Элементов структуры факторной системы для- кратных моделей строятся путем ввода под знак интеграла исходного значения, полученного на пересечении строк в зависимости от вида модели и элементов структуры факторной системы с последующей расшифровкой значений, приведенных справа и в низу матрицы исходных значений.  

Задачу, поставленную в предыдущем параграфе, можно решить путем разложения стоящей под знаком интеграла функции в ряд Тейлора с последующим интегрированием этого  

Функцию под знаком интеграла можно разложить в ряд Тейлора следующим образом  

Подставив это разложение под знак интеграла и проведя интегрирование, получим  

Отмеченные выше условия, которым удовлетворяют функции Jj и Xjj приводят к тому, что сумма, стоящая под знаком интеграла, положительно определенная.  

Подставляя значение v под знак интеграла и изменяя пределы интегрирования, получаем  

Знак f называется знаком интеграла, функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение /(ж) dx - подынтегральным выражением , переменная х - переменной интегрирования.  

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла  

Преобразуем функционал F к более удобному виду, вынося производные по t и ха за знак интеграла. Используя ограничение (6.7), получим  

Дифференцируя Ff(x) под знаком интеграла по х, получаем  

При выводе уравнения (14) операция дифференцирования под знаком интеграла была возможна лишь при условии существования условного математического ожидания функции Q(Sn) гл. когда  

На пересечении строк и граф таблицы находится значение вероятности F(t), соответствующее данному значению /. Для краткости записи в таблице приводятся только десятичные знаки вероятности, следовательно, к табличному значению F(t) надо приписывать ноль целых. Например, чтобы определить, какая вероятность соответствует /= 1,96, надо взять строку 1,9 и графу 6 и на их пересечении прочитать значение вероятности, добавив перед первым знаком ноль целых. Если / = 1,96, то F(f)= 0,9500. По мере увеличения t (уже при / = 3) значение интеграла вероятностей приближается к единице. Чем шире пределы t, тем большая площадь под кривой охватывается ординатами, восстановленными из соответствующих значений /. Поскольку вероятность - это отношение части площади под кривой, заключенной между ординатами, ко всей площади, соответственно возрастает и вероятность.  

Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику функция, дифференциал, дифференциальное исчисление , дифференциальное уравнение , алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику и другие.  

Если а определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 12.3)  

Доказанную формулу называют формулой замены переменной под знаком определенного интеграла . При использовании этой формулы определенного интеграла  

Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа . Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения , но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления , которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию , найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например,

Первообразная и неопределённый интеграл

Функция –первообразная для функции
на промежутке
, если
для любого
.

Например ,
или
,
,
.

Совокупность всех первообразных для
на
–неопределённый интеграл функции
на
.

Обозначается
, где–знак неопределённого интеграла ,
–подынтегральная функция ,
– подынтегральное выражение,– переменная интегрирования.

Свойства неопределённых интегралов

Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций

Пример

1. Интегрирование с использованием таблицы неопределённых интегралов.

Пример.

2. подстановка и замена переменной

«Характерную часть» функции под интегралом обозначаем новой буквой:

Подстановка реализуется через «внесение под знак интеграла».

Пример.

Проверка: – верно!

Линейная подстановка:


.

Пример.
.

Замечание .
,
,
– сводятся с помощью линейной подстановки к табличным интегралам (16 или 18, 12 или 19, 20 или 21) после выделения полного квадрата.

Если
интегрируема на промежутке
, а функция

дифференцируема и строго монотонна на промежутке, то
– правило замены переменной .

Пример

Замечание . После интегрирования требуется вернуть исходную переменную!!!

3. Метод интегрирования по частям

Пусть функции
и
определены и дифференцируемы на промежутке
. Тогда

или кратко
.

Замечание. Подынтегральную функцию представляем как произведение функций
(при дифференцировании желательно ее «упрощение») и
(на должна удобно интегрироваться!).

Классы функций, которые удобно интегрировать по частям :

1.
,
,
,
, где
– многочлен степени:

выбираем
, оставшаяся часть –
;

Пример. .

2.
,
,
,
,
:

выбираем
, оставшаяся часть –
;

Пример

4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональная функция имеет вид
,
и
– многочлены степенейи
.

Алгоритм интегрирования дробно-рациональных функций

1. Если
, тодробь правильная
переходим к п. 2.Если
, тодробь неправильная
делением
на
(столбиком) можно выделить целую часть (многочлен степени
) и правильную часть:

2. Правильная дробь (методом неопределенных коэффициентов) сводится к сумме простых дробей видов:

1) , 2)
, 3)
, 4)
,

где
– условие неразложимости квадратного трехчлена на множители.

3. Проинтегрировать целую часть дроби (если она есть) и каждую простую дробь . Сложить интегралы.

Интегрирование простых дробей (
)

1.
. 2.
.

4.

Пример. Вычислить интеграл
.

1. Под знаком интеграла – правильная рациональная дробь (
).

2. Разложим знаменатель на множители: – это и есть знаменатели простых дробей.

Разложим подынтегральную дробь в сумму простых дробей:

Для иполучим линейную систему
Значит,
,
.

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение. 1. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь (
<
). Делим числитель на знаменатель:


.

2. Для разложения правильной части
дроби в сумму простых дробей разложим знаменатель на множители:
, чтобы узнать знаменатели простых дробей:
. Найдём числа,,и
(неопределённые коэффициенты). Приведём слагаемые к общему знаменателю, сгруппируем подобные:
. Коэффициенты при одинаковых степенях:

. Итак,
.

Обыкновенные Дифференциальные уравнения (ДУ)

Обыкновенное ДУ связывает искомую функцию одной переменной с ее производными или дифференциалами. Например,
– ДУ первого порядка,
– ДУ второго порядка и т.д.

–(частное) решение ДУ, если эта функция обращает ДУ в тождество на некотором интервале.

Пример .
– решение ДУ
, так какпри всех
.

Совокупность всех решений ДУ – общее решение (из него можно получить любое частное).

Если в итоге процесса отыскания решения (процесса интегрирования) найдена неявная связь между переменными, входящими в ДУ, то полученное соотношение – интеграл ДУ .

Замечание . В теории ДУ знаком неопределенного интеграла принято обозначать первообразную.

ДУ первого порядка

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (УРП)

УРП в нормальной форме
. Общий интеграл :

Пример.
– УРП в нормальной форме, так как оно имеет вид
,
,
.

Пусть
. Тогда
. Чтобы разделить переменные умножим на
. Получаем
– уравнение в симметричной форме с разделенными переменными (в каждой части равенства – только одна переменная).Так как дифференциалы функций в левой и в правой частях равны, то сами функции могут отличаться на произвольное постоянное слагаемое. Проинтегрируем:
или
–общий интеграл (общий, т.к. при вычислениях не было ограничений). Из него можно получить общее решение:
.

Замечание. Подстановка
приводит ДУ
к УРП
.

УРП в симметрической форме: .

Общий интеграл :

Определённый интеграл

Пусть функция
определена и ограничена на отрезке
.

Обозначаем диаметр разбиения
– наибольшую из длин
частичных отрезков
.

Замечание . Если
, то количество частей отрезка
.

Определение (Риман). Число
(если предел существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы) –определённый интеграл от
на
. Обозначается:
.

Пример .
–зависимость объема производстваот времени. Тогда объем выпускаемой продукции за времясоставит
.

–среднее интегральное значение функции.

С геометрической точки зрения : если
0 на
, то
– площадь «криволинейной трапеции» (фигуры под графиком функции).

Свойства определённого интеграла

Вычисление определённого интеграла

Формула Ньютона-Лейбница :
, где
– любая первообразная для
.

Для применения формулы Ньютона-Лейбница к
предварительнонаходим соответствующий неопределенный интеграл
и, отбросив константу, выделяем первообразную
.

Пример 1.
.

Пример 2. Вычисление определенного интеграла по частям:

Если фигура ограничена сверху графиком функции
, а снизу – графиком функции
, топлощадь этой фигуры вычисляют по формуле
.

П
ример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
,
.

Решение. 1) Построим графики функций
,
.

