Синтез линейных САУ

Основные понятия о синтезе систем управления

Все математические задачи, решаемые в теории автоматического управления, можно объединить в два больших класса – задачи анализа и задачи синтеза автоматических систем.

В задачах анализа полностью известна структура системы, заданы все (как правило) параметры системы, и требуется оценить какое-либо ее статистическое или динамическое свойство. К задачам анализа относятся расчет точности в установившихся режимах, определение устойчивости, оценка качества системы.

Задачи синтеза можно рассматривать как обратные задачам анализа: в них требуется определить структуру и параметры системы по заданным показателям качества. Простейшими задачами синтеза являются, например, задачи определения передаточного коэффициента разомкнутого контура по заданной ошибке или условию минимума интегральной оценки.

Под синтезом линейных САУ понимается выбор такой структурной схемы, ее параметров, характеристик, которые отвечают с одной стороны заданным показателям качества и простоты технической реализации и надежности с другой стороны.

Особенности синтеза

САУ включает в себя объект управления и корректирующие устройства (это такие устройства, структура и параметры которых изменяются в соответствие с задачей синтеза).

Задание показателей качества определяется как верхняя граница допустимых показателей качества, т.о. заданные показатели качества определяют собой область принятия решений. Поэтому при синтезе выбирают критерий оптимизации, позволяющий определить однозначный выбор структуры и параметров САР.

Для современных САУ процедура синтеза определяет ориентировочную характеристику САУ, поэтому окончательный результат получается в результате анализа (настройки, моделирования) синтезированной САУ.

Этапы синтеза САУ

Анализируется объект управления, определяются статические и динамические характеристики объекта.

Определяется критерий оптимизации, основанный на заданных показателях качества САУ.

Строится структурная схема САУ, выбираются технические средства ее реализации.

Синтез оптимальной динамической характеристики.

Аппроксимация оптимального динамического режима, т.е. выбор динамических характеристик (желаемых), отвечающих заданным показателям качества и простоте технической реализации корректирующих устройств.

Определение динамических характеристик корректирующих устройств, которые обеспечивают желаемые динамические характеристики всей системы.

Выбор схемы и способа технической реализации корректирующих устройств по заданной динамической характеристике корректирующего устройства.

Анализ синтезированных САУ.

Синтез систем методом ЛАЧХ

Существует два способа включения корректирующих устройств:

Последовательно к объекту управления.

Здесь W 0 (p ) – передаточная функция объекта, а W кор (р) – передаточная функция корректирующего устройства.

Достоинством последовательной схемы вклю­чения является простота технической реализации.

Недостатки: высокая чувствительность данной схемы к помехам; сильная зависимость от изменений параметров объекта.

Параллельно к некоторой части объекта.

Д

Недостатки: корректирующее устройство данной схемы реализуется дорогостоящими схемами, в отличие от схемы (1).

В качестве динамических характеристик, по которым осуществляется синтез САУ, выбирается ЛАЧХ разомкнутой системы объекта, т.к. по ней достаточно легко определить параметры объекта.

Желаемая ЛАЧХ

При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три диапазона частот:

Низких частот ( с ). Данный диапазон частот отражает статические характеристики.

Диапазон средних частот ( с ). Определяет динамические характеристики объекта при ступенчатом входном воздействии.

Диапазон высоких частот ( с ). Данный диапазон частот не влияет на статику, а определяет динамические характеристики объекта при быстроизменяющемся входном воздействии.

Модальный регулятор.

Является методом корневого синтеза, а именно, по желаемому расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости строится модальный регулятор, который представляет собой коэффициенты отрицательной обратной связи по каждой динамической переменной.

Дано описание объекта:

Задаёмся видом желаемого полинома D жел (p) – в соответствии с заданными (желаемыми) показателями качества.

Введём обратную связь, вида:

где
- характеристическое уравнение системы с регулятором.

Пример: Дана система уравнений

n 1 U x 1 x 2 x 3

Нужно рассмотреть матрицу управляемости:

Система управляема, так как ранг равен порядку системы

Выбираем желаемый полином той же степени, что и система:

D жел (p)=(p+w 0 ) 3 =p 3 +3p 2 w 0 +3pw 0+ w 0 3

- оценка качества, где - время переходного процесса

При выбранном значении
получаем:

K oc1 = 2; K oc2 = -1; K oc3 =5;

Управляемость и наблюдаемость.

Система называется управляемой, если, изменяя любой из входных сигналов можно добиться желаемого значения на выходе системы за конечное время.

без нее система будет неуправляемой, а с ней -

управляемой.

Критерий управляемости.

Для того, чтобы система была управляемая необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен n (порядок объекта).

В общем случае матрица управляемости является прямоугольной. Если система имеет один вход, то матрица имеет размерность
.

Наблюдаемость.

Система называется наблюдаемой, если по выходным сигналам Y можно восстановить переменные состояния X.

Наблюдаемость, в отличие от измеряемости предполагает не только измерение переменных состояний X, а также вычисления не измеряемых переменных X по измеренным.

Измеряемость – это случай, когда непосредственно можно замерить любую переменную.

Критерий наблюдаемости.

Для того, чтобы система была наблюдаема необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости был равен n (порядок объекта).

До сих пор мы в основном изучали задачу анализа САУ, когда математическая модель замкнутой САУ считалась заданной, и требовалось определить качество её работы: устойчивость, точность воспроизведения входного сигнала и т.п.

Важной, и более сложной, является задача синтеза, когда заданными считаются математическая модель управляемого объекта (и может быть измерительного и исполнительного устройств). Требуется выбрать структуру САУ, закон управления и числовые значения параметров регулятора, определяющие желаемое качество САУ.

С задачами синтеза мы уже встречались. Синтез САУ можно проводить, используя критерии устойчивости, Д-разбиение, методы корневых годографов.

Синтез одномерных одноконтурных САУ с единичной ООС с помощью ЛАФЧХ разомкнутой системы

Этот метод использует тесную связь между переходной функцией замкнутой САУ при ступенчатом воздействии и вещественной частью частотной характеристики замкнутой САУ.

Здесь . (1)

Т.о. по частотным характеристикам разомкнутой системы можно определить частотные характеристики замкнутой системы и наоборот. Имеются номограммы, связывающие эти частотные характеристики.

По мы можем оценить переходный процесс (см. (1)).Таким образом, зная , мы можем оценить переходный процесс в системе.

Решать задачу синтеза САУ по частотным характеристикам удобнее, когда частотные характеристики построены в логарифмическом масштабе.

В логарифмическом масштабе по оси ординат у откладывается в дб.

Увеличение этого соотношения в 10 раз соответствует увеличению

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе.

Декада – изменение частоты в 10 раз.

Главное преимущество построения частотных характеристик в логарифмическом масштабе состоит в том, что их можно строить приближенно, практически без вычислений.

Возьмем инерционное звено . Его передаточная функция ,

АЧХ. Частота, где , т.е. - частота сопряжения.

При приближенном построении ЛАЧХ:

1) в пренебрегаем и , а дБ

2) в пренебрегаем 1 и и в логарифмическом масштабе

Определим наклон при :

Следовательно, строя АЧХ в логарифмическом масштабе, можно убывающую часть характеристики заменить прямой с наклоном - 20дб/дек. Наибольшая погрешность будет в точке изгиба ().

Интегрирующее звено.

При .

Рассмотрим сначала на примере принцип построения приближенной ЛАЧХ (ФЧХ рассчитываются точно по формулам).

Приближенность построения ЛАЧХ заключается в том, что в частотной характеристике в членах :

1) при пренебрегают членом и звено рассматривают как усилительное ;

2) при пренебрегают 1 и рассматривают их как интегрирующее звено с частотной характеристикой , наклон характеристики которого – 20 дб/дек и при величина амплитуды равна 20lgK.

Частота, где - называется частотой сопряжения.

Определим частоты сопряжения, где ()

Во что превратится с учетом сделанных предположений:

Откладываем на оси частот частоты сопряжения.

Построение начинаем с интегрирующего звена: на частоте откладываем 20lgK=20lg100=40дб и проводим линию с наклоном -20дб/дек. На частоте «подсоединяем» еще одно интегрирующее звено – наклон стал -40дб/дек.

На частоте «подсоединяются» два дифференцирующих звена. У одного дифференцирующего звена наклон +20дб/дек , у двух интегрирующих звеньев наклон будет +40дб/дек, следовательно, результирующий наклон при будет -40дб/дек+40дб/дек=0 дб/дек.

Фазо-частотная характеристика рассчитывается.

С помощью ЛАЧХ и ФЧХ нетрудно установить устойчивость замкнутой системы.

Согласно критерию устойчивости Найквиста, замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы имеет вид (астатическая система):

На частоте амплитуда равна 1 и поэтому - запас устойчивости по фазе.

Когда фаза равна , то - запас устойчивости по амплитуде.

Для устойчивости САУ необходимо, чтобы на

Синтез САУ с помощью ЛАЧХ

проводится следующим образом:

САУ представляют

В входят объект и известные элементы регулятора, например, измерительные, исполнительные устройства.

Корректирующее устройство, которое надо определить в процессе синтеза.

Тогда передаточная функция разомкнутой системы

Здесь - передаточная функция САУ, динамика которой удовлетворяет требованиям, предъявляемым к проектируемой системе.

Тогда в логарифмическом масштабе

Для минимально-фазовых САУ вид ЛАЧХ полностью определяет переходный процесс и не надо рассматривать фазо-частотную характеристику.

Минимально-фазовые звенья (системы) – такие, у которых корни числителя и знаменателя расположены в левой полуплоскости. Таким образом, передаточная функция минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов в левой полуплоскости.

По виду можно записать передаточную функцию корректирующего звена. В данном случае она будет иметь вид:

В литературе приводятся таблицы, связывающие вид с

И с соответствующими схемами корректирующих устройств, реализующих эти . Приведенная выше может быть реализована в виде следующей корректирующей цепочки:

Здесь и мы знаем.

По графику определяем и , .

Отсюда находим .

По графику определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Определив параметры корректирующего звена, вводим его в систему и моделируем САУ, получаем переходный процесс. Если он не устраивает – меняем параметры звена.

Требования к .

Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится из общих требований к системе:

1. точность (определяет коэффициент усиления),

2. порядок астатизма,

3. время переходного процесса,

4. перерегулирование.

1. должно пересекать ось частот в точке , обеспечивающей заданное время переходного процесса

А можно по другому:

Находится из номограмм, определяющих зависимость , здесь - перерегулирование.

Например,

2. Для того, чтобы САУ была устойчивой, должна пересекать ось частот с наклоном - 20 дб/дек.

3.Для обеспечения заданного

4.Среднечастотную часть характеристики надо делать как можно шире. Чем больше диапазон , тем ближе процесс к экспоненциальному.

Среднечастотная часть в основном и определяет качество переходного процесса.

Низкочастотная часть определяет точность процесса управления.

Существует и другой способ определения конечных точек центрального отрезка:

Запас устойчивости по фазе в точке при , определяемый по ЛФЧХ, должен быть не меньше

Запас устойчивости по модулю (по амплитуде) в точке L 2 выбирается в зависимости от перерегулирования :

Сопряжение центрального отрезка ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном - 40 дб/дек или – 60 дб/дек.

Высокочастотная часть, чтобы не усложнять корректирующее устройство, выбирают аналогичной исходной ЛАЧХ.

После построения надо проверить запас устойчивости по фазе. (на )

К сожалению, этот метод синтеза не гарантирует требуемого качества переходного процесса.

Порядок расчетов при синтезе САУ с последовательным

корректирующим устройством

1. Строится ЛАЧХ неизменной части САУ (без корректирующего уст-

ройства) .

2.По заданным требованиям к качеству строится желаемая ЛАЧХ .

3. По строится соответствующая ЛФЧХ.

4. Определяются запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

5. Путем вычитания из находят ЛАЧХ корректирующего устройства .

6.По выбирают его технический аналог.

7. Если технический аналог отличается, надо скорректировать с учетом технического аналога.

Если получен хороший результат, то решение задачи синтеза заканчивается. Если результат не удовлетворяет выбирается другой аналог.

Синтез САУ методом корневых годографов

Качество проектируемой САУ с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

Зная корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости. Корни могут быть определены расчетами с использованием стандартных программ.

Чем больше - степень устойчивости, и чем меньше - степень колебательности, тем лучше качество САУ.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которая называется траекторией корней или корневым годографом. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемых параметров, которые соответствуют наилучшему расположению корней.

Пусть имеется передаточная функция замкнутой системы

Коэффициенты числителя и знаменателя определенным образом выражены через параметры объекта, регулятора, корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра, то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные числовые значения. Для каждого задаваемого значения варьируемого параметра необходимо вычислять значения корней числителя и знаменателя и строить траектории корней, по которым выбирают то значение параметра, которое обеспечивает наилучшее расположение корней.

Синтез с использованием стандартных переходных процессов

(метод стандартных коэффициентов)

Частный способ использования этого метода – диаграмма Вышнеградского для систем третьего порядка.

Стандартные переходные процессы строятся в нормированном виде при единичном входном воздействии по безразмерному времени , где

Синтез линейных САУ путем выделения границ устойчивости и границ заданной степени устойчивости

Выделив методом Д-разбиения область устойчивости, мы должны выбирать рабочую точку (определяемую параметрами системы) внутри этой области. Однако разным точкам будет соответствовать разное распределение корней характеристического уравнения, а следовательно, и разный характер переходного процесса. Хотелось бы иметь хороший переходный процесс.

Известно, что длительность переходного процесса определяется ближайшим к мнимой оси корнем.

Если нам задано требуемое время переходного процесса , то мы можем определить . Если корни будут расположены левее , то длительность переходного процесса будет меньше заданного . .

Если в уравнении (3) параметры, в плоскости которых хотим построить границу заданной степени устойчивости, входят в характеристическое уравнение линейно независимо, то к уравнению (3) можно применить рассмотренный раньше метод Д- разбиения. Выделенная граница будет линией заданной степени устойчивости.

Meтод ЛЧХ является одним из наиболее распространенных методов синтеза автоматического управления, так как построение ЛЧХ, как правило, может выполняться практически без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические «идеальные» ЛАЧХ.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции;

1. Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Неизменяемая часть системы регулирования содержит объект регулирования и исполнительный элемент, а также основной элемент обратной связи и элемент сравнения ЛАЧХ неизменяемой части строят по передаточной функции разомкнутой неизменяемой части системы.

2. Построение желаемой части ЛАЧХ.

График желаемой ЛАЧХ делается на основе тех требований, которые предъяв­ляются к проектируемой системе управления. Желаемую ЛАЧХ Lж условно можно разделить на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

2.1 Низкочастотную часть определяет статическую точность системы, точность в установившихся режимах. В статической системе низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе наклон этой асим­птоты составляет –20мдБ/дек, где - порядок астатизма ( =1,2). Ордината низко­частотной части Lж определяется значением передаточного коэффициента К ра­зомкнутой системы. Чем шире низкочастотная часть Lж, тем больше высоких частот воспроизводится системой без замкнутого ослабления.

2.2 Среднечастотная часть является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процес­сов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотной асимптоты -это её наклон и частота среза ср (частота при которой Lж пересекает ось абсцисс). Чем больше наклон сред­нечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойст­ва системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон -20дБ/ дек и крайне редко он превышает -40дБ /дек Частота среза ср определяет быстродействие системы, и значение величины перерегулирования. Чем больше ср, тем выше быстро­действие, тем меньше время регулирования Тпп переходной характеристики, тем больше перерегулирование .

2.3 Высокочастотная часть ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Лучше иметь возможно больше наклон ее асимптоты, что уменьшает требуемую мощность исполнительного opгана и влияние высоко­частотных помех. Иногда при расчете высокочастотную ЛАЧХ не принимают во внимание.

где - коэффициент, зависящий от величины перерегулирования ,

Должен быть выбран по графику приведенном на рисунке 1.

Рисунок 18- График для определения по допустимому перерегулированию коэффициента .

Ордината низкочастотной асимптоты определяется соответственно коэффици­

ентом усиления и наклоном высокочастотной асимптоты переходной, разомкну­той CAP.

3. Определение параметров корректирующего устройства.

3.1 График ЛАЧХ корректирующего устройства получается вычитанием из зна­чения графика желаемой ЛАЧХ значений графика неизменяемой, после чего по ЛАЧХ корректирующего устройства определяется его передаточная функция .

3.2 По передаточной функции регулятора подбирается электрическая схема для реализации корректирующего устройства и рассчитываются значения её па­раметров. Схема регулятора может быть на пассивных или на актив­ных элементах.

3.3 Передаточная функция корректирующего устройства, полученная в пункте 3.1,включается в обобщенную структурную схему САУ Используя обобщенную структурную схему скорректированной САУ, с помощью ЭВМ, строятся графики переходных процессов, которые должны быть не хуже заданных.

Пример:

6.Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.

Цель работы

Расчет частотным методом корректирующего устройства для линейной системы (рис.4.1) .

Рис.4.1. Структурная схема исходной системы

Основные сведения

Первым этапом частотного метода синтеза является построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы. Затем по требованиям к качеству переходного процесса (t п иs% ) строят среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ, который имеет наклон - 20 дб/дек и пересекает ось абсцисс в точке (lgw c >0 ), - где w c - частота среза,w c =(0.6 - 0.9)·w n, w n - частота положительности. Исходя из заданного перерегулирования s%, по номограммам (рис.4.2) определяют запас устойчивости по модулю DL , ограничивающий среднечастотный участок ЛАЧХ, иw п =Np/t п , где N - коэффициент пропорциональности, соответствующий найденному значению P max .

Например, при s=25% получаемP max =1.22, N=4 .

Рис.4.2. Номограммы для определения параметров желаемой ЛАЧХ

В области высоких и низких частот желаемую характеристику сопрягают с ЛАЧХ исходной системы. Вычитая из желаемой ЛАЧХ характеристику разомкнутой системы, получают ЛАЧХ корректирующего звена, по которому определяют его передаточную функцию. Структурная схема системы с учетом корректирующего звена показана на рис.4.3.

Методические указания

Для выполнения лабораторной работы необходимо рассчитать параметры корректирующего звена в соответствии с требованиями к качеству процессов в замкнутой системе. Работа выполняется с помощью одного из пакетов прикладных программ для исследования САУ(COMPAS, SIMNON, MATLAB ) .

Рис.4.3. Структурная схема скорректированной системы

Порядок выполнения работы

4.1. Набрать модель исследуемой системы (рис.4.1.), параметры которой приведены в таблице. Зарисовать графики процессов y(t) , D(t) .

4.2. По требованиям к качеству переходных процессов в системе рассчитать параметры корректирующего звена.

Таблица 4.1

4.3. Набрать модель корректирующего звена и включить его в систему. Снять переходный процесс в скорректированной системе и убедиться, что показатели качества соответствуют заданным.

4.4. Изменить параметры корректирующего звена, зафиксировать переходный процесс, определить показатели качества процесса, сравнить их с результатами п.4.3.

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы системы без коррекции и с коррекцией.

5.3. ЛАЧХ исходной системы, желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы и корректирующего звена.

5.4. Передаточная функция корректирующего звена.

5.5. Переходные процессы по п.4.1, 4.3, 4.4.

6.Контрольные вопросы

6.1. Какая часть ЛАЧХ определяет свойства системы в статическом режиме?

6.2. Какая часть ЛАЧХ определяет свойства системы в динамике?

6.3. Как по передаточной функции системы построить ее асимптотическую ЛАЧХ?

6.4. Как учитываются внешние возмущения при синтезе регулятора?

6.5. Как связаны показатели качества замкнутой системы с видом желаемой ЛАЧХ?

6.6. Как по ЛАЧХ корректирующего звена восстановить его передаточную функцию?

Лабораторная работа № 5

Исследование свойств наблюдателей состояния

Цель работы

Исследовать методы построения и свойства наблюдателей состояния для динамических объектов.

Основные сведения

Рассматриваются линейные стационарные объекты поведение, которых описывается передаточной функцией

W(p) = = (5.1)

U T2p2+2dTp+1

Существует ряд методов синтеза систем управления (методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов, модальный метод синтеза), применение которых предполагает использование переменных состояния системы в законе управления. Однако на практике обычно доступна для измерения только выходная переменная системы y(t), поэтому возникает задача получения оценки вектора состояния x(t).

