A.L. Pomerantsev, O.E. Rodionova

Este important să înțelegeți că datele sursă conțin întotdeauna atât informații esențiale, care sunt numite semnal, și aleatoriu, care se numește zgomot. Zgomotul se referă în primul rând la erori de măsurare, caracteristici individuale probe măsurate, erori de modelare etc. În abordarea luată în considerare, zgomotul include și informații sistematice care nu au legătură cu procesul studiat. Separarea datelor în semnal și zgomot este o problemă centrală de modelare, soluția căreia este echilibrarea corectă a acestora. Pe de o parte, nu puteți subestima nivelul de zgomot, adică să faceți modelul prea detaliat, deoarece în acest caz modelul va deveni instabil. Pe de altă parte, supraestimând zgomotul, pierdem o parte semnificativă a datelor, iar modelul își pierde puterea de predicție. Metodele de analiză a datelor multidimensionale, în primul rând, fac posibilă gestionarea relativ ușor a rețelelor mari și, în al doilea rând, separarea semnalului și a zgomotului.
Pentru a construi un model care nu numai că funcționează adecvat într-o gamă restrânsă de condiții, dar este și capabil să simuleze diferite procese, de exemplu, atunci când se utilizează materii prime de diferite calități, este necesară o gamă cât mai largă de experiență. Experiențele proaste și produsele defecte nu pot fi excluse din date, deoarece aceste informații sunt și ele necesare pentru construirea modelului. Nu este necesar să se efectueze o selecție preliminară a eșantioanelor sau variabilelor, alegându-le pe cele mai semnificative - acest lucru se decide în procesul de analiză a sistemului. Variabilele sunt adesea interconectate, iar informația principală - semnalul - este conținută tocmai în acest sistem de conexiuni. Dacă o parte din date este aruncată din orice motiv, atunci riscăm să pierdem informații importante.
Desigur, un model (oricât de complex ar fi) nu va fi niciodată absolut exact. Dar un model bun este un instrument eficient pentru înțelegerea și, prin urmare, pentru gestionarea procesului. Pentru a construi un astfel de model, sunt necesare date informative și de bună calitate.
Să revenim la diagrama care caracterizează cele patru niveluri de control al calității. Folosind exemplul căpitanului navei, am văzut că prezența primului nivel intuitiv-expert este o conditie necesara construirea modelului MSPC. Al doilea nivel, descriptiv, este de asemenea necesar, deși poate nu la scară la nivel de întreprindere, ci doar pentru a reglementa procedura de colectare a datelor; descrierea trebuie să răspundă cuprinzător la următoarele întrebări: ce și când să măsoare; cine face măsurătorile; sub ce formă sunt stocate rezultatele. Al treilea nivel de control - monitorizarea statistică - oferă răspunsuri la toate aceste întrebări și pregătește trecerea la MSPC, care necesită foarte puțin mai mult - pentru a aplica analizei matematice multivariate datelor disponibile, care se bazează pe o abordare de proiecție.
Vom descrie MSPC din punctul de vedere al unui lucrător de producție și nu vom fi distras de detalii matematice neimportante care pot fi găsite, de exemplu, în, dar vom încerca să transmitem esența abordării proiecției folosind o interpretare geometrică.
Să începem cu cel mai simplu exemplu: atunci când există doar două variabile măsurate în sistem, atunci datele colectate pot fi reprezentate într-un plan (vezi Fig. 1). Fiecare rând al tabelului sursă (adică, eșantion) corespunde unui punct din planul variabilelor cu coordonatele corespunzătoare. Să introducem o nouă axă (prima componentă principală - PC1) astfel încât modificarea maximă a datelor să aibă loc de-a lungul ei și să proiectăm toate punctele pe această nouă axă. Dacă presupunem o situație ideală în care valorile semnalului sunt situate de-a lungul acestei linii drepte, iar împrăștierea se datorează zgomotului, atunci prin proiectarea datelor originale pe axa GK1, evidențiem structura semnificativă a datelor și o descriem cu o singură variabilă nouă. Și partea rămasă a datelor care nu este explicată prin această descriere - distanța de la punct la noua axă - poate fi considerată zgomot. Acest zgomot poate fi analizat mai departe, căutând partea semnificativă din el - a doua componentă principală etc., până când zgomotul nu mai devine cu adevărat zgomot, adică un set haotic aleatoriu de valori.
În general, procesul de proiecție trece prin următoarele etape (vezi Fig. 2):
1) centrul noului de date este localizat și noua origine a coordonatelor este transferată acolo - aceasta este componenta principală zero (PC0);
2) este selectată direcția de modificare maximă a datelor - aceasta este prima componentă principală (GC1);
3) dacă datele nu sunt complet descrise (zgomotul este mare), atunci este selectată o altă direcție (GC2) - perpendiculară pe prima, pentru a descrie modificarea rămasă a datelor etc.
Ca rezultat, analiza componentelor principale reprezintă probele într-un nou spațiu de dimensiuni inferioare. În acest caz, nu numai că un sistem de coordonate este înlocuit cu altul, dar și nivelul de zgomot (adică, influența diferiților factori externi) asupra sistemului este redus. În fig. Figura 2 arată o scădere a dimensiunii sistemului de la trei la doi, ceea ce nu reprezintă o reducere semnificativă a dimensiunii. Adesea există o reducere de ordine de mărime, de exemplu, de la 300 de variabile inițiale la 3-5 componente principale.
Exemplu de control al procesului, pe baza datelor obținute de la o fabrică chimică reală, dar oarecum simplificate în scop ilustrativ. De ceva timp a fost studiat procesul tehnologic (53 de stări ale sistemului - eșantion), care a fost monitorizat de 17 senzori (variabile). Pentru fiecare indicator, au fost stabilite limite superioare și inferioare ale valorilor acceptabile. Conform abordării SPC, fiecare variabilă are propria diagramă de control (Fig. 3). Când indicatorul depășește nivelul critic, operatorul primește un semnal de avertizare.

Dacă ar fi puține variabile, atunci această abordare nu ar crea probleme. Cu toate acestea, controlați simultan dinamica schimbării în toate (în în acest caz, 17) variabilele sunt dificile pentru operator (Fig. 4).

Cea mai simplă analiză vă permite să faceți transformări evidente ale datelor sursă:
1) deplasați fiecare variabilă astfel încât valoarea medie să fie zero;
2) normalizați fiecare variabilă astfel încât să le aduceți la un nivel critic comun, de exemplu + 1.
Transformări simple similare, numite în metoda MSPC pregătirea datelor, vă permit să simplificați semnificativ percepția vizuală a informațiilor despre proces.
Ca rezultat, operatorul va vedea pe ecran o imagine care reflectă starea sistemului la un anumit moment în timp (citiri normalizate ale senzorului), care este ușor de controlat (Fig. 5). Pe ea, valoarea fiecărei variabile normalizate este reprezentată ca o diagramă cu bare, a cărei înălțime se modifică în timpul procesului. Aici este deja vizibil cât de departe este fiecare indicator de nivelurile critice.

Cu toate acestea, o astfel de transformare nu o rezolvă pe cealaltă problema importanta care apare la monitorizarea unui număr mare de indicatori - cum să răspundeți la semnalele de avertizare. Printre cele 17 variabile măsurate, există mai multe variabile controlate. Dacă unul dintre ele se apropie de nivelul critic superior, atunci este firesc să îl reduceți; dacă se apropie de nivelul inferior, atunci creșteți-l. Dar variabilele nemanipulate ale căror valori nu pot fi modificate direct? Ajută aici ca toți indicatorii din sistem să fie interconectați. De exemplu, cu cât temperatura este mai mare, cu atât presiunea este mai mare etc. Prin urmare, operatorul poate schimba indirect variabile necontrolate prin reglarea celor controlate. În general, în astfel de sisteme complexe, pătrunse de conexiuni interne, fiecare acțiune a operatorului determină o modificare simultană a tuturor indicatorilor, și nu întotdeauna de dorit. În mod ideal, pentru a obține rezultatul dorit, este necesar să se schimbe strict valorile tuturor variabilelor controlate simultan, ceea ce este practic imposibil. Aici apar greșelile care duc la căsătorie.
Prezența conexiunilor interne într-o abordare convențională a unei probleme de control provoacă probleme, dar pentru MSPC, dimpotrivă, este un beneficiu. Când se aplică, metodele de proiecție sunt folosite pentru a identifica variabilele latente generalizate în sistem. Astfel, în exemplul luat în considerare, s-a dovedit că poate fi descris doar de două componente principale. În fig. Figura 6 prezintă proiecțiile tuturor celor 53 de stări măsurate ale sistemului (eșantioane) pe planul celor două componente principale.

În același timp, nivelul de zgomot, adică proporția de date inexplicabile, este de doar 4%. Aceasta înseamnă că fiecare observație - un șir de 17 numere - poate fi reconstruită din două valori ale proiecțiilor pe axele componentelor principale cu o precizie relativă nu mai slabă de 0,04. În plus, a fost posibilă stabilirea unei conexiuni clare între valoarea unui senzor care depășește nivelul de control și punctul din planul GC care trece dincolo de limitele elipsei critice (vezi Fig. 6). Acum operatorul poate monitoriza schimbarea poziției punctului care caracterizează starea sistemului în plan, ceea ce, desigur, este mult mai simplu.
Problema controlului este, de asemenea, mult simplificată. Operatorul poate controla doar două variabile „latente”, ajustându-le dacă este necesar. În acest caz, are loc o modificare sincronă simultană a tuturor variabilelor inițiale, „fizice”. Apropo, această tehnică este utilizată implicit în multe aparate electrocasnice complexe, de exemplu, la receptoarele de televiziune, unde utilizatorul are la dispoziție un număr limitat de butoane de control care controlează un număr mare de variabile fizice ascunse de el. Pentru ca un astfel de sistem de control să fie convenabil și eficient, trebuie mai întâi configurat. Acest proces se numește calibrare(sau absolviri) - similar cu procedura de configurare instrumente de masura- prin urmare, analiza datelor multivariate se mai numește și calibrare multivariată.
Înainte de a utiliza practic modelul matematic construit în timpul calibrării, acesta este supus procedurii verificări, adică este necesar să se asigure că este capabil să prezică corect stările sistemului. Pentru a face acest lucru, măsurați și colectați noi (Verifica) date despre procesul studiat și utilizați modelul construit pentru a prezice aceste valori. Dacă valorile prezise diferă ușor de valorile măsurate, atunci modelul este considerat a fi fost validat și poate fi utilizat în practică. Dacă nu, atunci trebuie să efectuați o nouă calibrare clarificatoare. Adesea proprietățile sistemului modelat se pot schimba brusc (trecerea la noi materii prime) sau treptat (uzura echipamentului). În acest caz, modelul construit anterior devine nepotrivit și trebuie rafinat. Cu această formulare, sarcina MSPC nu este o acțiune unică, dar programul țintă analiza si imbunatatirea calitatii intreprinderii.
În ultimul deceniu, MSPC a fost utilizat pe scară largă în întreaga lume într-o varietate de aplicații industriale pentru procese continue, cum ar fi:
controlul și prognozarea calității hârtiei de ziar în funcție de compoziția materiei prime;
controlul calității producției de cupru și analiza compoziției impurităților;
controlul calității benzinei.
În plus, MSPC este utilizat și în cazurile în care procesul constă din etape separate, iar pentru a obține produse de înaltă calitate este necesar să se controleze cinetica proceselor în cadrul uneia sau mai multor etape, de exemplu:
controlul producției de drojdie de panificație;
controlul procesului de polimerizare în producerea polietilenei de joasă densitate.
Concluzii. MSPC este o abordare modernă utilizată în întreaga lume pentru a monitoriza procesele de producție, a îmbunătăți funcționarea acestora, a îmbunătăți calitatea produselor și a dezvolta noi tehnologii și produse. Modelarea matematică utilizată în MSPC nu se bazează pe construcția de modele fizice complexe (chimice etc.), ci pe o simplă analiză a datelor de intrare și de ieșire. Procedura de aplicare MSPC parcurge următoarele etape principale:
1) enunțarea problemei, construirea unui plan de observare;
2) monitorizarea proceselor, colectarea datelor;
3) analiza datelor, stabilire conexiuni ascunseîntre indicatori;
3) construirea și testarea modelului;
4) uz practic modele pentru rezolvarea problemelor curente;
5) analiza practicii de aplicare și ajustarea modelului.
Ultimele două etape nu sunt o singură utilizare, ci trebuie aplicate continuu pentru a obține rezultate optime de producție.
MSPC reprezintă starea procesului de producție într-o formă simplă și vizuală și este o continuare și o dezvoltare logică metode standard controlul statistic al procesului. Această abordare ne permite să obținem rezultate durabile chiar și cu echipamente învechite și calitate instabilă a materiilor prime. Revenind la clasificarea nivelurilor de control al calității date la începutul articolului, se poate observa că MSPC, într-un fel, „închide cercul”, revenind producția la controlul „patriarhal” inițial, dar la un nivel diferit calitativ și cantitativ. nivel de sistem. Nu este un secret pentru nimeni că controlul intuitiv al producției expert (bunica în bucătăria ei) poate oferi cea mai înaltă calitate, incomparabilă cu producția de masă. Folosind MSPC, este posibilă generalizarea și formalizarea matematică a experienței individuale, de neprețuit, a fiecărui specialist și, prin urmare, extinderea ei la masă. Procese de producție. Ni se pare că Rusia, cu numeroasele ei specialisti cu experienta, capabilă să asigure o producție stabilă în condiții instabile, este un obiect unic pentru aplicarea acestei abordări. Aici ar trebui să ofere cele mai impresionante rezultate, mai ales că costurile asociate cu implementarea MSPC sunt semnificativ mai mici decât, de exemplu, achiziționarea de echipamente noi.

LISTA DE REFERINȚE UTILIZATE
1. Shewhart W.A. Controlul economic al calității produsului fabricat. - Van Nostrand, New York, 1931.
2. MacGregor J., Kourti Th. Controlul statistic al proceselor de procese multivariate // Control Engineering Practice, 1995 (3), pp. 403-413.
3. Kourti Th., MacGregor J. Recent Developments in Multivariate SPC Methods for Monitoring and Diagnosing Process and Product Performance // J. of Quality Technology. 1996 28 (4), p. 309-323.
4. Htskuldsson A. Metode de predicție în știință și tehnologie. Editura Thor, Danemarca, 1996.
5. Eriksson L., Johansson E., Kettaneh-Wold N., Wold S. Multi- and Megavariate Data Analysis, Umetrics AB, Umea, 2001.
6. Esbensen K.H. Multivariate Data Analysis - In Practice Ed. a 4-a, CAMO, 2000.
7. Martens H. și Nüs T. Multivariate calibration, John Wiley & Sons, Chichester, 1989.
8. Buletin informativ INFOMetrix 11-4/91. Evaluarea octanului benzinei prin spectroscopie în infraroșu apropiat. Infometix, Inc. Seattle, Washington SUA.
9. Kourti Th., MacGregor J. Analiza proceselor, monitorizarea și diagnosticarea, folosind metode de proiecție multivariată. Chemom. Intel. laborator. Sisteme. 1995 (28), R. 3-21.

Preparat pe baza materialelor din RIA „Standarde și calitate”

Un proces aleator staționar multidimensional este definit ca un set de staționari și staționari interconectați procese aleatorii . Un astfel de proces este de obicei notat ca un vector coloană aleatoriu în funcție de timp:

.

Procesele aleatoare multidimensionale sunt utilizate pentru a descrie sisteme multidimensionale (multicanal). Această secțiune ia în considerare problema modelării digitale a proceselor aleatoare staționare multidimensionale normale. Rezultatul rezolvării acestei probleme, ca și în cazul unidimensional, este un algoritm care face posibilă generarea de implementări discrete multidimensionale ale unui proces dat pe un computer digital. -procesul aleator staţionar normal continuu dimensional este de obicei specificat fie sub forma matricei sale de corelaţie

sau sub forma unei matrice spectrale

Unde - funcțiile de autocorelare (at ) și de corelație încrucișată (at ) ale proceselor aleatoare - transformata Fourier a . În același timp, de când , elementele și matricea spectrală sunt conjugate complexe,

.

Procesele aleatoare normale multidimensionale discrete sunt specificate în mod similar cu cele continue folosind corelații și matrici spectrale [35, 70]

Unde , și .

Este recomandabil să se formuleze problema modelării digitale a unui proces aleator normal multidimensional după cum urmează. Este dată o corelație sau o matrice spectrală a unui proces aleatoriu. Este necesar să se găsească un algoritm pentru generarea de implementări discrete ale unui proces aleatoriu cu proprietăți de corelație (spectrale) date pe un computer digital.

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi, ca și până acum, ideea unui filtru liniar de modelare. În acest caz despre care vorbim pe sinteza unui filtru de modelare multidimensional.

Un filtru liniar dimensional este definit ca un sistem dinamic liniar cu intrări și ieșiri. Dacă - influenţa de intrare şi este răspunsul sistemului, atunci conexiunea dintre intrarea și ieșirea filtrului liniar continuu -dimensional este descrisă folosind o matrice de transfer sub forma

Unde Și - imagini ale semnalelor de intrare și respectiv de ieșire, în sensul transformării Laplace; - matricea de transfer a unui filtru -dimensional, ale cărui elemente sunt funcții de transfer ale canalelor -a intrare - -a ieșire.

Conexiunea intrare-ieșire în filtre liniare dimensionale discrete este descrisă în mod similar:

,

unde si - imagini în sensul transformării discrete Laplace a semnalelor de intrare și de ieșire; - matricea de transfer a unui filtru dimensional discret.

Diagrama bloc a unui filtru multidimensional folosind un exemplu de filtru bidimensional este prezentată în Fig. 2.9, conform căruia

(2.107)

Vedem că fiecare dintre semnalele de ieșire și este suma operatorilor liniari din semnalele de intrare și . Relații similare sunt valabile în cazul general. Aceasta este identificarea matricelor de transfer.

Fie influența la intrarea filtrului liniar -dimensional zgomot alb -dimensional, adică un proces aleatoriu cu o matrice de corelație de forma

pentru timp continuu şi

pentru timp discret, unde - functie delta. -zgomotul alb dimensional este definit aici ca un set de procese aleatoare independente, -corelate.

Se poate arăta (vezi, de exemplu,) că atunci când este expusă la zgomot alb, matricea spectrală a procesului la ieșire - filtru dimensional pentru timp continuu și, respectiv, discret, este legată de matricea de transfer a filtrului prin relații

(2.108)

unde simbolul denotă matricea transpusă.

În consecință, pentru a obține un proces aleator -dimensional cu o matrice spectrală dată, este necesar să treceți zgomotul alb -dimensional printr-un filtru de modelare -dimensional, a cărui matrice de transfer satisface ecuațiile (2.108). Pentru a găsi matricea de transfer dintr-o matrice spectrală dată, este necesară împărțirea acesteia din urmă în doi factori de forma (2.108). Această procedură se numește factorizarea matricelor spectrale. Poate fi implementat folosind algoritmi cunoscuți.

Filtrarea multidimensională a zgomotului alb este destul de simplă: fiecare componentă proces aleatoriu la ieșirea unui filtru dimensional cu o matrice de transfer este obținut prin însumarea componentelor proces de intrare, filtrat prin filtre unidimensionale cu funcții de transfer [vezi. formula (2.107)]. Algoritmii de filtrare unidimensionali sunt discutați mai sus.

Cu această metodă de modelare, sunt posibile două moduri: 1) o matrice spectrală dată a unui proces aleator continuu-dimensional poate fi factorizată direct pentru a obține matricea de transfer a unui filtru de modelare continuă și apoi, folosind metodele exacte sau aproximative de discretizare a continuului filtrele descrise mai sus, filtrarea multidimensională a albului continuu poate fi efectuată de zgomot; 2) dată fiind matricea spectrală a unui proces -dimensional continuu, folosind transformarea -, puteți găsi matricea spectrală a procesului aleator discret corespunzător (vezi § 2.3), apoi, prin factorizare, găsiți funcția de transfer a filtrului de modelare discretă , și apoi efectuați filtrarea multidimensională a zgomotului alb discret.

Cele mai mari dificultăți se întâlnesc la factorizarea matricelor spectrale. În prezent, au fost dezvoltați algoritmi pentru factorizarea numai a matricelor spectrale raționale, adică a unor astfel de matrici ale căror elemente sunt funcții fracționale-raționale ale argumentelor sau .

Să descriem, omițând dovezi, unul dintre algoritmii de factorizare a matricelor spectrale raționale, preluat din.

Să fie dată o matrice spectrală rațională

.

Matricea poate fi redusă la formă

prin următoarele transformări.

1. Se determină rangul matricei, apoi unul dintre minorii majori ai ordinului este situat în colțul din stânga sus al matricei.

2. Matricea este redusă la formă diagonală. Pentru a face acest lucru, primul rând înmulțit cu - se adaugă la al treilea rând al matricei, apoi prima coloană înmulțită cu ; se adaugă la a treia coloană. rezultatul este o matrice

, (2.109)

unde sunt elementele matricei

arată ca

(2.110)

Cu matricea se efectuează aceleași transformări ca și cu matricea originală . Continuarea acestui proces la pasul a treia produce o matrice diagonală

astfel încât .

3. Este localizată matricea auxiliară

ale căror elemente au următoarea formă:

(2.111)

unde sunt determinate din relaţii de recurenţă

(2.112)

4. Găsiți polinoame auxiliare

Unde - zerourile de polinoame , situate în semiplanul inferior, numărate de câte ori multiplicitatea lor maximă și sunt numitorii funcțiilor raționale fracționale, care sunt elemente ale matricei:

.

5. Conform metodei discutate în § 2.9, paragraful 2, funcții fracționale-raționale

sunt prezentate sub formă

,

unde polinoamele și nu au zerouri în semiplanul inferior.

Acest lucru completează procesul de factorizare. În cele din urmă, matricea de transfer a filtrului de modelare este scrisă sub formă

(2.113)

Aici descriem un algoritm pentru factorizarea matricelor spectrale raționale ale proceselor multidimensionale continue. Factorizarea matricelor spectrale ale proceselor discrete se realizează într-un mod similar, numai că în loc de rădăcini situate în semiplanul inferior, sunt luate rădăcini situate în cercul unitar.

Exemplul 1. Să fie dat un proces aleator centrat staționar continuu bidimensional cu o matrice de corelație

, (2.114)

unde sunt unele constante pozitive și .

Matricea de corelație corespunzătoare matricei spectrale (2.114) are forma

, (2.115)

Unde Și - momentele de autocorelare şi corelaţie reciprocă ale proceselor şi, respectiv; - coeficientul de corelare încrucișată a proceselor și a momentelor de timp coincidente. Coeficienții și reprezintă în acest caz lățimea (la nivelul de 0,5) a spectrelor de energie și spectrul energetic reciproc al proceselor și .

Este necesară factorizarea matricei spectrale (2.114) pentru a obține matricea de transfer a filtrului de modelare.

Vom efectua procedura de factorizare pas cu pas în conformitate cu algoritmul de factorizare de mai sus.

1. În acest caz, rangul matricei spectrale este.

2. Reducerea matricei la diagonală necesită un pas. Folosind formulele (2.109) și (2.110) obținem

.

3. În conformitate cu expresiile (2.111) și (2.112), matricea auxiliară are forma

4. În cazul luat în considerare, trebuie să găsiți un singur polinom auxiliar. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile numitorului elementului de matrice, adică rădăcinile polinomului. Aceste rădăcini sunt egale

Prin urmare,

.

5. În etapa finală, este necesară factorizarea funcțiilor fracțional-raționale

În acest caz, rădăcinile numărătorilor și numitorilor funcțiilor raționale fracționale sunt ușor de calculat. Folosind rădăcinile situate în semiplanul superior (rădăcini cu părți imaginare pozitive), obținem pentru variabilă:

.

În fig. 2.9 afișat schema structurala un filtru de modelare bidimensional, la ieșirea căruia se formează un proces aleator bidimensional cu caracteristicile spectrale necesare dacă se aplică zgomot alb la intrarea filtrului. Înlocuind un filtru bidimensional continuu cu un filtru discret corespunzător, obținem un algoritm pentru generarea de implementări discrete ale unui proces normal aleator bidimensional pe un computer digital, adică implementări discrete a două procese aleatoare normale staționare și staționare cu exponențial. auto- și reciproc functii de corelare tip (2.115).

O altă abordare a sintetizării unui filtru de modelare necesită mai întâi găsirea matricei spectrale a procesului aleator multidimensional discret corespunzător. În exemplul luat în considerare, această matrice are forma

Și matrice (2.116).

Exemplul luat în considerare arată că factorizarea matricelor spectrale se realizează relativ simplu dacă este posibil să se găsească analitic zerourile polinoamelor corespunzătoare. La factorizarea matricei spectrale a unui proces bidimensional continuu, acest lucru nu a fost dificil, deoarece pentru a determina zerourile a fost necesar să se rezolve doar ecuații pătratice și biquadratice. La factorizarea matricei spectrale a unui proces bidimensional discret au existat ecuații pătratice și o ecuație reciprocă de gradul al patrulea, care admite și o soluție analitică.

În altele, mai mult cazuri dificile Zerourile unui polinom nu pot fi găsite întotdeauna analitic. În aceste cazuri, se recurge la metode numerice pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul I. În general, procesul de factorizare poate fi implementat pe un computer digital ca program standard. În acest scop, pe lângă cel prezentat aici, pot fi utilizați și alți algoritmi de factorizare.

Trebuie remarcat faptul că toți algoritmii existenți în prezent pentru factorizarea matricelor spectrale sunt, în general, foarte intensivi în muncă.

Paginile 513-523

Procese multidimensionale

Până acum am luat în considerare modele care constau dintr-o singură relație care conectează serii de timp. În acest caz, am ales una dintre variabile ca fiind endogene, iar variabilele rămase au fost exogene. O astfel de împărțire nu este întotdeauna naturală; adesea este necesar să se ia în considerare simultan mai multe relații în care aceleași variabile sunt incluse atât ca endogene, cât și ca exogene. După cum sa văzut în ultima prelegere, o variabilă nu poate fi întotdeauna tratată ca exogenă și, de fapt, trebuie să luăm în considerare un model DGP format din mai multe ecuații. Aceasta înseamnă modelarea mai multor serii temporale în același timp, cu alte cuvinte - modelarea unui proces aleator multivariat.

Să începem cu definiția. Luați în considerare un vector =(xt1,xt2,...,xtk)T, a cărui componentă este o serie temporală. Superscriptul va indica numărul componentei, iar indicele inferior, ca și înainte, va indica momentul în timp. distribuția componentelor este caracterizată printr-o familie de densități de distribuție comune de forma: f n ( Xt1i1,xt2i2,..., xtnîn)‚ n=1‚2,.... Condiția staționarității în sens restrâns este încă independența întregii familii de densități de distribuție în comun față de decalajul temporal. Abia acum, pe lângă toate combinațiile posibile de valori ale unui proces aleatoriu în momente diferite, argumentele densităților de probabilitate sunt, de asemenea, toate combinațiile posibile ale diferitelor componente în momente diferite. De exemplu, pentru densitatea bidimensională obținem din condiția de staționaritate: f 2 (Xt 1 ,Xt 2 ) = f 2 (x 1t + r, x 2t + r) pentru orice τ. Distribuția comună a componentelor pentru același punct în timp nu depinde de timp. Să luăm în considerare o altă funcție de distribuție, de exemplu una tridimensională, care include valorile primei componente în două momente diferite de timp și ale celei de-a doua componente într-un al treilea punct de timp. Staționaritatea înseamnă asta f 3 (Xt 1 ,Xt + h 1 ,Xt + s 2 ) = f 3 (x 1t + τ , x 2t + s + τ ) . Putem spune că aceasta este proprietatea invarianței la o schimbare de timp. Adică, dacă adăugăm valoarea τ la fiecare instant de timp, funcția de densitate nu se va modifica. Este clar că staționaritatea unui proces multidimensional implică staționaritatea fiecăreia dintre componentele sale.

Ca și în cazul unidimensional, staționaritatea în sens restrâns implică o serie de proprietăți ale caracteristicilor proceselor aleatorii. În primul rând, să începem cu așteptarea matematică. Așteptările matematice pentru fiecare componentă nu depind de alte componente. Prin urmare, dacă un proces multidimensional este staționar, așteptarea matematică a fiecărei componente nu depinde de timp. Vectorul așteptărilor matematice E( nu depinde de timp.

Acum să ne uităm la momentele de ordinul doi. Fiecare componentă se caracterizează prin dispersie și funcția de autocorelare. Dacă o serie unidimensională este staționară, funcțiile sale de autocorelare și autocovarianță depind doar de deplasarea τ: Corr(τ) = Corr( Xti,Xjt + r) = р i (τ), totuși, acum putem lua în considerare al doilea moment mixt pentru diverse componente, precum și Corr( Xti,Xjt + r). Este firesc să numim o astfel de mărime o funcție de corelație încrucișată. Dacă componentele formează un proces staționar multivariat, atunci corelația încrucișată va fi o funcție a deplasării în timp τ. Să notăm această funcție R ij (τ) . Este destul de evident că R ij (τ) = R ji (-τ) . Pentru o valoare fixă ​​a lui τ elementele R ij (τ) formează o matrice R în funcție de τ. Valoarea lui τ egală cu zero corespunde matricei de corelație a vectorului

Prognoza analitică a proceselor multidimensionale.

Metoda parametrilor generalizati.

Scopul lucrării: studiul tehnicilor practice de prezicere a stării unui obiect multiparametric.

Scurte informații teoretice:

Modificarea stării sistemelor tehnice poate fi considerată ca un proces caracterizat prin modificări ale unui anumit set de parametri. Poziția vectorului de stare în spațiu determină gradul de performanță a sistemului. Starea sistemului este caracterizată de un vector în spațiul k-dimensional, unde coordonatele spațiului sunt k parametri de sistem , .

Prognoza de stat se reduce la o monitorizare preliminară periodică a parametrilor; determinarea în momentele t i T 1 de control al funcţiei de stat

Q =Q[ ] și calcularea valorilor funcției de stare Q în intervalul de timp T 2 > T 1 .

Mai mult, cu cât vectorul de stare este situat mai departe de hipersuprafața valorilor admisibile ale gradului de performanță Q*, cu atât performanța sistemului este mai mare. Cu cât diferența* este mai mică, cu atât nivelul de performanță este mai scăzut.

Utilizarea metodelor de prognoză analitică presupune schimbări regulate ale componentelor procesului în timp.

Ideea metodei parametrilor generalizați este că un proces caracterizat de multe componente este descris de o funcție unidimensională, ale cărei valori numerice depind de componentele controlate ale procesului. O astfel de funcție este considerată un parametru de proces generalizat. În acest caz, se poate dovedi că parametrul generalizat nu are o semnificație fizică specifică, ci este o expresie matematică construită artificial din componente controlate ale procesului prezis.

La generalizarea parametrilor care caracterizează gradul de operabilitate a sistemelor tehnice, este necesar să se rezolve următoarele probleme:

Determinarea valorilor relative ale parametrilor primari;

Estimarea semnificației parametrului primar pentru aprecierea stării obiectului;

Construirea unei expresii matematice pentru un parametru generalizat.

Determinarea valorilor relative ale parametrilor primari este necesară datorită faptului că starea unui obiect poate fi caracterizată prin parametri cu dimensiuni diferite. Prin urmare, toți parametrii primari controlați ar trebui reduși la un singur sistem de calcul în care să poată fi comparabili. Un astfel de sistem este un sistem de calcul relativ adimensional (normalizat).

În realitate, pentru fiecare parametru ,s = 1, 2, ..., k, este posibilă selectarea unei valori acceptabile, * , la atingerea căreia obiectul își pierde funcționalitatea, iar valoarea optimă optează (deseori este egală cu valoarea nominală n).

Lăsați condiția să fie îndeplinită în timpul funcționării obiectului. Dacă , trebuie doar să introduceți un nou parametru în locație și atunci condiția cerută va fi îndeplinită.

Să scriem parametrul fără dimensiune (normalizat) sub forma:

Unde , și la , și atunci când .

Astfel, folosind expresia (1), parametrul este normalizat, iar valoarea normalizată adimensională se modifică în timp de la 1 la 0. De aici, după valoare, se poate judeca gradul de performanță al obiectului pentru acest parametru. Teoretic poate fi, dar asta înseamnă că în practică obiectul este inoperabil.

Puteți specifica diverse expresii normalizate care sunt convenabile atunci când rezolvați anumite probleme, de exemplu:

etc., unde – respectiv curent, zero, mat. aşteptând parametrul S-th.

Utilizarea expresiilor de normalizare ne permite să obținem un set de mărimi adimensionale care caracterizează starea obiectului. Cu toate acestea, o modificare cantitativ identică a acestor cantități nu este echivalentă în ceea ce privește gradul de influență asupra modificării performanței obiectului, de aceea este necesar să se diferențieze parametrii primari. Acest proces se realizează folosind coeficienți de ponderare, ale căror valori caracterizează importanța parametrilor corespunzători pentru esența fizică a problemei. În acest caz, lăsați parametrii obiectului coeficienții de greutate corespund , îndeplinind anumite criterii specificate și .

Gradul de performanță al unui obiect bazat pe o varietate de parametri controlați poate fi evaluat folosind o expresie generală

Unde este un parametru de obiect generalizat.

Expresia (2) este o medie liniară. Din definirea unui parametru generalizat rezultă că cu cât valoarea este mai mare și cu atât contribuția termenului S – al-lea (parametru) la .

Un parametru generalizat poate fi definit folosind o expresie a formei

, (3)

care este o medie neliniară. Pentru un astfel de model este îndeplinită și condiția: cu cât este mai mare și, cu atât este mai mare contribuția adusă de termen in marime.

În practică, sunt utilizate și alte forme de înregistrare a mediei neliniare, de exemplu:

, (4)

, (5)

unde selectează astfel încât (5) să ofere cea mai bună aproximare a rezultatelor obţinute experimental.

Când se iau în considerare expresiile pentru parametrul generalizat, s-a presupus că acesta nu își schimbă semnul, adică întotdeauna . Dacă este necesar să se țină cont de semn, expresia (2) se transformă în formă

, (6)

Astfel, utilizarea unui parametru generalizat ne permite să reducem problema de a prezice starea unui obiect multiparametru la prezicerea unei funcții de timp unidimensionale.

Exemplu. Testele obiectului timp de 250 de ore, în care au fost controlați 6 parametri, au dat rezultatele prezentate în tabelul 1.

tabelul 1

După normalizarea valorilor parametrilor folosind expresia (1), tabelul ia forma (tabelul 2)

masa 2