Operații aritmetice în sistem binar

Regulile pentru efectuarea operațiilor aritmetice pe numere binare sunt date prin tabele de adunare, scădere și înmulțire.

Regula pentru efectuarea operației de adunare este aceeași pentru toate sistemele de numere: dacă suma cifrelor adăugate este mai mare sau egală cu baza sistemului numeric, atunci unitatea este transferată la următoarea cifră din stânga. La scadere, daca este necesar, faceti un imprumut.

În mod similar, operațiile aritmetice sunt efectuate în sisteme octale, hexazecimale și alte sisteme numerice. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că valoarea transferului către următoarea cifră atunci când se adună și se împrumută din cea mai mare cifră la scădere este determinată de valoarea bazei sistemului numeric.

Operații aritmetice în sistemul de numere octale

Opt cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) sunt folosite pentru a reprezenta numerele în sistemul de numere octale, deoarece baza sistemului de numere octale este 8. Toate operațiunile sunt efectuate folosind aceste opt cifre. Operațiile de adunare și înmulțire în sistemul de numere octale se realizează folosind următoarele tabele:

Tabele de adunare și înmulțire în sistemul de numere octale

Operații aritmetice în sistem numeric hexazecimal

Pentru a reprezenta numere în sistemul hexazecimal, se folosesc șaisprezece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. În sistemul hexazecimal, numărul șaisprezece este scris ca 10. Efectuarea operațiilor aritmetice în sistemul hexazecimal se realizează ca și în sistemul zecimal, dar atunci când se efectuează operații aritmetice pe numere mari, este necesar să se folosească tabelele de adunare și înmulțire a numerelor din sistemul de numere hexazecimal.

Tabel de adunare în sistemul numeric hexazecimal

Tabel de înmulțire în sistem numeric hexazecimal

Luați în considerare operațiile aritmetice de bază: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Regulile pentru efectuarea acestor operații în sistemul zecimal sunt binecunoscute - aceasta este adunarea, scăderea, înmulțirea cu o coloană și împărțirea printr-un unghi. Aceste reguli se aplică tuturor celorlalte sisteme de numere poziționale. Trebuie doar să utilizați tabele speciale de adunare și înmulțire pentru fiecare sistem.

1. Adăugarea

Tabelele de adunare sunt ușor de creat folosind regulile de numărare.

La adăugare, numerele sunt însumate prin cifre, iar dacă apare un exces, atunci acesta este transferat la stânga.

Exemplul 1 Să adăugăm numerele 15 și 6 în sisteme numerice diferite.

Exemplul 2 Să adunăm numerele 15, 7 și 3.

Exemplul 3 Să adunăm numerele 141,5 și 59,75.

Răspuns: 141,5 + 59,75 = 201,25 10 = 11001001,01 2 = 311,2 8 = C9,4 16

Examinare. Să convertim sumele primite în formă zecimală:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. Scăderea

Împrumutunități de ordin înalt

Exemplul 4 Scădeți unul din numerele 10 2 , 10 8 și 10 16

Exemplul 5 Scădeți unul din numerele 100 2 , 100 8 și 100 16 .

Exemplul 6 Scădeți numărul 59,75 din numărul 201,25.

Răspuns: 201,25 10 - 59,75 10 = 141,5 10 = 10001101,1 2 = 215,4 8 = 8D.8 16.

Examinare. Să convertim diferențele rezultate în formă zecimală:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1+D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

Notă:
Puteți efectua acțiuni numai într-un singur sistem numeric, dacă vi se oferă sisteme de numere diferite, mai întâi traduceți toate numerele într-un singur sistem numeric
Dacă lucrați cu un sistem numeric a cărui bază este mai mare de 10 și ați întâlnit o literă în exemplu, înlocuiți-o mental cu un număr în sistemul zecimal, efectuați operațiunile necesare și traduceți rezultatul înapoi în sistemul de numere original

