Урок алгебры в 7 классе.

Тема « Вынесение общего множителя за скобки».

Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.

Цели урока:

Образовательная –

выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;

формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;

применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.

Развивающая –

способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;

развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.

Воспитательная -

воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.

Тип урока: комбинированный.

Основные результаты обучения:

уметь выносить общий множитель за скобки;

уметь применять данный способ при решении упражнений.

Ход урока.

1 модуль (30 мин).

1. Организационный момент.

приветствие;

подготовка обучающихся к работе.

2. Проверка домашнего задания.

Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.

3 . Актуализация опорных знаний.

Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).

Что такое НОД?

Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?

Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?

Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями

Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме

а (в + с)= ав + ас

* - знак умножения

Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).

1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5

2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)

3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)

На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.

Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:

2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!

Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.

На доске появляется запись:

Я могу написать это свойство в виде:

В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.

а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500

Остальные устно, проверить ответы:

е) 55*682 – 45*682 = 6820

ж) 7300*3 + 730*70 = 73000

з) 500*38 – 50*80 = 15000

Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)

Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.

4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.

Работа в парах.

Карточки для пар.

Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.

Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.

2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).

Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки

Наибольший общий делитель коэффициентов.

Одинаковые буквенные переменные.

Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.

Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.

Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.

5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.

№657 (1 столбик)

2 модуль (30 мин).

1. Итог первой 30-минутки.

А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?

Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?

В) Как выносится общий множитель за скобки?

2. Первичное закрепление.

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).

2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).

3) 8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).

4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

5) 4 -2а = – 2 (2 – а).

3. Первичная проверка понимания.

Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне

Вынесите общий множитель за скобки:

Устно сделать проверку умножением.

4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.

Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).

Разложите на множители многочлен .

В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:

Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством . Два раза меняем знак! Разложите на множители многочлен

Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .

А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.

>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки

Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;

Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.

б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).

в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:

4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).

г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:

12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).

д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).

Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.

Замечание . В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.

Например:

Пример 2. Разложить на множители:

Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .

Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .

Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).

Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .

Решение. В примере 1д) мы получили, что

5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).

Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .

Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.

Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .

А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.

Пример 4. Разложить на множители:

2x(x-2) + 5(x-2) 2 .

Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:

2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .

Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:

2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:

у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).

В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую

2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).

Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

В ходе различных математических операций при работе с уравнениями и равенствами часто появляется возможность значительно упростить все действия путем вынесения некоего общего множителя за пределы самого выражения. Это позволяет не только сократить большие группы многочлена, но и упростить сам процесс решения.

Вынесение множителя позволяет также избавиться от лишних действий и оптимизировать процесс вычислений. В данном видеоуроке мы подробно изучим возможности процедуры вынесения. Например, рассмотрим выражение следующего вида:

Нам необходимо его преобразовать так, чтобы при известных значениях всех переменных было легко вычислить значение всего полинома. Положим, а=1, с=2, х=5. Обратим внимание, что у обоих членов многочлена есть общая часть - множитель-переменная х. Она легко выносится за скобки, согласно распределительному закону умножения:

ах + сх = х(а + с)

Для нахождения правой части данного равенства необходимо поделить каждый одночлен исходного полинома на утвержденный общий множитель (в этом случае - х), частное записать алгебраической суммой в скобках, а сам множитель поставить перед ними. Руководствуясь заданными значениями переменных, получаем:

ах + сх = х(а + с) = 5(1 + 2) = 15

В видеоуроке сделан акцент, что вынесение множителя за скобки в представленном примере, сократило количество действий по расчету с трех до двух. В более сложных упражнениях эффект упрощения может быть ещё более значителен. А многие уравнения без применения метода вынесения множителя вообще очень сложно решить.

В общем, вынесение общего множителя за скобки в полиномах именуется процессом разложения многочлена на отдельные множители. При этом используется следующий алгоритм для обработки данных:

1. Выделяется рабочая группа выражения (многочлен);
2. Осуществляется поиск подходящего множителя, на который можно было бы поделить каждый одночлен;
3. Производится деление мономов на выделенный множитель, при этом результаты записываются вместо одночленов, как алгебраическая сумма;
4. Получившийся многочлен заключается в скобки, общий множитель ставится перед ними.