2) Найдем пределы интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения кривых
и
. Приравнивая ординаты функций, имеем

3) Вычислим площадь фигуры:

В экономической теории зависимость процента доходов () от процента имеющего их населения () –кривая Лоренца . При равномерном распределении доходов
– идеальная кривая Лоренца. Реальная кривая Лоренца обычно является выпуклой вниз возрастающей функцией
, заданной на отрезке
(за 1 приняты 100 % населения и 100 % доходов.

Юникод

Традиции начертания

Русскоязычная традиция начертания знака интеграла отличается от принятой в некоторых западных странах.

German integral.gif

Немецкая форма интеграла вертикальна.

Russian integral.gif

В русскоязычной литературе символ выглядит так.

Напишите отзыв о статье "Знак интеграла"

Примечания

См. также

Литература

• Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. - СПб: ЛКИ, 2007. - 248 с.

Ссылки

• (нем.)
• www.fileformat.info/info/unicode/char/222b/index.htm

Отрывок, характеризующий Знак интеграла

15 го числа утром, на третий день после этого, у Слободского дворца стояло бесчисленное количество экипажей.
Залы были полны. В первой были дворяне в мундирах, во второй купцы с медалями, в бородах и синих кафтанах. По зале Дворянского собрания шел гул и движение. У одного большого стола, под портретом государя, сидели на стульях с высокими спинками важнейшие вельможи; но большинство дворян ходило по зале.
Все дворяне, те самые, которых каждый день видал Пьер то в клубе, то в их домах, – все были в мундирах, кто в екатерининских, кто в павловских, кто в новых александровских, кто в общем дворянском, и этот общий характер мундира придавал что то странное и фантастическое этим старым и молодым, самым разнообразным и знакомым лицам. Особенно поразительны были старики, подслеповатые, беззубые, плешивые, оплывшие желтым жиром или сморщенные, худые. Они большей частью сидели на местах и молчали, и ежели ходили и говорили, то пристроивались к кому нибудь помоложе. Так же как на лицах толпы, которую на площади видел Петя, на всех этих лицах была поразительна черта противоположности: общего ожидания чего то торжественного и обыкновенного, вчерашнего – бостонной партии, Петрушки повара, здоровья Зинаиды Дмитриевны и т. п.
Пьер, с раннего утра стянутый в неловком, сделавшемся ему узким дворянском мундире, был в залах. Он был в волнении: необыкновенное собрание не только дворянства, но и купечества – сословий, etats generaux – вызвало в нем целый ряд давно оставленных, но глубоко врезавшихся в его душе мыслей о Contrat social [Общественный договор] и французской революции. Замеченные им в воззвании слова, что государь прибудет в столицу для совещания с своим народом, утверждали его в этом взгляде. И он, полагая, что в этом смысле приближается что то важное, то, чего он ждал давно, ходил, присматривался, прислушивался к говору, но нигде не находил выражения тех мыслей, которые занимали его.
Был прочтен манифест государя, вызвавший восторг, и потом все разбрелись, разговаривая. Кроме обычных интересов, Пьер слышал толки о том, где стоять предводителям в то время, как войдет государь, когда дать бал государю, разделиться ли по уездам или всей губернией… и т. д.; но как скоро дело касалось войны и того, для чего было собрано дворянство, толки были нерешительны и неопределенны. Все больше желали слушать, чем говорить.
Один мужчина средних лет, мужественный, красивый, в отставном морском мундире, говорил в одной из зал, и около него столпились. Пьер подошел к образовавшемуся кружку около говоруна и стал прислушиваться. Граф Илья Андреич в своем екатерининском, воеводском кафтане, ходивший с приятной улыбкой между толпой, со всеми знакомый, подошел тоже к этой группе и стал слушать с своей доброй улыбкой, как он всегда слушал, в знак согласия с говорившим одобрительно кивая головой. Отставной моряк говорил очень смело; это видно было по выражению лиц, его слушавших, и по тому, что известные Пьеру за самых покорных и тихих людей неодобрительно отходили от него или противоречили. Пьер протолкался в середину кружка, прислушался и убедился, что говоривший действительно был либерал, но совсем в другом смысле, чем думал Пьер. Моряк говорил тем особенно звучным, певучим, дворянским баритоном, с приятным грассированием и сокращением согласных, тем голосом, которым покрикивают: «Чеаек, трубку!», и тому подобное. Он говорил с привычкой разгула и власти в голосе.