Deci, în lecția anterioară ne-am uitat la regulile de adunare și scădere a matricelor. E atât de operatii simple că majoritatea studenților le înțeleg literalmente de la început.

Cu toate acestea, te bucuri devreme. Freebie-ul s-a terminat - să trecem la înmulțire. Vă avertizez imediat: înmulțirea a două matrici nu înseamnă deloc înmulțirea numerelor în celule cu aceleași coordonate, așa cum ați putea crede. Totul este mult mai distractiv aici. Și va trebui să începem cu definiții preliminare.

Matrici potrivite

Unul dintre cele mai importante caracteristici matricea este dimensiunea acesteia. Am vorbit deja despre asta de o sută de ori: scrierea $A=\left[ m\times n \right]$ înseamnă că matricea are exact $m$ rânduri și $n$ coloane. Am discutat deja despre cum să nu confundăm rândurile cu coloanele. Altceva este important acum.

Definiție. Matrici de forma $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri în al doilea, sunt numite consistente.

Încă o dată: numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de rânduri din a doua! De aici obținem două concluzii simultan:

1. Ordinea matricilor este importantă pentru noi. De exemplu, matricele $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 5 \right]$ sunt consistente (2 coloane în prima matrice și 2 rânduri în a doua) , dar invers — matricele $B=\left[ 2\times 5 \right]$ și $A=\left[ 3\times 2 \right]$ nu mai sunt consistente (5 coloane din prima matrice nu sunt 3 rânduri in secunda ).
2. Consistența poate fi verificată cu ușurință notând toate dimensiunile una după alta. Folosind exemplul din paragraful anterior: „3 2 2 5” - există numere identice în mijloc, deci matricele sunt consistente. Dar „2 5 3 2” nu sunt consecvenți, deoarece există numere diferite la mijloc.

În plus, Captain Obviousness pare să sugereze că matricele pătrate de aceeași dimensiune $\left[ n\times n \right]$ sunt întotdeauna consistente.

În matematică, când ordinea de enumerare a obiectelor este importantă (de exemplu, în definiția discutată mai sus, ordinea matricelor este importantă), vorbim adesea despre perechi ordonate. Ne-am întâlnit cu ei la școală: cred că nu este o idee că coordonatele $\left(1;0 \right)$ și $\left(0;1 \right)$ definesc puncte diferite la suprafata.

Deci: coordonatele sunt și perechi ordonate care sunt formate din numere. Dar nimic nu te împiedică să faci o astfel de pereche din matrice. Apoi putem spune: „O pereche ordonată de matrice $\left(A;B\right)$ este consecventă dacă numărul de coloane din prima matrice este același cu numărul de rânduri din a doua.”

Ei bine, ce?

Definiţia multiplication

Luați în considerare două matrici consistente: $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$. Și definim operația de înmulțire pentru ei.

Definiție. Produsul a două matrice potrivite $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este matrice nouă$C=\left[ m\times k \right]$, ale căror elemente sunt calculate după formula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Un astfel de produs este notat în modul standard: $C=A\cdot B$.

Cei care văd această definiție pentru prima dată au imediat două întrebări:

1. Ce fel de joc aprig este acesta?
2. De ce este atât de greu?

Ei bine, primul lucru. Să începem cu prima întrebare. Ce înseamnă toți acești indici? Și cum să nu faceți greșeli când lucrați cu matrici reale?

În primul rând, observăm că linia lungă pentru calculul $((c)_(i;j))$ (am pus punct și virgulă între indici în mod special pentru a nu încurca, dar nu este nevoie să-i pun în general - eu însumi m-am săturat să scriu formula în definiție) se reduce de fapt la o regulă simplă:

1. Luați $i$-lea rând din prima matrice;
2. Luați $j$-a coloană din a doua matrice;
3. Obținem două șiruri de numere. Înmulțim elementele acestor secvențe cu aceleași numere și apoi adăugăm produsele rezultate.

Acest proces este ușor de înțeles din imagine:

Încă o dată: fixăm rândul $i$ în prima matrice, coloana $j$ în a doua matrice, înmulțim elemente cu aceleași numere și apoi adunăm produsele rezultate - obținem $((c)_(ij))$ . Și așa mai departe pentru toți $1\le i\le m$ și $1\le j\le k$. Acestea. Vor fi de $m\ori k$ de astfel de „perversiuni” în total.

De fapt, am întâlnit deja înmulțirea matricei în curiculumul scolar, doar într-o formă mult redusă. Să fie dați vectorii:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(align)\]

Apoi produsul lor scalar va fi exact suma produselor pe perechi:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Practic, când copacii erau mai verzi și cerul mai strălucitor, am înmulțit pur și simplu vectorul rând $\overrightarrow(a)$ cu vectorul coloană $\overrightarrow(b)$.

Nimic nu s-a schimbat astăzi. Doar că acum există mai mulți dintre acești vectori rând și coloană.

Dar destulă teorie! Să ne uităm la exemple reale. Și să începem cu cel mai simplu caz - matrici pătrate.

Înmulțirea cu matrice pătrată

Sarcina 1. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Deci, avem două matrice: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Este clar că sunt consistente (matricele pătrate de aceeași dimensiune sunt întotdeauna consistente). Prin urmare, efectuăm înmulțirea:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ sfârşit(matrice)\dreapta]. \end(align)\]

Asta e tot!

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Sarcina 2. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Din nou, matrici consistente, deci efectuăm următoarele acțiuni:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ stânga(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(align)\]

După cum puteți vedea, rezultatul este o matrice plină cu zerouri

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Din exemplele de mai sus este evident că înmulțirea matricelor nu este o operație atât de complicată. De macar pentru matrici pătrate de dimensiunea 2 cu 2.

În procesul de calcule, am compilat o matrice intermediară, în care am descris direct ce numere sunt incluse într-o anumită celulă. Este exact ceea ce trebuie făcut atunci când rezolvați probleme reale.

Proprietățile de bază ale produsului matricei

Pe scurt. Înmulțirea matricei:

1. Necomutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ în cazul general. Există, desigur, matrice speciale pentru care egalitatea $A\cdot B=B\cdot A$ (de exemplu, dacă $B=E$ este matricea de identitate), dar în marea majoritate a cazurilor acest lucru nu funcționează ;
2. Asociativ: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Nu există opțiuni aici: stând în apropiere matricele pot fi multiplicate fără să vă faceți griji cu privire la ceea ce se află în stânga și în dreapta acestor două matrici.
3. Distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ și $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (din cauza necomutativității produsului, este necesar să se specifice separat distributivitatea la dreapta și la stânga.

Și acum - totul este la fel, dar mai detaliat.

Înmulțirea prin matrice este în multe privințe similară cu înmulțirea clasică a numerelor. Dar există diferențe, dintre care cea mai importantă este aceea Înmulțirea prin matrice este, în general, necomutativă.

Să ne uităm din nou la matricele din problema 1. Știm deja produsul lor direct:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 și 4 \\ 3 și 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 și 6 \\ 18 & -8 \\\end(matrice) \right]\]

Dar dacă schimbăm matricele, obținem un rezultat complet diferit:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matrix) )\dreapta]\]

Se dovedește că $A\cdot B\ne B\cdot A$. În plus, operația de înmulțire este definită doar pentru matricele consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, dar nimeni nu a garantat că acestea vor rămâne consistente dacă sunt schimbate. De exemplu, matricele $\left[ 2\times 3 \right]$ și $\left[ 3\times 5 \right]$ sunt destul de consistente în ordinea specificată, dar aceleași matrici $\left[ 3\times 5 \right] $ și $\left[ 2\time 3 \right]$ scrise în ordine inversă, nu mai sunt convenite. Trist.:(

Dintre matricele pătrate dimensiune dată$n$ vor exista întotdeauna acelea care dau același rezultat atât atunci când sunt înmulțite direct, cât și în ordine inversă. Cum să descrii toate astfel de matrici (și câte există în general) este un subiect pentru o lecție separată. Nu vom vorbi despre asta azi :)

Totuși, înmulțirea matriceală este asociativă:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Prin urmare, atunci când trebuie să înmulți mai multe matrice la rând simultan, nu este deloc necesar să o faci direct: este foarte posibil ca unele să fie în apropiere matrici în picioare când sunt înmulțite dau rezultat interesant. De exemplu, matrice zero, ca în problema 2 discutată mai sus.

În problemele reale, cel mai adesea trebuie să înmulțim matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Setul tuturor acestor matrici este notat cu $((M)^(n))$ (adică, intrările $A=\left[ n\times n \right]$ și \ înseamnă același lucru) și va conțin în mod necesar matricea $E$, care se numește matrice de identitate.

Definiție. Matrice de identitate de dimensiune $n$ este o matrice $E$ astfel încât pentru orice matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ egalitatea este valabilă:

O astfel de matrice arată întotdeauna la fel: există unele pe diagonala sa principală și zerouri în toate celelalte celule.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Cu alte cuvinte, dacă trebuie să înmulțiți o matrice cu suma altor două, puteți să o înmulțiți cu fiecare dintre aceste „alte două” și apoi să adăugați rezultatele. În practică, de obicei trebuie să facem operația opusă: observăm aceeași matrice, o scoatem din paranteze, facem adunări și astfel ne simplificăm viața :)

Notă: pentru a descrie distributivitatea, a trebuit să scriem două formule: unde suma este în al doilea factor și unde suma este în primul. Acest lucru se întâmplă tocmai pentru că înmulțirea matricelor este necomutativă (și, în general, în algebra necomutativă există o mulțime de lucruri distractive care nici măcar nu-ți vin în minte când lucrezi cu numere obișnuite). Și dacă, de exemplu, trebuie să notați această proprietate într-un examen, atunci asigurați-vă că scrieți ambele formule, altfel profesorul se poate supăra puțin.

Bine, toate acestea au fost basme despre matrici pătrate. Dar cele dreptunghiulare?

Cazul matricelor dreptunghiulare

Dar nimic - totul este la fel ca la cele pătrate.

Sarcina 3. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]\]

Soluţie. Avem două matrice: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ și $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Să notăm numerele care indică dimensiunile pe rând:

După cum puteți vedea, cele două numere centrale coincid. Aceasta înseamnă că matricele sunt consistente și pot fi multiplicate. Mai mult, la ieșire obținem matricea $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrice) \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(matrice) \dreapta]. \end(align)\]

Totul este clar: matricea finală are 3 rânduri și 2 coloane. Destul de $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matrix) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matrix) \\\end(matrice) \right]$.

Acum să ne uităm la una dintre cele mai bune sarcini de antrenament pentru cei care abia încep să lucreze cu matrice. În ea, nu trebuie doar să înmulțiți vreo două tăblițe, ci mai întâi să determinați: este permisă o astfel de înmulțire?

Problema 4. Găsiți toate produsele posibile în perechi ale matricelor:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matrice) \\\end(matrice) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Soluţie. Mai întâi, să notăm dimensiunile matricelor:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Constatăm că matricea $A$ poate fi reconciliată doar cu matricea $B$, deoarece numărul de coloane al lui $A$ este 4 și numai $B$ are acest număr de rânduri. Prin urmare, putem găsi produsul:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Sugerez cititorului să parcurgă pașii intermediari în mod independent. Voi observa doar că este mai bine să determinați dimensiunea matricei rezultate în avans, chiar înainte de orice calcul:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Cu alte cuvinte, pur și simplu înlăturăm coeficienții de „tranzit” care asigurau consistența matricelor.

Ce alte variante sunt posibile? Desigur, se poate găsi $B\cdot A$, deoarece $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, deci perechea ordonată $\ left(B ;A \right)$ este consecvent, iar dimensiunea produsului va fi:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Pe scurt, rezultatul va fi o matrice $\left[ 4\times 4 \right]$, ai cărei coeficienți pot fi calculați cu ușurință:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ stânga[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 și -8 \\\end(matrice) \right]\]

Evident, puteți fi de acord și cu $C\cdot A$ și $B\cdot C$ - și asta este tot. Prin urmare, notăm pur și simplu produsele rezultate:

A fost ușor.:)

Răspuns: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(matrice) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

În general, vă recomand să faceți singur această sarcină. Și încă o sarcină similară, care este în teme pentru acasă. Aceste gânduri aparent simple te vor ajuta să treci peste toate repere cheieînmulțirea matriceală.

Dar povestea nu se termină aici. Să trecem la cazuri speciale de înmulțire :)

Vectori rând și vectori coloană

Una dintre cele mai comune operații cu matrice este înmulțirea cu o matrice care are un rând sau o coloană.

Definiție. Un vector coloană este o matrice de dimensiune $\left[ m\times 1 \right]$, adică. format din mai multe rânduri și o singură coloană.

Un vector rând este o matrice de dimensiune $\left[ 1\times n \right]$, adică. format dintr-un rând și mai multe coloane.

De fapt, am întâlnit deja aceste obiecte. De exemplu, un vector tridimensional obișnuit din stereometrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nu este altceva decât un vector rând. Din punct de vedere teoretic, nu există aproape nicio diferență între rânduri și coloane. Trebuie doar să fiți atenți atunci când vă coordonați cu matricele multiplicatoare din jur.

Sarcina 5. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Soluţie. Aici avem produsul matricelor potrivite: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Haideti sa gasim aceasta piesa:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(matrice) \right]\]

Răspuns: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Sarcina 6. Faceți înmulțirea:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Soluţie. Din nou totul este de acord: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Numărăm produsul:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(matrice) \right]\]

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, atunci când înmulțiți un vector rând și un vector coloană cu matrice pătrată obținem întotdeauna un rând sau o coloană de aceeași dimensiune ca rezultatul. Acest fapt are multe aplicații - de la rezolvare ecuatii lineare la tot felul de transformări de coordonate (care în cele din urmă se reduc și la sisteme de ecuații, dar să nu vorbim despre lucruri triste).

Cred că totul era evident aici. Să trecem la ultima parte a lecției de astăzi.

Exponentiarea matricei

Dintre toate operațiile de înmulțire, exponentiația merită o atenție specială - atunci înmulțim același obiect de mai multe ori. Matricele nu fac excepție; de ​​asemenea, ele pot fi ridicate la diferite puteri.

Astfel de lucrări sunt întotdeauna convenite:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Și sunt desemnate exact în același mod ca grade obișnuite:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(align)\]

La prima vedere, totul este simplu. Să vedem cum arată asta în practică:

Sarcina 7. Ridicați matricea la puterea indicată:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Soluţie. Ei bine, hai să construim. Mai întâi să-l pătram:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(matrice) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 și 1 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Asta e tot.:)

Răspuns: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problema 8. Ridicați matricea la puterea indicată:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Soluţie. Nu plânge acum de faptul că „diploma este prea mare”, „lumea nu este corectă” și „profesorii și-au pierdut complet țărmurile”. De fapt, este ușor:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matrice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matrice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Observați că în a doua linie am folosit asociativitatea înmulțirii. De fapt, l-am folosit în sarcina anterioară, dar era implicit acolo.

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în ridicarea unei matrice la o putere. Ultimul exemplu poate fi rezumat:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Acest fapt este ușor de demonstrat prin inducție matematică sau înmulțire directă. Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să prindem astfel de modele atunci când ridicați la o putere. Prin urmare, fiți atenți: adesea înmulțirea mai multor matrici „la întâmplare” se dovedește a fi mai ușoară și mai rapidă decât a căuta un fel de tipare.

În general, nu căutați un sens mai înalt acolo unde nu există. În cele din urmă, să ne uităm la exponențiarea matricei dimensiune mai mare- cât $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problema 9. Ridicați matricea la puterea indicată:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Soluţie. Să nu căutăm modele. Lucrăm înainte:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matrice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrice) \right]\]

Mai întâi, să punem la pătrat această matrice:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Acum hai să-l cubăm:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matrice)(*(35)(r)) 2 și 3 și 3 \\ 3 și 2 și 3 \\ 3 și 3 și 2 \\\end(matrice) \right] \end(align)\]

Asta e tot. Problema este rezolvată.

Răspuns: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

După cum puteți vedea, volumul calculelor a devenit mai mare, dar sensul nu s-a schimbat deloc.

Aceasta încheie lecția. Data viitoare vom avea în vedere operația inversă: folosind produsul existent vom căuta factorii originali.

După cum probabil ați ghicit deja, vom vorbi despre matrice inversăși metodele de a-l găsi.

Adăugarea matricei:

Scăderea și adunarea matricelor se reduce la operaţiile corespunzătoare asupra elementelor lor. Operație de adăugare a matricei intrat doar pentru matrici aceeași dimensiune, adică pt matrici, în care numărul de rânduri și, respectiv, de coloane este egal. Suma matricelor A și B sunt numite matrice C, ale cărei elemente sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare. C = A + B c ij = a ij + b ij Definit în mod similar diferenta de matrice.

Înmulțirea unei matrice cu un număr:

Operație de înmulțire (diviziune) a matricei de orice dimensiune cu un număr arbitrar se reduce la înmulțirea (împărțirea) fiecărui element matrici pentru acest număr. Produs MatrixȘi se numește numărul k matrice B, astfel încât

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matrice- A = (-1) × A se numește opus matrice A.

Proprietățile adunării matricilor și înmulțirii unei matrice cu un număr:

Operații de adunare a matriceiȘi înmulțirea matriceală pe număr au următoarele proprietăți: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , unde A, B și C sunt matrici, α și β sunt numere.

Înmulțire matrice (produs matrice):

Operația de înmulțire a două matrici se introduce numai pentru cazul în care numărul de coloane din primul matrici egal cu numărul de linii ale celui de-al doilea matrici. Produs MatrixȘi m×n pe matriceÎn n×p, numit matrice Cu m×p astfel încât cu ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , adică se găsește suma produselor elementelor din rândul i matriciȘi la elementele corespunzătoare ale coloanei j-a matrici B. Dacă matrici A și B sunt pătrate de aceeași dimensiune, atunci produsele AB și BA există întotdeauna. Este ușor de arătat că A × E = E × A = A, unde A este pătrat matrice, E - unitate matrice aceeasi dimensiune.

Proprietățile înmulțirii matriceale:

Înmulțirea matricei nu comutativă, adică AB ≠ BA chiar dacă ambele produse sunt definite. Cu toate acestea, dacă pentru vreunul matrici relația AB=BA este satisfăcută, atunci așa matrici se numesc comutative. Cel mai tipic exemplu este unul singur matrice, care face naveta cu oricare altul matrice aceeasi dimensiune. Doar cele pătrate pot fi permutabile matrici de aceeasi ordine. A × E = E × A = A

Înmulțirea matricei are următoarele proprietăți: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinanți ai ordinului 2 și 3. Proprietățile determinanților.

Determinant de matrice ordinul doi, sau determinant de ordinul doi este un număr care se calculează prin formula:

Determinant de matrice ordinul al treilea, sau determinant al treilea ordin este un număr care se calculează prin formula:

Acest număr reprezintă o sumă algebrică formată din șase termeni. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană matrici. Fiecare termen este format din produsul a trei factori.

Semne cu care membrii determinant al matricei incluse în formulă aflarea determinantului matricei al treilea ordin poate fi determinat folosind schema dată, care se numește regula triunghiurilor sau regula lui Sarrus. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și determinați din cifra din stânga, iar următorii trei termeni sunt luați cu semnul minus și determinați din cifra din dreapta.

Determinați numărul de termeni de găsit determinant al matricei, într-o sumă algebrică, puteți calcula factorialul: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Proprietăți ale determinanților matrici

Proprietățile determinanților matricei:

Proprietatea #1:

Determinant de matrice nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, fiecare rând cu o coloană cu același număr și invers (Transpunere). |A| = |A| T

Consecinţă:

Coloane și rânduri determinant al matricei sunt egale, prin urmare, proprietățile inerente rândurilor sunt îndeplinite și pentru coloane.

Proprietatea #2:

La rearanjarea a 2 rânduri sau coloane determinant de matrice va schimba semnul în cel opus, menținând valoarea absolută, adică:

Proprietatea #3:

Determinant de matrice având două rânduri identice este egal cu zero.

Proprietatea #4:

Factorul comun al elementelor oricărei serii determinant al matricei poate fi luat ca un semn determinant.

Corolare din proprietățile nr. 3 și nr. 4:

Dacă toate elementele unei anumite serii (rând sau coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale unei serii paralele, atunci așa determinant de matrice egal cu zero.

Proprietatea #5:

determinant al matricei atunci sunt egale cu zero determinant matriceal egal cu zero.

Proprietatea #6:

Dacă toate elementele unui rând sau coloană determinant prezentată ca o sumă de 2 termeni, atunci determinant matrici poate fi reprezentat ca sumă de 2 determinanţi dupa formula:

Proprietatea #7:

Dacă la orice rând (sau coloană) determinant adăugați elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană), înmulțite cu același număr, apoi determinant matriceal nu își va schimba valoarea.

Exemplu de utilizare a proprietăților pentru calcul determinant al matricei: