От того, какая система счисления будет использована в ЭВМ, зависят скорость вычислений, емкость памяти, сложность алгоритмов выполнения арифметических операций.

Дело в том, что для физического представления (изображения) чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию используемой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления.

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе счисления требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления необходимы функциональные элементы, имеющие ровно десять устойчивых состояний, каждое из которых ставится в соответствие определенной цифре. Так, в арифмометрах используются вращающиеся шестеренки, для которых фиксируется десять устойчивых положений. Но арифмометр и другие подобные механические устройства имеют серьезный недостаток - низкое быстродействие.

Создание электронных функциональных элементов, имеющих много устойчивых состояний, затруднено. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются так называемые двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний, например:

· электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто;

· ферромагнитная поверхность намагничена или размагничена;

· электронная вакуумная лампа (для первых ЭВМ) включена или выключена;

· магнитный сердечник намагничен в некотором направлении или в противоположном ему;

· транзисторный ключ находится в проводящем или запертом состоянии;

· участок поверхности магнитного носителя информации намагничен или размагничен;

· участок поверхности лазерного диска отражает или не отражает и т.д.

Одно из этих устойчивых состояний может представляться цифрой 0, другое - цифрой 1. С двоичной системой связаны и другие существенные преимущества. Она обеспечивает максимальную помехоустойчивость в процессе передачи информации как между отдельными узлами автоматического устройства, так и на большие расстояния. В ней предельно просто выполняются арифметические действия и возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.

Благодаря таким особенностям двоичная система стала стандартом при построении ЭВМ.

Широкое применение в ЭВМ нашли также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Обмен информацией между устройствами большинства ЭВМ осуществляется путем передачи двоичных слов. Пользоваться такими словами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) как на этапах составления несложных программ для микроЭВМ, их отладки, ручного ввода-вывода данных, так и на этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют коды машинных команд, адреса и операнды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системе счисления. В результате длина исходного слова сокращается в 3 или 4 раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа. Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления выступают в качестве простейшего языка общения человека с ЭВМ, достаточно близкого как к привычной для человека десятичной системе счисления, так и к двоичному "языку" машины.

В ЭВМ используется только двоичная система счисления. Вся логика основана на принципе сигнал есть - 1,сигнала нет - 0. Все остальное это представление чисел.
Способы быстрого преревода:
из двоичной в шестнодцатиричную:
Разбиваешь двоичное число на отрезки по четыре бита и
0000 - 0h
0001 - 1h
0010 - 2h
0011 - 3h
0100 - 4h
0101 - 5h
0110 - 6h
0111 - 7h
1000 - 8h
1001 - 9h
1010 - Ah
1011 - Bh
1100 - Ch
1101 - Dh
1110 - Eh
1111 - Fh
таким образом твое число в 16-ричной
1001 0101 0110 0111 - 9567h
Ну а для восьмиричной сообразишь сам.

Ответ: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

3. Системы счисления, используемые в ЭВМ. Перевод из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной в десятичную систему счисления.

Как известно компьютеры предназначены для обработки информации и являются частным, но наиболее распространенным видом цифровых автоматов.

Функциональная и структурная организация цифровых вычислительных машин базируется на определенных принципах, составляющих методологическую основу цифровой вычислительной техники. В основе функциональной организации цифровых вычислительных машин лежит принцип программного управления и двоичного кодирования информации. Принцип программного управления может быть реализован системами с различной структурой, отличающимися функциональными свойствами и производительностью.

Для успешного изучения общих принципов обработки цифровой информации рационально, по возможности максимально, отвлечься от реального аппаратного обеспечения компьютера и рассматривать компьютер как некоторый абстрактный цифровой автомат, предназначенный для обработки информации, представленной в цифровой форме разработано данное методическое указание.

Настоящее методическое указание предназначено для студентов обучающихся по специальности «Информатика и информационные технологии» 5521900, написано в соответствии с учебной программой к трем практическим занятиям по курсу «Информационные основы вычислительных систем».

Представление информации в эвм.

Любая информация представляется в ЭВМ в виде чисел и располагается в оперативной памяти, так происходит потому, что цифровую информацию очень удобно кодировать, а значит, ее удобно хранить и обрабатывать.

За единицу представления информации в ЭВМ принимают один бит (от binary digit). Бит может принимать значения 0 или 1.

Бит – очень маленькая единица информации, она удобна для хранения информации в компьютере, но неудобна для ее обработки.

Обработкой информации в компьютере занимается специальная микросхема – процессор, который может одновременно обрабатывать группу битов. Поэтому за единицу обработки или передачи информации принимается один байт, который представляет собой последовательность из восьми битов. Байты могут объединяться по два, четыре, восемь байтов и образовывать неполное стандартное, длинное слово (ячейка) соответственно. Каждая ячейка может содержать число или команду, записанных с помощью единиц и нулей. Способ представления чисел посредством числовых знаков (цифр) называют системой счисления (СС). Правила записи и действий над числами в СС, используемых в цифровой вычислительной технике, определяют арифметические основы цифровых ЭВМ.

Системы счисления.

В ЭВМ находят широкое применение системы счисления с основанием, являющимся целой степенью числа 2, т.е. двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

Для записи двоичных чисел используются две цифры: 0 и 1. Сложение и умножение выполняются по следующим правилам:

Действия над многозначными числами выполняются по принципу поразрядного сложения и умножения по этим таблицам.

Двоичная система счисления позиционная, также как и восьмеричная, шестнадцатеричная, т.е. значение цифры зависит от занимаемого ею положения. Для записи чисел в восьмеричной системе используют 8 цифр: 0,1,2,3.4,5,6,7.

Действия над ними, также определяются таблицами сложения и умножения. Для записи чисел в шестнадцатеричной системе используют шестнадцать цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Изображение целых десятичных чисел в различных системах показано в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Итак. в двоичной системе (основание системы 10 2 =2 10) младший разряд это разряд единиц, а каждый следующий в 10 2 раз больше, т.е. если говорить о десятичном эквиваленте в 2 10 раза больше. Проверим результат примера 3 исходя из предыдущих соображения: в младшем разряде одна единице + в следующем разряде: одна двойка + в следующем одна четвертка + в следующем одна восьмерка, следовательно, число 1111 2 =

1 10 +2 10 +4 10 +8 10 =15 10 все.

Разберем пример 4: 10101 2: 11=111

10101 2 = 116 + 08 +402+1=21 10

11 2 =1+2=3 10 .

Следовательно, мы делили 21 на 3, записанных в двоичной системе, в результате получим 111 2 =14+21 +1=7, т.е. действие выполнено верно.

Любое число А=а n a n -1 …..a 1 a 0 , записанное в позиционной системе с основанием q может быть предоставлено в виде суммы.

Например:

162 10 =110 2 10 +610 10 +2,

AB1 16 =A10 10 2 +B10 16 +1

73 8 =710 8 +3

где q – основание системы счисления (оно во всех системах представляется как 10)
- цифры этой системы счисления.

Принцип позиционности положен в основу правила перевода чисел из одной системы в другую. При этом надо учесть, что числу 10 2 в двоичной системе соответствует число 2 10 в десятичной (10 2 =2 10). Аналогично 10 8 =8 10 , 10 16 =16 10 .

Например, числа: 25,03 8 ; 18,6 10 ; 101,10 2 ; А9В 16 можно представить в виде разложения, а затем перевести в десятичную систему так:

Перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно заключается в простой замене цифр тремя (тирада) или четырьмя (тетрада) двоичными знаками. Именно поэтому сначала восьмеричная, а потом и шестнадцатеричная С.С. используются как промежуточная между нашей десятичной и машинной двоичной С.С.

Пример 1.
восьмеричное число

шестнадцатеричное число

Электронная вычислительная техника - это электронные устройства, предназначенные для сбора, передачи, хранения, обработки и выдачи информации. Нередко термин «электронная вычислительная техника» отождествляют с другим - «электронная вычислительная машина» (ЭВМ). По существу же, помимо ЭВМ, к устройствам электронной вычислительной техники можно отнести и электронные устройства, обеспечивающие передачу информации (различных данных) на расстояния. Эти устройства связи позволяют объединять несколько вычислительных машин в единый комплекс или вводить данные в ЭВМ с удаленных от нее пунктов, равно как и передавать на них результаты вычислений.

ЭВМ делятся на цифровые и аналоговые. В свою очередь цифровые ЭВМ делятся на универсальные и управляющие.

