Anul I, superioare matematică, studii matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm operațiile de bază care pot fi efectuate cu matrice. De unde să începeți să vă familiarizați cu matricele? Desigur, de la cele mai simple lucruri - definiții, concepte de bază și operații simple. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!

Definiția matricei

Matrice este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine, în termeni simpli - un tabel de numere.

De obicei, matricele sunt notate cu majuscule latine. De exemplu, matrice A , matrice B și așa mai departe. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate și există și matrici de rânduri și coloane numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m – numărul de linii și n - numar de coloane.

Articole pentru care i=j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.

Ce poți face cu matrice? Adăugați/Scădeți, inmultiti cu un numar, se inmultesc intre ei, transpune. Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.

Operații de adunare și scădere pe matrice

Permiteți-ne să vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul va fi o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este simplă - trebuie doar să adunați elementele corespunzătoare . Să dăm un exemplu. Să efectuăm adăugarea a două matrice A și B de mărime două câte două.

Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.

Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare dintre elementele sale cu acest număr. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:

Operația de înmulțire a matricei

Nu toate matricele pot fi înmulțite împreună. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. În acest caz fiecare element al matricei rezultate, situat în rândul i și coloana j, va fi egal cu suma produselor elementelor corespunzătoare din rândul i al primului factor și coloana j a al doilea. Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:

Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matricele:

Operația de transpunere a matricei

Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, să transpunem matricea A din primul exemplu:

Determinant de matrice

Determinant, sau determinant, este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Cândva, oamenii au venit cu ecuații liniare, iar după ele au trebuit să vină cu un determinant. În cele din urmă, depinde de tine să te ocupi de toate acestea, deci, ultima împingere!

Determinantul este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.

Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai dificil, dar îl puteți gestiona.

Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu o față paralelă cu diagonala principală, din care produsul dintre se scad elementele diagonalei secundare si produsul elementelor situate pe triunghiurile cu fata diagonalei secundare paralele.

Din fericire, în practică este rareori necesar să se calculeze determinanții matricilor de dimensiuni mari.

Aici ne-am uitat la operațiile de bază pe matrice. Desigur, în viața reală s-ar putea să nu întâlnești niciodată nici măcar un indiciu al unui sistem matriceal de ecuații sau, dimpotrivă, s-ar putea să întâlnești cazuri mult mai complexe când chiar trebuie să-ți faci creierul. Pentru astfel de cazuri există servicii profesionale pentru studenți. Cereți ajutor, obțineți o soluție de înaltă calitate și detaliată, bucurați-vă de succes academic și de timp liber.

Principalele aplicații ale matricelor sunt legate de operație multiplicare.

Sunt date două matrice:

A – mărimea mn

B – mărimea n k

Deoarece lungimea unui rând din matricea A coincide cu înălțimea unei coloane din matricea B, puteți defini o matrice C=AB, care va avea dimensiunile m k. Element matricea C, situată într-un i-lea rând arbitrar (i=1,...,m) și o j-a coloană arbitrară (j=1,...,k), prin definiție, este egală cu produsul scalar a doi vectori din
:i-lea rând al matricei A și j-a coloană a matricei B:

Proprietăți:

Cum este definită operația de înmulțire a unei matrice A cu un număr λ?

Produsul lui A și numărul λ este o matrice în care fiecare element este egal cu produsul elementului corespunzător lui A și λ. Corolar: Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

13. Definirea matricei inverse și proprietățile acesteia.

Definiție. Dacă există matrici pătrate X și A de același ordin care îndeplinesc condiția:

unde E este matricea de identitate de același ordin ca și matricea A, atunci se numește matricea X verso la matricea A și se notează cu A -1.

Proprietățile matricelor inverse

Să indicăm următoarele proprietăți ale matricelor inverse:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Dacă matricea inversă există, atunci este unică.

2. Nu orice matrice pătrată diferită de zero are un invers.

14. Indicați principalele proprietăți ale determinanților. Verificați valabilitatea proprietății |AB|=|A|*|B| pentru matrice

A= și B=

Proprietățile determinanților:

1. Dacă orice rând al determinantului este format din zerouri, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

2. La rearanjarea a două rânduri, determinantul se înmulțește cu -1.

3. Determinantul cu două rânduri identice este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor oricărui rând poate fi scos din semnul determinant.

5. Dacă elementele unui anumit rând de determinant A sunt prezentate ca sumă a doi termeni, atunci determinantul în sine este egal cu suma a doi determinanți B și D. În determinantul B, linia specificată este formată din primii termeni, în D - din al doilea termen. Liniile rămase ale determinanților B și D sunt aceleași ca în A.

6. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă la una dintre linii se adaugă o altă linie, înmulțită cu orice număr.

7. Suma produselor elementelor oricărui rând prin complemente algebrice la elementele corespunzătoare dintr-un alt rând este egală cu 0.

8. Determinantul matricei A este egal cu determinantul matricei transpuse A m, i.e. determinantul nu se modifică la transpunere.

15. Definiți modulul și argumentul unui număr complex. Scrieți numerele √3+ în formă trigonometricăi, -1+ i.

Fiecare număr complex z=a+ib poate fi asociat cu un vector (a,b)€R 2. Lungimea acestui vector egală cu √a 2 + b 2 se numește modulul unui număr complex z și se notează cu |z|. Unghiul φ dintre un vector dat și direcția pozitivă a axei Ox se numește argument de număr complex z și este notat cu arg z.

Orice număr complex z≠0 poate fi reprezentat ca z=|z|(cosφ +isinφ).

Această formă de scriere a unui număr complex se numește trigonometrică.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Fiecărui număr complex Z = a + ib i se poate atribui un vector (a; b) aparținând lui R^2. Lungimea acestui vector, egală cu KB de la a^2 + b^2, se numește modulul unui număr complex și se notează cu modulul Z. Unghiul dintre acest vector și direcția pozitivă a axei Ox se numește argumentul numărului complex (notat cu arg Z).

Vom „exclude” secvenţial necunoscutele. Pentru a face acest lucru, vom lăsa prima ecuație a sistemului neschimbată și o vom transforma pe a doua și a treia:

1) la a doua ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu –2, și o aducem la forma –3 X 2 –2X 3 = –2;

2) la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu – 4, și o aducem la forma –3 X 2 – 4X 3 = 2.

Ca urmare, necunoscuta va fi exclusă din a doua și a treia ecuație X 1 și sistemul va lua forma

Înmulțim a doua și a treia ecuație a sistemului cu –1, obținem

Coeficientul 1 în prima ecuație pentru prima necunoscută X 1 este numit element conducător primul pas al eliminării.

În a doua etapă, prima și a doua ecuație rămân neschimbate, iar la a treia ecuație se aplică aceeași metodă de eliminare a variabilei. X 2 . Element conducător al doilea pas este coeficientul 3. La a treia ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu –1, apoi sistemul se transformă în forma

(1.2)

Procesul de reducere a sistemului (1.1) la forma (1.2) se numește direct progresul metodei Gauss.

Se numeste procedura de rezolvare a sistemului (1.2). în sens invers. Din ultima ecuație obținem X 3 = –2. Înlocuind această valoare în a doua ecuație, obținem X 2 = 2. După aceasta, prima ecuație dă X 1 = 1. Astfel, este o soluție a sistemului (1.1).

Conceptul de matrice

Să luăm în considerare cantitățile incluse în sistemul (1.1). Un set de nouă coeficienți numerici care apar înaintea necunoscutelor în ecuații formează un tabel de numere numit matrice:

Se numesc numerele tabelului elemente matrici. Elementele formează rânduri și coloane matrici. Se formează numărul de rânduri și numărul de coloane dimensiune matrici. Matrice A are o dimensiune de 3´3 („trei cu trei”), primul număr indicând numărul de rânduri, iar al doilea numărul de coloane. Adesea, o matrice este indicată prin indicarea dimensiunii sale A (3 ´ 3). Deoarece numărul de rânduri și coloane din matrice A la fel, se numește matricea pătrat. Numărul de rânduri (și coloane) dintr-o matrice pătrată se numește acestuia în ordine, De aceea A- matrice ordinul al treilea.

Părțile drepte ale ecuațiilor formează, de asemenea, un tabel de numere, adică. matrice:

Fiecare rând al acestei matrice este format dintr-un singur element, deci B(3 ´ 1) se numește matrice-coloană, dimensiunea sa este 3´1. Setul de necunoscute poate fi reprezentat și ca o matrice coloane:

Înmulțirea unei matrice pătrate cu o matrice coloană

Cu matrice pot fi efectuate diverse operații, despre care vor fi discutate în detaliu mai târziu. Aici vom analiza doar regula pentru înmulțirea unei matrice pătrate cu o matrice coloană. De definiție, rezultatul înmulțirii matriceale A(3 ´ 3) pe coloană ÎN(3 ´ 1) este coloana D(3 ´ 1) , ale căror elemente sunt egale cu sumele produselor elementelor rândurilor matricei A la elementele coloanei ÎN:

2)al doilea element coloană D egală cu suma produselor elementelor al doilea rânduri de matrice A la elementele coloanei ÎN:

Din formulele de mai sus este clar că înmulțirea unei matrice cu o coloană ÎN este posibilă numai dacă numărul coloanelor matricei A egal cu numărul de elemente din coloană ÎN.

Să ne uităm la încă două exemple numerice de înmulțire a matricei (3 ´3) pe coloană (3 ´1):

Exemplul 1.1

AB =
.

Exemplul 1.2

AB= .

Deci, în lecția anterioară ne-am uitat la regulile de adunare și scădere a matricelor. Acestea sunt operații atât de simple, încât majoritatea studenților le înțeleg literalmente de la bun început.

Cu toate acestea, te bucuri devreme. Freebie-ul s-a terminat - să trecem la înmulțire. Vă avertizez imediat: înmulțirea a două matrici nu înseamnă deloc înmulțirea unor numere situate în celule cu aceleași coordonate, așa cum ați putea crede. Totul este mult mai distractiv aici. Și va trebui să începem cu definiții preliminare.

Matrici potrivite

Una dintre cele mai importante caracteristici ale unei matrice este dimensiunea acesteia. Am vorbit deja despre asta de o sută de ori: notația $A=\left[ m\times n \right]$ înseamnă că matricea are exact $m$ rânduri și $n$ coloane. Am discutat deja cum să nu confundăm rândurile cu coloanele. Altceva este important acum.

Definiție. Matrici de forma $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri în al doilea, sunt numite consistente.

Încă o dată: numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua! De aici obținem două concluzii simultan:

1. Ordinea matricelor este importantă pentru noi. De exemplu, matricele $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sunt consistente (2 coloane în prima matrice și 2 rânduri în a doua) , dar invers — matricele $B=\left[ 2\times 5 \right]$ și $A=\left[ 3\times 2 \right]$ nu mai sunt consistente (5 coloane din prima matrice nu sunt 3 rânduri in secunda ).
2. Consistența poate fi verificată cu ușurință notând toate dimensiunile una după alta. Folosind exemplul din paragraful anterior: „3 2 2 5” - numerele din mijloc sunt aceleași, deci matricele sunt consistente. Dar „2 5 3 2” nu sunt consecvenți, deoarece există numere diferite la mijloc.

În plus, Captain Obviousness pare să sugereze că matricele pătrate de aceeași dimensiune $\left[ n\times n \right]$ sunt întotdeauna consistente.

În matematică, când ordinea de enumerare a obiectelor este importantă (de exemplu, în definiția discutată mai sus, ordinea matricelor este importantă), vorbim adesea despre perechi ordonate. Ne-am întâlnit cu ei la școală: cred că este o idee deloc că coordonatele $\left(1;0 \right)$ și $\left(0;1 \right)$ definesc puncte diferite pe plan.

Deci: coordonatele sunt și perechi ordonate care sunt formate din numere. Dar nimic nu te împiedică să faci o astfel de pereche din matrice. Apoi putem spune: „O pereche ordonată de matrice $\left(A;B\right)$ este consecventă dacă numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua.”

Ei bine, ce?

Definiţia multiplication

Luați în considerare două matrici consistente: $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$. Și definim operația de înmulțire pentru ei.

Definiție. Produsul a două matrice potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \ dreapta] $, ale căror elemente sunt calculate folosind formula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Un astfel de produs este notat în modul standard: $C=A\cdot B$.

Cei care văd această definiție pentru prima dată au imediat două întrebări:

1. Ce fel de joc aprig este acesta?
2. De ce este atât de greu?

Ei bine, primul lucru în primul rând. Să începem cu prima întrebare. Ce înseamnă toți acești indici? Și cum să nu faceți greșeli când lucrați cu matrici reale?

În primul rând, observăm că linia lungă pentru calculul $((c)_(i;j))$ (am pus în special un punct și virgulă între indici pentru a nu încurca, dar nu este nevoie să-i pun în general - eu însumi m-am săturat să scriu formula în definiție) se rezumă de fapt la o regulă simplă:

1. Luați $i$-lea rând din prima matrice;
2. Luați $j$-a coloană din a doua matrice;
3. Obținem două șiruri de numere. Înmulțim elementele acestor secvențe cu aceleași numere și apoi adăugăm produsele rezultate.

Acest proces este ușor de înțeles din imagine:

Încă o dată: fixăm rândul $i$ în prima matrice, coloana $j$ în a doua matrice, înmulțim elemente cu aceleași numere și apoi adunăm produsele rezultate - obținem $((c)_(ij))$ . Și așa mai departe pentru toți $1\le i\le m$ și $1\le j\le k$. Acestea. Vor fi de $m\ori k$ de astfel de „perversiuni” în total.

De fapt, am întâlnit deja înmulțirea matriceală în programa școlară, doar într-o formă mult redusă. Să fie dați vectorii:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Apoi produsul lor scalar va fi exact suma produselor pe perechi:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Practic, când copacii erau mai verzi și cerul mai strălucitor, am înmulțit pur și simplu vectorul rând $\overrightarrow(a)$ cu vectorul coloană $\overrightarrow(b)$.

Nimic nu s-a schimbat astăzi. Doar că acum există mai mulți dintre acești vectori rând și coloană.

Dar destulă teorie! Să ne uităm la exemple reale. Și să începem cu cel mai simplu caz - matrici pătrate.

Înmulțirea cu matrice pătrată

Sarcina 1. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Deci, avem două matrice: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Este clar că sunt consistente (matricele pătrate de aceeași dimensiune sunt întotdeauna consistente). Prin urmare, efectuăm înmulțirea:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ sfârşit(matrice)\dreapta]. \end(align)\]

Asta e tot!

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Sarcina 2. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Din nou, matrici consistente, deci efectuăm următoarele acțiuni:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ stânga(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o matrice plină cu zerouri

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Din exemplele de mai sus este evident că înmulțirea matricelor nu este o operație atât de complicată. Cel puțin pentru matrice pătrată 2 pe 2.

În procesul de calcule, am compilat o matrice intermediară, în care am descris direct ce numere sunt incluse într-o anumită celulă. Este exact ceea ce trebuie făcut atunci când rezolvați probleme reale.

Proprietățile de bază ale produsului matricei

Pe scurt. Înmulțirea matricei:

1. Necomutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ în cazul general. Există, desigur, matrice speciale pentru care egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ (de exemplu, dacă $B=E$ este matricea de identitate), dar în marea majoritate a cazurilor acest lucru nu funcționează ;
2. Asociativ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Nu există opțiuni aici: matricele adiacente pot fi multiplicate fără să vă faceți griji cu privire la ceea ce este în stânga și în dreapta acestor două matrici.
3. Distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ și $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (din cauza necomutativității produsului, este necesar să se specifice separat distributivitatea la dreapta și la stânga.

Și acum - totul este la fel, dar mai detaliat.

Înmulțirea prin matrice este în multe privințe similară cu înmulțirea clasică a numerelor. Dar există diferențe, dintre care cea mai importantă este aceea Înmulțirea prin matrice este, în general, necomutativă.

Să ne uităm din nou la matricele din problema 1. Știm deja produsul lor direct:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 și 6 \\ 18 & -8 \\\end(matrice) \right]\]

Dar dacă schimbăm matricele, obținem un rezultat complet diferit:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\dreapta]\]

Se pare că $A\cdot B\ne B\cdot A$. În plus, operația de înmulțire este definită doar pentru matricele consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, dar nimeni nu a garantat că acestea vor rămâne consistente.dacă sunt schimbate. De exemplu, matricele $\left[ 2\times 3 \right]$ și $\left[ 3\times 5 \right]$ sunt destul de consistente în ordinea specificată, dar aceleași matrici $\left[ 3\times 5 \right] $ și $\left[ 2\time 3 \right]$ scrise în ordine inversă nu mai sunt consecvente. Trist.:(

Printre matricele pătrate de o mărime dată $n$ vor exista întotdeauna acelea care dau același rezultat atât atunci când sunt înmulțite direct, cât și în ordine inversă. Cum să descrii toate astfel de matrici (și câte există în general) este un subiect pentru o lecție separată. Nu vom vorbi despre asta azi. :)

Totuși, înmulțirea matriceală este asociativă:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Prin urmare, atunci când trebuie să înmulțiți mai multe matrici la rând simultan, nu este deloc necesar să o faceți imediat: este foarte posibil ca unele matrici adiacente, atunci când sunt înmulțite, să dea un rezultat interesant. De exemplu, o matrice zero, ca în problema 2 discutată mai sus.

În problemele reale, cel mai adesea trebuie să înmulțim matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Setul tuturor acestor matrici este notat cu $((M)^(n))$ (adică, intrările $A=\left[ n\times n \right]$ și \ înseamnă același lucru) și va conțin în mod necesar matricea $E$, care se numește matrice de identitate.

Definiție. O matrice de identitate de mărimea $n$ este o matrice $E$ astfel încât pentru orice matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ egalitatea este valabilă:

O astfel de matrice arată întotdeauna la fel: există unele pe diagonala sa principală și zerouri în toate celelalte celule.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Cu alte cuvinte, dacă trebuie să înmulțiți o matrice cu suma altor două, puteți să o înmulțiți cu fiecare dintre aceste „alte două” și apoi să adăugați rezultatele. În practică, de obicei, trebuie să efectuăm operația opusă: observăm aceeași matrice, o scoatem din paranteze, facem adunări și astfel ne simplificăm viața. :)

Notă: pentru a descrie distributivitatea, a trebuit să scriem două formule: unde suma este în al doilea factor și unde suma este în primul. Acest lucru se întâmplă tocmai pentru că înmulțirea matricelor este necomutativă (și, în general, în algebra necomutativă există o mulțime de lucruri distractive care nici măcar nu-ți vin în minte când lucrezi cu numere obișnuite). Și dacă, de exemplu, trebuie să notați această proprietate într-un examen, atunci asigurați-vă că scrieți ambele formule, altfel profesorul se poate supăra puțin.

Bine, toate acestea au fost basme despre matrici pătrate. Dar cele dreptunghiulare?

Cazul matricelor dreptunghiulare

Dar nimic - totul este la fel ca la cele pătrate.

Sarcina 3. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Soluţie. Avem două matrice: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Să notăm numerele care indică dimensiunile pe rând:

După cum puteți vedea, cele două numere centrale coincid. Aceasta înseamnă că matricele sunt consistente și pot fi multiplicate. Mai mult, la ieșire obținem matricea $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrice) \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(matrice) \dreapta]. \end(align)\]

Totul este clar: matricea finală are 3 rânduri și 2 coloane. Destul de $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(matrice) \right]$.

Acum să ne uităm la una dintre cele mai bune sarcini de antrenament pentru cei care abia încep să lucreze cu matrice. În ea, nu trebuie doar să înmulțiți vreo două tăblițe, ci mai întâi să determinați: este permisă o astfel de înmulțire?

Problema 4. Găsiți toate produsele posibile în perechi ale matricelor:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Soluţie. Mai întâi, să notăm dimensiunile matricelor:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Constatăm că matricea $A$ poate fi reconciliată doar cu matricea $B$, deoarece numărul de coloane al lui $A$ este 4 și numai $B$ are acest număr de rânduri. Prin urmare, putem găsi produsul:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Sugerez cititorului să parcurgă pașii intermediari în mod independent. Voi observa doar că este mai bine să determinați dimensiunea matricei rezultate în avans, chiar înainte de orice calcul:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Cu alte cuvinte, pur și simplu înlăturăm coeficienții de „tranzit” care asigurau consistența matricelor.

Ce alte variante sunt posibile? Desigur, se poate găsi $B\cdot A$, deoarece $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, deci perechea ordonată $\ left(B ;A \right)$ este consecvent, iar dimensiunea produsului va fi:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Pe scurt, rezultatul va fi o matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, ai cărei coeficienți pot fi calculați cu ușurință:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 și -8 \\\end(matrice) \right]\]

Evident, puteți fi de acord și cu $C\cdot A$ și $B\cdot C$ - și asta este tot. Prin urmare, notăm pur și simplu produsele rezultate:

A fost ușor.:)

Răspuns: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrice) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

În general, vă recomand să faceți singur această sarcină. Și încă o sarcină similară care este în temele pentru acasă. Aceste gânduri aparent simple vă vor ajuta să exersați toate etapele cheie ale înmulțirii matriceale.

Dar povestea nu se termină aici. Să trecem la cazuri speciale de înmulțire. :)

Vectori rând și vectori coloană

Una dintre cele mai comune operații cu matrice este înmulțirea cu o matrice care are un rând sau o coloană.

Definiție. Un vector coloană este o matrice de dimensiune $\left[ m\times 1 \right]$, adică. format din mai multe rânduri și o singură coloană.

Un vector rând este o matrice de dimensiune $\left[ 1\times n \right]$, adică. format dintr-un rând și mai multe coloane.

De fapt, am întâlnit deja aceste obiecte. De exemplu, un vector tridimensional obișnuit din stereometrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nu este altceva decât un vector rând. Din punct de vedere teoretic, nu există aproape nicio diferență între rânduri și coloane. Trebuie doar să fiți atenți atunci când vă coordonați cu matricele multiplicatoare din jur.

Sarcina 5. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Soluţie. Aici avem produsul matricelor potrivite: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Haideti sa gasim aceasta piesa:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(matrice) \right]\]

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Sarcina 6. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Din nou totul este de acord: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Numărăm produsul:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(matrice) \right]\]

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, atunci când înmulțim un vector rând și un vector coloană cu o matrice pătrată, rezultatul rezultă întotdeauna într-un rând sau coloană de aceeași dimensiune. Acest fapt are multe aplicații - de la rezolvarea ecuațiilor liniare până la tot felul de transformări de coordonate (care în cele din urmă se reduc și la sisteme de ecuații, dar să nu vorbim despre lucruri triste).

Cred că totul era evident aici. Să trecem la ultima parte a lecției de astăzi.

Exponentiarea matricei

Dintre toate operațiile de înmulțire, exponentiația merită o atenție specială - atunci înmulțim același obiect de mai multe ori. Matricele nu fac excepție; ele pot fi, de asemenea, ridicate la diferite puteri.

Astfel de lucrări sunt întotdeauna convenite:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Și sunt desemnate exact în același mod ca grade obișnuite:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

La prima vedere, totul este simplu. Să vedem cum arată asta în practică:

Sarcina 7. Ridicați matricea la puterea indicată:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Soluţie. Ei bine, hai să construim. Mai întâi să-l pătram:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(matrice) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 și 1 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Asta e tot.:)

Răspuns: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problema 8. Ridicați matricea la puterea indicată:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Soluţie. Nu plânge acum de faptul că „diploma este prea mare”, „lumea nu este corectă” și „profesorii și-au pierdut complet țărmurile”. De fapt, este ușor:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Observați că în a doua linie am folosit asociativitatea înmulțirii. De fapt, l-am folosit în sarcina anterioară, dar era implicit acolo.

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în ridicarea unei matrice la o putere. Ultimul exemplu poate fi rezumat:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Acest fapt este ușor de demonstrat prin inducție matematică sau înmulțire directă. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să prindem astfel de modele atunci când ridicați la o putere. Prin urmare, fiți atenți: adesea înmulțirea mai multor matrici „la întâmplare” se dovedește a fi mai ușoară și mai rapidă decât a căuta un fel de tipare.

În general, nu căutați un sens mai înalt acolo unde nu există. În concluzie, să luăm în considerare exponențiarea unei matrice mai mari - cât $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problema 9. Ridicați matricea la puterea indicată:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Soluţie. Să nu căutăm modele. Lucrăm înainte:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Mai întâi, să punem la pătrat această matrice:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Acum hai să-l cubăm:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matrice)(*(35)(r)) 2 și 3 și 3 \\ 3 și 2 și 3 \\ 3 și 3 și 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Asta e tot. Problema este rezolvată.

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, volumul calculelor a devenit mai mare, dar sensul nu s-a schimbat deloc. :)

Aceasta încheie lecția. Data viitoare vom avea în vedere operația inversă: folosind produsul existent vom căuta factorii originali.

După cum probabil ați ghicit deja, vom vorbi despre matricea inversă și despre metodele de găsire a acesteia.

Acest manual vă va ajuta să învățați cum să efectuați operatii cu matrici: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrice, înmulțirea matricelor, aflarea matricei inverse. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru automonitorizare și autotestare, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>.

Voi încerca să minimizez calculele teoretice; în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este invata sa efectuezi operatii cu matrici.

Pentru pregătirea SUPER FAST pe tema (cine este „pe foc”) există un curs intensiv pdf Matrice, determinant și test!

O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente. La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT este un termen. Este indicat să rețineți termenul, va apărea des, nu întâmplător am folosit font aldine pentru a-l evidenția.

Desemnare: matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Exemplu: Luați în considerare o matrice de două câte trei:

Această matrice este formată din șase elemente:

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există singure, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere!

Vom fi și noi de acord nu rearanja numere, dacă nu se specifică altfel în explicații. Fiecare număr are propria sa locație și nu poate fi amestecat!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane:

STANDARD: atunci când vorbim despre dimensiunile matricei la început indicați numărul de rânduri și abia apoi numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei.

Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat, De exemplu: – o matrice de trei câte trei.

Dacă o matrice are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrici vectori.

De fapt, conceptul de matrice îl cunoaștem încă de la școală; luați în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite pe plan.

Acum să trecem la studii operatii cu matrici:

1) Primul act. Eliminarea unui minus din matrice (introducerea unui minus în matrice).

Să revenim la matricea noastră . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod din punctul de vedere al efectuării diferitelor acțiuni cu matricea, este incomod să scrieți atât de multe minusuri și pur și simplu arată urât în ​​design.

Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă; zero este zero și în Africa.

Exemplu invers: . Arată urât.

Să introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, s-a dovedit mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există un astfel de semn popular matematic: cu cât mai multe minusuri, cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Actul doi. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Exemplu:

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecare element de matrice înmulțit cu un număr dat. În acest caz - un trei.

Un alt exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Mai întâi să ne uităm la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NEVOIE să introduceți o fracție în matrice; în primul rând, complică doar acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția (mai ales dacă – răspunsul final al sarcinii).

Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim că la matematica superioară se încearcă să evite fracțiile zecimale cu virgule în toate modurile posibile.

Singurul lucru este preferabil Ce trebuie să faceți în acest exemplu este să adăugați un minus la matrice:

Dar dacă numai TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

Exemplu:

În acest caz, puteți TREBUIE SAînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele matricei sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „diviziune”. În loc să spuneți „acest împărțit cu asta”, puteți spune întotdeauna „acest înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

3) Actul trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

Exemplu:

Transpune matricea

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

– matrice transpusă.

O matrice transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un prim în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpune matricea

Mai întâi rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem a doua linie în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, transpunerea înseamnă întoarcerea matricei pe o parte.

4) Actul patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRICILE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată numai cu o matrice două câte două și nu alta!

Exemplu:

Adăugați matrici Și

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

Exemplu:

Găsiți diferența de matrice ,

Cum poți rezolva mai ușor acest exemplu, ca să nu te încurci? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile; pentru a face acest lucru, adăugați un minus la matrice:

Notă: în teoria matematicii de învățământ superior nu există conceptul de „scădere”. În loc să spuneți „scădeți acest lucru din asta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică scăderea este un caz special de adunare.

5) Actul cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, este necesar astfel încât numărul de coloane de matrice să fie egal cu numărul de rânduri de matrice.

Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Aceasta înseamnă că datele matricei pot fi multiplicate.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea nu este posibilă:

Nu este atât de rar să întâlniți sarcini cu un truc, atunci când elevului i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile