Одним из важнейших критериев производительности цифровых систем связи является зависимость вероятности появления ошибочного бита P b от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума E b /N 0 . При этом предполагается, что единственным источником искажений сигнала является тепловой шум (АБГШ). Удобство использования отношения E b /N 0 вместо отношения мощности сигнала к мощности шума S/N, как в аналоговых системах связи, состоит в том, что так удобнее сравнивать производительность цифровых систем на битовом уровне. Это важно для цифровых систем, поскольку сигнал может иметь произвольное n-битовое значение (один символ может кодировать n бит). Предположим, что для данной вероятности возникновения ошибки в цифровом двоичном сигнале требуемое отношение S/N = 20. Поскольку двоичный сигнал имеет однобитовое значение, требуемое отношение S/N на бит равно 20. Пусть теперь сигнал является 1024-уровневым с теми же 20 единицами требуемого отношения S/N. Теперь, поскольку сигнал имеет 10-битовое значение, требуемое отношение S/N на один бит равно 2. Параметр E b /N 0 характеризует отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит.

Параметр Eb/N0 связан с параметром S/N следующим соотношением:

где T b - время передачи бита, N - мощность шума, R - скорость передачи битов, W - ширина полосы. Отношение R/W называется спектральной эффективностью системы или эффективностью использования полосы частот и выражается в бит/с/Гц. Это отношение показывает, насколько эффективно система использует полосу частот.

Графики вероятности битовой ошибки для различных бинарных систем показаны на рис. 4.

Вид модуляции	Вероятность ошибки на бит P b или на символP S	Примечание
BASK	здесь и далее - гауссов интеграл ошибок	Для ортогональных сигналов: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)=0 0£t£T
BPSK		Для антиподных сигналов: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)= - Acoswt, 0£t£T
QPSK
Ортогональная BPSK (когерентное обнаружение)
Ортогональная BPSK (некогерентное обнаружение)
DPSK (некогерентное обнаружение)
DPSK (когерентное обнаружение)
MPSK		Для больших отношений E S /N 0 , E S =E b log 2 M – энергия, приходящаяся на символ, M=2 K – количество равновероятных символов
DMPSK (некогерентное обнаружение)		См. примечание для MPSK
Ортогональная MFSK (когерентное обнаружение)		E S =E b log 2 M – энергия, приходящаяся на символ, M=2 K – количество равновероятных символов
Ортогональная MFSK (некогерентное обнаружение)		См. примечание для MPSK с когерентным обнаружением
QAM		Для прямоугольной решетки; L – количество уровней амплитуды в одном измерении; используется код Грея

Можно показать, что соотношение между вероятностью битовой ошибки и вероятностью символьной ошибки для ортогональных M-арных сигналов даётся выражением:

Аналогичное соотношение для многофазных сигналов MPSK при использовании кода Грея имеет вид:

Код Грея - это код преобразования бинарных символов в M-арные, такие, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. На рис. 5 обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в M-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея. Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в случае возникновения ошибки ошибочным будет только один из k = log 2 M переданных битов.

Рис. 4. Вероятность битовой ошибки для различных бинарных систем

Рис. 5. Обычная кодировка (а) и кодировка Грея (б)

На рис. 6 приведены графики вероятности битовой ошибки для ортогональной M-арной (M = 2k) передачи сигналов с модуляцией MFSK с когерентным обнаружением, а на рис. 7 - графики вероятности битовой ошибки для многофазной (MPSK) передачи с когерентным обнаружением.

Как видно из сравнения этих рисунков, при ортогональной передаче с ростом k происходит уменьшение вероятности битовой ошибки, а при многофазной − увеличение.

Рис. 6. Зависимость вероятности битовой ошибки от E b /N 0 для ортогональной M-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом с помощью модуляции MFSK при использовании когерентного обнаружения

Рис. 7. Зависимость вероятности битовой ошибки от E b /N 0 для многофазной M-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом с помощью модуляции MPSK при использовании когерентного обнаружения

8. Расчет вероятности ошибки НА выходе приемника и битовой вероятности ошибки на входе и выходе декодера КАНАЛА передачи данных и канала переспроса

8.1 Расчет вероятности ошибки на выходе приемника и битовой вероятности ошибки на входе и выходе декодера дискретного канала передачи данных

Важной мерой производительности, используемой для сравнения цифровых систем передачи, является вероятность ошибки на выходе приемника Р о, а также битовая вероятность ошибки на входе Р b и выходе декодера Р b вых.

Рассмотрим вероятность ошибки на выходе приемника Р о для когерентной фазовой манипуляции:

где ; ; Ф() – функция Крампа, тогда

Битовая вероятность ошибки на входе декодера Р b рассматриваемой СПДИ определяется формулой:

(8.2)

где Q() – Гауссов интеграл ошибок; Е b /Р 0 –отношение энергии одного бита сигнала к спектральной плотности мощности помехи на входе приемника, причем

Таким образом:

Битовая вероятность ошибки на выходе декодера Р b вых рассматриваемой СПДИ определяется из соотношения:

, иными словами, для бинарных (М=2) ортогональных когерентных СПДИ существует равенство

Р b =Р b вых (8.3)

Таким образом:

Р b =Р b вых =0.2

8.2 Расчет вероятности ошибки на выходе приемника и битовой вероятности ошибки на входе и выходе декодера канала переспроса

Учитывая степень когерентности СПДИ определим вероятность ошибки на выходе приемника канала переспроса Р окп, а также битовую вероятность ошибки на входе Р b кп и выходе Р b выхкп декодера канала переспроса.

Рассмотрим вероятность ошибки на выходе приемника Р окп для когерентной фазовой манипуляции:

(8.4)

где ; Ф() – функция Крампа, тогда

Битовая вероятность ошибки на входе декодера канала переспроса Р b кп рассматриваемой СПДИ определяется формулой:

(8.5)

где Q() – Гауссов интеграл ошибок; Е b кп /Р 0кп –отношение энергии одного бита сигнала переспроса к спектральной плотности мощности помехи на входе приемника канала переспроса.

Так - энергия одного бита сигнала переспроса, – суммарная средняя мощность сигналов переспроса на входе приемника обратного канала (по условию задачи);

пропускная способность канала переспроса в заданном режиме работы (причем , т.к. канал переспроса и прямой канал ТЧ имеют одинаковые параметры).

Рассчитаем :

По условию задачи.

Таким образом:

Битовая вероятность ошибки на выходе декодера Рb выхКП канала переспроса рассматриваемой СПДИ определяется из соотношения:

,

иными словами, для бинарных (М=2) ортогональных когерентных СПДИ существует равенство Рb кп =Рb выхКП.

Таким образом:

Р b =Р b выхКП =0.2

Исходя из полученных значений и ; и ; Р b вых =0.2 и Р b выхКП =0.2 можно сделать вывод, что для прямого канала связи и обратного канала переспроса СПДИ вероятности ошибки на выходе приемника и битовые вероятности ошибки на входе/выходе декодеров приблизительно равны по значению. Это можно обусловить тем, что параметры рассмотренных каналов данных обладают примерно одинаковыми значениями.

9. Способы сопряжения разрабатываемой СПДИ сО стандартной аппаратурой частотного уплотнения

Для сопряжения разрабатываемой СПДИ с аналоговой аппаратурой частотного уплотнения/разуплотнения (ЧУ-РК) необходимо, как уже упоминалось, добиться выполнения условия и, а также электрические параметры СПДИ удовлетворяли требованиям, предъявляемым аппаратурой ЧУ-РК.

В нашем случае СПДИ играет роль источника/потребителя сигнала и вырабатывает групповой сигнал с параметрами и Iс, а аппаратура ЧУ-РК играет роль каналообразующей аппаратуры и обеспечивает и Ск (т.е. стандартный аналоговый канал связи).

Расчеты показали, что для разрабатываемой СПДИ в качестве среды передачи группового сигнала стандартный канал тональной частоты (КТЧ) полностью удовлетворяет указанным условиям. Поэтому для сопряжения СПДИ с аппаратурой ЧУ-РК не имеет значения какого типа будет эта аппаратура, важным является возможность сопряжения электрических параметров СПДИ и образовываемого КТЧ аппаратурой ЧУ-РК.

Исходя из вышесказанного, необходимо обеспечить:

Равенство выходного сопротивления СПДИ и входного сопротивления аппаратуры ЧУ-РК;

Равенство уровней передачи и приема СПДИ и ЧУ-РК;

Равенство диапазонов частот сигналов СПДИ и трактов ЧУ-РК.

В противном случае сопряжение СПДИ и аппаратуры ЧУ-РК провести не удастся.

10. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ПЕРЕДАЮЩЕГО И ПРИЕМНОГО ОБОРУДОВАНИЯ СПДИ

Функциональная схема передающего тракта СПДИ будет иметь вид:

Рис. 10.1 Функциональная схема передающего тракта СПДИ будет иметь вид.

Функциональная схема приемного тракта СПДИ будет иметь вид:

Рис. 10.2 Функциональная схема приемного тракта СПДИ будет иметь вид:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе была рассчитана система передачи дискретной информации с заданными параметрами.

Учитывая исходные данные и результаты проведенных расчетов, была обоснована сфера применения разрабатываемой СПДИ

На основании расчета информационных параметров системы был сделан вывод, что стандартный аналоговый канал тональной частоты пригоден для использования в качестве среды распространения группового дискретного сигнала СПДИ. Более того, излишнюю пропускную способность канала было предложено использовать для искусственного введения информационной избыточности, путем добавления проверочных битов.

Рассмотрен вариант применения помехоустойчивого кодирования кодами Хэмминга, исходя из чего, было доказано, что помехоустойчивое кодирование повышает наряду с помехоустойчивостью и информационную производительность системы. Разработана схема канального (помехоустойчивого) кодера и декодара заданной структуры.

Рассчитаны временные характеристики группового сигнала СПДИ, а также параметры сигналов синхронизации системы.

Произведен расчет и обоснование эффективности применения канала обратной связи в системе с целью повышения достоверности передаваемых сообщений.

Рассмотрен вопрос выбора схемы приемника в соответствии с заданной системой широкополосной модуляции, сделан вывод о ее эффективности.

Проведены расчеты показателей помехоустойчивости системы, т.е. определены такие параметры как битовая вероятность ошибки приема сообщения. Было доказано, что данная СПДИ обладает достаточно низкой помехоустойчивостью.

Обоснованы способы и параметры сопряжения разрабатываемой СПДИ и аналоговой аппаратуры ЧР-УК. Расчеты показали, что СПДИ может работать с любым типом аппаратуры ЧР-УК, принимающей дискретные сигналы ФМн.

