Viteza calculelor, capacitatea memoriei și complexitatea algoritmilor pentru efectuarea operațiilor aritmetice depind de sistemul de numere care va fi utilizat în computer.

Faptul este că pentru reprezentarea fizică (imaginea) numerelor sunt necesare elemente care pot fi într-una din mai multe stări stabile. Numărul acestor stări trebuie să fie egal cu baza sistemului de numere utilizat. Apoi fiecare stare va reprezenta cifra corespunzătoare din alfabetul unui anumit sistem de numere.

Sistemul de numere zecimale care ne este familiar nu este cel mai bun pentru utilizare în computere. Pentru a reprezenta orice număr în sistemul zecimal, sunt necesare zece simboluri diferite. La implementarea acestui sistem de numere într-un computer, sunt necesare elemente funcționale care au exact zece stări stabile, fiecare dintre acestea fiind atribuită unui anumit număr. Astfel, mașinile de adăugare folosesc roți dințate rotative, pentru care sunt fixate zece poziții stabile. Dar mașina de adăugare și alte dispozitive mecanice similare au un dezavantaj serios - performanță scăzută.

Crearea elementelor funcționale electronice care au multe stări stabile este dificilă. Cele mai simple din punct de vedere al implementării tehnice sunt așa-numitele elemente cu două poziții, capabile să fie într-una din cele două stări stabile, de exemplu:

· releul electromagnetic este închis sau deschis;

· suprafata feromagnetica este magnetizata sau demagnetizata;

· tubul electronic de vid (pentru primele computere) este pornit sau oprit;

· miezul magnetic este magnetizat într-o anumită direcție sau în sens invers;

· comutatorul tranzistorului este în stare conductivă sau blocată;

· o secțiune a suprafeței unui mediu de stocare magnetic este magnetizată sau demagnetizată;

· o secțiune a suprafeței unui disc laser reflectă sau nu reflectă etc.

Una dintre aceste stări stabile poate fi reprezentată de numărul 0, cealaltă de numărul 1. Există și alte avantaje semnificative asociate cu sistemul binar. Oferă imunitate maximă la zgomot în timpul transmiterii de informații atât între nodurile individuale ale dispozitivului automat, cât și pe distanțe lungi. Efectuează operații aritmetice extrem de simplu și permite utilizarea algebrei booleene pentru a efectua transformări logice ale informațiilor.

Datorită acestor caracteristici, sistemul binar a devenit un standard în construcția computerelor.

Sistemele de numere octale și hexazecimale sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în computere. Schimbul de informații între dispozitivele majorității computerelor se realizează prin transmiterea de cuvinte binare. Din cauza lungimii lor mari și a uniformității vizuale, este incomod pentru o persoană să folosească astfel de cuvinte. Prin urmare, specialiștii (programatori, ingineri), atât în ​​etapele de compilare a programelor simple pentru microcalculatoare, depanarea acestora, introducerea și ieșirea manuală a datelor, cât și în etapele de dezvoltare, creare și configurare a sistemelor informatice, înlocuiesc codurile de comandă a mașinii, adresele și operanzi cu valori echivalente în sistemul numeric octal sau hexazecimal. Ca urmare, lungimea cuvântului original este redusă de 3 sau, respectiv, de 4 ori. Acest lucru face ca informațiile să fie mai convenabile pentru revizuire și analiză. Astfel, sistemele de numere octale și hexazecimale acționează ca cel mai simplu limbaj de comunicare între o persoană și un computer, care este destul de aproape atât de sistemul de numere zecimal cunoscut oamenilor, cât și de „limbajul” binar al unei mașini.

Calculatorul foloseste numai binar notaţie. Toată logica se bazează pe principiul că există un semnal - 1 și nu există niciun semnal - 0. Orice altceva este o reprezentare a numerelor.
Metode de transfer rapid:
de la binar la hexazecimal:
Împărțiți un număr binar în segmente de patru biți și
0000 - 0h
0001 - 1h
0010 - 2h
0011 - 3h
0100 - 4h
0101 - 5h
0110 - 6h
0111 - 7h
1000 - 8h
1001 - 9h
1010 - Ah
1011 - Bh
1100 - Ch
1101 - Dh
1110 - Eh
1111 - Fh
deci numărul tău este în hexazecimal
1001 0101 0110 0111 - 9567h
Ei bine, pentru octal vă puteți da seama singur.

Răspuns: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16.

3. Sisteme numerice utilizate în calculatoare. Convertiți din sisteme de numere binar, octal și hexazecimal în zecimal.

După cum știți, computerele sunt concepute pentru a procesa informații și sunt un tip privat, dar cel mai comun de mașină digitală.

Organizarea funcțională și structurală a calculatoarelor digitale se bazează pe anumite principii care formează baza metodologică a calculului digital. Organizarea funcțională a calculatoarelor digitale se bazează pe principiul controlului programului și al codării binare a informațiilor. Principiul controlului programului poate fi implementat de sisteme cu structuri diferite, proprietăți funcționale și performanțe diferite.

Pentru a studia cu succes principiile generale ale prelucrării informației digitale, este rațional, pe cât posibil, să faceți abstracție de la hardware-ul real al computerului și să considerați computerul ca un automat digital abstract conceput pentru a procesa informațiile prezentate în formă digitală, această instrucțiune metodologică a fost dezvoltat.

Această instrucțiune metodologică este destinată studenților care studiază la specialitatea „Informatică și Tehnologia Informației” 5521900, redactată în conformitate cu programa pentru trei lecții practice din cursul „Fundamentele informaționale ale sistemelor de calcul”.

Prezentarea informațiilor pe computer.

Orice informație este reprezentată într-un computer sub formă de numere și este localizată în RAM, acest lucru se întâmplă deoarece informațiile digitale sunt foarte convenabile de codat, ceea ce înseamnă că este convenabil de stocat și procesat.

Un bit (din cifră binară) este luat ca unitate de reprezentare a informațiilor într-un computer. Bitul poate lua valorile 0 sau 1.

Un bit este o unitate foarte mică de informații; este convenabil pentru stocarea informațiilor într-un computer, dar incomod pentru procesarea acesteia.

Procesarea informațiilor într-un computer este efectuată de un cip special - un procesor care poate procesa simultan un grup de biți. Prin urmare, un octet, care este o secvență de opt biți, este luat ca unitate de procesare sau transmitere a informațiilor. octeți poate fi combinat cu doi, patru, opt octeți și formează un cuvânt (celulă) standard, lung, incomplet. Fiecare celulă poate conține un număr sau o comandă, scrisă folosind unu și zerouri. Metoda de reprezentare a numerelor folosind semne numerice (cifre) se numește sistemul numeric (SS). Regulile de înregistrare și operare a numerelor în SS utilizate în calculul digital determină bazele aritmetice ale calculatoarelor digitale.

Sisteme numerice.

În calculatoare, un sistem numeric cu o bază care este o putere întreagă de 2 este utilizat pe scară largă, de exemplu. binar, octal și hexazecimal.

Pentru a scrie numere binare se folosesc două cifre: 0 și 1. Adunarea și înmulțirea se efectuează după următoarele reguli:

Operațiile pe numere cu mai multe cifre sunt efectuate conform principiului adunării și înmulțirii pe biți folosind aceste tabele.

Sistemul de numere binar este pozițional, precum și octal, hexazecimal, adică semnificația unui număr depinde de poziția pe care o ocupă. Pentru a scrie numere în sistemul octal se folosesc 8 cifre: 0,1,2,3.4,5,6,7.

Acțiunile asupra lor sunt determinate și de tabele de adunare și înmulțire. Pentru a scrie numere în sistemul hexazecimal, se folosesc șaisprezece cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Reprezentarea numerelor zecimale întregi în diverse sisteme este prezentată în Tabelul 1.1.

Tabelul 1.1

Asa de. în sistemul binar (baza sistemului este 10 2 = 2 10), cifra cea mai puțin semnificativă este cifra celor, iar fiecare următoare este de 10 2 ori mai mare, i.e. dacă vorbim despre echivalentul zecimal de 2 10 ori mai mult. Să verificăm rezultatul exemplului 3 pe baza considerațiilor anterioare: în cea mai mică cifră există unul unu + în următoarea cifră: unul doi + în următorul patru + în următorul opt, prin urmare, numărul 1111 2 =

1 10 +2 10 +4 10 +8 10 =15 10 toate.

Să ne uităm la exemplul 4: 10101 2: 11=111

10101 2 = 116 + 08 +402+1=21 10

11 2 =1+2=3 10 .

Prin urmare, am împărțit 21 la 3, scris în sistem binar, ca rezultat obținem 111 2 =14+21 +1=7, adică. acțiunea a fost efectuată corect.

Orice număr A=a n a n -1 …..a 1 a 0 scris într-un sistem pozițional cu o bază q poate fi furnizat ca sumă.

De exemplu:

162 10 =110 2 10 +610 10 +2,

AB1 16 =A10 10 2 +B10 16 +1

73 8 =710 8 +3

unde q este baza sistemului numeric (este reprezentat ca 10 în toate sistemele)
- numerele acestui sistem numeric.

Principiul poziționalității stă la baza regulii de conversie a numerelor dintr-un sistem în altul. Trebuie avut în vedere că numărul 10 2 din sistemul binar corespunde numărului 2 10 din sistemul zecimal (10 2 = 2 10). În mod similar 10 8 =8 10, 10 16 =16 10.

De exemplu, numere: 25,03 8 ; 18,6 10; 101,10 2; A9B 16 poate fi reprezentat ca o expansiune și apoi convertit la sistemul zecimal după cum urmează:

Conversia de la sistemele octale și hexazecimale la binar și invers constă în simpla înlocuire a cifrelor cu trei (tirade) sau patru (tetradă) caractere binare. De aceea, mai întâi octal, apoi hexazecimal S.S. sunt folosite ca intermediar între binarul nostru zecimal și mașină S.S.

Exemplul 1.
număr octal

număr hexazecimal

Calculatoarele electronice sunt dispozitive electronice concepute pentru a colecta, transmite, stoca, procesa și emite informații. Termenul „tehnologie electronică de calcul” este adesea identificat cu un alt termen – „calculator electronic” (calculator). În esență, pe lângă calculatoare, dispozitivele electronice de calcul pot include și dispozitive electronice care asigură transferul de informații (diverse date) pe distanțe. Aceste dispozitive de comunicare fac posibilă combinarea mai multor computere într-un singur complex sau introducerea datelor într-un computer din puncte îndepărtate de acesta, precum și transferul rezultatelor calculelor către acestea.

Calculatoarele sunt împărțite în digitale și analogice. La rândul lor, calculatoarele digitale sunt împărțite în universale și de control.

Calculatoarele de uz general sunt concepute pentru a rezolva probleme (prelucrarea informațiilor), a căror natură specifică nu este specificată în timpul dezvoltării sale. Un computer universal constă dintr-un set de dispozitive pentru diverse scopuri funcționale, conectate între ele prin fire. Setul specific de dispozitive care compun un computer de acest tip trebuie să fie în întregime determinat de natura sarcinilor pentru care este destinată această mașină. În principiu, toate dispozitivele informatice pot fi clasificate în una din următoarele grupe: 1) dispozitive de intrare destinate introducerii de informații și programe în calculator; 2) dispozitive de stocare care stochează informații; 3) un dispozitiv aritmetic care prelucrează informații în conformitate cu un program dat; 4) dispozitive de ieșire care oferă rezultate; 5) dispozitive de control care coordonează și controlează funcționarea atât a dispozitivelor individuale, cât și a computerului în ansamblu.

Dispozitivele de stocare ale computerelor sunt împărțite în operaționale și externe. Operațional - cu acțiune rapidă, capacitate relativ mică; stochează datele utilizate în această etapă de calcul; toate celelalte informații sunt stocate în memoria externă - capacitate relativ lentă și mare. În calculatoarele moderne, se obișnuiește (este proiectat structural) să se combine RAM și un dispozitiv aritmetic într-un singur computer central bloc (procesor), la care, folosind dispozitive speciale cu canale incluse în computerul central, alte dispozitive, care sunt de obicei numite periferice, sunt conectate. Un computer modern este un complex complex, a cărui funcționare este controlată de intrarea procesului de calcul) este automatizat folosind programe speciale de control incluse în software-ul computerului.

Calculatoarele de control sunt proiectate pentru a controla procesele într-o mare varietate de domenii. Informațiile introduse în ele reprezintă date despre progresul unui anumit proces, obținute de la senzori. Rezultatele prelucrării (calculelor) sunt implementate prin dispozitive care asigură fluxul necesar procesului controlat. Calculatoarele analogice (ACM) sunt destinate rezolvării ecuațiilor și modelării electronice a diferitelor procese.

În prezent, calculatoarele sunt utilizate pe scară largă în medicină în scopul diagnosticării mașinilor și al construcției de sisteme de control automate (ACS).

Calculatoare electronice (calculatoare). Elementele principale de circuit ale unui computer sunt dispozitive electronice - tuburi vidate sau tranzistoare (vezi Amplificatoare electronice). În comparație cu alte tipuri de computere (aritmometru, mașină electromecanică cu tastatură), calculatoarele sunt mai rapide, mai versatile și mai fiabile în funcționare și, cel mai important, mai automatizate. Înainte de a începe lucrul, programul de calcul și datele inițiale pentru rezolvarea problemei sunt introduse în computer, după care calculele sunt efectuate automat până la obținerea rezultatului final. Pe lângă operațiile matematice și logice obișnuite pe un program dat, calculatoarele pot efectua operații de salt condiționate care modifică programul de calcul în funcție de rezultate intermediare sau de alte condiții suplimentare. Această caracteristică a computerului (autocontrol) la viteză mare (până la 1.000.000 de operații pe secundă) vă permite să efectuați calcule foarte complexe, să controlați procese tehnologice, să efectuați procesări logice și matematice a rezultatelor experienței sau analizei clinice în mod continuu pe parcursul cursului de cercetare (vezi Cibernetica).

Pe baza principiului de funcționare, computerele sunt împărțite în analogice și digitale. În calculatoarele analogice, numerele sau procesele care sunt supuse prelucrării matematice sau logice sunt înlocuite cu valori continue corespunzătoare ale curenților sau tensiunilor electrice, cu care se efectuează operațiunile necesare. Precizia calculelor este determinată de erorile de măsurare și se află în intervalul 10-0,1%. Calculatoarele analogice sunt utilizate în principal pentru rezolvarea ecuațiilor integrale și diferențiale, modelarea și controlul proceselor în timp real, mai ales dacă nu este necesară o precizie mare.

În calculatoarele digitale, calculele sunt efectuate folosind elemente care se află într-un număr finit de stări discrete (de obicei două sau zece). Prin urmare, înainte de introducere, procesele continue trebuie reprezentate în formă digitală, care se realizează folosind convertoare speciale analog-cod. Precizia calculelor este determinată de adâncimea de biți - numărul de cifre (biți) dintr-o celulă de „memorie” (de obicei, 7-10 cifre zecimale). În practică, pe computerele digitale, orice precizie necesară poate fi obținută folosind un program.

Un computer modern este format din următoarele componente principale. 1. Un dispozitiv aritmetic în care se efectuează operații de bază. 2. Dispozitiv de stocare (deosebiți între pe termen lung și operațional). În stocarea pe termen lung, datele sunt stocate pe discuri magnetice, tobe, benzi sau carduri perforate. Timpul de stocare a informațiilor și volumul de stocare pe termen lung sunt practic nelimitate, dar viteza de acces este mai mică, cu atât volumul este mai mare. Memoria cu acces aleatoriu se realizează de obicei pe elemente feromagnetice, tuburi catodice sau tuburi vid. Timpul necesar pentru a căuta informații într-un dispozitiv de memorie cu acces aleatoriu este de ordinul a milioane de secundă, dar volumul acestuia este întotdeauna limitat. 3. Dispozitiv de introducere a datelor. 4. Dispozitiv de ieșire a datelor. Introducerea se realizează din bandă perforată, carduri perforate, benzi magnetice. Ieșirea în cele mai multe cazuri este realizată de un dispozitiv de imprimare directă (în computerele moderne, intrarea și ieșirea datelor sunt cele mai lente operațiuni). 5. Dispozitivul de control asigură funcționarea automată a tuturor dispozitivelor informatice în conformitate cu programul.

Calculatoarele tipice moderne de putere medie necesită spații de 40-60 m 2, 5-20 personal de service, 10-20 keturi pentru alimente.

Principalele domenii de aplicare a calculatoarelor în medicină și biologie sunt următoarele. 1. Diagnosticul bolilor, determinarea prognosticului și selectarea opțiunii optime de tratament, clasificarea obiectelor biologice. 2. Prelucrarea automată a datelor experimentale și clinice (selectarea componentelor obișnuite în electroencefalograme și neurograme, analiza spectrală și de corelație a proceselor biologice, numărarea și clasificarea celulelor sanguine sau a preparatelor histologice, analiza datelor radiografice, prelucrarea datelor de examinare cu raze X) . 3. Implementarea modelelor matematice și fizice (modelarea rețelelor nervoase, comportamentul, metabolismul în organism sau în celule individuale, organe sau sisteme individuale ale corpului, comportamentul populațiilor de animale). 4. Calcule stereotactice în timpul operațiilor asupra creierului uman. 5. Automatizarea procesării materialelor de arhivă medicală. 6. Predicția proprietăților farmacologice ale substanțelor pe baza caracteristicilor lor fizice și chimice. 7. Controlul automat al respirației artificiale și al circulației sângelui în timpul operațiilor și la monitorizarea pacienților în stare gravă. 8. Planificarea și automatizarea experimentelor lungi și costisitoare. Există tendința de a extinde în continuare domeniile de aplicare a computerelor în biologie și medicină.

Numerele întregi sunt cele mai simple date numerice cu care operează un computer. Există două reprezentări pentru numere întregi: fără semn (numai pentru numere întregi nenegative) și semnate. Evident, numerele negative pot fi reprezentate doar sub formă semnată. Numerele întregi dintr-un computer sunt stocate în format punct fix.

Reprezentarea numerelor întregi în tipuri de întregi fără semn.

Pentru o reprezentare fără semn, toți biții celulei sunt alocați pentru a reprezenta numărul în sine. De exemplu, un octet (8 biți) poate reprezenta numere fără semn de la 0 la 255. Prin urmare, dacă se știe că o valoare numerică este nenegativă, atunci este mai profitabil să o tratezi ca nesemnată.

Reprezentarea numerelor întregi în tipuri de numere întregi cu semn.

Pentru reprezentarea cu semn, bitul cel mai semnificativ (stânga) este alocat semnului numărului, biții rămași sunt alocați numărului însuși. Dacă numărul este pozitiv, atunci 0 este plasat în bitul de semn, dacă este negativ - 1. De exemplu, numerele de semn de la - 128 la 127 pot fi reprezentate într-un octet.

Cod numeric direct.

Reprezentarea unui număr în forma obișnuită „semn” - „magnitudine”, în care cea mai semnificativă cifră a celulei este alocată semnului, iar restul - pentru scrierea numărului în sistemul binar, se numește cod direct număr binar. De exemplu, codul direct al numerelor binare 1001 și - 1001 pentru o celulă de 8 biți este 00001001 și, respectiv, 10001001.

Numerele pozitive sunt întotdeauna reprezentate într-un computer folosind cod direct. Codul direct al numărului coincide complet cu înregistrarea numărului în sine în celula mașinii. Codul direct al unui număr negativ diferă de codul direct al numărului pozitiv corespunzător numai în conținutul bitului de semn. Dar numerele întregi negative nu sunt reprezentate într-un computer folosind codul direct; cod suplimentar.

Cod număr suplimentar.

Adiţionalcod numărul pozitiv este egal cu codul direct al acestui număr. Codul complementului a doi al unui număr negativ m este 2 k -|m|, unde k este numărul de cifre din celulă.

După cum sa menționat deja, atunci când reprezintă numere nenegative într-un format nesemnat, toate cifrele celulei sunt alocate numărului însuși. De exemplu, scrierea numărului 243=11110011 într-un octet cu reprezentare fără semn va arăta astfel:

Când reprezintă numere întregi cu semn, cea mai semnificativă cifră (stânga) este alocată semnului numărului și rămâne o cifră mai puțin pentru numărul însuși. Prin urmare, dacă starea de mai sus a celulei este considerată ca o înregistrare a unui număr întreg cu semn, atunci pentru computer numărul scris în această celulă este 13 (243+13=256=28).

Dar dacă același număr negativ este scris într-o celulă de 16 cifre, atunci conținutul celulei va fi după cum urmează:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

Cifra semnului Se pune întrebarea: în ce scop sunt scrise numerele negative sub forma unui cod suplimentar și cum se obține codul suplimentar al unui număr negativ? Se folosește un cod suplimentar pentru a simplifica operațiile aritmetice. Dacă un computer a lucrat cu coduri directe de numere pozitive și negative, atunci atunci când se efectuează operații aritmetice ar trebui efectuate o serie de acțiuni suplimentare. De exemplu, atunci când adăugați, ar trebui să verificați semnele ambilor operanzi și să determinați semnul rezultatului. Dacă semnele sunt aceleași, atunci se calculează suma operanzilor și i se atribuie același semn. Dacă semnele sunt diferite, atunci numărul mai mic este scăzut din numărul mai mare în valoare absolută și rezultatul este atribuit semnul numărului mai mare. Adică, cu o astfel de reprezentare a numerelor (sub formă doar de cod direct), operația de adunare este implementată printr-un algoritm destul de complex. Dacă numerele negative sunt reprezentate sub formă de cod complementar, atunci operația de adunare, inclusiv a celor de semne diferite, se reduce la adunare pe biți.

Reprezentarea computerizată a numerelor întregi utilizează de obicei unul, doi sau patru octeți, ceea ce înseamnă că celula de memorie va avea opt, șaisprezece sau, respectiv, treizeci și doi de biți.

Algoritm pentru obținerea codului complementar al unui număr negativ.

Pentru a obține un cod suplimentar de k-biți pentru un număr negativ, trebuie

• 1. reprezintă modulul unui număr negativ în cod direct în k cifre binare;
• 2. inversează valoarea tuturor biților: înlocuiți toate zerourile cu unu, iar cele cu zerouri (astfel, se obține un cod invers de k-biți al numărului original);
• 3. Adăugați unul la codul invers primit.

Obținem codul complementar pe 8 biți al numărului - 52:

• 00110100 - numărul |-52|=52 în cod direct
• 11001011 - număr - 52 în cod invers
• 11001100 - număr - 52 în cod complementar

Puteți observa că reprezentarea unui număr întreg nu este foarte convenabilă de reprezentat în binar, așa că reprezentarea hexazecimală este adesea folosită:

Reprezentarea numerelor reale într-un calculator.

Pentru a reprezenta numerele reale în calculatoarele moderne, a fost adoptată metoda reprezentării punctul de plutire. Această metodă de reprezentare se bazează pe notația normalizată (exponențială) a numerelor reale.

Ca și în cazul numerelor întregi, atunci când reprezintă numere reale într-un computer, sistemul binar este cel mai des folosit, prin urmare, numărul zecimal trebuie mai întâi convertit în sistemul binar.

Notație numerică normalizată.

Normalizatînregistrare numărul real diferit de zero este o notație a formei

unde q este un număr întreg (pozitiv, negativ sau zero), iar m este o fracție P-ară proprie în care prima cifră după virgulă zecimală nu este egală cu zero, adică. În acest caz m se numește mantisa numere, q - în ordine numere.

• 1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 10 1 ;
• 2. 1000=0,1 * 10 4 ;
• 3. 0,123456789 = 0,123456789 * 10 0 ;
• 4. 0,0000107 8 = 0,1078 * 8 -4; (ordinea este scrisă în al 10-lea sistem)
• 5. 1000,0001 2 = 0, 100000012 * 2 4 .

Deoarece numărul zero nu poate fi scris în forma normalizată în forma în care a fost definit, credem că notația normalizată a lui zero în al 10-lea sistem va fi după cum urmează:

0 = 0,0 * 10 0 .

Notație științifică normalizată numerele sunt o notație de forma a= m*P q, unde q este un număr întreg (pozitiv, negativ sau zero), iar m este o fracție P-arială în care partea întreagă este formată dintr-o cifră. În acest caz se numește (m-parte întreg). mantisa numere, q - în ordine numere.

Pentru reprezentarea numerelor se folosesc anumite tehnici și reguli, numite sisteme numerice. Toate sistemele de numere cunoscute sunt împărțite în două grupe: sisteme de numere poziționale și sisteme de numere non-poziționale.

Sistem numeric non-pozițional este un sistem în care semnificația unui simbol, număr, semn sau hieroglifă nu depinde de poziția acestui simbol în numărul reprezentat. ÎN sisteme poziționale dimpotrivă, semnificația unui simbol depinde de poziția acelui simbol în numărul reprezentat. Sistemele non-poziționale, fiind mai simple, au apărut din punct de vedere istoric mult mai devreme decât sistemele poziționale. Au fost folosite de vechii slavi, chinezi și alte popoare.

Una dintre varietățile de sisteme non-poziționale a supraviețuit până în zilele noastre - sistemul numeric roman. Folosește așa-numitele numere romane: eu- 1, V- 5, X- 10, L- 50, C- 100, D- 500, M- 1000. Valoarea unui număr se calculează prin însumarea tuturor numerelor, ținând cont de regula că, dacă o cifră de greutate mai mică se află la stânga următoarei cifre de greutate mai mare, atunci are semnul minus, iar dacă dreapta, apoi are semnul plus. De exemplu, numărul MCCXXXIV este definită după cum urmează:

1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 - 1 + 5 = 1234

Sistemele numerice non-poziționale au două dezavantaje semnificative. În primul rând, pe măsură ce intervalul de numere reprezentate crește, numărul de simboluri diferite din numerele reprezentate crește. În al doilea rând, regulile pentru efectuarea chiar și a celor mai simple operații aritmetice sunt foarte complexe.

Sisteme de pozitionare Numerele au proprietatea extrem de importantă că toate numerele, atât mici, cât și mari, pot fi scrise folosind un set finit de simboluri diferite. În plus, regulile de lucru cu numerele pot fi rezumate sub formă de tabele de adunare și înmulțire. Invenția sistemelor de numere poziționale a avut consecințe neprețuite pentru dezvoltarea ulterioară a civilizației umane. Pentru prima dată, astfel de sisteme numerice au început să fie folosite de vechii sumerieni și hinduși.

În sistemele numerice poziționale, orice număr X reprezentat ca polinom

În această expresie aj se numesc coeficienți și S- baza sistemului de numere. Valoarea oricărui coeficient din numărul afișat poate fi în interval 0...(S-1). În prezent, toate țările lumii utilizează sistemul numeric zecimal, care este un sistem numeric pozițional cu o bază S=10. Coeficienții la afișarea numerelor în sistemul numeric zecimal pot lua valori în intervalul de la 0....9. Pentru concizie, în loc să scrieți un număr ca polinom, scrieți numai șirul de coeficienți ai acestui polinom. Când scriem un număr zecimal X= 94,46, atunci ne referim la valoare

Valoarea primei cifre din stânga virgulei zecimale, care separă partea întreagă a numărului de partea sa fracțională, corespunde valorii cifrei reprezentate (se spune că „greutatea” sa este egală cu unu); valoarea cifrei următoare din stânga este egală cu de zece ori valoarea cifrei afișate („greutatea” cifrei este 10) etc. Valoarea cifrei din dreapta punctului zecimal este egală cu o zecime din cifra scrisă, („greutatea” sa este 0,1) următoarea - o sutime etc.

În principiu, orice număr întreg mai mare decât unu poate juca rolul unei baze. Luați, de exemplu, numărul zecimal 437. Este foarte posibil să scrieți acest număr și cum

unde indicele 8 al numărului 665 indică faptul că avem de-a face cu un număr, atunci când este scris în locul bazei obișnuite S=10 bază folosită S=8. Numerele scrise în baza 8 se numesc octale.

Același număr zecimal 437 poate fi scris ca

Numerele scrise în baza 16 se numesc hexazecimal (A corespunde numărului 10 în sistemul zecimal).

Cel mai simplu sistem numeric pozițional este sistemul numeric radix. S=2. În acest sistem numărul

Avantajul utilizării a doi ca bază a sistemului numeric este că sunt necesare doar două cifre diferite pentru a scrie orice număr - 0 și 1. Dezavantajul sistemului binar este că este nevoie de aproximativ 3,3 ori mai multe cifre pentru a reprezenta un număr în formă binară, decât în ​​zecimală.

Așa cum sunt folosite zece cifre diferite (09) pentru a scrie numere zecimale, două cifre diferite (0 și 1) sunt folosite pentru a scrie numere binare, opt (07) pentru numerele octale și 16 pentru numerele hexazecimale, deoarece doar zece din șaisprezece cifre au acceptat în general denumiri în cifre arabe 09, apoi pentru a scrie cifrele rămase din 1015 numere hexazecimale utilizați caractere din alfabetul latin A.F. (A corespunde cu numărul 10, ÎN- 11, C- 12, D- 13, E- 14, F- 15). Deci, de exemplu, un număr hexazecimal 2E corespunde numărului zecimal 46, deoarece .

Numerele fracționale din orice bază sunt tratate în același mod ca și în sistemul zecimal. Este necesar doar să ținem cont de faptul că o fracție finită dintr-un sistem numeric poate deveni periodică în altul. De exemplu,

Dar .

Calculatoarele folosesc sisteme numerice poziționale cu bazele 2, 8, 16, 10. Sistemul principal de numere este binar. În primul rând, în acest sistem de numere, așa cum am menționat deja, pentru a reprezenta numere, sunt necesare doar combinații de două cifre: 0 și 1. Aceste două cifre pot fi reprezentate prin elemente care au două stări diferite. O stare, orice stare, i se poate atribui numărul 0, iar altuia - 1. Astfel de elemente se numesc două poziții (două poziții - două stări) și sunt extrem de ușor de fabricat din punct de vedere tehnic.

Pentru comparație, subliniem că pentru a reprezenta o cifră zecimală este necesar să existe un element care să aibă 10 stări diferite clar definite. În principiu, logica pentru efectuarea operațiilor aritmetice în sistemul de numere binar este cea mai simplă. Acest lucru este clar din exemplul de comparare a tabelelor de înmulțire a cifrelor zecimale cu un singur tabel de înmulțire a cifrelor binare având forma:

00=0; 01=0; 10=0; 11=1.

Din exemplele de mai sus reiese clar că sistemul numeric zecimal este extrem de incomod pentru utilizare în computere, dar este general acceptat și, prin urmare, în ciuda deficiențelor sale, și-a găsit aplicație și în tehnologia computerelor. Pentru a introduce numere zecimale într-un computer și a le afișa ca stări ale elementelor cu două poziții, se folosește așa-numita formă binară-zecimală de reprezentare a numerelor zecimale. În această formă, fiecare cifră a notației zecimale a unui număr este reprezentată ca un număr binar de patru cifre (tetradă binară). De exemplu, un număr zecimal X 10 =481,75 în formă zecimală binară va arăta astfel:

X 2-10 = 0100 1000 0001, 0111 0101.

Nu confundați forma zecimală binară a unui număr cu forma binară a aceluiași număr! În primul caz, baza sistemului numeric rămâne egală cu zece - doar coeficienții de la bază sunt exprimați în formă binară.

Notațiile octale și hexazecimale sunt utilizate în principal la programarea sarcinilor computerului și la introducerea notațiilor compacte în timpul depanării programului. Avantajele acestor forme de scriere a numerelor sunt ușurința conversiei din binar în octal (hexazecimal) și invers, pe de o parte, și compactitatea reprezentării numerelor, pe de altă parte. De exemplu, pentru a converti un număr hexazecimal X 16 =1FA,0F în formă binară, fiecare cifră hexazecimală trebuie reprezentată printr-un număr binar echivalent din patru cifre. Ca rezultat obținem:

0111 1111 1011, 0000 1110.

La fel și pentru octalul 34:

Tabelul 4.1 prezintă diferite forme de scriere a douăzeci de numere în seria naturală.

Tabelul 4.1. Diverse forme de scriere a douăzeci de numere din seria naturală

Este deosebit de important să subliniem:

1. Cantitatea pe care o reflectă înregistrarea digitală a numărului rămâne neschimbată, indiferent de sistemul numeric;

2. Regulile de efectuare a operaţiilor aritmetice asupra numerelor cu mai multe cifre reprezentate în sisteme numerice poziţionale cu baze diferite sunt aceleaşi.

3. Regulile de adunare și înmulțire a numerelor cu o singură cifră pentru fiecare sistem de numere sunt determinate de tabelele de înmulțire și adunare ale acestora.

Să ne uităm la un exemplu. Trebuie să găsim produsul a două numere octale: X 8 =35´12 (aceste numere corespund zecimalei 29, respectiv 10).

Vom înmulți cu „coloană”:

Răspuns: X 8 =4314=644=6 +4

Înmulțirea lui 4 cu 3 în octal dă rezultatul 14 8 (acesta corespunde cu 12 în zecimală). Prin urmare, conform regulilor, numărul 4 este scris în această cifră, iar unitatea de transport este reținută. Înmulțind în continuare 4 cu 4 obținem 20 în sistemul octal și ținând cont de unitatea de purtare - cifra 21. Astfel, rezultatul înmulțirii numărului octal 43 cu cifra 4 va fi numărul octal 214. Înmulțirea 43 este înmulțit în mod similar cu următoarea cifră a multiplicatorului 431 = 43. Când adăugați sume parțiale obținute în acest mod, trebuie să utilizați tabelele de adunare adecvate. Răspunsul final în formă octală este 644, care corespunde numărului zecimal 420.

Ordinea calculelor pe calculator de obicei asa. Datele numerice inițiale sunt introduse în computer într-o formă zecimală comună oamenilor (de exemplu, folosind o tastatură - dispozitiv de introducere). Calculatoarele includ dispozitive speciale numite criptoare, care convertesc automat informațiile zecimale introduse în formă zecimală binară. Folosind o subrutină sau un circuit special (au fost dezvoltate circuite integrate speciale la scară largă care convertesc automat numerele din BCD în notație binară și invers), informațiile numerice din forma BCD sunt convertite în notație binară. Apoi se fac calculele necesare în sistemul numeric binar. Dacă este necesar să se furnizeze unele rezultate de calcul în formă zecimală, atunci aceste date, fie programatic, fie folosind microcircuite speciale, sunt mai întâi convertite în formă zecimală binară și apoi, folosind dispozitive de ieșire, sunt scoase direct în formă zecimală (de exemplu, imprimate pe un formular sau afișate pe ecranul de afișare).

Această procedură de calcul este utilizată la rezolvarea problemelor științifice și tehnice. În astfel de probleme, cantitatea de date numerice inițiale și de rezultate de calcul este relativ mică în comparație cu numărul de operații necesare pentru rezolvarea problemelor.

În același timp, există o clasă destul de mare de probleme, caracterizate printr-o abundență de date de intrare și ieșire și care necesită un număr mic de operații de calcul pentru rezolvarea lor (de exemplu, calcularea salariilor pentru muncitori și angajați, calcularea chiriei). Pentru astfel de sarcini, procedura de calcul descrisă mai sus nu este optimă din cauza performanței scăzute a computerului - va petrece prea mult timp transformând informații numerice din formă zecimală binară în binară și invers. Pentru a rezolva aceste probleme, au fost dezvoltate metode optime de calcul direct în formă binar-zecimală. În calculatoarele moderne, sistemul de comandă conține în mod necesar atât un grup de comenzi care efectuează operații în sistemul numeric binar (comenzi aritmetice binare), cât și un grup de comenzi care efectuează operații în sistemul numeric zecimal binar (comenzi aritmetice binare).