При выборе множителя часто возникают проблемы. Во-первых, он должен отвечать максимальному количеству мономов, в идеале - делить все одночлены. Во-вторых, в комплексных задачах необходимо подбирать такой множитель, чтобы он позволял провести решение всего упражнения дальше, облегчая всю процедуру. Как правило, если нет строгого условия извне (в уравнениях, к примеру), то множитель подбирается по принципам: подходящий всем мономам и являющийся наибольшим по степени и коэффициенту при переменной. Иначе говоря, множитель должен включать все переменные, наибольшую возможную степень, а также наибольший кратный числовой коэффициент. Рассмотрим пример:

2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2

Вполне очевидно, что в этом выражении для всех одночленов наиболее приемлемым множителем будет переменная х, взятая во второй степени (максимально допустимой) и с числовым коэффициентом, равным 2, т.е. 2х 2:

2х 2 у - 8х 2 у + 4х 2 +4х 3 у 2 = 2х 2 (у - 4у + 2ху 2) = 2х 2 (2ху 2 - 3у)

Производим действия в скобках, получаем итоговый ответ, представляющий собой произведение многочлена на одночлен-множитель.

Рассмотрим ещё один пример. Необходимо преобразовать выражение вида:

2х(4-у) + х(у-4)

С первого взгляда, тут трудно что-либо вынести за скобки, кроме переменной х, вынесение которой создаст двойные скобки и лишь усложнит многочлен, поэтому данный шаг нецелесообразен. Однако следуя стандартной логике и базовым правилам математического сложения, можно уверенно записать, что:

(у-4) = -(4-у)

Если минус у правого выражения внести внутрь, то все внутренние знаки сменятся на противоположные, образуя выражение, полностью идентичное левой части. Поэтому, корректно будет записать:

2х(4-у) + х(у-4) = 2х(4-у) - х(4- у)

Теперь же оба члена многочлена содержат общий множитель (4- у), который легко вынести за скобки, продолжив дальнейшие вычисления:

2х(4-у) - х(4- у) = (4- у)(2х - х) = (4- у)х = 4х - ух

Последние два этапа расчетов не относятся к общей процедуре вынесения множителя, и являются индивидуальным решением данного примера. Сам процесс вынесения дает нам произведение двух элементарных биномов.

Урок алгебры в 7-м классе "Вынесение общего множителя за скобки"

Комарова Галина Александровна

Цель : совершенствование практических умений и навыков учащихся при разложении многочлена множители путем вынесения общего множителя за скобки, применение его при решении уравнений. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. Развивать умения: применять правила, анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное.

Задачи :

создать ситуацию успеха на уроке, условия для самостоятельной деятельности учащихся на уроке;

способствовать пониманию учебного материала урока;

воспитывать коммуникативность и толерантность в отношениях учащихся между собой.

Тип урока : комбинированный.

Методы: стимулирующие, поисковые, наглядные, практические, словесные, игровые, дифференцированная работа.

Формы проведения: индивидуальные, коллективные, групповые.

Оценка знаний ведется по 5-бальной системе.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний с дидактическими играми.

Результаты обучения: Уметь выносить общий множитель за скобки, уметь применять данный способ при разложении на множители, уметь использовать вынесение за скобки общего множителя при решении уравнений.

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся.

Когда ученики Пифагора просыпались, они должны были произносить такие стихи:

«Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил».

2. Разминка - графический тест теоретического материала.

Верно ли утверждение, определение, свойство?

1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. (нет -)

2. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. (да Λ)

3. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. (да Λ)

4. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется одночленом . (нет -)

5. При умножении любого числа или выражения на ноль получается ноль. (да Λ)

6. В результате умножения одночлена на многочлен получается многочлен. (да Λ)

7. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак "-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, не меняют на противоположные. (нет-)

8.Общий числовой множитель является наибольшим общим делителем коэффициентов одночленов. (да Λ)

9. Из одинаковых буквенных множителей одночленов выносим за скобку его наименьшую степень . (да Λ)

Проверка: ––ΛΛ- ΛΛ-ΛΛ

Выставите себе оценки:

«5» - ошибок нет «4» - две ошибки «3» - четыре ошибки «2» - больше четырех ошибок

3. Актуализация опорных знаний.

Индивидуальная работа по карточкам №1, №2, №3 (3 учащихся).

Фронтальная работа с классом:

Задание 1 . Продолжите фразу:

Одним из способов разложения многочлена на множители является… (вынесение общего множителя за скобки );

При вынесении общего множителя за скобки применяется… (распределительное свойство );

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то…(этот множитель можно вынести за скобки )

Задание 2 .

Какой числовой множитель будет общим в следующих выражениях: 12 y 3 -8 y 2 ; 15х 2 - 75х . (4у 2 ; 15х)

Какую степень множителей а и х можно вынести за скобки

а 2 х- а 5 х 3 + 3а 3 х 2 (а 2 х )

Сформулировать алгоритм вынесения общего множителя.