В результате проделанной работы на основании исходных данных и проведенных расчетов была сформирована функциональная схема многоканальной когерентной системы передачи дискретной информации.

Список использованной литературы

1. Зюко А.Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. М.:

Связь, 1985г.

2. Кириллов В.И. Многоканальные системы передачи. Минск. Новое издание, 2003г.

3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Москва. Вильямс, 2003г.

4. Курулев А.П., Батура М.П. Теория электрических цепей. Установившиеся процессы в линейных электрических цепях. Минск. Бестпринт, 2001г.

5. Татур Т.А., Татур В.Е. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях. Москва. Высшая школа, 2001г.

1.5 Уровни помех и линейных затуханий 1.5.1 Электрические помехи в каналах ВЧ связи по ВЛ Электрические помехи имеются в любом канале связи. Они являются основным фактором, ограничивающим дальность передачи информации из-за того, что сигналы, принимаемые приемником, искажаются помехами. Для того чтобы искажения не выходили за пределы, допустимые для данного вида информации, должно быть...

Синтаксис:

ber = berawgn(EbNo, "pam", M)
ber = berawgn(EbNo, "qam", M)
ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)
ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)
ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherence)
ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)
berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)

Графический интерфейс:

Вместо использования функции berawgn можно запустить среду BERTool (функция bertool ) и использовать для расчетов ее вкладку Theoretical.

Описание:

Общая информация о синтаксисе
Функция berawgn возвращает вероятность битовой ошибки (Bit Error Rate, BER) для различных видов модуляции в канале связи с аддитивным гауссовым шумом (АБГШ; английский термин - Additive White Gaussian Noise, AWGN). Первый входной параметр, EbNo, задает отношение (в децибелах) энергии одного бита к спектральной плотности мощности белого шума. Если параметр EbNo является вектором, результат работы ber будет вектором того же размера, элементы которого соответствуют различным значениям отношения Eb/N0. Поддерживаемые виды модуляции, задаваемые вторым входным параметром функции, перечислены в следующей таблице.

В большинстве вариантов синтаксиса вызова функции также имеется входной параметр M, задающий число позиций манипуляции. M должно быть равно 2k для некоторого положительного целого числа k. Конкретные варианты синтаксиса

Ber = berawgn(EbNo, "pam", M)

Возвращает BER для некодированной амплитудно-импульсной модуляции (PAM) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея.

Ber = berawgn(EbNo, "qam", M)

Возвращает BER для некодированной квадратурной манипуляции (QAM) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея. Размер алфавита M должен быть не меньше 4. Для крестообразных созвездий (когда M равно двойке в нечетной степени) результат ber дает верхнюю границу BER. (Замечание. Верхняя граница, используемая в данной функции, является менее плотной, чем верхняя граница, используемая для QAM с крестообразными созвездиями в функции semianalytic.)

Ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)

Возвращает BER для некодированной фазовой манипуляции (PSK) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея. Входной строковый параметр dataenc может быть равен "diff" при дифференциальном кодировании данных или "nondiff" при недифференциальном кодировании данных. Если параметр dataenc равен "diff", то входной параметр M не должен превышать 4. Использованный здесь метод вычислений подробно изложен в .

Ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)

Возвращает BER для некодированной фазоразностной манипуляции (DPSK) в АБГШ-канале.

Ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherence)

Возвращает BER для ортогональной некодированной частотной манипуляции (FSK) в АБГШ-канале. Входной строковый параметр coherence может быть равен "coherent" при когерентной демодуляции или "noncoherent" при некогерентной демодуляции. Размер алфавита M должен быть не больше 64.

Ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)

Возвращает BER для некодированной минимальной частотной манипуляции (MSK) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Входной строковый параметр dataenc может быть равен "diff" при дифференциальном кодировании данных или "nondiff" при недифференциальном кодировании данных. Использованный здесь метод вычислений подробно изложен в .

Berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)

Возвращает нижнюю границу BER для некодированной частотной манипуляции с непрерывной фазой (CPFSK) в АБГШ-канале. Входной параметр modindex задает индекс модуляции, он должен быть положительным вещественным числом. Входной параметр kmin задает число путей, имеющих минимальное расстояние друг от друга; если это число неизвестно, можно принять значение данного параметра равным 1.

Примеры:

Приведенный ниже код использует функцию berawgn для вычисления вероятности ошибки на символ в случае амплитудно-импульсной модуляции (Pulse Amplitude Modulation, PAM) при разных значениях отношения Eb/N0. Выполняется также моделирование прохождения 8-уровневого PAM-сигнала через АБГШ-канал, после чего оценивается та же самая вероятность символьной ошибки. Для сравнения результатов две зависимости помехоустойчивости от отношения Eb/N0, полученные теоретически и путем моделирования, отображаются в виде графиков в общих координатных осях.

% 1. Вычисляем вероятность ошибок с помощью функции BERAWGN M = 8; % Число уровней PAM-сигнала EbNo = ; % Ряд отношений Eb/No ser = berawgn(EbNo,"pam",M).*log2(M); % множитель log2(M) - пересчет битовых ошибок в символьные % Отображаем теоретические результаты figure; semilogy(EbNo,ser,"r"); xlabel("E_b/N_0 (dB)"); ylabel("Symbol Error Rate"); grid on; drawnow; % 2. Оценка вероятности ошибки путем моделирования % Инициализация n = 10000; % Число обрабатываемых символов k = log2(M); % Число бит на символ % Пересчет отношения Eb/No в отношение сигнал/шум (SNR) % Замечание: Поскольку No = 2*noiseVariance^2, при расчете SNR % нужно добавить 3 дБ. Подробности см. в snr = EbNo+3+10*log10(k); ynoisy=zeros(n,length(snr)); % Для ускорения расчета выделяем память заранее % Главный цикл моделирования x = randint(n,1,M); % Случайное сообщение y = pammod(x,M); % Модуляция % Пропускаем модулированный сигнал через АБГШ-канал % в цикле по необходимым значениям SNR for jj = 1:length(snr) ynoisy(:,jj) = awgn(real(y),snr(jj),"measured"); end z = pamdemod(ynoisy,M); % Демодуляция % Вычисляем эмпирическую вероятность символьной ошибки = symerr(x,z); % 3. Отображаем эмпирические результаты в тех же осях hold on; semilogy(EbNo,rt,"b."); legend("Theoretical SER","Empirical SER"); title("Comparing Theoretical and Empirical Error Rates"); hold off;

В результате выполнения приведенного кода получается график, показанный на следующем рисунке. Полученные вами результаты могут отличаться, так как при модулировании используется генерация псевдослучайных чисел.

Ограничения:

Численная точность результатов, возвращаемых данной функцией, ограничена следующими факторами:

• Приближенными соотношениями, использованными при выводе формул, по которым производится расчет.
• Приближениями, производимыми при реализации численных расчетов.

Обычно можно считать надежными первые две значащие цифры возвращаемого результата. Однако для четырехпозиционной фазоразностной манипуляции (вид модуляции "dpsk" при M=4) и дифференциально кодированной фазовой манипуляции (вид модуляции "psk" при значении "diff" для параметра dataenc) имеются дополнительные ограничения, так что функция возвращает 0 для больших значений входного параметра EbNo.

Сопутствующие функции: bercoding, berfading, bersync.

Литература:

1. Anderson, John B., Tor Aulin, and Carl-Erik Sundberg, Digital Phase Modulation, New York, Plenum Press, 1986.
2. Lindsey, William C. and Marvin K. Simon, Telecommunication Systems Engineering, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1973.
3. Proakis, John G., Digital Communications, 4th ed., New York, McGraw-Hill, 2001. (Имеется русский перевод предыдущего издания: Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 2000.)

Обобщенная модель цифровой системы передачи информации .

Обобщенная модель цифровой системы передачи (ЦСП) информации включает три фундаментальных процесса: кодирование-декодирование источника, кодирование-декодирование канала, модуляция-демодуляция при передаче по каналу (рис. 1). На передающей стороне все виды обработки информационных сообщений служат цели преобразования их в сигналы, наиболее подходящие для передачи по каналу конкретного типа. На приемной стороне производятся обратные операции, направленные на восстановление в исходном виде с минимально возможными искажениями. При этом искажения обусловлены либо неидеальностью процессов прямого - обратного преобразования, либо неидеальностью характеристик тракта (канала связи), включая воздействие помех.

Процесс кодирования источника имеет своей главной целью сокращение объема передаваемой информации, т.е снижение требований к таким ресурсам системы, как время передачи, полоса пропускания, объем памяти при обработке или при хранении информации.

Кодирование канала используется для исправления ошибок, возникающих при приеме цифрового сигнала из-за действия различных помех и искажений. В трактах вещания информации программных служб применяется только прямое исправление ошибок, а в обратных каналах интерактивных систем, особенно в телефонных каналах, возможно также использование перезапросов. В любом случае кодирование канала приводит к увеличению объема передаваемых данных, т.к. алгоритмы обнаружения и исправления ошибок требуют добавления специальных служебных символов, а повторы перезапрошенных блоков непосредственно увеличивают время передачи.

Модуляция используется для преобра- зования сигналов, представленных в основной (исходной) полосе частот, в радиосигналы заданной полосы частот, что обеспечивает возможность их передачи по конкретному физическому каналу. Дополнительным свойством сложных видов модуляции является более плотная упаковка данных в частотной области, когда на единицу полосы приходится больше передаваемой информации.

В цифровых системах передачи процесс модуляции-демодуляции можно рассматривать как способ преобразования кода в сигнал и обратно. Конкретный метод модуляции выбирается, исходя из особенностей построения системы, требуемой скорости передачи по предоставленному каналу, заданной вероятности приема (включая возможности системы защиты от ошибок) и пр. Таким образом, постановка проблемы совместной оптимизации модема и кодека направлена на решение одной важной задачи – наилучшего согласования сигнала с характеристиками канала. При поиске оптимального варианта согласования чаще всего останавливаются на выборе одного из двух критериев:

Высокой спектральной эффективности , т.е. передачи с высокой скоростью в узкой полосе;

Высокой энергетической эффективности , т.е. передачи с низким отношением несущая/шум и с максимальным занятием всей доступной полосы.

В первом случае применяют плотные созвездия сигналов (например, модуляция 64 QAM или 16 QAM) совместно с мало избыточными кодами, исправляющими ошибки. Во втором случае используются разреженные созвездия (QPSK) совместно с высоко избыточными корректирующими кодами. С учетом реальных ограничений на допустимую полосу канала и достижимое отношение несущая/шум выбирается необходимый компромисс между спектральной и энергетической эффективностями.

Факторы, влияющие на качество принимаемого сигнала

При приеме цифрового сигнала и декодировании переданной информации неизбежно возникают ошибки в отдельных битах или в более обширных фрагментах цифрового потока. В хорошо спроектированной и работающей системе передачи ошибки возникают крайне редко. В противном случае они могут существенно исказить принятое сообщение или вовсе сделать невозможным его использование. Существует достаточно много факторов, каждый из которых может привести к возникновению ошибок в декодированном сигнале. Но чаще всего ошибки вызывает совокупность факторов при том, что отдельно взятые факторы не носят доминирующего характера. Основные категории искажений в системе и конкретные факторы, их порождающие, приведены в таблице 1.

Все указанные искажения и факторы так или иначе пересчитываются в эквивалентное случайное изменение уровня принимаемого сигнала в точке решения, т.е. в снижение отношения сигнал/шум.

Анализ воздействия шумов и помех на передаваемый сигнал, а также методы борьбы с помехами относятся к стержневым вопросам теории и техники передачи информации.

Белый шум . Среди всех источников шума наиболее распространенным на практике и наиболее широко используемым в качестве модели случайного процесса является шум, описываемый нормальным (гауссовским) распределением. Такой шум возникает в результате одновременного воздействия многих независимых случайных источников. Нормальное распределение отражает положения центральной предельной теоремы теории вероятностей, согласно которой случайная величина х, полученная суммированием статистически независимых случайных величин х 1 , х 2 , …. х n с произвольными плотностями, имеет плотность, приближающуюся к нормальной, если n стремится к бесконечности. Типичным примером шума с нормальной плотностью является тепловой шум, обусловленный броуновским движением электронов в проводнике. Шум подобного типа принято называть белым шумом . Наибольший интерес при анализе систем представляет аддитивный белый гауссовский шум.

Аналитическое выражение для нормальной плотности, в общем случае, имеет вид:

Идеальный белый шум, обладая неограниченным однородным спектром, представляет собой последовательность бесконечно коротких импульсов, имеющих случайную высоту и следующих друг за другом через случайные промежутки времени. Для идеального белого шума мощность шума, приходящаяся на конечную полосу частот, т.е спектральная плотность, бесконечно мала. Для анализа процессов в реальной области положительных частот используют одностороннюю спектральную плотность N 0 , Вт/Гц. При теоретическом анализе в области положительных и отрицательных частот используют двустороннюю спектральную плотность N 0 /2, Вт/Гц. Очевидно, что в обоих случаях мощность шума остается одной и той же. Постоянство спектральной плотности идеального белого шума означает, что в бесконечно широкой полосе частот средняя мощность шума бесконечно велика, т.е. такое свойство является не более, чем математической идеализацией. Однако практически полоса пропускания системы всегда ограничена, что автоматически ограничивает и мощность шума в этой полосе. По­этому значение спектральной плотности за пределами полосы пропускания не влияет на анализируемые параметры сигнала и шума.

Реальный белый шум соответствует идеальному белому шуму, прошедшему через фильтр. Он имеет ограниченный спектр, т.е. импульсы конечной длительности. При ограниченной ширине спектра мощность реального белого шума в конечной полосе частот также конечна.

Обычно при расчетах мощности N реального белого шума в полосе В (Гц) используют спектральную плотность мощности N 0 = N/B (Вт/Гц) и абсолютную температуру источника шума Т (К°), где К° = С° + 273°.

При этом наибольшая мощность шума, которую можно получить от теплового источника,

а функция распределения имеет вид:

(7)

Рэлеевский шум - это узкополосный шум. Его физической интерпретацией является синусоидальная несущая с частотой, равной средней частоте полосы пропускания, и модулированная по амплитуде низкочастотным узкополосным шумовым напряжением положительной полярности. Это модулирующее напряжение соответствует напряжению на выходе линейного детектора, на вход которого подан узкополосный гауссовский шум с высоким уровнем.

Рэлеевский шум отражает физические процессы в узкополосных системах, в частности, в приемной аппаратуре, в которой используется линейный детектор. По сравнению с гауссовским шумом рэлеевский имеет более чем на 2 dB меньший пик-фактор, т.е. пиковое напряжение, превышаемое в течение 0,01% времени (9,64 dB против 11,80 dB).

Импульсный шум.

Импульсный шум - это последовательность импульсов произвольной длительности и амплитуды, следующих друг за другом через случайные промежутки времени. Отличие импульсного шума от непрерывного в том, что длительность импульсов импульсного шума значительно меньше промежутков между ними, поэтому появление каждого импульса рассматривается как независимое событие. Число независимо возникающих импульсов в течение любого промежутка времени подчиняется пуассоновскому распределению:

(8)

где Р (n) - вероятность появления равна n импульсов за время Т;

v - среднее число импульсов в единицу времени.

Прохождение импульсного шума через полосовую цепь приводит к размытию импульсов, т.е. к расширению импульсов и слиянию их в непрерывный шум. Но значение пикового уровня шума при этом пропорционально ширине полосы пропускания, а значение среднего уровня - корню квадратному из полосы.

Шумовая полоса четырехполюсника.

При измерении шумовых и вероятностных характеристик радиоприемных устройств, анализе и моделировании параметров трактов систем передачи информации важное значение имеет определение шумовой полосы устройства, а тем самым мощности и структуры шума, воздействующего на полезный сигнал.

В большинстве практических случаев интерес представляет мощность шума, действующего на выходе некоторого эквивалентного четырехполюсника, характеристики которого отображают последовательное соединение нескольких устройств или звеньев реальной цепи. Если коэффициент передачи такого четырехполюсника имеет максимальное значение К 0 на некоторой частоте w 0 , то область частот (2 Dw) эфф. в окрестности w, определяемую из соотношения:

Отношение сигнал/шум и вероятность ошибки при приеме цифровой информации

Отношение сигнала к шуму.

При анализе процессов в системах передачи информации используется несколько близких показателей, характеризующих энергетические соотношения между сигналом и шумом.

В цифровых системах передачи, особенно при сравнении различных методов исправления ошибок, принято использовать нормированное отношение средней энергии на бит информации к спектральной плотности мощности шума E b /N 0 . Это отношение удобно тем, что в нем не фигурируют абсолютные значения полосы частот и длительности тактового интервала. Спектральная плотность мощности шума N Q имеет размерность энергии, поэтому с ней следует сравнивать энергию сигнала Е, а не среднюю мощность S.

Учитывая, что Е = ST 0 , N = N 0 B , где Т 0 - время передачи сигнала, В - полоса фильтра, получаем соотношение между двумя показателями:

При передаче двоичных сигналов E s = E b , в противном случае

Среди показателей, характеризующих отношение мощностей, широко используется также отношение несущая/шум C/N, которое показывает, во сколько раз мощность С принимаемой модулированной радио­частотной несущей на выходе приемного фильтра с полосой Найквиста больше мощности N шума, порождаемого совместным действием всех источников шума данного тракта. Отношение C/N является удобным параметром при расчетах энергетики на входе радиоприемника, в ВЧ и ПЧ каскадах демодулятора.

Оба коэффициента соотносятся как:

где Р s - средняя мощность модулированной несущей М-QАМ;

Р N - среднеквадратичное значение мощности белого шума на выходе фильтра Найквиста с полосой BW = BN(1+a) и коэффициентом скругления спектра a;

N 0 - односторонняя спектральная плотность мощности белого шума;

М - число элементов пространства сигналов при цифровой модуляции.

Вероятность ошибки при приеме сигналов.

Помехоустойчивость цифровых систем передачи оценивается отношением сигнал/шум, необходимым для получения некоторой заданной вероятности ошибки. Практический интерес представляет значение отношения сигнал/шум на входе решающего устройства, т.е. именно того узла, работа которого вызывает появление ошибочных битов. Хотя в современных системах применяются сложные методы амплитудно-фазовой модуляции, но реально решение принимается о соотношении между уровнем демодулированного импульса и порогом. Поэтому поясним механизм возникновения ошибок на простой модели двоичного биполярного сигнала с нулевым пороговым уровнем. В случае многоуровневых импульсов аналогичная картина будет характеризовать случай различения двух смежных уровней относительно порога, проходящего между ними.

На рис. 3 показана модель приемника - решающего устройства, а на рис. 4 двоичный сигнал со значащими уровнями А и В, которые искажены действием аддитивного шума. В предположении, что шум одинаково воздействует на оба уровня, справа от импульса показаны одинаковые кривые гауссовского распределения, центрированные относительно уровней А и В. Размах сигнала, т.е. расстояние между уровнями, равен V. Ошибка в решении об уровне импульса возникает при превышении шумом порогового уровня, отстоящего от номинальных сигнальных уровней на значение V/ 2. На возникновение ошибки оказывают влияние импульсы шума, имеющие полярность, противоположную полярности сигнала. Так как гауссовское распределение не имеет ограничения по оси абсцисс, то всегда существует вероятность случайного события, состоящего в превышении шумом порога V/ 2.

Вероятность ошибки:

где s = x/δ - эффективное значение переменной составляющей помехи, среднее значение которой равно нулю. Получаем:

(19)

Выражение (19) показывает, что при фиксированном значении s вероятность ошибки зависит только от расстояниями между уровнями V , независимо от того, ведется передача однополярным сигналом (0, V ) или биполярными сигналами (+ V / 2 , - V / 2). В более широком смысле выражение (19) зависит от отношения размаха сигнала к среднеквадратическому (эффективному) значению напряжения шума V / s. Графическая зависимость V / s показана на рис. 5.

Пропускная способность канала

В теории передачи информации и цифровой связи исключительно важное значение имеет формула, связывающая максимальную скорость передачи информации С в полосе канала W с отношением сигнал/шум P/N:

(20)

Выражение (20), известное как формула Шеннона, определяет пропускную способность частотно-ограниченного непрерывного канала с аддитивным белым гауссовским шумом при ограничении средней мощности передаваемого сигнала значением Р.

Условие непрерывности канала подразумевает, что число возможных уровней ансамбля передаваемых сигналов бесконечно велико, т.е. сигнал имеет свойства шума. Передача сигнала должна производиться с использованием корректирующего кодирования либо в основной полосе, либо с помощью однополосной модуляции. В качестве элементов сигнала можно использовать, в общем случае, любую функцию времени, ограниченную по спектру полосой частот W, Гц. Этому условию удовлетворяет, в частности, функция вида sin(x )/x .

Пропускная способность в канале с шумом имеет конечное значение только при ограничении мощности передатчика. В канале без шума или в канале с шумами, но без ограничения мощности передатчика отношение сигнал/шум и соответственно пропускная способность, как следует из (П2В.20), стремятся к бесконечности.

При проектировании и анализе цифровых систем передачи наибольший интерес представляет пропускная способность, отнесенная к единице полосы частот:

(21)

Формула (21) имеет смысл максимальной удельной скорости передачи и применяется при оценке эффективности систем связи. График удельной скорости в непрерывном канале с белым шумом в зависимости от отношения сигнал/шум (21) при выборе вида модуляции, обеспечивающего передачу n = 2WT символов в полосе W за время Т, показан на рис. 6. Фактически он определяет идеальную верхнюю границу, к которой стремятся приблизиться, оптимизируя те или иные параметры цифровых систем.

В реальных системах передаваемые сигналы имеют конечное число значащих позиций, поэтому при их анализе используется модель не непрерывного, а дискретного канала с шумом. Пропускная способность дискретного канала аналитически выражается через матрицу переходных вероятностей между состояниями передаваемых и принимаемых сигналов, и при числе позиций больше двух соответствующие формулы достаточно сложные. На рис. 6 показаны также зависимости удельной скорости от отношения сигнал/шум для систем с различным числом значащих позиций (уровней).

В дискретных каналах, каковыми являются реальные каналы цифровых систем, с ростом отношения сигнал/шум удельная скорость вначале растет тем же темпом, что и в непрерывном канале, но по достижении некоторого порога ее рост резко замедляется, и она фактически перестает зависеть от отношения сигнал/шум, достигая своего номинального значения, определяемого числом значащих позиций для канала без шума. Таким образом, представленные графики однозначно показывают, что в системе с дискретным каналом и фиксированной полосой частот рост пропускной способности может быть обеспечен только путем увеличения числа значащих позиций сигнала. Но это, в свою очередь, требует либо соответствующего увеличения отношения сигнал/шум, что не всегда возможно, либо применения мощных кодов, исправляющих ошибки, что также имеет свои ограничения. Учет этих противоречивых требований и поиск компромисса является предметом оптимизации параметров цифровой системы передачи.

Учитывая, что мощность шума N = N 0 W, где N 0 - спектральная плотность мощности шума (энергия в полосе 1 Гц), и полагая, что мощность шума в полосе W 0 равна мощности сигнала Р = N 0 W 0 , приведем (21) к виду:

(22)

График пропускной способности, отнесенной к полосе W 0 , в зависимости от относительной полосы W / W 0 показан на рис. 7, из которого видно: пока мощность сигнала не превышает мощность шума (W / W 0 < 1), пропускная способность растет очень быстро, но при превышении мощности шума, ее рост замедляется и монотонно стремится к асимптотическому значению,

(23)

Следовательно, работать надо в области шумов, защищаясь от ошибок кодированием.

Достоинством формулы Шеннона является то, что она связывает воедино основные параметры сигнала и позволяет осуществлять их компромиссный выбор. Например, при неизменном отношении сигнал/шум одно и то же количество информации в битах может быть передано либо в широкой полосе частот при малом времени сигнала, либо в узкой полосе с помощью продолжительного сигнала. В некоторых системах цифрового ТВ вещания для приближения к границе Шеннона используют параллельную передачу по большому числу узкополосных каналов. В современных системах цифрового ТВ вещания с помощью использования самых передовых методов обработки и передачи сигналов достигается достаточно хорошее приближение к границе Шеннона. Примером могут служить регламентированные скорости цифровых потоков в прямом и реверсном направлениях СКТ, оговариваемые стандартом DOCSIS для каждой из выделенных полос пропускания.

Интегральный показатель качества функционирования цифровых систем связи. Определяется как отношение количества искаженных битов данных к общему числу переданных битов. Синоним _ «интенсивность битовых ошибок», «битовый коэффициент ошибки».

Мера качества передачи. В общем случае выражается отрицательной степенью 10 - например, 10-7 означает 1 ошибку на 107 бит.

Коэффициент ошибок - отношение числа неверно принятых битов (0 вместо 1 и наоборот) к полному числу переданных битов при передаче по каналу связи. Эквивалентно понятию вероятности ошибки. В современных сетях связи характерные значения коэффициента - 1E-9 и лучше.

Определения коэффициента ошибок

Коэффициент ошибок – важнейшая характеристика линейного тракта. Он измеряется как для отдельных участков регенерации, так и для тракта в целом. Определяется коэффициент ошибок k ОШ , по формуле:

k ОШ = N ОШ /N, (6.1)

где N – общее число символов, переданных за интервал измерения; N ОШ – число ошибочно принятых символов за интервал измерения.

Измерение коэффициента ошибок носит статистический характер, так как получаемый за конечное время результат является случайной величиной. Относительная погрешность измерения в случае нормального закона распределения числа ошибок допустима при N≥10 ,

Коэффициент, зависящий от доверительной вероятности результата измерений:

, (6.3) где - обратная функция интеграла вероятности : . (6.4)

Значение k ОШ позволяет оценивать вероятность ошибки p ОШ – количественную оценку помехоустойчивости. Область возможных значений оценки, в которой с заданной доверительной вероятностью будет находиться значение p ОШ , определяется верхней (p В ) и нижней (p Н ) доверительными границами. При нормальном законе распределения числа ошибок значения p В и p Н определяются по формулам:

Очевидно, что точность оценок вероятности ошибки и коэффициента ошибки растет с увеличением N . Общее число символов цифрового сигнала, переданных за интервал измерения T , зависит от скорости передачи B: N = TB . Отсюда следует, что чем больше скорость передачи, тем быстрее и точнее можно оценить коэффициент ошибок.

Математическое выражение коэффициента битовых ошибок

Определим коэффициент битовых ошибок для реальных приёмников, которым свойственно наличие различных источников шумов. При этом будем считать, что приёмник принимает решение, какой бит (0 или 1) был передан в каждом битовом интервале путем стробирования фототока. Очевидно, что из-за наличия шумов данное решение может быть неверным, что приводит к появлению ошибочных битов. Поэтому, чтобы определить коэффициент битовых ошибок, необходимо понять, каким образом приемник принимает решение относительно переданного бита.

Обозначим через I 1 и I 0 фототоки, стробированные приемником в течение 1 и 0 битов, соответственно, а через s 1 2 и s 0 2 соответствующие шумы. Принимая, что последние имеют гауссовское распределение, проблема установления истинного значения принятого бита имеет следующую математическую формулировку. Фототок для битов 1 и 0 является выборкой гауссовской переменной со средним значением I 1 и вариацией s 1 , а приёмник должен отслеживать этот сигнал и решать, является ли переданный бит 0 или 1. При этом существует много возможных правил принятия решения, которые могут быть реализованы в приёмнике с целью минимизации коэффициента битовых ошибок. Для значения фототока I этим оптимальным решением является наиболее вероятное значение переданного бита, которое определяется путём сравнения текущего значения фототока с пороговым значением I п, используемым для принятия решения.

Пусть при I ³ I п принимается решение о том, что был передан бит 1, в противном случае – бит 0. Когда биты 1 и 0 равновероятны, что и рассматривается в дальнейшем, пороговый ток приблизительно равен:

(6.7)

Геометрически I п представляет собой значение тока I, для которого две кривые плотности вероятностей (рис. 6.1) пересекаются.

Вероятность того, что I < I п, т. е. вероятность ошибки при передаче бита 1, обозначим через Р 0,1 , а вероятность решения для переданного бита 1, когда I ³ I п при переданном 0, обозначим Р 1,0 .

Пусть Q(х) обозначает вероятность того, что нулевая средняя вариация гауссовской переменной превышает значение х, тогда:

(6.8) (6.9) (6.10)

Можно показать , что BER определяется,

(6.11)

Очень важно отметить, что в ряде случаев эффективным является использование изменяемого в зависимости от уровня сигнала порога принятия решения, как, например, шума оптического усилителя. Многие высокоскоростные приёмники обладают такой особенностью. Однако более простые приемники имеют порог, соответствующий среднему уровню принимаемого тока, а именно (I 1 + I 0)/2. Такая настройка порогового значения дает большой коэффициент битовых ошибок, определяемый выражением .

(6.12)

Выражение (6.11) можно использовать для оценки BER, когда известны как мощность полученного сигнала, соответствующего битам 0 и 1, так и статистика шумов.

Битовые ошибки являются основным источником ухудшения качества связи, проявляющегося в искажении речи в телефонных каналах, недостоверности передачи информации или снижении пропускной способности передачи данных, и характеризуются статистическими параметрами и нормами на них, которые определены соответствующей вероятностью выполнения этих норм. Последние делятся на долговременные и оперативные нормы, первые из которых определяются рекомендациями ITU-T G.821 и G.826, а вторые – М.2100, М.2110 и М.2120, при этом, согласно М.2100, качество цифрового тракта по критерию ошибок делят на три категории:

· нормальное – BER < 10 -6 ;

· пониженное – 10 -6 ≤ BER < 10 -3 (предаварийное состояние);

· неприемлемое – BER ≥ 10 -3 (аварийное состояние).

Так как появление ошибок является следствием совокупности всех текущих условий передачи цифровых сигналов, имеющих случайный характер, то при отсутствии данных о законе распределения ошибок его отдельные элементы могут быть определены с определенной степенью достоверности только по результатам продолжительных измерений. В то же время на практике необходимо, чтобы значения параметров ошибок для ввода в эксплуатацию и технического обслуживания систем передачи основывались на достаточно коротких интервалах времени измерения.

Для измерения коэффициента ошибок разработан ряд специальных BER анализаторов – измерителей коэффициента ошибок, включающих генераторы псевдослучайных и детерминированных последовательностей передаваемых кодированных символов, а также приемное оборудование, осуществляющее собственно измерение коэффициента ошибок. В случае посимвольного сравнения кодов измерение может быть выполнено с использованием шлейфа, т.е. путем измерения ошибок с одной оконечной станции при установке на противоположном конце шлейфа. Другой метод основан на выделении ошибок благодаря избыточности используемых кодов и используется для измерений от передающей до приемной сторон тракта или участка линии, т.е. когда выделение и фиксация ошибок производятся на ее приемном конце. Очевидно, что в первом случае требуется использование одного комплекта, а во втором – двух комплектов приборов. При этом измеренное значение коэффициента ошибок отражает качество передачи при прохождении сигнала в обоих направлениях и в каждом направлении соответственно.