Универсальные ЭВМ предназначены для решения задач (обработки информации), конкретный характер которых не конкретизируется при ее разработке. Универсальная ЭВМ состоит из набора устройств различного функционального назначения, соединенных между собой проводами. Конкретный набор устройств, комплектующий ЭВМ данного типа, целиком должен определяться характером задач, для решения которых эта машина предназначена. Принципиально все устройства ЭВМ можно отнести к одной из следующих групп: 1) входные устройства, предназначенные для ввода информации и программы в ЭВМ; 2) запоминающие устройства, хранящие информацию; 3) арифметическое устройство, обрабатывающее информацию в соответствии с заданной программой; 4) выходные устройства, обеспечивающие выдачу результатов; 5) управляющие устройства, координирующие и управляющие работой как отдельных устройств, так и ЭВМ в целом.

Запоминающие устройства ЭВМ делятся на оперативное и внешние. Оперативное - быстродействующее, относительно малой емкости; в нем хранятся данные, используемые на данном шаге вычислений; вся остальная информация хранится во внешней памяти - относительно медленно действующей и большой емкости. В современных ЭВМ принято (конструктивно так и оформляется) оперативную память и арифметическое устройство объединять в единый блок-центральный вычислитель (процессор), к которому с помощью специальных устройств каналов, входящих в центральный вычислитель, подсоединяются остальные устройства, которые принято называть периферийными. Современная ЭВМ представляет сложный комплекс, управление работой которого входом вычислительного процесса) автоматизировано с помощью специальных управляющих программ, входящих в математическое обеспечение ЭВМ.

Управляющие ЭВМ предназначаются для управления процессами в самых различных областях. Информация, вводимая в них, представляет собой данные о ходе того или иного процесса, получаемые с датчиков. Результаты обработки (вычислений) реализуются через устройства, обеспечивающие требуемое протекание управляемого процесса. Аналоговые вычислительные машины (АВМ) предназначаются для решения уравнений, электронного моделирования различных процессов.

В настоящее время ЭВМ широко используются в медицине для целей машинной диагностики, построения автоматизированных систем управления (АСУ).

Электронные вычислительные машины (ЭВМ) . Основными схемными элементами ЭВМ являются электронные приборы - электронные лампы или транзисторы (см. Электронные усилители). ЭВМ по сравнению с другими типами вычислительных машин (арифмометр, клавишная электромеханическая машина) являются более быстродействующими, универсальными и надежными в работе, а главное - более автоматизированными. Перед началом работы в ЭВМ вводятся программа вычислений и исходные данные для решения задачи, после чего вычисления производятся автоматически до получения конечного результата. Кроме обычных математических и логических операций по заданной программе, ЭВМ могут производить операции условного перехода, изменяющие программу вычислений в зависимости от промежуточных результатов или от других дополнительных условий. Эта особенность ЭВМ (самоуправляемость) при большом быстродействии (до 1 000 000 операций в секунду) позволяет выполнять весьма сложные вычисления, управлять технологическими процессами, производить логическую и математическую обработку результатов опыта или клинического анализа непрерывно в ходе исследования (см. Кибернетика).

По принципу действия ЭВМ разделяют на аналоговые и цифровые. В аналоговых ЭВМ цифры или процессы, подлежащие математической или логической обработке, заменяются соответствующими непрерывными значениями электрических токов или напряжений, с которыми и производят необходимые операции. Точность вычислений определяется погрешностями измерений и лежит в пределах 10-0,1%. Аналоговые ЭВМ преимущественно применяют для решения интегральных и дифференциальных уравнений, моделирования и управления процессами в реальном масштабе времени, особенно если не требуется большой точности.

В цифровых ЭВМ вычисления производятся с помощью элементов, находящихся в конечном числе дискретных состояний (обычно в двух, десяти). Поэтому перед вводом непрерывные процессы должны быть представлены в цифровой форме, что осуществляется с помощью специальных преобразователей «аналог-код». Точность вычислений определяется разрядностью - числом цифр (разрядов) в одной ячейке «памяти» (обычно 7-10 десятичных цифр). Практически на цифровых ЭВМ с помощью программы может быть достигнута любая необходимая точность.

Современная ЭВМ состоит из следующих основных узлов. 1. Арифметическое устройство, где производятся основные операции. 2. Запоминающее устройство (различают долговременное и оперативное). В долговременном запоминающем устройстве данные хранятся на магнитных дисках, барабанах, лентах или перфокартах. Время хранения информации и объем долговременного запоминающего устройства практически не ограничены, однако скорость обращения тем меньше, чем больше объем. Оперативное запоминающее устройство осуществляется обычно на ферромагнитных элементах, электроннолучевых трубках или на электронных лампах. Время поиска информации в оперативном запоминающем устройстве порядка миллионных долей секунды, однако объем его всегда ограничен. 3. Устройство ввода данных. 4. Устройство вывода данных. Ввод осуществляется с перфоленты, перфокарт, магнитных лент. Вывод в большинстве случаев выполняется буквопечатающим устройством (в современных ЭВМ ввод и вывод данных - наиболее медленные операции). 5. Управляющее устройство обеспечивает автоматическую работу всех устройств ЭВМ в соответствии с программой.

Типовые современные ЭВМ средней мощности требуют помещения в 40-60 м 2 , 5- 20 человек обслуживающего персонала, питание 10-20 кет.

Основные области применения ЭВМ в медицине и биологии следующие. 1. Диагностика заболеваний, определение прогноза и выбор оптимального варианта лечения, классификация биологических объектов. 2. Автоматическая обработка экспериментальных и клинических данных (выделение регулярных составляющих в электроэнцефалограммах и неврограммах, спектральный и корреляционный анализ биологических процессов, подсчет и классификация клеток крови или гистологических препаратов, анализ данных радиографии, обработка данных рентгенологического обследования). 3. Реализация математических и физических моделей (моделирование нервных сетей, поведения, обмена в организме или отдельных клетках, отдельных органах или системах организма, поведения популяций животных). 4. Стереотаксические расчеты во время операций на головном мозге человека. 5. Автоматизация обработки медицинских архивных материалов. 6. Предсказание фармакологических свойств веществ по их физико-химическим характеристикам. 7. Автоматическое управление искусственным дыханием и кровообращением во время операций и при наблюдении за больными в тяжелом состоянии. 8. Планирование и автоматизация длительных и дорогостоящих экспериментов. Имеется тенденция к дальнейшему расширению областей применения ЭВМ в биологии и медицине.

Целые числа являются простейшими числовыми данными, с которыми оперирует ЭВМ. Для целых чисел существуют два представления: беззнаковое (только для неотрицательных целых чисел) и со знаком. Очевидно, что отрицательные числа можно представлять только в знаковом виде. Целые числа в компьютере хранятся в формате с фиксированной запятой .

Представление целых чисел в беззнаковых целых типах.

Для беззнакового представления все разряды ячейки отводятся под представление самого числа. Например, в байте (8 бит) можно представить беззнаковые числа от 0 до 255. Поэтому, если известно, что числовая величина является неотрицательной, то выгоднее рассматривать её как беззнаковую.

Представление целых чисел в знаковых целых типах.

Для представления со знаком самый старший (левый) бит отводится под знак числа, остальные разряды - под само число. Если число положительное, то в знаковый разряд помещается 0, если отрицательное - 1. Например, в байте можно представить знаковые числа от - 128 до 127.

Прямой код числа.

Представление числа в привычной форме "знак"-"величина", при которой старший разряд ячейки отводится под знак, а остальные - под запись числа в двоичной системе, называется прямым кодом двоичного числа. Например, прямой код двоичных чисел 1001 и - 1001 для 8-разрядной ячейки равен 00001001 и 10001001 соответственно.

Положительные числа в ЭВМ всегда представляются с помощью прямого кода. Прямой код числа полностью совпадает с записью самого числа в ячейке машины. Прямой код отрицательного числа отличается от прямого кода соответствующего положительного числа лишь содержимым знакового разряда. Но отрицательные целые числа не представляются в ЭВМ с помощью прямого кода, для их представления используется так называемый дополнительный код .

Дополнительный код числа.

Дополнительный код положительного числа равен прямому коду этого числа. Дополнительный код отрицательного числа m равен 2 k -|m|, где k - количество разрядов в ячейке.

Как уже было сказано, при представлении неотрицательных чисел в беззнаковом формате все разряды ячейки отводятся под само число. Например, запись числа 243=11110011 в одном байте при беззнаковом представлении будет выглядеть следующим образом:

При представлении целых чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа, и под собственно число остаётся на один разряд меньше. Поэтому, если приведённое выше состояние ячейки рассматривать как запись целого числа со знаком, то для компьютера в этой ячейке записано число - 13 (243+13=256=28).

Но если это же отрицательное число записать в ячейку из 16-ти разрядов, то содержимое ячейки будет следующим:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1

Знаковый разряд Возникает вопрос: с какой целью отрицательные числа записываются в виде дополнительного кода и как получить дополнительный код отрицательного числа? Дополнительный код используется для упрощения выполнения арифметических операций. Если бы вычислительная машина работала с прямыми кодами положительных и отрицательных чисел, то при выполнении арифметических операций следовало бы выполнять ряд дополнительных действий. Например, при сложении нужно было бы проверять знаки обоих операндов и определять знак результата. Если знаки одинаковые, то вычисляется сумма операндов и ей присваивается тот же знак. Если знаки разные, то из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и результату присваивается знак большего числа. То есть при таком представлении чисел (в виде только прямого кода) операция сложения реализуется через достаточно сложный алгоритм. Если же отрицательные числа представлять в виде дополнительного кода, то операция сложения, в том числе и разного знака, сводится к из поразрядному сложению.

Для компьютерного представления целых чисел обычно используется один, два или четыре байта, то есть ячейка памяти будет состоять из восьми, шестнадцати или тридцати двух разрядов соответственно.

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа.

Для получения дополнительного k-разрядного кода отрицательного числа необходимо

• 1. модуль отрицательного числа представить прямым кодом в k двоичных разрядах;
• 2. значение всех бит инвертировать: все нули заменить на единицы, а единицы на нули (таким образом, получается k-разрядный обратный код исходного числа);
• 3. к полученному обратному коду прибавить единицу.

Получим 8-разрядный дополнительный код числа - 52:

• 00110100 - число |-52|=52 в прямом коде
• 11001011 - число - 52 в обратном коде
• 11001100 - число - 52 в дополнительном коде

Можно заметить, что представление целого числа не очень удобно изображать в двоичной системе, поэтому часто используют шестнадцатеричное представление:

Представление вещественных чисел в компьютере.

Для представления вещественных чисел в современных компьютерах принят способ представления с плавающей запятой . Этот способ представления опирается на нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.

Как и для целых чисел, при представлении действительных чисел в компьютере чаще всего используется двоичная система, следовательно, предварительно десятичное число должно быть переведено двоичную систему.

Нормализованная запись числа.

Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа - это запись вида

где q - целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m - правильная P-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, то есть. При этом m называется мантиссой числа, q - порядком числа.

• 1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 10 1 ;
• 2. 1000=0,1 * 10 4 ;
• 3. 0,123456789 = 0,123456789 * 10 0 ;
• 4. 0,0000107 8 = 0,1078 * 8 -4 ; (порядок записан в 10-й системе)
• 5. 1000,0001 2 = 0, 100000012 * 2 4 .

Так как число ноль не может быть записано в нормализованной форме в том виде, в каком она была определена, то считаем, что нормализованная запись нуля в 10-й системе будет такой:

0 = 0,0 * 10 0 .

Нормализованная экспоненциальная запись числа - это запись вида a= m*P q , где q - целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m - P-ичная дробь, у которой целая часть состоит из одной цифры. При этом (m-целая часть) называется мантиссой числа, q - порядком числа.

Для изображения чисел используются определенные приемы и правила, называемые системами счисления. Все известные системы счисления делятся на две группы: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.

Непозиционной системой счисления называется такая система, в которой значение символа, цифры, знака или иероглифа не зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. В позиционных системах наоборот, значение символа зависит от позиции этого символа в изображаемом числе. Непозиционные системы, как более простые, появились исторически гораздо более раньше позиционных систем. Ими пользовались древние славяне, китайцы и другие народы.

До наших дней дошла одна из разновидностей непозиционных систем - римская система счисления. В ней используются так называемые римские цифры: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Значение числа вычисляется суммированием всех чисел с учетом правила, что если цифра меньшего веса стоит слева от следующей за ней цифрой большего веса, то она имеет знак минус, а если справа - то знак плюс. Например, число MCCXXXIV определяется следующим образом:

1000 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 - 1 + 5 = 1234

Непозиционные системы счисления обладают двумя существенными недостатками. Во-первых, при увеличении диапазона представленных чисел увеличивается число различных символов в изображаемых числах. Во-вторых, очень сложны правила выполнения даже самых простых арифметических действий.

Позиционные системы счисления обладают тем чрезвычайно важным свойством, что все числа, и малые, и большие, могут быть записаны с помощью конечного набора различных символов. Кроме того, правила действия с числами могут быть резюмированы в виде таблиц сложения и умножения. Изобретение позиционных систем счисления имело неоценимые последствия для дальнейшего развития человеческой цивилизации. Впервые такие системы счисления стали использовать древние шумерийцы и индусы.

В позиционных системах счисления любое число X изображается в виде полинома

B этом выражении aj называются коэффициентами, а S - основанием системы счисления. Значение любого коэффициента в изображаемом числе может лежать в диапазоне 0...(S-1) . В настоящее время во всех странах мира используется десятичная система счисления, представляющая собой позиционную систему счисления с основанием S =10. Коэффициенты при изображении чисел в десятичной системе счисления могут принимать значения в диапазоне от 0....9. Для краткости вместо записи числа в виде полинома записывают только последовательность коэффициентов этого полинома. Когда мы пишем десятичное число X= 94,46 , то подразумеваем величину

Значение первой цифры слева от запятой, отделяющей целую часть числа от его дробной части, соответствует значению изображенной цифры (говорят, что ее “вес” равен единице); значение следующей цифры слева равно десятикратному значению изображаемой цифры (“вес” цифры - 10) и т.д. Значение цифры справа от запятой равняется десятой части написанной цифры, (ее “вес” равен 0,1) следующей - сотой части и т. д.

В принципе, роль основания способно играть любое целое число, большее единицы. Возьмем, например, десятичное число 437. Вполне возможно записать это число и как

где индекс 8 у числа 665 указывает, что мы имеем дело с числом, при записи которого вместо обычного основания S =10 используется основание S =8. Числа, записанные в системе счисления с основанием 8, называются восьмеричными.

То же самое десятичное число 437 можно записать в виде

Числа, записанные в системе счисления с основанием 16, называются шестнадцатеричными (А соответствует цифре 10 в десятичной системе).

Простейшей позиционной системой счисления является система с основанием S =2. В этой системе число

Преимущество использования двойки в качестве основания системы счисления состоит в том, что требуются только две различные цифры для записи любого числа - 0 и 1. Недостаток двоичной системы в том, что для изображения числа в двоичной форме требуется примерно в 3,3 раза больше цифр, чем в десятичной.

Подобно тому, как для записи десятичных чисел используют десять различных цифр (09), для написания двоичных чисел применяют две различные цифры (0 и 1), восьмеричных - восемь (07) и шестнадцатеричных - 16. Так как только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятые обозначения арабскими цифрами 09, то для записи остальных цифр 1015 шестнадцатеричных чисел используют символы латинского алфавита AF (A соответствует цифре 10, В - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15). Так, например, шестнадцатеричное число 2Е соответствует десятичному числу 46, так как .

С дробными числами при любом основании обращаются так же, как и в десятичной системе. Необходимо лишь учитывать то обстоятельство что конечная дробь в одной системе счисления может стать периодической в другой. Так, например,

Но .

В ЭВМ используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16, 10. Основной системой счисления является двоичная. Во-первых, в этой системе счисления, как уже говорилось, для изображения чисел необходимы только комбинации двух цифр: 0 и 1. Эти две цифры можно изображать элементами, имеющими два различных состояния. Одному состоянию, причем любому, можно поставить в соответствие цифру 0, а другому - 1. Такие элементы называются двухпозиционными (две позиции - два состояния) и они исключительно легко изготавливаются технически.

Для сравнения укажем, что для изображения одной десятичной цифры необходимо иметь элемент, имеющий 10 четко выраженных различных состояний. В принципе, логика выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления наиболее проста. Это наглядно на примере сравнения таблиц умножения десятичных цифр с одной единственной таблицей умножения двоичных цифр имеющей вид:

00=0; 01=0; 10=0; 11=1.

Из приведенных примеров видно, что десятичная система счисления крайне неудобна для использования в ЭВМ, но она общепринята, и поэтому, не смотря на свои недостатки, так же нашла применение в вычислительной технике. Для того чтобы ввести в ЭВМ десятичные числа, отобразить их состояниями двухпозиционных элементов, используется так называемая двоично-десятичная форма представления десятичных чисел. В этой форме каждая цифра десятичной записи числа изображается в виде четырехразрядного двоичного числа (двоичной тетрады). Например, десятичное число X 10 =481,75 в двоично-десятичной форме будет иметь вид:

X 2-10 = 0100 1000 0001, 0111 0101.

Нельзя путать двоично-десятичную форму записи числа с двоичной записью того же числа! В первом случае основание системы счисления остается равным десяти - только коэффициенты при основании выражены в двоичной форме.

Восьмеричная и шестнадцатеричная форма записи в основном используются при программировании задач для ЭВМ и введения компактных записей во время отладки программ. Достоинства этих форм записи числа - легкость перевода из двоичной формы в восьмеричную (шестнадцатеричную) и наоборот, с одной стороны, и компактность изображения чисел, с другой стороны. Например, чтобы перевести шестнадцатеричное число X 16 =1FA,0F в двоичную форму, необходимо каждую шестнадцатиричную цифру представить эквивалентным четырехразрядным двоичным числом. В итоге получим:

0111 1111 1011, 0000 1110.

Аналогично для восьмеричного 34:

В таблице 4.1 приведены различные формы записи двадцати чисел натурального ряда.

Таблица 4.1. Различные формы записи двадцати чисел натурального ряда

Необходимо особо подчеркнуть:

1. Количество, которое отражает цифровая запись числа остается неизменным, независимо от системы счисления;

2. Правила выполнения арифметических операций над многоразрядными числами представленными в позиционных системах счисления с различными основаниями, одни и те же.

3. Правила сложения и умножения одноразрядных чисел для каждой системы счисления определяются своими таблицами умножения и сложения.

Рассмотрим пример. Пусть нам необходимо найти произведение двух восьмеричных чисел: X 8 =35´12 (эти числа соответствует десятичным 29 и 10 соответственно).

Будем умножать “столбиком”:

Ответ: X 8 =4314=644=6 +4

Умножая 4 на 3 в восьмеричной системе, получаем результат 14 8 (это соответствует 12 в десятичной системе). Следовательно, согласно правилам, в данном разряде записывается число 4, а единица переноса запоминается. Умножая далее 4 на 4 получаем 20 в восьмеричной ситсеме, а с учетом единицы переноса - цифру 21. Таким образом, результатом умножения восьмеричного числа 43 на цифру 4 будет восьмеричное число 214. Аналогично умножается множимое 43 на следующую цифру множителя 431=43. При сложении полученных таким образам частичных сумм необходимо пользоваться соответствующими таблицами сложения. Окончательный ответ в восьмеричной форме 644 соответствует десятичному числу 420.

Порядок вычислений на ЭВМ обычно таков. Исходные числовые данные вводятся в ЭВМ в обычной для человека десятичной форме (например, с помощью клавиатуры - устройства ввода). ЭВМ имеют в своем составе специальные устройства, называемые шифраторами, которые осуществляют автоматический перевод вводимой десятичной информации в двоично-десятичную форму. По специальной подпрограмме или схеме (разработаны специальные большие интегральные схемы, осуществляющие автоматический перевод чисел из двоично-десятичной записи в двоичную запись и наоборот) числовая информация из двоично-десятичной формы переводится в двоичную запись. Затем производятся необходимые вычисления в двоичной системе счисления. Если необходимо выдавать какие-то результаты вычислений в десятичной форме, то эти данные, программно или с помощью специальных микросхем, переводятся сначала в двоично-десятичную форму, а затем с помощью устройств вывода выдаются непосредственно в десятичной форме (например, печатаются на бланке или высвечиваются на экране дисплея).

Такой порядок вычислений используется при решении научно-технических задач. В таких задачах количество исходных числовых данных и результатов вычислений сравнительно невелико по сравнению с количеством операций, необходимых для решения задач.

В то же время имеется достаточно большой класс задач, отличающийся обилием входных и выходных данных и требующих для своего решения небольшого числа вычислительных операций (например начисление зарплаты рабочим и служащим, расчет квартплаты). Для таких задач описанный выше порядок вычислений не является оптимальным из-за низкой производительности ЭВМ - слишком много времени она будет тратить на переводы числовой информации из двоично-десятичной формы в двоичную и наоборот. Для решения указанных задач разработаны оптимальные методы вычислений непосредственно в двоично-десятичной форме. В современных ЭВМ в системе команд обязательно присутствуют как группа команд, выполняющих операции в двоичной системе счисления (команды двоичной арифметики), так и группа команд, выполняющих операции в двоично-десятичной системе счисления (команды десятичной арифметики).