Алгоритм:

Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку:

2) наименьшую степень:

разделить :

4. Изучение нового материала.

Определи общий множитель в данных выражениях и вынеси его за скобку:

2а+6=

3 хy-3y=

18m-9nm=

x 2 -x 3 +x 6 =

3y+3xy=

(Работа в парах, взаимопроверка )

Используя ключ к шифру, расшифруй слово.

А

Л

Г

У

Т

3y (x -1) или

-3у(-х+1)

9m (2-n )

2(а+3)

X 2 (1-x +x 4)

3(7c 2 -5a 3)

Ответ: Галуа.

Эварист Галуа (1811-1832)

Галуа - гордость французской науки. Будучи еще ребёнком, он прочитал геометрию Лежандра, как увлекательную книгу. К 16 годам дарования Галуа проявились настолько, что выдвинули его в ряд величайших математиков того времени. Научные труды Галуа по теории алгебраических уравнений высших степеней положили начало развитию современной алгебры.

Всего 20 лет прожил гениальный математик, гордость мировой науки, из которых пять посвятил математике. В 2011 году исполняется 200 лет со дня его рождения.

Предлагаю вам решить уравнение, в левой части которого многочлен второй степени.
12x 2 +6 x =0. Вынесем за скобки 3х. Получим.

6х(2х+1)=0 Произведение равно нулю, когда хотя бы 6х=0 или 2х+1=0. один из множителей равен нулю.

х=0:6 2х=-1

х=0 х = -1:2

х=-0,5

и находим х=0 или х= -0,5

Ответ: х 1 =0, х 2 = -0,5

5. Физкультминутка.

Учащимся зачитываются высказывания. Если высказывание верно, то учащиеся должны поднять руки вверх, а если неверно, то присесть и хлопнуть.

7 2 =49 (Да).

30 = 3 (Нет).

Наибольшим общим множителем многочлена 5а-15в является 5 (Да).

5 2 =10 (Нет).

На руках 10 пальцев. На 10 руках 100 пальцев (Нет).

5 0 =1 (Да)

0 делится на все числа без остатка (Да).

вопрос на засыпку 5:0=0

6. Домашнее задание.

I ,II группа

Правило в тетради, № 709(д,е), 718(г,)719(г),

III группа:

Правило в тетради, № 710(а,б),715(в,г)

Дополнительное задание (по желанию)

Известно, что при некоторых значениях а и b значение выражения а - b равно 3. Чему равно при тех же a и b значение выражения

а) 5а-5b ; б) 12b - 12а; в) (а - b ) 2 ; г) (b -а) 2 ;

7. Закрепление.

,II группа решают номер 710(а,в)

III группа решает номер 709(а,в)

Придумайте сами уравнение второй степени

Работа учащихся по заданию карточки № 5-6 у доски и в тетрадях. (диф)

Найди ошибку

5. Самостоятельная работа.

Учащимся предлагается выполнение самостоятельной работы обучающего характера в виде теста, с последующей самопроверкой, правильные ответы можно расположить на оборотной стороне доски.

6. Подведение итогов урока.

Рефлексия: Кто сегодня у нас работал лучше всех на уроке?

Какую оценку мы им поставим?

Я работал хорошо

Понял, как решать уравнения вынесением

Общего множителя за скобки

Доволен уроком

Нуждаюсь в помощи учителя или консультанта

МЫ А как мы вместе сегодня поработали?

Примеры карточек.

Карточка №1.

2х-2 y

5ab+10a

2a 3 -a 5

a(x-2)+b(x-2)

-7xy+y

Карточка №2.

Вынесите общий множитель за скобки:

5ab-10ac

4xy-16x 2

a 2 -4a+3a 5

0,3a 2 b+0,6ab 2

x 2 (y-6)-x(y-6)

Карточка №3.

Вынесите общий множитель

за скобки:

-3x 2 y-12y 2

5a 2 -10a 3 +15a 5

6c 2 x 3 -4c 3 x 3 +2x 2 c

7a 2 b 3 -1,4a 3 b 4 +2,1a 2 b 5

3a(x-5)+7(5-x)

Карточка №5- 1

Вынесите общий множитель за скобки:

3x + 3y;

5a – 15b;

8x+12y;

Реши уравнение

1) 2x² + 5x = 0

Карточка №5-2

1) 10 а – 10 в

2) 3 ху – х 2 у 2

3) 5 у 2 + 15 у 3

2.Реши уравнение

2x² - 9x = 0

Карточка №6

1. Вынесите общий множитель за скобки:

1) 8 а + 8 в.

2) 4 х у + х 3 у 3

3) 3 в у – 6 в.

2.Реши уравнение

2x² +7x = 0

Дополнительные задания

1.Найдите ошибку:

3х (х-3)=3х 2 -6х; 2х+3ху=х(2+у);

2.Вставьте пропущенное выражение:

5х(2х 2 -х)=10х 3 -…; -3ау-12у=-3у (а+…);

3.Вынеси общий множитель за скобки:

5a - 5b; 3x + 6 y; 15a – 25b; 2,4x + 7,2y.

7a + 7b; 8x – 32a; 21a + 28b; 1,25x – 1,75a .

8x – 8y; 7a + 14b; 24x – 32a; 0,01a + 0, 03y.

4.Замените «М» одночленом так, чтобы полученное равенство было верным:

а) М × (а – b ) = 4 ac – 4 bc ;

б) М × (3а – 1) = 12а 3 – 4а 2 ;

в) М × (2а – b ) = 10а 2 – 5а b .

VIII. Фронтальная работа (на внимательность, на усвоение новых правил).

На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.

2 х 3 – 3 х 2 – х = х (2 х 2 – 3 х).

2 х + 6 = 2 (х + 3).

8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).

а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).

4 -2а = – 2 (2 – а).

Алгоритм:

Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку

2) Из одинаковых буквенных множителей одночленов вынести за скобку его наименьшую степень

3) Каждый одночлен многочлена разделить на общий множитель и результат деления записать в скобки

Лист контроля знаний ученика 7 А класса _________________________________________

1. Графический

диктант

2.шифровка

3.Индивид. Работа по карточкам

4.тест

5.Всего баллов

6.Отметка учителя

ответ

Тест

1.Какую степень множителя а можно вынести за скобки у многочлена

a²x - аx³

а) а б) a² в) a ³

2 х³ -8x²

а) 4 б) 8 в) 2

a²+ab – ac +a

а) а(a+b-c+1) б) a (a+b-c)

в) a 2 (a+b-c+1)

7m³ + 49m²

а) 7m ² (m +7m 2) б) 7m ² (m +7)

в) 7m ² (7m +7)

5.Разложите на множители:

x(x – y) + a(x – y)

а) (x-y)(x+a) б) (y-x)(x+a)

в) (x+a)(x+y)

6. Реши уравнение

6y-(y-1)=2(2y-4)

а) -9 б) 8 в) 9

г) другой ответ

7.Вынеси общий множитель

x(x – y) + a(y- х)

а) (x-y)(x- a) б) (y-x)(x+a)

в) (x+a)(x+y)

Ответы

Тест

1.Какую степень множителя b можно вынести за скобки у многочлена

b² - a³b³

а) b б) b ² в) b ³

2.Какой числовой множитель можно вынести за скобки у многочлена

15a³ - 25a

а) 15 б) 5 в) 25

3.Вынесите за скобки общий множитель всех членов многочлена

x ² - xy + xp – x

а) x (x -y +p -1) б) x (x -y +p )

в) x 2 (x-y+p-1 )

4.Представьте в виде произведения многочлен

9b² - 81b

а) 9b(b-81) б) 9b 2 (b-9)

в) 9b(b-9)

5.Разложите на множители:

a(a + 3) – 2(a +3)

а) (a+3)(a+2) б) (a+3)(a-2)

в) (a-2)(a-3)

6 . Реши уравнение

3x-(12x-x)=4(5-x)

а) -4 б) 4 в) 2

г) другой ответ

7.Вынеси общий множитель

a (a - 3) – 2(3-а)

а) (a -3)(a+2) б) (a+3)(a-2)

в) (a-2)(a-3)

Ответы

Вариант I

Выполнить действие:

(3х+10у) – (6х+3у)

а) 9х+7у; б) 7у-3х; в) 3х-7у; г) 9х-7у

6х 2 -3х

а) 3х(2х-1); б) 3х(2х-х); в) 3х 2 (2-х); г)3х(2х+1)

3. Привести к стандартному виду многочлен :

Х+5х 2 +4х-х 2

а) 6х 2 +3х; б) 4х 2 +3х; в)4х 2 +5х; г) 6х 2 -3х

4. Выполнить действие:

3х 2 (2х-0,5у)

а)6х 2 -1,5х 2 у; б) 6х 2 -1,5ху; в) 6х 3 -1,5х 2 у ; г) 6х 3 -0,5х 2 у;

5. Решить уравнение:

8х+5(2-х)=13

а) х=3; б) х=-7; в)х=-1; г) х=1;

6. Вынести общий множитель за скобки:

х(х-у)-6у(х-у)

а) (х-у)(х-6у ) ; б) (х-у)(х+6у) ;

в) (х+у)(х-6у) ; г) (х-у)(6у-х) ;

7. Решить уравнение:

Х 2 +8х=0

а) 0 и-8 б) 0и8; в) 8 и -8

Вариант II

Выполнить действие:

(2а-1)+(3+6а)

а) 8а+3; б) 8а+4; в) 8а+2 ; г) 6а+2

Вынести общий множитель за скобки:

7а-7в

а) 7(а-в); б) 7(а+в); в)7(в- а); г) а(7-в);

Привести к стандартному виду многочлен:

4х 2 +3х-5х 2

а) -х 2 +3х ; б) 9х 2 +3х; в) 2х 2 ; г) –х 2 -3х;

Выполнить умножение:

4а 2 (а-в)

а)4а 3 -в; б) 4а 3 -4ав; в) 4а 3 -4а 2 в ; г) 4а 2 -4а 2 в;

Разложить на множители:

а(в-1)-3(в-1)

а) (в-1)(а-3) ; б) (в-1)(а+3) ; в) (в+1)(а-3) ; г) (в-3)(а-1) ;

Решить уравнение:

4(а-5)+а=5

а) а=1; б) а=-5; в) а=3; г) а=5;

7. Решить уравнение:

6х 2 -30х=0

а) 0 и 5 б) 0 и -5 в) 5 и -5

Галуа

Заходил паренек в сюртучке небогатом,

Чтобы в лавке табак и мадеру купить.

Приглашала любезно, как младшего брата,

Разбитная хозяйка и впредь заходить.

Провожала до двери, вздыхая устало,

Вслед ему разводила руками: «Чудак!

На четыре сантима опять обсчитала,

А четыре сантима теперь не пустяк!

Кто-то мне наболтал, будто видный ученый,

Математик какой-то мосье Галуа.

Как же может открыть мировые законы

Эта вот, с позволенья сказать, голова?!»

Но всходил на мансарду, обманутый ею,

Брал заветный набросок в чердачной пыли

И доказывал вновь с беспощадностью всею,

Что хозяева сытых желудков - нули. (А. Марков

Вариант 1

1 . 4-2х

А. 2(2 + х).В. 4(1 - х).

Б. 2(2-х).Г. 4(1 + х).

2. а 3 в 2 – а 4 в

А. а 4 в(в - а).В. а 3 в(в - а).

Б. а 3 в 2 (1 - а).Г. а 3 в(1 - а).

3. 15х y 2 + 5х y - 20х 2 y

А. 5хy (3y + 1 - 4х).В. 5хy (3y - 4х).

Б. 5х(3y 2 + у - 2х).Г. 5х(3у 2 + у - 4х).

4. а( b +3) +( b + 3).

А. (b + 3) (а + 1).В. (b + 3)а.

Б. (3 + b ) (a - 1).Г. (3 + b )(1-а).

5. х(y - z ) - (z - y ).

А. (х - 1) (y - z ).В. (х - 1) (z - у).

В.(х + 1)(у-z ).Т.(х + 1)(z -у).

6. Реши уравнение

3y - 12 y 2 =0

Разложение многочленов на множители

Вариант 2

1. 6а-3.

А. 3(2а-1).В. 6(а-1).

Б. 3(2а+1).Г. 3(а-1).

2. а 2 b 3 – a 3 b 4

А. а 2 b 3 (1 - аb ).В. а 3 (b 3 – b 4).

Б. аb 3 (1 - а 2 b ).Г. b 3 (х 2 - х 3).

3. 12х 2 у - 6ху - 24ху 2 .

А. 6ху(2х - 1 - 4у).В. 6ху(2х - 4у).

Б. 6ху(6х - 1 - 4у).Г. 6ху(2х + 4у + 1).

4. х( y + 5) + ( y +5).

А. (х - 1) (у + 5).В. (х + 1) (у + 5).

Б.(у + 5)х.Г. (х - 1) (5 - у).

5. а(с- b )- (b -с) .

А. (а - 1) (b + с).В. (а - 1) (b - с).

Б. (а + 1) (с - b ).Г. (а + 1) (b - с).

6. Реши уравнение

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Пример 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Пример 2

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter