ts01.doc

La modelarea semnalelor și sistemelor, valoarea funcției de salt în punctul t=0 este de foarte multe ori luată egală cu 1, dacă aceasta nu are o importanță fundamentală.

Funcția single hop este utilizată pentru a crea modele matematice ale semnalelor cu durată finită. Când înmulțiți orice funcție arbitrară, inclusiv una periodică, cu undă pătrată, format din două funcții succesive de salt de unitate

S(t) = (t) - (t-T),

O secțiune este tăiată din ea pe intervalul 0-T, iar valorile funcției în afara acestui interval sunt setate la zero.

Funcția Kronecker. Pentru sistemele discrete și digitale, rezoluția argumentului semnal este determinată de intervalul său de eșantionare t. Acest lucru permite utilizarea unui analog integral discret al funcției delta ca un singur impuls - funcția unei singure citiri (kt-nt), care este egală cu 1 la punctul de coordonate k = n și zero în toate celelalte puncte . Funcția (kt-nt) poate fi definită pentru orice valoare t = const, dar numai pentru valori întregi ale coordonatelor k și n, deoarece alte numere de eșantion din funcții discrete nu exista.

Expresiile matematice (t-) și (kt-nt) sunt numite și impulsuri Dirac și Kronecker. Cu toate acestea, folosind această terminologie, să nu uităm că acestea nu sunt doar impulsuri unice la punctele de coordonate  și nt, ci funcții de impuls la scară completă care determină atât valorile impulsului la anumite puncte de coordonate, cât și valori zero pentru toate celelalte coordonate, în limita de la - la .

^ 1.3. Sisteme de conditionare a semnalului

Semnalele, sub orice formă de reprezentare materială, conțin anumite informații utile. Dacă în timpul conversiei semnalului există o încălcare a informațiilor conținute în ele (pierdere parțială, o modificare cantitativă a raportului dintre componentele sau parametrii informațiilor etc.), atunci astfel de modificări sunt numite distorsiuni semnal. Dacă informațiile utile rămân neschimbate sau adecvate conținutului din semnalul de intrare, atunci se apelează astfel de modificări transformări semnal.

Se efectuează transformări matematice ale semnalelor în vederea obținerii unora Informații suplimentare, inaccesibil în semnalul original sau extras din semnal de intrare informații utile și să le facă mai accesibile pentru măsurători ulterioare ale oricăror parametri, transmisie prin canale de comunicație etc. Semnalul convertit este de obicei numit transformant al semnalului original.

Orice modificări ale semnalelor sunt însoțite de o modificare a spectrului lor și, în funcție de natura acestei modificări, ele sunt împărțite în două tipuri: liniare și neliniare. La neliniară includ modificări în care apar (introduce) componente noi armonice care sunt absente în semnalul de intrare în alcătuirea spectrului de semnal. La liniar modificările semnalului modifică amplitudini și/sau fazele inițiale componentele armonice ale spectrului (până la suprimarea completă a anumitor armonici din semnal). Ambele pot apărea modificări de semnal liniare și neliniare Informatii utile, și cu distorsiunea ei. Acest lucru depinde nu numai de natura modificării spectrului semnalului, ci și de compoziția spectrală a informațiilor cele mai utile.

Conceptul general de sisteme. Conversia și procesarea semnalului se realizează în sisteme. Conceptele de semnal și sistem sunt inseparabile, deoarece orice semnal există în cadrul unui sistem. Sistemul de procesare a semnalului poate fi implementat atât sub formă materială ( dispozitiv special, un dispozitiv de măsurare, un set de obiecte fizice cu o anumită structură de interacțiune etc.), și în mod programatic pe un computer sau orice alt dispozitiv de calcul specializat. Forma de implementare a sistemului nu este esențială și determină doar capacitățile acestuia în analiza și procesarea semnalelor.

Orez. 1.3.1. Reprezentarea grafică a sistemului.
Indiferent de scop, sistemul are întotdeauna intrare, căruia i se aplică un semnal extern de intrare, în cazul general, multidimensional, și Ieșire, din care este preluat semnalul de ieșire procesat. Sistemul în sine este operator de sistem(algoritm) pentru transformarea semnalului de intrare s(t) – impact sau excitare, în semnalul de la ieșirea sistemului y(t) – raspuns sau reacție de ieșire sisteme. Denumirea simbolică a operației de transformare (transformare semnal): y(t) = T.

Operator de sistem T este un set de reguli pentru transformarea unui semnal s(t) într-un semnal y(t). Deci, de exemplu, în cel mai simplu caz, o astfel de regulă poate fi un tabel pentru recodificarea semnalelor de intrare în semnalele de ieșire.

Pentru semnalele de intrare deterministe, relația dintre semnalele de ieșire și de intrare este întotdeauna specificată în mod unic de către operatorul de sistem. În cazul implementării la intrarea sistemului proces aleatoriu are loc o modificare a caracteristicilor statistice ale semnalului (aşteptare matematică, dispersie, funcţie de corelare etc.), care este determinată şi de operatorul de sistem.

Pentru o definiție completă a sistemului, este necesar să se specifice natura, tipul și domeniul valorilor permise ale semnalelor de intrare și de ieșire. În funcție de tipul de procesare a semnalelor de intrare, acestea sunt de obicei împărțite în sisteme de timp continuu pentru procesarea semnalului în timpul măsurătorilor și sisteme digitale pentru prelucrarea datelor înregistrate pe medii intermediare. Combinația dintre operatorul de sistem T și zonele semnalelor de intrare și de ieșire formează un model matematic al sistemului.

Sisteme liniare și neliniare constituie două clase principale de sisteme de procesare a semnalului.

Termenul de liniaritate (liniar) înseamnă că sistemul de conversie a semnalului trebuie să aibă un caracter arbitrar, dar obligatoriu conexiune liniarăîntre semnalul de intrare (excitaţie) şi semnalul de ieşire (răspuns) cu anumită schimbare compoziția spectrală a semnalului de intrare (amplificarea sau suprimarea anumitor componente de frecvență ale semnalului). În sistemele neliniare (neliniare), relația dintre semnalul de intrare și de ieșire este determinată de o lege neliniară arbitrară cu adăugarea conținutului de frecvență al semnalului de intrare cu componente de frecvență care sunt absente în semnalul de intrare.

Sisteme staționare și non-staționare. Sistemul este considerat staționar și are parametrii constanți , dacă proprietățile sale (algoritmul matematic al operatorului de transformare) în cadrul preciziei date nu depind de semnalele de intrare și de ieșire și nu se modifică nici în timp, nici de la alți factori externi. În caz contrar, sistemul este nestaționar și este numit parametrice sau sistem cu parametri variabili. Printre cele mai recente mare importanță au așa-numitele sisteme adaptive de prelucrare a datelor. În aceste sisteme, de exemplu, anumiți parametri ai semnalelor de intrare și de ieșire sunt evaluați, iar pe baza rezultatelor comparării lor, parametrii de conversie (răspunsul tranzitoriu ai sistemului) sunt ajustați astfel încât să ofere condiții optime de procesare a semnalului în termenii de performanță sau minimizați eroarea de procesare.

Operațiuni de bază ale sistemului. Operațiile liniare de bază, din care se pot forma orice operatori de transformare liniară, includ operațiile de înmulțire scalară, deplasare și adăugare a semnalelor:

Y(t) = c  s(t), y(t) = s(t-t), y(t) = a(t)+b(t).

Pentru sistemele neliniare, evidențiem un tip important de operații fără inerție de transformare a semnalului neliniar, ale căror rezultate depind doar de valorile sale de intrare. Acestea includ, de exemplu, operațiile de pătrat și logaritmul semnalului:

Y(t) = 2, y(t) = log.

Sisteme liniare. Un sistem este considerat liniar dacă răspunsul său la semnalele de intrare este aditiv (principiul suprapunerii semnalelor este îndeplinit) și omogen (principiul similarității proporționale este îndeplinit). Cu alte cuvinte, răspunsul unui sistem liniar la o sumă ponderată a semnalelor de intrare trebuie să fie egal cu suma ponderată a răspunsurilor la semnalele individuale de intrare, indiferent de numărul acestora și pentru orice coeficienți de ponderare, inclusiv cele complexe.

În implementarea software a sistemelor liniare pe un computer, de regulă, nu există dificultăți deosebite în asigurarea liniarității în limite rezonabile ale valorilor semnalelor de intrare și de ieșire. Odată cu implementarea fizică (hardware) a sistemelor de procesare a datelor, gama de semnale de intrare și ieșire, în care este asigurată liniaritatea conversiei semnalului, este întotdeauna limitată și trebuie stipulată în mod special.

Invarianța la forfecare a sistemelor. Se spune că un sistem este invariant de deplasare dacă o schimbare a semnalului de intrare în termeni de argumente (coordonate de timp, spațiu etc.) determină o schimbare corespunzătoare a semnalului de ieșire:

Y(x,t) = T, T = y(x-x,t-t).

Aceasta înseamnă că forma semnalului de ieșire depinde doar de semnalul de intrare și nu depinde de momentul în care semnalul ajunge la intrarea sistemului. Invarianța la forfecare a sistemului este una dintre confirmările constantei parametrilor săi.

Sisteme liniare care sunt invariante la schimbare. Liniaritatea și invarianța la forfecare sunt proprietăți independente ale sistemelor și nu se determină reciproc. De exemplu, operația de pătrare a semnalului este invariantă de deplasare, dar neliniară.

În teoria analizei și prelucrării datelor, locul principal este ocupat de sistemele care sunt liniare și invariante la deplasare (LIS - sisteme). Au posibilități practice destul de largi, cu relativa simplitate a aparatului matematic. În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, vom avea în vedere doar astfel de sisteme.