Plus:
Toată lumea își amintește cum în școala elementară am fost învățați să stăm într-o coloană, descărcare cu descărcare. Dacă adunarea în descărcare a rezultat într-un număr mai mare de 9, am scăzut 10 din acesta, rezultatul a fost înregistrat în răspuns și 1 a fost adăugat la următoarea descărcare. Din aceasta putem formula o regulă:

1. Este mai convenabil să pliați „coloana”
2. Adunând bit cu bit, dacă cifra din cifra > este mai mare decât cea mai mare cifră a alfabetului sistemului de numere dat, scădem baza sistemului numeric din acest număr.
3. Rezultatul este scris în categoria dorită
4. Adăugați una la următoarea cifră

Adăugați 1001001110 și 100111101 în binar

Răspuns: 1110001011

Adăugați F3B și 5A în hexazecimal

Răspuns: FE0

Scădere: Toată lumea își amintește cum în școala elementară am fost învățați să scădem o coloană, o descărcare de la o descărcare. Dacă, la scăderea cifrei, s-a obținut un număr mai mic decât 0, atunci am „împrumutat” o unitate de la cea mai mare cifră și am adăugat 10 la numărul dorit, am scăzut numărul dorit din noul număr. Din aceasta putem formula o regulă:

1. Scădeți mai convenabil „coloana”
2. Scăderea pe biți dacă cifra se află în cifră< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Scăderea

Scădeți 100111101 din 1001001110 în binar

Răspuns: D96

Cel mai important, nu uitați că aveți la dispoziție doar numerele acestui sistem de numere, ci doar nu uitați de tranzițiile dintre termenii de biți.
Multiplicare:

Înmulțirea în alte sisteme de numere are loc exact în același mod în care obișnuiam să înmulțim.

1. Este mai convenabil să înmulțiți cu o „coloană”
2. Înmulțirea în orice sistem numeric urmează aceleași reguli ca și în zecimală. Dar putem folosi doar alfabetul dat de sistemul numeric

Înmulțiți 10111 cu 1101 în binar

Răspuns: 984E

Răspuns: 984E

Divizia:

Împărțirea în alte sisteme numerice are loc exact în același mod în care suntem obișnuiți cu împărțirea.

1. Este mai convenabil să distribuiți într-o „coloană”
2. Împărțirea în orice sistem numeric are loc după aceleași reguli ca și în zecimală. Dar putem folosi doar alfabetul dat de sistemul numeric

Exemplu:

Împărțiți 1011011 la 1101 în binar

Divide F3 B până la numărul 8 în sistemul numeric hexazecimal

Cel mai important, nu uitați că aveți la dispoziție doar numerele acestui sistem de numere, ci doar nu uitați de tranzițiile dintre termenii de biți.

NEPOZIȚIONALĂ

Sisteme numerice non-poziționale

Sistemele numerice non-poziționale au apărut primele din punct de vedere istoric. În aceste sisteme, valoarea fiecărui simbol digital este constantă și nu depinde de poziția acestuia. Cel mai simplu caz al unui sistem nepozițional este unul singur, pentru care se folosește un singur simbol pentru a desemna numere, de regulă este o linie, uneori un punct, din care se pune întotdeauna numărul corespunzător numărului desemnat:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, etc.

Deci acest singur personaj contează unitati, din care numărul necesar se obține prin adunare succesivă:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

O modificare a sistemului de unități este un sistem cu o bază, în care există simboluri nu numai pentru desemnarea unității, ci și pentru gradele bazei. De exemplu, dacă numărul 5 este luat ca bază, atunci vor exista caractere suplimentare pentru a indica 5, 25, 125 și așa mai departe.

Un exemplu de astfel de sistem cu baza 10 este sistemul egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului III î.Hr. Acest sistem avea următoarele hieroglife:

• șase unități,
• arc - zeci,
• frunza de palmier - sute,
• floare de lotus - mii.

Numerele au fost obținute prin simplă adunare, ordinea putea fi oricare. Deci, pentru a desemna, de exemplu, numărul 3815, au desenat trei flori de lotus, opt frunze de palmier, un arc și cinci stâlpi. Sisteme mai complexe cu semne suplimentare - vechiul grec, roman. Cel roman folosește și un element al sistemului pozițional - se adaugă un număr mare în fața unuia mai mic, se scade unul mai mic în fața unuia mai mare: IV \u003d 4, dar VI \u003d 6, această metodă, cu toate acestea, este folosit exclusiv pentru a indica numerele 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 și derivatele lor prin adunare.

Sistemele greacă modernă și rusă veche au folosit 27 de litere ale alfabetului ca numere, unde au notat fiecare număr de la 1 la 9, precum și zeci și sute. Această abordare a făcut posibilă scrierea numerelor de la 1 la 999 fără a repeta cifrele.

În vechiul sistem rusesc, cadrele speciale în jurul numerelor erau folosite pentru a desemna numere mari.

Sistemul de numerotare non-pozițională este încă folosit aproape peste tot ca sistem de numerotare verbală. Sistemele de numerotare verbală sunt strâns legate de limbaj, iar elementele lor comune se referă în principal la principiile generale și denumirile numerelor mari (trilioane și mai sus). Principiile generale care stau la baza numerotării verbale moderne presupun formarea unei desemnări prin adăugarea și înmulțirea semnificațiilor numelor unice.

Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:
Conversia numerelor în sisteme de numere binare, hexazecimale, zecimale, octale
Înmulțirea numerelor binare
Format virgulă mobilă
Exemplul #1. Exprimați numărul 133,54 ca număr în virgulă mobilă.
Soluţie. Să reprezentăm numărul 133,54 într-o formă exponențială normalizată:
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Numărul 1,3354*exp 10 2 este format din două părți: mantisa M=1,3354 și exponentul exp 10 =2
Dacă mantisa este în intervalul 1 ≤ M Reprezentarea unui număr în formă exponențială denormalizată.
Dacă mantisa este în intervalul 0,1 ≤ M Să reprezentăm numărul în formă exponențială denormalizată: 0,13354*exp 10 3

Exemplul #2. Reprezentați numărul binar 101.10 2 într-o formă normalizată, scrieți în standardul IEEE754 pe 32 de biți.
tabelul de adevăr

Aritmetica în sistem binar

1. Când adăugați două unități în sistemul de numere binar, acest bit va fi 0 și va avea loc un transfer de una la cel mai înalt bit.
2. Când scădeți unul din zero, unul este împrumutat din ordinul cel mai înalt, unde există 1. O unitate ocupată în acest loc dă două unități în locul în care se calculează acțiunea, precum și una, în toate locurile intermediare.

Adăugarea numerelor, ținând cont de semnele lor pe mașină, este o secvență a următoarelor acțiuni:

• conversia numerelor originale la codul specificat;
• adăugarea codurilor pe biți;
• analiza rezultatului.

Exemplul #1.
Dat: x=0,110001; y= -0,001001, adăugați codul modificat invers.

Dat: x=0,101001; y= -0,001101, adăugați cod suplimentar modificat.

Exemplul #2. Rezolvați exemple de scădere binară folosind complementul la 1 și metoda de înfășurare.
a) 11 - 10.
Soluţie.
Să reprezentăm numerele 11 2 și -10 2 în codul invers.

Numărul binar 0000011 are un cod returnat de 0,0000011

Să adăugăm numerele 00000011 și 11111101

b) 111-010 Să reprezentăm numerele 111 2 și -010 2 în codul invers.
Codul invers pentru un număr pozitiv este același cu codul direct. Pentru un număr negativ, toate cifrele numărului sunt înlocuite cu unele opuse (1 la 0, 0 la 1), iar una este introdusă în bitul de semn.
Numărul binar 0000111 are un cod returnat de 0,0000111
Numărul binar 0000010 are un cod returnat de 1.1111101
Să adăugăm numerele 00000111 și 11111101
A avut loc o depășire în al 0-lea bit (1 + 1 = 10). Prin urmare, scriem 0 și transferăm 1 la primul bit.

Adunarea numerelor reale binare în virgulă mobilă