Линейную фильтрацию широко используют в системах передачи информации для обработки сигналов, несмотря на то, что во многих случаях необходима нелинейная обработка. Объясняется это прежде всего простотой реализации линейных фильтров, которые сравнительно легко синтезируются и существованием развитой теории их построения, чего нельзя сказать о нелинейных фильтрах.

Линейные фильтры являются неотъемлемой частью любого приемного устройства. С их помощью осуществляется как додетекторная, так и последетекторная обработки сигналов. С помощью линейных фильтров сигналы разделяются в многоканальных системах передачи. Требования к этим фильтрам могут быть весьма различными в зависимости от их назначения. Здесь рассмотрим теорию оптимальной линейной фильтрации.

Пусть сигнал на входе линейного фильтра с импульсной реакцией g(t) представляет сумму переданного сигнала s(t) и помехи n(t)

z(t) = s(t) + n(t). (7.57)

Требуется найти такую функцию g(t)y которая минимизирует средний квадрат ошибки

где s(t) -оценка сигнала на выходе фильтра. Здесь считаем, что время запаздывания сигнала s(t) в фильтре t 0 = 0, а среднее значение берется по ансамблям сигналов S и помех N. Будем полагать, что s(t) и n(t) - стационарные взаимно-некоррелированные процессы с известными энергетическими спектрами G s (f) и G N (f). В такой постановке задача была решена независимо друг от друга академиком А. Н. Колмогоровым (1939 г.) и Н. Винером (1942 г.) и поэтому оптимальный (в указанном смысле) линейный фильтр называют фильтром Колмогорова - Винера. Требование физической реализуемости фильтра, как известно, сводится

к тому, что импульсная реакция фильтра должна удовлетворять условию g(t)=0 для всех t

где область интегрирования γ для физически реализуемого фильтра есть интервал (0, ∞), а для не реализуемых фильтров - (-∞, ∞). Можно доказать, что необходимым и достаточным условием оптимальной линейной фильтрации является условие

(7.60)

для всех τ из γ.

Это означает, что фильтр нужно выбрать так, чтобы ошибка ε (t) = s (t) - S(t) была не коррелирована со входным сигналом Z(i) во все моменты времени в области γ. Если бы имела место корреляция между ошибкой и принимаемым сигналом, то при последующей обработке можно было бы получить лучшую оценку.

Докажем справедливость условия (7.60). Пусть g 1 (t) - импульсная характеристика оптимального фильтра, удовлетворяющего условию (7.60), g 2 (t)-импульсная характеристика любого другого линейного фильтра. Отклики фильтров соответственно обозначим через S 1 (t) и S 2 (t). Тогда

Поскольку функция S (t)- Ŝ 1 (t) = ε(t) удовлетворяет условию(7.60), то

Следовательно,

Очевидно, это выражение будет минимальным, когда Ŝ 2 (t) = Ŝ 1 (t), что и доказывает справедливость условия (7.60). Смысл этого условия состоит в том, что случайный вектор Ṡ должен быть строго ортогональной проекцией Ṡ на линейное подпространство, порождаемое случайным вектором z. Представим условие (7.60) в виде

для всех τ из γ. Отсюда с учетом (7.59)

В том случае, когда сигнал S(t) и помеха n(t) некоррелированы,

(7.61) принимает вид

Это основное интегральное уравнение теории линейной фильтрации называется уравнением Винера - Хопфа. Его решением является искомая функция g(t), минимизирующая средний квадрат ошибки

Не следует путать оптимальные линейные фильтры, определяемые (7.61) или (7.62) с согласованными фильтрами, рассмотренными в § 6.4. Если основное назначение рассматриваемых здесь фильтров состоит в наилучшем воспроизведении неизвестной формы сигнала, то задача согласованных фильтров заключается в формировании максимально возможного пика сигнала известной формы в момент отсчета на фоне шума.

Уравнение (7.62) легко решается для нереализуемых фильтров, т. е. когда γ=(-∞, ∞). Для этого случая, применив преобразование Фурье к обоим частям (7.62), получим в частотной области

G s (f) = k(f). (7.63)

Отсюда коэффициент передачи оптимального линейного фильтра

или в более общем случае, когда учитывается время запаздывания t 0 в фильтре,

Ошибка при этом

Легко заметить, что ошибка

только в том случае, когда G S (f)G N (f) = 0, т. е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются. Во всех других случаях оптимальный фильтр пропускает различные частоты с тем меньшим весом, чем больше отношение G N (f)/G S (f) при данной частоте.

Увеличивая время запаздывания t 0 , можно приблизиться к (7.66) и в случае реализуемого фильтра. Задача существенно усложняется, когда требуется, чтобы оптимальный фильтр k(f) был реализуем без существенного запаздывания. Для получения передаточной функции k(f) реализуемого фильтра используют полученное выше решение для γ=(-∞, ∞). С этой целью не реализуемый фильтр (7.65) раскладывают на несколько фильтров и выделяют из него оптимальную реализуемую часть . В общем случае оптимальным по критерию минимума среднеквадратической ошибки является нелинейный фильтр. Исключение представляет случай, когда сигнал и помеха гауссовские, так как для них оптимальный фильтр всегда линеен.

Результаты оптимальной фильтрации можно существенно улучшить, если применить так называемое предыскажение сигнала с последующей его коррекцией на приеме. Сущность метода предыскажения состоит в том, что на передающей стороне сигнал s(t) пропускается через фильтр с коэффициентом передачи k 1 (f). Полученный таким образом видоизмененный сигнал s"(i) передается по каналу. На приемной стороне включен другой фильтр k 2 (f). Характеристики фильтров k 1 (f) и k 2 {f) выбираются так, чтобы обеспечить минимум среднеквадратической ошибки. Расчеты показывают, что предыскажение дает тем больший выигрыш, чем меньше относительная ширина полосы перекрытия спектров сигнала и помехи. Предыскажение позволяет перераспределить мощность полезного сигнала в полосе частот канала так, чтобы обеспечить лучшие условия согласования источника сигнала с каналом (в общем случае полезно стремиться к тому, чтобы сумма спектральных плотностей мощности сигнала и мощности помехи была постоянной в пределах полосы частот канала). Это означает, что предыскажение можно рассматривать как "линейное кодирование" непрерывного сигнала, позволяющее уменьшить ошибку и улучшить использование пропускной способности канала.

Линейное предыскажение широко используется в современных системах связи. Характерными в этом отношении являются системы, в которых используется частотная модуляция. Согласно (7.41) плотность мощности шума на выходе ЧМ демодулятора увеличивается пропорционально квадрату частоты, так что верхние частотные составляющие сообщения подвержены шумам сильнее, чем нижние. Метод предыскажения и последующие коррекции позволяет снизить шум на верхних частотах и тем создать примерно одинаковые условия для передачи как нижних, так и верхних частот сообщения.

Следует отметить, что в результате предыскажений формируется новый сигнал с необходимыми свойствами. Так, например, в радиовещании и многоканальной радиорелейной и спутниковой связи с частотной модуляцией несущей используется предыскажение, близкое к дифференцированию. В этом случае на вход частотного модулятора поступает не первичный сигнал b(t), как это делается при ЧМ без искажений, а его производная db/dt. Поэтому пропорционально b(t) изменяется не мгновенная частота, а мгновенная начальная фаза несущего колебания, т. е. формируется не ЧМ, а ФМ сигнал. Так как спектр шума на выходе демодулятора ФМ сигнала равномерный (7.39), то тем самым в многоканальных системах обеспечивается одинаковая помехоустойчивость во всех частотных каналах, а в случае радиовещания - более качественное воспроизведение речевых и музыкальных передач } и взаимная КФ В2х ^,к) = М {21хк } .

Ограничиваясь линейными оценками, можно учесть всё многообразие представленных априорных данных с помощью выбора весовых коэффициентов {, } :

где О, - область моментов времени выполненных наблюдений.

Рассмотрим решение задачи построения оптимального в смысле минимума дисперсии ошибки С^к = М {(хк - хк)2 } линейного алгоритма оценивания х, = ^ §1к21 изменяющегося параметра

хк. Такой алгоритм нахождения оптимальных оценок с помощью весового суммирования наблюдений называют фильтром Колмогорова-Винера, или дискретным фильтром Винера .

После элементарных преобразований получим следующее выражение для дисперсии ошибки алгоритма с произвольными весовыми коэффициентами {8г к } :

= "1к + М \ X X ёг,к ё],к ^ ^ - 2к X ёг,к ^

[ Ок ] е °к г е Ок

Для поиска оптимальных весовых коэффициентов {, / е О к } , минимизирующих дисперсию

ошибки оценивания, продифференцируем по {81 к, / е О к} и приравняем производные нулю. Получим следующую систему уравнений:

М \(X -Хк | = 0, г"е,

м {(хк - Хк)2/ } = 0, / е Бк,

показывающих, что ошибка оптимального оценивания Бк = Хк - Хк и каждое из используемых наблюдений {2 1, / е Ок } должны быть некоррелированны. Это условие называют принципом ортогональности ошибки и наблюдений, или леммой об ортогональном проектировании . После вычисления математического ожидания полученная система линейных уравнений

X 8]лВг(/,]) = Бгх(/,к), гейк С1)

в качестве коэффициентов содержит значения КФ Б2(/,]) = М {212.} СП 21,22,...,2к,... и взаимной КФ Б2х(/,к) = М {21Хк} СП 21,22,...,2к,... и СП Х1,Х2,...,Хк,... Систему уравнений (1)

называют уравнениями Винера-Хопфа для дискретного времени. С учётом (1) легко находится и минимально достижимая в условиях рассматриваемой задачи дисперсия ошибки оценивания:

"1к ="Хк ^ 8кБ2х (К к) .

При небольшом числе элементов в области индексов Ок можно решить систему уравнений (1) и найти оптимальные весовые коэффициенты {81к, г е О к } . Однако для нестационарных СП необходимо будет находить {§г к, / е О к } для каждого к -го шага оценивания, что может вызвать значительные вычислительные проблемы даже для скалярной СП Х^,Х2,...,Хк,... Решение значительно упрощается для стационарных СП, наблюдаемых на фоне аддитивных помех. В этом случае 2 к = Хк + пк,

БхХ (г, к) = М {2/Хк} = М {Х/Хк} = Бх (г - к), Бг (г, ]) = М {2 2]} = Бх(г - ]) +

(л т П, если I = ],

М {п п } = Бх (г - ]) + (г - ]), ^ (г - ]) = \ " . ^ ^ } Бх (г - ]) = Бх (г), г е О.

Для бесконечного интервала наблюдений О: (-от < i < от) можно воспользоваться теоремой о свертке и тогда, после 2 -преобразования, получим

Н (2)(С + ^ (2)) = ^ (2)

Н (2) = F (2)/(с2 + F (2))

где ^ (2) = Е Вх (у) 2 У, Н(2) = Е ^у 2 у. Чтобы найти весовые коэффициенты, необхо-

у=-от у=-от

димо воспользоваться обратным 2 -преобразованием:

8у = 2- Н (2) 2^2,

где С - единичная окружность на плоскости комплексного переменного, а минимально достижимая дисперсия ошибки

С = С - Е ^у Вх (у) = С^0.

ше задачи нахождения коэффициенте экспоненциальной КФ Вх (у) = с^р информационной СП. Тогда

Рассмотрим точное решение задачи нахождения коэффициентов дискретного фильтра Винера для

от от от Л 2

^(2) = X СР2 = Сх2(р / 2)у + Сх2;^(Р2)у+ = --Р -1 .

у у у (1 -рг)(1 -рг)

Весовая характеристика оптимального фильтра

^у = ^§ Н(2)2у-11 = д (а -ТО2!)у

у 2пС V1 + * + 2 д (1 + р2)/(1 - Р2Г;

где а = (д(1 - р2) + (1 + р2)) /2р, легко находится, например, с помощью вычетов подынтегральной функции. Анализ весовых коэффициентов ^., у = 0, ± 1, ± 2, ... , показывает, что синтезированная структура оценивания является физически нереализуемой, так как для нахождения опти-

мальных оценок хк = §у2у-к необходимо использовать не только предшествующие ххк наблю-

дения 21, 22, ..., 2к, но и все последующие наблюдения 2к+1, 2к 2, ... Можно реализовать приближение к оптимальной оценке с помощью запоминания части наблюдений и взвешивания в скользя-

щем окне ххк = Е §у-2у_к, содержащем 2N +1 элемент. Такая реализация приведёт к задержке

получения оценок на N тактовых интервалах, а также к потерям в эффективности фильтрации за счёт потери информации, содержащихся в отброшенных наблюдениях. Для оценки величины таких потерь можно сравнить дисперсию ошибки фильтрации в скользящем окне с минимально достижимой величиной

2 2 2 д С£ = С g0 = С ■ " . (4)

Д2 + 2 д(1 + р2)/(1 - р2)

Оптимальный реализуемый дискретный фильтр

Для получения физически реализуемого алгоритма оценивания можно воспользоваться известным методом декорреляции наблюдений в непрерывном времени , который можно сформулировать следующим образом. Если бы на вход фильтра поступала последовательность некоррелированных наблюдений, то весовую характеристику можно было бы представить в виде двух компонент

8, у = 0, 1, 2, ... и 8 , у = - 1, - 2, ... , каждая их которых позволяла бы получить две незави-

симые оценки параметра. Оставляя только одну из них, можно найти структуру Хк = 8у2

тимального реализуемого фильтра. Воплощение этой идеи возможно с помощью преобразования СП наблюдений 2к = Хк + Пк, имеющих спектр Г2 + Р(2) = ¥(2)¥*(2) , декоррелирующим фильтром с передаточной функцией Но = 1/ ¥(2) . Действительно, после прохождения СП наблюдений 2к = Х^ + Пк через декоррелирующий фильтр получим СП Т]к с равномерным энергетическим спектром

Г2 + Р (2) = (Г2 + Р (2)) | Н о(2)|2 = ¥ (2)¥*(2) Н о(2) Н*(2) = 1

и КФ у) = 8К(у). Заметим также, что при этом не происходит потери информации о значении параметра Хк, поскольку исходная СП 2к = Хк + Пк может быть в принципе восстановлена из СП

Пк с помощью обратного преобразования.

Таким образом, появляется возможность решения задачи оптимальной реализуемой фильтрации по схеме, представленной на рис. 1.

Декоррелятор 771 Линейный фильтр

Рис. 1. Оптимальное оценивание на основе декорреляции

После декоррелирующего преобразования = ^^ 8в1 2^необходимо найти передаточную ха-

рактеристику Н^(2) реализуемого линейного фильтра, преобразующего некоррелированную СП

П, у = 0, 1, 2, ... в оценку хк = X8пу Т)к-у. При этом коэффициенты 8 ,у = 0,1,... опти-

мального линейного преобразования находятся из уравнений Винера-Хопфа (2), записанных применительно к заданным условиям в виде

X - Л = впхХ]),] = 0,1,...

Поскольку для некоррелированной СП п, У = 0, 1, 2, ... КФ Вп(1 - у) = 8К (1 - у), то система распадается на отдельные уравнения, являющиеся её решениями:

хк Е 8« 2 к -1 \=Е 8« вх(1+у), у=0,1,...

После этого с помощью 2 -преобразования можно найти передаточную функцию линейного фильтра (рис. 1)

Н„ (2) = X 8*2- = X X 8*1 Вх (1 + у) 2-

а затем и характеристику оптимального реализуемого дискретного фильтра Винера:

Н (2) = Н0(2) Нп(2).

Покажем возможности синтеза реализуемого фильтра на примере рассмотренной задачи фильтрации стационарной СП Хк с КФ Вх (у) = Г2ру. Для этого представим спектр наблюдений 2к = Хк + Пк в виде двух комплексно-сопряжённых сомножителей:

С" + (2) =с +с (1 -р) =а(1 - в2а(1 -в2)

^ х (1 - Р2-1)(1 - р2) (1 - Р2-1) (1 - Р2)

где коэффициенты в = рС / а2 и

а2 = 0,5с2(1 - р2)

д+тт^+V д2+1+2 д(1+Р)/(1-р2) (1-р)

находятся из условия тождественности полиномов в числителях левой и правой частей представленного разложения. Таким образом, передаточная характеристика выбеливающего фильтра имеет следующий вид:

0 ¥ (2) а(1 - в2_1)"

Весовая функция такого фильтра может быть найдена с помощью интегрирования:

1/ а, если j = 0,

g9 = Ф Н 0(2) 2У_1d2 =

2П С 0 [((в - Р) / а)в 1, если j > 1.

Для рассматриваемого примера

g„ = Е g- В, (i + у) = Е ^сУ"у = сС(Р: Р) Р, у = 0,1,...,

¿=0 ¿=0 авд

Нц(2) = Сх2(р - в)/ авд(1 - р2-1)

и поэтому

Н (2) = Н,(2) Нп(2) = (1- в//рР, gу = (1 - в / Р)ву, у = 0, 1, 2, ... .

Полученное выражение для передаточной функции позволяет представить процесс фильтрации в виде следующего рекуррентного соотношения:

(1 - в 2-1) х, = (1 - в/ Р) 2,

хк = вхк-1 +(1-в/ р) 2к. Таким образом, появляется возможность значительно сократить объём вычислений за счёт замены

весового суммирования х, = g .2 ._к на эквивалентные с точки зрения достижения минимальной

дисперсии ошибки рекуррентные вычисления с минимальным числом операций на каждом к-м шаге оценивания.

Величина дисперсии ошибки

с,2 = С2 = с2 - в) = с2-,-■ 2д о о; (5)

р (1 + д) (1 + ф + 4др2/(^ р2)(1 + д)2)

для физически реализуемых алгоритмов фильтрации оказывается больше, чем (4). Например, при малых д и (1 - р) для нереализуемого фильтра сС / сС - 1 / ^Д + 2д / (1 - р) , а применение (5)

приводит к следующему выражению: сС / сС - 2/(1 + 1 + 2д / (1 - р)) . Сравнение этих формул показывает, что при медленном изменении информационной СП (1 - р) << д дисперсия ошибки (5) в 2 раза больше, чем для нереализуемого фильтра. Это объясняется использованием в реализуемом алгоритме вдвое меньшего числа наблюдений.

Рис. 2. Дисперсия ошибки реализуемого фильтра

Заключение

Основным результатом работы является завершенное изложение теории синтеза и анализа реализуемого и нереализуемого оптимального линейного фильтра в дискретном времени. Представленная методика и рассмотренные примеры будут полезны преподавателям, аспирантам и студентам, изучающим статистическую теорию оптимального приёма сигналов и теорию стохастического управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1941. - Т. 5, №1. - С. 3-14.

2. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. - N. Y. : MIT Press/John Wiley, 1964. - 171 p.

3. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: учебное пособие для вузов. - М. : Радио и связь, 2004. - 608 с.

4. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем: учебное пособие для вузов. -М. : Радиотехника, 2003. - 400 с.

5. Сейдж Э. П., Мелс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении / Пер. с англ.; под ред. Б. Р. Левина. - М. : Связь, 1976. - 495 с.

6. Васильев К. К., Служивый М. Н. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие. - Ульяновск: УлГТУ, 2010. - 170 с.

Васильев Константин Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Телекоммуникации» УлГТУ.

Вольсков Дмитрий Геннадьевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Самолётостроение» ИАТУ УлГТУ. Имеет монографию, научные статьи в журналах ВАК, методические пособия. Поступила 11.03.2016 г. УДК 621.391 К. К. ВАСИЛЬЕВ ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР ВИНЕРА Рассмотрена классическая задача синтеза и анализа фильтра Колмогорова – Винера. Предложен способ синтеза оптимального реализуемого фильтра в дискретном времени. Приведены примеры решения задач синтеза и анализа оптимальных фильтров для случайных последовательностей с экспоненциальной корреляционной функцией. Ключевые слова: случайная последовательность, дисперсия ошибки, корреляционная функция, линейная оценка, фильтр Введение Во многих случаях полезная информация заключена в последовательности значений x1 , x2 ,..., xk изменяющегося в дискретном времени параметра. Для извлечения этой информации используются наблюдения z1 , z2 ,..., zk ,... , являющиеся функциями полезного параметра и помех. При этом на основе наблюдений необходимо дать наилучшую в определённом смысле оценку xˆk = xˆk (z1 , z2 ,..., zk ,...) значений изменяющегося параметра . К этому классу относятся, например, задачи оценивания изменяющихся параметров сигналов и помех в радиолокации, радионавигации и радиосвязи . Решение рассматриваемой задачи для дискретного времени впервые было дано А. Н. Колмогоровым . Построение оптимальных фильтров для непрерывного времени после фундаментального исследования Н. Винера представлено в большом числе работ. При синтезе непрерывного фильтра Винера проблема реализуемости решается достаточно просто на основе выбеливания наблюдений и факторизации передаточной функции. Вместе с тем для дискретного времени методика синтеза реализуемого фильтра, по-видимому, забыта в связи с появлением методов калмановской и квазилинейной фильтрации . В настоящей работе приводятся результаты синтеза и анализа оптимальных нереализуемого и реализуемого линейных фильтров в дискретном времени. Оценки = xˆk Оценивание в дискретном времени xˆk (z1 , z2 ,...,= zk ,...) xˆk (zi , i ∈ Dk) изменяющегося параметра функциями наблюдений { } { zi , i ∈ Dk } , сделанных на интервалах дискретного времени ных задачах для оценивания xk xk являются Dk . В различ- могут использоваться наблюдения, выполненные как до момента i = k , так и после этого момента. Если область Dk содержит моменты дискретного времени i ≤ k , то нахождение оценок вида xˆk = xˆk (z1 , z2 ,..., zk) называется фильтрацией. Оценивание xˆk на основе наблюдений z1 , z2 , ..., zk , zk +1 , ... , zk + m , m ≥ 1, полученных до и после момента i = k , называется интерполяцией, или сглаживанием. Если же i < k , то оценивание будущего значения xˆk xˆ= = xˆk (z1 , z2 , ... , zk −m), m ≥ 1, является экстраполяцией, или проk (z1 , z2 , ... , zi) гнозированием значения xk на основе предшествующих наблюдений. времени Васильев К. К., 2016 Вестник УлГТУ 1/2016 47 Способ получения данных об информационном параметре, как правило, известен и поэтому может быть дано и математическое описание связи наблюдений и значений параметра. Наиболее общим способом такого описания является совместная плотность распределения вероятностей w(z1 , z2 ,..., zk ,..., x1 , x2 ,..., xk ,...) = w(x1 , x2 ,..., xk ,...) w(z1 , z2 ,..., zk ,... / x1 , x2 ,..., xk ,...). При этом w(x1 , x2 ,..., xk ,...) определяет динамику изменения информационной случайной последовательности (СП) x1 , x2 ,..., xk ,... Для гауссовских СП полная информация о динамике СП x1 , x2 ,..., xk ,... может быть задана с помощью корреляционной функции (КФ) Bx (i, j) = M {(xi − mi)(x j − m j)} , i, j = 1, 2,... В рассматриваемых задачах описание процесса изменения параметра xi в дискретном времени xi , i = 1,2,..., k , сочетающий про- имеет принципиальное значение. Правильный выбор модели СП стоту математического представления и адекватность реальным физическим явлениям, зачастую представляет довольно сложную проблему и всегда требует тщательного анализа . Во многих реальных системах осуществляются наблюдения = zi h= (xi , ni), i 1,2,... , зависящие только от текущего значения параметра ностях ni , i = 1,2,... xi и случайной погрешности ni . При независимых погреш- с известными распределениями совместное распределение факторизуется k w(z1 , z2 ,..., zk / x1 , x2 ,..., xk) = ∏ w(zi / xi), и полная информация о способе получения данных i =1 w(zi / xi), i = 1,2,... h(xi , ni), i = 1,2,... . Заметим, что при изменяющихся случайных параметрах наиболее информативным о значении xk , как правило, оказывается наблюдение zk = h (xk , nk) в этот же момент времени. Вклад других наблюдений в результирующую оценку xˆk = xˆk (z1 , z2 ,..., zk ,...) должен зависеть от их числа и временных свойств СП x1 , x2 ,..., xk ,... модели наблюдения и характеристик помех ni , i = 1,2,... . содержится в или функциях Оптимальный линейный фильтр Пусть реализация СП x1 , x2 ,..., xk ,... представляет собой значения изменяющегося в дискретном времени информационного параметра. Будем предполагать, что до проведеи КФ ния наблюдений известны среднее значение = mi M= X (ti) , i 1,2,... { } Bx (i, j) = M {(X (ti) − mi)(X (t j) − m j)} , i, j = 1, 2,... такой СП. Для описания взаимодействия zi = h (xi , ni) скалярных параметров xi и гауссовских некоррелированных помех ni известными предполагаются КФ Bz (i, j) = M { zi z j } и взаимная КФ Bzx (i, k) = M { zi xk } . Ограничиваясь линейными оценками, можно учесть всё многообразие представленных априорных данных с помощью выбора весовых коэффициентов xˆk = {g } : ∑g i∈Dk i ,k i ,k zi , где Dk – область моментов времени выполненных наблюдений. Рассмотрим решение задачи построения оптимального в смысле минимума дисперсии ошибки = σ ε2k M {(xˆk − xk) 2 } линейного алгоритма оценивания xˆk = ∑ gi ,k zi изменяющегося параметра i∈Dk xk . Такой алгоритм нахождения оптимальных оценок c помощью весового суммирования наблюде- ний называют фильтром Колмогорова–Винера, или дискретным фильтром Винера . 48 Вестник УлГТУ 1/2016 После элементарных преобразований получим следующее выражение для дисперсии ошибки алгоритма с произвольными весовыми коэффициентами      2  2 M  ∑ g i ,k zi − xk   = σ ε2k = σ xk + M ∑   i∈Dk где    σ xk2 = M { xk2 } . i∈Dk Для поиска оптимальных весовых коэффициентов ошибки оценивания σ ε2k , продифференцируем σ ε2k {g } : i ,k ∑g j∈Dk i ,k  g j ,k zi z j − 2 xk ∑ g i ,k zi  , i∈Dk  { g , i ∈ D } , минимизирующих дисперсию по { g , i ∈ D } и приравняем производные i ,k k i ,k k нулю. Получим следующую систему уравнений:   M (∑ g j ,k z j − xk) zi  = 0, i ∈ Dk , j D ∈ k   или M {(xˆk − xk) zi } = 0, i ∈ Dk , показывающих, что ошибка оптимального оценивания ε= xˆk − xk и каждое из используемых k наблюдений { zi , i ∈ Dk } должны быть некоррелированны. Это условие называют принципом ортогональности ошибки и наблюдений, или леммой об ортогональном проектировании . После вычисления математического ожидания полученная система линейных уравнений B (i, j) ∑g = j∈Dk j ,k Bzx (i, k), i ∈ Dk z в качестве коэффициентов содержит значения КФ имной КФ Bz (i, j) = M { zi z j } (1) СП z1 , z2 ,..., zk ,... и вза- Bzx (i, k) = M { zi xk } СП z1 , z2 ,..., zk ,... и СП x1 , x2 ,..., xk ,... Систему уравнений (1) называют уравнениями Винера-Хопфа для дискретного времени. С учётом (1) легко находится и минимально достижимая в условиях рассматриваемой задачи дисперсия ошибки оценивания: 2 σ= σ xk2 − ∑ gi ,k Bzx (i, k) . εk i∈Dk При небольшом числе элементов в области индексов найти оптимальные весовые коэффициенты ходимо будет находить {g i ,k , i ∈ Dk } {g i ,k Dk можно решить систему уравнений (1) и, i ∈ Dk } . Однако для нестационарных СП для каждого необ- k -го шага оценивания, что может вызвать значи- тельные вычислительные проблемы даже для скалярной СП x1 , x2 ,..., xk ,... Решение значительно упрощается для стационарных СП, наблюдаемых на фоне аддитивных помех. В этом случае z= xk + nk , k Bzx (i, k)= M { zi xk }= M { xi xk }= Bx (i − k), Bz (i, j)= M { zi z j }= Bx (i − j) + 1, если i = j , + M {ni n j }= Bx (i − j) + σ 2δ K (i − j), δ K (i − j)=  0, если i ≠ j. Таким образом, система уравнений (1) преобразуется к виду: σ 2 gi + Вестник УлГТУ 1/2016 ∑g j∈D j Bx (i −= j) Bx (i), i ∈ D . (2) 49 Для бесконечного интервала наблюдений D: (−∞ < i < ∞) можно воспользоваться теоремой о свертке и тогда, после z -преобразования, получим H (z)(σ 2 + F (z)) = F (z) или где = H (z) F (z) / (σ 2 + F (z)) , ∞ F (z) = ∑ j =−∞ Bx (j) z − j , H (z) = димо воспользоваться обратным ∞ ∑gz j =−∞ −j j . Чтобы найти весовые коэффициенты, необхо- z -преобразованием: 1 gj = H (z) z j −1dz ,  ∫ 2π i C (3) где C − единичная окружность на плоскости комплексного переменного, а минимально достижимая дисперсия ошибки ∞ σ ε2k = σ x2 − ∑ g j Bx (j) = σ 2 g0 . j =−∞ Рассмотрим точное решение задачи нахождения коэффициентов дискретного фильтра Винера для экспоненциальной КФ F (z) = ∞ Bx (j) = σ x2 ρ j информационной СП. Тогда ∞ ∞ j=0 j =1 2 σ x2 ρ z − j σ x2 ∑ (ρ / z) j + σ x= = ∑ ∑ (ρ z) j + σ x2 j j = −∞ Весовая характеристика оптимального фильтра gj = где 1 H (z) z j −1dz =  ∫ 2π i C q 1 + q 2 + 2q (1 + ρ 2) / (1 − ρ 2) α= (q (1 − ρ) + (1 + ρ)) / 2 ρ , 2 2 1− ρ2 . (1 − ρ z)(1 − ρ z −1) (α − α 2 −1) j , легко находится, например, с помощью вычетов подынте- гральной функции. Анализ весовых коэффициентов g j , j = 0, ± 1, ± 2, ... , показывает, что синте- зированная структура оценивания является физически нереализуемой, так как для нахождения оптимальных оценок xˆk = ∞ ∑gz j =−∞ j j −k необходимо использовать не только предшествующие xˆk наблю- дения z1 , z2 , ..., zk , но и все последующие наблюдения zk +1 , zk + 2 , ... Можно реализовать приближение к оптимальной оценке с помощью запоминания части наблюдений и взвешивания в скользящем окне xˆk = N ∑gz j =− N j j −k , содержащем 2N + 1 элемент. Такая реализация приведёт к задержке получения оценок на N тактовых интервалах, а также к потерям в эффективности фильтрации за счёт потери информации, содержащихся в отброшенных наблюдениях. Для оценки величины таких потерь можно сравнить дисперсию ошибки фильтрации в скользящем окне с минимально достижимой величиной 2 g0 σ 2 = σ ε2 σ= q 1 + q 2 + 2q (1 + ρ 2) / (1 − ρ 2) . (4) Оптимальный реализуемый дискретный фильтр Для получения физически реализуемого алгоритма оценивания можно воспользоваться известным методом декорреляции наблюдений в непрерывном времени , который можно сформулировать следующим образом. Если бы на вход фильтра поступала последовательность некоррелированных наблюдений, то весовую характеристику можно было бы представить в виде двух компонент 50 Вестник УлГТУ 1/2016 g j , j = 0, 1, 2, ... и g j , j =−1, − 2, ... , каждая их которых позволяла бы получить две незави∞ симые оценки параметра. Оставляя только одну из них, можно найти структуру xˆk = ∑ g j z j −k оп- j =0 тимального реализуемого фильтра. Воплощение этой идеи возможно с помощью преобразования СП z= xk + nk , имеющих спектр σ 2 + F (z) = Ψ (z)Ψ∗* (z) , декоррелирующим фильтk ром с передаточной функцией H= 1 / Ψ (z) . Действительно, после прохождения СП наблюдений 0 z= xk + nk через декоррелирующий фильтр получим СП ηk с равномерным энергетическим k наблюдений спектром σ 2 + F (z) = (σ 2 + F (z)) H 0 (z) = Ψ (z)Ψ * (z) H 0 (z) H 0* (z) = 1 Bη (j) = δ K (j). Заметим также, что при этом не происходит потери информации о значении 2 и КФ параметра ηk xk , поскольку исходная СП z= xk + nk может быть в принципе восстановлена из СП k с помощью обратного преобразования. Таким образом, появляется возможность решения задачи оптимальной реализуемой фильтрации по схеме, представленной на рис. 1. Рис. 1. Оптимальное оценивание на основе декорреляции ∞ После декоррелирующего преобразования η j = ∑ g вi z j −i необходимо найти передаточную ха- i =0 рактеристику Hη (z) реализуемого линейного фильтра, преобразующего некоррелированную СП η j , j = 0, 1, 2, ... ∞ xˆk = ∑ gη j ηk − j . в оценку При этом коэффициенты j =0 gη j , j = 0,1,... опти- мального линейного преобразования находятся из уравнений Винера-Хопфа (2), записанных применительно к заданным условиям в виде ∞ ∑ gη i =0 i Bη (i= − j) Bη x (= j), j 0,1,... Поскольку для некоррелированной СП η j , j = 0, 1, 2, ... КФ Bη (i − j)= δ K (i − j), то систе- ма распадается на отдельные уравнения, являющиеся её решениями:  ∞  ∞ gη j = Bη x (j) = M { xkη k − j } = M  xk ∑ g вi zk − j −i  = ∑ g вi Bx (i + j) , j = 0,1,... =  i 0=  i 0 После этого с помощью фильтра (рис. 1) z -преобразования можно найти передаточную функцию линейного = Hη (z) а затем H (z) = и характеристику H 0 (z) Hη (z) . ∞ = gη j z − j ∑ =j 0 ∞ ∞ ∑ ∑g =j 0=i 0 оптимального вi Bx (i + j)z − j , реализуемого дискретного фильтра Винера: Покажем возможности синтеза реализуемого фильтра на примере рассмотренной задачи фильтрации стационарной СП z= xk + nk k j xk с КФ Bx (j) = σ x2 ρ . Для этого представим спектр наблюдений в виде двух комплексно-сопряжённых сомножителей: Вестник УлГТУ 1/2016 51 (1 − ρ 2) α (1 − β z −1) α (1 − β z) σ + F (z) = σ +σ = , (1 − ρ z −1)(1 − ρ z) (1 − ρ z −1) (1 − ρ z) 2 2 где коэффициенты β = ρσ / α и (1 + ρ 2) σ x2 2 2 2  2 2 2  , α 0,5σ (1 − ρ)  q + = + q + 1 + 2q (1 + ρ) / (1 − ρ)= , q 2 2 (1) ρ σ −   2 2 2 x находятся из условия тождественности полиномов в числителях левой и правой частей представленного разложения. Таким образом, передаточная характеристика выбеливающего фильтра имеет следующий вид: 1 (1 − ρ z −1) H0 = . = Ψ (z) α (1 − β z −1) Весовая функция такого фильтра может быть найдена с помощью интегрирования: 1 / α , если j = 0,  1 j −1 = H (z) z dz  0 j −1 ∫ 2π i  ((β − ρ) / α) β , если j ≥ 1. C = g вj Для рассматриваемого примера σ x2 (ρ − β) j gη j ∑ g вi Bx (= i + j) ∑ g вiσ= ρ ρ , j 0,1,..., = = αβ q =i 0=i 0 Hη (z) = σ x2 (ρ − β) / αβ q(1 − ρ z −1) ∞ ∞ 2 x i+ j , и поэтому (1 − β / ρ) H (z) = H 0 (z) Hη (z) = , gj = (1 − β / ρ) β j , j = 0, 1, 2, ... . −1 (1 − β z) Полученное выражение для передаточной функции позволяет представить процесс фильтрации в виде следующего рекуррентного соотношения: (1 − β z −1) xˆk = (1 − β / ρ) zk или β xˆk −1 + (1 − β / ρ) zk . xˆ= k Таким образом, появляется возможность значительно сократить объём вычислений за счёт замены ∞ весового суммирования xˆk = ∑ g j z j −k на эквивалентные с точки зрения достижения минимальной j =0 дисперсии ошибки рекуррентные вычисления с минимальным числом операций на каждом k-м шаге оценивания. Величина дисперсии ошибки σ ε2 = σ 2 g 0 = σ 2 (1 − β 2q)= σ2 ρ (1 + q) 1 + 1 + 4q ρ 2 / (1 − ρ 2)(1 + q) 2 () (5) для физически реализуемых алгоритмов фильтрации оказывается больше, чем (4). Например, при малых q и (1 − ρ) для нереализуемого фильтра σ ε2 / σ x2  1 / 1 + 2q / (1 − ρ) , а применение (5) σ ε2 / σ x2  2 / (1 + 1 + 2q / (1 − ρ)) . Сравнение этих формул показывает, что при медленном изменении информационной СП (1 − ρ) << q дисперсия ошиб- приводит к следующему выражению: ки (5) в 2 раза больше, чем для нереализуемого фильтра. Это объясняется использованием в реализуемом алгоритме вдвое меньшего числа наблюдений. 52 Вестник УлГТУ 1/2016 Рис. 2. Дисперсия ошибки реализуемого фильтра Заключение Основным результатом работы является завершенное изложение теории синтеза и анализа реализуемого и нереализуемого оптимального линейного фильтра в дискретном времени. Представленная методика и рассмотренные примеры будут полезны преподавателям, аспирантам и студентам, изучающим статистическую теорию оптимального приёма сигналов и теорию стохастического управления. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Математика. – 1941. − Т. 5, №1. − С. 3−14. 2. Wiener N. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series. – N. Y. : MIT Press/John Wiley, 1964. − 171 p. 3. Тихонов В. И., Харисов В. Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем: учебное пособие для вузов. – М. : Радио и связь, 2004. – 608 с. 4. Перов А. И. Статистическая теория радиотехнических систем: учебное пособие для вузов. – М. : Радиотехника, 2003. – 400 с. 5. Сейдж Э. П., Мелс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении / Пер. с англ.; под ред. Б. Р. Левина. – М. : Связь, 1976. – 495 с. 6. Васильев К. К., Служивый М. Н. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие. – Ульяновск: УлГТУ, 2010. – 170 с. Васильев Константин Константинович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Телекоммуникации» УлГТУ. Поступила 14.03.2016 г. Вестник УлГТУ 1/2016 53

Если предположить, что критерий оптимальности определяется квадратической функцией от разности между желаемой величиной и выходом фильтра, а фильтр линеен и описывается уравнением свертки, то мы придем к задаче определения оптимального фильтра Колмогорова - Винера. Решение этой задачи сводится к минимизации функционала

Аналитический подход, при котором используется вариационное исчисление и корреляционная теория, приводит к уравнению типа Винера-Хопфа или к эквивалентной краевой задаче, которая решается методом факторизации. Сравнительная компактность окончательного результата, определяющего импульсную характеристику или соответствующую ей передаточную функцию оптимального фильтра, создает иллюзию простоты вычислений этих оптимальных характеристик. На самом деле это далеко не так. Большой объем вычислений падает на определение соответствующих корреляционных функций и спектральных плотностей по реализациям. Эти последние почему-то всегда считаются заданными, причем, как правило, в довольно простой форме. Нельзя ли миновать этот этап и определять оптимальные характеристики фильтра непосредственно по реализациям? Оказывается, это возможно, если использовать адаптивный подход.

Будем искать оптимальную импульсную характеристику в виде . Подставляя ее в (6.32), получаем

где, очевидно,

(6.34)

Теперь можно обычным способом осуществить минимизацию по . При этом мы получаем систему линейных уравнений относительно , коэффициенты и правые части которой выражены через текущие корреляционные функции. Непрерывное решение этой системы уравнений и определяет с течением времени оптимальное значение , а значит, и

(6.35)

Применение алгоритма адаптации, например,

(6.36)

позволяет значительно упростить устройство адаптации. Аналогичным образом можно рассмотреть с позиции адаптации очень интересный подход для решения подобных задач, который успешно развивался Р. Калманом.