Definiția 1. Dimensiunea matricei Am n este un tabel dreptunghiular de m rânduri și n coloane, format din numere sau alte expresii matematice (numite elemente de matrice), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, sau

Definiția 2. Două matrice
Și
se numesc aceeași dimensiune egal, dacă acestea coincid element cu element, i.e. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Folosind matrice, este ușor de înregistrat unele dependențe economice, de exemplu, tabele de distribuție a resurselor pentru anumite sectoare ale economiei.

Definiția 3. Dacă numărul de rânduri ale unei matrice coincide cu numărul coloanelor acesteia, i.e. m = n, atunci se numește matricea ordine pătratăn, in caz contrar dreptunghiular.

Definiția 4. Tranziția de la matricea A la matricea A m, în care rândurile și coloanele sunt schimbate menținând ordinea, se numește transpunere matrici.

Tipuri de matrice: pătrat (dimensiunea 33) -
,

dreptunghiular (dimensiune 25) -
,

diagonala -
, singur -
, zero -
,

matrice-rând -
, matrice-coloană -.

Definiția 5. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n cu aceiași indici se numesc elemente ale diagonalei principale, adică. acestea sunt elementele:
.

Definiția 6. Elementele unei matrice pătrate de ordinul n se numesc elemente ale diagonalei secundare dacă suma indicilor lor este egală cu n + 1, adică. acestea sunt elementele: .

1.2. Operații pe matrice.

1 0 . Cantitate două matrice
Și
de aceeași dimensiune se numește matrice C = (cu ij), ale cărei elemente sunt determinate de egalitatea cu ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Proprietățile operației de adunare a matricei.

Pentru orice matrice A, B, C de aceeași dimensiune, sunt valabile următoarele egalități:

1) A + B = B + A (comutativitate),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (asociativitate).

2 0 . Munca matrici
pe număr  numită matrice
aceeași dimensiune ca matricea A și b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Proprietățile operației de înmulțire a unei matrice cu un număr.

(A) = ()A (asociativitatea înmulțirii);

(A+B) = A+B (distributivitatea înmulțirii relativ la adunarea matricei);

(+)A = A+A (distributivitatea înmulțirii relativ la adunarea numerelor).

Definiția 7. Combinație liniară de matrici
Și
de aceeași dimensiune se numește expresie de forma A+B, unde  și  sunt numere arbitrare.

3 0 . Produsul A  În matrice A și, respectiv, B de dimensiunea mn și nk, se numesc matrice C de dimensiunea mk, astfel încât elementul cu ij este egal cu suma produselor elementelor din rândul i. a matricei A și a j-a coloană a matricei B, adică. cu ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Produsul AB există numai dacă numărul de coloane ale matricei A coincide cu numărul de rânduri ale matricei B.

Proprietățile operației de înmulțire a matricei:

(AB)C = A(BC) (asociativitate);

(A+B)C = AC+BC (distributivitatea în raport cu adăugarea matricei);

A(B+C) = AB+AC (distributivitatea în raport cu adăugarea matricei);

AB  BA (nu comutativ).

Definiția 8. Matricele A și B, pentru care AB = BA, se numesc navetă sau navetă.

Înmulțirea unei matrice pătrate de orice ordin cu matricea de identitate corespunzătoare nu schimbă matricea.

Definiția 9. Transformări elementare Următoarele operații se numesc matrice:

Schimbați două rânduri (coloane).

Înmulțirea fiecărui element al unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero.

Adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare ale altui rând (coloană).

Definiția 10. Matricea B obținută din matricea A folosind transformări elementare se numește echivalent(notat cu BA).

Exemplul 1.1. Găsiți o combinație liniară de matrice 2A–3B dacă

,
.

,
,

.

Exemplu 1.2. Aflați produsul matricelor
, Dacă

.

Rezolvare: deoarece numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice, atunci produsul matricelor există. Ca rezultat, obținem o nouă matrice
, Unde

Ca rezultat obținem
.

Curs 2. Determinanti. Calculul determinanților de ordinul doi și trei. Proprietățile determinanțilorn-a comanda.

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului. Folosind acest serviciu online puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice aliată și matrice inversă. Decizia se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instrucțiuni. Pentru a obține o soluție, este necesar să se precizeze dimensiunea matricei. Apoi, completați matricea A în noua casetă de dialog.

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordano-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, altfel matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Ei fac o verificare: înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul nr. 1. Să scriem matricea sub forma:

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflați determinantul unei matrice pătrate date A.
2. Găsim complemente algebrice la toate elementele matricei A.
3. Scriem adunări algebrice ale elementelor rând în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.

