матрицы B равен нулю.

И следствие 3 из следствия 2: Определитель не изменится, если к элементам некоторой его

строки прибавить соответствующие элементы любой другой строки, умноженные на произвольное число x. (рис. 15. поз. 2).

Разжёвываю: Опять же здесь три матрицы, различающиеся только верхней сточкой. У матрицы F две строки, голубая и розовая, пропорциональны (элементы голубой в два раза меньше элементов розовой), значит, её определитель равен нулю. Теперь смотрим матрицу D. Прибавим к светло-коричневой строке матрицы D её же голубую строку, умноженную на 2. Получим матрицу G. А если мы сложим верхние строки матриц D и F, то получим опять же матрицу G. Согласно теореме (рис. 14) определитель матрицы G равен сумме определителей матриц D и F, а определитель матрицы F равен нулю, значит, определители матриц D и G равны. Белоусов доказывает, что эту операцию (прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число), можно проделать несколько раз (при условии, что прибавляемые строки будут разными) - определитель не изменится.

5. Определитель произведения матриц

Привожу без доказательств теорему, которая доказана в работе Белоусова, и следствия из неё. Теорема: Определитель произведения двух (а также нескольких) квадратных матриц

одного и того же порядка равен произведению их определителей.

Следствие: Определитель целой положительной степени квадратной матрицы равен определителю этой матрицы, возведённому в ту же степень.

Обратите внимание: если при умножении матрицы переставить местами, в результате получатся разные матрицы. Однако согласно теореме, определитель у них будет одинаковый.

5. Миноры и алгебраические дополнения

Что такое минор? Возьмём какой нибудь элемент квадратной матрицы, например, элемент A22

на рисунке 15-1, позиция 1. Если у матрицы убрать строку, на которой расположен этот элемент, а также столбец, на котором расположен этот элемент, мы получим матрицу меньшего размера. Определитель этой матрицы и называется минором элемента (обозначается греческой буквой "мю"). Обратите внимание, что минор элемента вычислить гораздо легче, чем определитель матрицы. Если

Гамма ми-минор – одна из 12-ти основных минорных гамм в европейской музыкальной теории. Она используется в очень большом количестве песен как зарубежных, как и отечественных исполнителей. В своей аппликатуре она имеет один диез – неполную ноту – F#, на что можно опереться при запоминании гаммы. По структуре выстраивается точно так же, как и стандартная минорная тональность, в гармоническом виде добавляется седьмая ступень. Ниже вы найдете все боксы гаммы ми-минор на гитаре, а также упражнения по их отработке.

Краткая памятка для начинающих

3 вида гаммы Ми-минор

Как и любая другая, например, гамма ре-мажор , ми-минор может быть построен тремя различными способами.

Первый – это натуральный звукоряд. Это наиболее простой и распространенный вид, поскольку для его выстраивания нужно просто сыграть все ноты, входящие в гамму, по порядку – от одной октавы к другой. Кроме этого, на основе натурального звукоряда построена – пентатоника.

Второй – гармонический. В этом звукоряде в гамме меняется седьмая ступень, она повышается на полутон, в данном случае это – ре-диез. Данная нота меняет звучание гаммы. Придавая ей характерный «восточный» колорит. Это придаст вашей композиции больше разнообразия и характера, а также индивидуальности. На основе этой гаммы можно даже писать , и это будет звучать очень красиво и здорово.

Третий – мелодический. Здесь уже выстраивается относительно того, куда вы идете при игре – вверх, или вниз. Если вы двигаетесь вверх, то вы повышаете шестую и седьмую ступени. Это придает минору больше чувственности и мелодики, что сразу же становится слышно в композиции. Если же вы спускаетесь, то эти изменения не учитываются, и вам нужно сыграть обычный натуральный ряд.

Как построить гамму Ми-минор

Построение гаммы, точно такое же, как и любого минора – тоника-тон-полутон-тон-тон-полутон-тон-тон. То есть, исходя из этого, гамма ми-минор будет иметь в себе следующие ноты – E – F# – G – A – B – C – D – E. Чтобы выстроить гармонический звукоряд, вам нужно просто сыграть D#, вместо D, перед переходом на следующую октаву. Если же вы хотите сыграть мелодическую гамму – то просто сыграйте C# и D#, если идете от низкой октавы к высокой.

Параллельная гамма

Параллельная тональность к гамме ми-минор – это Соль-мажор. Она имеет в себе точно такие же знаки и ноты, и подчиняется тем же самым правилам в гармонических и мелодических звукорядах.

Гамма Ми-минор натуральный вид

Ниже представлены все гитарные боксы гаммы ми-минор от нулевого до двенадцатого лада. В этих изображениях так же указано, какими пальцами какой лад зажимать — это нужно для удобства, а также для правильно постановки рук во время игры. Условные обозначения расшифровываются на рисунке ниже.

Обратите внимание так же на то, что каждый бокс, представленный ниже, по сути своей является продолжением предыдущего. Это сильно поможет в запоминании всех позиций.

Аппликатура

1 схема

В данной аппликатуре все начинается от второго лада, а тоникой является третий. Поскольку ми-минор параллельна соль-мажору, то и нота, от которой все начинается, является соль. Нота Ми здесь появляется только на втором ладу четвертой струны. Обратите внимание и на то, что первой нотой может быть и открытая шестая струна – тогда тоникой становится Ми.

2 схема

В данной схеме все начинается с пятого лада – точно так же, как и первый бокс на нем заканчивался.

3 схема

4 схема

Точно так же – бокс наполовину переигрывает предыдущую позицию, начинаясь с девятого лада. Далее все схемы по сути представляют собой то же самое, что было указано выше, но играются в октаву – с двенадцатого лада.

5 схема

Эта схема возвращает нас к первым ладам. Здесь она начинается с нулевого лада – что, по сути, является тоникой, а которой говорилось выше. Стоит сказать, что этот бокс также играется через октаву – но вместо нулевого вам нужно будет зажимать двенадцатый лад.

Гамма гармонического Ми-минора 5 позиций

Как уже говорилось выше, на практике гармонический минор отличается только тем, что вы играете последнюю ноту гаммы на полутон выше.

1 фигура

Этот паттерн является логичным продолжением 5-той фигуры. Он начинается со второго лада.

2 фигура

Следующая схема берет начало с пятого лада, и так же продолжает вторую фигуру.

3 фигура

4 фигура

Суть та же самая. Первая нота расположена на одиннадцатом ладу и двигается в октаву. Бокс отчасти повторяет четвертую фигуру.

5 фигура

Этот паттерн начинается от нулевого лада. Почти каждую струну здесь нужно будет сыграть открытой – кроме третьей, поскольку как раз на ней мы повышаем ступень до D#.

Упражнения с гаммой Ми-минор

Следующий раздел посвящен упражнениям по отработке боксов. Помните, что играть их нужно только под . Таким образом вы сразу же приучите себя к ровной игре. Начинать стоит с небольших темпов, постепенно наращивая скорость.

Упражнение #1

Первое упражнение сделано для отработки бокса от третьего лада. В табулатуре представлен довольно высокий темп исполнения, но вы всегда можете уменьшить его до удобной вам скорости. Его суть заключается в том, чтобы играть ноты на одной струне, потом переходить на следующую, но дальше – возвращаться.

Упражнение #2

Второе упражнение очень похоже на первое, однако мы добавляем седьмой лад. Суть остается такой же – вы по очереди играете ноты гаммы на каждой струне, иногда возвращаясь к предыдущим.

Упражнение #3

Третье упражнение немного меняет общую суть. Теперь вы движетесь от первой струны до шестой – однако по тому же самому боксу.

Упражнение #4

Это более длинный пассаж, однако по-прежнему находящийся внутри одного паттерна гаммы.

Упражнение #5

По своей сути – повтор предыдущего упражнения, но задом-наперед.

Вы наверняка обратили внимание, что упражнения в данном случае очень похожи между собой. Поэтому старайтесь играть их подряд друг за другом, вперед и назад. Соединяйте все паттерны между собой, чтобы играть их без остановки. Сама их структура способствует этому. Кроме этого, не забывайте про занятия под метроном. Это очень важно, поскольку учит вас ровной и четкой игре. В упражнениях отталкивайтесь от аппликатур гаммы, чтобы пальцы не путались, и вы не сбивались лишний раз.

Гамма ми-минор используется очень часто, поэтому уделите ее отработке особое внимание.

Гармонический минор - яркий звукоряд, составляющий стилистическую основу гитарной неоклассики. Его восточный колорит вносит особую красоту в звучание произведений. Формула гармонической минорной гаммы выглядит так:

I II bIII IV V bVI VII

В отличие от натурального минора в этом ладу VII ступень не понижается. Например, в гармоническом Ля миноре - это G#.

Упражнение 1 (Ля минор гармонический)

В основе пассажа - фраза из 2-х секстольных фигур, повторяющаяся в 3-х октавах. Его восходящее (1, 2 такт) и нисходящее (3, 4) движение построено на основе диагональной аппликатуры. Играется переменным штрихом. Послушайте как Ингви Мальмстин подобными пассажами в куплете темы «Liar» из альбома Trilogy (1986) обыгрывает вокальную партию.

Упражнение 2 (Фа диез минор гармонический)

Нисходящая секвенция 16-ми с такой же аппликатурной схемой, как и в упражнении 1. Охватывает гриф с X по I лад и заканчивается аккордом F#m.

Упражнение 3 (Си минор гармонический)

В этом пассаже посредством повторения акцентируются ноты C# и G, которые соответственно являются II и bVI ступенями гармонической минорной гаммы от B (си).Что как нельзя лучше подходит для обыгрывания доминанты. В си миноре - это F#. Следовательно, относительно его тонального центра С# является квинтой, а G - пониженной ноной (она будет создавать дополнительное напряжение при разрешении в тонику).

Упражнение 4 (До минор гармонический)

Здесь секстольная ритмическая фигура постоянно чередуется с трелью: доля - секстоль, доля - трель. В основе трели: основной звук - B (VII ступень до минора гармонического) и вспомогательный - С (I).

Упражнение 5 (Ре минор гармонический)

Вариации на тему «баховского ренессанса», который на протяжении 300 лет вдохновлял и продолжает вдохновлять не только органистов, клавишников, но и гитаристов металлической сцены (хеви-метал, пауэр-метал, симфо-рок).

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" . Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей . Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

$M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления :

$$ M_{32}=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end{array} \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3)\cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания "минор элемента матрицы" в литературе встречается "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя $\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end{array} \right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

$$ M_{12}=\left| \begin{array} {cc} 9 & -5\\ 4 & 7 \end{array} \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{n\times n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Алгебраическое дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ находится по следующей формуле: $$ A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}, $$

где $M_{ij}$ - минор элемента $a_{ij}$.

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end{array} \right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{m\times n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right) $$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

$$ \left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue{2} & \boldblue{7} & 14 & \boldblue{6} \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue{0} & \boldblue{1} & 19 & \boldblue{8}\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue{5} & \boldblue{3} & -21 & \boldblue{9}\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end{array} \right|. $$

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется главным , если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$\left(\begin{array} {cccc} \boldgreen{-1} & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen{7} & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen{18} & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen{8}\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right) $$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$ M=\left|\begin{array} {cc} \boldgreen{-1} & -3 \\ 15 & \boldgreen{18} \end{array} \right| $$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, - например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ не равен нулю, т.е. $M\neq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным , а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами .

Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

$$ \left(\begin{array} {ccc} \boldpurple{-1} & 0 & \boldpurple{3} & \boldpurple{0} & 0 \\ \boldpurple{2} & 0 & \boldpurple{4} & \boldpurple{1} & 0\\ \boldpurple{1} & 0 & \boldpurple{-2} & \boldpurple{-1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|. $$

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

$$ M=\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|=4+3+6-2=11. $$

Итак, $M=11\neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор - базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), - базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ - базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель - наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие - окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{m\times n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=\left(\begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right) $$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

$$ \left(\begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & \boldred{19} & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred{12} & 20 & \boldred{21} & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} -17 & 19 \\ 12 & 21 \end{array} \right|. $$

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов - столбец №5. Получим новый минор $M"$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ - синим:

$$ \left(\begin{array} {ccccc} -1 & \boldblue{2} & 0 & \boldblue{-2} & \boldblue{-14}\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & \boldred{19} & \boldblue{29}\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred{12} & 20 & \boldred{21} & \boldblue{54}\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M"=\left|\begin{array} {ccc} 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end{array} \right|. $$

Минор $M"$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов - столбец №3, получим минор $M""$ (минор третьего порядка):

$$ \left(\begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred{-17} & \boldblue{-3} & \boldred{19} & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue{11} & \boldblue{19} & \boldblue{-20} & -98\\ 6 & \boldred{12} & \boldblue{20} & \boldred{21} & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M""=\left|\begin{array} {ccc} -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end{array} \right|. $$

Минор $M""$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

$$ A=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right) $$

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} -1 & \boldgreen{2} & 0 & -2 & \boldgreen{-14}\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen{-6} & 8 & -9 & \boldgreen{41}\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array}{cc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right|. $$

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M"$:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} \boldred{-1} & \boldred{2} & \boldred{0} & \boldred{-2} & \boldred{-14}\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & 19 & \boldred{29}\\ \boldred{5} & \boldred{-6} & \boldred{8} & \boldred{-9} & \boldred{41}\\ -5 & \boldred{11} & 16 & -20 & \boldred{-98}\\ -7 & \boldred{10} & 14 & -36 & \boldred{79} \end{array} \right);\; M"=\left|\begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array}\right|. $$

Минор $M"$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{n\times n}$ называется выражение $(-1)^{\alpha}\cdot M"$, где $\alpha$ - сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M"$ - минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание "алгебраическое дополнение к минору $M$" часто заменяют словосочетанием "алгебраическое дополнение минора $M$".

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=\left| \begin{array} {ccc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M"=\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Параметр $\alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $\alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$ M^*=(-1)^{11}\cdot M"=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|. $$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков , можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|=-30. $$