Для оценки переменных состояния используется специальная техническая система - фильтр оценки состояния (наблюдатель состояния). В лабораторной работе рассматриваются такие способы построения наблюдателей состояния, как способ параллельной модели и фильтр Калмана. Способ параллельной модели может быть использован для устойчивых линейных стационарных объектов (5.1). При этом уравнение наблюдателя состояния имеет вид

T 2 ÿ+2dTý+y=KU (5.2)

Соответствующая структурная схема объекта (5.1) с наблюдателем состояния приведена на рис. 5.1.

В случае, когда объект управления (5.1) неустойчив или требуется ускорить процесс оценки переменных состояния, обычно используется фильтр Калмана, который кроме параллельной модели содержит стабилизирующую добавку L(p). Структурная схема системы приведена на рис. 5.2.

Передаточная функция, связывающая между собой переменные Δ и U , имеет вид:

W (p) = = - . (5.3)

U T 2 p 2 +2dTp+1+KL(p)

Характеристическое уравнение наблюдателя следующее

T 2 p 2 +2dTp+1+KL(p)=0. (5.4)

Выбор коэффициентов стабилизирующей добавки L(p) осуществляется исходя из требований к качеству переходных процессов в наблюдателе. При этом формируется желаемое характеристическое уравнение, коэффициенты которого приравниваются коэффициентам уравнения (5.4).

Рис.5.1. Структурная схема объекта с наблюдателем

в виде параллельной модели

Рис.5.2. Структурная схема объекта с наблюдателем

в виде фильтра Калмана

Методические указания

3.1. Выполнить расчет стабилизирующей добавки L(p)=K З , исходя изпроцесса в наблюдателе.

τ 2 p+1

переходных процессов в наблюдателе, где t п - желаемое время переходного процесса; σ% - величина допустимого перерегулирования.

3.3. Пункты, отмеченные символом *, выполняются по рекомендации преподавателя.

Порядок выполнения работы

4.1. Собрать схему моделирования системы (5.1) с наблюдателем состояния по способу параллельной модели (рис.5.1) в соответствии с номером варианта.

Таблица 5.1

4.2. Зарисовать графики переходных процессов для переменных состояния объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t),

4.3. Провести моделирование аналогично п.4.2, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.4. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п.4.3.

4.5. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекте в 2 раза относительно номинального и повторяя п. 4.3.

4.6. Собрать модель системы с фильтром Калмана (рис.5.2) и стабилизирующей добавкой L(p)=к З Δ(t), подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.7. Провести моделирование аналогично п.4.6, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.8. Исследовать влияние K , последовательно увеличивая и уменьшая его значение в два раза относительно расчетного и повторить п. 4.6 и 4.7.

4.9*. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п.4.7.

4.10*. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекта в 2 раза относительно номинального и повторяя п. 4.7.

4.11. Собрать модель системы с фильтром Калмана и стабилизирующей добавкой L(p)=K(τ 1 p+1)/(τ 2 p+1) и зарисовать графики переходных процессов для выходных переменных объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t), подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.12. Провести моделирование аналогично п.4.11, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.13. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п. 4.12, сравнить с результатами пп. 4.4 и 4.9.

4.14. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекта в 2 раза относительно номинального и повторяя п.4.12. cравнить с результатами, полученными в пп.4.5 и 4.10.

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы исследованных систем.

5.3. Расчет параметров стабилизирующей добавки L(p).

5.4. Графики результатов моделирования.

5.5. Выводы по работе.

6. Контрольные вопросы

6.1. Какова область применения способа параллельной модели?

6.2. Как влияет изменение параметров объекта на ошибку оценки переменных состояния способом параллельной модели?

6.3. Как выбирают параметры стабилизирующей добавки L(p) ?

6.4. Какова область применения фильтров Калмана?

6.5. Как влияет изменение параметров объекта на ошибку оценки переменных состояния с помощью фильтра Калмана?

6.6. Можно ли изменить скорость оценки переменных состояния с помощью наблюдателя в виде параллельной модели?

6.7. Как осуществляется оценка переменных состояния, если объект и наблюдатель имеют различные начальные условия?

Лабораторная работа № 6

14.1. Синтез САУ

В ТАУ можно выделить две характерные задачи: 1) в заданной САУ найти и оценить переходные процессы - это задача анализа САУ; 2) по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ - это задача синтеза САУ.

Вторая задача сложнее в виду своей неоднозначности, многое определяется творческими способностями проектировщика. Поэтому обычно задачу синтеза САУ ставится ограниченно. Считается, что основная часть системы уже задана, что обычно имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивался требуемый запас устойчивости; точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах.

14.1.1. Включение корректирующих устройств

Корректирующее устройство можно включить последовательно, параллельно-согласно или параллельно-встречно (по схеме с обратной связью).

Последовательное корректирующее устройство с передаточной функцией W п включается обычно после предварительного усилителя. На рис.103а предварительный усилитель имеет передаточную функцию W 3 , выходной каскад усилителя - W 2 , исполнительный элемент - W 1 .

Параллельно-согласное корректирующее устройство с передаточной функцией W пс (рис.103б) может иногда при меньшей сложности обеспечить нужное преобразование сигнала. Например, для коррекции свойств САУ часто требуются дифференцирующие и форсирующие звенья, которые конструктивно очень сложны. В то же время параллельно-согласное включение предварительного усилителя (W 3 = K 3 ) и простого апериодического звена с передаточной функцией W пс = позволяет реализовать функцию реального форсирующего звена. Такое соединение можно заменить эквивалентным форсирующим звеном с передаточной функцией

W ф = W 3 + W пс = ,

где T ф1 = ; T ф2 = T пс ; K ф = K 3 + K пс .

Наибольшими возможностями в плане коррекции свойств САУ обладает корректирующее устройство с передаточной функцией W п в , включенное по схеме с отрицательной или положительной обратной связью, охватывающей один из звеньев САУ, как правило исполнительный элемент или выходной каскад усилителя (усилитель мощности)(рис.103в). Такие обратные связи называются местными. При этом передаточная функция эквивалентного звена:

W экв = .

Обычно передаточную функцию выходного каскада усилителя W 2 выбирают из условия |W 2 .W п в| >> 1 в широком диапазоне частот, поэтому

Wэкв 1/W п в .

То есть свойства участка цепи с параллельно-встречным включением корректирующего устройства определяются только свойствами данного корректирующего устройства. Это основное достоинство данного способа включения. Влияние плохих свойств какого либо необходимого для САУ звена, например, его нелинейности, могут быть практически полностью устранены.

Местные корректирующие обратные связи делятся на жесткие и гибкие. Жесткая обратная связь действует на систему как в переходном, так и в установившемся режиме, то есть W ж (0)0 . Она реализуется безынерционным или инерционным звеном:

W ж = K ж или W ж = .

Гибкая обратная связь действует только в переходном режиме, она реализуется либо дифференцирующим, либо реальным дифференцирующим звеном:

W г = K г p или W г = .

Например, если интегрирующее звено W и = K и /p охвачено жесткой обратной связью звеном W ж = K ж , то

Wэкв = ,

где K экв = 1/K ж , T экв = 1/(K и K экв K ж ). То есть жесткая обратная связь превращает интегрирующее звено в апериодическое. В случае гибкой обратной связи звеном W г = K г p получаем

Wэкв = ,

где K экв = . То есть гибкая обратная связь не изменяет структуру интегрирующего звена, но уменьшает его коэффициент передачи.

Таким образом, даже простейшие обратные связи способны существенно изменить свойства типовых динамических звеньев. Еще больший эффект дают сложные отрицательные и положительные обратные связи. Если основные элементы регулятора по своей природе позволяют создать обратную связь, то динамические свойства этих элементов часто могут быть изменены в нужном направлении.

14.1.2. Синтез корректирующих устройств.

Корректирующие устройства синтезируют на основании требований к свойствам САУ. Для этого необходимо знать передаточную функцию реальной САУ W реал , которая чем то не удовлетворяет разработчика, и желаемую передаточную функцию W жел , которой должна обладать САУ в результате корректировки ее свойств.