Avantajul acordat sistemelor LIS în metodele de procesare a informațiilor se bazează pe posibilitatea de a descompune semnalul de intrare al oricărui, în mod arbitrar. formă complexă, în componentele celor mai simple forme, răspunsul sistemului la care este cunoscut și bine studiat, cu calculul ulterior al semnalului de ieșire ca sumă a răspunsurilor la toate componentele semnalului de intrare. Ca cele mai simple forme de descompunere a semnalului, de regulă, sunt utilizate impulsuri individuale și componente armonice. Descompunerea în impulsuri individuale este utilizată în reprezentarea dinamică a unui semnal în funcție de argumente fizice reale (timp, coordonate etc.) și folosește operația de convoluție. Descompunerea în componente armonice folosește reprezentarea spectrală (frecvența) a semnalului și transformata Fourier.

Orez. 1.3.2 Conexiuni la sistem.
Conexiuni LIS - sisteme . Cu o conexiune în serie (în cascadă) a sistemelor, semnalul de ieșire al unui sistem servește ca semnal de intrare pentru al doilea și așa mai departe. în funcţie de numărul de componente ale sistemelor în cascadă. În raport cu operațiunea generală de transformare a sistemului, ordinea de conectare a sistemelor incluse în aceasta nu contează. Deci, pentru două sisteme conectate în serie din Fig. 1.3.2:

Y(t) = T2] = T1].

Cu o conexiune paralelă, semnalul de intrare ajunge simultan la intrările tuturor sistemelor componente, iar semnalele de ieșire ale sistemelor sunt rezumate:

Y(t) = T1 + T2 + ... + T N .

Sistemele formate ca urmare a conexiunilor în ansamblu sunt, de asemenea, sisteme LIS, dacă sistemele incluse în ele sunt liniare și invariante la deplasare.

Diagrama generalizată a sistemului procesarea semnalului digital din fig. 1.3.3 este dat ca exemplu.

Orez. 1.3.3. Schema structurala sisteme de diferențiere a semnalului.

^ 1.4. capacitatea de informare semnale

Volumul de informații aflate în circulație și necesare funcționării și dezvoltării societății moderne crește aproximativ proporțional cu pătratul dezvoltării forțelor productive. În țările cu dezvoltare științifică și tehnologică avansată ale lumii, ponderea forței de muncă implicate în colectarea, prelucrarea și furnizarea de informații depășește ponderea forței de muncă din sectorul de producție. Utilizarea metodelor și instrumentelor de automatizare în toate etapele circulației informației, organizarea eficientă a stocării, prelucrării și schimbului acesteia, devin din ce în ce mai importante ca principală condiție pentru funcționarea cu succes a economiilor țărilor.

Conceptul de informare. În prezent, nu există o înțelegere general acceptată și lipsită de ambiguitate a termenului „Informații”. Gama conceptelor existente este foarte largă, de la filozofic general - informația este o reflectare a lumii reale, până la practic - informația este informația care face obiectul stocării, transmiterii și transformării. De asemenea, există diferențe în ceea ce privește problema locului informației în lumea materială. Este o proprietate a obiectelor individuale sau rezultatul interacțiunii lor? Informația este inerentă tuturor tipurilor de materie sau doar într-un anumit fel materie organizată?

În informatică, informația este înțeleasă, de regulă, ca un set de informații cu conținut semantic care poate fi colectat, prelucrat, transmis etc. Mai mult decât atât, informația în sensul original al cuvântului latin informatio, și nu datele sau semnalele sunt purtătoarea acestor informații. În această înțelegere, procesele de extragere a informațiilor din date și de interpretare a acestora sunt indisolubil legate de mintea, iar rezultatul final al prelucrării și perceperii informațiilor cu ajutorul minții este dezvăluirea incertitudinii cunoștințelor despre orice obiect, fenomen sau proces. Dar cu această abordare, însuși conceptul de rațiune este estompat.

Pe de o parte, existența oricărei ființe vii se menține atâta timp cât organele sale de simț (senzorii) funcționează, transformând efectele fizice ale lumii înconjurătoare în semnale care afișează date despre aceste efecte în formă materială. Datele sunt colectate și interpretate anumit sistem, pe care în forma sa cea mai generală o numim „rațiune”, din valoare totală din date se extrag anumite informatii, se reduce gradul de incertitudine cu privire la mediu, iar... vulpea desface urma iepurii. O ființă vie există atâta timp cât este capabilă să perceapă și să proceseze influențele externe și interne. Nu există nicio îndoială că în comunitățile colective membrii săi nu numai că sunt capabili să colecteze și să proceseze informații, ci și să le transmită altor membri ai comunității, cum ar fi, de exemplu, într-o colonie de albine, calea exactă către o matrice productivă de flori. . În acest sens, dansul informațional al albinei nu este în niciun caz inferior mesajului telegrafic în ceea ce privește compactitatea conținutului. Desigur, în forma simbolică adoptată de albine.

Pe de altă parte, dacă informația este indisolubil legată de „mintea”, atunci în acest caz este imposibil să negați „mintea” și electronica. calculatorînvingând campionul mondial la șah, precum și orice dispozitive de cibernetică tehnică, deoarece toate au sisteme de colectare, transmitere, acumulare, stocare și procesare a informațiilor de diferite grade de complexitate și, pe baza acestor informații, sunt capabile să genereze feedback semnale pentru a controla anumite procese.

În ramurile tehnice ale cunoașterii, unde problemele relației informației cu mintea nu sunt pe primul loc, înțelegerea informației predomină sub forma unei reflectări a unei proprietăți atât de universale a materiei precum diversitatea, ca caracteristici ale organizarea internă a sistemelor materiale, proceselor sau fenomenelor într-o varietate de stări care sunt posibile pentru acestea. În această interpretare, informația există indiferent dacă este percepută de vreun „motiv” sau nu și este una dintre proprietățile obiectelor materiale. „Informația este informație, nu materie sau energie” (Norbert Wiener). Această proprietate are într-o oarecare măsură un caracter potențial. Informația se poate manifesta în interacțiunea obiectelor sau proceselor, poate apărea (crea) și poate dispărea (distruge).

Dar chiar și în această interpretare apar multe întrebări, la care este dificil să se ofere răspunsuri fără ambiguitate. O insectă din perioada terțiară, în prezent necunoscută oamenilor de știință, s-a lipit de o picătură de rășină dintr-un copac conifer. Strat nou insectă acoperită cu rășină. Copacul a căzut și a fost acoperit cu nisip. Rășina s-a transformat în chihlimbar. Chihlimbarul poate conține informatii complete despre o insectă, deoarece conține zeci de mii de fragmente de ADN - informații suficiente pentru a restabili ADN-ul și a reproduce insecta, dacă nu în prezent, atunci în viitorul apropiat. Dar când a apărut? La momentul apariției unei insecte cu ADN-ul ei? În momentul lipirii de rășină? În momentul pietrificării? Se poate vorbi despre apariția informațiilor dacă nu exista încă un subiect capabil să extragă și să utilizeze aceste informații? În cele din urmă, a fost găsită o chihlimbar cu o insectă și a atras atenția unui paleontolog. A fost identificată o nouă specie de insecte. Primul informație parțială? Deci poate că informațiile apar doar cu un impact activ și intenționat asupra obiectului cercetării? Și dacă chihlimbarul s-a dovedit a fi opac și s-a topit? A dispărut informația? Și putem presupune că a fost deloc?

Răspunsurile la aceste întrebări și la întrebări similare gravitează spre doi poli și, în esență, spre două poziții filozofice diametral opuse.

Susținătorii primei poziții înțeleg prin informație doar ceea ce poate fi perceput, prelucrat, înțeles și utilizat, adică. este un produs al procesului de colectare, organizare, sistematizare și utilizare a informațiilor despre obiectele și procesele materiale.

Poziția opusă este conceptul de informație ca proprietate a obiectelor și proceselor de a percepe și procesa starea internă și influența externă a mediului, de a stoca rezultatele acesteia și de a le transfera către alte obiecte. Din această poziție, toate obiectele și procesele materiale sunt surse, purtători și consumatori de informații, pe baza cărora are loc dezvoltarea lumii reale. În esență, aceasta corespunde acceptării materialității informațiilor și baza de informatii univers.

Cu incertitudinea însuși conceptului de informație, se poate considera destul de rezonabil că informația se manifestă, se stochează și se transmite de la un obiect la altul într-o formă material-energie sub formă de semnale. un semnal ca purtător de material informație, poate exista orice proces fizic (electric, magnetic, optic, acustic etc.), anumiti parametri care (amplitudine, frecvență, energie, intensitate etc.) afișează în mod unic date informaționale (mesaje).

O măsură cantitativă a informațiilor. Teoria oricărui fenomen începe cu apariția unor relații cantitative între obiectele cercetării, i.e. la stabilirea principiilor de măsurare a oricăror proprietăţi ale obiectelor. Unitatea de măsură cantitativă a informației - BIT (abreviere cifră binară - Cifră binară), a fost propus pentru prima dată de R. Hartley în 1928. 1 bit este informații despre două stări posibile la fel de probabile ale obiectului, incertitudinea alegerii dintre două evenimente la fel de probabile. Matematic, aceasta este reprezentată de starea 1 sau 0 a unui bit sistem binar socoteala. Cantitatea de informație H (în biți), necesară și suficientă pentru a elimina complet incertitudinea stării unui obiect care are N stări la fel de posibile, este măsurată ca logaritm de bază 2 al numărului de stări posibile:

H = log 2 N. (1.4.1)

În consecință, codul informatic numeric binar al uneia dintre cele N stări posibile ale obiectului ocupă N biți.

Exemplu. Este necesar să ridicați sarcina la un anumit etaj al unei clădiri cu 16 etaje (numerotarea etajelor 0-15, N = 16). Câte biți de informații definesc complet o sarcină?

H = log 2 N = log 2 16 = 4.

Prin urmare, 4 biți de informații sunt necesari și suficienți pentru a elimina complet incertitudinea alegerii. Acest lucru poate fi verificat prin aplicarea logicii calculului cu înjumătățirea succesivă a intervalelor de stare. De exemplu, pentru etajul 9:

1. Deasupra etajul 7? Da = 1. 2. Deasupra etajul 11? Nu = 0.

3. Deasupra etajul 9? Nu = 0. 4. Deasupra etajul 8? Da = 1.

Concluzia: etajul numărul 9 sau 1001 in calcul binar, patru cifre binare.

Dacă în exemplul de mai sus există 4 apartamente la etaje cu numerotarea la fiecare etaj 0-3 (M = 4), atunci când se adresează încărcăturii către apartament, vor fi necesare încă 2 biți de informații. Același rezultat obținem dacă, în loc de numerotarea independentă a etajelor și apartamentelor pe etaje (două surse de incertitudine), avem numerotarea continuă a apartamentelor (sursă generalizată):

H = log 2 N + log 2 M = log 2 16 + log 2 4 = 6  log 2 (N  M) = log 2 64 = 6,

Acestea. cantitatea de informație îndeplinește cerința de aditivitate: incertitudinea sursei combinate este egală cu suma incertitudinilor surselor originale, ceea ce corespunde cerinței intuitive de informare: trebuie să fie lipsită de ambiguitate, iar cantitatea sa trebuie să fie aceeași indiferent de metoda de setare.

Baza logaritmului nu are o importanță fundamentală și determină doar scara sau unitatea de incertitudine. Deci, dacă trei stări la fel de probabile sunt luate ca unitate de incertitudine, atunci pentru a determina, de exemplu, o monedă de aur contrafăcută (brichetă) din 27 de monede care nu se pot distinge din exterior, este necesar doar H = log 3 27 = 3, adică. trei cântăriri pe balanțe cu brațe egale. Se propune determinarea independentă a logicii calculului cântăririi.

Măsura binară a informației a câștigat recunoaștere generală datorită ușurinței implementării tehnologiei informației pe elemente bistabile. LA zecimal unitatea de informare este o zecimală - DIT.

Entropia sursei de informare. Gradul de incertitudine al stării unui obiect (sau așa-numita sursă de informații) depinde nu numai de numărul stărilor sale posibile, ci și de probabilitatea acestor stări. În stările neechiprobabile, libertatea de alegere a sursei este limitată. Deci, dacă din două stări posibile probabilitatea uneia dintre ele este egală cu 0,999, atunci probabilitatea celeilalte stări este, respectiv, egală cu 1-0,999 = 0,001, iar atunci când interacționați cu o astfel de sursă, rezultatul este practic un scontat. concluzie.

În cazul general, în conformitate cu teoria probabilității, sursa de informații este caracterizată în mod unic și complet de un ansamblu de stări U = (u 1 , u 2 ,..., u N ) cu probabilități de stare, respectiv (р (u 1), р(u 2) ,..., p(u N)) cu condiția ca suma probabilităților tuturor stărilor să fie egală cu 1. Măsura cantității de informații, ca incertitudine de alegere a unei stare din ansamblul U printr-o sursă discretă, a fost propus de C. Shannon în 1946 și a fost numit entropia unei surse discrete de informații sau entropia unui ansamblu finit:

H(U) = - p n log 2 p n . (1.4.2)

Expresia lui Shannon coincide cu expresia lui Boltzmann pentru entropia sistemelor fizice în evaluarea gradului de diversitate a stărilor lor. Măsura entropiei Shannon este o generalizare a măsurii Hartley în cazul ansamblurilor cu stări neechiprobabile, ceea ce este ușor de observat dacă valoarea p n în expresia (1.4.2) este înlocuită cu valoarea p=1/N pentru un ansamblu de stări echiprobabile. Entropia unui ansamblu finit H(U) caracterizează în medie incertitudinea pentru o stare a ansamblului.

Având în vedere că în viitor în toate expresiile matematice referitoare la entropie, vom folosi doar baza binară a logaritmului, indicele 2 al bazei logaritmului în formule va fi asumat implicit.

Incertitudine pe scrisoare cu echiprobabilitate de utilizare:

H(u) = log 32 = 5

Entropia alfabetului peste ansamblul tabelului:

H(u) = - 0,064 log 0,064 - 0,015 log 0,015 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 0,143 log 0,143  4,42.

Astfel, neuniformitatea stărilor reduce entropia sursei.

Principalele proprietăți ale entropiei:

1. Entropia este o mărime reală și nenegativă, deoarece probabilitățile p n sunt în intervalul 0-1, valorile log p n sunt întotdeauna negative, iar valorile -p n log p n din (1.4.2) sunt, respectiv, pozitive.

2. Entropia este o valoare limitată, deoarece la p n  0 valoarea -p n log p n tinde de asemenea spre zero, iar la 0< p n  1 ограниченность суммы всех слагаемых очевидна.

3. Entropia este egală cu 0 dacă probabilitatea uneia dintre stările sursei de informație este egală cu 1 și astfel starea sursei este complet determinată (probabilitățile stărilor rămase ale sursei sunt egale cu zero, deoarece suma probabilităţilor trebuie să fie egală cu 1).

4. Entropia este maximă cu probabilitate egală pentru toate stările sursei de informații:

Hmax (U) = -(1/N) log (1/N) = log N.

Orez. 1.4.1.
5. Entropia unei surse cu două stări u 1 și u 2 cu o modificare a raportului probabilităților lor p(u 1)=p și p(u 2)=1-p este determinată de expresia:

H(U) = -,

Și se schimbă de la 0 la 1, atingând un maxim atunci când probabilitățile sunt egale. Graficul schimbării entropiei este prezentat în fig. 1.4.1.

6. Entropia surselor de informaţie combinate independente statistic este egală cu suma entropiilor lor.

Luați în considerare această proprietate pe două surse de informații u și v. Atunci când combinăm sursele, obținem o sursă generalizată de informații (u,v), care este descrisă de probabilitățile p(u n v m) ale tuturor combinațiilor posibile de stări u n ale sursei u și vm ale sursei v. Entropia sursei combinate pentru N stări surse posibile u și M stări surse posibile v:

H(UV) = -
p(u n v m) log p(u n v m),

Sursele sunt independente statistic unele de altele dacă sunt îndeplinite următoarea condiție:

P(u n v m) = p(u n)p(v m).

Folosind această condiție, respectiv, avem:

H(UV) = -p(u n)p(v m) log =

P(u n) log p(u n)p(v m) -p(v m) log p(v m)p(u m).

Ținând cont de faptul că p(u n) = 1 și p(v m) = 1, obținem:

H(UV) = H(U) + H(V). (1.4.3)

7. Entropia caracterizează incertitudinea medie a alegerii unei stări din ansamblu, ignorând latura de conținut a ansamblului. Aceasta extinde posibilitățile de utilizare a entropiei în analiza diferitelor fenomene, dar necesită o anumită evaluare suplimentară a situațiilor care apar. După cum rezultă din Fig. 1.4.1, entropia stărilor poate fi ambiguă, iar dacă în orice întreprindere economică acțiunea u cu probabilitate p u =p duce la succes, iar acțiunea v duce la faliment cu probabilitate p v =1-p, atunci alegerea acțiunilor. pentru a estima entropia se poate dovedi a fi și direct opus, deoarece entropia la p v =p este egală cu entropia la p u =p.

17 Sisteme liniare invariante la deplasare.

Se spune că sistemul este invariant la schimbare (invariant în timp, precum și în orice alte argumente), dacă deplasarea semnalului de intrare în argumente determină o schimbare corespunzătoare a semnalului de ieșire:

Liniaritatea și invarianța la forfecare sunt proprietăți independente ale sistemelor și nu se determină reciproc. De exemplu, operația de pătrare a semnalului (pătratarea tuturor valorilor semnalului) este invariantă la deplasare, dar neliniară.

În teoria analizei și prelucrării datelor, locul principal este ocupat de sistemele care sunt liniare și invariante la deplasare (LIS - sisteme). Au posibilități practice destul de largi, cu relativa simplitate a aparatului matematic. În cele ce urmează, dacă nu se specifică altfel, se iau în considerare astfel de sisteme.

Avantajul acordat sistemelor LIS - în metodele de prelucrare a informațiilor se bazează pe posibilitatea descompunerii semnalului de intrare a oricărei forme, arbitrar complex, în componente ale celor mai simple forme, răspunsul sistemului la care este cunoscut și bine studiat, cu calculul ulterior al semnalului de ieșire sub forma unei sume de răspunsuri la toate componentele semnalului de intrare. Ca cele mai simple forme de descompunere a semnalului, de regulă, sunt utilizate impulsuri individuale și componente armonice. Primul este folosit pentru a reprezenta semnalul în formă dinamică și folosește transformata de convoluție, al doilea - reprezentarea în frecvență a semnalului și transformata Fourier.

O altă caracteristică importantă a sistemelor LIS este că orice combinație a acestora este și sisteme LIS, iar orice sistem LIS complex poate fi descompus în combinații sisteme simple. Deci, de exemplu, cu o conexiune în serie (în cascadă) a sistemelor, când semnalul de ieșire al unui sistem servește ca semnal de intrare pentru al doilea etc., sistemul rezultat în ansamblu este, de asemenea, un sistem LIS, dacă toate sistemele incluse în acesta sunt liniare și invariante cu deplasare, în timp ce în raport cu operația generală de transformare a sistemului, ordinea de conectare a sistemelor incluse în acesta nu contează.

18 Răspunsul la impuls al sistemelor liniare. Stabilitate și fezabilitate fizică.

Răspunsul la impuls al sistemului. Prin definiție, răspunsurile la impuls ale sistemelor (al doilea termen utilizat pe scară largă este răspunsul la impuls al sistemelor) sunt funcții pentru sisteme analogice și digitale, care sunt răspunsul (răspunsul) sistemelor la semnale de intrare unice: funcția delta pentru analog și pulsul Kronecker pentru sistemele digitale care intră în sistemele de intrare respectiv la t=0și k=0. Această reacție este determinată în mod unic de operatorul de transformare:

Răspunsul la impuls al unui sistem analog, ca rezultat al operației asupra funcției delta, este într-o oarecare măsură o abstractizare matematică a transformării ideale. Din punct de vedere practic, răspunsul la impuls al unui sistem analogic poate fi înțeles ca o reprezentare matematică a răspunsului sistemului la un semnal de intrare de impuls. liber de la cu o suprafaţă egală cu 1 dacă durata semnalului este neglijabilă în comparaţie cu timpul de reacţie al sistemului sau cu perioada oscilaţiilor sale naturale. Timpul (lungimea) răspunsului sistemului este de obicei înțeles ca intervalul la care valorile funcției diferă semnificativ de zero după terminarea acțiunii unui singur semnal la intrarea sa.

Figura 3.5 - Răspunsul la impuls al sistemului,

semnalul de intrare și răspunsul de ieșire al sistemului

Pentru sistemele digitale, răspunsul la impuls este determinat în mod unic de răspunsul sistemului la pulsul Kronecker =1 la k=0.

Funcția de răspuns la impuls este numită și funcție de ponderare a sistemului.

Figura 3.5 prezintă un exemplu de răspuns la impuls al unui integrator RC-lanţuri. La cererea de intrare RC-circuite cu impulsuri de încărcare q capacitate DINîncărcat la tensiune V despre = q/Cși începe să se descarce prin rezistență R, în timp ce tensiunea de pe ea se modifică conform legii v(t) = V o  e -t/RC = (q/C) e -t/RC. De aici și răspunsul RC-circuit prin tensiunea de iesire la semnalul de intrare q = 1: h(t) = (1/C) e -t/RC. În esență, răspunsul la impuls al unui sistem este proporția semnalului de intrare care este prezent la ieșirea sistemului după o perioadă de timp. t după ce un semnal ajunge la intrare (reacție întârziată a sistemului).

Reacția sistemului la un semnal arbitrar. Dacă funcția de răspuns la impuls a sistemului este cunoscută, atunci, ținând cont de principiul suprapunerii semnalelor într-un sistem liniar, este posibil să se calculeze răspunsul sistemului în orice moment arbitrar la orice număr de semnale de intrare în orice moment. sosirea lor prin însumarea răspunsurilor întârziate ale sistemului la aceste semnale de intrare, așa cum se arată în figura 3.5 pentru trei impulsuri de intrare. În cazul general, un semnal arbitrar la intrarea sistemului poate fi descompus într-o secvență liniară de impulsuri unitare ponderate:

. (3.17)

Pe baza principiului suprapunerii, operatorul liniar T poate fi adus sub semnul integral, întrucât acesta din urmă reprezintă valoarea limită a sumei. În acest caz, operația de transformare operează numai asupra variabilei t:

. (3.18)

Această expresie este integrala Duhamel sau convoluția semnalului de intrare cu răspunsul la impuls al sistemului. Schimbarea variabilelor t-= vă puteți asigura că această operație, așa cum ar trebui să fie pentru convoluție, este comutativă:

..

În mod similar, pentru semnale discrete și digitale:

. (3.20)

În formă simbolică de reprezentare matematică:

In realitate sisteme fizice răspunsul la impuls este zero la t<0 (răspunsul la ieșirea sistemului nu poate fi înaintea semnalului de intrare) și, de regulă, este diferit de zero doar la un anumit interval r, peste care se realizează integrarea sau însumarea în expresii de convoluție. La procesarea datelor pe un computer, nu există cerințe pentru caracterul unilateral al răspunsului la impuls, precum și pentru dimensiunile sale înainte și înapoi de la zero în coordonate.

Stabilitatea sistemului. Orice sistem practic trebuie să fie durabil, adică pentru semnale finite în energie sau putere medie, semnalele de ieșire trebuie să fie și ele finite în acești parametri. Se spune că un sistem este stabil dacă, în orice condiții inițiale, răspunsul sistemului la orice acțiune limitată este, de asemenea, limitat.

Pentru un semnal de intrare cu energie finită, se poate scrie:

.

Aceasta implică condiția în care semnalul de ieșire al sistemului va fi, de asemenea, limitat:

acestea. o condiție necesară și suficientă pentru stabilitatea unui sistem este convergența absolută a răspunsului său la impuls sau, pentru sistemele digitale, sumabilitatea absolută a răspunsului la impuls:

Analiza stabilității poate fi efectuată în ceea ce privește funcția de transfer. Într-un sistem stabil, valoarea H(z) trebuie să fie finit în toate punctele din planul z, unde |z| ≥ 1 și, prin urmare, funcția de transfer nu ar trebui să aibă puncte singulare (poli) pentru z ≥ 1 (în afara cercului unitar pe planul z). Polii sunt determinați de rădăcinile polinomului numitor al funcției de transfer H(z).

Criteriul de stabilitate dat se referă la o fracție ireductibilă, deoarece în caz contrar, polul poate fi compensat de zeroul funcției de transfer și ar trebui verificată prezența zerourilor și polilor cu o singură valoare.

Verificarea stabilității este necesară numai pentru filtrele digitale recursive (sisteme cu feedback), sistemele nerecursive sunt întotdeauna stabile.

Pentru a facilita studiul sistemelor multidimensionale, este necesar să ne limităm la anumite clase de operatori care au proprietăți comune. Sistemele discrete cu deplasare liniară invariante (sisteme LIS) sunt clasa de sisteme cel mai frecvent studiată pentru procesarea semnalelor discrete de orice dimensiune. Aceste sisteme sunt simple atât în ​​dezvoltare, cât și în analiză, dar în același timp au capacități suficiente pentru a rezolva multe probleme practice. Comportamentul acestor sisteme poate fi studiat în multe cazuri fără a ține cont de caracteristicile specifice ale semnalului de intrare. Clasa sistemelor liniare forfecare-invariante nu este cu siguranță cea mai generală clasă de sisteme studiate, dar poate servi ca un bun punct de plecare.

Anterior, am obținut expresia (1.29) pentru secvența de ieșire a unui sistem liniar cu un semnal de intrare . Dacă sistemul este, de asemenea, invariant la schimbare, pot fi făcute simplificări suplimentare. Răspunsul la impuls la un impuls de intrare situat în mod arbitrar este descris de expresie

Pentru un caz anume, avem

Folosind principiul invarianței la forfecare descris de egalitatea (1.30), obținem

Răspunsul la impuls la un impuls de intrare situat în mod arbitrar este egal cu răspunsul la impuls deplasat la un impuls de intrare situat la origine. Prin introducerea notaţiei , putem exprima secvența de ieșire după cum urmează:

. (1.36)

Această relație este cunoscută sub denumirea de convoluție discretă bidimensională. În esență, aici secvența de intrare este descompusă într-o sumă ponderată de impulsuri deplasate în conformitate cu ecuația (1.25). Sistemul LIS convertește fiecare impuls într-o copie deplasată a răspunsului la impuls. Suprapunerea acestor răspunsuri la impulsuri ponderate și deplasate formează secvența de ieșire, ponderile fiind valorile eșantionului secvenței de intrare. Egalitatea (1.36) este scrisă sub ipoteza că sistemul LIS este complet caracterizat de răspunsul său la impuls.

După efectuarea schimbării variabilelor și , egalitatea (1.36) se poate scrie sub altă formă:

. (1.37)

Aceasta arată că convoluția este o operație comutativă. Vom folosi un asterisc dublu pentru a denota o convoluție 2D [un singur asterisc va denota o convoluție 1D]. Atunci ecuațiile (1.36) și (1.37) iau forma

. (1.38)

Folosind notația vectorială, secvența de ieșire a unui sistem LIS -dimensional poate fi reprezentată ca o convoluție -dimensională a secvenței de ieșire și răspunsul la impuls.

. (1.39)

Convoluția bidimensională nu diferă fundamental de omologul său unidimensional. Ca și în cazul unidimensional, este posibilă următoarea interpretare computațională a operației de convoluție. Vom lua în considerare și ca funcţii şi . Pentru a forma o secvență dintr-o secvență , mai întâi efectuăm o reflecție despre ambele axe și apoi deplasăm secvența astfel încât citirea să ajungă la punctul , așa cum se arată în Fig. 1.11. Se formează secvența de produs; pentru a găsi valoarea eșantionului de ieșire, adăugăm valorile diferite de zero ale eșantioanelor secvenței de produs. Modificarea valorilor și a secvenței se deplasează de-a lungul planului, dând alte produse-secvențe și, în consecință, alte valori ale mostrelor de ieșire. Dacă se folosește o altă formă posibilă de scriere a unei convoluții discrete [expresia (1.37)], în descrierea de mai sus a calculelor, și sunt interschimbate.

Orez. 1.11. a - secvenţă ; b - succesiune la , .

Exemplul 1

Să luăm în considerare un sistem LIS discret bidimensional, al cărui eșantion de ieșire la un punct caracterizează contribuția valorilor eșantioanelor de intrare situate în punctele de mai jos și din stânga punctului. În linii mari, sistemul este un fel de integrator digital bidimensional; răspunsul său la impuls este o secvență de etape unitară bidimensională, descrisă în Sec. 1.1.1.

Ca secvență de intrare, alegem o secvență bidimensională de lungime finită, ale cărei valori ale eșantionului sunt egale cu 1 în interior zona dreptunghiulara, și 0 în afara acestuia.

Pentru a calcula valoarea eșantionului de ieșire folosind expresia (1.36), formăm un produs-secvență . În funcție de valoarea specifică, zone diferite de zero ale secvențelor și se suprapun în diferite grade. Există cinci cazuri prezentate în Fig. 1.12, unde regiunile non-nule ale fiecărei secvențe sunt umbrite, iar numărul zero pur și simplu nu este afișat.

Orez. 1.12. Convoluția unui impuls pătrat cu o secvență de pași bidimensională.

Regiunile diferite de zero ale fiecărei secvențe sunt marcate cu o singură hașura; secvența de produse este diferită de zero numai în zonele cu hașura dublă.

Cazul 1. sau. Din fig. 1.12 se poate observa că pentru astfel de valori ale secvenței și să nu se suprapună. Prin urmare, produsul lor, precum și valorile unor astfel de mostre de convoluție, sunt egale cu zero.

Cazul 2. , . Există o suprapunere parțială. Contribuția valorilor eșantionului diferit de zero la secvența produsului are forma

. (1.40)

Cazul 3. , . Aici poți scrie

. (1.41)

Cazul 4. , . Prin analogie cu cazul 3, avem

. (1.42)

Cazul 5. , . În acest din urmă caz, secvența de pași deplasată reflectată acoperă complet impulsul. Apoi

. (1.43)

Ca urmare, convoluția completă are forma

. (1.44)

Reprezentarea sa grafică este prezentată în Fig. 1.13.

Orez. 1.13. Convoluția a două secvențe, considerată în exemplul 1.

Se poate observa că în exemplul de mai sus, și , și sunt secvențe separabile, deci convoluția lor este de asemenea separabilă, deoarece putem scrie

Această proprietate are o generalitate: convoluția a două secvențe separabile este întotdeauna separabilă (Ex. 1.9). 1.14c arată suprapunerea punctului și sunt egale cu 1 în zonele lor de referință (Fig. 1.14, a și b).

În această secțiune, am analizat două exemple relativ simple de realizare a unei convoluții 2D. Cititorul a observat fără îndoială că aceste calcule necesită un efort. Din fericire, acest tip de calcul rareori trebuie făcut manual. Cu toate acestea, familiaritatea cu operațiunile de bază este necesară pentru a scrie programele de mașină adecvate și pentru a interpreta rezultatele. Într-adevăr, este imposibil să se efectueze corect o operație de convoluție bidimensională fără a determina mai întâi toate cazurile care trebuie luate în considerare. Acesta ar trebui să fie întotdeauna primul pas atunci când efectuați o convoluție.

Tema 13. SEMNALE ȘI SISTEME MULTIDIMENSIONALE.

Când privești în abis, abisul se uită în tine.

Friedrich Nietzsche. Filosof moral german, secolul al XIX-lea

Omul și abisul sunt două sisteme infinit-dimensionale în spații funcționale diferite, cu un punct de intersecție. Și este mai bine să stai departe de acest punct.

Eric Trubov. Geofizician-optimist rus, secolul XX.

1. Semnale bidimensionale și multidimensionale. Un singur impuls bidimensional. Momentul liniar bidimensional. Etapa de unitate bidimensională. Secvență exponențială. secvențe separabile. Secvențe de sfârșit. Secvențe periodice.

2. Sisteme bidimensionale. operatii de baza. Sisteme liniare. Invarianța la forfecare. răspuns la impuls. Convoluție bidimensională. sisteme separabile. Stabilitatea sistemului. Sisteme speciale bidimensionale.

3. Caracteristicile de frecvență ale semnalelor și sistemelor. Răspunsul în frecvență al sistemului. Răspunsul la impuls al sistemului. Proprietăți ale transformării Fourier bidimensionale.

4. Discretizarea semnalelor bidimensionale. Raster de eșantionare dreptunghiular. Transformate Fourier discrete. Seria de interpolare a recuperării semnalului bidimensional. Raster de eșantionare arbitrară. Transformată Fourier integrală bidimensională. Transformată Fourier a unui semnal discret. Interpolarea semnalelor discrete. Rastere de discretizare dreptunghiulare și hexagonale.

5. Analiza de frecvență a semnalelor multidimensionale. Secvențe periodice. Secvențe de sfârșit. Secvențe multidimensionale.

Introducere.

Prelucrarea semnalelor multidimensionale, folosind în cazuri speciale metodele de procesare a semnalelor unidimensionale, are, de asemenea, caracteristici semnificative. Acest lucru se datorează a trei factori. În primul rând, metodele matematice pentru descrierea sistemelor multidimensionale sunt departe de a fi perfecte și complete. În al doilea rând, atunci când se rezolvă probleme multidimensionale, se utilizează o cantitate mult mai mare de date. Și în al treilea rând, sistemele multidimensionale au un număr mare de grade de libertate și, în consecință, o flexibilitate mult mai mare. Deci, de exemplu, la discretizarea informațiilor în cazul unidimensional, este setată doar frecvența de eșantionare, iar în cazul multidimensional, nu numai frecvența, ci și forma rasterului de eșantionare. Pe de altă parte, polinoamele multidimensionale sunt factorizate doar într-un anumit caz și, în consecință, multe metode unidimensionale nu pot fi generalizate în cazul problemelor multidimensionale.

Mai jos vor fi luate în considerare semnalele și sistemele cu dimensiuni de două sau mai multe, atenția principală fiind acordată problemelor bidimensionale care sunt utilizate pe scară largă în practica geofizică. O creștere a dimensiunii peste doi nu duce la diferențe calitative față de cazurile bidimensionale, cu excepția unei creșteri a complexității calculelor.

Informația multidimensională în majoritatea sa absolută este informație discretă în formă digitală - matrice de date multidimensionale. Funcțiile continue multidimensionale sunt utilizate numai în studii pur teoretice. Chiar și datele bidimensionale, continue (analogice) în ambele argumente, practic nu există. Având în vedere acest lucru, mai jos luăm în considerare în principal semnalele multidimensionale într-o formă discretă.

13.1. Semnale bidimensionale și multidimensionale.

Conceptul de semnal multidimensional. Semnalele multidimensionale sunt funcții ale P variabilelor independente pentru P>1. În general, semnalul poate fi continuu, discret sau mixt. Conceptele de continuitate și discretitate sunt similare cu semnalele unidimensionale. În ceea ce privește semnalul mixt, acesta este un semnal multidimensional, care este descris de o funcție a unui anumit număr de variabile continue și a unui anumit număr de variabile discrete. Un exemplu de semnal 2D mixt: un ansamblu de semnale continue variabile în timp (t este a doua variabilă) luate dintr-un set de receptoare seismice pe o urmă seismică (numerele senzorilor sunt prima variabilă).

În general, un semnal bidimensional continuu este o funcție ale cărei valori depind de două variabile independente (argumente, coordonate):

s(x,y) = sin(x 2 +y 2), - (13.1.1)

Graficul funcției (într-o perioadă) este prezentat în fig. 13.1.1.

Un semnal bidimensional discret (matrice digitală) este o funcție definită pe un set de perechi valori numerice coordonate cu un anumit pas de eșantionare x și y. În cazul general, cu dimensiuni fizice diferite ale argumentelor x și y, valorile x și y nu sunt egale între ele:

s n,m = s(nx,my), - . (13.1.1")

Elementul șirului s n,m este citirea funcției bidimensionale s în punctul de coordonate (x=nx,y=my), unde x și y sunt variabile (argumente) independente ale funcției. Pentru tablourile numerice se pot lua și valorile intervalului de eșantionare prin argumente egale cu 1 (indiferent de dimensiune) și se poate folosi argumentația s(n,m)  s n,m. Rezultatele studiilor geofizice ale oricărui parametru geofizic de pe suprafața pământului se referă la funcții bidimensionale: discrete - dacă acestea sunt citiri în puncte separateîn funcție de o anumită rețea de coordonate (x, y) sau mixtă - dacă este o înregistrare continuă a datelor pe profiluri (de exemplu, rata dozei de expunere a radiațiilor gamma a rocilor în timpul fotografierii aeriene). Dar în prezent, studiile geofizice nici măcar nu se referă la funcții bidimensionale, ci la funcții multidimensionale, deoarece, de regulă, mai mulți parametri fizici ai mediului geologic sunt înregistrați simultan. Deci, de exemplu, în studiul spectrometric al radioactivității naturale a rocilor, se înregistrează conținutul de uraniu, toriu și potasiu din roci, în prospectarea gravitațională - un vector de gravitație cu trei coordonate etc. Dacă au fost cercetate mai multe tipuri de geofizică în orice zonă, atunci rezultatele lor pot fi considerate și în agregat, ca funcţie multidimensională parametrii fizici ai unui mediu geologic dat.

Conform definițiilor (13.1.1), funcțiile și semnalele bidimensionale, precum și cele multidimensionale, au o extindere infinită în coordonate. În practică, întotdeauna ne ocupăm de coordonatele finale ale datelor noastre. Având în vedere acest lucru, vom presupune că valorile semnalelor noastre în afara anumitor coordonate sunt egale cu zero.

Notăm câteva secvențe bidimensionale (funcții, semnale) care au denumiri speciale.

 n,m = 1, pentru n = m = 0.

0, pentru n 0, m 0.

 n,m =  n  m ,

unde  n ,  m - impulsuri unitare unidimensionale (impulsuri Kronecker) de-a lungul coordonatelor n și m. O reprezentare grafică stilizată a unui impuls unic bidimensional este prezentată în fig. 13.1.2.

Dispunerea arbitrară a unui impuls unic bidimensional de-a lungul coordonatelor n 1 , respectiv m 1 se scrie astfel: ((n-n 1)x,(m-m 1)y) =  n-n1,m-m1 . În treacăt, reamintim că notația matematică a impulsului Kronecker nu denotă o singură numărătoare, ci o funcție care determină poziția unei singure numărări și valori zero pentru restul coordonatelor (argumentelor).

Momentul liniar 2D este o succesiune de citiri individuale de-a lungul unei coordonate: s(n,m) = (n) sau s(n,m) = (m).

Pe fig. 13.1.3 prezintă două impulsuri liniare bidimensionale, primul - de-a lungul coordonatei m = 0: s(n,m) = (m), iar al doilea impuls de-a lungul coordonatei n = 2: s(n,m) ) = (n-2 ).

Evident, pentru cazurile P-dimensionale, impulsurile unitare P-dimensionale, impulsurile liniare P-dimensionale, impulsurile areale P-dimensionale etc., pot fi definite exact în același mod, deși conceptul de impuls, împrumutat din teoria unui -semnale dimensionale, este oarecum deplasat.

u(n,m) = 1, pentru n 0 și m 0,

0, altfel.

u(n,m) = u(n) u(m),

unde u(j) sunt trepte unitare în coordonatele n și m, respectiv: u(j)=1 pentru j 0, u(j)=0 pentru j
Secvență exponențială : s(n,m) = a n b m , - , unde a și b sunt în general numere complexe. Pentru a = exp(j 1), b = exp(j 2), |a|=1, |b|=1:

s(n,m) = exp(jn 1 +jm 2) = cos(n 1 +m 2)+jsin(n 1 +m 2).

Secvențele exponențiale, ca și în cazul unidimensional, sunt funcții proprii ale sistemelor liniare bidimensionale care sunt invariante la schimbare.

secvențe separabile. O secvență separabilă este o secvență care poate fi reprezentată ca un produs al secvențelor unidimensionale. Deci, pentru o secvență separabilă bidimensională:

s(n,m) = s(n) s(m).

Separarea este posibilă pentru câteva semnale practice. Cu toate acestea, orice set bidimensional cu un număr finit de eșantioane diferit de zero se descompune într-o sumă finită de secvențe separabile:

s(n,m) = s i  n (n) s i  m (m),

unde N este numărul de rânduri sau coloane diferite de zero din matrice. Ca ultimă soluție, este suficient să exprimați s(n,m) ca o sumă de rânduri individuale:

s(n,m) = s(n,i) (m-i). (13.1.2)

Secvențe de sfârșit. O clasă importantă de semnale sunt secvențele de lungime finită, pentru care semnalul este zero în afara unei anumite regiuni numite zona de referinta semnal. Figura 13.1.5 prezintă în mod convențional o secvență bidimensională de lungime finită, ale cărei valori sunt diferite de zero numai în interiorul unei zone dreptunghiulare limitate -3 n 2, -2 m . Zona de referință a semnalului poate avea o formă arbitrară și se poate extinde dincolo de semnal, incluzând parțial probe zero. Eșantioanele din afara zonei de referință sunt considerate a fi zero.

Secvențe periodice. Secvențele bidimensionale pot fi periodice, repetându-se în mod regulat în spațiu. O secvență care îndeplinește condițiile:

s(n,m+M) = s(n,m),

s(n+N,m) = s(n,m), (13.1.3)

are periodicitate în două direcții, în n și în m. Valorile lui M și N se numesc intervale ale periodicității semnalului, respectiv, în coordonatele m și n ( orizontalăși vertical intervale de frecvenţă). Forma dreptunghiulară a zonei perioadei (un exemplu în Fig. 13.1.6) este cea mai convenabilă pentru prelucrarea datelor, dar nu este singura posibilă.

Pentru secvențele bidimensionale, condițiile (13.1.3) pot fi considerate ca un caz special conditii generale periodicitate:

s(n+N1, m+M1) = s(n,m), (13.1.4)

s(n+N2, m+M2) = s(n,m),

D = N1M2-N2M10.

Perechile ordonate (N 1 ,M 1) și (N 2 ,M 2) sunt decalaje de la eșantioanele dintr-o perioadă la eșantioanele corespunzătoare din alte perioade și pot fi considerate vectori Nși M, care formează arii de perioade sub formă de paralelogram. Independență liniară vectori este prevăzut cu un determinant diferit de zero D, iar numărul de eșantioane din perioada este egal cu |D|. Un exemplu de secvență periodică cu vectori (4,4) și (3,-5) este prezentat în fig. 13.1.7.

Conceptul de periodicitate poate fi generalizat la semnale multidimensionale. semnal P-dimensional s( ) va fi o secvență periodică P-dimensională dacă există P întreg P-dimensional independent liniar N-vectori de periodicitate cu care este îndeplinită condiția:

s() = s( + ), i = 1,2,3, ... ,P.

Coloane vectoriale N Formez o matrice de periodicitate N de dimensiunea P x ​​P. Vectorii de periodicitate a matricei sunt independenți liniar dacă matricea are un determinant diferit de zero. Valoarea absolută a determinantului este egală cu numărul de probe din perioadă. secvența s( ) este periodic dreptunghiular pentru cazurile unei matrice diagonale N. Dacă funcția s( ) este periodic cu matricea de periodicitate N, apoi pentru orice vector întreg R s( + ) = s(), iar matricea PN va fi, de asemenea, matricea de periodicitate pentru s( ) . Aceasta implică faptul că orice secvență periodică multidimensională are mai mult de o matrice de periodicitate.

13.2. sisteme bidimensionale.

Sistemele efectuează conversia semnalului. Un sistem formalizat este un operator (operație) pentru maparea semnalului de intrare la ieșire: z(x, y) = T.

operatii de baza în sistemele, ale căror combinații se efectuează transformări, sunt operațiile de înmulțire scalară, deplasare și adunare:

z(n,m) = cs(n,m),

z(n,m) = s(n-N,m-M),

z(n,m) = s(n,m)+u(n,m).

Folosind operații de bază, orice succesiune bidimensională poate fi descompusă într-o sumă de impulsuri unitare bidimensionale ponderate:

s(n,m) = s(i,j) (n-i,m-j). (13.2.1)

O generalizare a înmulțirii scalare este mascarea spațială:

z(n,m) = c n,m s(n,m). (13.2.2)

Partea dreaptă a egalității (13.2.2) este produsul pe element al semnalului de intrare și mulțimea de numere cu n,m .

Pe lângă operațiile liniare, sistemele folosesc și transformări inerțiale neliniare cu un efect independent neliniar asupra valorilor eșantioanelor secvenței de intrare. Exemplu de operație - pătrat:

z n,m = (s n,m) 2 .

Sisteme liniare. Sistemul este considerat liniar atunci când sunt îndeplinite două condiții:

1. O modificare proporțională a semnalului de intrare determină o modificare proporțională a semnalului de ieșire.

2. Semnalul de sumă al celor două secvențe de intrare dă semnalul de sumă al celor două secvențe de ieșire corespunzătoare.

Cu alte cuvinte, dacă operatorul T descrie un sistem liniar și z(x, y) = T, q(x, y) = T, atunci T = az(x, y)+bq(x, y). Sistemele liniare se supun principiului suprapunerii semnalului.

În expresia (13.2.1), valorile lui s(i,j) pot fi considerate factori scalari pentru impulsurile unitare corespunzătoare. Aplicând operatorul de transformare T[.] la stânga și la dreapta ale (13.2.1), obținem:

T = y(n,m) = s(i,j) T[n-i,m-j)],

z(n,m) = s(i,j) h ij (n,m), (13.2.3)

unde h ij (n,m) este răspunsul sistemului în punctul (n,m) la un impuls unitar în punctul (i,j). Dacă răspunsul la impuls h ij (n,m) este definit pentru toate punctele (i,j), atunci răspunsul sistemului la un semnal multidimensional arbitrar, ca și în cazul sistemelor unidimensionale, se găsește folosind o suprapunere.

Invarianța la forfecare. Un sistem este invariant la schimbare dacă o schimbare în secvența de intrare are ca rezultat aceeași schimbare în secvența de ieșire:

T \u003d z (n-N, m-M).

Liniaritatea și invarianța la forfecare sunt proprietăți independente ale sistemului. Astfel, mascarea spațială este liniară, dar nu invariantă la deplasare, iar operatorii fără inerție sunt neliniari, dar invarianți la deplasare.

În cele ce urmează, ne limităm să luăm în considerare doar sistemele care sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea problemelor practice - liniare și invariante la forfecare (sisteme LIS).

răspuns la impuls pe un impuls de intrare situat în mod arbitrar, după cum urmează din expresia (13.2.3), este descrisă de expresia:

h ij (n,m) = T[(n-n i ,m-m j)].

Pentru cazul special i = j = 0 avem:

h o (n,m) = T[(n,m)].

Folosind principiul invarianței la forfecare, obținem:

h ij (n,m) = h o (n-i,m-j) = h(n-i,m-j), (13.2.4)

adică răspunsul la impuls la un impuls de intrare situat în mod arbitrar este egal cu răspunsul la impuls deplasat la un impuls de intrare situat la origine.

Convoluție bidimensională. Înlocuind (13.2.4) în expresia (13.2.3), obținem:

z(n,m) =  i  j s(i,j) h(n-i,m-j). (13.2.5)

Convoluția discretă bidimensională (13.2.5) este un analog al convoluției discrete unidimensionale. La înlocuire variabile n-i= k, m-j = l, obținem:

z(n,m) = k l h(k,l) s(n-k,m-l), (13.2.5")

acestea. convoluția bidimensională este comutativă, precum și una unidimensională. În aceeași măsură, are proprietatea asociativității față de șirul operațiilor de convoluție a mai multor funcții (rezultatul nu depinde de ordinea convoluției) și proprietatea distributivă față de operația de convoluție cu suma funcțiilor ( rezultatul este similar cu suma circumvoluțiilor cu fiecare funcție). Aceste proprietăți determină, de asemenea, proprietatea principală a sistemelor liniare bidimensionale (și multidimensionale) atunci când sunt conectate în paralel și/sau în serie - sistemul rezultat este de asemenea liniar.

Pentru a simplifica aparatul simbolic, o convoluție bidimensională se notează printr-un indice (**):

z(n,m) = h(k,l) ** s(n-k,m-l).

La generalizarea acestei expresii la sisteme multidimensionale, sub formă vectorială:

z()= h() ** s(-).

sisteme separabile. Dacă răspunsul la impuls al sistemului poate fi împărțit:

h(k,l) = h(k) h(l), (13.2.6)

atunci expresia (13.2.5") ia forma:

z(n,m) =  k h(k)  l h(l) s(n-k,m-l), (13.2.7)

sau: z(n,m) =  k h(k) g(n-k,m), g(n-k,m) =  l h(l) s(n,m-l).

Matricea g(n,m) se calculează printr-o convoluție unidimensională a coloanelor matricei s(n,m) cu n = const (secțiuni ale matricei de-a lungul coordonatelor n) cu răspunsul h(l), urmat de calculul matricei de ieșire z(n,m) printr-o convoluție unidimensională a rândurilor g(n,m) pentru m = const cu răspunsul h(k). Rezultatul nu se va schimba dacă mai întâi rulați rândurile și apoi coloanele. Se spune că un sistem cu un răspuns de forma (13.2.6) este separabil. Rețineți că într-un sistem separabil, semnalele de intrare și de ieșire nu trebuie să fie separate.

Sisteme asemănătoare separabile pot exista și în versiunea multidimensională.

Stabilitatea sistemului. De interes pentru practică sunt doar sistemele stabile care oferă un anumit rezultat final al operațiunii unui sistem pe semnale de intrare finite. O condiție necesară și suficientă pentru stabilitatea unui sistem este sumabilitatea absolută a răspunsului său la impuls:  k  l |h(k,l)| .

Sisteme speciale bidimensionale. În practică, sunt utilizate și sisteme cu intrări și/sau ieșiri multiple.

Să presupunem că sistemul are i-intrari și j-ieșiri, este liniar și invariant la o deplasare a variabilei t. Dacă un impuls unidimensional  i (t) ajunge la intrarea i a sistemului cu semnale zero la celelalte intrări, atunci semnalele de ieșire j vor fi răspunsul la impuls al sistemului h ij (t). Cu un ansamblu complet cunoscut de valori h ij pentru toate intrările i, pentru o combinație arbitrară de semnale de intrare s i (t), semnalul la ieșirea j va fi determinat de expresia:

z j (t) =  i  k h ij (k) s i (t-k). (13.2.8)

13.3. Caracteristicile de frecvență ale semnalelor și sistemelor.

Răspunsul în frecvență al sistemului. Să presupunem că un sistem LIS bidimensional are un răspuns la impuls h(kx,ly). Să aplicăm un semnal de forma unei sinusoide complexe la intrarea sistemului:

s(n,m) = exp(jnx x +jmy y),

unde  x și  y sunt valorile frecvenței semnalului, respectiv, în coordonatele x și y. Luând x = 1, y = 1 și efectuând convoluția bidimensională (13.2.5), obținem:

z(n,m) = h(k,l) exp =

Exp(jn x +jm y) h(k,l) exp(-jk x -jl y) = H( x , y) exp(jn x +jm y).

H( x , y) = h(k,l) exp(-jk x -jl y). (13.3.1)

Astfel, semnalul de ieșire este un sinusoid complex cu aceleași frecvențe ca și semnalul de intrare, cu o modificare a amplitudinii și fazei datorită factorului complex H( x , y), care se numește răspuns în frecvență (răspuns în frecvență) al sistemul. Pentru semnalele discrete, răspunsul în frecvență este periodic cu o perioadă de 2 pentru ambele variabile de frecvență:

H( x +2k, y +2l) = H( x , y).

Un exemplu de calcul al răspunsului în frecvență al sistemului.

Determinați răspunsul în frecvență al sistemului de răspuns la impuls:

h(0,0) = 0,25, h(0, 1) = 0,125, h( 1,0) = 0,125, h( 1, 1) = 0,0625.

Raspuns in frecventa:

H( x , y) = h(n,m)exp(-jn x -jm y) = 0,25+0,125+

0,0625 = 0,25(1+cos  x)(1+cos  y).

Sistemul este un exemplu de filtru bidimensional frecvențe joase. Răspunsul în frecvență al sistemului pe plan ( x , y), prezentat în fig. 13.3.1, are simetrie axială cu un coeficient de transmisie de 1 în centru ( x =0,  y =0) cu scădere la zero la  x =  și  y = .

Orez. 13.3.1. Răspunsul în frecvență al LPF.

h(k,l)= q(k)g(l) Q( x)G( y)= H( x , y)

Q( x) =  k q(k) exp(-jk x).

G( y) =  l g(l) exp(-jl y).

Răspunsul la impuls al sistemului. Expresia (13.3.1) descrie extinderea funcției H( x , y) într-un rad Fourier bidimensional cu coeficienți de expansiune sub formă de citiri de răspuns la impuls h(k, l), adică. transformată Fourier directă. Este evident că transformata Fourier inversă cu integrare într-o perioadă de la răspunsul în frecvență H( x , y) poate fi utilizată pentru a obține răspunsul la impuls al sistemului:

h(k,l) = H( x , y) exp(jk x +jl y) d x d y . (13.3.2)

Un exemplu de calcul al răspunsului la impuls al unui filtru.

Determinați răspunsul la impuls al unui filtru trece-jos ideal cu un dreptunghiular răspuns în frecvență de forma: H( x , y) = 1 pentru | x | a b

Răspuns la impuls: h(k,l) = exp(jk x +jl y) d x d y .

Sistemul este separabil: h(k,l)= exp(jk x) d x exp(jl y) d y =  .

Determinați răspunsul la impuls al unui filtru trece-jos circular ideal:

H( x, y) = 1 pentru  x 2 + y 2

Este oportun să se efectueze calcule pe o zonă circulară în coordonate polare: = ,

arctg( y / x), = arctg(m/n), în timp ce expresia 13.3.2 va fi rescrisă după cum urmează:

h(n,m) = exp dd=

= J o () d= (R/2 J 1 (R) / ,

unde J o (…), J 1 (…) sunt funcții Bessel de primul fel de ordinul 0 și, respectiv, 1.

Pe fig. 13.3.2 arată forma spațială a răspunsului la impuls al filtrului, al cărui calcul a fost efectuat la R = 1 cu o restricție la N = 10 și M = 10, iar secțiunea transversală a răspunsului de-a lungul coordonatei m.

Orez. 13.3.2. Filtru trece-jos circular (în dreapta - secțiuni de-a lungul coordonatei m).

Proprietăți ale transformării Fourier bidimensionale. Transformările de mai sus ale răspunsului la impuls la răspunsul în frecvență și invers sunt transformări Fourier discrete bidimensionale cu un raster de eșantionare a informațiilor dreptunghiulare, echivalent cu transformări unidimensionale. Alte proprietăți ale sistemelor unidimensionale sunt transferate transformărilor bidimensionale cu un raster dreptunghiular. În special:

1. Transformate Fourier ale semnalelor.

S( x , y) =  n  m s(n,m) exp(-jn x -jm y). (13.3.3)

s(n,m) = S( x , y) exp(jn x +jm y) d x d y . (13.3.4)

2. Teorema de convoluție.

z(n,m) = h(n,m) ** s(n,m)  H( x , y) S( x , y) = Z( x , y).

z(n,m) = c(n,m) s(n,m)  C( x , y) ** S( x , y) = Z( x , y).

3. Proprietăţile de bază ale transformării Fourier.

1) Linearitate (inclusiv pentru orice numere complexe a și b):

as(n,m)+bz(n,m)  aS( x , y)+bZ( x , y).

2) Deplasare spațială:

s(n-N,m-M)  S( x , y) exp(-jN x -jM y).

3) Diferențiere:

dS( x , y)/d x  -jn s(n,m),

dS( x , y)/d y  -jm s(n,m),

d 2 S( x, y)/(d x d y)  -nm s(n,m).

4) Conjugare complexă:

x*(n,m)  S*(- x,- y).

Părți reale și imaginare ale transformării Fourier ale secvențelor s(n,m):

S( x, y) = S*(- x,- y).

Re = Re.

Im = -Im.

5) Teorema lui Parseval:

 n  m s(n,m) s*(n,m) = S( x , y) S*( x , y) d x d y .

În special, pentru s(n,m) = s(n,m):

 n  m |s(n,m)| 2 = |S( x , y)| 2 d x d y ,

Unde partea stanga ecuația este energie deplină semnal discret s(n,m) și funcția |S( n , m)| 2 - densitatea de energie spectrală a semnalului.

13.4. Discretizarea semnalelor bidimensionale.

Raster de eșantionare dreptunghiular. Dintre modalitățile de generalizare a discretizării periodice unidimensionale în cazul bidimensional, cea mai simplă este discretizarea periodică în coordonate dreptunghiulare:

s(n,m) = s a (nx,my),

unde x și y sunt intervalele de eșantionare orizontale și verticale ale unui semnal continuu bidimensional s a (x,y) cu coordonate continue x și y. Mai jos, valorile lui x și y, ca și în cazul unidimensional, sunt luate egale cu 1.

Discretizarea unui semnal bidimensional și, în general, multidimensional duce și la periodizarea spectrului său și invers. Condiția echivalenței informaționale a reprezentărilor de coordonate și frecvență ale unui semnal discret este, de asemenea, păstrată cu un număr egal de puncte de eșantionare în domeniile principale de semnal. Pentru eșantionarea dreptunghiulară, relația dintre transformatele Fourier ale semnalelor continue și discrete este stabilită în mod similar cu eșantionarea unidimensională.

Transformate Fourier integrale semnale analogiceîntr-o scară continuă de frecvență  x și  y:

S a ( x , y) = s a (x, y) exp(-j x x-j y y) dxdy. (13.4.1)

s a (x,y) = S a ( x , y) exp(j x x+j y y) d x d y . (13.4.2)

Transformate Fourier discrete:

S(k,l) = s(n,m) exp(-jnk/N-jm2l/M), (13.4.3)

S(k,l) = exp(-jn2k/N) s(n,m) exp(-jm2l/M), (13.4.3")

s(n,m) = S(k,l) exp(-jn2k/N-jm2l/M). (13.4.4)

s(n,m) = exp(-jn2k/N) S(k,l) exp(-jm2l/M). (13.4.4")

Expresiile (13.4.3") și (13.4.4") arată că un DFT 2D peste un raster de eșantionare a datelor dreptunghiulare poate fi calculat folosind DFT-uri seriale 1D. Cele doua sume de expresii sunt DFT-uri unidimensionale ale secțiunilor funcțiilor s(n,m) și S(k,l) de-a lungul liniilor n și, respectiv, k, iar primele sume sunt DFT-uri unidimensionale ale calculului. funcții în secțiunile de-a lungul m și l. Cu alte cuvinte, matrici originale valorile s(n,m) și S(k,l) sunt mai întâi recalculate în matrici intermediare cu DFT pe rânduri (sau pe coloane), iar matrice intermediare - în matrice finale cu DFT pe coloane (sau, respectiv, pe rânduri) .

Seria de interpolare a recuperării semnalului bidimensional. Dacă semnalul continuu s a (x, y) este un semnal cu spectru limitat, iar perioadele de eșantionare sunt alese suficient de mici și spectrele perioadelor adiacente nu se suprapun:

S a ( x , y) = 0 pentru | x | /x, | y | /x,

atunci, ca și în cazul unidimensional, semnalul s a (x, y) poate fi reconstruit din semnal discret folosind un analog bidimensional al seriei Kotelnikov-Shannon:

s a (x, y) =  n  m s(n, m) . (13.4.5)

Un semnal de spectru nerestricționat poate fi, de asemenea, eșantionat, dar în acest caz există aliasing în perioadele adiacente, cu frecvente inalte, frecvențele Nyquist înalte, vor fi „mascate”, ca și în cazul unidimensional, sub frecvențele joase ale perioadei principale. Efectul de „reflecție” de la limitele perioadei oferă o imagine și mai complexă datorită interferenței frecvențelor reflectate în coordonate diferite.

Raster de eșantionare arbitrară. Conceptul de discretizare dreptunghiulară este generalizat la un raster de discretizare arbitrară cu vectori liniar independenți v 1 = (v 11 ,v 21) T și v 2 = (v 12 ,v 22) T , unde T este indicele de transpunere (Fig. 13.4.1). Coordonatele unui set periodic bidimensional de citiri pe plan (x, y):

y \u003d v 21 n + v 22 m.

Folosind notația vectorială:

unde = (x,y) T , =(n,m) T , =( v 1 |v 2 ) este matricea de discretizare. Determinantul matricei nu este egal cu zero dacă vectorii v 1 și v 2 sunt liniar independente. La eșantionarea unui semnal continuu s a (x, y) de către o matrice, se formează un semnal discret:

s()  s a ( ).

Transformată Fourier integrală 2D semnal continuu de-a lungul unui vector continuu = ( 1 , 2) T:

S a () = s a () exp(-j T ) d , (13.4.6)

s a () = S a () exp(j T ) d , (13.4.7)

Aceste integrale sunt duble deoarece diferențiale d și d sunt vectori.

Transformata Fourier a unui semnal discret:

S() =  n s() exp(-j T ), (13.4.8)

s() = S() exp(j T ) d . (13.4.9)

unde: = ( x, y) T .

Expresia s() poate fi obținută prin discretizarea expresiei s a () (13.4.7):

s() = s a ( ) = S a () exp(j T ) d .

Procesare digitală a semnalului

munca de absolvent

1. Sisteme liniare

Un semnal este dependența unei mărimi de alta (funcție). De exemplu, dependența presiunii aerului la un moment dat poate fi considerată ca semnal sonor. Dependența de timp a tensiunii din conductor poate reprezenta și un semnal audio. Dependența luminozității unui punct dintr-un plan de coordonatele acestuia poate fi considerată ca o imagine alb-negru.

Deocamdată, pentru certitudine, vom lua în considerare semnalele unidimensionale dependente de timp și le vom nota x(t). Aproape tot materialul poate fi generalizat și la cazul multidimensional.

Sistemul este un fel de transformare a semnalului. Sistemul traduce semnalul de intrare x(t) în semnalul de ieșire y(t). Să o notăm astfel:

De obicei, toate sistemele luate în considerare sunt invariante de schimbare, adică dacă x(t)>y(t), atunci x(t+T)>y(t+T). Aceasta înseamnă că forma de undă de ieșire depinde numai de semnalul de intrare și nu depinde de ora de pornire a semnalului de intrare. În cele ce urmează, vom lua în considerare doar astfel de sisteme.

Foarte un numar mare de sisteme reale poate fi considerat invariant la deplasare. De exemplu, un microfon care traduce semnalul „densitatea aerului” în semnalul „tensiunea în fir” satisface această proprietate, dacă neglijăm modificarea proprietăților microfonului în timp.

Un sistem liniar este un sistem în care este valabilă următoarea proprietate de liniaritate: dacă x 1 (t)>y 1 (t) și x 1 (t)>y 1 (t), atunci b x 1 (t) + in x 2 ( t)>b y 1 (t)+c y 2 (t). Aici, operațiile pe semnale ar trebui înțelese ca operații pe funcții ale argumentului t.

Un număr mare de sisteme de conversie a semnalului real poate fi considerat liniar. De exemplu, un microfon este un sistem liniar (cu un grad suficient de precizie), deoarece dacă 2 persoane vorbesc în el în același timp cu volume diferite, atunci semnalul electric de la ieșire va fi o sumă ponderată a semnalelor (de la fiecare persoană separat) la intrare, iar coeficienții vor însemna volumul conversației primei și a doua persoane.

Proprietățile sistemelor liniare:

1. Un semnal constant (constant) este convertit de orice sistem liniar într-un semnal constant.

2. Când trece printr-un sistem liniar, o undă sinusoidală rămâne o undă sinusoidală. Numai amplitudinea și faza (deplasarea în timp) se pot schimba.

A doua proprietate este deosebit de importantă pentru că ea indică cea mai importantă metodă de analiză a sistemelor liniare prin descompunerea semnalelor de intrare și de ieșire în sinusoide (analiza Fourier).

Ce înseamnă „trecerea unei undă sinusoidală printr-un sistem liniar”? Aceasta înseamnă că sinusoidul este alimentat la intrarea sistemului pentru o perioadă de timp infinit de lungă, de exemplu. de la t=?? la t=+?. Dacă sinusoidul a început să fie alimentat doar la un anumit moment specific în timp (și înainte de a fi furnizat altceva, de exemplu, - 0), atunci după începerea alimentării sinusoidei la intrare, nu putem obține imediat o sinusoidă. la iesire. Semnalul de ieșire va începe treptat să capete o formă sinusoidală. Rata la care ieșirea „tinde spre unda sinusoidală dreaptă” depinde de sistemul liniar particular.

Arhitectură soft switch

O astfel de clasă este codurile de bloc liniare. Liniare sunt numite coduri binare, unde mulțimea tuturor blocurilor permise este un spațiu liniar în raport cu adăugarea pe biți modulo 2...

Modelarea amplificatoarelor de bas

Distorsiunea liniară se datorează influenței elementelor reactive ale amplificatorului - condensatoare și bobine, a căror rezistență depinde de frecvență. Aceste distorsiuni sunt prezente și într-un amplificator liniar, de exemplu, la amplificarea semnalelor foarte slabe...

Prelucrarea și filtrarea datelor teledetecție

Cea mai importantă caracteristică a operatorului liniar este faptul că nu modifică forma semnalului sinusoidal de intrare s(t) = A cos (wt + c), doar amplitudinea A și faza c se modifică. Dacă semnalul este nesinusoidal...

Feedback în amplificatoare

Amplificator operațional Cum dispozitiv liniar, care oferă o distorsiune minimă a semnalului de intrare, este rareori utilizat fără feedback. Acest lucru se datorează...

Proprietăți generale ale sistemelor de impulsuri

Linear se numește sistem de impulsuri, în care toate elementele sale sunt liniare conform Fig. 1 - un element de impuls (IE) cu un modulator (M), un canal de transmisie (KP), o parte continuă (LF). Neliniar - un sistem în care cel puțin unul dintre elemente este neliniar...

Încărcați dispozitivul cuplat

Două tipuri de FSI pe CCD-uri sunt utilizate pe scară largă: litere mici (liniare), perceperea unei linii de imagine într-o perioadă de integrare și matrice (plană), în care întreaga imagine este înregistrată simultan...

Sistem de telemetrie radio cu diviziunea în frecvență bunuri

Adăugarea unui semnal util cu interferență sub forma unei părți din semnalele canalelor învecinate duce la distorsiunea acestuia (Figura 6). Figura 6 Să evaluăm influența unui singur canal (n-1). Noi credem...

Dezvoltarea unei scheme de sistem de stabilizare a emițătorului în sistemele optice de transmisie a datelor atmosferice

Actuatoarele piezo de acest tip sunt cele mai utilizate. La rândul lor, ele sunt împărțite în joasă tensiune și înaltă tensiune, ambalate și neambalate multistrat discret și multistrat monolitic etc...

Propagarea undelor radio și a dispozitivelor de alimentare cu antenă ale sistemelor radio mobile

Determinați lățimea lobului principal al modelului de radiație cu amplitudine normalizată în planul - după nivelul radiației zero și prin nivelul de jumătate de putere pentru un vibrator electric liniar simetric cu lungimea umărului ...

Feroelectrice, proprietățile și aplicațiile lor

Convertizoarele feroelectrice folosesc valori mari ale coeficienților piezoelectrici în apropierea temperaturii de joncțiune...

Supraveghere tehnică și documentație tehnică pentru o linie de transport cu fibră optică

Pentru a asigura o funcționare fiabilă și de înaltă calitate pentru FOL-uri nou construite, un document suficient de detaliat documentatie executiva. Importanța acestei probleme este confirmată de...

Dispozitive pentru transmiterea informațiilor prin rețeaua de alimentare

Datele utilizatorului care provin de la DTE sunt deja digitale, reprezentate într-un cod unipolar sau bipolar care nu se întoarce la zero -- NRZ. La transmiterea datelor pe distanțe mari în codul NRZ, apar următoarele probleme...

sistem digital transmiterea de mesaje continue

Condiția locului de muncă. Cuvintele binare de la ieșirea ADC sunt convertite în PMSM liniar. Secvențele Walsh sunt folosite ca semnale asemănătoare zgomotului. Baza ШС - 32...

Detector de semnal digital potrivit

Un semnal similar este prezentat în Figura 2, a, iar legea modificării frecvenței de umplere a impulsului este prezentată în Figura 2, b. Figura 2 - LFM - impuls (a) și modificarea frecvenței de umplere (b) ...

Amplificatoare electronice

Calitatea amplificatorului este determinată de gradul de distorsiune introdus de amplificator atunci când semnalul de intrare este amplificat. Distorsiunea este înțeleasă ca o modificare a formei semnalului de ieșire în raport cu forma intrării...