensională, ale cărei valori numerice depind de componentele controlate ale procesului. O astfel de funcție este considerată un parametru de proces generalizat. În acest caz, se poate dovedi că parametrul generalizat nu are o semnificație fizică specifică, ci este o expresie matematică construită artificial din componente controlate ale procesului prezis.

La generalizarea parametrilor care caracterizează gradul de operabilitate a sistemelor tehnice, este necesar să se rezolve următoarele probleme:

Determinarea valorilor relative ale parametrilor primari;

Estimarea semnificației parametrului primar pentru aprecierea stării obiectului;

Construirea unei expresii matematice pentru un parametru generalizat.

Determinarea valorilor relative ale parametrilor primari este necesară datorită faptului că starea unui obiect poate fi caracterizată prin parametri cu dimensiuni diferite. Prin urmare, toți parametrii primari controlați ar trebui reduși la un singur sistem de calcul în care să poată fi comparabili. Un astfel de sistem este un sistem de calcul relativ adimensional (normalizat).

În realitate, pentru fiecare parametru ,s = 1, 2, ..., k, este posibilă selectarea unei valori acceptabile, * , la atingerea căreia obiectul își pierde funcționalitatea, iar valoarea optimă optează (deseori este egală cu valoarea nominală n).

Lăsați condiția să fie îndeplinită în timpul funcționării obiectului. Dacă , trebuie doar să introduceți un nou parametru în locație și atunci condiția cerută va fi îndeplinită.

Să scriem parametrul fără dimensiune (normalizat) sub forma:

Unde , și la , și atunci când .

Astfel, folosind expresia (1), parametrul este normalizat, iar valoarea normalizată adimensională se modifică în timp de la 1 la 0. De aici, după valoare, se poate judeca gradul de performanță al obiectului pentru acest parametru. Teoretic poate fi, dar asta înseamnă că în practică obiectul este inoperabil.

Puteți specifica diverse expresii normalizate care sunt convenabile atunci când rezolvați anumite probleme, de exemplu:

etc., unde – respectiv curent, zero, mat. aşteptând parametrul S-th.

Utilizarea expresiilor de normalizare ne permite să obținem un set de mărimi adimensionale care caracterizează starea obiectului. Cu toate acestea, o modificare cantitativ identică a acestor cantități nu este echivalentă în ceea ce privește gradul de influență asupra modificării performanței obiectului, de aceea este necesar să se diferențieze parametrii primari. Acest proces se realizează folosind coeficienți de ponderare, ale căror valori caracterizează importanța parametrilor corespunzători pentru esența fizică a problemei. În acest caz, lăsați parametrii obiectului coeficienții de greutate corespund , care să îndeplinească anumite criterii specificate și .

Gradul de performanță al unui obiect bazat pe o varietate de parametri controlați poate fi evaluat folosind o expresie generală

Unde este un parametru de obiect generalizat.

Expresia (2) este o medie liniară. Din definirea unui parametru generalizat rezultă că cu cât valoarea este mai mare și cu atât contribuția termenului S – al-lea (parametru) la .

Un parametru generalizat poate fi definit folosind o expresie a formei

, (3)

care este o medie neliniară. Pentru un astfel de model este îndeplinită și condiția: cu cât este mai mare și, cu atât este mai mare contribuția adusă de termen in marime.

În practică, sunt utilizate și alte forme de înregistrare a mediei neliniare, de exemplu:

, (4)

, (5)

unde selectează astfel încât (5) să ofere cea mai bună aproximare a rezultatelor obţinute experimental.

Când se iau în considerare expresiile pentru parametrul generalizat, s-a presupus că acesta nu își schimbă semnul, adică întotdeauna . Dacă este necesar să se țină seama de semn, expresia (2) se transformă în formă

, (6)

Astfel, utilizarea unui parametru generalizat ne permite să reducem problema de a prezice starea unui obiect multiparametru la prezicerea unei funcții de timp unidimensionale.

Exemplu. Testele obiectului timp de 250 de ore, în care au fost controlați 6 parametri, au dat rezultatele prezentate în tabelul 1.

tabelul 1

După normalizarea valorilor parametrilor folosind expresia (1), tabelul ia forma (tabelul 2)

masa 2

Paginile 513-523

Procese multidimensionale

Până acum am luat în considerare modele care constau dintr-o singură relație care conectează serii de timp. În acest caz, am ales una dintre variabile ca fiind endogene, iar variabilele rămase au fost exogene. O astfel de împărțire nu este întotdeauna naturală, este adesea necesar să se considere simultan mai multe relații în care aceleași variabile sunt incluse atât ca endogene, cât și ca exogene. După cum sa văzut în ultima prelegere, o variabilă nu poate fi întotdeauna tratată ca exogenă și, de fapt, trebuie să luăm în considerare un model DGP format din mai multe ecuații. Aceasta înseamnă modelarea mai multor serii de timp în același timp, cu alte cuvinte - modelarea unui proces aleator multivariat.

Să începem cu definiția. Luați în considerare un vector =(xt 1,xt2,...,xtk)T, a cărui componentă este o serie temporală. Superscriptul va indica numărul componentei, iar indicele inferior, ca mai înainte, va indica momentul în timp. distribuția componentelor este caracterizată printr-o familie de densități de distribuție comune de forma: f n ( Xt1i1,xt2i2,..., xtnîn)‚ n=1‚2,.... Condiția staționarității în sens restrâns este încă independența întregii familii de densități de distribuție comune față de decalajul temporal. Abia acum, pe lângă toate combinațiile posibile de valori ale unui proces aleatoriu în momente diferite, argumentele densităților de probabilitate sunt, de asemenea, toate combinațiile posibile ale diferitelor componente în momente diferite. De exemplu, pentru densitatea bidimensională obținem din condiția de staționaritate: f 2 (Xt 1 ,Xt 2 ) = f 2 (x 1t + r, x 2t + r) pentru orice τ. Distribuția comună a componentelor pentru același punct în timp nu depinde de timp. Să luăm în considerare o altă funcție de distribuție, de exemplu una tridimensională, care include valorile primei componente în două momente diferite de timp și ale celei de-a doua componente într-un al treilea punct de timp. Staționaritatea înseamnă asta f 3 (Xt 1 ,Xt + h 1 ,Xt + s 2 ) = f 3 (x 1t + τ , x 2t + s + τ ) . Putem spune că aceasta este proprietatea invarianței la o schimbare de timp. Adică, dacă adăugăm valoarea τ la fiecare instant de timp, funcția de densitate nu se va modifica. Este clar că staționaritatea unui proces multidimensional implică staționaritatea fiecăreia dintre componentele sale.

Ca și în cazul unidimensional, staționaritatea în sens restrâns implică o serie de proprietăți ale caracteristicilor proceselor aleatorii. În primul rând, să începem cu așteptarea matematică. Așteptările matematice pentru fiecare componentă nu depind de alte componente. Prin urmare, dacă un proces multidimensional este staționar, așteptarea matematică a fiecărei componente nu depinde de timp. Vectorul așteptărilor matematice E( nu depinde de timp.

Acum să ne uităm la momentele de ordinul doi. Fiecare componentă este caracterizată de o funcție de dispersie și de autocorelare. Dacă o serie unidimensională este staționară, funcțiile sale de autocorelare și autocovarianță depind doar de deplasarea τ: Corr(τ) = Corr( Xti,Xjt + r) = р i (τ), totuși, acum putem lua în considerare al doilea moment mixt pentru diferite componente, precum și Corr( Xti,Xjt + r). Este firesc să numim o astfel de cantitate o funcție de corelație încrucișată. Dacă componentele formează un proces staționar multivariat, atunci corelația încrucișată va fi o funcție a deplasării în timp τ. Să notăm această funcție R ij (τ) . Este destul de evident că R ij (τ) = R ji (-τ) . Pentru o valoare fixă ​​a lui τ elementele R ij (τ) formează o matrice R în funcție de τ. Valoarea lui τ egală cu zero corespunde matricei de corelație a vectorului