При синтезе корректирующих устройств сначала определяю передаточную функцию возможного последовательного корректирующего устройства исходя из соотношения: W п = W жел /W реал . Затем выясняют, при каких передаточных функциях параллельно-согласного W пс и параллельно-встречного W пв корректирующих устройств будет получен тот же эффект. После этого решают, какое из них более целесообразно и проще создать. При этом исходя из рис.103 можно записать:

W жел = WW п = W 1 W 2 .(W 3 + W п с) = W(1 + W п с/W 3 ) = W/(1 + W 2 W п в) ,

где W = W 1 W 2 W 3 . Из этого соотношения можно определить формулы перехода от одного корректирующего устройства к другому.

14.2. Коррекция свойств САУ изменением параметров звеньев

Рассмотрим примеры коррекции свойств некоторой исходной замкнутой САУ (рис.104), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии:

W(p) = .

Для этого воспользуемся критерием Найквиста. Значения параметров звеньев в каждом конкретном случае будем оговаривать отдельно.

14.2.1. Изменение коэффициента передачи

Для увеличения точности статической САУ надо увеличивать коэффициент передачи K . С ростом K увеличивается жесткость статической характеристики САУ (рис.105), то есть уменьшается статическая ошибка e .

На рис.106 сплошными линиями показаны частотные характеристики исходной разомкнутой САУ при T 1 = 0.5c, T 2 = 0.02c, T 3 = 0.002c, K = 10.

При увеличении коэффициента передачи K в N раз ЛАЧХ, не меняя своей формы, поднимается вверх на 20lgN (на рисунке изображена пунктирной линией). При этом ЛФЧХ остается без изменения. Из рисунка видно, что с увеличением коэффициента передачи запас устойчивости по модулю уменьшается с h 30дб/дек до h к 15дб/дек, по фазе - с 60 o до к 15 o .

То есть, при повышении точности САУ путем увеличения коэффициента передачи необходимы мероприятия по повышению запаса устойчивости. Это главный недостаток такой коррекции.

К достоинствам можно отнести повышение быстродействия САУ, так как частота среза wср увеличивается, следовательно постоянная времени САУ - уменьшается.

14.2.2. Изменение постоянной времени звена САУ

На рис.107 сплошными линиями изображены ЛЧХ разомкнутой САУ с параметрами: T 1 = 0.05c, T 2 = 0.01c, T 3 = 0.001c, K = 100. Из рисунка видно, что САУ неустойчива. При увеличении постоянной времени T 1 в 5 раз (T 1 ’ = 0.2с) ЛАЧХ и ЛФЧХ приобретают вид, показанный на рисунке пунктирной линией. При этом видим, что замкнутая САУ становится устойчивой. Заметим, что сопрягающая частота W 1 данного звена располагается левее частоты среза ср . Если бы она располагалась правее частоты среза, то есть, если бы мы увеличивали постоянную времени, например, третьего звена T 3 , то это привело бы к уменьшению запаса устойчивости.

Частотные характеристики для этого случая приведены на рис.108.

Аналогичное влияние оказывает постоянная времени колебательного звена. Влияние постоянной времени форсирующего звена обратное, то есть, если сопрягающая частота форсирующего звена располагается левее частоты среза, то увеличение его постоянной времени уменьшает запас устойчивости САУ, если правее, то запас устойчивости увеличивается.

Указанные зависимости справедливы лишь при условии, что сопрягающая частота расположена на некотором удалении (около одной декады) от частоты среза. Бывают и исключения из этого правила.

Вопросы

1. Какие характерные задачи решаются при проектировании САУ?
2. Что называется синтезом САУ?
3. Как включаются корректирующие устройства?
4. Что называется местными обратными связями и для чего они служат?
5. В чем особенности гибкой и жесткой обратных связей? Как они реализуются?
6. Как улучшить динамические свойства САУ, если сам объект управления имеет плохие динамические показатели?
7. Что называется синтезом корректирующих устройств?
8. Как влияет на динамические и статические свойства САУ увеличение коэффициента усиления регулятора?
9. Как отразится на динамических свойствах САУ увеличение постоянной времени самого инертного звена?
10. Как отразится на динамических свойствах САУ увеличение постоянной времени самого динамичного звена?
11. Как отразится на динамических свойствах САУ уменьшение постоянной времени самого инертного звена?
12. Как отразится на динамических свойствах САУ уменьшение постоянной времени самого динамичного звена?