В предыдущей секции мы рассматривали двухмерную диаграмму переходов состояний. Для увеличивающегося числа потоков нагрузки число состояний (и следовательно уравнений) увеличивается очень быстро. Однако, можно упростить проблему, используя структуру диаграммы переходов состояний. Рассмотрим двухмерную диаграмму переходов состояний, показанную в рис. 10.2. Для четырех соседних состояний поток в направлении по часовой стрелке должен равняться потоку в противоположном направлении (Kingman, 1969 ), (Sutton, 1980 ). Взглянем на рис. 10.2.

Рис. 10.2.

По часовой стрелке :

Против часовой стрелки :

Мы можем сократить оба выражения на вероятности состояния и затем получить условие (10.12). Необходимое и достаточное условие для обратимости - что следующие два выражения являются равными.

По часовой стрелке :

Против часовой стрелки :

Если эти два выражения равны, то имеется локальное или частичное равновесие . Таким образом, необходимым условием для обратимости является то, что если есть поток (стрелка) от состояния i к состоянию j , тогда должен также быть поток (стрелка) от состояния j до состояния i . Мы можем применить уравнения сечения между любыми двумя подключенными состояниями. Итак, из рисунка 10.2 мы получаем:

Мы можем выразить любую вероятность состояния с помощью вероятности состояния , выбирая любой путь между этими двумя состояниями (критерии Колмогорова ). Мы можем, например, выбрать путь :

Тогда получаем следующее уравнение равновесия:

Если мы рассматриваем многомерную систему с потерями, имеющую N потоков нагрузки, то любым потоком нагрузки может быть зависимый от состояния Пуассоновский процесс. В конкретном потоке могут быть нагрузки типа BPP (Бернулли, Пуассон, Паскаль ). Для N - мерных систем условия обратимости аналогичны (10.12). Критерий Колмогорова должен выполняться для всех возможных путей. Практически, мы не испытываем никаких проблем, потому что решение, полученное согласно предположению об обратимости, будет правильным решением тогда и только тогда, когда выполнены уравнения равновесия узла. В следующей секции мы используем это как основание , чтобы ввести общую многомерную модель нагрузки.

Многомерные Системы с потерями

В этой секции мы рассматриваем обобщения классической теории телетрафика для систем, которые состоят из нескольких типов потоков нагрузки, поступающих на единственный канал или группу каналов или пучков каналов. Каждый поток нагрузки может иметь отдельные параметры и может быть зависимыми от состояния Пуассоновскими потоками вызовов с ограниченными классами и мультислотовым трафиком. Этот общий класс моделей нечувствителен к распределению времени пребывания в системе, которое может быть классом. Мы вводим обобщения по одному и представляем маленькое социологическое исследование, чтобы проиллюстрировать основные идеи.

Ограничение класса

По сравнению со случаем, который рассматривают в секции 10.1, мы теперь ограничим число одновременных запросов для каждого потока нагрузки (класса). Таким образом, не будет полной доступности, но в отличие от систем перегрузки, где физически существует доступ только к заданным каналам, теперь возможно использование всех каналов, но в любой момент мы можем занять только ограниченное их число. Это обеспечивает сервисная защита (защита числа виртуальных каналов = ограничение на класс обслуживания = приоритетная пороговая стратегия). Таким образом, мы вводим ограничения числа одновременных вызовов в классе j следующим образом:

Если последнее ограничение не выполнено, то мы получаем отдельные группы, соответствующие N обычным независимым одномерным системам с потерями . Из-за ограничений диаграмма переходов состояний усечена. Для двух потоков нагрузки она показана на рис.10.3 .

Заметим, что усеченная диаграмма переходов состояний все еще является обратимой и что значение относительно значения при усечении не изменяется. Изменяется только нормировочная константа. Фактически, из-за локального свойства равновесия мы можем удалить любое состояние, не изменяя вышеупомянутые свойства. Можно рассмотреть больше общих ограничений класса к наборам потоков нагрузки так, чтобы любой поток нагрузки имел минимум (гарантируемый) числа распределенных каналов.

Обобщенные процессы обслуживания нагрузки

Мы можем рассматривать PCT -I нагрузку только как в секции 10.1. Каждый поток нагрузки может быть зависимым от состояния, например, Пуассоновский поток вызовов с линейной зависимостью от состояния и своей скоростью выхода из системы (гибели), см. (10.16) и (10.17)

Система удовлетворяет условиям обратимости, см. (10.12). Таким образом, форма произведения также существует для BPP -потоков нагрузки и более общих Пуассоновских процессов, зависимых от состояния. Если все потоки нагрузки - энгсетовские (Биноминальные) процессы, то мы получаем многомерную формулу Энгсета (Jensen, 1948). Как уже упомянуто выше, система нечувствительна к распределениям времени пребывания в системе. Каждый поток нагрузки может иметь свое собственное отдельное распределение времени пребывания в системе.

Мультислотовая нагрузка

В системах с интеграцией служб требуемая пропускная способность может зависеть от типа обслуживания. Например, для обслуживания телефонного соединения с передачей только речи требуется один канал (слот), тогда как, например, для передачи видеоизображения может потребоваться каналов одновременно. Мы получаем дополнительные ограничения:

где - фактическое число вызовов типа . Результирующая диаграмма переходов состояний будет обратима, и будет иметь форму произведения.

Страницы 513-523

Многомерные процессы

До сих пор мы рассматривали модели, которые состоят только из одного соотношения, связывающего временные ряды. При этом мы выбирали одну из переменных в качестве эндогенной, а остальные переменные являлись экзогенными. Такое разделение не всегда является естественным, часто приходится рассматривать одновременно несколько соотношений, в которые одни и те же переменные входят и как эндогенные, и как экзогенные. Как видно из прошлой лекции, переменная не всегда может рассматриваться как экзогенная, и мы фактически должны рассматривать модель DGP, состоящую из нескольких уравнений. Это означает моделирование нескольких временных рядов одновременно, другими словами - моделирование многомерного случайного процесса.

Начнем с определении. Рассмотрим вектор =(х t 1 ,х t 2 ,...,х t k) T , каждая компонента которого является временным рядом. верхним индексом будем обозначать номер компоненты, а нижним по-прежнему - момент времени. распределение компонент характеризуется семейством совместных плотностей распределения вида: f n (х t1 i1 ,х t2 i2 ,..., х tn in )‚ n=1‚2,.... Условием стационарности в узком смысле по-прежнему является независимость от сдвига во времени всего семейства совместных плотностей распределения. Только теперь кроме всевозможных комбинаций значений случайного процесса в различные моменты времени аргументами плотностей вероятности также являются всевозможные комбинации различных компонент в различные моменты времени. Например, для двухмерной плотности получаем из условия стационарности: f 2 (х t 1 ,х t 2 ) = f 2 (х 1 t + r , х 2 t + r ) для любого τ. Совместное распределение компонент для одного и того же момента времени не зависит от времени. Рассмотрим другую функцию распределения, например трехмерную, в которую входят значения первой компоненты в два разных момента времени и второй компоненты в некоторый третий момент времени. Стационарность означает, чтоf 3 (х t 1 ,х t + h 1 ,х t + s 2 ) = f 3 (х 1 t + τ , х 2 t + s + τ ) . Можно сказать, что это свойство инвариантности к сдвигу во времени. То есть, если к каждому моменту времени прибавить величину τ, то функция плотности не изменится. Понятно, что стационарность многомерного процесса влечет за собой стационарность каждой из его компонент.

Как и в одномерном случае, стационарность в узком смысле влечет за собой ряд свойств характеристик случайных процессов. Прежде всего, начнем с математического ожидания. Математическое ожидание для каждой компоненты не зависит от других компонент. Поэтому если многомерный процесс стационарен, математическое ожидание каждой компоненты не зависит от времени. Вектор математических ожиданий E( не зависит от времени.

Теперь рассмотрим моменты второго порядка. Каждая компонента характеризуется дисперсией и автокорреляционной функцией. Если одномерный ряд стационарен, его автокорреляционная и автоковариационная функции зависят только от сдвига τ: Corr(τ) = Corr(х t i ,х j t + r ) = р i (τ), однако теперь можно рассмотреть второй смешанный момент для различных компонент, а также Corr(х t i ,х j t + r ). Такую величину естественно назвать кросс-корреляционной функцией. Если компоненты образуют многомерный стационарный процесс, то кросс-корреляция будет функцией сдвига во времени τ. Обозначим эту функцию R ij (τ) . Довольно очевидно, что R ij (τ) = R ji (- τ) . При фиксированном значении τ элементы R ij (τ) образуют матрицу R, зависящую от τ. Значению τ, равному нулю, соответствует корреляционная матрица вектора

© 2005 г. А. И. Саичев*, С. Г. Уткин*

ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ ОТ АНОМАЛЬНОЙ К ЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ

Рассматриваются многомерные процессы "квазианомальных" случайных блужданий, имеющие линейно-диффузионную асимптотику на больших временах и подчиняющиеся аномально-диффузионным закономерностям на промежуточных (также достаточно больших относительно микроскопических масштабов) временах. Демонстрируется переход скачкообразного процесса от аномальной к линейной диффузии. С помощью численного счета подтверждается справедливость аналитических расчетов для двумерного и трехмерного случаев. , .....

Ключевые слова: аномальная субдиффузия, аномальная супердиффузия, уравнения в частных дробных производных, промежутоная асимптотика, квазианомальные случайные блуждания.

1. ВВЕДЕНИЕ

Главным признаком аномальной диффузии служит нелинейный рост среднего квадрата случайного процесса со временем: >г: V» „

характерный, например, для таких физических явлений, как турбулентная диффузия , хаотическая динамика гамильтоновых систем , , перенос заряда в аморфных полупроводниках и др. Динамика подобных явлений адекватно моделируется скачкообразными случайными процессами с теми или иными распределениями / (г) интервалов между скачками и распределениями w(x) величины скачков.

Известно также, что аномальная диффузия возникает из-за нарушения центральной предельной теоремы (ЦПТ) или закона больших чисел (ЗБЧ) (см., например, ). В свою очередь, неприменимость ЗБЧ обусловлена бесконечностью первых моментов времени ожидания скачков, а нарушение ЦПТ связано с бесконечностью вторых моментов скачков. Эти обстоятельства служат объектом критики теории аномальной диффузии со стороны физиков, справедливо замечающих, что для большинства физических явлений указанные моменты ограничены.

"Нижегородский государственный университет, Нижний Новгород, Россия. E-mail: [email protected]; [email protected]

Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.

456 А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН;

Целью данной работы является демонстрация того факта, что аномальная субдиффузия может возникать и в "классическом случае", когда ЗБЧ и ЦПТ справедливы. А именно, наряду с детально исследованными "чисто" аномальными диффузионными процессами существуют и "квазианомальные" случайные процессы, подчиняющиеся законам линейной диффузии на очень больших временах и пространственных масштабах, а на "промежуточных" временах демонстрирующие универсальные аномально-диффузионные асимптотики. Данная работа посвящена анализу именно таких квазианомальных случайных процессов в пространствах разной размерности. Обнаружено, в частности, что, в отличие от классической многомерной диффузии, случайные координаты аномально-диффузионного скачкообразного процесса статистически зависимы даже при независимых компонентах векторов случайных скачков.

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ

Рассмотрим типичный процесс случайных блужданий, подчиняющийся простейшему стохастическому уравнению чч-.

*-----. < к 1

Без ограничения общности предположим, что случайные интервалы ожидания скачков т~к = tk - ifc-i и сами случайные скачки hk взаимно независимы, а также имеют одинаковые распределения /(т) и w(x), соответственно. Очевидно, что

где N(t) - число скачков к моменту t. Это функция, обратная времени n-го скачка Т(п):

t = T(n) = ] " "

Используя очевидное соотношение эквивалентности для этих функций ~ !! N(t)^n T{n)

и разбиение единицы - м. .„ >».. л ■ >.

1= ^IIn(z) = ^, z>0, "У ■

где x(z) - функция ступеньки, выведем уравнение для характеристической функции рассматриваемого процесса X (f):

©(«; t) = (¿»ХМ) = £ /ехр (ш £ hk) V п=0 ^ ^ fc=1 " "

Цена 18 дуб. Переплет Í р.

■го) аномальная субдиф-и ЦПТ справедливы. А ми диффузионными про-л, подчиняющиеся зако-анственных масштабах, ьные аномально-диффу-но таких квазианомаль-1. Обнаружено, в част-I, случайные координа-гически зависимы даже

шяющиися простеише-

1лы ожидания скачков а также имеют одина-)

1ени п-го скачка Т(п):

г > О, ^ " ической функции рас-

ПЕРЕХОД МНОГОМЕРНЫХ СКАЧКООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ. ..

Применим к обеим частям равенства преобразование Лапласа и просуммируем полученную геометрическую прогрессию:

Найденное выражение для лаплас-образа 0(u; s) характеристической функции представляет собой многомерный аналог уравнения Монтролла-Вейсса . Здесь f(s) -лаплас-образ распределения интервалов между скачками, a w(u) - характеристическая функция скачков. Из последнего равенства видно, что Q(u; s) подчиняется уравнению

0(u;s) - w(u)Q(u;s) =

........... ÎM (2-2)

Применив к нему обратные преобразования Фурье и Лапласа, легко получить (в зависимости от вида распределений /(г) и w(x)) как классическое уравнение Колмогоро-ва-Феллера, так и кинетические уравнения аномальной диффузии.

3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БЛУЖДАНИЙ X(t)

Как уже было отмечено выше, вид уравнения для плотности вероятностей W(x; t) зависит от вида распределений /(г) и tu (ж), а точнее - от их лаплас-образа f(s) и характеристической функции w(u). Далее будут получены асимптотические уравнения для W(x; t), справедливые на различных временных масштабах, в случае распределения/(г) с лаплас-образом

V "I + sp " >

где S - малый параметр. Все моменты /(г) ограничены, что делает его физически более корректным, нежели родственное ему дробно-экспоненциальное распределение - (отвечающее значению 6 = 0), являющееся одним из ключевых в теории аномальной диффузии. Рассмотрим случай, когда параметр 6 мал настолько, что временной интервал между 1 и 1/(5 достаточно велик. Тогда процесс X(t) проходит последовательно три стадии. Вначале, на временах t 1, поведение процесса зависит от тонкой структуры распределений / (г) ию(х) ияе отражает универсальных законов диффузии. Далее, на временах между 1 и 1/6, за счет медленно спадающих степенных хвостов распределения /(т) процесс подчиняется аномально-диффузионным законам. Затем, при t 3> 1/6, процесс подчиняется нормальному линейно-диффузионному закону благодаря экспоненциально убывающим при т 1/6 хвостам распределения /(г).

Подставим f(s) (3.1) в уравнение (2.2) и обсудим его асимптотику при s 1, что соответствует вероятностным свойствам скачкообразного процесса на больших временах.

Применительно к лаплас-образу распределения /(т) выделим случай s оо, а также случай 6 s 1, ответственный за "промежуточный" режим 1

Цена 18 ^уб. Переплет 1 р.

и (2.2) примет вид

А. И. САИЧЕВ, С. Г. УТКИН

в ©(«;«) + - ш(«)]в(«; 5) = 1,

а во втором/(в) ~ 1 - (1 + 8$) и, соответственно,

«"§(«; э) + (1 + - й(«)]в(и; «) = в"-1.

Применяя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье и Лапласа, придем к уравнению Колмогорова-Феллера

> + [цг{х.^ _ * Ц*)] = < оо,

или к обобщенному уравнению Колмогорова-Феллера

А+б0)т*м) - ж{х-л)*ю(,х)} = 1«*«

характерной, например, для многомерного нормального распределения с независимыми координатами и одинаковой дисперсией а2 по всем осям. Тогда из приведенных выше уравнений вытекают соответственно уравнения линейной и аномальной диффузии для разных временных асимптотик:

е- л ".(< "■

т? 2ч* "" ч"#""" " г(1 -0)

Решение первого из них хорошо известно:

хШх), !«*<-. (3.3)

* " И" (х О- (1 + 1 + -

где п - размерность пространства случайного процесса. Решение второго уравнения приведено в следующем разделе.

Для того ч в п-мерном щ

компонентам ного аргуме! /3-устойчиво

Многомерна таг-Леффле

Таким обрг диффузии

где , причем .

Задачу цифрового моделирования многомерного нормального случайного процесса целесообразно сформулировать следующим образом. Задана корреляционная или спектральная матрица случайного процесса. Требуется отыскать алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса с заданными корреляционными (спектральными) свойствами.

Для решения этой задачи воспользуемся, как и ранее, идеей формирующего линейного фильтра. В рассматриваемом случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра.

Мерный линейный фильтр определяется как линейная динамическая система с входами и выходами . Если - входное воздействие и - реакция системы, то связь между входом и выходом -мерного линейного непрерывного фильтра описывается с помощью передаточной матрицы в виде

где и - изображения входного и выходного сигналов соответственно в смысле преобразования Лапласа; - передаточная матрица -мерного фильтра, у которой элементы являются передаточными функциями каналов -й вход - -й выход.

Аналогично описывается связь вход - выход в дискретных -мерных линейных фильтрах:

,

где и - изображения в смысле дискретного преобразования Лапласа входного и выходного сигналов; - передаточная матрица дискретного -мерного фильтра.

Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому

(2.107)

Видим, что каждый из выходных сигналов и является суммой линейных операторов от входных сигналов и . Аналогичные соотношения имеют место и в общем случае. В этом и состоит идентификация передаточных матриц .

Пусть воздействие на входе -мерного линейного фильтра представляет собой -мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида

для непрерывного времени и

для дискретного времени, где - дельта-функция. -мерный белый шум определен здесь как совокупность независимых между собой -коррелированных случайных процессов.

Можно показать (см., например, ), что при воздействии белого шума спектральная матрица процесса на выходе - мерного фильтра для непрерывного и дискретного времени соответственно связана с передаточной матрицей фильтра соотношениями

(2.108)

где символом обозначена транспонированная матрица.

Следовательно, для получения -мерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей нужно пропустить -мерный белый шум через -мерный формирующий фильтр, передаточная матрица которого удовлетворяет уравнениям (2.108). Для нахождения передаточной матрицы по заданной спектральной матрице требуется разбиение последней на два сомножителя вида (2.108). Эта процедура называется факторизацией спектральных матриц. Она может быть реализована по известным алгоритмам .

Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно просто: каждая составляющая случайного процесса на выходе -мерного фильтра с передаточной матрицей получается путем суммирования по составляющих входного процесса , профильтрованных одномерными фильтрами с передаточными функциями [см. формулу (2.107)]. Алгоритмы одномерной фильтрации рассмотрены выше.

При данном способе моделирования возможны два пути: 1) заданную спектральную матрицу непрерывного -мерного случайного процесса можно непосредственно подвергнуть факторизации для получения передаточной матрицы непрерывного формирующего фильтра, а затем, используя описанные выше точные или приближенные методы дискретизации непрерывных, фильтров, осуществить многомерную фильтрацию непрерывного белого шума; 2) по заданной спектральной матрице непрерывного -мерного процесса , используя -преобразование, можно найти спектральную матрицу соответствующего дискретного случайного процесса (см. § 2.3), далее путем факторизации найти передаточную, функцию дискретного формирующего фильтра, а затем произвести многомерную фильтрацию дискретного белого шума.

Наибольшие трудности встречаются при факторизации спектральных матриц. В настоящее время разработаны алгоритмы факторизации лишь рациональных спектральных матриц, т. е. таких матриц, элементы которых являются дробно-рациональными функциями аргументов или .

Опишем, опуская доказательства, один из алгоритмов факторизации рациональных спектральных матриц, взятый из .

Пусть задана рациональная спектральная матрица

.

Матрица может быть приведена к виду

путем следующих преобразований.

1. Определяется ранг матрицы , затем один из главных миноров порядка располагается в левом верхнем углу матрицы .

2. Матрица приводится к диагональному виду. Для этого к -й строке матрицы , , прибавляется первая строка, умноженная на - , затем к -му столбцу прибавляется первый столбец, умноженный на ; получается матрица

, (2.109)

где элементы матрицы

имеют вид

(2.110)

С матрицей проделываются те же преобразования, что с исходной матрицей . При продолжении этого процесса на -м шаге получается диагональная матрица

такая, что .

3. Находится вспомогательная матрица

элементы которой имеют следующий вид:

(2.111)

где определяются из рекуррентных соотношений

(2.112)

4. Находятся вспомогательные полиномы

где - нули полиномов , лежащих в нижней полуплоскости, считаемые столько раз, какова их максимальная кратность, причем - знаменатели дробно-рациональных функций, представляющих собой элементы матрицы :

.

5. По способу, рассмотренному в § 2.9, п. 2, дробно-рациональные функции

представляются в виде

,

где полиномы и не имеют нулей в нижней полуплоскости.

На этом процесс факторизации заканчивается. Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в виде

(2.113)

Здесь описан алгоритм факторизации рациональных спектральных матриц непрерывных многомерных процессов. Факторизация спектральных матриц дискретных процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корни, расположенные в единичном круге.

Пример 1. Пусть задан двумерный непрерывный стационарный центрированный случайный процесс с корреляционной матрицей

, (2.114)

где - некоторые положительные константы, причем .

Корреляционная матрица, соответствующая спектральной матрице (2.114), имеет вид

, (2.115)

где и - автокорреляционные и взаимно корреляционный моменты процессов и соответственно; - коэффициент взаимной корреляции процессов и совпадающие моменты времени. Коэффициенты и представляют собой в данном случае ширину (на уровне 0,5) энергетических спектров и взаимного энергетического спектра процессов и .

Требуется произвести факторизацию спектральной матрицы (2.114) для получения передаточной матрицы формирующего фильтра.

Будем осуществлять процедуру факторизации поэтапно в соответствии с приведенным выше алгоритмом факторизации.

1. В данном случае ранг спектральной матрицы .

2. Для приведения матрицы к диагональной требуется один шаг. По формулам (2.109) и (2.110) получаем

.

3. В соответствии с выражениями (2.111) и (2.112) вспомогательная матрица имеет вид

4. В рассматриваемом случае нужно найти лишь один вспомогательный полином . Для этого требуется найти корни знаменателя у элемента матрицы , т. е. корни полинома . Эти корни равны

Следовательно,

.

5. На заключительном этапе требуется произвести факторизацию дробно-рациональных функций

В данном случае корни числителей и знаменателей у дробно-рациональных функций и легко вычисляются. Используя корни, лежащие в верхней полуплоскости (корни с положительными мнимыми частями), получим и к переменной :

.

На рис. 2.9 показана структурная схема двумерного формирующего фильтра, на выходе которого образуется двумерный случайный процесс с требуемыми спектральными характеристиками, если на вход фильтра воздействует белый шум. Заменяя непрерывный двумерный фильтр соответствующим дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций двумерного случайного нормального процесса, т. е. дискретных реализаций двух стационарных и стационарно-связанных нормальных случайных процессов с экспоненциальными авто- и взаимно корреляционными функциями вида (2.115).

При другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискретного многомерного случайного процесса . В рассматриваемом примере эта матрица имеет вид

И матрицы (2.116).

Рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных матриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полиномов. При факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения нулей требовалось решать только квадратные и биквадратные уравнения. При факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения и возвратное уравнение четвертой степени, также допускающее аналитическое решение.

В других, более сложных случаях нули полинома не всегда удается найти аналитически. В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений - й степени. В общем виде процесс факторизации можно реализовать на ЦВМ как стандартную программу. Для этой цели кроме приведенного здесь могут быть использованы и другие алгоритмы факторизации .

Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки.

Теория случайных величин изучает вероятностные явления «в статике», рассматривая их как некоторые зафиксированные результаты экспериментов. Для описания сигналов, которые отображают развивающиеся во времени случайные явления, методы классической теории вероятностей оказываются недостаточными. Подобные задачи изучает особая ветвь математики, получившая название теории случайных процессов.

По определению, случайный процесс - это особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени принимаемые ею значения являются случайными величинами.

Ансамбли реализаций.

Имея дело с детерминированными сигналами, мы отображаем их функциональными зависимостями или осциллограммами. Если же речь идет о случайных процессах, то ситуация оказывается сложнее. Фиксируя на определенном промежутке времени мгновенные значения случайного сигнала, получаем лишь единственную реализацию случайного процесса. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализаций, образующих статистический ансамбль. Например, ансамблем является набор сигналов , которые можно одновременно наблюдать на выходах совершенно одинаковых генераторов шумового напряжения.

Совсем необязательно, чтобы реализации случайного процесса представлялись функциями со сложным, нерегулярным во времени поведением. Часто приходится рассматривать случайные процессы, образованные, например, всевозможными гармоническими сигналами , у которых однн из трех параметров - случайная величина, принимающая определенное значение в каждой реализации. Случайный характер такого сигнала заключен в невозможности заранее, до опыта зиать значение этого параметра.

Случайные процессы, образованные реализациями, зависящими от конечного числа параметров, принято называть квазидетерминированными случайными процессами.

Плотности вероятности случайных процессов.

Пусть - случайный процесс, заданный ансамблем реализаций, - некоторый произвольный момент времени. Фиксируя величины получаемые в отдельных реализациях, осуществляем одномерное сечение данного случайного процесса и наблюдаем случайную величину Ее плотность вероятности называют одномерной плотностью вероятности процесса в момент времени

Согласно определению, величина есть вероятность того, что реализации случайного процесса в момент времени примут значения, лежащие в интервале

Информация, которую можно извлечь из одномерной плотности, недостаточна для того, чтобы судить о характере развития реализаций случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, располагая двумя сечениями случайного процесса в несовпадающие моменты времени Возникающая при таком мысленном эксперименте двумерная случайная величина описывается двумерной плотностью вероятности Эта характеристика случайного процесса позволяет вычислить вероятность события, заключающегося в том, что реализация случайного процесса при проходит в малой окрестности точки а при - в малой окрестности точки

Естественным обобщением является -мерное сечение случайного процесса приводящее к -мерной плотности вероятности

Многомерная плотность вероятности случайного процесса должна удовлетворять обычным условиям, налагаемым на плотность вероятности совокупности случайных величин (см. § 6.2). Помимо этого, величина не должна зависеть от того, в каком порядке располагаются ее аргументы (условие симметрии).

Иногда вместо -мерной плотности вероятности удобно пользоваться -мерной характеристической функцией, которая связана с соответствующей плотностью преобразованием Фурье:

Описание свойств случайных процессов с помощью многомерных плотностей вероятности высокой размерности может быть весьма подробным. Однако на этом пути часто встречаются серьезные математические трудности.

Моментные функция случайных процессов.

Менее детальные, но, как правило, вполне удовлетворительные в практическом смысле характеристики случайных процессов можно получить, вычисляя моменты тех случайных величин, которые наблюдаются в сечениях этих процессов. Поскольку в общем случае эти моменты зависят от временных аргументов, они получили название моментных функций.

Для статистической радиотехники наибольшее значение имеют три моментные функции низших порядков, называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции.

Математическое ожидание

есть среднее значение процесса X(t) в текущий момент времени ; усреднение проводится по всему ансамблю реализаций процесса.

Дисперсия

позволяет судить о степени разброса мгновенных значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксированном сечении t, относительно среднего значения.

Двумерный центральный момент

называется функцией корреляции случайного процесса Эта моментная функция характеризует степень статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются при Сравнивая формулы (6.37), (6.38), заметим, что при совмещении сечений функция корреляции численно равна дисперсии:

Стационарные случайные процессы.

Так принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях.

Говорят, что случайный процесс стационарен в узком смысле; если любая его -мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдвига

Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание и дисперсия процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности - , то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Понятно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Как следует из определения, функция корреляции стационарного случайного процесса является четной:

Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых не превышают ее значения при :

Метод доказательства таков: из очевидного неравенства

следует, что

откуда непосредственно вытекает неравенство (6.41).

Часто удобно использовать нормированную функцию корреляции

для которой .

Чтобы проиллюстрировать понятие стационарного случайного процесса, рассмотрим два примера.

Пример 6.5. Случайный процесс образован реализациями вида где известны заранее, в то время как фазовый угол - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке -

Так как плотность вероятности фазового угла то математическое ожидание процесса

Аналогично можно найти дисперсию:

Наконец, функция корреляции

Итак, данный случайный процесс удовлетворяет всем условиям, которые необходимы для того, чтобы обеспечить стационарность в широком смысле.

Пример 6.6. Случайный процесс имеет реализации вида и причем - заданные числа. - случайная величина с произвольным законом распределения. Математическое ожидание

будет не зависимым от времени лишь при Поэтому в общем случае рассматриваемый случайный процесс будет нестационарным.

Свойство эргодичности.

Стационарный случайный процесс называют эргодическим, если при нахождении его моментных функций усреднение по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени. Операция усреднения выполняется над единственной реализацией длительность Т которой теоретически может быть сколь угодно велика,

Обозначая усреднение по времени угловыми скобками, запишем математическое ожидание эргодического случайного процесса:

которое равно постоянной составляющей выбранной реализации.

Дисперсия подобного процесса

Поскольку величина представляет собой среднюю мощность реализации, а величина - мощность постоянной составляющей, дисперсия имеет наглядный смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического процесса.

Аналогично находят функцию корреляции:

Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции при неограниченном росте временного сдвига :

В математике показано, что это требование можно несколько ослабить. Оказывается, что случайный процесс эргодичен, если выполнено условие Слуцкого :

Так, равенство (6.47) справедливо применительно к гармоническому процессу со случайной начальной фазой (см. пример 6.5).

Измерение характеристик случайных процессов.

Если случайный процесс является эргодическим, то его реализация достаточной длины есть «типичный» представитель статистического ансамбля. Изучая эту реализацию экспериментально, можно получить много сведений, характеризующих данный случайный процесс.

Прибор для измерения одномерной плотности вероятности случайного процесса может быть выполнен следующим образом. Одномерная плотность вероятности эргодического случайного процесса есть величина, пропорциональная относительному времени пребывания его реализации на уровне между Предположим, что имеется устройство с двумя входами, на один из которых подается исследуемая реализация х(t), а на другой - опорное постоянное напряжение, уровень которого можно регулировать. На выходе устройства возникают прямоугольные видеоимпульсы постоянной амплитуды, начало и конец которых определяются моментами времени, когда текущие значения случайного сигнала совпадают либо с уровнем либо с уровнем Если теперь измерить, скажем, с помощью обычного стрелочного прибора среднее значение тока, создаваемого последовательностью видеоимпульсов, то показания этого прибора будут пропорциональны плотности вероятности

Любой достаточно инерционный стрелочный прибор может быть использован для измерения математического ожидания случайного процесса [см. формулу (6.43)].

Прибор, измеряющий дисперсию случайного процесса, как это следует из (6.44), должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Дальнейшие этапы процесса измерения - возведение в квадрат и усреднение по времени - выполняются инерционным квадратичным вольтметром.

Принцип работы измерителя функции корреляции (коррелометра) вытекает из формулы (6.45). Здесь мгновенные значения случайного сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на канала, поступают на перемножитель, причем в одном из каналов сигнал задерживается на время . Для получения значения функции корреляции сигнал с выхода перемножителя обрабатывается инерционным звеном, которое осуществляет усреднение.

Независимо от величины

Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле (6.26). Элементы корреляционной матрицы этого случайного процесса определяются нормированной функцией корреляции:

В дальнейшем часто будет использоваться двумерная гауссова плотность

Стационарный гауссов процесс занимает исключительное место среди прочих случайных процессов - любая его многомерная плотность вероятности определяется даумя характеристиками: математическим ожиданием и функцией корреляции.