Metode de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul.

Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia numerelor întregi.

Pentru a converti un număr întreg dintr-un sistem numeric cu baza d1 în altul cu baza d2, trebuie să împărțiți secvențial acest număr și coeficientii rezultați la baza d2 a noului sistem până când obțineți un cât mai mic decât baza d2. Ultimul cât este cea mai semnificativă cifră a unui număr din noul sistem numeric cu baza d2, iar cifrele care îl urmează sunt resturi din împărțire, scrise în ordinea inversă a primirii lor. Efectuați operații aritmetice în sistemul numeric în care este scris numărul care este tradus.

Exemplul 1. Convertiți numărul 11(10) în sistemul numeric binar.

Răspuns: 11(10)=1011(2).

Exemplul 2. Convertiți numărul 122(10) în sistemul numeric octal.

Răspuns: 122(10)=172(8).

Exemplul 3. Convertiți numărul 500(10) în sistem numeric hexazecimal.

Răspuns: 500(10)=1F4(16).

Conversia numerelor dintr-un sistem de numere pozițional în altul: conversia fracțiilor proprii.

Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem numeric cu baza d1 într-un sistem cu baza d2, este necesar să se înmulțească secvențial fracția originală și părțile fracționale ale produselor rezultate cu baza noului sistem de numere d2. Fracția corectă a unui număr în noul sistem numeric cu baza d2 se formează sub formă de părți întregi ale produselor rezultate, începând de la primul.
Dacă translația rezultă într-o fracție sub forma unei serii infinite sau divergente, procesul poate fi finalizat când este atinsă precizia necesară.

Atunci când traduceți numere mixte, este necesar să traduceți separat părțile întregi și fracționale într-un nou sistem conform regulilor de traducere a numerelor întregi și fracțiilor proprii și apoi să combinați ambele rezultate într-un număr mixt în noul sistem de numere.

Exemplul 1. Convertiți numărul 0,625(10) în sistemul numeric binar.

Răspuns: 0,625(10)=0,101(2).

Exemplul 2. Convertiți numărul 0,6(10) în sistemul numeric octal.

Răspuns: 0,6(10)=0,463(8).

Exemplul 2. Convertiți numărul 0,7(10) în sistem numeric hexazecimal.

Răspuns: 0.7(10)=0.B333(16).

Convertiți numere binare, octale și hexazecimale în sistem numeric zecimal.

Pentru a converti un număr din sistemul P-ary într-unul zecimal, trebuie să utilizați următoarea formulă de expansiune:
anan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

Exemplu 1. Convertiți numărul 101.11(2) în sistemul numeric zecimal.

Răspuns: 101,11(2)= 5,75(10) .

Exemplul 2. Convertiți numărul 57.24(8) în sistemul numeric zecimal.

Răspuns: 57,24(8) = 47,3125(10) .

Exemplul 3. Convertiți numărul 7A,84(16) în sistemul numeric zecimal.

Răspuns: 7A.84(16)= 122,515625(10) .

Conversia numerelor octale și hexazecimale în sistemul de numere binar și invers.

Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în binar, fiecare cifră a acestui număr trebuie scrisă ca un număr binar de trei cifre (triada).

Exemplu: scrieți numărul 16.24(8) în sistemul numeric binar.

Răspuns: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul de numere octale, trebuie să împărțiți numărul original în triade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul de numere octale. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.

Exemplu: scrieți numărul 1110.0101(2) în sistemul de numere octale.

Răspuns: 1110.0101(2)= 16.24(8) .

Pentru a converti un număr din sistemul numeric hexazecimal în sistemul binar, trebuie să scrieți fiecare cifră a acestui număr ca un număr binar de patru cifre (tetradă).

Exemplu: scrieți numărul 7A,7E(16) în sistemul numeric binar.


Răspuns: 7A,7E(16)= 1111010.0111111(2) .

Notă: zerourile de început în stânga pentru numere întregi și în dreapta pentru fracții nu sunt scrise.

Pentru a converti un număr binar înapoi în sistemul numeric hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul original în tetrade la stânga și la dreapta punctului zecimal și să reprezentați fiecare grup cu o cifră în sistemul numeric hexazecimal. Triadele extreme incomplete sunt completate cu zerouri.

Exemplu: scrieți numărul 1111010.0111111(2) în sistemul numeric hexazecimal.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru a converti un număr binar într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a lui 2, și să îl calculați conform regulilor din aritmetica zecimala:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile numărului 2

Exemplu.

2. Pentru a converti un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să îl calculați conform regulilor zecimale aritmetic:

Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile numărului 8

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

3. Pentru a converti un număr hexazecimal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 16, și să îl calculați conform regulile de aritmetică zecimală:

Când traduceți, este convenabil de utilizat blitz-ul puterilor numărului 16:

Tabelul 6. Puterile numărului 16

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

4. Pentru a converti un număr zecimal în sistem binar, acesta trebuie împărțit succesiv la 2 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 1. Un număr în sistemul binar este scris ca o succesiune a rezultatului ultimei diviziuni și a resturilor din împărțirea în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric binar.

5. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul octal, acesta trebuie împărțit succesiv la 8 până când rămâne un rest mai mic sau egal cu 7. Un număr în sistemul octal este scris ca o secvență de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și restul diviziunii în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul de numere octale.

6. Pentru a converti un număr zecimal în sistemul hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la 16 până când există un rest mai mic sau egal cu 15. Un număr din sistemul hexazecimal este scris ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile din împărțire în ordine inversă.

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric hexazecimal.

Puteți introduce atât numere întregi, de exemplu 34, cât și numere fracționale, de exemplu, 637,333. Pentru numerele fracționale, este indicată precizia translației după virgulă zecimală.

Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:

Modalități de a reprezenta numere

Algoritm pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Exemplul nr. 1.



Conversie de la 2 la 8 la 16 sistem de numere.
Aceste sisteme sunt multipli de doi, prin urmare traducerea se realizează folosind un tabel de corespondență (vezi mai jos).

Pentru a converti un număr din sistemul de numere binar în sistemul de numere octal (hexazecimal), este necesar să împărțiți numărul binar de la punctul zecimal la dreapta și la stânga în grupuri de trei (patru pentru hexazecimal) cifre, completând grupurile exterioare. cu zerouri dacă este necesar. Fiecare grup este înlocuit cu cifra octală sau hexazecimală corespunzătoare.

Exemplul nr. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
aici 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Când convertiți la sistemul hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în părți de patru cifre, urmând aceleași reguli.
Exemplul nr. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
aici 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Conversia numerelor de la 2, 8 și 16 în sistemul zecimal se realizează prin împărțirea numărului în unele individuale și înmulțirea acestuia cu baza sistemului (din care este tradus numărul) ridicată la puterea corespunzătoare numărului său de serie în numărul care este convertit. În acest caz, numerele sunt numerotate la stânga virgulei zecimale (primul număr este numerotat cu 0) cu creștere și la dreapta cu descreștere (adică cu semn negativ). Rezultatele obţinute se adună.

Exemplul nr. 4.
Un exemplu de conversie din sistem de numere binar în zecimal.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemplu de conversie din sistemul de numere octal în zecimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemplu de conversie din sistemul numeric hexazecimal în zecimal. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Încă o dată repetăm ​​algoritmul de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul PSS

1. Din sistemul numeric zecimal:
   • împărțiți numărul la baza sistemului numeric care este tradus;
   • găsiți restul la împărțirea unei părți întregi a unui număr;
   • notează toate resturile din împărțire în ordine inversă;
2. Din sistemul de numere binar
   • Pentru a converti în sistemul numeric zecimal, este necesar să găsiți suma produselor din baza 2 cu gradul corespunzător al cifrei;
   • Pentru a converti un număr în octal, trebuie să împărțiți numărul în triade.
     De exemplu, 1000110 = 1.000 110 = 106 8
   • Pentru a converti un număr din binar în hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în grupuri de 4 cifre.
     De exemplu, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Tabel pentru conversia în sistemul de numere octale

Instrucțiuni

Video pe tema

În sistemul de numărare pe care îl folosim în fiecare zi, există zece cifre - de la zero la nouă. De aceea se numește zecimală. Totuși, în calculele tehnice, în special cele legate de calculatoare, altele sisteme, în special binar și hexazecimal. Prin urmare, trebuie să fiți capabil să traduceți numere de la unul sisteme numărând la altul.

Vei avea nevoie

• - o bucată de hârtie;
• - creion sau stilou;
• - calculator.

Instrucțiuni

Sistemul binar este cel mai simplu. Are doar două cifre - zero și unu. Fiecare cifră a binarului numere, începând de la capăt, corespunde unei puteri de doi. Doi în egal cu unu, în primul - doi, în al doilea - patru, în al treilea - opt și așa mai departe.

Să presupunem că vi se dă numărul binar 1010110. Unitățile din acesta se află pe locurile al doilea, al treilea, al cincilea și al șaptelea. Prin urmare, în sistemul zecimal acest număr este 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Problemă inversă - zecimală numere sistem. Să presupunem că aveți numărul 57. Pentru a-l obține, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 2 și să scrieți restul. Numărul binar va fi construit de la sfârșit la început.
Primul pas vă va oferi ultima cifră: 57/2 = 28 (restul 1).
Apoi îl obțineți pe al doilea de la final: 28/2 = 14 (restul 0).
Alți pași: 14/2 = 7 (restul 0);
7/2 = 3 (restul 1);
3/2 = 1 (restul 1);
1/2 = 0 (restul 1).
Acesta este ultimul pas deoarece rezultatul împărțirii este zero. Drept urmare, ați primit numărul binar 111001.
Verificați răspunsul: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Al doilea, folosit în chestiuni informatice, este hexazecimal. Nu are zece, ci șaisprezece cifre. Pentru a evita noi convenții, primele zece cifre de hexazecimal sisteme sunt desemnate prin numere obișnuite, iar restul de șase - prin litere latine: A, B, C, D, E, F. Ele corespund notării zecimale numere m de la 10 la 15. Pentru a evita confuziile, numărul scris în hexazecimal este precedat de semnul # sau de simbolurile 0x.

Pentru a face un număr din hexazecimal sisteme, trebuie să înmulțiți fiecare dintre cifrele sale cu puterea corespunzătoare de șaisprezece și să adăugați rezultatele. De exemplu, numărul #11A în notație zecimală este 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Conversie inversă din zecimală sisteme la hexazecimal se face folosind aceeași metodă a resturilor ca și la binar. De exemplu, luați numărul 10000. Împărțind în mod constant la 16 și notând resturile, obțineți:
10000/16 = 625 (restul 0).
625/16 = 39 (restul 1).
39/16 = 2 (restul 7).
2/16 = 0 (restul 2).
Rezultatul calculului va fi numărul hexazecimal #2710.
Verificați răspunsul: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Transfer numere din hexazecimal sisteme Este mult mai ușor să convertiți în binar. Numărul 16 este doi: 16 = 2^4. Prin urmare, fiecare cifră hexazecimală poate fi scrisă ca un număr binar de patru cifre. Dacă aveți mai puțin de patru cifre într-un număr binar, adăugați zerouri de început.
De exemplu, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Verificați răspunsul: ambele numereîn notație zecimală sunt egale cu 8062.

Pentru a traduce, trebuie să împărțiți numărul binar în grupuri de patru cifre, începând de la sfârșit, și să înlocuiți fiecare astfel de grup cu o cifră hexazecimală.
De exemplu, 11000110101001 devine (0011)(0001)(1010)(1001), care în notație hexazecimală este egal cu #31A9. Corectitudinea răspunsului este confirmată prin conversia în notație zecimală: ambele numere sunt egale cu 12713.

Sfat 5: Cum se transformă un număr în binar

Datorită utilizării limitate a simbolurilor, sistemul binar este cel mai convenabil pentru utilizare în computere și alte dispozitive digitale. Există doar două simboluri: 1 și 0, deci acesta sistem utilizate în operarea registrelor.

Instrucțiuni

Binarul este pozițional, adică Poziția fiecărei cifre într-un număr corespunde unei anumite cifre, care este egală cu două la puterea corespunzătoare. Gradul începe de la zero și crește pe măsură ce vă deplasați de la dreapta la stânga. De exemplu, număr 101 este egal cu 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Sistemele octale, hexazecimale și zecimale sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă printre sistemele poziționale. Și dacă pentru primele două a doua metodă este mai aplicabilă, atunci pentru traducerea din ambele sunt aplicabile.

Considerați un număr zecimal în binar sistem prin împărțire secvențială cu 2. Pentru a converti o zecimală număr 25 V

2.3. Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

2.3.1. Conversia numerelor întregi dintr-un sistem numeric în altul

Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia numerelor întregi dintr-un sistem radix p într-un sistem cu o bază q :

1. Exprimați baza noului sistem de numere cu numere din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.

2. Împărțiți în mod consecvent numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un cât mai mic decât divizorul.

3. Resturile rezultate, care sunt cifre ale numărului în noul sistem de numere, sunt aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.

4. Compuneți un număr în noul sistem numeric, notându-l pornind de la ultimul rest.

Exemplul 2.12. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem de numere octale:

Se obține: 173 10 = 255 8

Exemplul 2.13. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem numeric hexazecimal:

Se obține: 173 10 =AD 16.

Exemplul 2.14. Convertiți numărul zecimal 11 10 în sistemul numeric binar. Este mai convenabil să descriem secvența acțiunilor discutate mai sus (algoritm de traducere) după cum urmează:

Se obține: 11 10 =1011 2.

Exemplul 2.15. Uneori este mai convenabil să scrieți algoritmul de traducere sub formă de tabel. Să convertim numărul zecimal 363 10 într-un număr binar.

Se obține: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem numeric în altul

Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia unei fracții adecvate cu o bază p într-o fracție cu o bază q:

1. Exprimați baza noului sistem de numere cu numere din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.

2. Înmulțiți în mod constant numerele date și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se obține acuratețea necesară a reprezentării numerelor.

3. Părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifre ale numărului din noul sistem de numere, ar trebui aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.

4. Compuneți partea fracționară a unui număr în noul sistem de numere, pornind de la partea întreagă a primului produs.

Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.

Se obține: 0,65625 10 =0,52 8

Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistem numeric hexazecimal.

Se obține: 0,65625 10 =0,A8 1

Exemplul 2.18. Convertiți fracția zecimală 0,5625 10 în sistemul numeric binar.

Se obține: 0,5625 10 =0,1001 2

Exemplul 2.19. Convertiți fracția zecimală 0,7 10 în sistemul numeric binar.

Evident, acest proces poate continua la nesfârșit, dând tot mai multe semne noi în imaginea echivalentului binar al numărului 0,7 10. Deci, în patru pași obținem numărul 0,1011 2, iar în șapte pași numărul 0,1011001 2, care este o reprezentare mai precisă a numărului 0,7 10 în sistemul numeric binar etc. Un astfel de proces fără sfârșit se încheie la un pas, când se crede că s-a obţinut acurateţea cerută a reprezentării numerelor.

2.3.3. Traducerea numerelor arbitrare

Traducerea numerelor arbitrare, de ex. numerele care conțin un număr întreg și o parte fracționară sunt efectuate în două etape. Partea întregă este translată separat, iar partea fracțională separat. În înregistrarea finală a numărului rezultat, partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o virgulă (punct).

Exemplul 2.20. Convertiți numărul 17,25 10 în sistemul numeric binar.

Se obține: 17,25 10 =1001,01 2

Exemplul 2.21. Convertiți numărul 124,25 10 în sistem octal.

Se obține: 124,25 10 =174,2 8

2.3.4. Conversia numerelor din baza 2 în baza 2 n și invers

Traducerea numerelor întregi. Dacă baza sistemului numeric q-ary este o putere a lui 2, atunci conversia numerelor din sistemul numeric q-ary în sistemul numeric 2-ary și înapoi poate fi efectuată conform unor reguli mai simple. Pentru a scrie un număr binar întreg în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți numărul binar de la dreapta la stânga în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimul grup din stânga are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în stânga cu zerouri până la numărul necesar de cifre.

Exemplul 2.22. Numărul 101100001000110010 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.

Împărțim numărul de la dreapta la stânga în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 541062 8 .

Exemplul 2.23. Numărul 1000000000111110000111 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.

Împărțim numărul de la dreapta la stânga în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 200F87 16.

Conversia numerelor fracționale. Pentru a scrie un număr binar fracționar într-un sistem numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți numărul binar de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimul grup din dreapta are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre.

3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q=2 n.

Exemplul 2.24. Numărul 0,10110001 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.

Împărțim numărul de la stânga la dreapta în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 0,542 8 .

Exemplul 2.25. Numărul 0,100000000011 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal. Împărțim numărul de la stânga la dreapta în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 0,803 16

Traducerea numerelor arbitrare. Pentru a scrie un număr binar arbitrar în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți partea întreagă a unui număr binar dat de la dreapta la stânga și partea fracțională de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimele grupuri din stânga și/sau din dreapta au mai puțin de n cifre, atunci acestea trebuie completate în stânga și/sau în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre;

3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q = 2 n

Exemplul 2.26. Să convertim numărul 111100101.0111 2 în sistemul de numere octale.

Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 745,34 8 .

Exemplul 2.27. Numărul 11101001000,11010010 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.

Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în caiete și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 748,D2 16.

Conversia numerelor din sisteme numerice cu baza q=2n la binar. Pentru a converti un număr arbitrar scris în sistemul numeric cu baza q=2 n în sistemul numeric binar, trebuie să înlocuiți fiecare cifră a acestui număr cu echivalentul său de n cifre în sistemul numeric binar.

Exemplul 2.28.Să convertim numărul hexazecimal 4AC35 16 în sistemul numeric binar.

Conform algoritmului:

Primim: 1001010110000110101 2 .

Sarcini pentru finalizare independentă (Răspunsuri)

2.38. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr întreg trebuie scris în sisteme numerice diferite.

2.39. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr fracționar trebuie să fie scris în sisteme numerice diferite.

2.40. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr arbitrar (numărul poate conține atât un număr întreg, cât și o parte fracțională) trebuie scris în sisteme numerice diferite.