Acesta este un concept care generalizează toate operațiile posibile efectuate cu matrice. Matricea matematică - tabelul elementelor. Despre o masă unde m linii şi n coloane, se spune că această matrice are dimensiunea m pe n.

Vedere generală a matricei:

Pentru soluții matriceale este necesar să înțelegeți ce este o matrice și să cunoașteți parametrii ei principali. Elementele principale ale matricei:

• Diagonala principală, constând din elemente un 11, un 22…..a mn.
• Diagonala laterală formată din elemente a 1n , a 2n-1 .....a m1.

Principalele tipuri de matrice:

• Pătratul este o matrice în care numărul de rânduri = numărul de coloane ( m=n).
• Zero - unde toate elementele matricei = 0.
• Matrice transpusă - matrice ÎN, care a fost obținut din matricea originală A prin înlocuirea rândurilor cu coloane.
• Unitate - toate elementele diagonalei principale = 1, toate celelalte = 0.
• O matrice inversă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu matricea originală, are ca rezultat o matrice de identitate.

Matricea poate fi simetrică în raport cu diagonalele principale și secundare. Adică dacă a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, atunci matricea este simetrică față de diagonala principală. Doar matricele pătrate pot fi simetrice.

Metode de rezolvare a matricilor.

Aproape tot metode de rezolvare a matricei consta in gasirea determinantului acestuia n-a ordine și majoritatea sunt destul de greoaie. Pentru a găsi determinantul ordinului 2 și 3 există alte metode, mai raționale.

Găsirea determinanților de ordinul 2.

Pentru a calcula determinantul unei matrice A Ordinul 2, este necesar să se scadă produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale:

Metode de găsire a determinanților de ordinul 3.

Mai jos sunt regulile pentru găsirea determinantului de ordinul 3.

Regula simplificată a triunghiului ca una dintre metode de rezolvare a matricei, poate fi descris astfel:

Cu alte cuvinte, produsul elementelor din primul determinant care sunt legate prin linii drepte este luat cu semnul „+”; De asemenea, pentru al 2-lea determinant, produsele corespunzătoare sunt luate cu semnul „-”, adică conform următoarei scheme:

La rezolvarea matricilor folosind regula lui Sarrus, în dreapta determinantului, se adună primele 2 coloane și produsele elementelor corespunzătoare de pe diagonala principală și pe diagonalele care sunt paralele cu acesta se iau cu semnul „+”; și produsele elementelor corespunzătoare ale diagonalei secundare și diagonalele care sunt paralele cu aceasta, cu semnul „-”:

Descompunerea determinantului într-un rând sau coloană la rezolvarea matricilor.

Determinantul este egal cu suma produselor elementelor rândului determinantului și a complementelor lor algebrice. De obicei este selectat rândul/coloana care conține zerouri. Rândul sau coloana de-a lungul căreia se efectuează descompunerea va fi indicată printr-o săgeată.

Reducerea determinantului la formă triunghiulară la rezolvarea matricilor.

La rezolvarea matricilor metoda de reducere a determinantului la o formă triunghiulară, funcționează astfel: folosind cele mai simple transformări pe rânduri sau coloane, determinantul devine triunghiular și apoi valoarea sa, în conformitate cu proprietățile determinantului, va fi egală cu produsul a elementelor care se află pe diagonala principală.

Teorema lui Laplace pentru rezolvarea matricilor.

Când rezolvați matrice folosind teorema lui Laplace, trebuie să cunoașteți teorema în sine. Teorema lui Laplace: Fie Δ - acesta este un factor determinant n-a comanda. Selectăm oricare k rânduri (sau coloane), furnizate k≤ n - 1. În acest caz, suma produselor tuturor minorilor k-a ordine conținută în selectat k rândurile (coloanele), prin complementele lor algebrice vor fi egale cu determinantul.

Rezolvarea matricei inverse.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

1. Determinați dacă o matrice dată este pătrată. Dacă răspunsul este negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
2. Calculăm complemente algebrice.
3. Compunem o matrice de unire (mutuală, adjunctă). C.
4. Compunem matricea inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea finală va fi matricea inversă necesară față de cea dată.
5. Verificăm munca efectuată: înmulțiți matricea inițială și matricea rezultată, rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Rezolvarea sistemelor matriceale.

Pentru solutii ale sistemelor matriceale Cel mai des este folosită metoda Gaussiană.

Metoda Gauss este o metodă standard de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) și constă în faptul că variabilele sunt eliminate succesiv, adică, cu ajutorul modificărilor elementare, sistemul de ecuații este adus la un sistem echivalent de triunghiuri. forma si din ea, secvential, pornind de la aceasta din urma (dupa numar), gasiti fiecare element al sistemului.

metoda Gauss este cel mai versatil și cel mai bun instrument pentru găsirea de soluții matrice. Dacă un sistem are un număr infinit de soluții sau sistemul este incompatibil, atunci nu poate fi rezolvat folosind regula lui Cramer și metoda matricei.

Metoda Gauss presupune, de asemenea, mișcări directe (reducerea matricei extinse la o formă în trepte, adică obținerea de zerouri sub diagonala principală) și inversă (obținerea de zerouri deasupra diagonalei principale a matricei extinse). Mișcarea înainte este metoda Gauss, mișcarea inversă este metoda Gauss-Jordan. Metoda Gauss-Iordan diferă de metoda Gauss doar în succesiunea eliminării variabilelor.

În acest subiect vom lua în considerare conceptul de matrice, precum și tipurile de matrice. Deoarece există o mulțime de termeni în acest subiect, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

Definirea unei matrice și a elementului ei. Notaţie.

Matrice este un tabel de $m$ rânduri și $n$ coloane. Elementele unei matrice pot fi obiecte cu totul diferită: numere, variabile sau, de exemplu, alte matrici. De exemplu, matricea $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ conține 3 rânduri și 2 coloane; elementele sale sunt numere întregi. Matricea $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ conține 2 rânduri și 4 coloane.

Diferite moduri de a scrie matrice: show\hide

Matricea poate fi scrisă nu numai rotundă, ci și în paranteze drepte pătrate sau duble. Adică, intrările de mai jos înseamnă aceeași matrice:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Se numește produsul $m\n$ dimensiunea matricei. De exemplu, dacă o matrice conține 5 rânduri și 3 coloane, atunci vorbim de o matrice de dimensiunea $5\xtime 3$. Matricea $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ are dimensiunea $3 \times 2$.

De obicei, matricele sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin: $A$, $B$, $C$ și așa mai departe. De exemplu, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numerotarea liniilor merge de sus în jos; coloane - de la stânga la dreapta. De exemplu, primul rând al matricei $B$ conține elementele 5 și 3, iar a doua coloană conține elementele 3, -87, 0.

Elementele matricelor sunt de obicei notate cu litere mici. De exemplu, elementele matricei $A$ sunt notate cu $a_(ij)$. Indicele dublu $ij$ contine informatii despre pozitia elementului in matrice. Numărul $i$ este numărul rândului, iar numărul $j$ este numărul coloanei, la intersecția căreia se află elementul $a_(ij)$. De exemplu, la intersecția celui de-al doilea rând și a cincea coloană a matricei $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

În același mod, la intersecția primului rând și a primei coloane avem elementul $a_(11)=51$; la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană - elementul $a_(32)=-15$ și așa mai departe. Rețineți că intrarea $a_(32)$ citește „a trei doi”, dar nu „a treizeci și doi”.

Pentru a prescurta matricea $A$, a cărei dimensiune este $m\times n$, se folosește notația $A_(m\times n)$. Îl poți scrie puțin mai detaliat:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

unde notația $(a_(ij))$ indică elementele matricei $A$. În forma sa complet extinsă, matricea $A_(m\times n)=(a_(ij))$ poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Să introducem un alt termen - matrici egale.

Două matrice de aceeași dimensiune $A_(m\times n)=(a_(ij))$ și $B_(m\times n)=(b_(ij))$ sunt numite egal, dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale, i.e. $a_(ij)=b_(ij)$ pentru toți $i=\overline(1,m)$ și $j=\overline(1,n)$.

Explicație pentru intrarea $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notația „$i=\overline(1,m)$” înseamnă că parametrul $i$ variază de la 1 la m. De exemplu, notația $i=\overline(1,5)$ indică faptul că parametrul $i$ ia valorile 1, 2, 3, 4, 5.

Deci, pentru ca matricele să fie egale, trebuie îndeplinite două condiții: coincidența dimensiunilor și egalitatea elementelor corespunzătoare. De exemplu, matricea $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ nu este egală cu matricea $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ deoarece matricea $A$ are dimensiunea $3\x 2$ și matricea $B$ are dimensiunea $2\times $2. De asemenea, matricea $A$ nu este egală cu matricea $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , deoarece $a_( 21)\neq c_(21)$ (adică $0\neq 98$). Dar pentru matricea $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ putem scrie în siguranță $A= F$ deoarece atât dimensiunile, cât și elementele corespunzătoare ale matricelor $A$ și $F$ coincid.

Exemplul nr. 1

Determinați dimensiunea matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(matrice) \right)$. Indicați cu ce sunt egale elementele $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Această matrice conține 5 rânduri și 3 coloane, deci dimensiunea sa este $5\times 3$. De asemenea, puteți utiliza notația $A_(5\times 3)$ pentru această matrice.

Elementul $a_(12)$ se află la intersecția primului rând și a celei de-a doua coloane, deci $a_(12)=-2$. Elementul $a_(33)$ se află la intersecția celui de-al treilea rând și a treia coloană, deci $a_(33)=23$. Elementul $a_(43)$ se află la intersecția celui de-al patrulea rând și a treia coloană, deci $a_(43)=-5$.

Răspuns: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipuri de matrice în funcție de dimensiunea acestora. Diagonalele principale și secundare. Urmă matriceală.

Fie dată o anumită matrice $A_(m\times n)$. Dacă $m=1$ (matricea constă dintr-un rând), atunci matricea dată este numită matrice-rând. Dacă $n=1$ (matricea constă dintr-o coloană), atunci se numește o astfel de matrice matrice-coloană. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ este o matrice de rânduri, iar $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ este o matrice de coloană.

Dacă matricea $A_(m\times n)$ satisface condiția $m\neq n$ (adică numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane), atunci se spune adesea că $A$ este un dreptunghiular matrice. De exemplu, matricea $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ are dimensiunea $2\times 4 $, acelea. conține 2 rânduri și 4 coloane. Deoarece numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane, această matrice este dreptunghiulară.

Dacă matricea $A_(m\times n)$ satisface condiția $m=n$ (adică numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane), atunci $A$ se spune că este o matrice pătrată de ordinul $ n$. De exemplu, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ este o matrice pătrată de ordinul doi; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ este o matrice pătrată de ordinul trei. În general, matricea pătrată $A_(n\times n)$ poate fi scrisă după cum urmează:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementele $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ se spune că sunt pe diagonala principală matrice $A_(n\ori n)$. Aceste elemente sunt numite elementele diagonale principale(sau doar elemente diagonale). Elementele $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sunt activate diagonală laterală (minoră).; ei sunt numiti, cunoscuti elemente diagonale laterale. De exemplu, pentru matricea $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( matrice) \right)$ avem:

Elementele $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sunt principalele elemente diagonale; elementele $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sunt elemente diagonale laterale.

Se numește suma elementelor diagonale principale urmată de matriceși este notat cu $\Tr A$ (sau $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

De exemplu, pentru matricea $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ avem:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Conceptul de elemente diagonale este folosit și pentru matrici nepătrate. De exemplu, pentru matricea $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ elementele diagonale principale vor fi $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipuri de matrice în funcție de valorile elementelor lor.

Dacă toate elementele matricei $A_(m\times n)$ sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește nulși este de obicei notat cu litera $O$. De exemplu, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matrice zero.

Fie matricea $A_(m\times n)$ să aibă următoarea formă:

Apoi această matrice este numită trapezoidal. Este posibil să nu conțină zero rânduri, dar dacă există, acestea sunt situate în partea de jos a matricei. Într-o formă mai generală, o matrice trapezoidală poate fi scrisă după cum urmează:

Din nou, liniile nule finale nu sunt necesare. Acestea. Formal, putem distinge următoarele condiții pentru o matrice trapezoidală:

1. Toate elementele de sub diagonala principală sunt zero.
2. Toate elementele de la $a_(11)$ la $a_(rr)$ situate pe diagonala principală nu sunt egale cu zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Fie toate elementele ultimelor $m-r$ rânduri sunt zero, fie $m=r$ (adică nu există niciun rând zero).

Exemple de matrici trapezoidale:

Să trecem la următoarea definiție. Se numește matricea $A_(m\times n)$ călcat, dacă îndeplinește următoarele condiții:

De exemplu, matricele pasilor ar fi:

Pentru comparație, matricea $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nu este eșalon deoarece al treilea rând are aceeași parte zero ca și al doilea rând. Adică, principiul „cu cât linia este mai mică, cu atât partea zero este mai mare” este încălcat. Voi adăuga că o matrice trapezoidală este un caz special al unei matrice în trepte.

Să trecem la următoarea definiție. Dacă toate elementele unei matrice pătrate situate sub diagonala principală sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește matricea triunghiulară superioară. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ este o matrice triunghiulară superioară. Rețineți că definiția unei matrici triunghiulare superioare nu spune nimic despre valorile elementelor situate deasupra diagonalei principale sau a diagonalei principale. Ele pot fi zero sau nu - nu contează. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ este, de asemenea, o matrice triunghiulară superioară.

Dacă toate elementele unei matrice pătrate situate deasupra diagonalei principale sunt egale cu zero, atunci o astfel de matrice se numește matricea triunghiulară inferioară. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triunghiulară inferioară. Rețineți că definiția unei matrici triunghiulare inferioare nu spune nimic despre valorile elementelor situate sub sau pe diagonala principală. Ele pot fi zero sau nu - nu contează. De exemplu, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ și $\left(\ begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sunt, de asemenea, matrici triunghiulare inferioare.

Matricea pătrată se numește diagonală, dacă toate elementele acestei matrice care nu se află pe diagonala principală sunt egale cu zero. Exemplu: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ sfârşit(matrice)\dreapta)$. Elementele de pe diagonala principală pot fi orice (egale cu zero sau nu) - nu contează.

Matricea diagonală se numește singur, dacă toate elementele acestei matrice situate pe diagonala principală sunt egale cu 1. De exemplu, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice de identitate de ordinul al patrulea; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ este matricea de identitate de ordinul doi.

Matrice dimensiunea este un tabel de numere care conține rânduri și coloane. Numerele sunt numite elemente ale acestei matrice, unde este numărul rândului, este numărul coloanei la intersecția căreia se află acest element. O matrice care conține rânduri și coloane are forma: .

Tipuri de matrice:

1) la - pătrat , și ei sună ordinea matricei ;

2) o matrice pătrată în care toate elementele nediagonale sunt egale cu zero

– diagonală ;

3) o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale

unitate - singur și se notează cu ;

4) la - dreptunghiular ;

5) când – matricea rândului (vector rând);

6) când – matrice-coloană (vector-coloană);

7) pentru toți – matrice zero.

Rețineți că principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate este determinantul acesteia. Determinantul corespunzător unei matrice de ordinul al treilea are și ordinul al treilea.

Determinant al unei matrice de ordinul I număr numit.

Determinant al unei matrice de ordinul 2 număr numit . (1.1)

Determinant al unei matrice de ordinul 3 număr numit . (1.2)

Să prezentăm definițiile necesare pentru o prezentare ulterioară.

Minor M ij element A ij matrici n- ordinul A se numește determinantul matricei ( n-1)- ordinul obtinut din matricea A prin stergere i-a linia și j a coloana.

Complementul algebric A ij element A ij matrici n- de ordinul A este minorul acestui element, luat cu semnul .

Să formulăm proprietățile de bază ale determinanților care sunt inerente determinanților tuturor ordinelor și să simplificăm calculul acestora.

1. Când o matrice este transpusă, determinantul ei nu se schimbă.

2. La rearanjarea a două rânduri (coloane) ale unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul.

3. Un determinant care are două rânduri (coloane) proporționale (egale) este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

5. Dacă elementele oricărui rând (coloană) a unui determinant sunt suma a doi termeni, atunci determinantul poate fi descompus în suma a doi determinanți corespunzători.

6. Determinantul nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare din celălalt rând (coloană) a acestuia, înmulțite anterior cu orice număr, sunt adăugate elementelor oricăruia dintre rândurile (coloanelor) ale acestuia.

7. Determinantul unei matrice este egal cu suma produselor elementelor oricăreia dintre rândurile (coloanele) ale acesteia prin complementele algebrice ale acestor elemente.

Să explicăm această proprietate folosind exemplul unui determinant de ordinul 3. În acest caz, proprietatea 7 înseamnă că – descompunerea determinantului în elemente de pe primul rând. Rețineți că pentru descompunere, selectați rândul (coloana) în care există zero elemente, deoarece termenii corespunzători din descompunere devin zero.

Proprietatea 7 este o teoremă de descompunere determinantă formulată de Laplace.

8. Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unui determinant prin complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale celuilalt rând (coloană) a acestuia este egală cu zero.

Ultima proprietate este adesea numită pseudo-descompunere a determinantului.

Întrebări de autotest.

1. Ce se numește matrice?

2. Care matrice se numește pătrat? Ce se înțelege prin ordinul său?

3. Ce matrice se numește diagonală, identitate?

4. Care matrice se numește matrice de rând și matrice de coloană?

5. Care este principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate?

6. Ce număr se numește determinantul ordinului 1, 2 și 3?

7. Ce se numește complementul minor și algebric al unui element de matrice?

8. Care sunt principalele proprietăți ale determinanților?

9. Utilizând ce proprietate se poate calcula determinantul oricărei ordine?

Acțiuni asupra matricelor(schema 2)

Un număr de operații sunt definite pe un set de matrice, principalele fiind următoarele:

1) transpunere – înlocuirea rândurilor matricei cu coloane, iar coloanelor cu rânduri;

2) înmulțirea unei matrice cu un număr se face element cu element, adică , Unde , ;

3) adunarea matricei, definită numai pentru matrice de aceeași dimensiune;

4) înmulțirea a două matrici, definită numai pentru matrice potrivite.

Suma (diferența) a două matrici se numește o astfel de matrice rezultată, fiecare element al cărei element este egal cu suma (diferența) elementelor corespunzătoare comenzilor matricei.

Cele două matrici sunt numite ne-am înțeles asupra , dacă numărul de coloane al primei este egal cu numărul de rânduri al celuilalt. Produsul a două matrici potrivite și o astfel de matrice rezultată se numește , Ce , (1.4)

Unde , . Rezultă că elementul rândului al treilea și al coloanei a treia a matricei este egal cu suma produselor perechi ale elementelor din rândul al treilea al matricei și elementelor coloanei a treia a matricei.

Produsul matricelor nu este comutativ, adică A . B B . A. O excepție este, de exemplu, produsul dintre matrice pătrate și unitatea A . E = E . A.

Exemplul 1.1.Înmulțiți matricele A și B dacă:

.

Soluţie. Deoarece matricele sunt consistente (numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri ale matricei), vom folosi formula (1.4):

Întrebări de autotest.

1. Ce acțiuni se efectuează pe matrice?

2. Cum se numește suma (diferența) a două matrici?

3. Cum se numește produsul a două matrici?

Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații algebrice liniare(schema 3)

Să dăm o serie de definiții necesare.

Sistemul de ecuații liniare se numește eterogen , dacă cel puțin unul dintre termenii săi liberi este diferit de zero și omogen , dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Rezolvarea unui sistem de ecuații este un set ordonat de numere care, atunci când sunt înlocuite cu variabile dintr-un sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o identitate.

Sistemul de ecuații se numește comun , dacă are cel puțin o soluție, și nearticulată , daca nu are solutii.

Sistemul de ecuații simultane se numește anumit , dacă are o soluție unică, și incert , dacă are mai multe soluții.

Să considerăm un sistem pătratic neomogen de ecuații algebrice liniare având următoarea formă generală:

. (1.5) Matricea principală a sistemului ecuațiile algebrice liniare sunt o matrice compusă din coeficienți asociați cu necunoscutele: .

Determinantul matricei principale a sistemului se numește determinant principal si este desemnat .

Determinantul auxiliar se obține din determinantul principal prin înlocuirea coloanei-a cu o coloană de termeni liberi.

Teorema 1.1 (teorema lui Cramer). Dacă determinantul principal al unui sistem patratic de ecuații algebrice liniare este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, calculată prin formulele:

Dacă determinantul principal este , atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții (pentru toți determinanții auxiliari zero) fie nu are nicio soluție (dacă cel puțin unul dintre determinanții auxiliari diferă de zero)

În lumina definițiilor de mai sus, teorema lui Cramer poate fi formulată diferit: dacă determinantul principal al unui sistem de ecuații algebrice liniare este diferit de zero, atunci sistemul este definit în comun și în același timp ; dacă determinantul principal este zero, atunci sistemul este fie împreună nedefinit (pentru toți ) fie inconsecvent (dacă cel puțin unul dintre ei diferă de zero).

După aceasta, soluția rezultată trebuie verificată.

Exemplul 1.2. Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer

Soluţie. Deoarece principalul determinant al sistemului

este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică. Să calculăm determinanții auxiliari

Să folosim formulele lui Cramer (1.6): , ,

Întrebări de autotest.

1. Ce se numește rezolvarea unui sistem de ecuații?

2. Care sistem de ecuații se numește compatibil sau incompatibil?

3. Ce sistem de ecuații se numește definit sau nedefinit?

4. Care matrice a sistemului de ecuații se numește principală?

5. Cum se calculează determinanții auxiliari ai unui sistem de ecuații algebrice liniare?

6. Care este esența metodei lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare?

7. Cum poate fi un sistem de ecuații algebrice liniare dacă principalul său determinant este zero?

Rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei inverse(schema 4)

Se numește o matrice care are un determinant diferit de zero nedegenerat ; având un determinant egal cu zero - degenerat .

Matricea se numește inversă pentru o matrice pătrată dată, dacă la înmulțirea matricei cu inversul ei atât la dreapta cât și la stânga, se obține matricea de identitate, adică. (1.7)

Rețineți că în acest caz produsul matricelor și este comutativ.

Teorema 1.2. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse pentru o matrice pătrată dată este ca determinantul matricei date să fie diferit de zero

Dacă matricea principală a sistemului se dovedește a fi singulară în timpul testării, atunci nu există inversă pentru aceasta și metoda luată în considerare nu poate fi aplicată.

Dacă matricea principală este nesingulară, adică determinantul este 0, atunci matricea inversă poate fi găsită pentru aceasta folosind următorul algoritm.

1. Calculați complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei.

2. Scrieți adunările algebrice găsite în matricea transpusă.

3. Creați o matrice inversă folosind formula: (1.8)

4. Verificați corectitudinea matricei găsite A-1 conform formulei (1.7). Rețineți că această verificare poate fi inclusă în verificarea finală a soluției de sistem în sine.

Sistemul (1.5) de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat ca o ecuație matriceală: , unde este matricea principală a sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Să înmulțim această ecuație din stânga cu matricea inversă, obținem:

Deoarece, prin definiția matricei inverse, ecuația ia forma sau . (1.9)

Astfel, pentru a rezolva un sistem patratic de ecuații algebrice liniare, trebuie să înmulțiți coloana de termeni liberi din stânga cu inversul matricei matricei principale a sistemului. După aceasta, ar trebui să verificați soluția rezultată.

Exemplul 1.3. Rezolvați sistemul folosind metoda matricei inverse

Soluţie. Să calculăm principalul determinant al sistemului

. În consecință, matricea este nesingulară și matricea sa inversă există.

Să găsim complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei principale:

Să scriem adunările algebrice transpuse în matrice

. Să folosim formulele (1.8) și (1.9) pentru a găsi o soluție la sistem

Întrebări de autotest.

1. Care matrice se numește singular, nedegenerată?

2. Ce matrice se numește inversa uneia date? Care este condiția existenței sale?

3. Care este algoritmul pentru găsirea matricei inverse pentru una dată?

4. Ce ecuație matriceală este echivalentă cu un sistem de ecuații algebrice liniare?

5. Cum se rezolvă un sistem de ecuații algebrice liniare folosind matricea inversă pentru matricea principală a sistemului?

Studiul sistemelor neomogene de ecuații algebrice liniare(schema 5)

Studiul oricărui sistem de ecuații algebrice liniare începe cu transformarea matricei sale extinse prin metoda Gaussiană. Fie dimensiunea matricei principale a sistemului egal cu .

Matrice numit extins matricea sistemului , dacă, împreună cu coeficienții necunoscutelor, conține o coloană de termeni liberi. Prin urmare, dimensiunea este .

Metoda Gaussiană se bazează pe transformări elementare , care include:

– rearanjarea rândurilor matriceale;

– înmulțirea rândurilor matricei cu un număr diferit de cel al volanului;

– adăugarea pe elemente a rândurilor matricei;

– ștergerea liniei zero;

– transpunerea matricei (în acest caz, transformările sunt efectuate pe coloane).

Transformările elementare conduc sistemul original la un sistem echivalent cu acesta. Sisteme sunt numite echivalente , dacă au același set de soluții.

Rangul matricei este numit cel mai înalt ordin al minorilor săi diferit de zero. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.

Următoarea teoremă răspunde la întrebarea despre existența soluțiilor pentru un sistem neomogen de ecuații liniare.

Teorema 1.3 (teorema Kronecker-Capelli). Un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei sale principale, i.e.

Să notăm numărul de rânduri rămase în matrice după metoda Gaussiană prin (în consecință, numărul de ecuații rămase în sistem). Aceste linii se numesc matrice de bază .

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică (este definită în comun), matricea sa este redusă la o formă triunghiulară prin transformări elementare. Un astfel de sistem poate fi rezolvat folosind metoda Cramer, folosind matricea inversă, sau metoda universală Gauss.

Dacă (numărul de variabile din sistem este mai mare decât ecuațiile), matricea este redusă la o formă în trepte prin transformări elementare. Un astfel de sistem are multe soluții și este incert în comun. În acest caz, pentru a găsi soluții la sistem, este necesar să se efectueze o serie de operațiuni.

1. Lăsați sistemul de necunoscute în partea stângă a ecuațiilor ( variabile de bază ), restul necunoscutelor sunt mutate în partea dreaptă ( variabile libere ). După împărțirea variabilelor în de bază și libere, sistemul ia forma:

. (1.10)

2. Din coeficienții variabilelor de bază, alcătuiți un minor ( minor de bază ), care trebuie să fie diferit de zero.

3. Dacă minorul de bază al sistemului (1.10) este egal cu zero, atunci înlocuiți una dintre variabilele de bază cu una liberă; Verificați baza rezultată minoră pentru non-zero.

4. Aplicând formulele (1.6) ale metodei Cramer, considerând laturile drepte ale ecuațiilor drept termeni liberi ai acestora, găsiți o expresie pentru variabilele de bază în termenii celor libere în formă generală. Setul ordonat rezultat de variabile de sistem este acesta decizie generală .

5. Dând variabilelor libere în (1.10) valori arbitrare, calculați valorile corespunzătoare ale variabilelor de bază. Setul ordonat rezultat de valori ale tuturor variabilelor este numit soluție privată sisteme corespunzătoare unor valori date ale variabilelor libere. Sistemul are un număr infinit de soluții particulare.

6. Ia solutie de baza sistem – o soluție particulară obținută pentru valorile zero ale variabilelor libere.

Rețineți că numărul de seturi de bază de variabile ale sistemului (1.10) este egal cu numărul de combinații de elemente pe elemente. Deoarece fiecare set de bază de variabile are propria soluție de bază, sistemul are și soluții de bază.

Un sistem omogen de ecuații este întotdeauna consistent, deoarece are cel puțin o soluție – zero (trivială). Pentru ca un sistem omogen de ecuații liniare cu variabile să aibă soluții diferite de zero, este necesar și suficient ca determinantul său principal să fie egal cu zero. Aceasta înseamnă că rangul matricei sale principale este mai mic decât numărul de necunoscute. În acest caz, studiul unui sistem omogen de ecuații pentru soluții generale și particulare se realizează în mod similar cu studiul unui sistem neomogen. Soluțiile unui sistem omogen de ecuații au o proprietate importantă: dacă sunt cunoscute două soluții diferite ale unui sistem omogen de ecuații liniare, atunci combinația lor liniară este de asemenea o soluție pentru acest sistem. Este ușor de verificat validitatea următoarei teoreme.

Teorema 1.4. Soluția generală a unui sistem neomogen de ecuații este suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător și o soluție particulară a sistemului neomogen de ecuații

Exemplul 1.4.

Explorați sistemul dat și găsiți o soluție specială:

Soluţie. Să notăm matricea extinsă a sistemului și să îi aplicăm transformări elementare:

. Deoarece și , atunci prin teorema 1.3 (Kronecker-Capelli) sistemul dat de ecuații algebrice liniare este consistent. Numărul de variabile, adică înseamnă că sistemul este incert. Numărul de seturi de bază de variabile de sistem este egal cu

. În consecință, 6 seturi de variabile pot fi de bază: . Să luăm în considerare una dintre ele. Apoi sistemul obtinut ca urmare a metodei Gauss poate fi rescris sub forma

. Principalul determinant. Folosind metoda lui Cramer, căutăm o soluție generală a sistemului. Calificative auxiliare

Conform formulelor (1.6) avem

. Această expresie a variabilelor de bază în termeni de cele libere reprezintă soluția generală a sistemului:

Pentru valori specifice ale variabilelor libere, din soluția generală obținem o soluție particulară a sistemului. De exemplu, o soluție privată corespunde valorilor variabilelor libere. La obținem soluția de bază a sistemului

Întrebări de autotest.

1. Ce sistem de ecuații se numește omogen sau neomogen?

2. Care matrice se numește extinsă?

3. Enumeraţi transformările elementare de bază ale matricelor. Ce metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aceste transformări?

4. Care este rangul unei matrice? Cum o poți calcula?

5. Ce spune teorema Kronecker-Capelli?

6. La ce formă poate fi redus un sistem de ecuații algebrice liniare ca urmare a soluționării sale prin metoda Gauss? Ce înseamnă acest lucru?

7. Care rânduri ale matricei se numesc de bază?

8. Ce variabile de sistem se numesc de bază și care sunt libere?

9. Ce soluție a unui sistem neomogen se numește privat?

10.Care dintre soluțiile sale se numește de bază? Câte soluții de bază are un sistem neomogen de ecuații liniare?

11.Care soluție a unui sistem neomogen de ecuații algebrice liniare se numește generală? Formulați o teoremă despre soluția generală a unui sistem neomogen de ecuații.

12. Care sunt principalele proprietăți ale soluțiilor unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare?