ts01.doc

При моделировании сигналов и систем значение функции скачка в точке t=0 очень часто принимают равным 1, если это не имеет принципиального значения.

Функция единичного скачка используется при создании математических моделей сигналов конечной длительности. При умножении любой произвольной функции, в том числе периодической, на прямоугольный импульс, сформированный из двух последовательных функций единичного скачка

S(t) = (t) - (t-T),

Из нее вырезается участок на интервале 0-Т, и обнуляются значения функции за пределами этого интервала.

Функция Кронекера. Для дискретных и цифровых систем разрешающая способность по аргументу сигнала определяется интервалом его дискретизации t. Это позволяет в качестве единичного импульса использовать дискретный интегральный аналог дельта-функции - функцию единичного отсчета (kt-nt), которая равна 1 в координатной точке k = n, и нулю во всех остальных точках. Функция (kt-nt) может быть определена для любых значений t = const, но только для целых значений координат k и n, поскольку других номеров отсчетов в дискретных функциях не существует.

Математические выражения (t-) и (kt-nt) называют также импульсами Дирака и Кронекера. Однако, применяя такую терминологию, не будем забывать, что это не просто единичные импульсы в координатных точках  и nt, а полномасштабные импульсные функции, определяющие как значения импульсов в определенных координатных точках, так и нулевые значения по всем остальным координатам, в пределе от - до .

^ 1.3. Системы преобразования сигналов

Сигналы, в любой форме материального представления, содержат определенную полезную информацию. Если при преобразованиях сигналов происходит нарушение заключенной в них информации (частичная утрата, количественное изменение соотношения информационных составляющих или параметров, и т.п.), то такие изменения называются искажениями сигнала. Если полезная информация остается неизменной или адекватной содержанию во входном сигнале, то такие изменения называются преобразованиями сигнала.

Математические преобразования сигналов осуществляются для того, чтобы получить какую-то дополнительную информацию, недоступную в исходном сигнале, или выделить из входного сигнала полезную информацию и сделать ее более доступной для дальнейшей , измерений каких-либо параметров, передаче по каналам связи, и пр. Преобразованный сигнал принято называть трансформантой исходного.

Любые изменения сигналов сопровождаются изменением их спектра, и по характеру этого изменения разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения, при которых в составе спектра сигналов появляются (вводятся) новые гармонические составляющие, отсутствующие во входном сигнале. При линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра (вплоть до полного подавления в сигнале определенных гармоник). И линейные, и нелинейные изменения сигналов могут происходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информации.

Общее понятие систем. Преобразование и обработка сигналов осуществляется в системах. Понятия сигнала и системы неразрывны, так как любой сигнал существует в пределах какой-либо системы. Система обработки сигналов может быть реализована как в материальной форме (специальное устройство, измерительный прибор, совокупность физических объектов с определенной структурой взаимодействия и т.п.), так и программно на ЭВМ или любом другом специализированном вычислительном устройстве. Форма реализации системы существенного значения не имеет, и определяет только ее возможности при анализе и обработке сигналов.

Рис. 1.3.1. Графическое представление системы.
Безотносительно к назначению система всегда имеет вход , на который подается внешний входной сигнал, в общем случае многомерный, и выход , с которого снимается обработанный выходной сигнал. Собственно система представляет собой системный оператор (алгоритм) преобразования входного сигнала s(t) – воздействия или возбуждения , в сигнал на выходе системы y(t) – отклик или выходную реакцию системы. Символическое обозначение операции преобразования (трансформации сигнала): y(t) = T.

Системный оператор T - это набор правил преобразования (transformation) сигнала s(t) в сигнал y(t). Так, например, в самом простейшем случае таким правилом может быть таблица перекодировки входных сигналов в выходные.

Для детерминированных входных сигналов соотношение между выходными и входными сигналами всегда однозначно задается системным оператором. В случае реализации на входе системы случайного процесса происходит изменение статистических характеристик сигнала (математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и пр.), которое также определяется системным оператором.

Для полного определения системы необходимо задание характера, типа и области допустимых величин входных и выходных сигналов. По типу обработки входных сигналов они обычно подразделяются на системы непрерывного времени для обработки сигналов в процессе измерений, и цифровые системы для обработки данных, зарегистрированных на промежуточных носителях. Совокупность системного оператора Т и областей входных и выходных сигналов образует математическую модель системы.

Линейные и нелинейные системы составляют два основных класса систем обработки сигналов.

Термин линейности (linear) означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом) с определенным изменением спектрального состава входного сигнала (усиление или подавление определенных частотных составляющих сигнала). В нелинейных (nonlinear) системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом с дополнением частотного состава входного сигнала частотными составляющими, отсутствующими во входном сигнале.

Стационарные и нестационарные системы. Система считается стационарной и имеет постоянные параметры , если ее свойства (математический алгоритм оператора преобразования) в пределах заданной точности не зависят от входного и выходного сигналов и не изменяются ни во времени, ни от каких-либо других внешних факторов. В противном случае система является нестационарной, и называется параметрической или системой с переменными параметрами . Среди последних большое значение имеют так называемые адаптивные системы обработки данных. В этих системах производится, например, оценивание определенных параметров входных и выходных сигналов, по результатам сравнения которых осуществляется подстройка параметров преобразования (переходной характеристики системы) таким образом, чтобы обеспечить оптимальные по производительности условия обработки сигналов или минимизировать погрешность обработки.

Основные системные операции. К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:

Y(t) = c  s(t), y(t) = s(t-t), y(t) = a(t)+b(t).

Для нелинейных систем выделим важный тип безинерционных операций нелинейной трансформации сигнала, результаты которой зависят только от его входных значений. К ним относятся, например, операции квадратирования и логарифмирования сигнала:

Y(t) = 2 , y(t) = log.

Линейные системы. Система считается линейной, если ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия). Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов , в том числе комплексных.

При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечением линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не возникает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда ограничен и должен быть специально оговорен.

Инвариантность систем к сдвигу. Система называется инвариантной к сдвигу, если сдвиг входного сигнала по аргументам (времени, координатам пространства и т.п.) вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

Y(x,t) = T, T = y(x-x,t-t).

Это означает, что форма выходного сигнала зависит только от входного сигнала, и не зависит от времени поступления сигнала на вход системы. Инвариантность системы к сдвигу является одним из подтверждений постоянства ее параметров.

Линейные системы, инвариантные к сдвигу. Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, будем иметь в виду именно такие системы.

Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации, базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала. В качестве простейших форм разложения сигналов используются, как правило, единичные импульсы и гармонические составляющие. Разложение по единичным импульсам применяется при динамическом представлении сигнала в зависимости от реальных физических аргументов (времени, координат и пр.) и использует операцию свертки. Разложение на гармонические составляющие использует спектральное (частотное) представление сигнала и преобразование Фурье.

Рис. 1.3.2 Соединения систем.
Соединения ЛИС - систем . При последовательном (каскадном) соединении систем выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т.д. в зависимости от количества составляющих систем каскада. По отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет. Так, для двух последовательно соединенных систем на рис. 1.3.2:

Y(t) = T 2 ] = T 1 ].

При параллельном соединении входной сигнал поступает одновременно на входы всех составляющих систем, а выходные сигналы систем суммируются:

Y(t) = T 1 + T 2 + ... + T N .

Образуемые в результате соединений системы в целом также являются ЛИС - системами, если линейны и инвариантны к сдвигу системы, в них входящие.

Обобщенная схема системы цифровой обработки сигналов на рис. 1.3.3 приведена в качестве примера.

Рис. 1.3.3. Структурная схема системы дифференцирования сигналов.

^ 1.4. информационная емкость сигналов

Объем информации, находящейся в обращении и необходимой для функционирования и развития современного общества, нарастает примерно пропорционально квадрату развития производительных сил. В передовых по научно-техническому развитию странах мира доля рабочей силы, занятой вопросами сбора, обработки и обеспечения информацией, превышает долю рабочей силы в сфере производства. Применение методов и средств автоматизации на всех этапах обращения информации, эффективная организация ее хранения, обработки и обмена, приобретают все большее значение в качестве основного условия успешного функционирования экономики стран.

Понятие информации. В настоящее время нет общепринятого и однозначного понимания термина "Информация". Спектр бытующих понятий весьма широк, от общего философского - информация есть отражение реального мира, до практического - информация есть сведения, являющиеся объектом хранения, передачи и преобразования. Расхождения существуют и по вопросу места информации в материальном мире. Это свойство индивидуальных объектов или результат их взаимодействия? Присуща ли информация всем видам материи или лишь определенным образом организованной материи?

В информатике под информацией понимается, как правило, совокупность сведений смыслового содержания, которые можно собирать, обрабатывать, передавать и т.п. Причем именно сведений в изначальном смысле латинского слова informatio, а не данных или сигналов, которые являются носителями этих сведений. В таком понимании процессы извлечения сведений из данных и их интерпретации неразрывно связаны с разумом, а конечным результатом обработки и восприятия информации с помощью разума является раскрытие неопределенности знаний о каком-либо объекте, явлении или процессе. Но при таком подходе размывается само понятие разума.

С одной стороны, существование любого живого существа поддерживается до тех пор, пока действуют его органы чувств (датчики), преобразующие физические воздействия окружающего мира в сигналы, которые в материальной форме отображают данные об этих воздействиях. Данные собираются и интерпретируются определенной системой, которую в самой общей форме мы называем "разумом", из общей суммы данных извлекаются определенные сведения, степень неопределенности сведений об окружающей обстановке снижается, и... лиса распутывает заячий след. Живое существо существует до тех пор, пока способно воспринимать и обрабатывать внешние и внутренние воздействия. Нет сомнений и в том, что в коллективных сообществах его члены не только способны собирать и обрабатывать информацию, но и передавать ее другим членам сообщества, как, например, в пчелиной семье точный путь до продуктивного цветочного массива. Информационный танец пчелы в этом отношении по компактности содержания ничем не уступает телеграфному сообщению. Естественно, в принятой у пчел символьной форме.

С другой стороны, если информация неразрывно связана с "разумом", то в этом случае нельзя отказать в "разуме" и электронной вычислительной машине, обыгрывающей в шахматы чемпиона мира, а равно и любым устройствам технической кибернетики, так как все они имеют системы сбора, передачи, накопления, хранения и обработки информации той или иной степени сложности, и на основе этой информации способны формировать сигналы обратной связи для управления определенными процессами.

В технических отраслях знаний, где вопросы соотношения информации с разумом не стоят на первом месте, преобладает понимание информации в виде отображения такого всеобщего свойства материи, как разнообразие, как характеристики внутренней организованности материальных систем, процессов или явлений по множеству состояний, которые для них возможны. В такой трактовке информация существует независимо от того, воспринимается она каким-либо "разумом" или нет, и является одним из свойств материальных объектов. "Информация есть информация, а не материя и не энергия" (Норберт Винер). Это свойство в какой-то мере имеет потенциальный характер. Информация может проявлять себя при взаимодействии объектов или процессов, может возникать (создаваться) и исчезать (уничтожаться).

Но и в такой трактовке возникает много вопросов, на которые трудно дать однозначные ответы. Насекомое третичного периода, неизвестное в настоящее время ученым, прилипло к капле смолы хвойного дерева. Новый слой смолы закрыл насекомое. Дерево упало, и его занесло песком. Смола превратилась в янтарь. Янтарь в потенциале содержит полную информацию о насекомом, потому как в нем десятки тысяч фрагментов ДНК - информация, достаточная для восстановления ДНК и воспроизводства насекомого, если не в настоящее время, то в ближайшем будущем. Но когда она возникла? В момент появления насекомого с его ДНК? В момент прилипания к смоле? В момент окаменения? Можно ли говорить о появлении информации, если еще не существовал субъект, способный извлечь и использовать эту информацию? Наконец, янтарь с насекомым найден и попал на глаза палеонтолога. Определен новый вид насекомого. Появилась первая частичная информация? Так может быть, информация появляется только при активном и целенаправленном воздействии на объект исследований? А если янтарь оказался непрозрачным, и его переплавили? Исчезла ли информация? И можно ли считать, что она вообще была?

Ответы на эти и подобные им вопросы тяготеют к двум полюсам, а по существу, к двум диаметрально противоположным философским позициям.

Сторонники первой позиции понимают под информацией только то, что может восприниматься, обрабатываться, осмысливаться и использоваться, т.е. является продуктом процесса сбора, организации, систематизации и использования сведений о материальных объектах и процессах.

Противоположная позиция, это понятие информации как свойства объектов и процессов воспринимать и перерабатывать внутреннее состояние и внешнее воздействие окружающей среды, сохранять его результаты и передавать их другим объектам. С этой позиции все материальные объекты и процессы являются источниками, носителями и потребителями информации, на основе которой и идет развитие реального мира. По существу, это соответствует принятию материальности информации и информационной основы мироздания.

При неопределенности самого понятия информации можно достаточно обоснованно считать, что информация проявляется, хранится и передается от одного объекта к другому в материально - энергетической форме в виде сигналов. Сигналом, как материальным носителем информации, может быть любой физический процесс (электрический, магнитный, оптический, акустический и пр.), определенные параметры которого (амплитуда, частота, энергия, интенсивность и др.) однозначно отображают информационные данные (сообщения).

Количественная мера информации. Теория любого явления начинается с появления количественных взаимоотношений между объектами исследований, т.е. при установлении принципов измеряемости каких-либо свойств объектов. Единицу количественной меры информации - БИТ (сокращение binary digit - двоичная цифра), впервые предложил Р. Хартли в 1928 году. 1 бит - это информация о двух возможных равновероятных состояниях объекта, неопределенность выбора из двух равновероятных событий. Математически это отображается состоянием 1 или 0 одного разряда двоичной системы счисления. Количество информации Н (в битах), необходимое и достаточное для полного снятия неопределенности состояния объекта, который имеет N равновозможных состояний, измеряется как логарифм по основанию 2 из числа возможных состояний:

H = log 2 N. (1.4.1)

Соответственно, двоичный числовой информационный код одного из N возможных состояний объекта занимает Н двоичных разрядов.

Пример. Необходимо поднять груз на определенный этаж 16 -ти этажного здания (нумерация этажей 0-15, N = 16). Сколько бит информации полностью определяют задание?

H = log 2 N = log 2 16 = 4.

Следовательно, 4 бита информации необходимы и достаточны для полного снятия неопределенности выбора. В этом можно убедиться применением логики исчисления с последовательным делением пополам интервалов состояний. Например, для 9-го этажа:

1. Выше 7-го этажа? Да = 1. 2. Выше 11-го этажа? Нет = 0.

3. Выше 9-го этажа? Нет = 0. 4. Выше 8-го этажа? Да = 1.

Итог: этаж номер 9 или 1001 в двоичном исчислении, четыре двоичных разряда.

Если в приведенном примере на этажах имеется по 4 квартиры с нумерацией на каждом этаже 0-3 (М=4), то при адресации груза в квартиру потребуется еще 2 бита информации. Такой же результат получим, если вместо независимой нумерации этажей и квартир на этажах (два источника неопределенности) будем иметь сквозную нумерацию квартир (обобщенный источник):

H = log 2 N + log 2 M = log 2 16 + log 2 4 = 6  log 2 (N  M) = log 2 64 = 6,

Т.е. количество информации отвечает требованию аддитивности: неопределенность объединенного источника равна сумме неопределенностей исходных источников, что соответствует интуитивному требованию к информации: она должна быть однозначной, а ее количество должно быть одним и тем же независимо от способа задания.

Основание логарифма не имеет принципиального значения и определяет только масштаб или единицу неопределенности. Так, если за единицу неопределенности принять три равновероятных состояния, то для определения, например, одной фальшивой золотой монеты (более легкой) из 27 внешне неотличимых монет потребуется только H = log 3 27 = 3, т.е. три взвешивания на равноплечных весах. Логику исчисления взвешиваний предлагается определить самостоятельно.

Двоичная мера информации получила общее признание в связи с простотой реализации информационной техники на элементах с двумя устойчивыми состояниями. В десятичном исчислении единицей информации является один десятичный разряд - ДИТ.

Энтропия источника информации. Степень неопределенности состояния объекта (или так называемого источника информации) зависит не только от числа его возможных состояний, но и от вероятности этих состояний. При неравновероятных состояниях свобода выбора для источника ограничивается. Так, если из двух возможных состояний вероятность одного из них равна 0.999, то вероятность другого состояния соответственно равна 1-0.999 = 0.001, и при взаимодействии с таким источником результат практически предрешен.

В общем случае, в соответствии с теорией вероятностей, источник информации однозначно и полно характеризуется ансамблем состояний U = {u 1 , u 2 ,..., u N } с вероятностями состояний соответственно {р(u 1), р(u 2),..., р(u N)} при условии, что сумма вероятностей всех состояний равна 1. Мера количества информации, как неопределенности выбора дискретным источником состояния из ансамбля U, предложена К. Шенноном в 1946 году и получила название энтропии дискретного источника информации или энтропии конечного ансамбля:

H(U) = -p n log 2 p n . (1.4.2)

Выражение Шеннона совпадает с выражением Больцмана для энтропии физических систем при оценке степени разнообразия их состояний. Мера энтропии Шеннона является обобщением меры Хартли на случай ансамблей с неравновероятными состояниями, в чем нетрудно убедиться, если в выражении (1.4.2) значение p n заменить значением p=1/N для ансамбля равновероятных состояний. Энтропия конечного ансамбля H(U) характеризует неопределенность, приходящуюся в среднем на одно состояние ансамбля.

Учитывая, что в дальнейшем во всех математических выражениях, касающихся энтропии, мы будем использовать только двоичное основание логарифма, индекс 2 основания логарифма в формулах будем подразумевать по умолчанию.

Неопределенность на одну букву при равновероятности использования:

H(u) = log 32 = 5

Энтропия алфавита по ансамблю таблицы:

H(u) = - 0.064 log 0.064 - 0.015 log 0.015 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0.143 log 0.143  4.42.

Таким образом, неравновероятность состояний снижает энтропию источника.

Основные свойства энтропии:

1. Энтропия является величиной вещественной и неотрицательной, т.к. значения вероятностей p n находятся в интервале 0-1, значения log p n всегда отрицательны, а значения -p n log p n в (1.4.2) соответственно положительны.

2. Энтропия - величина ограниченная, т.к. при p n  0 значение -p n log p n также стремится к нулю, а при 0 < p n  1 ограниченность суммы всех слагаемых очевидна.

3. Энтропия равна 0, если вероятность одного из состояний источника информации равна 1, и тем самым состояние источника полностью определено (вероятности остальных состояний источника равны нулю, т.к. сумма вероятностей должна быть равна 1).

4. Энтропия максимальна при равной вероятности всех состояний источника информации:

H ma x (U) = -(1/N) log (1/N) = log N.

Рис. 1.4.1.
5. Энтропия источника с двумя состояниями u 1 и u 2 при изменении соотношения их вероятностей p(u 1)=p и p(u 2)=1-p определяется выражением:

H(U) = -,

И изменяется от 0 до 1, достигая максимума при равенстве вероятностей. График изменения энтропии приведен на рис. 1.4.1.

6. Энтропия объединенных статистически независимых источников информации равна сумме их энтропий.

Рассмотрим это свойство на двух источниках информации u и v. При объединении источников получаем обобщенный источник информации (u,v), который описывается вероятностями p(u n v m) всех возможных комбинаций состояний u n источника u и v m источника v. Энтропия объединенного источника при N возможных состояниях источника u и М возможных состояниях источника v:

H(UV) = -
p(u n v m) log p(u n v m),

Источники статистически независимы друг от друга, если выполняется условие:

P(u n v m) = p(u n)p(v m).

С использованием этого условия соответственно имеем:

H(UV) = -p(u n)p(v m) log =

P(u n) log p(u n)p(v m) -p(v m) log p(v m)p(u m).

С учетом того, что p(u n) = 1 иp(v m) = 1, получаем:

H(UV) = H(U) + H(V). (1.4.3)

7. Энтропия характеризует среднюю неопределенность выбора одного состояния из ансамбля, игнорируя содержательную сторону ансамбля. Это расширяет возможности использования энтропии при анализе самых различных явлений, но требует определенной дополнительной оценки возникающих ситуаций. Как следует из рис. 1.4.1, энтропия состояний может быть неоднозначной, и если в каком-либо экономическом начинании действие u с вероятностью p u =p приводит к успеху, а действие v с вероятностью p v =1-p к банкротству, то выбор действий по оценке энтропии может оказаться и прямо противоположным, т.к. энтропия при p v =p равна энтропии при p u =p.

17 Линейные системы, инвариантные к сдвигу.

Система называется инвариантной к сдвигу (инвариантной во времени, а равно и по любым другим аргументам), если сдвиг входного сигнала по аргументам вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала (возведения в квадрат всех значений сигнала) инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

В теории анализа и обработки данных основное место занимают системы, линейные и инвариантные к сдвигу (ЛИС - системы). Они обладают достаточно широкими практическими возможностями при относительной простоте математического аппарата. В дальнейшем, если это специально не оговаривается, рассматриваются именно такие системы.

Преимущество, которое отдается ЛИС - системам в методах обработки информации, базируется на возможности разложения входного сигнала любой, сколь угодно сложной формы, на составляющие простейших форм, отклик системы на которые известен и хорошо изучен, с последующим вычислением выходного сигнала в виде суммы откликов на все составляющие входного сигнала. В качестве простейших форм разложения сигналов используются, как правило, единичные импульсы и гармонические составляющие. Первая применяется при представлении сигнала в динамической форме и использует преобразование свертки, вторая - частотное представление сигнала и преобразование Фурье.

Другой важной особенностью ЛИС - систем является то, что любые их комбинации также являются ЛИС - системами, а любую сложную ЛИС - систему можно разложить на комбинации простых систем. Так, например, при последовательном (каскадном) соединении систем, когда выходной сигнал одной системы служит входным сигналом для второй и т.д., образуемая система в целом также является ЛИС - системой, если линейны и инвариантны к сдвигу все системы, в нее входящие, при этом по отношению к общей системной операции преобразования порядок соединения входящих в нее систем значения не имеет.

18 Импульсная характеристика линейных систем. Устойчивость и физическая реализуемость.

Импульсный отклик системы. По определению, импульсными характеристиками систем (второй широко используемый термин - импульсный отклик систем) называются функции для аналоговых идля цифровых систем, которые является реакцией (откликом) систем на единичные входные сигналы: дельта-функциюдля аналоговых и импульс Кронекерадля цифровых систем, поступающие на вход систем соответственно приt=0 иk=0 . Эта реакция однозначно определяется оператором преобразования:

Импульсный отклик аналоговой системы, как результат операции над дельта-функцией, в определенной степени представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С практической точки зрения под импульсным откликом аналоговой системы можно понимать математическое отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с площадью, равной 1, если длительность сигнала пренебрежимо мала по сравнению со временем реакции системы или с периодом ее собственных колебаний. Под временем (длиной) реакции системы обычно понимают интервал, на котором значения функции существенно отличаются от нуля после прекращения действия единичного сигнала на ее входе.

Рисунок 3.5 - Импульсный отклик системы ,

входной сигнал и выходная реакция системы

Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера =1 приk=0 .

Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией системы.

На рисунке 3.5 приведен пример импульсного отклика интегрирующейRC -цепи. При подаче на входRC -цепи импульса зарядаq емкостьС заряжается до напряженияV о = q/C и начинает разряжаться через сопротивлениеR , при этом напряжение на ней изменяется по законуv(t) = V o  e -t/RC = (q/C)  e -t/RC . Отсюда, откликRC -цепи по выходному напряжению на входной сигналq = 1: h(t) = (1/C)  e -t/RC . По существу, импульсным откликом системыопределяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времениt после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).

Реакция системы на произвольный сигнал. Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпозиции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произвольный момент времени на любое количество входных сигналов с любыми моментами времени их прихода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы, как это показано на рисунке 3.5 для трех входных импульсов. В общем случае произвольный сигнал на входе системы может быть разложен в линейную последовательность взвешенных единичных импульсов:

. (3.17)

На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, так как последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t :

. (3.18)

Это выражение представляет собой интеграл Дюамеля или свертку входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t- =можно убедиться в том, что эта операция, как и положено свертке, коммутативна:

..

Аналогично, для дискретных и цифровых сигналов:

. (3.20)

В символической форме математического представления:

В реальных физических системах импульсный отклик равен нулю приt<0 (реакция на выходе системы не может опережать входной сигнал) и, как правило, отличен от нуля только на определенном интервалеr , по которому и ведется интегрирование или суммирование в выражениях свертки. При обработке данных на ЭВМ требований по односторонности импульсного отклика не предъявляется, равно как и по его размерам вперед и назад от нуля по координатам.

Устойчивость систем. Любая практическая система должна быть устойчивой , т.е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим параметрам. Система называется устойчивой, если при любых начальных условиях реакция системы на любое ограниченное воздействие также ограничена.

Для конечного по энергии входного сигнала, можно записать:

.

Отсюда следует условие, при котором выходной сигнал системы также будет ограниченным:

т.е. необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная сходимость ее импульсной характеристики, или, для цифровых систем, абсолютная суммируемость импульсного отклика:

Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| ≥ 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) при z ≥ 1 (вне единичного круга на z-плоскости). Полюсы определяются корнями многочлена знаменателя передаточной функции H(z).

Приведенный критерий устойчивости относится к несократимой дроби, т.к. в противном случае возможна компенсация полюса нулем передаточной функции и следует проверить наличие однозначных нулей и полюсов.

Проверка на устойчивость требуется только для рекурсивных цифровых фильтров (систем с обратной связью), нерекурсивные системы всегда устойчивы.

Для облегчения изучения многомерных систем необходимо ограничиться определенными классами операторов, обладающих общими свойствами. Линейные инвариантные к сдвигу дискретные системы (ЛИС-системы) - это наиболее часто изучаемый класс систем для обработки дискретных сигналов любой размерности. Эти системы отличаются простотой как при разработке, так и при анализе, но в то же время они обладают достаточными возможностями для решения многих практических задач. Поведение этих систем во многих случаях можно изучать безотносительно к конкретным характеристикам входного сигнала. Класс линейных инвариантных к сдвигу систем, безусловно, не является наиболее общим классом изучаемых систем, однако он может служить хорошей отправной точкой.

Ранее мы получили выражение (1.29) для выходной последовательности линейной системы при входном сигнале . Если система еще и инварианта к сдвигу, можно сделать дальнейшие упрощения. Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс описывается выражением

Для частного случая имеем

Используя принцип инвариантности к сдвигу, описываемый равенством (1.30), получим

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат. Введя обозначение , можно выразить выходную последовательность следующим образом:

. (1.36)

Это соотношение известно под названием двумерной дискретной свертки. В сущности здесь выполняется разложение входной последовательности на взвешенную сумму сдвинутых импульсов в соответствии с равенством (1.25). ЛИС-система преобразует каждый импульс в сдвинутую копию импульсного отклика . Суперпозиция этих взвешенных и сдвинутых импульсных откликов образует выходную последовательность, причем весовыми коэффициентами являются значения отсчетов входной последовательности . Равенство (1.36) записано в предположении, что ЛИС-система полностью характеризуется своим импульсным откликом .

Выполнив замену переменных и , равенство (1.36) можно записать в другой форме:

. (1.37)

Отсюда видно, что свертка - это коммутативная операция. Будем использовать двойную звездочку для обозначения двумерной свертки [одиночная звездочка будет обозначать одномерную свертку]. Тогда уравнения (1.36) и (1.37) примут вид

. (1.38)

С помощью векторных обозначений выходную последовательность -мерной ЛИС-системы можно представить как -мерную свертку выходной последовательности и импульсного отклика

. (1.39)

Двумерная свертка принципиально не отличается от ее одномерного аналога. Как и в одномерном случае, возможна следующая вычислительная интерпретация операции свертки. Будем рассматривать и как функции и . Чтобы из последовательности образовать последовательность , сначала выполняем отражение относительно обеих осей и , а затем сдвигаем последовательность так, чтобы отсчет попал в точку , как показано на рис. 1.11. Последовательность-произведение образована; для нахождения значения выходного отсчета складываем ненулевые значения отсчетов последовательности-произведения. При изменении значений и последовательность сдвигается по плоскости , давая другие последовательности-произведения и соответственно другие значения выходных отсчетов. Если используется другая возможная форма записи дискретной свертки [выражение (1.37)], в приведенном описании вычислений и меняются местами.

Рис. 1.11. a - последовательность ; б - последовательность при , .

Пример 1

Рассмотрим двумерную дискретную ЛИС-систему, выходной отсчет которой в точке характеризует вклад значений входных отсчетов, расположенных в точках ниже и левее точки . Грубо говоря, система представляет собой один из видов двумерного цифрового интегратора; ее импульсный отклик - это двумерная единичная ступенчатая последовательность , описанная в разд. 1.1.1.

В качестве входной последовательности выберем двумерную последовательность конечной протяженности, значения отсчетов которой равны 1 внутри прямоугольной области , и 0 вне ее.

Для вычисления значения выходного отсчета с помощью выражения (1.36) образуем последовательность-произведение . В зависимости от конкретного значения ненулевые области последовательностей и перекрываются в различной степени. Можно выделить пять случаев, представленных на рис. 1.12, где ненулевые области каждой последовательности заштрихованы, а нулевые отсчеты просто не показаны.

Рис. 1.12. Свертка квадратного импульса с двумерной ступенчатой последовательностью.

Ненулевые области каждой последовательности отмечены одной штриховкой; последовательность-произведение отлична от нуля лишь в областях с двойной штриховкой.

Случай 1. или . Из рис. 1.12 видно, что для таких значений последовательности и не перекрываются. Поэтому их произведение, как и значения таких отсчетов свертки, равны нулю.

Случай 2. , . Имеет место частичное перекрытие. Вклад ненулевых значений отсчетов в последовательность-произведение имеет вид

. (1.40)

Случай 3. , . Здесь можно написать

. (1.41)

Случай 4. , . По аналогии со случаем 3 имеем

. (1.42)

Случай 5. , . В этом последнем случае отраженная сдвинутая ступенчатая последовательность полностью перекрывает импульс . Тогда

. (1.43)

В итоге полная свертка имеет вид

. (1.44)

Ее графическое изображение приведено на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Свертка двух последовательностей, рассмотренная в примере 1.

Можно заметить, что в рассмотренном примере и , и представляют собой разделимые последовательности, поэтому их свертка также разделима, поскольку мы можем написать

Это свойство обладает общностью: свертка двух разделимых последовательностей всегда разделима (упр. 1.9).. На рис. 1.14,в показано перекрытие для точки и равны 1 в своих опорных областях (рис. 1.14, а и б).

В этом разделе мы рассмотрели два относительно простых примера выполнения двумерной свертки. Читатель, несомненно, заметил, что эти вычисления требуют определенных усилий. К счастью, такого рода вычисления редко приходится выполнять вручную. Однако знакомство с основными операциями необходимо для написания соответствующих машинных программ и для интерпретации результатов. Действительно, невозможно правильно выполнить операцию двумерной свертки, не определив предварительно все случаи, требующие рассмотрения. Это всегда должно быть первым шагом при выполнении свертки.

Тема 13. МНОГОМЕРНЫЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ.

Когда ты смотришь в бездну, бездна смотрит в тебя.

Фридрих Ницше. Немецкий философ-моралист, ХIХ в.

Человек и бездна – две бесконечномерных системы в разных функциональных пространствах с одной точкой пересечения. И лучше держаться от этой точки подальше.

Эрик Трубов. Русский геофизик-оптимист, ХХ в.

1. Двумерные и многомерные сигналы. Двумерный единичный импульс. Двумерный линейный импульс. Двумерная единичная ступенька. Экспоненциальная последовательность. Разделимые последовательности. Конечные последовательности. Периодические последовательности.

2. Двумерные системы. Базовые операции. Линейные системы. Инвариантность к сдвигу. Импульсный отклик. Двумерная свертка. Разделимые системы. Устойчивость систем. Специальные двумерные системы.

3. Частотные характеристики сигналов и систем. Частотный отклик системы. Импульсный отклик системы. Свойства двумерного преобразования Фурье.

4. Дискретизация двумерных сигналов. Прямоугольный растр дискретизации. Дискретные преобразования Фурье. Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Произвольный растр дискретизации. Двумерное интегральное преобразование Фурье. Преобразование Фурье дискретного сигнала. Интерполяция дискретных сигналов. Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации.

5. Частотный анализ многомерных сигналов. Периодические последовательности. Конечные последовательности. Многомерные последовательности.

Введение.

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И в третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и, соответственно, значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае, а, следовательно, многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в геофизической практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме – многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

13.1. Двумерные и многомерные сигналы .

Понятие многомерного сигнала. Многомерные сигналы представляют собой функции P независимых переменных при P>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных. Пример смешанного двумерного сигнала: ансамбль непрерывных сигналов, изменяющихся во времени (t - вторая переменная), снимаемых с набора сейсмических приемников сейсмотрассы (номера датчиков - первая переменная).

В общем случае, двумерный непрерывный сигнал представляет собой функцию, значения которой зависят от двух независимых переменных (аргументов, координат):

s(x,y) = sin(x 2 +y 2), - (13.1.1)

График функции (в пределах одного периода) приведен на рис. 13.1.1.

Двумерный дискретный сигнал (цифровой массив) - это функция, определенная на совокупности пар числовых значений координат с определенным шагом дискретизации x и y. В общем случае, при различной физической размерности аргументов x и y, значения x и y не равны друг другу:

s n,m = s(nx,my), - . (13.1.1")

Элемент последовательности s n,m представляет собой отсчет двумерной функции s в координатной точке (x=nx,y=my), где значения x и y – независимые переменные (аргументы) функции. Для числовых массивов значения шага дискретизации по аргументам также могут приниматься равными 1 (независимо от размерности) и использоваться аргументация s(n,m)  s n,m . Результаты геофизических съемок какого-либо одного геофизического параметра по поверхности земли относятся к двумерным функциям: дискретным - если это отсчеты в отдельных точках по определенной координатной сети (x,y), или смешанным - если это непрерывная регистрация данных по профилям (например - мощности экспозиционной дозы гамма излучения горных пород при аэросъемке). Но в настоящее время геофизические съемки относятся даже не к двумерным, а к многомерным функциям, так как регистрируется, как правило, сразу несколько физических параметров геологических сред. Так, например, при спектрометрической съемке естественной радиоактивности горных пород регистрируется содержание в горных породах урана, тория и калия, в гравиразведке - трехкоординатный вектор силы тяжести, и т.п. Если на какой-либо площади проведена съемка нескольких видов геофизики, то их результаты также могут рассматриваться в совокупности, как многомерная функция физических параметров данной геологической среды.

По определениям (13.1.1) двумерные функции и сигналы, равно как и многомерные, имеют бесконечную протяженность по координатам. На практике мы всегда имеем дело с конечными координатами наших данных. Учитывая это, будем считать, что значения наших сигналов за пределами определенных координат равны нулю.

Отметим некоторые двумерные последовательности (функции, сигналы), имеющие специальные названия.

 n,m = 1, при n = m = 0.

0, при n 0, m 0.

 n,m =  n  m ,

где  n ,  m - одномерные единичные импульсы (импульсы Кронекера) по координатам n и m. Стилизованное графическое представление двумерного единичного импульса приведено на рис. 13.1.2.

Произвольное расположение двумерного единичного импульса по координатам n 1 , m 1 соответственно записывается в виде: ((n-n 1)x,(m-m 1)y) =  n-n1,m-m1 . Попутно напомним, что математическая запись импульса Кронекера обозначает не единичный отсчет, а функцию, определяющую место положения единичного отсчета и нулевые значения по остальным координатам (аргументам).

Двумерный линейный импульс представляет собой последовательность единичных отсчетов по одной координате: s(n,m) = (n) или s(n,m) = (m).

На рис. 13.1.3 приведены два двумерных линейных импульса, первый - по координате m = 0: s(n,m) = (m), и второй импульс по координате n = 2: s(n,m) = (n-2).

Очевидно, что для P-мерных случаев точно таким же образом могут быть определены P-мерные единичные импульсы, P-мерные линейные импульсы, P-мерные площадные импульсы и т.д., хотя понятие импульса, заимствованное из теории одномерных сигналов, здесь несколько не к месту.

u(n,m) = 1, при n 0 и m 0,

0, в остальных случаях.

u(n,m) = u(n) u(m),

где u(j) представляют собой единичные ступеньки соответственно по координатам n и m: u(j)=1 при j 0, u(j)=0 при j
Экспоненциальная последовательность : s(n,m) = a n b m , - , где а и b в общем случае комплексные числа. При а = exp(j 1), b = exp(j 2), |а|=1, |b|=1:

s(n,m) = exp(jn 1 +jm 2) = cos(n 1 +m 2)+jsin(n 1 +m 2).

Экспоненциальные последовательности, как и в одномерном случае, являются собственными функциями двумерных линейных систем, инвариантных к сдвигу.

Разделимые последовательности. Разделимой называют последовательность, которую можно представить в виде произведения одномерных последовательностей. Так, для двумерной разделимой последовательности:

s(n,m) = s(n) s(m).

Разделение возможно для немногих практических сигналов. Однако любое двумерное множество с конечным числом ненулевых отсчетов разлагается на конечную сумму разделимых последовательностей:

s(n,m) = s i  n (n) s i  m (m),

где N- число ненулевых строк или столбцов массива. В крайнем случае, для этого достаточно выразить s(n,m) в виде суммы отдельных строк:

s(n,m) = s(n,i) (m-i). (13.1.2)

Конечные последовательности. Важным классом сигналов являются последовательности конечной протяженности, для которых сигнал равен нулю вне определенной области, называемой опорной областью сигнала. На рис.13.1.5 условно представлена двумерная последовательность конечной протяженности, значения которой отличны от нулевых только внутри ограниченной прямоугольной области -3 n 2, -2 m . Опорная область сигнала может быть произвольной формы и выходить за пределы сигнала, частично включая нулевые отсчеты. Отсчеты за пределами опорной области считаются равными нулю.

Периодические последовательности. Двумерные последовательности могут быть периодическими, регулярно повторяющимися в пространстве. Последовательность, удовлетворяющая условиям:

s(n,m+M) = s(n,m),

s(n+N,m) = s(n,m), (13.1.3)

обладает периодичностью в двух направлениях, по n и по m. Значения М и N называют интервалами периодичности сигнала соответственно по координатам m и n (горизонтальными и вертикальными интервалами периодичности). Прямоугольная форма области периода (пример на рис.13.1.6) наиболее удобна при обработке данных, но не является единственно возможной.

Для двумерных последовательностей условия (13.1.3) могут рассматриваться как частный случай общих условий периодичности:

s(n+N 1 , m+M 1) = s(n,m), (13.1.4)

s(n+N 2 , m+M 2) = s(n,m),

D = N 1 M 2 - N 2 M 1 0.

Упорядоченные пары (N 1 ,M 1) и (N 2 ,M 2) представляют собой смещения от отсчетов одного периода к соответствующим отсчетам других периодов и могут рассматриваться как векторы N и M , которые образуют области периодов в форме параллелограмма. Линейная независимость векторов обеспечивается при ненулевом определителе D, а количество отсчетов в пределах периода равно |D|. Пример периодической последовательности с векторами (4,4) и (3,-5) приведен на рис. 13.1.7.

Понятие периодичности можно обобщить на многомерные сигналы. P-мерный сигнал s( ) будет представлять собой P-мерную периодическую последовательность, если существует P линейно независимых P-мерных целочисленных N -векторов периодичности, с которыми выполняется условие:

s() = s(+ ), i = 1,2,3, ... ,P.

Столбцы векторов N i образуют матрицу периодичности N размером P х P. Векторы периодичности матрицы линейно независимы при наличии у матрицы ненулевого определителя. Абсолютное значение определителя равно числу отсчетов в периоде. Последовательность s( ) прямоугольно периодична для случаев диагональной матрицы N . Если функция s( ) периодична с матрицей периодичности N , то для любого целочисленного вектора Р имеет место s(+ ) = s(), и матрица PN также будет матрицей периодичности для s( ) . Отсюда следует, что любая многомерная периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности.

13.2. Двумерные системы.

Системы осуществляют преобразование сигналов. Формализованная система - это оператор (операция) отображения входного сигнала на выходной: z(x,y) = Т.

Базовыми операциями в системах, комбинациями которых осуществляются преобразования, являются операции скалярного умножения, сдвига и сложения:

z(n,m) = c s(n,m),

z(n,m) = s(n-N,m-M),

z(n,m) = s(n,m)+u(n,m).

Используя базовые операции, любую двумерную последовательность можно разложить на сумму взвешенных двумерных единичных импульсов:

s(n,m) = s(i,j) (n-i,m-j). (13.2.1)

Обобщением скалярного умножения является пространственное маскирование:

z(n,m) = c n,m s(n,m). (13.2.2)

Правая часть равенства (13.2.2) представляет собой поэлементное произведение входного сигнала на совокупность чисел с n,m .

Кроме линейных операций в системах используются также безынерционные нелинейные преобразования с независимым нелинейным воздействием на значения отсчетов входной последовательности. Пример операции - возведение в квадрат:

z n,m = (s n,m) 2 .

Линейные системы. Система считается линейной при выполнении двух условий:

1. Пропорциональное изменение входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала.

2. Суммарный сигнал двух входных последовательностей дает суммарный сигнал двух соответствующих выходных последовательностей.

Другими словами, если оператор Т описывает линейную систему и имеет место z(x,y) = Т, q(x,y) = Т, то Т = az(x,y)+bq(x,y). Линейные системы подчиняются принципу суперпозиции сигналов.

В выражении (13.2.1) значения s(i,j) можно рассматривать как скалярные множители для соответствующих единичных импульсов. Применяя оператор преобразования Т[.] к левой и правой части (13.2.1), получаем:

Т = у(n,m) = s(i,j) T[n-i,m-j)],

z(n,m) = s(i,j) h ij (n,m), (13.2.3)

где h ij (n,m) - отклик системы в точке (n,m) на единичный импульс в точке (i,j). Если импульсный отклик h ij (n,m) определен для всех точек (i,j), то отклик системы на произвольный многомерный сигнал, как и для одномерных систем, находится с помощью суперпозиции.

Инвариантность к сдвигу. Система инвариантна к сдвигу, если сдвиг входной последовательности приводит к такому же сдвигу выходной последовательности:

Т = z(n-N,m-M).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами системы. Так, пространственное маскирование линейно, но не инвариантно к сдвигу, а безынерционные операторы нелинейны, но инвариантны к сдвигу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только систем, широко распространенных при решении практических задач - линейных и инвариантных к сдвигу (ЛИС-системы).

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс, как следует из выражения (13.2.3), описывается выражением:

h ij (n,m) = T[(n-n i ,m-m j)].

Для частного случая i = j = 0 имеем:

h o (n,m) = T[(n,m)].

Используя принцип инвариантности к сдвигу, получим:

h ij (n,m) = h o (n-i,m-j) = h(n-i,m-j), (13.2.4)

т.e. импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат.

Двумерная свертка. Подставляя (13.2.4) в выражение (13.2.3), получаем:

z(n,m) =  i  j s(i,j) h(n-i,m-j). (13.2.5)

Двумерная дискретная свертка (13.2.5), является аналогом одномерной дискретной свертки. При замене переменных n-i = k, m-j = l, получим:

z(n,m) =  k  l h(k,l) s(n-k,m-l), (13.2.5")

т.е. двумерная свертка коммутативна, как и одномерная. В такой же мере она обладает свойством ассоциативности по отношению к последовательности операций свертки нескольких функций (результат не зависит от порядка свертки) и свойством дистрибутивности по отношению к операции свертки с суммой функций (результат аналогичен сумме сверток с каждой функцией). Эти свойства определяют и основное свойство двумерных (и многомерных) линейных систем при их параллельном и/или последовательном соединении – результирующая система также является линейной.

Для упрощения символьного аппарата двумерную свертку обозначают индексом (**):

z(n,m) = h(k,l) ** s(n-k,m-l).

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

z()= h() ** s(-).

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

h(k,l) = h(k) h(l), (13.2.6)

то выражение (13.2.5") принимает вид:

z(n,m) =  k h(k)  l h(l) s(n-k,m-l), (13.2.7)

или: z(n,m) =  k h(k) g(n-k,m), g(n-k,m) =  l h(l) s(n,m-l).

Массив g(n,m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n,m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n,m) одномерной сверткой строк g(n,m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (13.2.6) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми.

Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика:  k  l |h(k,l)| .

Специальные двумерные системы. На практике используются также системы с несколькими входами и/или выходами.

Допустим, система имеет i-входы и j-выходы, линейна и инвариантна к сдвигу по переменной t. Если на i-вход системы поступает одномерный единичный импульс  i (t) при нулевых сигналах на остальных входах, то j-выходные сигналы будут импульсным откликом системы h ij (t). При известном полном ансамбле значений h ij для всех i-входов, для произвольной комбинации входных сигналов s i (t) сигнал на j-выходе будет определяться выражением:

z j (t) =  i  k h ij (k) s i (t-k). (13.2.8)

13.3. Частотные характеристики сигналов и систем.

Частотный отклик системы. Допустим, что двумерная ЛИС-система имеет импульсный отклик h(kx,ly). Подадим на вход системы сигнал вида комплексной синусоиды:

s(n,m) = exp(jnx x +jmy y),

где  x и  y – значения частоты сигнала соответственно по координатам x и y. Принимая x = 1, y = 1 и выполняя двумерную свертку (13.2.5), получаем:

z(n,m) = h(k,l) exp =

Exp(jn x +jm y) h(k,l) exp(-jk x -jl y) = H( x , y) exp(jn x +jm y).

H( x , y) = h(k,l) exp(-jk x -jl y). (13.3.1)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же значениями частоты, что и у входного сигнала, с изменением амплитуды и фазы за счет комплексного множителя H( x , y), который носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы. Для дискретных сигналов частотный отклик периодичен с периодом 2 по обеим частотным переменным:

H( x +2k, y +2l) = H( x , y).

Пример расчета частотного отклика системы.

Определить частотную характеристику системы с импульсным откликом:

h(0,0) = 0.25, h(0, 1) = 0.125, h( 1,0) = 0.125, h( 1, 1) = 0.0625.

Частотный отклик:

H( x , y) = h(n,m)exp(-jn x -jm y) = 0.25+0.125+

0.0625 = 0.25(1+cos  x)(1+cos  y).

Система является примером двумерного фильтра нижних частот. Частотный отклик системы на плоскости ( x , y), приведенный на рис. 13.3.1, имеет осевую симметрию с коэффициентом передачи 1 в центре ( x =0,  y =0) со спадом до нуля при  x =  и  y = .

Рис. 13.3.1. Частотная характеристика ФНЧ.

h(k,l)= q(k)g(l) Q( x)G( y)= H( x , y)

Q( x) =  k q(k) exp(-jk x).

G( y) =  l g(l) exp(-jl y).

Импульсный отклик системы. Выражение (13.3.1) описывает разложение функции Н( x , y) в двумерный рад Фурье с коэффициентами разложения в виде отсчетов импульсного отклика h(k,l), т.е. прямое преобразование Фурье. Очевидно, что обратным преобразованием Фурье с интегрированием в пределах одного периода из частотного отклика H( x , y) можно получить импульсный отклик системы:

h(k,l) = H( x , y) exp(jk x +jl y) d x d y . (13.3.2)

Пример расчета импульсного отклика фильтра.

Определить импульсный отклик идеального фильтра низких частот с прямоугольной частотной характеристикой вида: H( x , y) = 1 при | x | a b

Импульсный отклик: h(k,l) = exp(jk x +jl y) d x d y .

Система разделима: h(k,l)= exp(jk x) d x exp(jl y) d y =  .

Определить импульсный отклик идеального кругового фильтра нижних частот:

H( x , y) = 1 при  x 2 + y 2

Вычисления по круговой области целесообразно выполнять в полярных координатах: = ,

arctg( y / x), = arctg(m/n), при этом выражение 13.3.2 перепишется в следующем виде:

h(n,m) = exp dd=

= J o () d= (R/2 J 1 (R) / ,

где J o (…), J 1 (…)- функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков соответственно.

На рис. 13.3.2 приведена пространственная форма импульсного отклика фильтра, расчет которой проведен при R = 1 с ограничением по N = 10 и M = 10, и сечения отклика по координате m.

Рис. 13.3.2. Круговой низкочастотный фильтр (справа - сечения по координате m).

Свойства двумерного преобразования Фурье. Вышеприведенные преобразования импульсного отклика в частотный отклик и наоборот представляют собой двумерные дискретные преобразования Фурье с прямоугольным растром дискретизации информации, эквивалентные одномерным преобразованиям. На двумерные преобразования с прямоугольным растром переносятся и другие свойства одномерных систем. В частности:

1. Фурье-преобразования сигналов.

S( x , y) =  n  m s(n,m) exp(-jn x -jm y). (13.3.3)

s(n,m) = S( x , y) exp(jn x +jm y) d x d y . (13.3.4)

2. Теорема о свертке.

z(n,m) = h(n,m) ** s(n,m)  H( x , y) S( x , y) = Z( x , y).

z(n,m) = c(n,m) s(n,m)  C( x , y) ** S( x , y) = Z( x , y).

3. Основные свойства Фурье-преобразования.

1) Линейность (в том числе для любых комплексных чисел a и b):

аs(n,m)+bz(n,m)  aS( x , y)+bZ( x , y).

2) Пространственный сдвиг:

s(n-N,m-M)  S( x , y) exp(-jN x -jM y).

3) Дифференцирование:

dS( x , y)/d x  -jn s(n,m),

dS( x , y)/d y  -jm s(n,m),

d 2 S( x , y)/(d x d y)  -nm s(n,m).

4) Комплексное сопряжение:

х*(n,m)  S*(- x ,- y).

Вещественная и мнимая части Фурье-образов последовательностей s(n,m):

S( x , y) = S*(- x ,- y).

Re = Re .

Im = -Im .

5) Теорема Парсеваля:

 n  m s(n,m) s*(n,m) = S( x , y) S*( x , y) d x d y .

В частности, при s(n,m) = s(n,m):

 n  m |s(n,m)| 2 = |S( x , y)| 2 d x d y ,

где левая часть уравнения представляет собой полную энергию дискретного сигнала s(n,m), a функция |S( n , m)| 2 - спектральную плотность энергии сигнала.

13.4. Дискретизация двумерных сигналов .

Прямоугольный растр дискретизации. Из способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах:

s(n,m) = s a (nx,my),

где x и y - горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала s a (x,y) с непрерывными координатами x и y. Ниже значения x и y, как и в одномерном случае, принимаются равными 1.

Дискретизация двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. Сохраняется также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. Для прямоугольной дискретизации связь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливается аналогично одномерной дискретизации.

Интегральные преобразования Фурье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот  x и  y:

S a ( x , y) = s a (x,y) exp(-j x x-j y y) dxdy. (13.4.1)

s a (x,y) = S a ( x , y) exp(j x x+j y y) d x d y . (13.4.2)

Дискретные преобразования Фурье:

S(k,l) = s(n,m) exp(-jnk/N-jm2l/M), (13.4.3)

S(k,l) = exp(-jn2k/N) s(n,m) exp(-jm2l/M), (13.4.3")

s(n,m) = S(k,l) exp(-jn2k/N-jm2l/M). (13.4.4)

s(n,m) = exp(-jn2k/N) S(k,l) exp(-jm2l/M). (13.4.4")

Выражения (13.4.3") и (13.4.4") показывают, что двумерное ДПФ по прямоугольному растру дискретизации данных может вычисляться с помощью одномерных последовательных ДПФ. Вторые суммы выражений являются одномерными ДПФ сечений функций s(n,m) и S(k,l) по линиям n и k соответственно, а первые - одномерными ДПФ вычисленных функций в сечениях по m и l. Другими словами, исходные матрицы значений s(n,m) и S(k,l) пересчитываются сначала в промежуточные матрицы с ДПФ по строкам (или по столбцам), а промежуточные - в окончательные с ДПФ по столбцам (или соответственно по строкам).

Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Если непрерывный сигнал s a (x,y) является сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываются:

S a ( x , y) = 0 при | x | /x, | y | /x,

то, как и в одномерном случае, сигнал s a (x,y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога ряда Котельникова-Шеннона:

s a (x,y) =  n  m s(n,m) . (13.4.5)

Сигнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Найквиста, будут "маскироваться", как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Эффект "отражения" от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

Произвольный растр дискретизации. Понятие прямоугольной дискретизации обобщается на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v 1 = (v 11 ,v 21) T и v 2 = (v 12 ,v 22) T , где T - индекс транспонирования (рис. 13.4.1). Координаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x,y):

y = v 21 n + v 22 m.

С использованием векторных обозначений:

где = (x,y) T , =(n,m) T , =(v 1 |v 2 )- матрица дискретизации. Определитель матрицы не равен нулю, если вектора v 1 и v 2 линейно независимы. При дискретизации непрерывного сигнала s a (x,y) матрицей формируется дискретный сигнал:

s()  s a ( ).

Двумерное интегральное преобразование Фурье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = ( 1 , 2) T:

S a () = s a () exp(-j T ) d , (13.4.6)

s a () = S a () exp(j T ) d , (13.4.7)

Данные интегралы являются двойными, поскольку дифференциалы d и d являются векторами.

Преобразование Фурье дискретного сигнала:

S() =  n s() exp(-j T ), (13.4.8)

s() = S() exp(j T ) d . (13.4.9)

где: = ( х, у) T .

Выражение s() может быть получено дискретизацией выражения s a () (13.4.7):

s() = s a ( ) = S a () exp(j T ) d .

Цифровая обработка сигналов

дипломная работа

1. Линейные системы

Сигнал - зависимость одной величины от другой (функция). Например, зависимость давления воздуха в точке от времени можно рассматривать как звуковой сигнал. Зависимость напряжения в проводнике от времени тоже может представлять звуковой сигнал. Зависимость яркости точки на плоскости от ее координат можно рассматривать как черно-белое изображение.

Будем пока для определенности рассматривать одномерные сигналы, зависящие от времени, и обозначать их x(t). Почти весь материал допускает обобщение и на многомерный случай.

Система - это некоторое преобразование сигнала. Система переводит входной сигнал x(t) в выходной сигнал y(t). Будем это обозначать так:

Обычно все рассматриваемые системы инвариантны к сдвигу, т.е. если x(t)>y(t), то x(t+T)>y(t+T). Это означает, что форма выходного сигнала зависит только от входного сигнала, а не зависит от времени начала подачи входного сигнала. Далее мы будем рассматривать только такие системы.

Очень большое количество реальных систем можно считать инвариантными к сдвигу. Например, микрофон, переводящий сигнал "плотность воздуха" в сиг-нал "напряжение в проводе", удовлетворяет этому свойству, если пренебречь изменением свойств микрофона со временем.

Линейная система - это система, в которой выполняется следующее свойство линейности: если x 1 (t)>y 1 (t) и x 1 (t)>y 1 (t), то б x 1 (t)+в x 2 (t)>б y 1 (t)+в y 2 (t). Здесь операции над сигналами следует понимать как операции над функциями от аргумента t.

Большое количество реальных систем по преобразованию сигналов можно считать линейными. Например, микрофон является линейной системой (с достаточной степенью точности), так как если в него будут говорить одновременно 2 человека с разной громкостью, то электрический сигнал на выходе будет взвешенной суммой сигналов (от каждого человека в отдельности) на входе, а коэффициенты будут означать громкость разговора первого и второго человека.

Свойства линейных систем:

1. Постоянный (константный) сигнал переводится любой линейной системой в постоянный сигнал.

2. При прохождении через линейную систему синусоида остается синусоидой. Могут измениться лишь ее амплитуда и фаза (сдвиг во времени).

Второе свойство особенно важно, т.к. оно указывает на важнейший метод ана-лиза линейных систем с помощью разложения входных и выходных сигналов на синусоиды (Фурье-анализ).

Что означает "прохождение синусоиды через линейную систему"? Это значит, что синусоида подается на вход системы бесконечно долго, т.е. от t =?? до t=+?. Если же синусоиду начали подавать лишь в некоторый конкретный момент времени (а до этого подавалось что-то другое, например, - 0), то после начала подачи синусоиды на вход мы можем получить синусоиду на выходе не сразу. Выходной сигнал постепенно начнет приобретать синусоидальную форму. Скорость "стремления к верной синусоиде" на выходе зависит от конкретной линейной системы.

Архитектура Softswitch

Одним из таких классов являются линейные блоковые коды. Линейными называются такие двоичные коды, в которых множество всех разрешенных блоков является линейным пространством относительно операции поразрядного сложения по модулю 2...

Моделирование усилителя НЧ

Линейные искажения обусловлены влиянием реактивных элементов усилителя - конденсаторов и катушек, сопротивление которых зависит от частоты. Эти искажения имеются и в линейном усилителе, например, при усилении очень слабых сигналов...

Обработка и фильтрация данных дистанционного зондирования

Важнейшей особенностью линейного оператора является то обстоятельство, что он не изменяет формы входного синусоидального сигнала s(t) = A cos (щt + ц), меняется только амплитуда A и фаза ц. Если же сигнал имеет несинусоидальную форму...

Обратная связь в усилителях

Операционный усилитель как линейное устройство, обеспечивающее минимальные искажения входного сигнала, редко используется без обратной связи. Это объясняется тем...

Общие свойства импульсных систем

Линейной называется импульсная система, в которой линейны все ее элементы по рис.1 - импульсный элемент (ИЭ) с модулятором (М), канал передачи (КП), непрерывная часть (НЧ). Нелинейной - система, у которой хотя бы один из элементов нелинеен...

Прибор с зарядовой связью

Широкое распространение получили две разновидности ФСИ на ПЗС: строчные (линейные), воспринимающие за один период интегрирования линию изображения, и матричные (плоскостные), в которые весь образ записывается сразу...

Радиотелеметрическая система с частотным разделением товаров

Сложение полезного сигнала с помехой в виде части сигналов соседних каналов приводит к его искажению (рисунок 6). Рисунок 6 Оценим влияние только одного (n-1) канала. Полагаем...

Разработка схемы системы стабилизации передатчика в системах атмосферной оптической передачи данных

Пьезоактюаторы такого типа наиболее широко используемые. В свою очередь они делятся на низковольтные и высоковольтные, корпусные и бескорпусные многослойные дискретные и многослойные монолитные и т.д...

Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства систем подвижной радиосвязи

Определить ширину главного лепестка нормированной амплитудной диаграммы направленности в - плоскости по уровню нулевого излучения и по уровню половинной мощности для линейного симметричного электрического вибратора с длиной плеча...

Сегнетоэлектрики, их свойства и применение

В сегнетоэлектрических преобразователях используются большие значения пьезоэлектрических коэффициентов вблизи температуры перехода...

Технический надзор и техническая документация по волоконно-оптической линии передачи

Для обеспечения надежной и высококачественной эксплуатации на вновь построенные ВОЛП должна составляться достаточно подробная исполнительная документация. Важность этого вопроса подтверждается тем...

Устройства передачи информации по сети электропитания

Данные пользователя, поступающие от DTE, уже являются цифровыми, представленными в униполярном или биполярном коде без возврата к нулю -- NRZ. При передаче данных на большие расстояния в коде NRZ возникают следующие проблемы...

Цифровая система передачи непрерывных сообщений

Условие задания. Двоичные слова с выхода АЦП преобразуются в линейные ФМШС. В качестве шумоподобных сигналов используются последовательности Уолша. База ШС - 32...

Цифровой согласованный обнаружитель сигналов

Подобный сигнал изображен на рисунке 2,а, а закон изменения частоты заполнения импульса - на рисунке 2,б. Рисунок 2 - ЛЧМ - импульс (а) и изменение частоты его заполнения(б)...

Электронные усилители

Качество усилителя определяется степенью искажений, вносимых усилителем при усилении входного сигнала. Под искажениями понимается изменение формы выходного сигнала по отношению к форме входного...